Индуктивность

Свойства электрических проводников

Индуктивность — это тенденция электрического проводника противостоять изменению электрического тока, протекающего через него. Электрический ток создает магнитное поле вокруг проводника. Напряженность магнитного поля зависит от величины электрического тока и следует за любыми изменениями величины тока. Из закона индукции Фарадея , любое изменение магнитного поля через цепь индуцирует электродвижущую силу (ЭДС) ( напряжение ) в проводниках, процесс, известный как электромагнитная индукция . Это индуцированное напряжение, созданное изменяющимся током, имеет эффект противодействия изменению тока. Это утверждается законом Ленца , и напряжение называется обратной ЭДС .

Индуктивность определяется как отношение индуцированного напряжения к скорости изменения тока, вызывающего его. ^[1] Это константа пропорциональности, которая зависит от геометрии проводников цепи (например, площади поперечного сечения и длины) и магнитной проницаемости проводника и близлежащих материалов. ^[1] Электронный компонент, предназначенный для добавления индуктивности в цепь, называется индуктором . Обычно он состоит из катушки или спирали провода.

Термин «индуктивность» был придуман Оливером Хевисайдом в мае 1884 года как удобный способ обозначения «коэффициента самоиндукции». ^{[2] [3]} Принято использовать символ для обозначения индуктивности в честь физика Генриха Ленца . ^{[4] [5]} В системе СИ единицей измерения индуктивности является генри (Гн), что равно величине индуктивности, которая вызывает напряжение в один вольт , когда ток изменяется со скоростью один ампер в секунду. ^[6] Единица названа в честь Джозефа Генри , который открыл индуктивность независимо от Фарадея. ^[7] ${\displaystyle L}$

История

История электромагнитной индукции, аспекта электромагнетизма , началась с наблюдений древних: электрический заряд или статическое электричество (натирание шелком янтаря ) , электрический ток ( молния ) и магнитное притяжение ( магнит ). Понимание единства этих сил природы и научная теория электромагнетизма были начаты и достигнуты в 19 веке.

Электромагнитная индукция была впервые описана Майклом Фарадеем в 1831 году. ^{[8] [9]} В эксперименте Фарадея он обернул два провода вокруг противоположных сторон железного кольца. Он ожидал, что, когда ток начнет течь по одному проводу, своего рода волна будет проходить через кольцо и вызывать некоторый электрический эффект на противоположной стороне. Используя гальванометр , он наблюдал переходный ток во второй катушке провода каждый раз, когда батарея была подключена или отключена от первой катушки. ^[10] Этот ток был вызван изменением магнитного потока , которое происходило, когда батарея была подключена и отключена. ^[11] Фарадей обнаружил несколько других проявлений электромагнитной индукции. Например, он видел переходные токи, когда он быстро скользил стержневым магнитом в катушку проводов и из нее, и он генерировал постоянный ( DC ) ток, вращая медный диск около стержневого магнита с помощью скользящего электрического провода (« диск Фарадея »). ^[12]

Источник индуктивности

Ток, текущий через проводник, создает магнитное поле вокруг проводника, которое описывается законом Ампера . Полный магнитный поток через цепь равен произведению перпендикулярной составляющей плотности магнитного потока на площадь поверхности, охватывающей путь тока. Если ток изменяется, магнитный поток через цепь изменяется. По закону индукции Фарадея любое изменение потока через цепь индуцирует электродвижущую силу (ЭДС, ) в цепи, пропорциональную скорости изменения потока ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)}$$

Отрицательный знак в уравнении указывает на то, что индуцированное напряжение имеет направление, которое противодействует изменению тока, которое его создало; это называется законом Ленца . Поэтому потенциал называется обратной ЭДС . Если ток увеличивается, напряжение положительно на конце проводника, через который ток входит, и отрицательно на конце, через который он выходит, стремясь уменьшить ток. Если ток уменьшается, напряжение положительно на конце, через который ток выходит из проводника, стремясь сохранить ток. Самоиндукция, обычно называемая просто индуктивностью, представляет собой отношение между индуцированным напряжением и скоростью изменения тока. ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;}$$

Таким образом, индуктивность — это свойство проводника или цепи, обусловленное его магнитным полем, которое имеет тенденцию противостоять изменениям тока через цепь. Единицей индуктивности в системе СИ является генри (Гн), названный в честь Джозефа Генри , который представляет собой величину индуктивности, которая генерирует напряжение в один вольт , когда ток изменяется со скоростью один ампер в секунду.

Все проводники имеют некоторую индуктивность, которая может иметь как желательные, так и отрицательные эффекты в практических электрических устройствах. Индуктивность цепи зависит от геометрии пути тока и от магнитной проницаемости близлежащих материалов; ферромагнитные материалы с более высокой проницаемостью, такие как железо, вблизи проводника, как правило, увеличивают магнитное поле и индуктивность. Любое изменение цепи, которое увеличивает поток (общее магнитное поле) через цепь, создаваемое данным током, увеличивает индуктивность, поскольку индуктивность также равна отношению магнитного потока к току ^{[13] [14] [15] [16]}

$${\displaystyle L={\Phi (i) \over i}}$$

Индуктор — это электрический компонент, состоящий из проводника, форма которого позволяет увеличить магнитный поток, добавить индуктивности в цепь. Обычно он состоит из провода, смотанного в катушку или спираль . Спиральный провод имеет более высокую индуктивность, чем прямой провод той же длины, поскольку линии магнитного поля проходят через цепь несколько раз, он имеет несколько потокосцеплений . Индуктивность пропорциональна квадрату числа витков в катушке, предполагая полное потокосцепление.

Индуктивность катушки можно увеличить, поместив магнитный сердечник из ферромагнитного материала в отверстие в центре. Магнитное поле катушки намагничивает материал сердечника, выравнивая его магнитные домены , а магнитное поле сердечника добавляется к магнитному полю катушки, увеличивая поток через катушку. Это называется ферромагнитным сердечником индуктивности . Магнитный сердечник может увеличить индуктивность катушки в тысячи раз.

Если несколько электрических цепей расположены близко друг к другу, магнитное поле одной из них может проходить через другую; в этом случае цепи называются индуктивно связанными . Из-за закона индукции Фарадея изменение тока в одной цепи может вызвать изменение магнитного потока в другой цепи и, таким образом, индуцировать напряжение в другой цепи. Понятие индуктивности можно обобщить в этом случае, определив взаимную индуктивность цепи и цепи как отношение напряжения, индуцированного в цепи, к скорости изменения тока в цепи . Это принцип, лежащий в основе трансформатора . ${\displaystyle M_{k,\ell }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k}$Свойство, описывающее воздействие одного проводника на самого себя, точнее называется самоиндукцией , а свойство, описывающее воздействие одного проводника с изменяющимся током на соседние проводники, называется взаимной индуктивностью . ^[17]

Самоиндукция и магнитная энергия

Если ток через проводник с индуктивностью увеличивается, напряжение индуцируется через проводник с полярностью, которая противоположна току — в дополнение к любому падению напряжения, вызванному сопротивлением проводника. Заряды, протекающие через цепь, теряют потенциальную энергию. Энергия из внешней цепи, необходимая для преодоления этого «потенциального холма», сохраняется в увеличенном магнитном поле вокруг проводника. Таким образом, индуктор сохраняет энергию в своем магнитном поле. В любой момент времени мощность , текущая в магнитное поле, которая равна скорости изменения сохраненной энергии , является произведением тока и напряжения на проводнике ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

$${\displaystyle p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)}$$

Из (1) выше

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\[3pt]{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}}$$

Когда нет тока, нет и магнитного поля, а запасенная энергия равна нулю. Пренебрегая потерями на сопротивление, энергия ( измеряемая в джоулях , в СИ ), запасенная индуктивностью с током через нее, равна количеству работы, необходимой для установления тока через индуктивность из нуля, и, следовательно, магнитного поля. Это определяется по формуле: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$$

Если индуктивность постоянна в диапазоне тока, то запасенная энергия равна ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle L(i)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\[3pt]&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}}$$

Индуктивность, следовательно, также пропорциональна энергии, запасенной в магнитном поле для данного тока. Эта энергия запасается до тех пор, пока ток остается постоянным. Если ток уменьшается, магнитное поле уменьшается, индуцируя напряжение в проводнике в противоположном направлении, отрицательное на конце, через который ток входит, и положительное на конце, через который он выходит. Это возвращает запасенную магнитную энергию во внешнюю цепь.

Если ферромагнитные материалы расположены вблизи проводника, например, в индукторе с магнитным сердечником , уравнение постоянной индуктивности выше справедливо только для линейных областей магнитного потока, при токах ниже уровня, при котором ферромагнитный материал насыщается , где индуктивность приблизительно постоянна. Если магнитное поле в индукторе приближается к уровню, при котором сердечник насыщается, индуктивность начинает изменяться с током, и необходимо использовать интегральное уравнение.

Индуктивное сопротивление

Формы волн напряжения ( , синий) ${\displaystyle v}$ и тока ( , красный) ${\displaystyle i}$ в идеальной катушке индуктивности, к которой был приложен переменный ток. Ток отстает от напряжения на 90°

Когда синусоидальный переменный ток (AC) проходит через линейную индуктивность, индуцированная обратная ЭДС также синусоидальна. Если ток через индуктивность , из (1) выше напряжение на ней ${\displaystyle i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

где — амплитуда (пиковое значение) синусоидального тока в амперах, — угловая частота переменного тока, причем — его частота в герцах , — индуктивность. ${\displaystyle I_{\text{peak}}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

Таким образом, амплитуда (пиковое значение) напряжения на индуктивности равна

$${\displaystyle V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}}$$

Индуктивное сопротивление — это противодействие катушки индуктивности переменному току. ^[21] Оно определяется аналогично электрическому сопротивлению в резисторе, как отношение амплитуды ( пикового значения) переменного напряжения к току в компоненте

$${\displaystyle X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L}$$

Реактивное сопротивление имеет единицы измерения Ом . Можно видеть, что индуктивное реактивное сопротивление индуктора увеличивается пропорционально частоте , поэтому индуктор проводит меньше тока для заданного приложенного переменного напряжения по мере увеличения частоты. Поскольку индуцированное напряжение наибольшее, когда ток увеличивается, формы волн напряжения и тока не совпадают по фазе ; пики напряжения возникают раньше в каждом цикле, чем пики тока. Разность фаз между током и индуцированным напряжением составляет радианы или 90 градусов, показывая, что в идеальном индукторе ток отстает от напряжения на 90° . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Расчет индуктивности

В самом общем случае индуктивность можно рассчитать из уравнений Максвелла. Многие важные случаи можно решить с помощью упрощений. Если рассматриваются высокочастотные токи с учетом скин-эффекта , то поверхностные плотности тока и магнитное поле можно получить, решив уравнение Лапласа . Если проводники представляют собой тонкие провода, самоиндукция все еще зависит от радиуса провода и распределения тока в проводе. Это распределение тока приблизительно постоянно (на поверхности или в объеме провода) для радиуса провода, намного меньшего, чем другие масштабы длины.

Индуктивность прямого одиночного провода

На практике более длинные провода имеют большую индуктивность, а более толстые — меньшую, что аналогично их электрическому сопротивлению (хотя эти зависимости нелинейны и по своей природе отличаются от зависимостей длины и диаметра от сопротивления).

Отделение провода от других частей цепи вносит некоторую неизбежную ошибку в результаты любых формул. Эти индуктивности часто называют «частичными индуктивностями», отчасти для того, чтобы побудить к рассмотрению других вкладов в индуктивность всей цепи, которые опускаются.

Практические формулы

Для вывода формул ниже см. Rosa (1908). ^[22] Общая низкочастотная индуктивность (внутренняя плюс внешняя) прямого провода равна:

$${\displaystyle L_{\text{DC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]}$$

где

• ${\displaystyle L_{\text{DC}}}$- «низкочастотная» или постоянная индуктивность в наногенри (нГн или 10−9 ^Гн ),
• ${\displaystyle \ell }$длина провода в метрах,
• ${\displaystyle r}$- радиус провода в метрах (отсюда очень маленькое десятичное число),
• константа представляет собой проницаемость свободного пространства , обычно называемую , деленную на ; при отсутствии магнитореактивной изоляции значение 200 является точным при использовании классического определения μ ₀ = ${\displaystyle 200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{o}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$4π × 10−7  Гн/м и скорректировано до 7 знаков после запятой при использовании ^{переопределенного} в 2019 году значения SI μ ₀ =1,256 637 062 12 (19) × 10−6 Гн ^/  м .

Константа 0,75 — это всего лишь одно из значений параметра среди нескольких; различные диапазоны частот, различные формы или чрезвычайно большие длины проводов требуют немного другой константы (см. ниже). Этот результат основан на предположении, что радиус намного меньше длины , что является обычным случаем для проводов и стержней. Диски или толстые цилиндры имеют немного другие формулы. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

При достаточно высоких частотах скин-эффекты приводят к исчезновению внутренних токов, оставляя только токи на поверхности проводника; индуктивность для переменного тока в этом случае определяется очень похожей формулой: ${\displaystyle L_{\text{AC}}}$

$${\displaystyle L_{\text{AC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]}$$где переменные и те же, что и выше; обратите внимание на измененный постоянный член, который теперь равен 1, а не 0,75 выше. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r}$

В примере из повседневной жизни, только один из проводников шнура лампыДлина 10 м , изготовленный из провода 18  AWG , будет иметь индуктивность всего около19 мкГн , если вытянуть прямо.

Взаимная индуктивность двух параллельных прямых проводов

Следует рассмотреть два случая:

1. Ток течет в одном и том же направлении в каждом проводе, и
2. ток течет по проводам в противоположных направлениях.

Токи в проводах не обязательно должны быть равными, хотя часто они таковыми являются, как в случае полной цепи, где один провод является источником, а другой — обратным.

Взаимная индуктивность двух проводных контуров

Это обобщенный случай парадигматической двухконтурной цилиндрической катушки, переносящей однородный низкочастотный ток; контуры являются независимыми замкнутыми контурами, которые могут иметь разную длину, любую ориентацию в пространстве и переносить разные токи. Тем не менее, члены ошибки, которые не включены в интеграл, малы только в том случае, если геометрия контуров в основном гладкая и выпуклая: они не должны иметь слишком много перегибов, острых углов, катушек, кроссоверов, параллельных сегментов, вогнутых полостей или других топологически «близких» деформаций. Необходимым предикатом для сведения формулы интегрирования трехмерного многообразия к двойному криволинейному интегралу является то, что пути тока должны быть нитевидными контурами, т. е. тонкими проводами, где радиус провода пренебрежимо мал по сравнению с его длиной.

Взаимная индуктивность нитевидного контура в нитевидном контуре определяется двойной интегральной формулой Неймана ^[23] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,}$$

где

${\displaystyle C_{m}}$и представляют собой кривые, по которым следуют провода. ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \mu _{0}}$- проницаемость свободного пространства ( 4 π ×10−7 ^Гн /м )

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$небольшое увеличение длины провода в цепи C _m

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$это положение в пространстве ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$небольшое увеличение длины провода в цепи C _n

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$это положение в пространстве. ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$

Вывод

$${\displaystyle M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$$

где

• ${\displaystyle I_{j}}$это ток через й провод, этот ток создает магнитный поток через й поверхность ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$- магнитный поток через i-ю поверхность, обусловленный электрической цепью , описанной формулой : ^[24] ${\displaystyle C_{j}}$

$${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$$

где

• ${\displaystyle C_{i}}$- кривая, охватывающая поверхность ; и - любая произвольно ориентируемая область с краем ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{j}}$- вектор магнитного поля , обусловленный -ым током (цепи ). ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C_{j}}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$— векторный потенциал, обусловленный -ым током. ${\displaystyle j}$

Теорема Стокса была использована для 3-го шага равенства. Для последнего шага равенства мы использовали выражение запаздывающего потенциала для и проигнорировали эффект запаздывающего времени (предполагая, что геометрия цепей достаточно мала по сравнению с длиной волны тока, который они переносят). На самом деле это шаг приближения, и он справедлив только для локальных цепей, сделанных из тонких проводов. ${\displaystyle A_{j}}$

Самоиндукция проволочной петли

Формально самоиндукция проволочной петли будет определяться приведенным выше уравнением с Однако здесь становится бесконечным, что приводит к логарифмически расходящемуся интегралу. ^[a] Это требует учета конечного радиуса провода и распределения тока в проводе. Остается вклад интеграла по всем точкам и поправочный член, ^[25] ${\displaystyle \ m=n\ .}$ ${\displaystyle \ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\ }$$

где

${\displaystyle \ \mathbf {s} \ }$и - расстояния вдоль кривых и соответственно ${\displaystyle \ \mathbf {s} '\ }$ ${\displaystyle \ C\ }$ ${\displaystyle \ C'\ }$

${\displaystyle \ a\ }$радиус провода

${\displaystyle \ \ell \ }$длина провода

${\displaystyle \ Y\ }$— константа, зависящая от распределения тока в проводе:

${\displaystyle \ Y=0\ }$когда ток течет по поверхности провода (полный скин-эффект ),

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$когда ток равномерно распределен по сечению провода.

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\ }$— это ошибка, размер которой зависит от кривой петли:

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\ }$когда петля имеет острые углы, и

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$когда это плавная кривая.

Оба параметра малы, если длина провода больше его радиуса.

Индуктивность соленоида

Соленоид — это длинная тонкая катушка; т. е. катушка, длина которой намного больше ее диаметра. При этих условиях и без использования какого-либо магнитного материала плотность магнитного потока внутри катушки практически постоянна и определяется как ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}}$$

где - магнитная постоянная , число витков, ток и длина катушки. Игнорируя концевые эффекты, полный магнитный поток через катушку получается путем умножения плотности потока на площадь поперечного сечения : ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},}$$

Если объединить это с определением индуктивности , то получится, что индуктивность соленоида определяется по формуле: ${\displaystyle L={\frac {N\,\Phi }{i}}}$ $${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.}$$

Таким образом, для катушек с воздушным сердечником индуктивность является функцией геометрии катушки и числа витков и не зависит от тока.

Индуктивность коаксиального кабеля

Пусть внутренний проводник имеет радиус и проницаемость , пусть диэлектрик между внутренним и внешним проводником имеет проницаемость , и пусть внешний проводник имеет внутренний радиус , внешний радиус и проницаемость . Однако для типичного применения коаксиальной линии мы заинтересованы в прохождении (не постоянного тока) сигналов на частотах, для которых резистивным скин-эффектом нельзя пренебречь. В большинстве случаев члены внутреннего и внешнего проводника пренебрежимо малы, в этом случае можно аппроксимировать ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle r_{o1}}$ ${\displaystyle r_{o2}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

$${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$$

Индуктивность многослойных катушек

Большинство практичных индукторов с воздушным сердечником представляют собой многослойные цилиндрические катушки с квадратным поперечным сечением, чтобы минимизировать среднее расстояние между витками (круглое сечение было бы лучше, но его сложнее формировать).

Магнитные сердечники

Многие индукторы включают магнитный сердечник в центре или частично окружающий обмотку. В достаточно большом диапазоне они проявляют нелинейную проницаемость с эффектами, такими как магнитное насыщение . Насыщение делает результирующую индуктивность функцией приложенного тока.

Секанс или индуктивность большого сигнала используется в расчетах потока. Она определяется как:

$${\displaystyle L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$$

Дифференциальная или малосигнальная индуктивность, с другой стороны, используется при расчете напряжения. Она определяется как:

$${\displaystyle L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$$

Напряжение цепи нелинейной катушки индуктивности получается через дифференциальную индуктивность, как показано законом Фарадея и цепным правилом исчисления.

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$$

Аналогичные определения можно получить и для нелинейной взаимной индуктивности.

Взаимная индуктивность

Взаимная индуктивность определяется как отношение ЭДС, индуцированной в одном контуре или катушке, к скорости изменения тока в другом контуре или катушке. Взаимная индуктивность обозначается символом M.

Вывод взаимной индуктивности

Уравнения индуктивности выше являются следствием уравнений Максвелла . Для важного случая электрических цепей, состоящих из тонких проводов, вывод прост.

В системе проволочных контуров, каждый из которых имеет один или несколько витков провода, потокосцепление контура , , определяется выражением ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda _{m}}$ $${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$$

Здесь обозначает число витков в петле ; - магнитный поток через петлю ; и - некоторые константы, описанные ниже. Это уравнение следует из закона Ампера : магнитные поля и потоки являются линейными функциями токов . По закону индукции Фарадея имеем ${\displaystyle N_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$

$${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$$

где обозначает напряжение, индуцированное в цепи . Это согласуется с определением индуктивности выше, если коэффициенты отождествляются с коэффициентами индуктивности. Поскольку общие токи вносят вклад в него, также следует, что пропорционально произведению витков . ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$

Взаимная индукция и энергия магнитного поля

Умножение уравнения для v _m выше на i _m dt и суммирование по m дает энергию, переданную системе за интервал времени dt , $${\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$$

Это должно согласовываться с изменением энергии магнитного поля W , вызванным токами. ^[26] Условие интегрируемости

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$$

требует L _m,n  = L _n,m . Таким образом, матрица индуктивности L _m,n симметрична. Интеграл передачи энергии — это энергия магнитного поля как функция токов, $${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$$

Это уравнение также является прямым следствием линейности уравнений Максвелла. Полезно связать изменение электрических токов с нарастанием или уменьшением энергии магнитного поля. Соответствующая передача энергии требует или генерирует напряжение. Механическая аналогия в случае K  = 1 с энергией магнитного поля (1/2) Li ² представляет собой тело с массой M , скоростью u и кинетической энергией (1/2) Mu ² . Скорость изменения скорости (тока), умноженная на массу (индуктивность), требует или генерирует силу (электрическое напряжение).

Схема двух взаимно связанных индукторов. Две вертикальные линии между обмотками указывают на то, что трансформатор имеет ферромагнитный сердечник . "n:m" показывает отношение между числом витков левого индуктора к числу витков правого индуктора. На этом рисунке также показано условные обозначения точек .

Взаимная индуктивность возникает, когда изменение тока в одном индукторе индуцирует напряжение в другом близлежащем индукторе. Это важно как механизм, посредством которого работают трансформаторы , но это также может вызвать нежелательную связь между проводниками в цепи.

Взаимная индуктивность, , также является мерой связи между двумя индукторами. Взаимная индуктивность по схеме на схеме определяется двойной интегральной формулой Неймана , см. методы расчета ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Взаимная индуктивность также имеет соотношение: где $${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$$

• ${\displaystyle M_{21}}$— взаимная индуктивность, а нижний индекс указывает на зависимость напряжения, индуцированного в катушке 2 из-за тока в катушке 1.
• ${\displaystyle N_{1}}$- число витков в катушке 1,
• ${\displaystyle N_{2}}$- число витков в катушке 2,
• ${\displaystyle P_{21}}$- проницаемость пространства, занимаемого потоком.

После определения взаимной индуктивности ее можно использовать для прогнозирования поведения цепи: где ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$$

• ${\displaystyle v_{1}}$— напряжение на интересующем нас индукторе;
• ${\displaystyle L_{1}}$- индуктивность интересующего индуктора;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t}$— производная по времени тока через интересующий индуктор, обозначенная цифрой 1;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t}$— производная по времени тока через индуктор, обозначенный цифрой 2, который соединен с первым индуктором; и
• ${\displaystyle M}$это взаимная индуктивность.

Знак минус возникает из-за смысла, который ток был определен на диаграмме. При обоих определенных токах, входящих в точки, знак будет положительным (уравнение будет читаться со знаком плюс вместо этого). ^[27] ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Коэффициент связи

Коэффициент связи — это отношение фактического напряжения разомкнутой цепи к отношению, которое было бы получено, если бы весь поток был связан с одной магнитной цепью с другой. Коэффициент связи связан с взаимной индуктивностью и самоиндукцией следующим образом. Из двух одновременных уравнений, выраженных в двухпортовой матрице, отношение напряжения разомкнутой цепи определяется как:

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}}$$где

• ${\displaystyle M^{2}=M_{1}M_{2}}$

в то время как отношение, если весь поток связан, равно отношению витков, следовательно, отношение квадратного корня индуктивностей

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$$

таким образом,

$${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$$где

• ${\displaystyle k}$- коэффициент связи ,
• ${\displaystyle L_{1}}$- индуктивность первой катушки, а
• ${\displaystyle L_{2}}$индуктивность второй катушки.

Коэффициент связи — удобный способ указать связь между определенной ориентацией индукторов с произвольной индуктивностью. Большинство авторов определяют диапазон как , но некоторые ^[28] определяют его как . Допущение отрицательных значений фиксирует инверсии фаз соединений катушек и направление обмоток. ^[29] ${\displaystyle 0\leq k<1}$ ${\displaystyle -1<k<1\,}$ ${\displaystyle k}$

Матричное представление

Взаимно связанные индукторы могут быть описаны любым из представлений матрицы параметров двухпортовой сети . Наиболее прямыми являются параметры z , которые задаются как ^[30]

$${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}.}$$

Параметры y задаются как

$${\displaystyle [\mathbf {y} ]={\frac {1}{s}}{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}^{-1}.}$$ Где — комплексная частотная переменная, — индуктивности первичной и вторичной катушек соответственно, — взаимная индуктивность между катушками. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Несколько связанных индукторов

Взаимная индуктивность может быть применена к нескольким индукторам одновременно. Матричные представления для нескольких взаимно связанных индукторов приведены в ^[31] $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}&M_{12}&M_{13}&\dots &M_{1N}\\M_{12}&L_{2}&M_{23}&\dots &M_{2N}\\M_{13}&M_{23}&L_{3}&\dots &M_{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\M_{1N}&M_{2N}&M_{3N}&\dots &L_{N}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Эквивалентные схемы

Т-образная схема

Т- образная эквивалентная схема взаимно связанных индукторов

Взаимно связанные индукторы могут быть эквивалентно представлены Т-образной схемой индукторов, как показано на рисунке. Если связь сильная и индукторы имеют неравные значения, то последовательный индуктор на понижающей стороне может принять отрицательное значение. ^[32]

Это можно проанализировать как двухпортовую сеть. С выходом, нагруженным некоторым произвольным импедансом , коэффициент усиления напряжения определяется как, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{v}}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}$$

где - константа связи, а - комплексная переменная частоты , как указано выше. Для сильно связанных индукторов, где это сводится к ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}$$

которое не зависит от сопротивления нагрузки. Если индукторы намотаны на один и тот же сердечник и имеют одинаковую геометрию, то это выражение равно соотношению витков двух индукторов, поскольку индуктивность пропорциональна квадрату соотношения витков.

Входное сопротивление сети определяется по формуле:

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}$$

Ибо это сводится к ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}$$

Таким образом, усиление тока не является независимым от нагрузки, если не выполняется дополнительное условие ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}$$

выполняется, в этом случае,

$${\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}$$

и

$${\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}$$

π-контур

π эквивалентная схема связанных индукторов

В качестве альтернативы, два связанных индуктора могут быть смоделированы с использованием эквивалентной схемы π с дополнительными идеальными трансформаторами на каждом порту. Хотя схема сложнее, чем Т-образная схема, ее можно обобщить ^[33] на схемы, состоящие из более чем двух связанных индукторов. Эквивалентные элементы схемы имеют физический смысл, моделируя соответственно магнитные сопротивления путей связи и магнитные сопротивления путей утечки . Например, электрические токи, протекающие через эти элементы, соответствуют магнитным потокам связи и утечки . Идеальные трансформаторы нормализуют все самоиндукции до 1 Генри для упрощения математических формул. ${\displaystyle L_{\text{s}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$

Значения эквивалентных элементов схемы можно рассчитать из коэффициентов связи с помощью $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\[3pt]L_{P_{i}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}}$$

где матрица коэффициентов связи и ее сомножители определяются как

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad }$и ${\displaystyle \quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.}$

Для двух связанных индукторов эти формулы упрощаются до

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad }$и ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,}$

и для трех связанных индукторов (для краткости показано только для и ) ${\displaystyle L_{\text{s12}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p1}}}$

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad }$и ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}$

Резонансный трансформатор

Когда конденсатор подключен к одной обмотке трансформатора, делая обмотку настроенным контуром (резонансным контуром), он называется трансформатором с одной настройкой. Когда конденсатор подключен к каждой обмотке, он называется трансформатором с двойной настройкой . Эти резонансные трансформаторы могут хранить колебательную электрическую энергию, аналогичную резонансному контуру , и, таким образом, функционировать как полосовой фильтр , позволяя частотам, близким к их резонансной частоте, проходить от первичной к вторичной обмотке, но блокируя другие частоты. Величина взаимной индуктивности между двумя обмотками вместе с добротностью контура определяют форму кривой частотной характеристики. Преимущество трансформатора с двойной настройкой заключается в том, что он может иметь более широкую полосу пропускания, чем простая настроенная схема. Связь двухнастроенных схем описывается как слабосвязанная, критически- или чрезмерно связанная в зависимости от значения коэффициента связи . Когда две настроенные схемы слабо связаны через взаимную индуктивность, полоса пропускания узкая. По мере увеличения величины взаимной индуктивности полоса пропускания продолжает расти. Когда взаимная индуктивность увеличивается сверх критической связи, пик на кривой частотной характеристики разделяется на два пика, и по мере увеличения связи два пика отдаляются друг от друга. Это известно как пересвязь. ${\displaystyle k}$

Сильно связанные саморезонансные катушки могут использоваться для беспроводной передачи энергии между устройствами на средних расстояниях (до двух метров). ^[34] Сильная связь необходима для высокого процента передаваемой энергии, что приводит к пиковому расщеплению частотной характеристики. ^{[35] [36]}

Идеальные трансформеры

Когда , индуктор называют тесно связанным. Если вдобавок самоиндукции стремятся к бесконечности, индуктор становится идеальным трансформатором . В этом случае напряжения, токи и число витков могут быть связаны следующим образом: ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}}$$где

• ${\displaystyle V_{\text{s}}}$напряжение на вторичной катушке индуктивности,
• ${\displaystyle V_{\text{p}}}$это напряжение на первичной катушке индуктивности (той, которая подключена к источнику питания),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$- число витков во вторичной катушке индуктивности, а
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$— число витков первичной обмотки индуктора.

Наоборот, ток:

$${\displaystyle I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}}$$где

• ${\displaystyle I_{\text{s}}}$ток через вторичный индуктор,
• ${\displaystyle I_{\text{p}}}$ток через первичную катушку индуктивности (подключенную к источнику питания),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$- число витков во вторичной катушке индуктивности, а
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$— число витков первичной обмотки индуктора.

Мощность через один индуктор такая же, как и мощность через другой. Эти уравнения не учитывают никаких силовых воздействий со стороны источников тока или напряжения.

Самоиндукция тонких проволочных фигур

В таблице ниже приведены формулы для самоиндукции различных простых форм, изготовленных из тонких цилиндрических проводников (проволок). В общем случае они точны только в том случае, если радиус проволоки намного меньше размеров формы и если поблизости нет ферромагнитных материалов (нет магнитного сердечника ). ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Y}$приблизительно постоянная величина между 0 и 1, которая зависит от распределения тока в проводе: когда ток течет только по поверхности провода (полный скин-эффект ), когда ток равномерно распределен по поперечному сечению провода ( постоянный ток ). Для круглых проводов Роза (1908) дает формулу, эквивалентную: ^[22] ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle Y=1}$

$${\displaystyle Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}}$$

где

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$— угловая частота, в радианах в секунду;
• ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}}$- чистая магнитная проницаемость провода;
• ${\displaystyle \sigma }$- удельная проводимость провода; и
• ${\displaystyle a}$радиус провода.

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$представляет собой небольшой член(ы), которые были исключены из формулы, чтобы сделать ее проще. Читайте этот член как "плюс небольшие поправки, которые изменяются в порядке " (см. обозначение большого O ). ${\displaystyle {}+{\mathcal {O}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Электромагнитная индукция
• Гиратор
• Гидравлическая аналогия
• Индуктивность рассеяния
• Схема LC , Схема RLC , Схема RL
• Кинетическая индуктивность

Сноски

1. Интеграл называется «логарифмически расходящимся», потому что при , следовательно, он стремится к бесконечности, как логарифм, аргумент которого стремится к бесконечности. ${\displaystyle \ \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln(x)\ }$ ${\displaystyle \ x>0\ }$

Ссылки

1. Serway, A. Raymond; Jewett, John W.; Wilson, Jane; Wilson, Anna; Rowlands, Wayne (2017). "Индуктивность". Физика для мировых ученых и инженеров (2-е изд.). Cengage AU. стр. 901. ISBN 9780170355520.
2. Бейкер, Эдвард Сесил (1976). Сэр Уильям Прис, FRS: Викторианский инженер выдающийся . Хатчинсон. стр. 204. ISBN 9780091266103..
3. Хевисайд, Оливер (1894). «Индукция токов в сердечниках». Electrical Papers, т. 1. Лондон: Macmillan. стр. 354.
4. Элерт, Гленн. "The Physics Hypertextbook: Inductance" . Получено 30 июля 2016 г. .
5. Дэвидсон, Майкл У. (1995–2008). «Молекулярные выражения: электричество и магнетизм. Введение: индуктивность».
6. Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0, стр. 160
7. «Краткая история электромагнетизма» (PDF) .
8. Ulaby, Fawwaz (2007). Основы прикладной электродинамики (5-е изд.). Pearson / Prentice Hall. стр. 255. ISBN 978-0-13-241326-8.
9. "Джозеф Генри". Галерея выдающихся членов, Национальная академия наук . Архивировано из оригинала 2013-12-13 . Получено 2006-11-30 .
10. Пирс Уильямс, Л. (1971). Майкл Фарадей: Биография . Саймон и Шустер. стр. 182–183. ISBN 9780671209292.
11. Джанколи, Дуглас К. (1998). Физика: принципы и приложения (Пятое изд.). С. 623–624.
12. Пирс Уильямс, Л. (1971). Майкл Фарадей: Биография . Саймон и Шустер. стр. 191–195. ISBN 9780671209292.
13. Сингх, Ядувир (2011). Теория электромагнитного поля. Pearson Education India. стр. 65. ISBN 978-8131760611.
14. Wadhwa, CL (2005). Электроэнергетические системы. New Age International. стр. 18. ISBN 8122417221.
15. Pelcovits, Robert A.; Farkas, Josh (2007). Barron's AP Physics C. Образовательная серия Barron's. стр. 646. ISBN 978-0764137105.
16. Перселл, Эдвард М.; Морин, Дэвид Дж. (2013). Электричество и магнетизм. Cambridge Univ. Press. стр. 364. ISBN 978-1107014022.
17. Сирс и Земански 1964:743
18. Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2012). Principles of Physics: A Calculus-Based Text, 5th Ed. Cengage Learning. стр. 801–802. ISBN 978-1133104261.
19. Ida, Nathan (2007). Engineering Electromagnetics, 2nd Ed. Springer Science and Business Media. стр. 572. ISBN 978-0387201566.
20. Purcell, Edward (2011). Электричество и магнетизм, 2-е изд. Cambridge University Press. стр. 285. ISBN 978-1139503556.
21. Гейтс, Эрл Д. (2001). Введение в электронику. Cengage Learning. стр. 153. ISBN 0766816982.
22. Rosa, EB (1908). "Собственная и взаимная индуктивность линейных проводников". Бюллетень Бюро стандартов . 4 (2). Бюро стандартов США : 301 и далее. doi : 10.6028/bulletin.088 .
23. Нойманн, FE (1846). «Allgemeine Gesetze der inducirten elektrischen Ströme» [Общие правила для индуцированных электрических токов]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). 143 (1). Уайли: 31–44. Бибкод : 1846АнП...143...31Н. дои : 10.1002/andp.18461430103. ISSN  0003-3804.
24. Джексон, Дж. Д. (1975). Классическая электродинамика . Wiley. С. 176, 263. ISBN 9780471431329.
25. Денглер, Р. (2016). «Самоиндукция проволочной петли как криволинейный интеграл». Advanced Electromagnetics . 5 (1): 1–8. arXiv : 1204.1486 . ​​Bibcode : 2016AdEl....5....1D. doi : 10.7716/aem.v5i1.331. S2CID  53583557.
26. Кинетическая энергия дрейфующих электронов на много порядков меньше W, за исключением нанопроводов.
27. Нахви, Махмуд; Эдминистер, Джозеф (2002). Очерк Шаума по теории и проблемам электрических цепей. McGraw-Hill Professional. стр. 338. ISBN 0-07-139307-2.
28. Тиерауф, Стивен С. (2004). Целостность сигнала высокоскоростной печатной платы . Artech House. стр. 56. ISBN 1580538460.
29. Ким, Сок; Ким, Шин-Э; Юнг, Гоеун; Квон, Ки-Вон; Чун, Юнг-Хун (2009). «Проектирование надежного широкополосного ввода-вывода с использованием T-катушки». JSTS:журнал полупроводниковых технологий и науки . 9 (4): 198–204. doi :10.5573/JSTS.2009.9.4.198. S2CID  56413251.
30. Аатре, Васудев К. (1981). Теория сетей и проектирование фильтров. США, Канада, Латинская Америка и Ближний Восток: John Wiley & Sons. стр. 71, 72. ISBN 0-470-26934-0.
31. Чуа, Леон О.; Десоер, Чарльз А.; Кух, Эрнест С. (1987). Линейные и нелинейные цепи. McGraw-Hill, Inc. стр. 459. ISBN 0-07-100685-0.
32. Эслами, Мансур (24 мая 2005 г.). Основы анализа цепей. Чикаго, Иллинойс, США: Agile Press. п. 194. ИСБН 0-9718239-5-2.
33. Радецкий, Анджей; Юань, Юйсян; Миура, Нориюки; Айкава, Иори; Возьми, Ясухиро; Исикуро, Хироки; Курода, Тадахиро (2012). «Одновременная передача данных со скоростью 6 Гбит / с и мощностью 10 мВт с использованием вложенных катушек клевера для бесконтактной карты памяти». Журнал IEEE твердотельных схем . 47 (10): 2484–2495. Бибкод : 2012IJSSC..47.2484R. дои :10.1109/JSSC.2012.2204545. S2CID  29266328.
34. Курс, А.; Каралис, А.; Моффатт, Р.; Джоаннопулос, Дж. Д.; Фишер, П.; Сольячич, М. (6 июля 2007 г.). «Беспроводная передача энергии посредством сильно связанных магнитных резонансов». Science . 317 (5834): 83–86. Bibcode :2007Sci...317...83K. CiteSeerX 10.1.1.418.9645 . doi :10.1126/science.1143254. PMID  17556549. S2CID  17105396. 
35. Сэмпл, Алансон П.; Мейер, ДА; Смит, Дж. Р. (2011). «Анализ, экспериментальные результаты и адаптация диапазона магнитно-связанных резонаторов для беспроводной передачи энергии». Труды IEEE по промышленной электронике . 58 (2): 544–554. doi :10.1109/TIE.2010.2046002. S2CID  14721.
36. Рендон-Эрнандес, Адриан А.; Халим, Миа А.; Смит, Спенсер Э.; Арнольд, Дэвид П. (2022). «Магнитносвязанные микроэлектромеханические резонаторы для беспроводной передачи энергии на низких частотах». 2022 IEEE 35-я Международная конференция по микроэлектромеханическим системам (MEMS) . стр. 648–651. doi :10.1109/MEMS51670.2022.9699458. ISBN 978-1-6654-0911-7. S2CID  246753151.
37. Уилер, HA (1942). «Формулы для эффекта кожи». Труды IRE . 30 (9): 412–424. doi :10.1109/JRPROC.1942.232015. S2CID  51630416.
38. Уилер, HA (1928). «Простые формулы индуктивности для радиокатушек». Труды IRE . 16 (10): 1398–1400. doi :10.1109/JRPROC.1928.221309. S2CID  51638679.
39. Эллиотт, Р. С. (1993). Электромагнетизм . Нью-Йорк: IEEE Press.Примечание: Опубликованная константа −3 ⁄ 2 в результате для равномерного распределения тока неверна.
40. Гровер, Фредерик В. (1946). Расчеты индуктивности: Рабочие формулы и таблицы . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.

Общие ссылки

• Фредерик В. Гровер (1952). Расчеты индуктивности . Dover Publications, Нью-Йорк.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Вангснесс, Роальд К. (1986). Электромагнитные поля (2-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-81186-6.
• Хьюз, Эдвард. (2002). Электрические и электронные технологии (8-е изд.) . Prentice Hall. ISBN 0-582-40519-X.
• Купфмюллер К. , Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
• Хевисайд О., Электротехническая документация. Том 1. – Л.; Нью-Йорк: Макмиллан, 1892, с. 429-560.
• Фриц Лэнгфорд-Смит , редактор (1953). Справочник конструктора радиотронов , 4-е издание, Amalgamated Wireless Valve Company Pty., Ltd. Глава 10, «Расчет индуктивности» (стр. 429–448), включает в себя множество формул и номограмм для катушек, соленоидов и взаимной индуктивности.
• Ф. У. Сирс и М. У. Земански, 1964 г. Университетская физика: третье издание (полный том) , Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading MA, LCCC 63-15265 (ISBN отсутствует).

Внешние ссылки

• Лаборатория автомобильной электроники Клемсона: Калькулятор индуктивности