В математике правильный многогранник — это многогранник , группа симметрии которого действует транзитивно на его флагах , тем самым придавая ему наивысшую степень симметрии. В частности, все его элементы или j -грани (для всех 0 ≤ j ≤ n , где n — размерность многогранника) — ячейки, грани и т. д. — также транзитивны на симметриях многогранника и сами являются правильными многогранниками размерности j ≤ n .
Правильные многогранники являются обобщенным аналогом в любом числе измерений правильных многоугольников (например, квадрата или правильного пятиугольника) и правильных многогранников (например, куба ). Сильная симметрия правильных многогранников придает им эстетическое качество, которое интересует как математиков, так и нематематиков.
Классически правильный многогранник в n измерениях может быть определен как имеющий правильные грани ( [ n –1] -грани) и правильные вершинные фигуры . Этих двух условий достаточно, чтобы гарантировать, что все грани и все вершины одинаковы. Обратите внимание, однако, что это определение не работает для абстрактных многогранников .
Правильный многогранник можно представить символом Шлефли вида {a, b, c, ..., y, z}, с правильными гранями как {a, b, c, ..., y} и правильными вершинными фигурами как {b, c, ..., y, z}.
Правильные многогранники классифицируются в первую очередь по их размерности.
В каждом измерении существуют три класса правильных многогранников:
Любой другой правильный многогранник называется исключительным.
В одном измерении отрезок одновременно служит 1-симплексом, 1-гиперкубом и 1-ортоплексом .
В двух измерениях существует бесконечно много правильных многоугольников , а именно правильный n -сторонний многоугольник для n ≥ 3. Треугольник является 2-симплексом. Квадрат является как 2-гиперкубом, так и 2-ортоплексом. n -сторонние многоугольники для n ≥ 5 являются исключением.
В трех- и четырехмерном пространстве существует еще несколько исключительных правильных многогранников и 4-мерных многогранников .
В пяти измерениях и выше единственными правильными многогранниками являются симплекс, гиперкуб и ортоплекс. В этих измерениях нет исключительных правильных многогранников.
См. также список правильных многогранников .
Правильные многогранники можно далее классифицировать по симметрии . Например, куб и правильный октаэдр имеют одну и ту же симметрию, как и правильный додекаэдр и икосаэдр . Два различных правильных многогранника с одинаковой симметрией являются дуальными друг другу. Действительно, группы симметрии иногда называют в честь правильных многогранников, например, тетраэдрическая и икосаэдрическая симметрии .
Идея многогранника иногда обобщается, чтобы включить в нее родственные виды геометрических объектов. Некоторые из них имеют регулярные примеры, как обсуждается в разделе об исторических открытиях ниже.
Краткое символическое представление для правильных многогранников было разработано Людвигом Шлефли в 19 веке, и слегка измененная форма стала стандартной. Обозначение лучше всего объяснить, добавляя по одному измерению за раз.
Двойственный к правильному многограннику многогранник также является правильным многогранником. Символ Шлефли для двойственного многогранника — это просто исходный символ, записанный наоборот: {3, 3} — самодвойственный, {3, 4} — двойственный к {4, 3}, {4, 3, 3} — к {3, 3, 4} и т. д.
Вершинная фигура правильного многогранника — это двойственная фигура двойственной грани многогранника. Например, вершинная фигура {3, 3, 4} — это {3, 4}, двойственная фигура которой — {4, 3} — ячейка { 4, 3, 3}.
Мера и кросс-многогранники в любом измерении двойственны друг другу.
Если символ Шлефли является палиндромом , т.е. читается одинаково и слева и справа, то многогранник является самодвойственным. Самодвойственные правильные многогранники:
Начните с точки A. Отметьте точку B на расстоянии r от нее и соедините, чтобы сформировать отрезок прямой . Отметьте точку C во втором, ортогональном , измерении на расстоянии r от обеих и соедините с A и B , чтобы сформировать равносторонний треугольник . Отметьте точку D в третьем, ортогональном, измерении на расстоянии r от всех трех и соедините, чтобы сформировать правильный тетраэдр . И так далее для более высоких измерений.
Это правильные симплексы или симплексы . Их названия, в порядке размерности:
Начните с точки A. Продлите линию до точки B на расстоянии r и соедините, чтобы сформировать отрезок. Продлите вторую линию длиной r , ортогональную AB , от B до C , и аналогично от A до D , чтобы сформировать квадрат ABCD . Продлите линии длиной r соответственно из каждого угла, ортогональные как AB , так и BC (т. е. вверх). Отметьте новые точки E , F , G , H , чтобы сформировать куб ABCDEFGH . И так далее для более высоких измерений.
Это мерные многогранники или гиперкубы . Их названия, в порядке размерности:
Начните с точки O. Продлите линию в противоположных направлениях к точкам A и B на расстоянии r от O и 2 r друг от друга. Начертите линию COD длиной 2 r с центром в точке O и ортогональную AB . Соедините концы, чтобы получился квадрат ACBD . Начертите линию EOF той же длины с центром в точке «O», ортогональную AB и CD (т. е. вверх и вниз). Соедините концы с квадратом, чтобы получился правильный октаэдр . И так далее для более высоких измерений.
Это крестовые многогранники или ортоплексы . Их названия в порядке размерности:
Правильные многогранники можно классифицировать по их группе изометрий . Это конечные группы Коксетера , но не каждая конечная группа Коксетера может быть реализована как группа изометрий правильного многогранника. Правильные многогранники находятся в биекции с группами Коксетера с линейной диаграммой Коксетера-Дынкина (без точки ветвления) и возрастающей нумерацией узлов. Изменение нумерации дает двойственный многогранник.
Классификация конечных групп Коксетера, восходящая к (Coxeter 1935), подразумевает, таким образом, классификацию правильных многогранников:
Биекция между правильными многогранниками и группами Коксетера с линейной диаграммой Коксетера-Дынкина может быть понята следующим образом. Рассмотрим правильный многогранник размерности и возьмем его барицентрическое подразделение . Фундаментальная область действия группы изометрий на задается любым симплексом в барицентрическом подразделении. Симплекс имеет вершины, которые можно пронумеровать от 0 до по размерности соответствующей грани (грани, барицентром которой они являются). Группа изометрий генерируется отражениями вокруг гиперплоскостей , содержащих номер вершины (поскольку барицентр всего многогранника фиксируется любой изометрией). Эти гиперплоскости можно пронумеровать по вершинам , которые они не содержат. Осталось проверить, что любые две гиперплоскости со смежными номерами не могут быть ортогональны, тогда как гиперплоскости с несмежными номерами ортогональны. Это можно сделать с помощью индукции (поскольку все грани снова являются правильными многогранниками). Таким образом, диаграмма Коксетера-Дынкина группы изометрий имеет вершины, пронумерованные от 0 до таким образом, что соседние числа связаны хотя бы одним ребром, а несмежные числа не связаны.
Самая ранняя сохранившаяся математическая обработка правильных многоугольников и многогранников пришла к нам от древнегреческих математиков. Пять Платоновых тел были известны им. Пифагор знал по крайней мере о трех из них, а Теэтет (ок. 417 г. до н. э. – 369 г. до н. э.) описал все пять. Позже Евклид написал систематическое исследование математики, опубликовав его под названием «Элементы» , в котором была создана логическая теория геометрии и теории чисел . Его работа завершилась математическими описаниями пяти Платоновых тел .
Наше понимание оставалось неизменным в течение многих столетий после Евклида. Последующая история правильных многогранников может быть охарактеризована постепенным расширением базовой концепции, что позволяет рассматривать все больше и больше объектов среди их числа. Томас Брэдвардин (Брадвардинус) был первым, кто записал серьезное исследование звездчатых многоугольников. Различные звездчатые многогранники появляются в искусстве эпохи Возрождения, но только после того, как Иоганн Кеплер изучил малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр в 1619 году, он понял, что эти два являются правильными. Луи Пуансо открыл большой додекаэдр и большой икосаэдр в 1809 году, а Огюстен Коши доказал, что список полон в 1812 году. Эти многогранники известны как многогранники Кеплера-Пуансо .
Только в XIX веке швейцарский математик Людвиг Шлефли исследовал и охарактеризовал правильные многогранники в высших измерениях. Его труды были впервые опубликованы полностью в Schläfli (1901), шесть лет спустя, хотя части были опубликованы в Schläfli (1855) и Schläfli (1858). Между 1880 и 1900 годами результаты Шлефли были независимо переоткрыты по крайней мере девятью другими математиками — см. Coxeter (1973, стр. 143–144) для получения более подробной информации. Шлефли назвал такую фигуру «полисхемой» (по-английски «polyscheme» или «polyschema»). Термин «политоп» был введен Рейнхольдом Хоппе , одним из переоткрывателей Шлефли, в 1882 году и впервые использован на английском языке Алисией Буль Стотт примерно двадцать лет спустя. Термин «полиэдроиды» также использовался в более ранней литературе (Гильберт, 1952).
Коксетер (1973) — вероятно, наиболее полное напечатанное на сегодняшний день рассмотрение результатов Шлефли и подобных ему. Шлефли показал, что существует шесть правильных выпуклых многогранников в 4 измерениях . Пять из них можно рассматривать как аналоги Платоновых тел: 4-симплекс (или пентахорон) — тетраэдр , гиперкуб (или тессеракт ) — куб , 4-ортоплекс (или гексадекахорон или 16-ячейник ) — октаэдр , 120-ячейник — додекаэдр и 600-ячейник — икосаэдр . Шестой, 24-ячеечный , можно рассматривать как переходную форму между гиперкубом и 16-ячеечным, аналогично тому, как кубооктаэдр и ромбододекаэдр являются переходными формами между кубом и октаэдром.
В пяти и более измерениях существует ровно три правильных многогранника, которые соответствуют тетраэдру, кубу и октаэдру: это правильные симплексы, многогранники меры и крестовые многогранники. Их описания можно найти в списке правильных многогранников . Также интересны звездные правильные 4-мерные многогранники , частично открытые Шлефли.
К концу XIX века такие математики, как Артур Кэли и Людвиг Шлефли, разработали теорию правильных многогранников в четырех и более измерениях, таких как тессеракт и 24-ячейник .
Последние трудно (хотя и не невозможно) визуализировать с помощью процесса размерной аналогии , поскольку они сохраняют знакомую симметрию своих аналогов более низкого измерения. Тессеракт содержит 8 кубических ячеек. Он состоит из двух кубов в параллельных гиперплоскостях с соответствующими вершинами, перекрестно соединенными таким образом, что 8 перекрестных ребер равны по длине и ортогональны 12+12 ребрам, расположенным на каждом кубе. Соответствующие грани двух кубов соединены, образуя оставшиеся 6 кубических граней тессеракта . 24 -ячейка может быть получена из тессеракта путем соединения 8 вершин каждой из его кубических граней с дополнительной вершиной, чтобы сформировать четырехмерный аналог пирамиды. Обе фигуры, а также другие 4-мерные фигуры, могут быть непосредственно визуализированы и изображены с помощью 4-мерных стереографий. [1]
Еще труднее представить себе более современные абстрактные правильные многогранники , такие как 57-ячеечный или 11-ячеечный . Однако с математической точки зрения эти объекты обладают теми же эстетическими качествами, что и их более привычные двух- и трехмерные родственники.
В начале XX века определение правильного многогранника было следующим.
Это «рекурсивное» определение. Оно определяет регулярность фигур большей размерности в терминах регулярных фигур меньшей размерности. Существует эквивалентное (нерекурсивное) определение, которое гласит, что многогранник является регулярным, если он имеет достаточную степень симметрии.
Так, например, куб является правильным, потому что если мы выберем вершину куба, и одно из трех ребер, на которых он находится, и одну из двух граней, содержащих ребро, то эта тройка, известная как флаг , (вершина, ребро, грань) может быть отображена в любой другой такой флаг с помощью подходящей симметрии куба. Таким образом, мы можем определить правильный многогранник очень кратко:
В 20 веке были сделаны некоторые важные разработки. Группы симметрии классических правильных многогранников были обобщены в то, что сейчас называется группами Коксетера . Группы Коксетера также включают группы симметрии правильных мозаик пространства или плоскости. Например, группа симметрии бесконечной шахматной доски будет группой Коксетера [4,4].
В первой половине 20-го века Коксетер и Петри открыли три бесконечные структуры {4, 6}, {6, 4} и {6, 6}. Они назвали их правильными косыми многогранниками, потому что они, казалось, удовлетворяли определению правильного многогранника — все вершины, ребра и грани одинаковы, все углы одинаковы, и фигура не имеет свободных ребер. В настоящее время их называют бесконечными многогранниками или апейроэдрами. Правильные мозаики плоскости {4, 4}, {3, 6} и {6, 3} также можно рассматривать как бесконечные многогранники.
В 1960-х годах Бранко Грюнбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть более абстрактные типы правильных многогранников, которые он назвал полистроматами . Он разработал теорию полистроматов, показав примеры новых объектов, которые он назвал правильными апейротопами , то есть правильными многогранниками с бесконечным числом граней. Простым примером косого апейрогона будет зигзаг. Кажется, он удовлетворяет определению правильного многоугольника — все ребра имеют одинаковую длину, все углы одинаковы, и у фигуры нет свободных концов (потому что они никогда не могут быть достигнуты). Что еще более важно, возможно, существуют симметрии зигзага, которые могут отображать любую пару вершины и присоединенного ребра в любую другую. С тех пор продолжают открываться другие правильные апейрогоны и более высокие апейротопы.
Комплексное число имеет действительную часть, которая является битом, с которым мы все знакомы, и мнимую часть, которая является кратной квадратного корня из минус единицы. Комплексное гильбертово пространство имеет свои координаты x, y, z и т. д. как комплексные числа. Это фактически удваивает число измерений. Многогранник, построенный в таком унитарном пространстве, называется комплексным многогранником . [2]
Грюнбаум также открыл 11-ячейку , четырехмерный самодвойственный объект, грани которого не являются икосаэдрами, а являются «гемиикосаэдрами» — то есть, они представляют собой форму, которую можно получить, если рассматривать противоположные грани икосаэдров как фактически одну и ту же грань (Грюнбаум 1976). Гемиикосаэдр имеет только 10 треугольных граней и 6 вершин, в отличие от икосаэдра, у которого их 20 и 12.
Эту концепцию читателю будет легче понять, если рассмотреть взаимосвязь куба и полукуба. У обычного куба 8 углов, их можно обозначить буквами от A до H, где A находится напротив H, B напротив G и т. д. В полукубе A и H будут считаться одним и тем же углом. То же самое касается B и G и т. д. Ребро AB станет тем же ребром, что и GH, а грань ABEF станет той же гранью, что и CDGH. Новая форма имеет только три грани, 6 ребер и 4 угла.
11-ячейка не может быть образована с помощью правильной геометрии в плоском (евклидовом) гиперпространстве, а только в положительно искривленном (эллиптическом) гиперпространстве.
Через несколько лет после открытия Грюнбаумом 11-ячеечной формы , HSM Coxeter независимо открыл ту же форму. Ранее он открыл похожий многогранник, 57-ячеечный (Coxeter 1982, 1984).
К 1994 году Грюнбаум рассматривал многогранники абстрактно как комбинаторные наборы точек или вершин и не беспокоился о том, являются ли грани плоскими. По мере того, как он и другие совершенствовали эти идеи, такие множества стали называться абстрактными многогранниками . Абстрактный многогранник определяется как частично упорядоченное множество (посет), элементами которого являются грани многогранника (вершины, ребра, грани и т. д.), упорядоченные по включению . На множество накладываются определенные ограничения, которые аналогичны свойствам, которым удовлетворяют классические правильные многогранники (включая Платоновы тела). Однако ограничения достаточно свободны, так что правильные мозаики, полукубы и даже такие странные объекты, как 11-ячейка или странный, являются примерами правильных многогранников.
Геометрический многогранник понимается как реализация абстрактного многогранника, так что существует взаимно-однозначное отображение абстрактных элементов на соответствующие грани геометрической реализации. Таким образом, любой геометрический многогранник может быть описан соответствующим абстрактным посетом, хотя не все абстрактные многогранники имеют правильные геометрические реализации.
С тех пор теория получила дальнейшее развитие, в основном МакМалленом и Шульте (2002), но и другие исследователи внесли свой вклад.
Регулярность имеет родственное, хотя и иное значение для абстрактных многогранников , поскольку углы и длины ребер не имеют значения.
Определение регулярности в терминах транзитивности флагов, данное во введении, применимо к абстрактным многогранникам.
Любой классический правильный многогранник имеет абстрактный эквивалент, который является правильным, полученный путем взятия набора граней. Но неправильные классические многогранники могут иметь правильные абстрактные эквиваленты, поскольку абстрактные многогранники не сохраняют информацию об углах и длинах ребер, например. И правильный абстрактный многогранник может не быть реализован как классический многогранник.
Например, в абстрактном мире все многоугольники являются правильными, тогда как в классическом мире правильными являются только те, у которых равные углы и ребра одинаковой длины.
Понятие вершинной фигуры также определяется по-разному для абстрактного многогранника . Вершинная фигура данного абстрактного n -многогранника в данной вершине V — это множество всех абстрактных граней, которые содержат V , включая само V. Более формально, это абстрактное сечение
где F n — максимальная грань, т. е. условная n -грань, которая содержит все остальные грани. Обратите внимание, что каждая i -грань, i ≥ 0 исходного многогранника становится ( i − 1)-гранью вершинной фигуры.
В отличие от случая евклидовых многогранников, абстрактный многогранник с правильными гранями и вершинными фигурами может быть правильным или не правильным сам по себе — например, квадратная пирамида, все грани и вершинные фигуры которой являются правильными абстрактными многоугольниками.
Однако классическая вершинная фигура будет реализацией абстрактной.
Традиционный способ построения правильного многоугольника или любой другой фигуры на плоскости — с помощью циркуля и линейки . Построение некоторых правильных многоугольников таким способом очень просто (самым простым, пожалуй, является равносторонний треугольник), некоторые — сложнее, а некоторые вообще невозможны («непостроимы»). Простейшими из правильных многоугольников, которые невозможно построить, являются n -сторонние многоугольники с n, равным 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21,...
Конструктивность в этом смысле относится только к идеальным конструкциям с идеальными инструментами. Конечно, достаточно точные приближения могут быть построены рядом методов; в то время как теоретически возможные конструкции могут быть непрактичными.
«Начала» Евклида дали то, что можно сравнить с построениями с помощью линейки и циркуля для пяти Платоновых тел. [3] Однако чисто практический вопрос о том, как можно провести прямую линию в пространстве, даже с помощью линейки, может привести к вопросу о том, что именно означает «построить» правильный многогранник. (Конечно, можно задать тот же вопрос и о многоугольниках.)
Английское слово "construct" имеет коннотацию систематического построения построенной вещи. Наиболее распространенный способ, представленный для построения правильного многогранника, - это с помощью развертки . Чтобы получить развертку многогранника, берут поверхность многогранника и разрезают ее вдоль ровно такого количества ребер, чтобы поверхность можно было разложить на плоскости. Это дает план развертки развернутого многогранника. Поскольку Платоновы тела имеют только треугольники, квадраты и пятиугольники в качестве граней, и все они могут быть построены с помощью линейки и циркуля, существуют методы линейки и циркуля для рисования этих разверток. То же самое относится к звездчатым многогранникам, хотя здесь мы должны быть осторожны, чтобы сделать развертку только для видимой внешней поверхности.
Если эта развертка нарисована на картоне или подобном складном материале (например, листовом металле), развертку можно вырезать, сложить вдоль неразрезанных краев, соединить вдоль соответствующих разрезанных краев и таким образом сформировать многогранник, для которого развертка была разработана. Для данного многогранника может быть много развертываемых разверток. Например, для куба их 11, а для додекаэдра — более 900000. [4]
Многочисленные детские игрушки, в основном рассчитанные на подростковый или предподростковый возраст, позволяют экспериментировать с правильными многоугольниками и многогранниками. Например, klikko предлагает наборы пластиковых треугольников, квадратов, пятиугольников и шестиугольников, которые можно соединять ребром к ребру множеством различных способов. Ребенок, играющий с такой игрушкой, может заново открыть для себя Платоновы тела (или Архимедовы тела ), особенно если ему дадут небольшое руководство знающего взрослого.
Теоретически, почти любой материал может быть использован для построения правильных многогранников. [5] Их можно вырезать из дерева, моделировать из проволоки, формировать из витражного стекла. Воображение — вот предел.
В более высоких измерениях становится сложнее сказать, что подразумевается под «конструированием» объектов. Очевидно, что в трехмерной вселенной невозможно построить физическую модель объекта, имеющего 4 или более измерений. Существует несколько подходов, которые обычно используются для решения этой проблемы.
Первый подход, подходящий для четырех измерений, использует четырехмерную стереографию. [1] Глубина в третьем измерении представлена горизонтальным относительным смещением, глубина в четвертом измерении — вертикальным относительным смещением между левым и правым изображениями стереографа.
Второй подход заключается в том, чтобы встроить многомерные объекты в трехмерное пространство, используя методы, аналогичные способам, с помощью которых трехмерные объекты рисуются на плоскости. Например, упомянутые в предыдущем разделе развертки имеют многомерные эквиваленты. [6] Можно даже представить себе построение модели этой развертки, как рисуется развертка многогранника на листе бумаги. К сожалению, мы никогда не сможем сделать необходимое сворачивание трехмерной структуры, чтобы получить четырехмерный многогранник из-за ограничений физической вселенной. Другой способ «нарисовать» многомерные формы в трех измерениях — это использовать некую проекцию, например, аналог ортографической или перспективной проекции . В знаменитой книге Коксетера о многогранниках (Coxeter 1973) есть несколько примеров таких ортографических проекций. [7] Обратите внимание, что погружение даже четырехмерных многогранников непосредственно в два измерения довольно запутанно. Более простыми для понимания являются 3-мерные модели проекций. Такие модели иногда можно найти в научных музеях или на математических факультетах университетов (например, в Университете свободного университета Брюсселя ).
Пересечение четырехмерного (или более) правильного многогранника с трехмерной гиперплоскостью будет многогранником (не обязательно правильным). Если гиперплоскость перемещается по форме, трехмерные срезы можно объединить, анимировать в своего рода четырехмерный объект, где четвертое измерение принимается за время. Таким образом, мы можем увидеть (если не полностью понять) полную четырехмерную структуру четырехмерных правильных многогранников с помощью таких разрезов. Это аналогично тому, как компьютерная томография собирает двумерные изображения для формирования трехмерного представления сканируемых органов. Идеалом была бы анимированная голограмма некоторого рода, однако даже простая анимация, такая как показанная, уже может дать некоторое ограниченное представление о структуре многогранника.
Другой способ, которым трехмерный зритель может понять структуру четырехмерного многогранника, — это «погружение» в объект, возможно, с помощью какой-либо формы технологии виртуальной реальности . Чтобы понять, как это может работать, представьте, что бы мы увидели, если бы пространство было заполнено кубами. Зритель находился бы внутри одного из кубов и мог бы видеть кубы перед собой, позади, сверху, снизу, слева и справа от себя. Если бы мы могли путешествовать в этих направлениях, мы могли бы исследовать массив кубов и получить представление о его геометрической структуре. Бесконечный массив кубов не является многогранником в традиционном смысле. Фактически, это мозаика трехмерного ( евклидова ) пространства. Однако 4-многогранник можно считать мозаикой трехмерного неевклидова пространства, а именно мозаикой поверхности четырехмерной сферы ( 4-мерной сферической мозаикой ).
Локально это пространство похоже на то, с которым мы знакомы, и поэтому система виртуальной реальности, в принципе, может быть запрограммирована на исследование этих «тесселяций», то есть 4-мерных правильных многогранников. На кафедре математики в UIUC есть ряд изображений того, что можно увидеть, если встроить тесселяцию гиперболического пространства с додекаэдрами. Такая тесселяция образует пример бесконечного абстрактного правильного многогранника.
Обычно для абстрактных правильных многогранников математик считает, что объект «сконструирован», если известна структура его группы симметрии . Это происходит из-за важной теоремы в изучении абстрактных правильных многогранников, предоставляющей метод, который позволяет построить абстрактный правильный многогранник из его группы симметрии стандартным и простым способом.
Примеры полигонов в природе см.:
Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме:
