Тета-функция

Специальные функции нескольких комплексных переменных

Тета-функция Якоби θ ₁ с именем q = e ^{i π τ} = 0,1 e ^{0,1 i π} : ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{aligned}}}$

В математике тета-функции являются специальными функциями нескольких комплексных переменных . Они появляются во многих темах, включая абелевы многообразия , модульные пространства , квадратичные формы и солитоны . Как алгебры Грассмана , они появляются в квантовой теории поля . ^[1]

Наиболее распространенной формой тета-функции является та, которая встречается в теории эллиптических функций . По отношению к одной из комплексных переменных (условно называемой z ) тета-функция обладает свойством, выражающим ее поведение по отношению к добавлению периода связанных эллиптических функций, что делает ее квазипериодической функцией . В абстрактной теории эта квазипериодичность происходит из класса когомологий линейного расслоения на комплексном торе , условия спуска .

Одна из интерпретаций тета-функций применительно к уравнению теплопроводности заключается в том, что «тета-функция — это специальная функция, которая описывает изменение температуры на сегментной области при определенных граничных условиях» ^{[2] .}

В этой статье следует толковать как (в целях решения вопросов выбора ветви ). ^{[примечание 1]} ${\displaystyle (e^{\pi i\tau })^{\alpha }}$ ${\displaystyle e^{\alpha \pi i\tau }}$

Тета-функция Якоби

Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, и множество различных и несовместимых систем обозначений для них. Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоби ) — это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ , где z может быть любым комплексным числом , а τ — отношением полупериода , ограниченным верхней полуплоскостью , что означает, что она имеет положительную мнимую часть. Она задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}}$

где q = exp( πiτ ) — ном , а η = exp(2 πiz ) . Это форма Якоби . Ограничение гарантирует, что это абсолютно сходящийся ряд. При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции z . Соответственно, тета-функция является 1-периодической по z :

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$

Заполняя квадрат , он также является τ -квазипериодическим по z , причем

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp {\bigl (}-\pi i(\tau +2z){\bigr )}\vartheta (z;\tau ).}$

Таким образом, в общем,

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )}$

для любых целых чисел a и b .

Для любого фиксированного функция является целой функцией на комплексной плоскости, поэтому по теореме Лиувилля она не может быть дважды периодической по , если она не постоянна, и поэтому лучшее, что мы можем сделать, — это сделать ее периодической по и квазипериодической по . Действительно, поскольку и , функция неограничена, как того требует теорема Лиувилля. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1,\tau }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \left|{\frac {\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )}{\vartheta (z;\tau )}}\right|=\exp \left(\pi (b^{2}\Im (\tau )+2b\Im (z))\right)}$$ ${\displaystyle \Im (\tau )>0}$ ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$

На самом деле это наиболее общая целая функция с двумя квазипериодами в следующем смысле: ^[3]

Теорема  —  Если является целым и непостоянным, и удовлетворяет функциональным уравнениям для некоторой константы . ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\begin{cases}f(z+1)=f(z)\\f(z+\tau )=e^{az+2\pi ib}f(z)\end{cases}}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$

Если , то и . Если , то для некоторого ненулевого . ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=\tau }$ ${\displaystyle f(z)=e^{2\pi iz}}$ ${\displaystyle a=-2\pi i}$ ${\displaystyle f(z)=C\vartheta (z+{\frac {1}{2}}\tau +b,\tau )}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {C} }$

Тета-функция θ ₁ с другим номом q = e ^iπτ . Черная точка на правом рисунке показывает, как q изменяется с τ .

Тета-функция θ ₁ с другим номом q = e ^iπτ . Черная точка на правом рисунке показывает, как q изменяется с τ .

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определенная выше, иногда рассматривается вместе с тремя вспомогательными тета-функциями, и в этом случае она записывается с двойным нижним индексом 0:

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

Вспомогательные (или полупериодные) функции определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}$

Эта нотация следует Риману и Мамфорду ; оригинальная формулировка Якоби была в терминах нома q = e ^iπτ, а не τ . В нотации Якоби θ -функции записываются:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$

Якоби тета 1

Якоби тета 2

Якоби тета 3

Якоби тета 4

Приведенные выше определения тета-функций Якоби ни в коем случае не являются уникальными. См. тета-функции Якоби (вариации обозначений) для дальнейшего обсуждения.

Если мы установим z = 0 в приведенных выше тета-функциях, мы получим четыре функции только от τ , определенные на верхней полуплоскости. Эти функции называются функциями Theta Nullwert , основанными на немецком термине для нулевого значения из-за аннулирования левой записи в выражении тета-функции. В качестве альтернативы мы получим четыре функции только от q , определенные на единичном круге . Иногда их называют тета-константами : ^{[примечание 2]} ${\displaystyle |q|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}}$

с номом q = e ^iπτ . Заметим, что . Их можно использовать для определения множества модульных форм и параметризации некоторых кривых; в частности, тождество Якоби имеет вид ${\displaystyle \theta _{1}(q)=0}$

${\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}}$

что является кривой Ферма четвертой степени.

тождества Якоби

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под действием модулярной группы , которая порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ − ⁠1/τ⁠ . Уравнения для первого преобразования легко находятся, поскольку добавление единицы к τ в показателе степени имеет тот же эффект, что и добавление ⁠1/2⁠ к z ( n ≡ n ² mod 2 ). Для второго пусть

${\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}$

Тета-функции в терминах нома

Вместо того, чтобы выражать функции Тета через z и τ , мы можем выразить их через аргументы w и ном q , где w = e ^πiz и q = e ^πiτ . В этой форме функции становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}$

Мы видим, что тета-функции также могут быть определены в терминах w и q , без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Таким образом, эти формулы могут быть использованы для определения тета-функций над другими полями , где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поля p -адических чисел .

Представления продукта

Тройное произведение Якоби ( частный случай тождеств Макдональда ) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с | q | < 1 и w ≠ 0 мы имеем

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в работе Харди и Райта « Введение в теорию чисел» .

Если выразить тета-функцию через ном q = e ^πiτ (отметим, что некоторые авторы вместо этого полагают q = e ^{2 πiτ} ) и взять w = e ^πiz , то

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Таким образом, мы получаем формулу произведения для тета-функции в виде

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}$

В терминах w и q :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}$

где ( ; ) _∞ — это q- символ Похгаммера , а θ ( ; ) — это q -тета-функция . Раскрывая члены, можно также записать тройное произведение Якоби

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},}$

что мы также можем записать как

${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}$

Эта форма действительна в общем случае, но, очевидно, представляет особый интерес, когда z является действительным. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тета-функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$

В частности, мы можем интерпретировать их как однопараметрические деформации периодических функций , снова подтверждая интерпретацию тета-функции как наиболее общей функции с 2 квазипериодами. $${\displaystyle \lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{-{\frac {1}{4}}}}}=\sin(\pi z)}$$ ${\displaystyle \sin ,\cos }$

Интегральные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

Функция Тета Нульверта как интегральная идентичность: ${\displaystyle \theta _{3}(q)}$

${\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x}$

Эта формула обсуждалась в эссе « Серия квадратов, производящая преобразования функций» математика Макси Шмидта из Джорджии в Атланте.

На основе этой формулы приводятся следующие три выдающихся примера:

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}$

Кроме того, будут отображены примеры тета : ${\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=2.128936827211877158669\ldots }$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1.691459681681715341348\ldots }$

Явные ценности

Лемнискатные значения

Надлежащая заслуга за большинство этих результатов принадлежит Рамануджану. См. потерянную записную книжку Рамануджана и соответствующую ссылку на функцию Эйлера . Результаты Рамануджана, цитируемые в функции Эйлера, плюс несколько элементарных операций дают результаты ниже, поэтому они либо находятся в потерянной записной книжке Рамануджана, либо непосредственно следуют из нее. См. также Yi (2004). ^[4] Определить,

${\displaystyle \quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

с номом и функцией Дедекинда эта Тогда для ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau },}$ ${\displaystyle \tau =n{\sqrt {-1}},}$ ${\displaystyle \eta (\tau ).}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}}$

Если обратную величину постоянной Гельфонда возвести в степень, обратную нечетному числу, то соответствующие значения или величины можно представить упрощенно с помощью гиперболического лемнискатического синуса : ${\displaystyle \vartheta _{00}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$

Буквой обозначена константа лемнискаты . ${\displaystyle \varpi }$

Обратите внимание, что справедливы следующие модульные тождества:

${\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}}$

где — цепная дробь Роджерса–Рамануджана : ${\displaystyle s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}}$

Эквиангармоническийценности

Математик Брюс Берндт обнаружил дополнительные значения ^[5] тета-функции:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}$

Дополнительные значения

Многие значения тета-функции ^[6] и особенно показанной фи-функции можно представить в терминах гамма-функции:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}}$

Теоремы о мощности Нома

Теоремы прямой мощности

Для преобразования нома ^[7] в тета-функции можно использовать следующие формулы:

${\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}}$

${\displaystyle \theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}}$

Квадраты трех функций тета с нулевым значением с квадратной функцией в качестве внутренней функции также формируются по образцу пифагорейских троек согласно тождеству Якоби. Более того, эти преобразования являются действительными:

${\displaystyle \theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)}$

Эти формулы можно использовать для вычисления значений тета куба нома:

${\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]}$

${\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}$

Для вычисления значений тета пятой степени нома можно использовать следующие формулы:

${\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}$

${\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}$

Преобразование в кубический корень нома

Формулы для значений функции тета-Нульверта из кубического корня эллиптического нома получаются путем сопоставления двух действительных решений соответствующих уравнений четвертой степени:

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}$

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}$

Трансформация в пятом корне нома

Непрерывную дробь Роджерса -Рамануджана можно определить через тета-функцию Якоби следующим образом:

${\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

${\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

Функция знакопеременной непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана S(q) имеет следующие два тождества:

${\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

Значения тета-функции из пятого корня нома можно представить как рациональную комбинацию непрерывных дробей R и S и значений тета-функции из пятой степени нома и самого нома. Следующие четыре уравнения справедливы для всех значений q между 0 и 1:

${\displaystyle {\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}}$

${\displaystyle 1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}}$

${\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}}$

${\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}}$

Теоремы, зависящие от модуля

В сочетании с эллиптическим модулем можно отобразить следующие формулы:

Вот формулы для квадрата эллиптического нома:

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}$

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}$

${\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]}$

А это эффективная формула для куба нома:

${\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}$

Для всех действительных величин указанная формула верна. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

И для этой формулы приведем два примера:

Первый пример расчета с введенным значением : ${\displaystyle t=1}$

Второй пример расчета с вставленным значением : ${\displaystyle t=\Phi ^{-2}}$

Константа точно представляет число Золотого сечения . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Некоторые серийные идентичности

Суммы с тета-функцией в результате

Бесконечная сумма ^{[8] [9]} обратных чисел Фибоначчи с нечетными индексами имеет следующее тождество:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}$

Не используя выражение тета-функции, можно сформулировать следующее тождество между двумя суммами:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots }$

И в этом случае снова имеет место число Золотого сечения . ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Бесконечная сумма обратных величин квадратов чисел Фибоначчи:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}$

Бесконечная сумма обратных величин чисел Пелля с нечетными индексами:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}$

Суммы с тета-функцией в слагаемом

Следующие два ряда тождеств были доказаны Иштваном Мезё: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}$

Эти соотношения справедливы для всех 0 < q < 1. Специфицируя значения q , мы имеем следующие суммы, свободные от параметров

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}}$

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}$

где m , n — произвольные целые числа.

Связь с дзета-функцией Римана

Отношение

${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}$

был использован Риманом для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана с помощью преобразования Меллина

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}$

который, как можно показать, инвариантен относительно замены s на 1 − s . Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведен в статье о дзета-функции Гурвица .

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функция использовалась Якоби для построения (в форме, адаптированной для простых вычислений) его эллиптических функций как частных четырех приведенных выше тета-функций, и могла бы также использоваться им для построения эллиптических функций Вейерштрасса , поскольку

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}$

где вторая производная берется по z , а константа c определена так, что разложение Лорана ℘ ( z ) при z = 0 имеет нулевой постоянный член.

Отношение кд-гамма-функция

Четвертая тета-функция, а значит, и все остальные, тесно связана с q -гамма-функцией Джексона через соотношение ^[11]

${\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}$

Связь с функцией Дедекинда

Пусть η ( τ ) — эта-функция Дедекинда , а аргумент тета-функции — ном q = e ^πiτ . Тогда,

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}$

и,

${\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).}$

См. также модульные функции Вебера .

Эллиптический модуль

Эллиптический модуль равен

${\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}$

и дополнительный эллиптический модуль равен

${\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}$

Производные тета-функций

Это два идентичных определения полного эллиптического интеграла второго рода:

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}d\varphi }$

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}$

Производные функций Тета-Нульверта имеют следующие ряды Маклорена:

${\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}}$

${\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}}$

${\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}}$

Производные тета-функций с нулевым значением ^[12] следующие:

${\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}$

Две последние указанные формулы справедливы для всех действительных чисел действительного интервала определения: ${\displaystyle -1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }$

И эти две последние функции тета-производной связаны друг с другом следующим образом:

${\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}}$

Производные частных от двух из трех упомянутых здесь тета-функций всегда имеют рациональную связь с этими тремя функциями:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}}$

Для вывода этих формул вывода см. статьи Ном (математика) и Модульная лямбда-функция !

Интегралы тета-функций

Для тета-функций справедливы следующие интегралы ^{[13] :}

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029}$

Окончательные результаты, представленные ниже, основаны на общих формулах сумм Коши.

Решение уравнения теплопроводности

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственно периодическими граничными условиями. ^[14] Принимая z = x действительным и τ = it с t действительным и положительным, мы можем записать

${\displaystyle \vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)}$

который решает уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).}$

Это решение тета-функции является 1-периодическим по x , и при t → 0 оно приближается к периодической дельта-функции , или гребню Дирака , в смысле распределений

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}$.

Общие решения пространственно-периодической начальной задачи для уравнения теплопроводности могут быть получены путем свертки начальных данных при t = 0 с тета-функцией.

Связь с группой Гейзенберга

Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга . Эта инвариантность представлена ​​в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F — квадратичная форма от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}$

с суммой, распространяющейся на решетку целых чисел . Эта тета-функция является модулярной формой веса ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$н/2⁠ (на соответствующим образом определенной подгруппе) модулярной группы . В разложении Фурье,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}$

числа R _F ( k ) называются числами представления формы.

Тета-ряд характера Дирихле

Для χ — примитивного характера Дирихле по модулю q и ν = ⁠1 − χ (−1)/2⁠ тогда

${\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}}$

это вес ⁠1/2⁠ + ν модульная форма уровня 4 q ² и характер

${\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },}$

что означает ^[15]

${\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}$

в любое время

${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}$

Тета-функция Рамануджана

Тета-функция Римана

Позволять

${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}$

— множество симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена . называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . n -мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Sp(2 n , ) ; для n = 1 Sp (2, ) = SL(2, ) . n -мерным аналогом подгрупп конгруэнции является ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.}$

Тогда, учитывая τ ∈ ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ , тета-функция Римана определяется как

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).}$

Здесь z ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ — n -мерный комплексный вектор, а верхний индекс T обозначает транспонирование . Тета-функция Якоби тогда является особым случаем, при n = 1 и τ ∈ , ${\displaystyle \mathbb {H} }$ где — верхняя полуплоскость . Одним из основных применений тета-функции Римана является то, что она позволяет давать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях , а также других вспомогательных объектов, которые играют важную роль в их теории функций, принимая τ за матрицу периодов относительно канонического базиса для ее первой группы гомологий . ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Тета Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}$

Функциональное уравнение имеет вид

${\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )}$

которое справедливо для всех векторов a , b ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ , и для всех z ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ и τ ∈ ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ .

ряд Пуанкаре

Ряд Пуанкаре обобщает тета-ряд до автоморфных форм относительно произвольных фуксовых групп .

Вывод значений тета

Тождество бета-функции Эйлера

Далее в качестве примеров будут получены три важных значения тета-функции:

Вот как определяется бета-функция Эйлера в ее сокращенной форме:

${\displaystyle \beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}}$

В общем случае для всех натуральных чисел справедлива следующая формула бета-функции Эйлера: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}$

Образцовые эллиптические интегралы

Далее выводятся некоторые эллиптические интегральные сингулярные значения ^{[16] :}

Сочетание интегральных тождеств с номом

Функция эллиптического нома имеет следующие важные значения:

${\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )}$

Доказательство правильности этих значений нома см. в статье Ном (математика) !

На основе этих интегральных тождеств и вышеупомянутых определений и тождеств для тета-функций в том же разделе настоящей статьи теперь определяются примерные нулевые значения тета:

${\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}}$

${\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}}$

${\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}$

${\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}$

Последовательности разбиений и продукты Похгаммера

Обычная последовательность номеров разделов

Регулярная последовательность разделов сама по себе указывает количество способов, которыми положительное целое число может быть разделено на положительные целые слагаемые. Для чисел до соответствующие номера разделов со всеми соответствующими числовыми разделами перечислены в следующей таблице: ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle P}$

Производящую функцию регулярной последовательности чисел разбиения можно представить через произведение Похгаммера следующим образом:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}}$

Суммирование упомянутого произведения Похгаммера описывается теоремой о пентагональных числах следующим образом:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}}$

Следующие основные определения применимы к пятиугольным числам и числам карточных домиков:

${\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}$

${\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}$

В качестве дальнейшего приложения ^[17] получается формула для третьей степени произведения Эйлера:

${\displaystyle (x;x)^{3}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}}$

Строгая последовательность номеров разделов

А строгая последовательность разбиения указывает число способов, которыми такое положительное целое число может быть разделено на положительные целые слагаемые таким образом, что каждое слагаемое появляется не более одного раза ^[18] и ни одно значение слагаемого не встречается повторно. Точно такая же последовательность ^[19] также генерируется, если в разбиение включены только нечетные слагаемые, но эти нечетные слагаемые могут встречаться более одного раза. Оба представления для строгой последовательности чисел разбиения сравниваются в следующей таблице: ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle n}$

Производящую функцию строгой последовательности чисел разбиения можно представить с помощью произведения Похгаммера:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}$

Последовательность чисел надраздела

Ряд Маклорена для обратной функции ϑ ₀₁ имеет числа надразбиения последовательности в качестве коэффициентов с положительным знаком: ^[20]

${\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots }$

Если для заданного числа все разбиения настроены таким образом, что размер слагаемого никогда не увеличивается, и все те слагаемые, которые не имеют слагаемого того же размера слева от себя, могут быть отмечены для каждого разбиения этого типа, то это будет результирующее число ^[21] отмеченных разбиений в зависимости от функции переразбиения . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\overline {P}}(k)}$

Первый пример:

${\displaystyle {\overline {P}}(4)=14}$

Для суммы 4 существуют следующие 14 вариантов маркировки разделов:

Второй пример:

${\displaystyle {\overline {P}}(5)=24}$

Для суммы 5 существуют 24 варианта маркировки разделов:

Отношения последовательностей номеров разделов друг к другу

В Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) последовательность номеров регулярных разделов находится под кодом A000041, последовательность строгих разделов находится под кодом A000009, а последовательность суперразделов находится под кодом A015128. Все родительские разделы из индекса четные. ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle {\overline {P}}(n)}$ ${\displaystyle n=1}$

Последовательность суперразбиений может быть записана с помощью регулярной последовательности разбиений P ^[22] , а строгая последовательность разбиений Q ^[23] может быть сгенерирована следующим образом: ${\displaystyle {\overline {P}}(n)}$

${\displaystyle {\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)}$

В следующей таблице последовательностей чисел в качестве примера следует использовать эту формулу:

В связи с этим свойством следующая комбинация двух серий сумм может быть также установлена ​​с помощью функции ϑ ₀₁ :

${\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}$

Примечания

1. См., например, https://dlmf.nist.gov/20.1. Обратите внимание, что это, в общем случае, не эквивалентно обычной интерпретации, когда находится вне полосы . Здесь обозначает главную ветвь комплексного логарифма . ${\displaystyle (e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Log} }$
2. для всех с . ${\displaystyle \theta _{1}(q)=0}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |q|<1}$

Ссылки

1. Тюрин, Андрей Н. (30 октября 2002 г.). «Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции». arXiv : math/0210466v1 .
2. Чанг, Дер-Чен (2011). Тепловые ядра для эллиптических и субэллиптических операторов . Биркхойзер. стр. 7.
3. Лекции Тата по Тета I. Современная классика Биркхойзера. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон. 2007. стр. 4. doi : 10.1007/978-0-8176-4577-9. ISBN 978-0-8176-4572-4.
4. Yi, Jinhee (2004). «Тождества тета-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения». Журнал математического анализа и приложений . 292 (2): 381–400. doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
5. Берндт, Брюс С.; Ребак, Орс (9 января 2022 г.). «Явные значения тета-функции Рамануджана ϕ(q)». Hardy-Ramanujan Journal . 44 : 8923. arXiv : 2112.11882 . doi : 10.46298/hrj.2022.8923 . S2CID  245851672.
6. Yi, Jinhee (15 апреля 2004 г.). «Тождества тета-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения». Журнал математического анализа и приложений . 292 (2): 381–400. doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
7. Андреас Дикманн: Таблица бесконечных произведений. Бесконечные суммы. Бесконечные серии, эллиптическая тета. Физический институт Университета Бонна, Абруф, 1 октября 2021 г.
8. Ландау (1899) zitiert nach Borwein, страница 94, упражнение 3.
9. "Теоретико-числовые, комбинаторные и целочисленные функции – документация mpmath 1.1.0" . Получено 18.07.2021 .
10. q -тригонометрических функций Госпера », Труды Американского математического общества , 141 (7): 2401–2410, doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5
11. Mező, István (2012). «Формула q-Raabe и интеграл четвертой тета-функции Якоби». Журнал теории чисел . 133 (2): 692–704. doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 . hdl : 2437/166217 .
12. Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическая альфа-функция». MathWorld .
13. "интегрирование - Любопытные интегралы для тета-функций Якоби $\int_0^1 \vartheta_n(0,q)dq$". 2022-08-13.
14. Ояма, Юсуке (1995). «Дифференциальные отношения тета-функций». Osaka Journal of Mathematics . 32 (2): 431–450. ISSN  0030-6126.
15. Шимура, О модулярных формах полуцелого веса
16. "Эллиптическое интегральное сингулярное значение". msu.edu . Получено 2023-04-07 .
17. Тета-функциональное тождество Рамануджана, включающее ряды Ламберта
18. "code golf - Строгие разбиения положительного целого числа" . Получено 2022-03-09 .
19. "A000009 - OEIS" . 09.03.2022.
20. Малбург, Карл (2004). «Функция сверхразбиения по модулю малых степеней 2». Дискретная математика . 286 (3): 263–267. doi :10.1016/j.disc.2004.03.014.
21. Ким, Бёнчан (28 апреля 2009 г.). «Elsevier Enhanced Reader». Дискретная математика . 309 (8): 2528–2532. doi : 10.1016/j.disc.2008.05.007 .
22. Эрик В. Вайсштейн (11.03.2022). «Функция распределения P».
23. Эрик В. Вайсштейн (11.03.2022). «Функция распределения Q».

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications . раздел 16.27 и далее. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Ахиезер, Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций . Переводы математических монографий AMS . Т. 79. Провиденс, Род-Айленд: AMS . ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности . Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (для лечения тета-волн Римана)
• Харди, ГХ ; Райт, ЭМ (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press .
• Мамфорд, Дэвид (1983). Лекции Тата по Тета I. Бостон: Биркхаузер . ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Пирпонт, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной . Нью-Йорк: Dover Publications .
• Раух, Гарри Э .; Фаркас, Гершель М. (1974). Тета-функции с приложениями к римановым поверхностям . Балтимор: Williams & Wilkins . ISBN 978-0-683-07196-2.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010), «Тета-функции», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . Гл. 21. (история θ- функций Якоби )

Дальнейшее чтение

• Фаркас, Хершель М. (2008). «Тета-функции в комплексном анализе и теории чисел». В Аллади, Кришнасвами (ред.). Обзоры по теории чисел . Развитие математики. Том 17. Springer-Verlag . С. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Збл  1206.11055.
• Шенеберг, Бруно (1974). «IX. Тета-серия». Эллиптические модульные функции . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 203. Шпрингер-Верлаг . стр. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
• Акерман, Майкл (1 февраля 1979 г.). «О производящих функциях некоторых рядов Эйзенштейна». Математические Аннален . 244 (1): 75–81. дои : 10.1007/BF01420339. S2CID  120045753.

Гарри Раух с Гершелем М. Фаркасом: Тета-функции и приложения к римановым поверхностям, Уильямс и Уилкинс, Балтимор, Мэриленд, 1974, ISBN 0-683-07196-3 .  

• Шарль Эрмит: Sur la resolution de l'Equation du cinquiéme degré Comptes rendus, CR Acad. наук. Париж, №. 11 марта 1858 г.

Внешние ссылки

• Моисеев Игорь. "Эллиптические функции для Matlab и Octave".

В данной статье использованы материалы из книги «Интегральные представления тета-функций Якоби» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .