Вращательная симметрия , также известная как радиальная симметрия в геометрии , — это свойство, которым обладает форма, когда она выглядит одинаково после некоторого вращения путем частичного поворота. Степень вращательной симметрии объекта — это количество различных ориентаций, в которых он выглядит совершенно одинаково при каждом повороте.
Некоторые геометрические объекты частично симметричны при повороте на определенные углы, например квадраты, повернутые на 90 °, однако единственными геометрическими объектами, которые полностью вращательно симметричны под любым углом, являются сферы, круги и другие сфероиды . [1] [2]
Формально вращательная симметрия — это симметрия относительно некоторых или всех вращений в m -мерном евклидовом пространстве . Вращения — это прямые изометрии , т. е. изометрии, сохраняющие ориентацию . Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой E + ( m ) (см. Евклидова группа ).
Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает трансляционную симметрию относительно всех перемещений, поэтому пространство однородно, а группа симметрии представляет собой всю E ( m ) . С модифицированным понятием симметрии векторных полей группа симметрии также может быть E + ( m ) .
Для симметрии относительно вращения вокруг точки мы можем принять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу SO( m ) , группу ортогональных матриц размера m × m с определителем 1. Для m = 3 это группа вращений SO(3) .
В другом определении слова группа вращения объекта — это группа симметрии внутри E + ( n ) , группы прямых изометрий ; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для киральных объектов это то же самое, что и группа полной симметрии.
Законы физики SO(3)-инвариантны , если они не различают разные направления в пространстве. Согласно теореме Нётер , вращательная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения углового момента .
Вращательная симметрия порядка n , также называемая n -кратной вращательной симметрией , или дискретная вращательная симметрия n - го порядка по отношению к конкретной точке (в 2D) или оси (в 3D) означает, что поворот на угол (180°). , 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3 / 7 ° и т. д.) не меняет объект. «1-кратная» симметрия не является симметрией (все объекты выглядят одинаково после поворота на 360 °).
Обозначение n - кратной симметрии — Cn или просто n . Фактическая группа симметрии определяется точкой или осью симметрии вместе с n . Для каждой точки или оси симметрии типом абстрактной группы является циклическая группа порядка n , Zn . Хотя для последнего также используется обозначение C n , следует различать геометрическое и абстрактное C n : существуют другие группы симметрии того же типа абстрактной группы, которые геометрически различаются, см. циклические группы симметрии в 3D .
Фундаментальная область – это сектор
Примеры без дополнительной симметрии отражения :
C n — группа вращения правильного n -стороннего многоугольника в 2D и правильной n -сторонней пирамиды в 3D.
Если существует, например, вращательная симметрия относительно угла 100°, то также и относительно угла 20°, наибольшего общего делителя 100° и 360°.
Типичный трехмерный объект с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но без зеркальной симметрии, — это пропеллер .
Для дискретной симметрии с несколькими осями симметрии, проходящими через одну и ту же точку, существуют следующие возможности:
В случае Платоновых тел оси 2-го порядка проходят через середины противоположных ребер, и их количество составляет половину количества ребер. Остальные оси проходят через противоположные вершины и центры противоположных граней, за исключением тетраэдра, где оси 3-го порядка проходят каждая через одну вершину и центр одной грани.
Вращательная симметрия относительно любого угла в двух измерениях является круговой симметрией . Основная область — это полупрямая .
В трех измерениях мы можем различать цилиндрическую симметрию и сферическую симметрию (без изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть нет зависимости от угла при использовании цилиндрических координат и нет зависимости от любого угла при использовании сферических координат . Фундаментальная область представляет собой полуплоскость, проходящую через ось, и радиальную полулинию соответственно. Осесимметричный и осесимметричный — это прилагательные , которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию или осесимметрию (т. е. вращательную симметрию относительно центральной оси), например пончик ( тор ). Примером приближенной сферической симметрии является Земля (по плотности и другим физическим и химическим свойствам).
В 4D непрерывная или дискретная вращательная симметрия относительно плоскости соответствует соответствующей 2D вращательной симметрии в каждой перпендикулярной плоскости относительно точки пересечения. Объект также может иметь вращательную симметрию относительно двух перпендикулярных плоскостей, например, если он является декартовым произведением двух двумерных фигур вращательной симметрии, как, например, в случае дуоцилиндра и различных правильных дуопризм .
2-кратная вращательная симметрия вместе с одинарной трансляционной симметрией является одной из групп фриза . В каждой примитивной ячейке имеется два ротоцентра [ необходимо определение ] .
Вместе с двойной трансляционной симметрией группы вращения представляют собой следующие группы обоев с осями на примитивную ячейку:
Масштабирование решетки делит количество точек на единицу площади на квадрат масштабного коэффициента. Следовательно, число 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на примитивную клетку равно 4, 3, 2 и 1 соответственно, включая 4-кратный как частный случай 2-кратности и т. д.
3-кратная вращательная симметрия в одной точке и 2-кратная вращательная симметрия в другой (или то же самое в 3D относительно параллельных осей) подразумевает группу вращения p6, т.е. двойную трансляционную симметрию и 6-кратную вращательную симметрию в некоторой точке (или, в 3D, параллельная ось). Расстояние перевода для симметрии, создаваемой одной такой парой ротоцентров, умножается на их расстояние.
СМИ, связанные с вращательной симметрией, на Викискладе?
