пространство Соболева

Векторные пространства функций в математике

В математике пространство Соболева — это векторное пространство функций, снабженное нормой , которая является комбинацией L ^p -норм функции вместе с ее производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабом смысле , чтобы сделать пространство полным , т. е. банаховым пространством . Интуитивно пространство Соболева — это пространство функций, обладающее достаточным количеством производных для некоторой области применения, такой как уравнения в частных производных , и снабженное нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.

Пространства Соболева названы в честь русского математика Сергея Соболева . Их важность обусловлена ​​тем фактом, что слабые решения некоторых важных уравнений в частных производных существуют в соответствующих пространствах Соболева, даже когда нет сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными , понимаемыми в классическом смысле.

Мотивация

В этом разделе и на протяжении всей статьи представлено открытое подмножество ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Существует множество критериев гладкости математических функций . Самым основным критерием может быть критерий непрерывности . Более сильным понятием гладкости является понятие дифференцируемости ( потому что дифференцируемые функции также непрерывны), а еще более сильным понятием гладкости является то, что производная также должна быть непрерывной (эти функции называются функциями класса — см. Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, и в частности для дифференциальных уравнений . Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство (или и т. д.) не совсем подходящее пространство для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств, в которых можно искать решения уравнений с частными производными. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются в терминах интегральных норм. Типичным примером является измерение энергии распределения температуры или скорости с помощью -нормы . Поэтому важно разработать инструмент для дифференцирования функций пространства Лебега . ${\displaystyle L^{2}}$

Формула интегрирования по частям дает, что для любого , где — натуральное число , и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,}$

где — мультииндекс порядка , и мы используем обозначение: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |=k}$

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Левая часть этого уравнения все еще имеет смысл, если мы только предполагаем, что она локально интегрируема . Если существует локально интегрируемая функция , такая, что ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,v\;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

то мы называем слабой -й частной производной от . Если существует слабая -я частная производная от , то она однозначно определена почти всюду , и, таким образом, она однозначно определена как элемент пространства Лебега . С другой стороны, если , то классическая и слабая производная совпадают. Таким образом, если является слабой -й частной производной от , мы можем обозначить ее как . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$

Например, функция

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

не является непрерывной в нуле и не дифференцируемой в точках −1, 0 или 1. Однако функция

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

удовлетворяет определению слабой производной , которая затем квалифицируется как находящаяся в пространстве Соболева (для любого разрешенного , см. определение ниже). ${\displaystyle u(x),}$ ${\displaystyle W^{1,p}}$ ${\displaystyle p}$

Пространства Соболева объединяют концепции слабой дифференцируемости и норм Лебега . ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

Пространства Соболева с целыми числамик

Одномерный случай

В одномерном случае пространство Соболева для определяется как подмножество функций из , таких что и его слабые производные вплоть до порядка имеют конечную норму L p . Как упоминалось выше, необходимо проявлять осторожность, чтобы определить производные в собственном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что -я производная дифференцируема почти всюду и почти всюду равна интегралу Лебега своей производной (это исключает нерелевантные примеры, такие как функция Кантора ). ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k{-}1)}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}}$

При таком определении пространства Соболева допускают естественную норму ,

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Это можно распространить на случай , при этом норма будет определена с использованием существенного супремума ${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

Снабженное нормой становится банаховым пространством . Оказывается, достаточно взять только первое и последнее в последовательности, т.е. норму, определяемую ${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

эквивалентна норме, приведённой выше (т.е. индуцированные топологии норм одинаковы).

Делор = 2

Пространства Соболева с p = 2 особенно важны из-за их связи с рядами Фурье и потому, что они образуют гильбертово пространство . Для покрытия этого случая возникла специальная нотация, поскольку пространство является гильбертовым пространством:

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

Пространство может быть естественным образом определено в терминах рядов Фурье, коэффициенты которых убывают достаточно быстро, а именно, ${\displaystyle H^{k}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},}$

где — ряд Фурье и обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.}$

Оба представления легко следуют из теоремы Парсеваля и того факта, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на . ${\displaystyle in}$

Более того, пространство допускает внутренний продукт , как и пространство Фактически, внутренний продукт определяется в терминах внутреннего продукта: ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle H^{0}=L^{2}.}$ ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.}$

Пространство становится гильбертовым пространством с этим внутренним произведением. ${\displaystyle H^{k}}$

Другие примеры

В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, — это пространство абсолютно непрерывных функций на (0, 1) (или, скорее, классов эквивалентности функций, которые почти всюду равны таковым), тогда как — это пространство ограниченных липшицевых функций на I , для каждого интервала I . Однако эти свойства теряются или не столь просты для функций более чем одной переменной. ${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$ ${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$

Все пространства являются (нормированными) алгебрами , т.е. произведение двух элементов снова является функцией этого пространства Соболева, что не так для (например, функции, ведущие себя как | x | ^−1/3 в начале координат, входят в , но произведение двух таких функций не входит в ). ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{2},}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Многомерный случай

Переход к многомерности приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование, чтобы быть интегралом от не обобщает, и простейшее решение — рассматривать производные в смысле теории распределений . ${\displaystyle f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

Формальное определение теперь следует. Пусть Пространство Соболева определяется как множество всех функций на таких, что для каждого мультииндекса со смешанной частной производной ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

существует в слабом смысле и находится в то есть ${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

То есть пространство Соболева определяется как ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

Натуральное число называется порядком пространства Соболева. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

Существует несколько вариантов нормы. Следующие два варианта являются общими и эквивалентны в смысле эквивалентности норм : ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

Относительно любой из этих норм является банаховым пространством. Для также является сепарабельным пространством . Принято обозначать через для , так как это гильбертово пространство с нормой . ^[1] ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$

Аппроксимация гладкими функциями

Работать с пространствами Соболева, полагаясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно узнать, что по теореме Мейерса–Серрина функция может быть аппроксимирована гладкими функциями . Этот факт часто позволяет нам переносить свойства гладких функций на функции Соболева. Если конечно и открыто, то для любого существует аппроксимирующая последовательность функций такая, что: ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.}$

Если имеет границу Липшица , мы можем даже предположить, что являются ограничением гладких функций с компактным носителем на всех ^[2] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Примеры

В более высоких измерениях уже не верно, что, например, содержит только непрерывные функции. Например, где — единичный шар в трех измерениях. Для пространство будет содержать только непрерывные функции, но для которого это уже верно, зависит как от , так и от размерности. Например, как можно легко проверить с помощью сферических полярных координат для функции, определенной на n -мерном шаре, мы имеем: ${\displaystyle W^{1,1}}$ ${\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$ ${\displaystyle k>n/p}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.}$

Интуитивно понятно, что увеличение f в точке 0 «имеет меньший вес», когда n велико, поскольку в более высоких измерениях единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри».

Абсолютно непрерывная на линиях (ACL) характеристика функций Соболева

Пусть Если функция находится в , то, возможно, после модификации функции на множестве меры нуль, ограничение на почти каждую прямую, параллельную направлениям координат в , абсолютно непрерывно ; более того, классическая производная вдоль прямых, параллельных направлениям координат, находится в Обратно, если ограничение на почти каждую прямую, параллельную направлениям координат, абсолютно непрерывно, то поточечный градиент существует почти всюду , и находится в при условии В частности, в этом случае слабые частные производные и поточечные частные производные совпадают почти всюду. Характеристика ACL пространств Соболева была установлена ​​Отто М. Никодимом (1933); см. (Мазья 2011, §1.1.3). ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Более сильный результат имеет место, когда функция в является, после модификации на множестве меры нуль, непрерывной по Гёльдеру экспоненты по неравенству Морри . В частности, если и имеет границу Липшица, то функция является непрерывной по Липшицу . ${\displaystyle p>n.}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle \Omega }$

Функции, исчезающие на границе

Пространство Соболева также обозначается как Это гильбертово пространство с важным подпространством, определяемым как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Норма Соболева, определенная выше, сводится здесь к ${\displaystyle W^{1,2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.}$

Когда имеет регулярную границу, может быть описано как пространство функций из , которые обращаются в нуль на границе, в смысле следов (см. ниже). Когда если - ограниченный интервал, то состоит из непрерывных функций на вида ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Omega =(a,b)}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}$

где обобщенная производная находится в и имеет нулевой интеграл, так что ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle f(b)=f(a)=0.}$

Когда ограничено, неравенство Пуанкаре утверждает, что существует константа такая, что: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C=C(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

При ограничении инъекция из в компактна . Этот факт играет роль в изучении задачи Дирихле , а также в том, что существует ортонормированный базис из , состоящий из собственных векторов оператора Лапласа (с граничным условием Дирихле ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Следы

Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений с частными производными. Необходимо рассмотреть граничные значения функций Соболева. Если , то эти граничные значения описываются ограничением Однако неясно, как описать значения на границе для , поскольку n -мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема ^[2] решает эту проблему: ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$ ${\displaystyle u|_{\partial \Omega }.}$ ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega ),}$

Теорема о следе  —  Предположим, что Ω ограничено липшицевой границей . Тогда существует ограниченный линейный оператор такой, что ${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}}$$

Tu называется следом u . Грубо говоря, эта теорема расширяет оператор ограничения на пространство Соболева для хорошо себя ведущих Ω. Заметим, что оператор следа T в общем случае не сюръективен, но при 1 < p < ∞ он непрерывно отображается на пространство Соболева–Слободецкого ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}$

Интуитивно, взятие следа стоит 1/ p производной. Функции u в W ^1,p (Ω) с нулевым следом, т.е. Tu  = 0, можно охарактеризовать равенством

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},}$

где

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

Другими словами, для Ω, ограниченной липшицевой границей, функции со следом-нулем в могут быть аппроксимированы гладкими функциями с компактным носителем. ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

Пространства Соболева с нецелыми числамик

Потенциальные пространства Бесселя

Для натурального числа k и 1 < p < ∞ можно показать (используя множители Фурье ^{[3] [4]} ), что пространство можно эквивалентно определить как ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}$

с нормой

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k на любое действительное число s . Полученные пространства

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

называются потенциальными пространствами Бесселя ^[5] (названными в честь Фридриха Бесселя ). Они являются банаховыми пространствами в общем случае и гильбертовыми пространствами в частном случае p = 2.

Для — это множество ограничений функций из на Ω, снабженное нормой ${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.}$

Опять же, H ^s,p (Ω) является банаховым пространством, а в случае p = 2 — гильбертовым пространством.

Используя теоремы расширения для пространств Соболева, можно показать, что также W ^k,p (Ω) = H ^k,p (Ω) выполняется в смысле эквивалентных норм, если Ω — область с равномерной C ^k -границей, k — натуральное число и 1 < p < ∞ . По вложениям

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

Потенциальные пространства Бесселя образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева . С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя возникают как комплексные интерполяционные пространства пространств Соболева, т.е. в смысле эквивалентных норм справедливо следующее: ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

где:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

Пространства Соболева–Слободецкого

Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка возникает из идеи обобщить условие Гёльдера на L ^p -множество. ^[6] Для и полунорма Слободецкого (примерно аналогичная полунорме Гёльдера) определяется как ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Пусть s > 0 не является целым числом и задано . Используя ту же идею, что и для пространств Гельдера , пространство Соболева–Слободецкого ^[7] определяется как ${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

Это банахово пространство для нормы

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

Если является надлежащим образом регулярным в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то пространства Соболева–Слободецкого также образуют шкалу банаховых пространств, т.е. имеют место непрерывные инъекции или вложения ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

Существуют примеры нерегулярных Ω, таких, что не является даже векторным подпространством для 0 < s < 1 (см. пример 9.1 из ^[8] ). ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

С абстрактной точки зрения пространства совпадают с действительными интерполяционными пространствами пространств Соболева, т.е. в смысле эквивалентных норм имеет место следующее: ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .}$

Пространства Соболева–Слободецкого играют важную роль в изучении следов функций Соболева. Они являются частными случаями пространств Бесова . ^[4]

Константа, возникающая при характеристике дробного пространства Соболева, может быть охарактеризована с помощью формулы Бургейна-Брезиса-Миронеску: ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle \lim _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy={\frac {2\pi ^{\frac {n-1}{2}}\Gamma ({\frac {p+1}{2}})}{p\Gamma ({\frac {p+n}{2}})}}\int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p};}$

и состояние

${\displaystyle \limsup _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy<\infty }$

характеризует те функции, которые находятся в пространстве Соболева первого порядка . ^[9] ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

Операторы расширения

Если — область , граница которой не ведет себя слишком плохо (например, если ее граница является многообразием или удовлетворяет более разрешительному « условию конуса »), то существует оператор A , отображающий функции из в функции из , такой, что: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) для почти каждого x в и ${\displaystyle \Omega }$
2. ${\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$непрерывна для любого 1 ≤ p ≤ ∞ и целого числа k .

Мы будем называть такой оператор A оператором расширения для ${\displaystyle \Omega .}$

Случайп= 2

Операторы расширения являются наиболее естественным способом определения для нецелых s (мы не можем работать напрямую , так как преобразование Фурье является глобальной операцией). Мы определяем, говоря, что тогда и только тогда, когда Эквивалентно, комплексная интерполяция дает те же пространства, пока имеет оператор расширения. Если не имеет оператора расширения, комплексная интерполяция является единственным способом получить пространства . ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

В результате интерполяционное неравенство по-прежнему сохраняется.

Расширение на ноль

Как и выше, мы определяем быть замыканием в пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Учитывая определение следа выше, мы можем сформулировать следующее ${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

Теорема  —  Пусть будет равномерно C ^m регулярным, m ≥ s и пусть P будет линейным отображением, переводящим u в , где d/dn — производная, нормальная к G , а k — наибольшее целое число, меньшее s . Тогда — это в точности ядро ​​P . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ $${\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}}$$ ${\displaystyle H_{0}^{s}}$

Если мы можем определить его расширение нулем естественным образом, а именно ${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

Теорема  —  Пусть отображение непрерывно в тогда и только тогда, когда s не имеет вида для целого числа n . ${\displaystyle s>{\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle u\mapsto {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}}}$

Для f ∈ L ^p (Ω) его расширение нулем,

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

является элементом Кроме того, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

В случае пространства Соболева W ^1,p (Ω) при 1 ≤ p ≤ ∞ расширение функции u нулем не обязательно даст элемент из Но если Ω ограничено липшицевой границей (например, ∂Ω есть C ¹ ), то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т.е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор ^[2] ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

такой, что для каждого а.е. на Ω, Eu имеет компактный носитель внутри O, и существует константа C, зависящая только от p , Ω, O и размерности n , такая, что ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Мы называем расширением to ${\displaystyle Eu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Вложения Соболева

Возникает естественный вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или хотя бы непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточно много слабых производных (т.е. большое k ) приводят к классической производной. Эта идея обобщается и уточняется в теореме вложения Соболева .

Запишем для пространства Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности n . Здесь k может быть любым действительным числом, а 1 ≤  p  ≤ ∞. (При p  = ∞ пространство Соболева определяется как пространство Гельдера C ^{n ,α} , где k  =  n  + α и 0 < α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если и то ${\displaystyle W^{k,p}}$ ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle k\geqslant m}$ ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}$

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

и вложение непрерывно. Более того, если и то вложение полностью непрерывно (это иногда называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха–Кондрахова ). Функции из имеют все производные порядка меньше m непрерывны, так что, в частности, это дает условия на пространства Соболева для того, чтобы различные производные были непрерывны. Неформально эти вложения говорят, что преобразование оценки L ^p в оценку ограниченности стоит 1/ p производных на измерение. ${\displaystyle k>m}$ ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}}$ ${\displaystyle W^{m,\infty }}$

Существуют похожие вариации теоремы вложения для некомпактных многообразий, например (Stein 1970). Вложения Соболева на , которые не являются компактными, часто имеют связанное, но более слабое свойство кокомпактности . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Смотрите также

• Соболевское картирование
• Соучек пространство
• пространство Бесова
• Пространство Трибеля–Лизоркина

Примечания

1. Эванс 2010, Глава 5.2
2. Адамс и Фурнье 2003
3. Берг и Лёфстрём 1976
4. Triebel 1995
5. Потенциальные пространства Бесселя с переменной интегрируемостью были независимо введены Алмейдой и Самко (A. Almeida и S. Samko, "Characterization of Riesz and Bessel potentials on variable Lebesgue spaces ", J. Function Spaces Appl. 4 (2006), № 2, 113–144) и Гуркой, Харьюлехто и Неквиндой (P. Gurka, P. Harjulehto и A. Nekvinda: "Bessel potential spaces with variable exponent", Math. Inequal. Appl. 10 (2007), № 3, 661–676).
6. Лунарди 1995
7. В литературе дробные пространства типа Соболева также называются пространствами Ароншайна , пространствами Гальярдо или пространствами Слободецкого , по именам математиков, которые ввели их в 1950-х годах: Н. Ароншайн («Граничные значения функций с конечным интегралом Дирихле », Techn. Report of Univ. of Kansas 14 (1955), 77–94), Э. Гальярдо («Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili», Ricerche Mat. 7 (1958), 102–137) и Л. Н. Слободецкий («Обобщенные пространства Соболева и их приложения к граничным задачам уравнений с частными производными», Ленинград. Гос. пед. ин-т. уч. зап. 197 (1958), 54–112).
8. Ди Нецца, Элеонора; Палатуччи, Джампьеро; Вальдиночи, Энрико (1 июля 2012 г.). «Автостопом по дробным пространствам Соболева». Бюллетень математических наук . 136 (5): 521–573. arXiv : 1104.4345 . doi : 10.1016/j.bulsci.2011.12.004 . ISSN  0007-4497.
9. Бургейн, Жан ; Брезис, Хаим ; Миронеску, Петру (2001). «Еще один взгляд на пространства Соболева». В Menaldi, Хосе Луис (ред.). Оптимальное управление и уравнения с частными производными. В честь 60-летия профессора Алена Бенсуссана. Труды конференции, Париж, Франция, 4 декабря 2000 г. Амстердам: IOS Press; Токио: Ohmsha. стр. 439–455. ISBN 978-1-58603-096-4.

Ссылки

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон (2003) [1975]. Пространства Соболева . Чистая и прикладная математика. Т. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-044143-3..
• Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ многообразий. Уравнения Монжа-Ампера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], вып. 252, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN. 978-0-387-90704-8, МР  0681859.
• Берг, Йоран; Лёфстрём, Йорген (1976), Интерполяционные пространства, Введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 223, Springer-Verlag, стр. X + 207, ISBN. 978-7-5062-6011-4, MR  0482275, Zbl  0344.46071
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998]. Уравнения с частными производными . Аспирантура по математике . Т. 19 (2-е изд.). Американское математическое общество. стр. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.
• Леони, Джованни (2009). Первый курс по пространствам Соболева . Аспирантура по математике . Том 105. Американское математическое общество. стр. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8. MR  2527916. Zbl  1180.46001.
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Springer Series in Soviet Mathematics, Берлин–Гейдельберг–Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xix+486, doi :10.1007/978-3-662-09922-3, ISBN 0-387-13589-8, MR  0817985, Zbl  0692.46023
• Мазья, Владимир Г.; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции на плохих доменах, Сингапур–Нью-Джерси–Лондон–Гонконг: World Scientific , стр. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR  1643072, Zbl  0918.46033.
• Мазья, Владимир Георгиевич (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям в частных производных, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xxviii+866, doi : 10.1007/978-3-642-15564-2, ISBN 978-3-642-15563-5, MR  2777530, Zbl  1217.46002.
• Лунарди, Алессандра (1995), Аналитические полугруппы и оптимальная регулярность в параболических задачах , Базель: Birkhäuser Verlag.
• Никодим, Отто (1933), «Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet», Fund. Математика. , 21 : 129–150, doi : 10.4064/fm-21-1-129-150.
• Никольский, С.М. (2001) [1994], "Теоремы вложения", Энциклопедия математики , Издательство EMS.
• Никольский, СМ (2001) [1994], "Пространство Соболева", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Соболев, С.Л. (1963), «О теореме функционального анализа», Eleven Papers on Analysis , American Mathematical Society Translations: Series 2, vol. 34, pp. 39–68, doi :10.1090/trans2/034/02, ISBN 9780821817346; перевод Мат. сб., 4 (1938) стр. 471–497.
• Соболев, С.Л. (1963), Некоторые приложения функционального анализа в математической физике , Amer. Math. Soc..
• Стайн, Э. (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Princeton Univ. Press, ISBN 0-691-08079-8.
• Трибель, Х. (1995), Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы , Гейдельберг: Иоганн Амброзиус Барт.
• Цимер, Уильям П. (1989), Слабо дифференцируемые функции , Graduate Texts in Mathematics, т. 120, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1015-3, hdl : 10338.dmlcz/143849 , ISBN 978-0-387-97017-2, МР  1014685.

Внешние ссылки

• Элеонора Ди Нецца, Джампьеро Палатуччи, Энрико Вальдиночи (2011). «Автостопом по дробным пространствам Соболева».