Мера (математика)

Обобщение массы, длины, площади и объема

Неформально, мера обладает свойством монотонности в том смысле, что если является подмножеством меры , то оно меньше или равно мере Более того, мера пустого множества должна быть равна 0. Простым примером является объем (насколько большой объект занимает пространство) в качестве меры. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

В математике понятие меры является обобщением и формализацией геометрических мер ( длина , площадь , объем ) и других общих понятий, таких как величина , масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, различные понятия имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей , теории интегрирования и могут быть обобщены для принятия отрицательных значений , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения (такие как спектральные меры и проекционно-значные меры ) меры широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . ^{[1] [2]} Но только в конце 19-го и начале 20-го веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше , среди прочих.

Определение

Счётная аддитивность меры : мера счётного непересекающегося объединения равна сумме всех мер каждого подмножества. ${\displaystyle \mu }$

Пусть — множество и -алгебра над Множественная функция из на расширенную прямую действительных чисел называется мерой, если выполняются следующие условия: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

• Неотрицательность : Для всех ${\displaystyle E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.}$
• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
• Счетная аддитивность (или -аддитивность ): для всех счетных наборов попарно непересекающихся множеств в Σ, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).}$$

Если хотя бы одно множество имеет конечную меру, то требование выполняется автоматически в силу счетной аддитивности: и, следовательно, ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ $${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Если условие неотрицательности опускается и принимает не более одного из значений, то называется знаковой мерой . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle \mu }$

Пара называется измеримым пространством , а элементы называются измеримыми множествами . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Тройка называется пространством меры . Вероятностная мера — это мера с общей мерой один — то есть, Вероятностное пространство — это пространство меры с вероятностной мерой. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=1.}$

Для пространств мер, которые также являются топологическими пространствами, могут быть наложены различные условия совместимости для меры и топологии. Большинство мер, встречающихся на практике в анализе (а во многих случаях и в теории вероятностей ), являются мерами Радона . Меры Радона имеют альтернативное определение в терминах линейных функционалов на локально выпуклом топологическом векторном пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Этот подход принят Бурбаки (2004) и рядом других источников. Более подробную информацию см. в статье о мерах Радона .

Экземпляры

Некоторые важные меры перечислены здесь.

• Мера подсчета определяется как = количество элементов в ${\displaystyle \mu (S)}$ ${\displaystyle S.}$
• Мера Лебега на является полной трансляционно-инвариантной мерой на σ -алгебре, содержащей интервалы в , такой, что ; и любая другая мера с этими свойствами расширяет меру Лебега. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ([0,1])=1}$
• Мера кругового угла инвариантна относительно вращения , а мера гиперболического угла инвариантна относительно отображения сжатия .
• Мера Хаара для локально компактной топологической группы является обобщением меры Лебега (а также счетной меры и меры кругового угла) и обладает аналогичными свойствами единственности.
• Каждое (псевдо) риманово многообразие имеет каноническую меру , которая в локальных координатах выглядит как , где — обычная мера Лебега. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {|\det g|}}d^{n}x}$ ${\displaystyle d^{n}x}$
• Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега на множества с нецелой размерностью, в частности, на фрактальные множества.
• Каждое вероятностное пространство порождает меру, которая принимает значение 1 на всем пространстве (и, следовательно, принимает все свои значения в единичном интервале [0, 1]). Такая мера называется вероятностной мерой или распределением . Примеры см . в списке вероятностных распределений .
• Мера Дирака δ _a (ср. дельта-функция Дирака ) определяется как δ _a ( S ) = χ _S (a), где χ _S — индикаторная функция множества . Мера множества равна 1, если оно содержит точку , и 0 в противном случае. ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle a}$

Другие «именованные» меры, используемые в различных теориях, включают: меру Бореля , меру Жордана , эргодическую меру , меру Гаусса , меру Бэра , меру Радона , меру Юнга и меру Лёба .

В физике примером меры является пространственное распределение массы (см., например, гравитационный потенциал ), или другое неотрицательное экстенсивное свойство , сохраняющееся (см. закон сохранения для списка таких свойств) или нет. Отрицательные значения приводят к знаковым мерам, см. «обобщения» ниже.

• Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
• Мера Гиббса широко используется в статистической механике, часто под названием канонического ансамбля .

Теория меры используется в машинном обучении. Одним из примеров является Flow Induced Probability Measure в GFlowNet. ^[3]

Основные свойства

Пусть будет мера. ${\displaystyle \mu }$

Монотонность

Если и являются измеримыми множествами с то ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ $${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$$

Мера счетных объединений и пересечений

Счетная субаддитивность

Для любой счетной последовательности (не обязательно непересекающихся) измеримых множеств в ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

Непрерывность снизу

Если — измеримые множества, которые возрастают (имеется в виду, что ), то объединение множеств измеримо и ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Преемственность сверху

Если — измеримые множества, которые убывающие (имеется в виду, что ), то пересечение множеств измеримо; кроме того, если хотя бы одно из имеет конечную меру, то ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Это свойство ложно без предположения, что хотя бы один из имеет конечную меру. Например, для каждого пусть все имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$

Другие свойства

Полнота

Измеримое множество называется нулевым множеством , если Подмножество нулевого множества называется пренебрежимо малым множеством . Пренебрежимо малое множество не обязательно должно быть измеримым, но каждое измеримое пренебрежимо малое множество автоматически является нулевым множеством. Мера называется полной, если каждое пренебрежимо малое множество измеримо. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Меру можно расширить до полной, рассматривая σ-алгебру подмножеств , которые отличаются на пренебрежимо малое множество от измеримого множества , то есть, таким образом, что симметричная разность и содержится в нулевом множестве. Определяется равным ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu (Y)}$ ${\displaystyle \mu (X).}$

«Сбрасывая край»

Если -измеримо , то для почти всех ^[4] Это свойство используется в связи с интегралом Лебега . ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))}$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$$ ${\displaystyle t\in [-\infty ,\infty ].}$

Доказательство

Оба и являются монотонно невозрастающими функциями , поэтому оба они имеют не более счетного числа разрывов и, таким образом, они непрерывны почти всюду относительно меры Лебега. Если , то так что как и требовалось. ${\displaystyle F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\},}$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$

Если таково, что то монотонность подразумевает так, что как и требовалось. Если для всех то мы закончили, поэтому предположим иное. Тогда существует единственное такое, что бесконечно слева от (что может произойти только при ) и конечно справа. Рассуждая, как и выше, когда Аналогично, если и то ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty ,}$$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t<t_{0}.}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=+\infty }$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right).}$

Для Пусть — монотонно неубывающая последовательность, сходящаяся к Монотонно невозрастающая последовательность членов имеет по крайней мере одну конечно измеримую компоненту, и Непрерывность сверху гарантирует, что Правая часть тогда равна , если — точка непрерывности Поскольку непрерывна почти всюду, это завершает доказательство. ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>t_{n}\}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$ ${\displaystyle \lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)}$ ${\displaystyle F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Аддитивность

Меры должны быть счетно-аддитивными. Однако условие можно усилить следующим образом. Для любого множества и любого множества неотрицательных определяем: То есть, мы определяем сумму как супремум всех сумм конечного числа из них. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{i},i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .}$$ ${\displaystyle r_{i}}$

Мера на является -аддитивной, если для любого семейства непересекающихся множеств выполняется следующее: Второе условие эквивалентно утверждению, что идеал нулевых множеств является -полным. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$$ ${\displaystyle \kappa }$

Сигма-конечные меры

Пространство меры называется конечным, если — конечное действительное число (а не ). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера пропорциональна вероятностной мере. Мера называется σ-конечной, если ее можно разложить на счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, говорят, что множество в пространстве меры имеет σ-конечную меру , если оно является счетным объединением множеств с конечной мерой. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега являются σ-конечными, но не конечными. Рассмотрим замкнутые интервалы для всех целых чисел , таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, и их объединение является всей действительной прямой. В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой , которая назначает каждому конечному набору действительных чисел количество точек в наборе. Это пространство меры не является σ-конечным, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное число таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; σ-конечность можно сравнить в этом отношении со свойством Линделёфа топологических пространств. ^{[ оригинальное исследование? ]} Их также можно рассматривать как некое смутное обобщение идеи о том, что пространство с мерой может иметь «несчетную меру». ${\displaystyle [k,k+1]}$ ${\displaystyle k;}$

Строго локализуемые меры

Полуконечные меры

Пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на и пусть будет мерой на Мы говорим, что является полуконечным , имея в виду, что для всех ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .}$

Полуконечные меры обобщают сигма-конечные меры таким образом, что некоторые большие теоремы теории мер, справедливые для сигма-конечных, но не произвольных мер, могут быть расширены с небольшими изменениями так, чтобы они были справедливы для полуконечных мер. (Задача: добавить примеры таких теорем; см. страницу обсуждения.)

Простые примеры

• Каждая сигма-конечная мера является полуконечной.
• Предположим, пусть и предположим для всех ${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$ ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • Мы имеем, что является сигма-конечным тогда и только тогда, когда для всех и является счетным. Мы имеем, что является полуконечным тогда и только тогда, когда для всех ^[6] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$
  • Принимая вышесказанное (то есть подсчет меры на ), мы видим, что подсчет меры на есть ${\displaystyle f=X\times \{1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$
    • сигма-конечный тогда и только тогда, когда счетен; и ${\displaystyle X}$
    • полуконечный (независимо от того, является ли он счетным). (Таким образом, подсчет меры на множестве мощности произвольного несчетного множества дает пример полуконечной меры, которая не является сигма-конечной.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Пусть будет полной, отделимой метрикой на пусть будет борелевской сигма-алгеброй, индуцированной и пусть Тогда мера Хаусдорфа полуконечна. ^[7] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$
• Пусть будет полной, отделимой метрикой на пусть будет борелевской сигма-алгеброй, индуцированной и пусть Тогда мера упаковки полуконечна. ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$

Приведенный пример

Нулевая мера является сигма-конечной и, таким образом, полуконечной. Кроме того, нулевая мера явно меньше или равна Можно показать, что существует наибольшая мера с этими двумя свойствами: ${\displaystyle \mu .}$

Теорема (полуконечная часть) ^[9]  —  Для любой меры на существует среди полуконечных мер на , которые меньше или равны наибольшему элементу ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}.}$

Мы говорим, что полуконечная часть означает полуконечную меру, определенную в приведенной выше теореме. Мы приводим несколько хороших, явных формул, которые некоторые авторы могут принять за определение, для полуконечной части: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^[9]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^[10]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^[11]

Так как является полуконечным, то отсюда следует, что если то является полуконечным. Также очевидно, что если является полуконечным то ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

Не примеры

Каждая мера , которая не является нулевой мерой, не является полуконечной. (Здесь мы говорим мера , имея в виду меру, диапазон которой лежит в : ) Ниже мы приводим примеры мер, которые не являются нулевыми мерами. ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle 0-\infty }$

• Пусть будет непустым, пусть будет -алгеброй на пусть будет ненулевой функцией, и пусть Можно показать, что является мерой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^[12]
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$ ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^[13]
• Пусть будет несчетным, пусть будет -алгеброй на пусть будет счетными элементами и пусть Можно показать, что является мерой. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$ ${\displaystyle \mu }$

Вовлеченный не-пример

Меры, которые не являются полуконечными, очень дикие, когда ограничены определенными множествами. ^{[Примечание 1]} Каждая мера, в некотором смысле, полуконечна, если убрать ее часть (дикую часть). ${\displaystyle 0-\infty }$

—  А. Мукерджи и К. Потховен, Реальный и функциональный анализ, часть A: Реальный анализ (1985)

Теорема (разложение Лютера) ^{[14] [15]}  —  Для любой меры на существует мера на такая, что для некоторой полуконечной меры на Фактически, среди таких мер существует наименьшая мера Также, мы имеем ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu =\nu +\xi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \xi ,}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }.}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }.}$

Мы говорим, что часть означает меру, определенную в приведенной выше теореме. Вот явная формула для : ${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

Результаты относительно полуконечных мер

• Пусть будет или и пусть Тогда является полуконечным тогда и только тогда, когда является инъективным. ^{[16] [17]} (Этот результат важен при изучении сопряженного пространства для .) ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$
• Пусть будет или и пусть будет топологией сходимости по мере на Тогда является полуконечным тогда и только тогда, когда является хаусдорфовым. ^{[18] [19]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$
• (Джонсон) Пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на пусть будет мерой на пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на и пусть будет мерой на Если оба не являются мерой, то оба и являются полуконечными тогда и только тогда, когда для всех и (Здесь — мера, определенная в теореме 39.1 в Berberian '65. ^[20] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$ ${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$ ${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$

Локализуемые меры

Локализуемые меры являются частным случаем полуконечных мер и обобщением сигма-конечных мер.

Пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на и пусть будет мерой на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$

• Пусть будет или и пусть Тогда локализуемо тогда и только тогда, когда является биекцией (тогда и только тогда, когда «является» ). ^{[21] [17]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}}$

s-конечные меры

Мера называется s-конечной, если она является счетной суммой конечных мер. S-конечные меры являются более общими, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .

Неизмеримые множества

Если аксиома выбора верна, то можно доказать, что не все подмножества евклидова пространства измеримы по Лебегу ; примерами таких множеств являются множество Витали и неизмеримые множества, постулируемые парадоксом Хаусдорфа и парадоксом Банаха–Тарского .

Обобщения

Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется знаковой мерой , в то время как такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Заметим, однако, что комплексная мера обязательно имеет конечную вариацию, поэтому комплексные меры включают конечные знаковые меры, но не, например, меру Лебега .

Меры, принимающие значения в банаховых пространствах, были тщательно изучены. ^[22] Мера, принимающая значения в множестве самосопряженных проекций на гильбертовом пространстве, называется проекционно-значной мерой ; они используются в функциональном анализе для спектральной теоремы . Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, используется термин положительная мера . Положительные меры замкнуты относительно конической комбинации , но не общей линейной комбинации , в то время как знаковые меры являются линейным замыканием положительных мер.

Другое обобщение — конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности мы требуем только конечной аддитивности. Исторически это определение было использовано первым. Оказывается, что в общем случае конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как пределы Банаха , двойственное к и компактификация Стоуна–Чеха . Все они так или иначе связаны с аксиомой выбора . Содержание остается полезным в определенных технических задачах в геометрической теории меры ; это теория мер Банаха . ${\displaystyle L^{\infty }}$

Заряд является обобщением в обоих направлениях: это конечно-аддитивная, знаковая мера. ^[23] (Ср. ba пространство для информации об ограниченных зарядах, где мы говорим, что заряд ограничен , подразумевая, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .)

Смотрите также

• Математический портал

• Абелева алгебра фон Неймана
• Почти везде
• Теорема Каратеодори о расширении
• Содержание (теория меры)
• Теорема Фубини
• Лемма Фату
• Теория нечеткой меры
• Геометрическая теория меры
• мера Хаусдорфа
• Внутренняя мера
• Интеграция Лебега
• мера Лебега
• пространство Лоренца
• Теория подъема
• Измеримый кардинал
• Измеримая функция
• Содержание Минковского
• Внешняя мера
• Мера продукта
• Мера продвижения вперед
• Регулярная мера
• Векторная мера
• Оценка (теория меры)
• Объемная форма

Примечания

1. Один из способов перефразировать наше определение состоит в том, что является полуконечным тогда и только тогда, когда Отрицая эту перефразировку, мы получаем, что не является полуконечным тогда и только тогда, когда Для каждого такого множества мера подпространства, индуцированная сигма-алгеброй подпространства, индуцированной ограничением на указанную сигма-алгебру подпространства, является мерой, которая не является нулевой мерой. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\forall A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\exists B\subseteq A)(0<\mu (B)<+\infty ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\exists A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\forall B\subseteq A)(\mu (B)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$

Библиография

• Роберт Г. Бартл (1995) Элементы интеграции и мера Лебега , Wiley Interscience.
• Бауэр, Хайнц (2001), Теория меры и интеграции , Берлин: де Грюйтер, ISBN 978-3110167191
• Bear, HS (2001), A Primer of Lebesgue Integration , Сан-Диего: Academic Press, ISBN 978-0120839711
• Берберян, Стерлинг К (1965). Измерение и интегрирование . Макмиллан.
• Богачев, Владимир И. (2006), Теория меры , Берлин: Springer, ISBN 978-3540345138
• Бурбаки, Николя (2004), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1Глава 3.
• Дадли, Ричард М. (2002). Действительный анализ и вероятность . Cambridge University Press. ISBN 978-0521007542.
• Эдгар, Джеральд А. (1998). Интегральные, вероятностные и фрактальные меры . Springer. ISBN 978-1-4419-3112-2.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе издание). Wiley. ISBN 0-471-31716-0.
• Федерер, Герберт. Геометрическая теория меры. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., Нью-Йорк, 1969 xiv+676 стр.
• Фремлин, Д. Х. (2016). Теория меры, том 2: Широкие основы (изд. в твердом переплете). Торрес Фремлин.Второе издание.
• Хьюитт, Эдвард; Стромберг, Карл (1965). Действительный и абстрактный анализ: современная трактовка теории функций действительной переменной . Springer. ISBN 0-387-90138-8.
• Йех, Томас (2003), Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное , Springer Verlag , ISBN 3-540-44085-2
• Р. Дункан Люс и Луис Наренс (1987). «измерение, теория», The New Palgrave: A Dictionary of Economics , т. 3, стр. 428–32.
• Лютер, Норман Y (1967). «Разложение мер». Канадский журнал математики . 20 : 953–959. doi : 10.4153/CJM-1968-092-0 . S2CID  124262782.
• Мукерджи, А.; Потховен, К. (1985). Реальный и функциональный анализ, часть А: Реальный анализ (второе издание). Plenum Press.
  • Первое издание было опубликовано с Частью B: Функциональный анализ в виде одного тома: Мукерджи, А.; Потховен, К. (1978). Реальный и функциональный анализ (первое издание). Plenum Press. doi :10.1007/978-1-4684-2331-0. ISBN 978-1-4684-2333-4.
• ME Munroe, 1953. Введение в измерение и интеграцию . Эддисон Уэсли.
• Нильсен, Оле А. (1997). Введение в теорию интеграции и меры . Wiley. ISBN 0-471-59518-7.
• KPS Bhaskara Rao и M. Bhaskara Rao (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , Лондон: Academic Press, стр. x + 315, ISBN 0-12-095780-9
• Ройден, Х. Л.; Фицпатрик, П. М. (2010). Реальный анализ (Четвертое изд.). Prentice Hall. стр. 342, упражнение 17.8.Первое издание. Существует более позднее (2017) второе издание. Хотя обычно между первым и последующими изданиями мало различий, в этом случае второе издание не только удаляет со страницы 53 упражнения 36, 40, 41 и 42 главы 2, но также предлагает (немного, но все же существенно) иную презентацию части (ii) упражнения 17.8. (Презентация во втором издании части (ii) упражнения 17.8 (о разложении Лютера ^[14] ) согласуется с обычными презентациями, ^{[5] [24]} , тогда как презентация в первом издании дает свежий взгляд.)
• Шилов, Г. Е. и Гуревич, Б. Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, перевод. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 . Подчеркивает интеграл Даниэля . 
• Тешль, Джеральд , Темы по реальному и функциональному анализу, (конспекты лекций)
• Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 9780821869192.
• Уивер, Ник (2013). Теория меры и функциональный анализ . World Scientific . ISBN 9789814508568.

Ссылки

1. Архимед измеряет окружность
2. Хит, Т. Л. (1897). «Измерение окружности». Труды Архимеда. Университет Османии, Цифровая библиотека Индии. Издательство Кембриджского университета. С. 91–98.
3. Бенджио, Йошуа; Лахлу, Салем; Делеу, Тристан; Ху, Эдвард Дж.; Тивари, Миссури; Бенджио, Эммануэль (2021). «Фонды GFlowNet». arXiv : 2111.09266 [cs.LG].
4. Фремлин, Д. Х. (2010), Теория меры , т. 2 (Второе издание), стр. 221
5. Mukherjea & Pothoven 1985, стр. 90.
6. Фолланд 1999, стр. 25.
7. Эдгар 1998, Теорема 1.5.2, стр. 42.
8. Эдгар 1998, Теорема 1.5.3, стр. 42.
9. Nielsen 1997, Упражнение 11.30, стр. 159.
10. Фремлин 2016, Раздел 213X, часть (c).
11. Ройден и Фицпатрик 2010, Упражнение 17.8, стр. 342.
12. Хьюитт и Стромберг 1965, часть (б) примера 10.4, стр. 127.
13. Фремлин 2016, Раздел 211O, стр. 15.
14. Лютер 1967, Теорема 1.
15. Мукерджи и Потховен 1985, часть (b) предложения 2.3, стр. 90.
16. Фремлин 2016, часть (а) теоремы 243G, стр. 159.
17. Fremlin 2016, Раздел 243K, стр. 162.
18. Фремлин 2016, часть (a) теоремы в разделе 245E, стр. 182.
19. Фремлин 2016, Раздел 245M, стр. 188.
20. Берберян 1965, Теорема 39.1, стр. 129.
21. Фремлин 2016, часть (b) теоремы 243G, стр. 159.
22. Рао, ММ (2012), Случайные и векторные меры , Серия по многомерному анализу, т. 9, World Scientific , ISBN 978-981-4350-81-5, МР  2840012.
23. Бхаскара Рао, KPS (1983). Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер. М. Бхаскара Рао. Лондон: Academic Press. стр. 35. ISBN 0-12-095780-9. OCLC  21196971.
24. Фолланд 1999, стр. 27, Упражнение 1.15.а.

Внешние ссылки

• «Мера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебник: Теория меры для чайников