Связь Леви-Чивита

Аффинная связность на касательном расслоении многообразия

В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, в лоренцевой геометрии общей теории относительности ) связность Леви-Чивиты является единственной аффинной связностью на касательном расслоении многообразия ( т.е. аффинной связностью ), которая сохраняет ( псевдо ) риманову метрику и не имеет кручения .

Основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует единственная связь, удовлетворяющая этим свойствам.

В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для связности Леви-Чивиты. Компоненты (структурные коэффициенты) этой связности относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .

История

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя изначально была «открыта» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита, ^[1] вместе с Грегорио Риччи-Курбастро , использовали символы Кристоффеля ^[2], чтобы определить понятие параллельного переноса и исследовать связь параллельного переноса с кривизной , тем самым развив современное понятие голономии . ^[3]

В 1869 году Кристоффель открыл, что компоненты внутренней производной векторного поля при изменении системы координат преобразуются как компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа.

В 1906 году Л. Э. Брауэр был первым математиком, который рассмотрел параллельный перенос вектора для случая пространства постоянной кривизны . ^{[4] [5]}

В 1917 году Леви-Чивита указал на его важность для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство , т. е. для случая риманова многообразия, вложенного в «большее» окружающее пространство. ^[1] Он интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как тангенциальную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве. Понятия Леви-Чивита внутренней производной и параллельного смещения вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, хотя исходная мотивация опиралась на конкретное вложение ${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

В 1918 году, независимо от Леви-Чивиты, Ян Арнольдус Схоутен получил аналогичные результаты. ^[6] В том же году Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивиты. ^{[7] [8]}

Обозначение

• ( M , g ) обозначает псевдориманово многообразие .
• TM — касательное расслоениеM.​
• g — псевдориманова метрикаM.​
• X , Y , Z — гладкие векторные поля на M , т.е.гладкие сечения TM .
• [ X , Y ] — скобка Ли X и Y. Это снова гладкое векторное поле.

Метрика g может принимать до двух векторов или векторных полей X , Y в качестве аргументов. В первом случае выходом является число, (псевдо-) скалярное произведение X и Y . Во втором случае скалярное произведение X _p , Y _p берется во всех точках p на многообразии, так что g ( X , Y ) определяет гладкую функцию на M . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В локальных координатах действие читается как ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}$

где используется правило суммирования Эйнштейна .

Формальное определение

Аффинная связность называется связностью Леви-Чивиты, если ${\displaystyle \nabla }$

1. он сохраняет метрику , т.е. . ${\displaystyle \nabla g=0}$
2. оно не имеет кручения , т.е. для любых векторных полей и имеем , где — скобка Ли векторных полей и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, см. текст До Кармо. ^[9]

Основная теорема (псевдо-)римановой геометрии

Теорема Каждое псевдориманово многообразие имеет единственную связность Леви-Чивиты . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \nabla }$

Доказательство : ^{[10] [11]} Чтобы доказать единственность, раскройте определение действия связи на тензорах, чтобы найти

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$.

Следовательно, можно записать условие, сохраняющее метрику, как ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$.

По симметрии , ${\displaystyle g}$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)}$.

В силу отсутствия кручения правая часть, следовательно, равна

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)}$.

Таким образом, формула Кошуля

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}}$

имеет место. Следовательно, если существует связь Леви-Чивита, она должна быть уникальной, поскольку является произвольной, невырожденной и правая часть не зависит от . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla }$

Чтобы доказать существование, отметим, что для заданного векторного поля и правая часть выражения Кошуля линейна по гладким функциям в векторном поле , а не просто вещественно-линейна. Следовательно, из-за невырожденности правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое предположительно обозначается как в левой части. Подставляя формулу Кошуля, теперь проверяем, что для всех векторных полей и всех функций , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

Следовательно, выражение Кошуля фактически определяет связность, и эта связность совместима с метрикой и не имеет кручения, т.е. является связностью Леви-Чивиты.

С небольшими изменениями это же доказательство показывает, что существует единственная связь, совместимая с метрикой и имеющая предписанное кручение.

символы Кристоффеля

Пусть — аффинная связность на касательном расслоении. Выберем локальные координаты с координатными базисными векторными полями и запишем для . Символы Кристоффеля относительно этих координат определяются как ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$ ${\displaystyle \nabla _{j}}$ ${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь в координатной окрестности, поскольку ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}}$

то есть,

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

Аффинная связь совместима с метрикой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

т.е., если и только если

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

Аффинная связность ∇ не имеет кручения тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}$

т.е., если и только если

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

симметричен по двум нижним индексам.

Как можно проверить, взяв за , координатные векторные поля (или вычислив напрямую), выражение Кошуля для связи Леви-Чивиты, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

где, как обычно, — коэффициенты дуального метрического тензора, т.е. элементы обратной матрицы . ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{kl}}$

Производная вдоль кривой

Связность Леви-Чивиты ( как и любая аффинная связность) также определяет производную вдоль кривых , иногда обозначаемую D.

Для гладкой кривой γ на ( M , g ) и векторного поля V вдоль γ ее производная определяется как

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

Формально D — это связность обратного притяжения γ *∇ на расслоении обратного притяжения γ * TM .

В частности, является векторным полем вдоль самой кривой γ . Если обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально условие можно переформулировать как обращение в нуль связности pullback, примененной к : ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$

Если ковариантная производная представляет собой связность Леви-Чивиты некоторой метрики, то геодезические для этой связности — это в точности те геодезические метрики , которые параметризованы пропорционально длине их дуги.

Параллельный транспорт

В общем случае параллельный перенос вдоль кривой относительно связи определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если связь является связью Леви-Чивиты, то эти изоморфизмы ортогональны , то есть они сохраняют внутренние произведения на различных касательных пространствах.

На рисунках ниже показан параллельный перенос, вызванный связностью Леви-Чивиты, связанный с двумя различными римановыми метриками на проколотой плоскости . Кривая, вдоль которой осуществляется параллельный перенос, является единичной окружностью. В полярных координатах метрика слева является стандартной евклидовой метрикой , а метрика справа — . Первая метрика распространяется на всю плоскость, но вторая метрика имеет особенность в начале координат: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}$

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$.

Параллельные переносы на проколотой плоскости в связях Леви-Чивита

Предупреждение: Это параллельный перенос на проколотой плоскости вдоль единичной окружности, а не параллельный перенос на единичной окружности. Действительно, на первом изображении векторы выходят за пределы касательного пространства к единичной окружности.

Пример: единичная сфера в R3

Пусть ⟨, ⟩ — обычное скалярное произведение на R ³ . Пусть S ² — единичная сфера в R ³ . Касательное пространство к S ² в точке m естественным образом отождествляется с векторным подпространством R ^{3 ,} состоящим из всех векторов, ортогональных m . Отсюда следует, что векторное поле Y на S ² можно рассматривать как отображение Y  : S ² → R ³ , которое удовлетворяет ${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

Обозначим через d _m Y дифференциал отображения Y в точке m . Тогда имеем:

Лемма  —  Формула определяет аффинную связность на S2 с нулевым кручением ^. $${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$$

Доказательство

Несложно доказать, что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и является C ^∞ ( S ² ) линейным по первой переменной. Также несложно вычислить, чтобы показать, что эта связь не имеет кручения. Поэтому все, что нужно здесь доказать, это то, что приведенная выше формула создает векторное поле, касательное к S ² . То есть, нам нужно доказать, что для всех m в S ² Рассмотрим отображение f , которое переводит каждое m в S ² в ⟨ Y ( m ), m ⟩ , что всегда равно 0. Отображение f является постоянным, поэтому его дифференциал равен нулю. В частности, уравнение (1) выше следует. ЧТЭ $${\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}$$ $${\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.}$$

Фактически, эта связь является связью Леви-Чивиты для метрики на S ^{2 ,} унаследованной от R ³ . Действительно, можно проверить, что эта связь сохраняет метрику.

Поведение при конформном масштабировании

Если метрика в конформном классе заменяется конформно перемасштабированной метрикой того же класса , то связность Леви-Чивиты преобразуется согласно правилу ^[12] где - градиентное векторное поле т.е. векторное поле -двойственное к , в локальных координатах, заданных как . Действительно, тривиально проверить, что не имеет кручения. Для проверки метричности предположим, что является константой. В этом случае, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}$ $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).}$$ ${\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d\gamma }$ ${\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {\nabla }}}$ ${\displaystyle g(Y,Y)}$ $${\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}$$

В качестве приложения снова рассмотрим единичную сферу, но на этот раз в стереографической проекции , так что метрика (в комплексных координатах Фубини–Штуди ) равна: Это показывает метрику сферы как конформно плоскую, с евклидовой метрикой , причем . Имеем , и поэтому С евклидовым градиентом имеем Эти соотношения вместе с их комплексно сопряженными определяют символы Кристоффеля для двумерной сферы. ${\displaystyle z,{\bar {z}}}$ $${\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}$$ ${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$ ${\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}$ ${\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}$ $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.}$$ ${\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})}$ $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}$$

Смотрите также

• Связь Вайтценбёка

Примечания

1. Леви-Чивита, Туллио (1917). «Nozione di Paralelismo in una varietà qualunque» [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке). 42 : 173–205. дои : 10.1007/BF03014898. ЖФМ  46.1125.02. S2CID  122088291.
2. Кристоффель, Элвин Б. (1869). «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades». Журнал для королевы и математики . 1869 (70): 46–70. дои : 10.1515/crll.1869.70.46. S2CID  122999847.
3. См. Спивак, Майкл (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том II) . Publish or Perish Press. стр. 238. ISBN 0-914098-71-3.
4. Брауэр, LEJ (1906). «Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген . 15 : 75–94.
5. Брауэр, LEJ (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств отрицательной кривизны». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Слушания . 9 : 116–133. Бибкод : 1906KNAB....9..116B.
6. Схоутен, Ян Арнольдус (1918). «Die Directe Analysis zur neueren Relativiteitstheorie». Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . 12 (6): 95.
7. Вейль, Герман (1918). «Гравитация и электризитат». Sitzungsberichte Berliner Akademie : 465–480.
8. Вейль, Герман (1918). «Бесконечно-малая геометрия Рейне». Mathematische Zeitschrift . 2 (3–4): 384–411. Бибкод : 1918MatZ....2..384W. дои : 10.1007/bf01199420. S2CID  186232500.
9. Карму, Манфредо Пердиган-ду (1992). Риманова геометрия. Фрэнсис Дж. Флаэрти. Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-3490-8. OCLC  24667701.
10. Джон М. Ли (2018). Введение в римановы многообразия . Springer-Verlag. стр. 22.
11. Барретт О'Нил (1983). Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности . Academic Press. стр. 61.
12. Артур Бесс (1987). Многообразия Эйнштейна . Springer. стр. 58.

Ссылки

• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-470-49647-9.См. Том I, стр. 158.

Внешние ссылки

• «Связь Леви-Чивиты», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: Связь Леви-Чивиты
• PlanetMath: Связь Леви-Чивита
• Соединение Леви-Чивита в Manifold Atlas