Свертка

Интеграл, выражающий величину перекрытия одной функции при ее сдвиге относительно другой

Визуальное сравнение свертки, кросс-корреляции и автокорреляции . Для операций с функцией и при условии, что высота равна 1,0, значение результата в 5 различных точках обозначено затененной областью под каждой точкой. Симметрия является причиной и в этом примере они идентичны. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle g*f}$

В математике (в частности, в функциональном анализе ) свертка — это математическая операция над двумя функциями ( и ), которая производит третью функцию ( ). Термин свертка относится как к результирующей функции, так и к процессу ее вычисления. Он определяется как интеграл произведения двух функций после того, как одна из них отражена относительно оси y и сдвинута. Интеграл вычисляется для всех значений сдвига, создавая функцию свертки. Выбор того, какая функция отражается и сдвигается перед интегралом, не меняет интегральный результат (см. коммутативность). Графически он выражает, как «форма» одной функции изменяется другой. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g}$

Некоторые особенности свертки аналогичны кросс-корреляции : для вещественных функций непрерывной или дискретной переменной свертка ( ) отличается от кросс-корреляции ( ) только тем, что либо или отражается относительно оси y в свертке; таким образом, это кросс-корреляция и , или и . ^[A]  Для комплекснозначных функций оператор кросс-корреляции является сопряженным к оператору свертки. ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(-x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(-x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Свёртка имеет приложения, которые включают вероятность , статистику , акустику , спектроскопию , обработку сигналов и изображений , геофизику , инженерию , физику , компьютерное зрение и дифференциальные уравнения . ^[1]

Свертку можно определить для функций на евклидовом пространстве и других группах (как алгебраические структуры ). ^{[ требуется ссылка ]} Например, периодические функции , такие как дискретное преобразование Фурье , можно определить на окружности и свернуть с помощью периодической свертки . (См. строку 18 в DTFT § Свойства .) Дискретная свертка может быть определена для функций на множестве целых чисел .

Обобщения свертки применяются в области численного анализа и числовой линейной алгебры , а также в разработке и реализации фильтров с конечной импульсной характеристикой в ​​обработке сигналов. ^{[ необходима ссылка ]}

Вычисление операции, обратной свёртке, называется деконволюцией .

Определение

Свертка и записывается , обозначая оператор символом . ^[B] Она определяется как интеграл произведения двух функций после того, как одна из них отражена относительно оси y и сдвинута. Таким образом, это особый вид интегрального преобразования : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}$

Эквивалентное определение (см. коммутативность):

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .}$

Хотя символ используется выше, он не обязательно должен представлять временную область. При каждом формула свертки может быть описана как площадь под функцией, взвешенная функцией, смещенной на величину . По мере изменения весовая функция подчеркивает различные части входной функции ; Если — положительное значение, то равно тому , что скользит или смещено вдоль оси -вправо (в сторону ) на величину , в то время как если — отрицательное значение, то равно тому , что скользит или смещено влево (в сторону ) на величину . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(\tau )}$ ${\displaystyle g(-\tau )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t-\tau )}$ ${\displaystyle f(\tau )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t-\tau )}$ ${\displaystyle g(-\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g(t-\tau )}$ ${\displaystyle g(-\tau )}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle |t|}$

Для функций , поддерживаемых только (т. е. ноль для отрицательных аргументов), пределы интегрирования могут быть усечены, что приводит к: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .}$

Многомерную формулировку свертки см. в разделе «Область определения» (ниже).

Обозначение

Общепринятое инженерное обозначение выглядит следующим образом: ^[2]

${\displaystyle f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},}$

что должно быть интерпретировано осторожно, чтобы избежать путаницы. Например, эквивалентно , но на самом деле эквивалентно . ^[3] ${\displaystyle f(t)*g(t-t_{0})}$ ${\displaystyle (f*g)(t-t_{0})}$ ${\displaystyle f(t-t_{0})*g(t-t_{0})}$ ${\displaystyle (f*g)(t-2t_{0})}$

Отношения с другими трансформами

Даны две функции и двусторонние преобразования Лапласа (двустороннее преобразование Лапласа) ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u}$

и

${\displaystyle G(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v}$

соответственно, операция свертки может быть определена как обратное преобразование Лапласа произведения и . ^{[4] [5]} Точнее, ${\displaystyle (f*g)(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s(u+v)}\ f(u)\ g(v)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}v\end{aligned}}}$

Пусть такой, что ${\displaystyle t=u+v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\ f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u} _{(f*g)(t)}\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}(f*g)(t)\ {\text{d}}t\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что — двустороннее преобразование Лапласа . Аналогичный вывод можно сделать с помощью одностороннего преобразования Лапласа (одностороннего преобразования Лапласа). ${\displaystyle F(s)\cdot G(s)}$ ${\displaystyle (f*g)(t)}$

Операция свертки также описывает выход (в терминах входа) важного класса операций, известных как линейные инвариантные во времени (LTI). См. теорию систем LTI для вывода свертки как результата ограничений LTI. В терминах преобразований Фурье входа и выхода операции LTI новые частотные компоненты не создаются. Существующие только изменяются (амплитуда и/или фаза). Другими словами, выходное преобразование является точечным произведением входного преобразования с третьим преобразованием (известным как передаточная функция ). См. теорему о свертке для вывода этого свойства свертки. И наоборот, свертку можно вывести как обратное преобразование Фурье точечного произведения двух преобразований Фурье.

Визуальное объяснение

Исторические события

Одно из самых ранних применений интеграла свертки появилось в выводе теоремы Тейлора Даламбером в работе «Исследования важных различий систем мира», опубликованной в 1754 году. ^[6]

Также выражение типа:

${\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}$

используется Сильвестром Франсуа Лакруа на странице 505 его книги под названием «Трактат о разностях и рядах» , которая является последним из 3 томов энциклопедической серии: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, Париж, 1797–1800. ^[7] Вскоре после этого операции свертки появляются в работах Пьера Симона Лапласа , Жана-Батиста Жозефа Фурье , Симеона Дени Пуассона и других. Сам термин не получил широкого распространения до 1950-х или 1960-х годов. До этого его иногда называли Faltung (что на немецком означает складывание ), произведение композиции , интеграл суперпозиции и интеграл Карсона . [ ^8] Тем не менее, он появляется еще в 1903 году, хотя определение довольно незнакомо в более старых использованиях. ^{[9] [10]}

Операция:

${\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,}$

является частным случаем произведений, рассмотренных итальянским математиком Вито Вольтеррой в 1913 году. ^[11]

Круговая свертка

Если функция периодическая, с периодом , то для функций, , таких, что существует, свертка также периодическая и идентична: ${\displaystyle g_{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f*g_{T}}$

${\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}$

где - произвольный выбор. Суммирование называется периодическим суммированием функции . ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Когда представляет собой периодическую сумму другой функции, , то это известно как круговая или циклическая свертка и . ${\displaystyle g_{T}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f*g_{T}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

А если периодическое суммирование выше заменить на , то операция называется периодической сверткой и . ${\displaystyle f_{T}}$ ${\displaystyle f_{T}}$ ${\displaystyle g_{T}}$

Дискретная свертка

Дискретная 2D-анимация свертки

Для комплекснозначных функций и определенных на множестве целых чисел дискретная свертка и задается выражением: ^[12] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],}$

или эквивалентно (см. коммутативность):

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].}$

Свертка двух конечных последовательностей определяется путем расширения последовательностей до функций с конечным носителем на множестве целых чисел. Когда последовательности являются коэффициентами двух полиномов , то коэффициенты обычного произведения двух полиномов являются сверткой исходных двух последовательностей. Это известно как произведение Коши коэффициентов последовательностей.

Таким образом, когда g имеет конечную поддержку в наборе (представляя, например, конечную импульсную реакцию ), можно использовать конечное суммирование: ^[13] ${\displaystyle \{-M,-M+1,\dots ,M-1,M\}}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].}$

Круговая дискретная свертка

Если функция периодическая, с периодом , то для функций, таких что существует , свертка также периодическая и идентична : ${\displaystyle g_{_{N}}}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f*g_{_{N}}}$

${\displaystyle (f*g_{_{N}})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{_{N}}[n-m].}$

Суммирование по называется периодическим суммированием функции ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f.}$

Если — периодическая сумма другой функции, то она называется круговой сверткой и ${\displaystyle g_{_{N}}}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f*g_{_{N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Когда ненулевые длительности обоих и ограничены интервалом, сводится к этим общим формам : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,N-1],}$  ${\displaystyle f*g_{_{N}}}$

Обозначение циклической свертки обозначает свертку по циклической группе целых чисел по модулю N. ${\displaystyle f*_{N}g}$

Круговая свертка чаще всего возникает в контексте быстрой свертки с алгоритмом быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Алгоритмы быстрой свертки

Во многих ситуациях дискретные свертки можно преобразовать в круговые свертки, чтобы можно было использовать быстрые преобразования со свойством свертки для реализации вычислений. Например, свертка последовательностей цифр является основной операцией при умножении многозначных чисел, которая, следовательно, может быть эффективно реализована с помощью методов преобразования (Knuth 1997, §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003, §8.2).

Уравнение 1 требует N арифметических операций на выходное значение и N ² операций для N выходов. Это можно значительно сократить с помощью любого из нескольких быстрых алгоритмов. Цифровая обработка сигналов и другие приложения обычно используют быстрые алгоритмы свертки, чтобы снизить стоимость свертки до сложности O( N log N ).

Наиболее распространенные алгоритмы быстрой свертки используют алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) с помощью теоремы о круговой свертке . В частности, круговая свертка двух последовательностей конечной длины находится путем взятия БПФ каждой последовательности, поточечного умножения и последующего выполнения обратного БПФ. Свертки определенного выше типа затем эффективно реализуются с использованием этой техники в сочетании с нулевым расширением и/или отбрасыванием частей выходных данных. Другие алгоритмы быстрой свертки, такие как алгоритм Шёнхаге–Штрассена или преобразование Мерсенна, ^[14] используют быстрые преобразования Фурье в других кольцах . Метод Винограда используется в качестве альтернативы БПФ. ^[15] Он значительно ускоряет 1D, ^[16] 2D, ^[17] и 3D ^[18] свертку.

Если одна последовательность намного длиннее другой, нулевое расширение более короткой последовательности и быстрая круговая свертка не являются наиболее эффективным вычислительно методом из доступных. ^[19] Вместо этого разложение более длинной последовательности на блоки и свертывание каждого блока позволяет использовать более быстрые алгоритмы, такие как метод перекрытия-сохранения и метод перекрытия-сложения . ^[20] Гибридный метод свертки, который объединяет блочные и КИХ -алгоритмы, позволяет добиться нулевой задержки ввода-вывода, что полезно для вычислений свертки в реальном времени. ^[21]

Область определения

Свертка двух комплекснозначных функций на R ^d сама по себе является комплекснозначной функцией на R ^d , определяемой следующим образом:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,}$

и хорошо определено только если f и g достаточно быстро затухают на бесконечности, чтобы существовал интеграл. Условия существования свертки могут быть сложными, поскольку взрыв в g на бесконечности может быть легко компенсирован достаточно быстрым затуханием в f . Таким образом, вопрос существования может включать различные условия на f и g :

Компактно поддерживаемые функции

Если f и g — непрерывные функции с компактным носителем , то их свертка существует, а также является компактной и непрерывной (Hörmander 1983, Глава 1). В более общем случае, если одна из функций (скажем, f ) имеет компактный носитель, а другая локально интегрируема , то свертка f ∗ g является хорошо определенной и непрерывной.

Свертка функций f и g также хорошо определена, когда обе функции локально квадратично интегрируемы на R и поддерживаются на интервале вида [ a , +∞) (или обе поддерживаются на [−∞, a ] ).

Интегрируемые функции

Свертка f и g существует, если f и g являются интегрируемыми по Лебегу функциями в L ¹ ( R ^d ) , и в этом случае f ∗ g также интегрируема (Stein & Weiss 1971, теорема 1.3). Это является следствием теоремы Тонелли . Это также верно для функций в L ¹ при дискретной свертке или, в более общем смысле, для свертки на любой группе.

Аналогично, если f ∈ L ¹ ( R ^d ) и   g ∈ L ^p ( R ^d ), где 1 ≤ p ≤ ∞ , то   f * g ∈ L ^p ( R ^d ) и

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$

В частном случае p = 1 это показывает, что L ¹ является банаховой алгеброй относительно свертки (и равенство двух сторон имеет место, если f и g неотрицательны почти всюду).

В более общем смысле неравенство Юнга подразумевает, что свертка является непрерывным билинейным отображением между подходящими пространствами L ^p . В частности, если 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ удовлетворяют:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,}$

затем

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q},}$

так что свертка является непрерывным билинейным отображением из L ^p × L ^q в L ^r . Неравенство Юнга для свертки также верно в других контекстах (группа окружности, свертка на Z ). Предыдущее неравенство не является точным на вещественной прямой: когда 1 < p , q , r < ∞ , существует константа B _{p , q} < 1 такая, что:

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q}.}$

Оптимальное значение B _{p , q} было обнаружено в 1975 году ^[22] и независимо в 1976 году ^[23] , см. неравенство Браскампа–Либа .

Более сильная оценка верна при условии 1 < p , q , r < ∞ :

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}}$

где — слабая норма L q . Свертка также определяет билинейное непрерывное отображение для , благодаря слабому неравенству Юнга: ^[24] ${\displaystyle \|g\|_{q,w}}$ ${\displaystyle L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}}$ ${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$

${\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.}$

Функции быстрого распада

В дополнение к функциям с компактным носителем и интегрируемым функциям, функции, которые имеют достаточно быстрое убывание на бесконечности, также могут быть свернуты. Важной особенностью свертки является то, что если f и g обе быстро убывают, то f ∗ g также быстро убывает. В частности, если f и g являются быстро убывающими функциями , то таковой является и свертка f ∗ g . В сочетании с тем фактом, что свертка коммутирует с дифференцированием (см. #Свойства), следует, что класс функций Шварца замкнут относительно свертки (Stein & Weiss 1971, теорема 3.3).

Распределения

Если f — гладкая функция с компактным носителем , а g — распределение, то f ∗ g — гладкая функция, определяемая соотношением

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy=(f*g)(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}).}$

В более общем смысле, можно расширить определение свертки уникальным образом с помощью того же, что и f выше, так что ассоциативный закон ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi }$

остается справедливым в случае, когда f — распределение, а g — распределение с компактным носителем (Хёрмандер, 1983, §4.2).

Меры

Свертка любых двух борелевских мер μ и ν ограниченной вариации — это мера, определяемая формулой (Рудин, 1962) ${\displaystyle \mu *\nu }$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu )(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y).}$

В частности,

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}}1_{A}(x+y)\,d(\mu \times \nu )(x,y),}$

где — измеримое множество, а — индикаторная функция . ${\displaystyle A\subset \mathbf {R} ^{d}}$ ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Это согласуется со сверткой, определенной выше, когда μ и ν рассматриваются как распределения, а также со сверткой функций L1, ^когда μ и ν абсолютно непрерывны относительно меры Лебега.

Свертка мер также удовлетворяет следующей версии неравенства Юнга:

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

где норма — это полная вариация меры. Поскольку пространство мер ограниченной вариации является банаховым пространством , свертку мер можно обрабатывать стандартными методами функционального анализа , которые могут не применяться для свертки распределений.

Характеристики

Алгебраические свойства

Свертка определяет произведение на линейном пространстве интегрируемых функций. Это произведение удовлетворяет следующим алгебраическим свойствам, которые формально означают, что пространство интегрируемых функций с произведением, заданным сверткой, является коммутативной ассоциативной алгеброй без тождества (Strichartz 1994, §3.3). Другие линейные пространства функций, такие как пространство непрерывных функций с компактным носителем, замкнуты относительно свертки и, таким образом, также образуют коммутативные ассоциативные алгебры.

Коммутативность

$${\displaystyle f*g=g*f}$$Доказательство: По определению: Изменяем переменную интегрирования, чтобы получить следующий результат. $${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$$ ${\displaystyle u=t-\tau }$

Ассоциативность

$${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$$Доказательство: Это следует из использования теоремы Фубини (т.е. двойные интегралы можно вычислять как повторные интегралы в любом порядке).

Распределяемость

$${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$$Доказательство: Это следует из линейности интеграла.

Ассоциативность со скалярным умножением

$${\displaystyle a(f*g)=(af)*g}$$для любого действительного (или комплексного) числа . ${\displaystyle a}$

Мультипликативная идентичность

Ни одна алгебра функций не обладает тождеством для свертки. Отсутствие тождества обычно не является серьезным неудобством, поскольку большинство наборов функций, над которыми выполняется свертка, можно свернуть с дельта-распределением (унитарным импульсом с центром в нуле) или, по крайней мере (как в случае L ¹ ), допускать приближения к тождеству . Линейное пространство распределений с компактным носителем, однако, допускает тождество при свертке. В частности, где δ — дельта-распределение. $${\displaystyle f*\delta =f}$$

Обратный элемент

Некоторые распределения S имеют обратный элемент S ⁻¹ для свертки, который затем должен удовлетворять , из которого может быть получена явная формула для S ⁻¹ . $${\displaystyle S^{-1}*S=\delta }$$

Множество обратимых распределений образует абелеву группу относительно свертки.

Комплексное сопряжение

$${\displaystyle {\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}}$$

Обращение времени

Если     тогда   ${\displaystyle q(t)=r(t)*s(t),}$ ${\displaystyle q(-t)=r(-t)*s(-t).}$

Доказательство (с использованием теоремы о свертке ):

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)}$

${\displaystyle q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}}$

Связь с дифференциацией

$${\displaystyle (f*g)'=f'*g=f*g'}$$Доказательство:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}}$

Связь с интеграцией

Если и тогда ${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}$ ${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}$ $${\displaystyle (F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .}$$

Интеграция

Если f и g — интегрируемые функции, то интеграл их свертки по всему пространству просто получается как произведение их интегралов: ^[25]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).}$

Это следует из теоремы Фубини . Тот же результат имеет место, если f и g предполагаются только неотрицательными измеримыми функциями, по теореме Тонелли .

Дифференциация

В случае с одной переменной

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}}$

где — производная . В более общем случае, в случае функций нескольких переменных, аналогичная формула справедлива и для частной производной : ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.}$

Конкретным следствием этого является то, что свертку можно рассматривать как операцию «сглаживания»: свертка f и g дифференцируема столько раз, сколько f и g в общей сложности.

Эти тождества выполняются, например, при условии, что f и g абсолютно интегрируемы и по крайней мере один из них имеет абсолютно интегрируемую (L ¹ ) слабую производную, как следствие неравенства свертки Юнга . Например, когда f непрерывно дифференцируема с компактным носителем, а g — произвольная локально интегрируемая функция,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.}$

Эти тождества также имеют место в более широком смысле в смысле умеренных распределений, если одно из f или g является быстро убывающим умеренным распределением , компактным умеренным распределением или функцией Шварца, а другое является умеренным распределением. С другой стороны, две положительные интегрируемые и бесконечно дифференцируемые функции могут иметь нигде не непрерывную свертку.

В дискретном случае оператор разности D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) удовлетворяет аналогичному соотношению:

${\displaystyle D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).}$

Теорема о свертке

Теорема о свертке утверждает, что ^[26]

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

где обозначает преобразование Фурье . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$ ${\displaystyle f}$

Свертка в других типах преобразований

Версии этой теоремы справедливы также для преобразования Лапласа , двустороннего преобразования Лапласа , Z-преобразования и преобразования Меллина .

Свертка матриц

Если — матрица преобразования Фурье , то ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y}$,

где — произведение граней , ^{[27] [28] [29] [30] [31]} обозначает произведение Кронекера , обозначает произведение Адамара (этот результат является развитием свойств графического наброска ^[32] ). ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Это можно обобщить для соответствующих матриц : ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left((\mathbf {A} x)\ast (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {W}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {W}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {W}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {W}}\mathbf {B} y)}$

от свойств продукта, разделяющего лицо .

Трансляционная эквивариантность

Свертка коммутирует с переносами, что означает, что

${\displaystyle \tau _{x}(f*g)=(\tau _{x}f)*g=f*(\tau _{x}g)}$

где τ _x f — это перевод функции f на x, определяемый формулой

${\displaystyle (\tau _{x}f)(y)=f(y-x).}$

Если f — функция Шварца , то τ _x f — это свертка с транслированной дельта-функцией Дирака τ _x f = f ∗ τ _x δ . Таким образом, трансляционная инвариантность свертки функций Шварца является следствием ассоциативности свертки.

Более того, при определенных условиях свертка является наиболее общей инвариантной к трансляции операцией. Неформально говоря, справедливо следующее

Предположим, что S — ограниченный линейный оператор, действующий на функции, которые коммутируют со сдвигами: S ( τ _x f ) = τ _x ( Sf ) для всех x . Тогда S задается как свертка с функцией (или распределением) g _S ; то есть Sf = g _S ∗ f .

Таким образом , некоторые трансляционно-инвариантные операции могут быть представлены как свёртка. Свёртки играют важную роль в изучении систем, инвариантных во времени , и особенно в теории систем LTI . Представляющая функция g _S является импульсным откликом преобразования S.

Более точная версия теоремы, процитированной выше, требует указания класса функций, на которых определяется свертка, а также требует дополнительного предположения, что S должен быть непрерывным линейным оператором относительно соответствующей топологии . Известно, например, что каждый непрерывный инвариантный относительно трансляции непрерывный линейный оператор на L ¹ является сверткой с конечной мерой Бореля . В более общем смысле, каждый непрерывный инвариантный относительно трансляции непрерывный линейный оператор на L ^p для 1 ≤ p < ∞ является сверткой с умеренным распределением, преобразование Фурье которого ограничено. А именно, все они задаются ограниченными множителями Фурье .

Свертки по группам

Если G — подходящая группа, наделенная мерой λ , и если f и g — действительные или комплекснозначные интегрируемые функции на G , то мы можем определить их свертку как

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}$

В общем случае она не коммутативна. В типичных случаях, представляющих интерес , G является локально компактной топологической группой Хаусдорфа , а λ является (левой) мерой Хаара . В этом случае, если только G не является унимодулярной , свертка, определенная таким образом, не совпадает с . Предпочтение одного другому делается так, что свертка с фиксированной функцией g коммутирует с левым переносом в группе: ${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$

${\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}$

Кроме того, соглашение также требуется для согласованности с определением свертки мер, данным ниже. Однако с правой, а не левой мерой Хаара, последний интеграл предпочтительнее первого.

На локально компактных абелевых группах справедлива версия теоремы о свертке : преобразование Фурье свертки является поточечным произведением преобразований Фурье. Группа окружности T с мерой Лебега является непосредственным примером. Для фиксированного g в L ¹ ( T ) мы имеем следующий знакомый оператор, действующий на гильбертовом пространстве L ² ( T ):

${\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.}$

Оператор T компактен . Прямое вычисление показывает, что его сопряженный T * является сверткой с

${\displaystyle {\bar {g}}(-y).}$

По свойству коммутативности, указанному выше, T является нормальным : T * T = TT * . Кроме того, T коммутирует с операторами переноса. Рассмотрим семейство S операторов, состоящее из всех таких сверток и операторов переноса. Тогда S является коммутирующим семейством нормальных операторов. Согласно спектральной теории , существует ортонормированный базис { h _k }, который одновременно диагонализирует S . Это характеризует свертки на окружности. В частности, мы имеем

${\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;}$

которые являются в точности характерами T . Каждая свертка является компактным оператором умножения в этом базисе. Это можно рассматривать как версию теоремы о свертке, обсуждавшейся выше.

Дискретным примером является конечная циклическая группа порядка n . Операторы свертки здесь представлены циркулянтными матрицами и могут быть диагонализированы дискретным преобразованием Фурье .

^{Аналогичный результат справедлив} для компактных групп (не обязательно абелевых): матричные коэффициенты конечномерных унитарных представлений образуют ортонормированный базис в L2 по теореме Петера–Вейля , и аналог теоремы о свертке продолжает выполняться, наряду со многими другими аспектами гармонического анализа , зависящими от преобразования Фурье.

Свертывание мер

Пусть G — топологическая группа (записанная мультипликативно). Если μ и ν — конечные борелевские меры на G , то их свертка μ ∗ ν определяется как мера прямого продвижения действия группы и может быть записана как

${\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}$

для каждого измеримого подмножества E из G. Свертка также является конечной мерой, полная вариация которой удовлетворяет

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}$

В случае, когда G локально компактна с (левой) мерой Хаара λ, а μ и ν абсолютно непрерывны относительно λ, так что каждая из них имеет функцию плотности , то свертка μ∗ν также абсолютно непрерывна, и ее функция плотности является просто сверткой двух отдельных функций плотности.

Если μ и ν являются вероятностными мерами на топологической группе ( R ,+), то свертка μ ∗ ν является распределением вероятностей суммы X + Y двух независимых случайных величин X и Y, распределения которых равны μ и ν.

Инфинимальная извилина

В выпуклом анализе инфимальная свертка собственных (не тождественно ) выпуклых функций на определяется как: ^[33] Можно показать, что инфимальная свертка выпуклых функций является выпуклой. Более того, она удовлетворяет тождеству, аналогичному тождеству преобразования Фурье традиционной свертки, причем роль преобразования Фурье играет преобразование Лежандра : Имеем: ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})(x)=\inf _{x}\{f_{1}(x_{1})+\cdots +f_{m}(x_{m})|x_{1}+\cdots +x_{m}=x\}.}$$ $${\displaystyle \varphi ^{*}(x)=\sup _{y}(x\cdot y-\varphi (y)).}$$ $${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})^{*}(x)=f_{1}^{*}(x)+\cdots +f_{m}^{*}(x).}$$

Биалгебры

Пусть ( X , Δ, ∇, ε , η ) — биалгебра с коумножением Δ, умножением ∇, единицей η и коединицей ε . Свертка — это произведение, определенное на алгебре эндоморфизмов End( X ) следующим образом. Пусть φ , ψ ∈ End( X ), то есть φ , ψ : X → X — функции, которые сохраняют всю алгебраическую структуру X , тогда свертка φ ∗ ψ определяется как композиция

${\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.}$

Свертка появляется, в частности, в определении алгебр Хопфа (Кассель 1995, §III.3). Биалгебра является алгеброй Хопфа тогда и только тогда, когда у нее есть антипод: эндоморфизм S такой, что

${\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}$

Приложения

Размытие по Гауссу можно использовать для получения плавного полутонового цифрового изображения полутоновой печати.

Свертка и связанные с ней операции встречаются во многих приложениях в науке, технике и математике.

• Сверточные нейронные сети применяют несколько каскадных ядер свертки с приложениями в машинном зрении и искусственном интеллекте . ^{[34] [35]} Хотя на самом деле в большинстве случаев это скорее кросс-корреляции, чем свертки. ^[36]
• В обработке изображений, не основанной на нейронных сетях
  • В цифровой обработке изображений сверточная фильтрация играет важную роль во многих важных алгоритмах обнаружения границ и связанных с ними процессах (см. Ядро (обработка изображений) ).
  • В оптике , нерезкая фотография — это свёртка резкого изображения с функцией линзы. Фотографический термин для этого — боке .
  • В приложениях по обработке изображений, например, для добавления размытия.
• В цифровой обработке данных
  • В аналитической химии сглаживающие фильтры Савицкого-Голея используются для анализа спектроскопических данных. Они позволяют улучшить отношение сигнал/шум при минимальном искажении спектров.
  • В статистике взвешенное скользящее среднее — это свертка.
• В акустике реверберация — это свертывание исходного звука с эхом от объектов , окружающих источник звука.
  • В цифровой обработке сигналов свертка используется для отображения импульсной характеристики реального помещения на цифровом аудиосигнале.
  • В электронной музыке свёртка — это наложение спектральной или ритмической структуры на звук. Часто эта огибающая или структура берётся из другого звука. Свёртка двух сигналов — это фильтрация одного через другой. ^[37]
• В электротехнике свертка одной функции ( входного сигнала ) со второй функцией (импульсной характеристикой) дает выход линейной системы, инвариантной во времени (LTI). В любой момент времени выход представляет собой накопленный эффект всех предыдущих значений входной функции, причем последние значения обычно оказывают наибольшее влияние (выраженное в виде мультипликативного фактора). Функция импульсной характеристики представляет этот фактор как функцию прошедшего времени с момента появления каждого входного значения.
• В физике , где бы ни была линейная система с « принципом суперпозиции », появляется операция свертки. Например, в спектроскопии расширение линии из-за эффекта Доплера само по себе дает гауссову форму спектральной линии , а уширение столкновений само по себе дает лоренцеву форму линии. Когда действуют оба эффекта, форма линии представляет собой свертку гауссовой и лоренцевой функций, функцию Фойгта .
  • В спектроскопии флуоресценции с временным разрешением возбуждающий сигнал можно рассматривать как цепочку дельта-импульсов, а измеренная флуоресценция представляет собой сумму экспоненциальных затуханий от каждого дельта-импульса.
  • В вычислительной гидродинамике модель турбулентности на основе моделирования крупных вихрей (LES) использует операцию свертки для уменьшения диапазона масштабов длин, необходимых для вычислений, тем самым снижая вычислительные затраты.
• В теории вероятностей распределение вероятностей суммы двух независимых случайных величин представляет собой свертку их индивидуальных распределений.
  • При оценке плотности ядра распределение оценивается по точкам выборки путем свертки с ядром, например, изотропным гауссовым. ^[38]
• В системах планирования лучевой терапии большинство современных кодов расчетов используют алгоритм свертки-суперпозиции. ^{[ необходимо разъяснение ]}
• В структурной надежности индекс надежности можно определить на основе теоремы о свертке.
  • Определение индекса надежности для функций предельного состояния с ненормальным распределением может быть установлено в соответствии с совместной функцией распределения . Фактически, совместная функция распределения может быть получена с использованием теории свертки. ^[39]
• В гидродинамике сглаженных частиц моделирование динамики жидкости рассчитывается с использованием частиц, каждая из которых имеет окружающие ядра. Для любой заданной частицы некоторая физическая величина рассчитывается как свертка с весовой функцией, где обозначает соседей частицы : тех, которые расположены внутри ее ядра. Свертка аппроксимируется как суммирование по каждому соседу. ^[40] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$
• В дробном исчислении свертка играет важную роль в различных определениях дробного интеграла и дробной производной.

Смотрите также

• Аналоговая обработка сигнала
• Циркулярная матрица
• Свертка для оптических широкополосных откликов в рассеивающих средах
• Мощность свертки
• Коэффициент свертки
• свертка Дирихле
• Обобщенное усреднение сигнала
• Список сверток распределений вероятностей
• Теория системы LTI#Импульсная реакция и свертка
• Многомерная дискретная свертка
• Масштабированная корреляция
• Теорема о свертке Титчмарша
• Матрица Теплица (свертки можно рассматривать как операцию матрицы Теплица, где каждая строка представляет собой сдвинутую копию ядра свертки)
• Вейвлет-преобразование

Примечания

1. Причины для размышлений включают:
   • Необходимо реализовать эквивалент поточечного произведения преобразований Фурье и . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
   • Когда свертку рассматривают как скользящее взвешенное среднее , весовая функция часто задается в терминах другой функции, называемой импульсной характеристикой линейной системы, постоянной во времени . ${\displaystyle g(-x)}$ ${\displaystyle g(x)}$
2. Символ U+2217 ∗ ASTERISK OPERATOR отличается от U+002A * ASTERISK , который часто используется для обозначения комплексного сопряжения. См. Asterisk § Математическая типография .

Ссылки

1. Бахри, Маварди; Ашино, Рюичи; Вайянкур, Реми (2013). «Теоремы о свертке для кватернионного преобразования Фурье: свойства и приложения» (PDF) . Реферативный и прикладной анализ . 2013 : 1–10. doi : 10.1155/2013/162769 . Архивировано (PDF) из оригинала 21.10.2020 . Получено 11.11.2022 .
2. Смит, Стивен В. (1997). "13.Convolution". Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (1-е изд.). California Technical Publishing. ISBN 0-9660176-3-3. Получено 22 апреля 2016 г.
3. Ирвин, Дж. Дэвид (1997). "4.3". The Industrial Electronics Handbook (1-е изд.). Boca Raton, FL: CRC Press. стр. 75. ISBN 0-8493-8343-9.
4. Дифференциальные уравнения (весна 2010 г.), MIT 18.03. "Лекция 21: Формула свертки". MIT Open Courseware . MIT . Получено 22 декабря 2021 г. .{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
5. "18.03SC Differential Equations Fall 2011" (PDF) . Формула Грина, преобразование Лапласа свертки . Архивировано (PDF) из оригинала 2015-09-06.
6. Домингес-Торрес, стр. 2
7. Домингес-Торрес, стр. 4
8. RN Bracewell (2005), «Ранние работы по теории визуализации в радиоастрономии», в WT Sullivan (ред.), Ранние годы радиоастрономии: размышления спустя пятьдесят лет после открытия Янски , Cambridge University Press, стр. 172, ISBN 978-0-521-61602-7
9. Джон Хилтон Грейс и Альфред Янг (1903), Алгебра инвариантов, Cambridge University Press, стр. 40
10. Леонард Юджин Диксон (1914), Алгебраические инварианты, J. Wiley, стр. 85
11. Согласно [Lothar von Wolfersdorf (2000), «Einige Klassen Quadatischer Integralgleichungen», Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse , том 128 , номер 2, 6–7], источник — Вольтерра, Вито ( 1913), «Уроки языковых функций». Готье-Виллар, Париж, 1913 год.
12. Дамелин и Миллер 2011, с. 219
13. Пресс, Уильям Х.; Фланнери, Брайан П.; Тьюкольский, Сол А.; Веттерлинг, Уильям Т. (1989). Численные рецепты на языке Паскаль. Cambridge University Press. стр. 450. ISBN 0-521-37516-9.
14. Rader, CM (декабрь 1972 г.). «Дискретные свертки с помощью преобразований Мерсенна». IEEE Transactions on Computers . 21 (12): 1269–1273. doi :10.1109/TC.1972.223497. S2CID  1939809.
15. Виноград, Шмуэль (январь 1980). Арифметическая сложность вычислений. Общество промышленной и прикладной математики. doi :10.1137/1.9781611970364. ISBN 978-0-89871-163-9.
16. Ляхов, ПА; Нагорнов, НН; Семёнова, НФ; Абдулсалямова, АС (июнь 2023 г.). «Снижение вычислительной сложности обработки изображений с использованием вейвлет-преобразования на основе метода Винограда». Распознавание образов и анализ изображений . 33 (2): 184–191. doi :10.1134/S1054661823020074. ISSN  1054-6618. S2CID  259310351.
17. У, Ди; Фань, Ситянь; Цао, Вэй; Ван, Линли (май 2021 г.). «SWM: высокопроизводительный ускоритель CNN для умножения разреженных матриц Винограда». Труды IEEE по системам сверхбольшой интеграции (VLSI) . 29 (5): 936–949. doi : 10.1109/TVLSI.2021.3060041. ISSN  1063-8210. S2CID  233433757.
18. Миттал, Спарш; Вибху (май 2021 г.). «Обзор архитектур ускорителей для 3D сверточных нейронных сетей». Журнал системной архитектуры . 115 : 102041. doi : 10.1016/j.sysarc.2021.102041. S2CID  233917781.
19. Selesnick, Ivan W.; Burrus, C. Sidney (1999). "Быстрая свертка и фильтрация". В Madisetti, Vijay K. (ред.). Справочник по цифровой обработке сигналов . CRC Press. стр. Раздел 8. ISBN 978-1-4200-4563-5.
20. Juang, BH "Lecture 21: Block Convolution" (PDF) . EECS в Технологическом институте Джорджии. Архивировано (PDF) из оригинала 29-07-2004 . Получено 17 мая 2013 .
21. Гарднер, Уильям Г. (ноябрь 1994 г.). "Эффективная свертка без задержки ввода/вывода" (PDF) . Съезд Audio Engineering Society 97 . Статья 3897. Архивировано (PDF) из оригинала 2015-04-08 . Получено 17 мая 2013 г. .
22. Бекнер, Уильям (1975). «Неравенства в анализе Фурье». Annals of Mathematics . Вторая серия. 102 (1): 159–182. doi :10.2307/1970980. JSTOR  1970980.
23. Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H. (1976). «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратное уравнение и его обобщение на более чем три функции». Advances in Mathematics . 20 (2): 151–173. doi : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
24. Рид и Саймон 1975, IX.4
25. Weisstein, Eric W. "Convolution". mathworld.wolfram.com . Получено 22.09.2021 .
26. Вайсштейн, Эрик В. «Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram».
27. Слюсарь, ВИ (27 декабря 1996 г.). "Конечные продукты в матрицах в радиолокационных приложениях" (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 41 (3): 50–53. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
28. Слюсарь, ВИ (1997-05-20). "Аналитическая модель цифровой антенной решетки на основе произведений матриц расщепления граней" (PDF) . Труды ICATT-97, Киев : 108–109. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
29. Слюсар, ВИ (1997-09-15). "Новые операции произведения матриц для приложений радаров" (PDF) . Труды. Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЭД-97), Львов. : 73–74. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
30. Слюсарь, ВИ (13 марта 1998 г.). "Семейство гранных произведений матриц и его свойства" (PDF) . Кибернетика и системный анализ C/C Кибернетика и системный анализ.- 1999 . 35 (3): 379–384. doi :10.1007/BF02733426. S2CID  119661450. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
31. Слюсарь, ВИ (2003). "Обобщенные фейс-произведения матриц в моделях цифровых антенных решеток с неидентичными каналами" (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 46 (10): 9–17. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
32. Нинь, Фам; Паг, Расмус (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт признаков . Международная конференция SIGKDD по обнаружению знаний и добыче данных. Ассоциация вычислительной техники. doi :10.1145/2487575.2487591.
33. Р. Тиррелл Рокафеллар (1970), Выпуклый анализ , Princeton University Press
34. Чжан, Инцзе; Сун, Хонг Геок; Йе, Донгсен; Фу, Джерри Ин Си; Чжу, Куньпэн (сентябрь 2020 г.). «Мониторинг процесса плавления порошковой смеси с помощью машинного зрения с использованием гибридных сверточных нейронных сетей». Труды IEEE по промышленной информатике . 16 (9): 5769–5779. doi :10.1109/TII.2019.2956078. ISSN  1941-0050. S2CID  213010088.
35. Червяков, НИ; Ляхов, ПА; Дерябин, МА; Нагорнов, НН; Валуева, МВ; Валуев, ГВ (сентябрь 2020 г.). «Решение на основе системы остаточных чисел для снижения стоимости оборудования сверточной нейронной сети». Нейрокомпьютинг . 407 : 439–453. doi :10.1016/j.neucom.2020.04.018. S2CID  219470398. Сверточные нейронные сети представляют собой архитектуры глубокого обучения, которые в настоящее время используются в широком спектре приложений, включая компьютерное зрение, распознавание речи, анализ временных рядов в финансах и многие другие.
36. Атлас, Хомма и Маркс. «Искусственная нейронная сеть для пространственно-временных биполярных паттернов: применение к классификации фонем» (PDF) . Нейронные системы обработки информации (NIPS 1987) . 1 . Архивировано (PDF) из оригинала 2021-04-14.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
37. Zölzer, Udo, ed. (2002). DAFX:Digital Audio Effects , стр. 48–49. ISBN 0471490784 . 
38. Диггл 1985.
39. Гасеми и Новак 2017.
40. Монаган, Дж. Дж. (1992). «Гидродинамика сглаженных частиц». Annual Review of Astronomy and Astrophysics . 30 : 543–547. Bibcode : 1992ARA&A..30..543M. doi : 10.1146/annurev.aa.30.090192.002551 . Получено 16 февраля 2021 г.

Дальнейшее чтение

• Брейсвелл, Р. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw–Hill, ISBN 0-07-116043-4.
• Дамелин, С.; Миллер, В. (2011), Математика обработки сигналов , Cambridge University Press, ISBN 978-1107601048
• Диггл, П. Дж. (1985), «Метод ядра для сглаживания данных точечного процесса», Журнал Королевского статистического общества, Серия C , 34 (2): 138–147, doi : 10.2307/2347366, JSTOR  2347366, S2CID  116746157
• Домингес-Торрес, Алехандро (2 ноября 2010 г.). «Происхождение и история свёртки». 41 стр. https://slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, Великобритания. Получено 13 марта 2013 г.
• Гасеми, С. Хуман; Новак, Анджей С. (2017), «Индекс надежности для ненормальных распределений функций предельного состояния», Structural Engineering and Mechanics , 62 (3): 365–372, doi :10.12989/sem.2017.62.3.365
• Гриншпан, AZ (2017), «Неравенство для множественных сверток относительно меры вероятности Дирихле», Успехи в прикладной математике , 82 (1): 102–119, doi : 10.1016/j.aam.2016.08.001
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1979), Абстрактный гармонический анализ. Том. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], том. 115 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-09434-0, МР  0551496.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ. Том. II: Структура и анализ компактных групп. Анализ локально компактных абелевых групп , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0262773.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, МР  0717035.
• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 155, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0783-2, ISBN 978-0-387-94370-1, МР  1321145.
• Кнут, Дональд (1997), Получисленные алгоритмы (3-е изд.), Рединг, Массачусетс: Addison–Wesley, ISBN 0-201-89684-2.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Анализ Фурье, самосопряженность , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, стр. xv+361, ISBN 0-12-585002-6, МР  0493420
• Рудин, Уолтер (1962), Анализ Фурье на группах , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 12, Нью-Йорк–Лондон: Interscience Publishers, ISBN 0-471-52364-X, МР  0152834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Свёртка функций», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Стрихартц, Р. (1994), Руководство по теории распределений и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Титчмарш, Э. (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Chelsea Pub. Co. (опубликовано в 1986 г.), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Улудаг, AM (1998), «О возможном ухудшении гладкости при операции свертки», J. Math. Anal. Appl. , 227 (2): 335–358, doi : 10.1006/jmaa.1998.6091
• фон зур Гатен, Дж.; Герхард, Дж. (2003), Современная компьютерная алгебра , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-82646-2.

Внешние ссылки

• Раннее использование: В статье о свертке содержится некоторая историческая информация.
• Свертка, в The Data Analysis BriefBook
• https://jhu.edu/~signals/convolve/index.html Визуальная свертка Java-апплет
• https://jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Визуальная свертка Java-апплета для функций дискретного времени
• https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution онлайн-калькулятор discret-convolution
• https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Демонстрация и визуализация свертки в JavaScript
• https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Еще одна демонстрация свертки на JavaScript
• Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекция 7 посвящена двумерной свертке., автор Алан Питерс
• https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
• Операция свертки ядра маски Интерактивное руководство
• Свертка в MathWorld
• Freeverb3 Impulse Response Processor: процессор импульсного отклика с открытым исходным кодом и нулевой задержкой с плагинами VST
• Интерактивная Flash-демонстрация CS 178 Стэнфордского университета, демонстрирующая, как работает пространственная свертка.
• Видеолекция Салмана Кхана на тему свертки
• Пример свертки БПФ для распознавания образов (обработка изображений)
• Интуитивное руководство по свёртке Запись в блоге об интуитивной интерпретации свёртки.