Теорема Гурвица (композиционные алгебры)

Неассоциативные алгебры с положительно определенной квадратичной формой

В математике теорема Гурвица — теорема Адольфа Гурвица ( 1859–1919), опубликованная посмертно в 1923 году, решающая проблему Гурвица для конечномерных унитарных вещественных неассоциативных алгебр, наделенных невырожденной положительно определенной квадратичной формой . Теорема утверждает, что если квадратичная форма определяет гомоморфизм положительных действительных чисел в ненулевой части алгебры, то алгебра должна быть изоморфна действительным числам , комплексным числам , кватернионам или октонионам , и что других возможностей нет. Такие алгебры, иногда называемые алгебрами Гурвица , являются примерами композиционных алгебр .

Теория композиционных алгебр впоследствии была обобщена на произвольные квадратичные формы и произвольные поля . ^[1] Из теоремы Гурвица следует, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут встречаться только в 1, 2, 4 и 8 измерениях. Этот результат первоначально был доказан Гурвицем в 1898 году. Это частный случай проблемы Гурвица , решенной также в Радоне ( 1922). Последующие доказательства ограничений на размерность были даны Экманом (1943) с использованием теории представлений конечных групп и Ли (1948) и Шевалле (1954) с использованием алгебр Клиффорда . Теорема Гурвица применялась в алгебраической топологии к задачам о векторных полях на сферах и гомотопических группах классических групп ^[2] , а в квантовой механике — к классификации простых йордановых алгебр . ^[3]

Евклидовы алгебры Гурвица

Определение

Алгебра Гурвица или композиционная алгебра — это конечномерная не обязательно ассоциативная алгебра A с единицей, наделенной невырожденной квадратичной формой q такой, что q ( a b ) = q ( a )  q ( b ) . Если базовое поле коэффициентов является действительным числом, а q положительно определенное, так что ( a ,  b ) = ⁠1/2⁠ [ q ( a + b ) − q ( a ) − q ( b )] является скалярным произведением , то A называется евклидовой алгеброй Гурвица или (конечномерной) нормированной алгеброй с делением . ^[4]

Если A — евклидова алгебра Гурвица и a находится в A , определите операторы инволюции и правого и левого умножения формулой

${\displaystyle a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.}$

Очевидно, что инволюция имеет период два и сохраняет скалярный продукт и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

• инволюция является антиавтоморфизмом , т.е. ( ab )* = b * a *
• аа * = ‖ а ‖ ²  1 = а * а
• L ( a *) = L ( a )* , R ( a *) = R ( a )* , так что инволюция на алгебре соответствует взятию сопряженных
• Re ( ab ) = Re ( ba ) , если Re  x = ( x + x *)/2 = ( x , 1)1
• Re ( ab ) c знак равно Re  а ( bc )
• L ( а ² ) = L ( а ) ² , R ( а ² ) = R ( а ) ² , так что A — альтернативная алгебра .

Эти свойства доказываются, начиная с поляризованной версии тождества ( ab ,  ab ) = ( a ,  a )( b ,  b ) :

${\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}$

Установка b = 1 или d = 1 дает L ( a *) = L ( a )* и R ( c *) = R ( c )* .

Следовательно, Re( ab ) = ( ab , 1)1 = ( a ,  b *)1 = ( ba , 1)1 = Re( ba ) .

Аналогично Re ( ab ) c = (( ab ) c ,1)1 = ( ab ,  c *)1 = ( b ,  a *  c *)1 = ( bc , a *)1 = ( a ( bc ),1 )1 знак равно Re а ( до н.э. ) .

Следовательно (( ab )*, c) = ( ab , c *) = ( b , a * c *) = (1, b *( a * c *)) = (1, ( b * a *) c * ) = ( b * a *, c ) , так что ( ab )* = b * a * .

Поляризованной идентичностью ‖ a ‖ ²  ( c ,  d ) = ( ac ,  ad ) = ( a * ( ac ),  d ) поэтому L ( a *)  L ( a ) = L (‖ a ‖ ² ) . Применительно к 1 это дает a * a = ‖ a ‖ ² 1 . Замена a на * дает другую идентичность.

Подстановка формулы для a * в L ( a *)  L ( a ) = L ( a * a ) дает L ( a ) ² = L ( a ² ) . Формула R ( a2 ⁾ = R ( a ) ² доказывается аналогично.

Классификация

Обычно проверяется, что действительные числа R , комплексные числа C и кватернионы H являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Гурвица с их стандартными нормами и инволюциями. Более того, существуют естественные включения R ⊂ C ⊂ H .

Анализ такого включения приводит к конструкции Кэли–Диксона , формализованной А.А. Альбертом . Пусть A — евклидова алгебра Гурвица, а B — собственная подалгебра с единицей, то есть евклидова алгебра Гурвица сама по себе. Выберите единичный вектор j в A, ортогональный B . Поскольку ( j , 1) = 0 , отсюда следует, что j * = − j и, следовательно, j ² = −1 . Пусть C — подалгебра, порожденная B и j . Она унитальна и снова является евклидовой алгеброй Гурвица. Он удовлетворяет следующим законам умножения Кэли-Диксона :

${\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}}$

B и Bj ортогональны, поскольку j ортогонален B . Если a находится в B , то j a = a *  j , поскольку по ортогоналу 0 = 2( j ,  a *) = ja − a * j . Формула инволюции следующая. Показать, что B ⊕ B j замкнуто относительно умножения Bj = jB . Поскольку Bj ортогонален 1, ( bj )* = − bj .

• b ( cj ) = ( cb )  j, поскольку ( b ,  j ) = 0 , так что для x в A , ( b ( cj ),  x ) = ( b (  jx ),  j ( cj )) = - ( b (  jx ),  c ​​*) знак равно -( cb , (  jx )*) знак равно -(( cb )  j ,  x *) знак равно (( cb )  j ,  x ) .
• (  jc ) b = j ( bc ) с сопряженными выше.
• ( bj )( cj ) = − c * b, поскольку ( b ,  cj ) = 0, так что для x в A , (( bj )( cj ),  x ) = −(( cj ) x *,  bj ) = ( bx *, ( cj )  j ) знак равно - ( c * b ,  x ) .

Наложение мультипликативности нормы на C для a + bj и c + dj дает:

${\displaystyle \displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}}$

что приводит к

${\displaystyle \displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}}$

Следовательно, d ( ac ) = ( da ) c , так что B должно быть ассоциативным .

Этот анализ применим к включению R в C и C в H. Взяв O = H ⊕ H с приведенным выше произведением и скалярным произведением, получим некоммутативную неассоциативную алгебру, порожденную J = (0, 1) . Это восстанавливает обычное определение октонионов или чисел Кэли . Если A — евклидова алгебра, она должна содержать R. Если он строго больше R , приведенный выше аргумент показывает, что он содержит C. Если он больше C , он содержит H. Если он еще больше, он должен содержать O . Но на этом процесс должен остановиться, потому что О не ассоциативно. На самом деле H не коммутативен и a ( bj ) = ( ba )  j ≠ ( ab )  j в O . ^[5]

Теорема. Единственными евклидовыми алгебрами Гурвица являются действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Другие доказательства

В доказательствах Ли (1948) и Шевалле (1954) используются алгебры Клиффорда, чтобы показать, что размерность N A должна быть 1, 2, 4 или 8. Фактически операторы L ( a ) с ( a , 1) = 0 удовлетворяют L ( a ) ² = −‖ a ‖ ² и таким образом образуют вещественную алгебру Клиффорда. Если a — единичный вектор, то L ( a ) кососопряжен с квадратом − I . Таким образом, N должно быть либо четным , либо 1 (в этом случае A не содержит единичных векторов, ортогональных 1). Вещественная алгебра Клиффорда и ее комплексификация действуют на комплексификацию A , N -мерного комплексного пространства. Если N четно, N − 1 нечетно , поэтому алгебра Клиффорда имеет ровно два комплексных неприводимых представления размерности 2 ^{N /2 − 1} . Итак, эта степень 2 должна делить N. Легко видеть, что это означает, что N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экмана (1943) использует теорию представлений конечных групп или проективную теорию представлений элементарных абелевых 2-групп , которая, как известно, эквивалентна теории представлений вещественных алгебр Клиффорда. Действительно, взятие ортонормированного базиса e _i ортогонального дополнения к 1 приводит к появлению операторов U _i = L ( e _i ) , удовлетворяющих

${\displaystyle U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}$

Это проективное представление прямого произведения N − 1 групп порядка 2. ( Предполагается , что N больше 1.) Операторы U _i по построению кососимметричны и ортогональны. На самом деле Экман построил операторы этого типа несколько иным, но эквивалентным способом. Фактически, именно этому методу первоначально следовал Гурвиц (1923). ^[6] Предположим, что существует закон композиции двух форм.

${\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}$

где z _i билинейна по x и y . Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}$

где матрица T ( x ) = ( a _ij ) линейна по x . Приведенные выше соотношения эквивалентны

${\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}$

Письмо

${\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}$

отношения становятся

${\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}$

Теперь установите V _i знак равно ( T _N ) ^t T _i . Таким образом, V _N = I и V ₁ , ... ,  V _{N − 1} кососопряжены, ортогональны и удовлетворяют точно тем же соотношениям, что и U _i :

${\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}$

Поскольку V _i — ортогональная матрица с квадратом − I в вещественном векторном пространстве , N четно.

Пусть G — конечная группа, порожденная элементами v _i такими, что

${\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}$

где ε является центральным, порядка 2. Коммутант [ G ,  G ] только что образован из 1 и ε . Если N нечетно, это совпадает с центром , а если N четно, то центр имеет порядок 4 с дополнительными элементами γ = v ₁ ... v _{N − 1} и ε γ . Если g в G не находится в центре, его класс сопряженности равен g и εg . Таким образом, существует 2 ^{N − 1} + 1 классов сопряженности для N нечетного и 2 ^{N − 1} + 2 для N четного. G имеет |  г / [ г ,  г ] | = 2 ^{N − 1} 1-мерных комплексных представлений. Общее количество неприводимых комплексных представлений равно числу классов сопряженности. Итак, поскольку N четно, есть еще два неприводимых комплексных представления. Так как сумма квадратов размеров равна | г | и размеры делят | г | , две неприводимые должны иметь размерность 2 ^{( N − 2)/2} . Когда N четно, их два, и их размерность должна делить порядок группы, как и степень двойки, поэтому они оба должны иметь размерность 2 ^{( N − 2)/2} . Пространство, на котором действуют Ви, может быть комплексовано _. Он будет иметь комплексную размерность N. Он распадается на некоторые комплексные неприводимые представления G , все из которых имеют размерность 2 ^{( N − 2)/2} . В частности, это измерение ≤ N , поэтому N меньше или равно 8. Если N = 6 , размерность равна 4, что не делит 6. Таким образом, N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Приложения к йордановым алгебрам

Пусть A — евклидова алгебра Гурвица, и пусть M n ₍ A ) — алгебра n -x n матриц над A. Это неассоциативная алгебра с единицей с инволюцией, заданной формулой

${\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}$

След Tr( X  ) определяется как сумма диагональных элементов X и действительнозначного следа по формуле Tr _R ( X  ) = Re Tr( X  ) . След с действительным знаком удовлетворяет:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}$

Это непосредственные следствия известных тождеств для n = 1 .

В A определите ассоциатор как

${\displaystyle \displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}}$

Он трилинейен и тождественно обращается в нуль, если A ассоциативен. Поскольку A — альтернативная алгебра , [ a ,  a ,  b ] = 0 и [ b ,  a ,  a ] = 0 . Из поляризации следует, что ассоциатор антисимметричен в своих трех элементах. Более того, если a , b или c лежат в R , то [ a ,  b ,  c ] = 0 . Из этих фактов следует, что M ₃ ( A ) обладает определенными коммутационными свойствами. Фактически, если X — матрица из M ₃ ( A ) с вещественными элементами на диагонали, то

${\displaystyle \displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}}$

с а в А. ​Фактически, если ^Y = [ X ,   X2 ] , то

${\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}}$

Поскольку диагональные элементы X действительны, недиагональные элементы Y исчезают. Каждый диагональный элемент Y представляет собой сумму двух ассоциаторов, включающих только недиагональные члены X . Поскольку ассоциаторы инвариантны относительно циклических перестановок , все диагональные элементы Y равны.

Пусть H _n ( A ) — пространство самосопряженных элементов в M _n ( A ) с произведением X  ∘ Y = ⁠1/2⁠ ( Икс Y + Y Икс ) и внутренний продукт ( Икс ,  Y  ) знак равно Tr _р ( Икс Y  ) .

Теорема. H _n ( A ) является евклидовой йордановой алгеброй, если A ассоциативна (действительные числа, комплексные числа или кватернионы) и n ≥ 3 или если A неассоциативна (октонионы) и n = 3 .

Исключительная йордановая алгебра H3 ( O ) называется алгеброй Альберта по имени _А.А. Альберта .

Чтобы проверить, что H _n ( A ) удовлетворяет аксиомам евклидовой йордановой алгебры, действительный след определяет симметричную билинейную форму с ( X ,  X ) = Σ ‖ x _ij ‖ ² . Итак, это внутренний продукт. Он удовлетворяет свойству ассоциативности ( Z ∘ X ,  Y  ) = ( X ,  Z ∘ Y  ) из-за свойств реального следа. Основная аксиома, которую необходимо проверить, — это условие Жордана для операторов L ( X ) , определяемых формулой L ( X ) Y = X  ∘ Y :

${\displaystyle \displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}}$

Это легко проверить, когда A ассоциативна, поскольку M _n ( A ) — ассоциативная алгебра, поэтому йордановая алгебра с X  ∘ Y = ⁠1/2⁠ ( Икс Y + Y Икс ) . Когда A = O и n = 3, требуется специальное рассуждение, одно из самых коротких принадлежит Фрейденталю (1951). ^[7]

Фактически, если T находится в H ₃ ( O ) с Tr  T = 0 , то

${\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}$

определяет кососопряженный вывод H ₃ ( O ) . Действительно,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}$

так что

${\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}$

Поляризационные выходы:

${\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}$

Установка Z = 1 показывает, что D кососопряжена. Отсюда следует свойство вывода D ( X  ∘ Y ) = D ( X ) ∘ Y + X ∘ D ( Y ) и свойство ассоциативности скалярного произведения в приведенном выше тождестве.

С A и n , как в формулировке теоремы, пусть K будет группой автоморфизмов E = H _n ( A ) , оставляющих инвариантным скалярное произведение. Это замкнутая подгруппа группы O ( E ) , поэтому компактная группа Ли . Ее алгебра Ли состоит из кососопряженных дифференцирований. Фрейденталь (1951) показал, что для данного X в E существует автоморфизм k в K такой, что k ( X ) является диагональной матрицей . (Ввиду самосопряженности диагональные элементы будут действительными.) Из теоремы о диагонализации Фрейденталя немедленно следует условие Жордана, поскольку йордановые произведения на вещественные диагональные матрицы коммутируют на M _n ( A ) для любой неассоциативной алгебры A .

Чтобы доказать теорему о диагонализации, возьмем X из E . По компактности k можно выбрать в K , минимизируя суммы квадратов норм недиагональных членов k ( X  ) . Поскольку K сохраняет суммы всех квадратов, это эквивалентно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов k ( X  ) . Заменяя X на k X , можно считать, что максимум достигается при X . Поскольку симметрическая группа Sn , действующая перестановкой координат, лежит в K , то если X не диагональна, то можно считать, что _x 12 _и сопряженный к ней x ₂₁ отличны от нуля. Пусть T — кососопряженная матрица с (2, 1) элементом a , (1, 2) элементом — a * и 0 в другом месте, и пусть D — вывод ad T матрицы E . Пусть k _t = exp  tD в K . Тогда только первые два диагональных элемента в X ( t ) = k _t X отличаются от элементов X. Диагональные записи настоящие. Производная x ₁₁ ( t ) в t = 0 является координатой (1, 1) [ T ,  X ] , т.е. a *  x ₂₁ + x ₁₂  a = 2( x ₂₁ ,  a ) . Эта производная отлична от нуля, если a = x ₂₁ . С другой стороны, группа k _t сохраняет вещественный след. Поскольку он может изменить только x ₁₁ и x ₂₂ , он сохраняет их сумму. Однако на линии x + y = константа x ² + y ² не имеет локального максимума (только глобальный минимум), противоречие. Следовательно, X должен быть диагональным.

Смотрите также

• Мультипликативная квадратичная форма
• Число Радона – Гурвица
• Теорема Фробениуса

Примечания

1. См.:
   • Лам 2005 г.
   • Раджваде 1993 г.
   • Шапиро 2000
2. См.:
   • Экманн 1989 г.
   • Экманн 1999 г.
3. Джордан, фон Нейман и Вигнер, 1934 г.
4. Фараут и Кораньи 1994, с. 82
5. Фараут и Кораньи 1994, стр. 81–86.
6. См.:
   • Гурвиц 1923, с. 11
   • Херштейн 1968, стр. 141–144.
7. См.:
   • Фараут и Кораньи 1994, стр. 88–91.
   • Постников 1986г.

Рекомендации

• Альберт, А.А. (1934), «Об одной алгебре квантовой механики», Ann. математики. , 35 (1): 65–73, номер документа : 10.2307/1968118, JSTOR  1968118.
• Шевалле, К. (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , издательство Колумбийского университета
• Экманн, Бено (1943), «Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz – Radon über die Komposition Squaretischer Formen», Комментарий. Математика. Хелв. , 15 : 358–366, doi : 10.1007/bf02565652, S2CID  123322808
• Экманн, Бено (1989), «Матрицы Гурвица – Радона и периодичность по модулю 8», Enseign. Математика. , 35 : 77–91, заархивировано из оригинала 16 июня 2013 г.
• Экманн, Бено (1999), «Топология, алгебра, анализ - отношения и недостающие звенья», Notes Amer. Математика. Соц. , 46 : 520–527
• Фараут, Дж.; Кораньи, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 978-0198534778
• Фрейденталь, Ганс (1951), Октавен, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie , Математический институт Рейксуниверситета в Утрехте
• Фрейденталь, Ганс (1985), «Октавен, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie», Geom. Посвященная , 19 : 7–63, doi : 10.1007/bf00233101, S2CID  121496094(перепечатка статьи 1951 года)
• Херштейн, И.Н. (1968), Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса, том. 15, Математическая ассоциация Америки, ISBN. 978-0883850152
• Гурвиц, А. (1898), «Über die Composition der Squaretischen Formen von beliebig vielen Variabeln», Goett. Нахр. : 309–316
• Гурвиц, А. (1923), «Über die Komposition der Squaretischen Formen», Math. Анна. , 88 (1–2): 1–25, номер документа : 10.1007/bf01448439, S2CID  122147399
• Джейкобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 39, Американское математическое общество
• Джордан, П.; фон Нейман, Дж.; Вигнер, Э. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантовомеханического формализма», Ann. математики. , 35 (1): 29–64, номер документа : 10.2307/1968117, JSTOR  1968117.
• Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-1095-8, МР  2104929, Збл  1068.11023
• Ли, ХК (1948), «Теорема Гурвица-Радона для композиции квадратных форм», Комментарий. Математика. Хелв. , 21 : 261–269, doi : 10.1007/bf02568038, S2CID  121079375, заархивировано из оригинала 3 мая 2014 г.
• Портеус, ИК (1969), Топологическая геометрия , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 978-0-442-06606-2, Збл  0186.06304
• Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. V семестр , Мир
• Радон, Дж. (1922), «Lineare scharen Orthagonaler Matrizen», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 1 : 1–14, doi : 10.1007/bf02940576, S2CID  120583389
• Раджваде, А.Р. (1993), Squares , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 171, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-42668-8, Збл  0785.11022
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , Dover Publications , ISBN 978-0-486-68813-8, Збл  0145.25601
• Шапиро, Дэниел Б. (2000), Композиции квадратичных форм , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 33, Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-012629-7, Збл  0954.11011

дальнейшее чтение

• Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы», Bull. амер. Математика. Соц. , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID  586512
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия , AK Peters, ISBN 978-1568811345
• Кантор, Иллинойс; Солодовников А.С. (1989), "Нормированные алгебры с единицей. Теорема Гурвица", Гиперкомплексные числа. Элементарное введение в алгебры , Пер. А. Шенитцер (2-е изд.), Springer-Verlag , с. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, Збл  0669.17001
• Макс Кехер и Рейнхольд Реммерт (1990) «Композиционные алгебры. Теорема Гурвица — алгебры векторного произведения», глава 10 книги «Числа» Хайнца -Дитера Эббингауза и др., Springer, ISBN 0-387-97202-1 
• Спрингер, штат Калифорния ; Ф.Д. Вельдкамп (2000), Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9