Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Набор квазилинейных гиперболических уравнений, описывающих адиабатическое и невязкое течение

Поток вокруг крыла. Этот несжимаемый поток удовлетворяет уравнениям Эйлера.

В гидродинамике уравнения Эйлера представляют собой набор дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих адиабатическое и невязкое течение . Они названы в честь Леонарда Эйлера . В частности, они соответствуют уравнениям Навье–Стокса с нулевой вязкостью и нулевой теплопроводностью . ^[1]

Уравнения Эйлера могут быть применены к несжимаемым и сжимаемым потокам . Несжимаемые уравнения Эйлера состоят из уравнений Коши для сохранения массы и баланса импульса, вместе с условием несжимаемости, что скорость потока является соленоидальным полем . Сжимаемые уравнения Эйлера состоят из уравнений для сохранения массы, баланса импульса и баланса энергии, вместе с подходящим конститутивным уравнением для удельной плотности энергии жидкости. Исторически Эйлером были выведены только уравнения сохранения массы и баланса импульса. Однако в литературе по динамике жидкостей полный набор сжимаемых уравнений Эйлера, включая уравнение энергии, часто называют «сжимаемыми уравнениями Эйлера». ^[2]

Математические характеристики несжимаемых и сжимаемых уравнений Эйлера довольно различны. При постоянной плотности жидкости несжимаемые уравнения можно записать как квазилинейное уравнение адвекции для скорости жидкости вместе с эллиптическим уравнением Пуассона для давления. С другой стороны, сжимаемые уравнения Эйлера образуют квазилинейную гиперболическую систему уравнений сохранения .

Уравнения Эйлера можно сформулировать в «конвективной форме» (также называемой « Лагранжевой формой ») или «форме сохранения» (также называемой « Эйлеровой формой »). Конвективная форма подчеркивает изменения состояния в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью. Форма сохранения подчеркивает математическую интерпретацию уравнений как уравнений сохранения для фиксированного в пространстве контрольного объема (что полезно с численной точки зрения).

История

Уравнения Эйлера впервые появились в опубликованном виде в статье Эйлера «Principes généraux du mouvement des fluides», опубликованной в Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin в 1757 году ^[3] (хотя Эйлер ранее представил свою работу Берлинской академии в 1752 году). ^[4] Предшествующие работы включали вклад семьи Бернулли , а также Жана Лерона Д'Аламбера . ^[5]

Уравнения Эйлера были одними из первых записанных уравнений с частными производными после волнового уравнения . В оригинальной работе Эйлера система уравнений состояла из уравнений импульса и непрерывности и, таким образом, была недоопределена, за исключением случая несжимаемого потока. Дополнительное уравнение, которое было названо адиабатическим условием , было предоставлено Пьером-Симоном Лапласом в 1816 году.

Во второй половине XIX века было обнаружено, что уравнение, связанное с балансом энергии, должно всегда соблюдаться для сжимаемых потоков, а адиабатическое условие является следствием фундаментальных законов в случае гладких решений. С открытием специальной теории относительности понятия плотности энергии, плотности импульса и напряжения были объединены в понятие тензора энергии -напряжения , а энергия и импульс были также объединены в единое понятие вектора энергии-импульса . ^[4]

Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью

В конвективной форме (т.е. форме, в которой конвективный оператор явно выражен в уравнении импульса ) несжимаемые уравнения Эйлера в случае плотности, постоянной во времени и однородной в пространстве, имеют вид: ^[6]

Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью
( конвективная или лагранжева форма )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

где:

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$- вектор скорости потока с компонентами в N -мерном пространстве , ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{N}}$
• ${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\Phi }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\Phi }}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla {\boldsymbol {\Phi }}}$, для общей функции (или поля) обозначает ее материальную производную по времени относительно адвективного поля и ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \nabla w}$- градиент удельной (в смысле на единицу массы ) термодинамической работы , внутренний источник , и
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$- это дивергенция скорости потока .
• ${\displaystyle \mathbf {g} }$представляет собой ускорения тела (на единицу массы), действующие на сплошную среду, например , гравитация , инерционные ускорения, ускорение электрического поля и т. д.

Первое уравнение — это уравнение импульса Эйлера с однородной плотностью (для этого уравнения она также может быть непостоянной во времени). Раскрывая материальную производную , уравнения принимают вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

Фактически для потока с однородной плотностью справедливо следующее тождество: где - механическое давление . Второе уравнение - это несжимаемое ограничение , утверждающее, что скорость потока является соленоидальным полем (порядок уравнений не является причинным, но подчеркивает тот факт, что несжимаемое ограничение является не вырожденной формой уравнения непрерывности , а скорее уравнения энергии, как станет ясно из дальнейшего). Примечательно, что уравнение непрерывности также потребуется в этом несжимаемом случае как дополнительное третье уравнение в случае плотности, изменяющейся во времени или изменяющейся в пространстве. Например, при плотности, неоднородной в пространстве, но постоянной во времени, уравнение непрерывности, которое следует добавить к приведенному выше набору, будет соответствовать: ${\displaystyle \rho _{0}}$ $${\displaystyle \nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p,}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}$$

Таким образом, случай постоянной и равномерной плотности является единственным, не требующим уравнения непрерывности как дополнительного уравнения независимо от наличия или отсутствия несжимаемого ограничения. Фактически, случай несжимаемых уравнений Эйлера с постоянной и равномерной плотностью, обсуждаемый здесь, является игрушечной моделью, включающей только два упрощенных уравнения, поэтому он идеален для дидактических целей, даже если имеет ограниченную физическую значимость.

Уравнения выше, таким образом, представляют соответственно сохранение массы (1 скалярное уравнение) и импульса (1 векторное уравнение, содержащее скалярные компоненты, где - физическое измерение интересующего пространства). Скорость потока и давление являются так называемыми физическими переменными . ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

В системе координат, заданной векторами скорости и внешней силы и имеют компоненты и , соответственно. Тогда уравнения могут быть выражены в нижних индексах как: ${\displaystyle \left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{N})}$ ${\displaystyle \left(g_{1},\dots ,g_{N}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i},\\\sum _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i}}&=0.\end{aligned}}}$$

где и индексы обозначают компоненты N -мерного пространства, а — дельта Кренкекера . Также часто используется обозначение Эйнштейна (где сумма подразумевается повторяющимися индексами вместо обозначения сигма ). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Характеристики

Хотя Эйлер впервые представил эти уравнения в 1755 году, многие фундаментальные вопросы и концепции, связанные с ними, остаются без ответа.

В трехмерном пространстве в некоторых упрощенных сценариях уравнения Эйлера создают сингулярности. ^[7]

Гладкие решения свободных (в смысле отсутствия источника: g=0) уравнений удовлетворяют закону сохранения удельной кинетической энергии: $${\displaystyle {\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2}\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {u} \right)=0.}$$

В одномерном случае без исходного члена (как градиента давления, так и внешней силы) уравнение импульса становится невязким уравнением Бюргерса : $${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0.}$$

Это модельное уравнение дает много информации об уравнениях Эйлера.

Безразмерность

Для того чтобы сделать уравнения безразмерными, необходимо определить характерную длину и характерную скорость . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были порядка один. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные: и единичного вектора поля : ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle u_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}},&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,&p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}},\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}}.}$$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения Эйлера, определяющие число Фруда , дает (опуская * в вершине):

Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью
( безразмерная форма )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}{\hat {\mathbf {g} }}\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

Уравнения Эйлера в пределе Фруда (внешнее поле отсутствует) называются свободными уравнениями и являются консервативными. Предел высоких чисел Фруда (внешнее поле мало) поэтому примечателен и может быть изучен с помощью теории возмущений .

Форма сохранения

Форма сохранения подчеркивает математические свойства уравнений Эйлера, и особенно сокращенная форма часто является наиболее удобной для моделирования вычислительной гидродинамики . С вычислительной точки зрения, есть некоторые преимущества в использовании сохраняющихся переменных. Это приводит к появлению большого класса численных методов, называемых консервативными методами. ^[1]

Свободные уравнения Эйлера являются консервативными , в том смысле, что они эквивалентны уравнению сохранения: или просто в обозначениях Эйнштейна: где величина сохранения в этом случае является вектором, а является матрицей потока . Это можно просто доказать. $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\partial r_{i}}}=0_{i},}$$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Демонстрация формы сохранения

Во-первых, справедливы следующие тождества: где обозначает внешнее произведение . Те же тождества, выраженные в обозначениях Эйнштейна, имеют вид: где I — единичная матрица размерности N , а δ _{ij —} ее общий элемент, дельта Кренекера. $${\displaystyle \nabla \cdot (w\mathbf {I} )=\mathbf {I} \cdot \nabla w+w\nabla \cdot \mathbf {I} =\nabla w}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$$ ${\displaystyle \otimes }$ $${\displaystyle \partial _{i}\left(w\delta _{ij}\right)=\delta _{ij}\partial _{i}w+w\partial _{i}\delta _{ij}=\delta _{ij}\partial _{i}w=\partial _{j}w}$$ $${\displaystyle u_{j}\partial _{i}u_{i}=\partial _{i}\left(u_{i}u_{j}\right)}$$

Благодаря этим векторным тождествам уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью и без внешнего поля можно представить в так называемой дифференциальной форме сохранения (или Эйлеровой) с векторной записью: или с записью Эйнштейна: $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \right)&=\mathbf {0} \\{\partial 0 \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}\right.}$$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\partial _{t}u_{j}+\partial _{i}\left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right)&=0\\\partial _{t}0+\partial _{j}u_{j}&=0,\end{aligned}}\right.}$$

Тогда несжимаемые уравнения Эйлера с равномерной плотностью имеют переменные сохранения: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Обратите внимание, что во втором компоненте u сам по себе является вектором с длиной N, поэтому y имеет длину N+1, а F имеет размер N(N+1). В 3D, например, y имеет длину 4, I имеет размер 3×3, а F имеет размер 4×3, поэтому явные формы таковы: $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\0\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}u_{1}^{2}+w&u_{1}u_{2}&u_{1}u_{3}\\u_{2}u_{1}&u_{2}^{2}+w&u_{2}u_{3}\\u_{3}u_{1}&u_{3}u_{2}&u_{3}^{2}+w\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{pmatrix}}.}$$

Наконец, уравнения Эйлера можно преобразовать в частное уравнение:

Уравнение(я) Эйлера для несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью
( форма сохранения или Эйлера )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}}$

Пространственные измерения

Для некоторых задач, особенно при анализе сжимаемого потока в канале или в случае, если поток имеет цилиндрическую или сферическую симметрию, одномерные уравнения Эйлера являются полезным первым приближением. Обычно уравнения Эйлера решаются методом характеристик Римана . Это включает в себя нахождение кривых в плоскости независимых переменных (т. е. и ), вдоль которых уравнения в частных производных (УЧП) вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Численные решения уравнений Эйлера в значительной степени опираются на метод характеристик. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости

В конвективной форме уравнения Эйлера несжимаемой жидкости в случае переменной в пространстве плотности имеют вид: ^[6]

Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости
( конвективная или лагранжева форма )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=0\\{D\mathbf {u} \over Dt}&=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

где дополнительные переменные:

• ${\displaystyle \rho }$- плотность массы жидкости ,
• ${\displaystyle p}$это давление , . ${\displaystyle p=\rho w}$

Первое уравнение, которое является новым, это уравнение неразрывности несжимаемой жидкости . Фактически, общее уравнение неразрывности будет иметь вид: $${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$

но здесь последний член тождественно равен нулю для ограничения несжимаемости.

Форма сохранения

Несжимаемые уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и связанным с ней потоком соответственно: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Здесь имеет длину и имеет размер . ^[a] В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера можно выразить как: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle N+2}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (N+2)N}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}.}$$

Переменные сохранения

Переменные для уравнений в форме сохранения еще не оптимизированы. Фактически мы могли бы определить: где есть плотность импульса , переменная сохранения. $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$

Уравнение(я) Эйлера для несжимаемой жидкости
( форма сохранения или Эйлера )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}}$

где — плотность силы , переменная сохранения. ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

Уравнения Эйлера

В дифференциальной конвективной форме сжимаемые (и наиболее общие) уравнения Эйлера можно записать кратко с использованием обозначения материальной производной :

Уравнения Эйлера
( конвективная форма )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=-\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\mathbf {g} \\[1.2ex]{De \over Dt}&=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned}}}$

где дополнительные переменные здесь:

• ${\displaystyle e}$— удельная внутренняя энергия (внутренняя энергия на единицу массы).

Уравнения выше, таким образом, представляют сохранение массы , импульса и энергии : уравнение энергии, выраженное в переменной внутренней энергии, позволяет понять связь с несжимаемым случаем, но оно не в самой простой форме. Плотность массы, скорость потока и давление являются так называемыми конвективными переменными (или физическими переменными, или лагранжевыми переменными), в то время как плотность массы, плотность импульса и полная плотность энергии являются так называемыми сохраняющимися переменными (также называемыми эйлеровыми или математическими переменными). ^[1]

Если разложить материальную производную, то уравнения выше будут такими: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\\[1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}&=\mathbf {g} ,\\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

Несжимаемое ограничение (повторное рассмотрение)

Возвращаясь к несжимаемому случаю, теперь становится очевидным, что несжимаемое ограничение, типичное для предыдущих случаев, на самом деле является частной формой, действительной для несжимаемых потоков уравнения энергии , а не уравнения массы. В частности, несжимаемое ограничение соответствует следующему очень простому уравнению энергии: $${\displaystyle {\frac {De}{Dt}}=0.}$$

Таким образом, для несжимаемой невязкой жидкости удельная внутренняя энергия постоянна вдоль линий потока , также в потоке, зависящем от времени. Давление в несжимаемом потоке действует как множитель Лагранжа , являясь множителем несжимаемого ограничения в уравнении энергии, и, следовательно, в несжимаемых потоках оно не имеет термодинамического смысла. Фактически, термодинамика типична для сжимаемых потоков и вырождается в несжимаемых потоках. ^[8]

На основе уравнения сохранения массы можно представить это уравнение в форме сохранения: это означает, что для несжимаемого невязкого непроводящего потока справедливо уравнение непрерывности для внутренней энергии. $${\displaystyle {\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0,}$$

Сохранение энтальпии

Поскольку по определению удельная энтальпия равна: $${\displaystyle h=e+{\frac {p}{\rho }}.}$$

Материальная производная удельной внутренней энергии может быть выражена как: $${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right).}$$

Тогда, подставляя уравнение импульса в это выражение, получаем: $${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right).}$$

Подставляя последнее в уравнение энергии, получаем выражение энтальпии для уравнения энергии Эйлера: В системе отсчета, движущейся с невязким и непроводящим потоком, изменение энтальпии напрямую соответствует изменению давления. $${\displaystyle {Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}.}$$

Термодинамика идеальных жидкостей

В термодинамике независимыми переменными являются удельный объем и удельная энтропия , тогда как удельная энергия является функцией состояния этих двух переменных.

Вывод формы, действительной для термодинамических систем

Учитывая первое уравнение, переменную необходимо заменить с плотности на удельный объем. По определению: $${\displaystyle v\equiv {\frac {1}{\rho }}}$$

Таким образом, справедливы следующие тождества: $${\displaystyle \nabla \rho =\nabla \left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{v^{2}}}\nabla v}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}}$$

Затем, подставляя эти выражения в уравнение сохранения массы: $${\displaystyle -{\frac {\mathbf {u} }{v^{2}}}\cdot \nabla v-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {1}{v}}\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

И путем умножения: $${\displaystyle {\partial v \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla v=v\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

Это уравнение является единственным, относящимся к общим уравнениям сплошной среды, поэтому только оно имеет ту же форму, что и, например, уравнения Навье-Стокса.

С другой стороны, давление в термодинамике противоположно частной производной удельной внутренней энергии по удельному объему: поскольку внутренняя энергия в термодинамике является функцией двух вышеупомянутых переменных, градиент давления, содержащийся в уравнении импульса, должен быть явно выражен как: $${\displaystyle p(v,s)=-{\partial e(v,s) \over \partial v}}$$ $${\displaystyle -\nabla p(v,s)=-{\frac {\partial p}{\partial v}}\nabla v-{\frac {\partial p}{\partial s}}\nabla s={\frac {\partial ^{2}e}{\partial v^{2}}}\nabla v+{\frac {\partial ^{2}e}{\partial v\partial s}}\nabla s}$$

Для краткости удобно поменять обозначения для производных второго порядка: $${\displaystyle -\nabla p(v,s)=e_{vv}\nabla v+e_{vs}\nabla s}$$

Наконец, уравнение энергии: может быть еще больше упрощено в конвективной форме путем замены переменной с удельной энергии на удельную энтропию: фактически первый закон термодинамики в локальной форме можно записать: подставив материальную производную внутренней энергии, уравнение энергии становится: теперь член в скобках тождественно равен нулю в соответствии с законом сохранения массы, тогда уравнение энергии Эйлера становится просто: $${\displaystyle {De \over Dt}=-pv\nabla \cdot \mathbf {u} }$$ $${\displaystyle {De \over Dt}=T{Ds \over Dt}-p{Dv \over Dt}}$$ $${\displaystyle T{Ds \over Dt}+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\left({D\rho \over Dt}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \right)=0}$$ $${\displaystyle {Ds \over Dt}=0}$$

Для термодинамической жидкости уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости лучше всего записать в следующем виде:

Уравнения Эйлера
( конвективная форма, для термодинамической системы )

${\displaystyle {\begin{aligned}{Dv \over Dt}&=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=ve_{vv}\nabla v+ve_{vs}\nabla s+\mathbf {g} \\[1.2ex]{Ds \over Dt}&=0\end{aligned}}}$

где:

• ${\displaystyle v}$это удельный объем
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$вектор скорости потока
• ${\displaystyle s}$это удельная энтропия

В общем случае, а не только в несжимаемом случае, уравнение энергии означает, что для невязкой термодинамической жидкости удельная энтропия постоянна вдоль линий потока , также в потоке, зависящем от времени. Основываясь на уравнении сохранения массы, можно привести это уравнение к форме сохранения: ^[9] что означает, что для невязкого непроводящего потока справедливо уравнение непрерывности для энтропии. $${\displaystyle {\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0,}$$

С другой стороны, две частные производные второго порядка удельной внутренней энергии в уравнении импульса требуют спецификации фундаментального уравнения состояния рассматриваемого материала, т.е. удельной внутренней энергии как функции двух переменных удельного объема и удельной энтропии: $${\displaystyle e=e(v,s).}$$

Фундаментальное уравнение состояния содержит всю термодинамическую информацию о системе (Каллен, 1985) ^{[10] , точно так же} , как пара термического уравнения состояния вместе с калорическим уравнением состояния.

Форма сохранения

Уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и связанным с ней потоком соответственно: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}},}$$

где:

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$— плотность импульса , переменная сохранения.
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$— полная плотность энергии (полная энергия на единицу объема).

Здесь имеет длину N + 2 и размер N(N + 2). ^[b] В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера можно выразить как: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Уравнение(я) Эйлера
( исходное сохранение или эйлерова форма )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \cdot \mathbf {f} \end{pmatrix}}}$

где — плотность силы , переменная сохранения. ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

Отметим, что уравнение Эйлера, даже когда оно консервативно (внешнее поле отсутствует, предел Фруда), вообще не имеет инвариантов Римана ^{. [11]} Требуются некоторые дополнительные предположения .

Однако мы уже упоминали, что для термодинамической жидкости уравнение для полной плотности энергии эквивалентно уравнению сохранения: $${\displaystyle {\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0.}$$

Тогда уравнения сохранения в случае термодинамической жидкости выражаются проще:

Уравнение(я) Эйлера
( форма сохранения, для термодинамических жидкостей )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\S\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\S{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}}$

где — плотность энтропии, термодинамическая переменная сохранения. ${\displaystyle S=\rho s}$

Другая возможная форма уравнения энергии, особенно полезная для изобар , имеет вид: где — полная плотность энтальпии . $${\displaystyle {\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}},}$$ ${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$

Квазилинейная форма и характеристические уравнения

Расширение потоков может быть важной частью построения численных решателей , например, путем использования ( приближенных ) решений задачи Римана . В областях, где вектор состояния y изменяется плавно, уравнения в консервативной форме могут быть представлены в квазилинейной форме: где называются якобианами потоков, определяемыми как матрицы : $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i}}}={\mathbf {0} }.}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}.}$$

Очевидно, что этот якобиан не существует в областях разрывов (например, контактных разрывов, ударных волн в невязких непроводящих потоках). Если якобианы потока не являются функциями вектора состояния , уравнения показывают линейный . ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

Характеристические уравнения

Сжимаемые уравнения Эйлера можно разложить на набор N+2 волновых уравнений, описывающих звук в эйлеровом континууме, если они выражены в характеристических переменных вместо сохраняющихся переменных.

На самом деле тензор A всегда диагонализуем . Если все собственные значения (случай уравнений Эйлера) действительны, то система определяется как гиперболическая , а физически собственные значения представляют скорости распространения информации. ^[12] Если все они различимы, то система определяется как строго гиперболическая (будет доказано, что это случай одномерных уравнений Эйлера). Кроме того, диагонализация сжимаемого уравнения Эйлера проще, когда уравнение энергии выражается через переменную энтропию (т. е. с помощью уравнений для термодинамических жидкостей), чем через другие энергетические переменные. Это станет ясно при рассмотрении одномерного случая.

Если — правый собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению , то путем построения проекционной матрицы : ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\right].}$$

В конечном итоге можно найти характерные переменные как: $${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} .}$$

Поскольку A является константой, умножение исходного одномерного уравнения в форме потока-якобиана на P ⁻¹ дает характеристические уравнения: ^[13] $${\displaystyle {\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_{i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}.}$$

Исходные уравнения были разделены на N+2 характеристических уравнений, каждое из которых описывает простую волну, причем собственные значения являются скоростями волн. Переменные w _i называются характеристическими переменными и являются подмножеством консервативных переменных. Решение задачи начального значения в терминах характеристических переменных в конечном итоге очень простое. В одном пространственном измерении это: $${\displaystyle w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right).}$$

Тогда решение в терминах исходных консервативных переменных получается путем обратного преобразования: это вычисление можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов: $${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m}w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i}.}$$

Теперь становится очевидным, что характеристические переменные действуют как веса в линейной комбинации собственных векторов Якоби. Решение можно рассматривать как суперпозицию волн, каждая из которых распространяется независимо без изменения формы. Каждая i -я волна имеет форму w _i p _i и скорость распространения λ _i . Далее мы покажем очень простой пример этой процедуры решения.

Волны в одномерной невязкой, непроводящей термодинамической жидкости

Если рассмотреть уравнения Эйлера для термодинамической жидкости с двумя дополнительными предположениями об одном пространственном измерении и свободе (отсутствие внешнего поля: g  = 0): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}&=0.\end{aligned}}}$$

Если определить вектор переменных: напомним, что это удельный объем, скорость потока, удельная энтропия, то соответствующая матрица Якоби имеет вид: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.}$$

Сначала необходимо найти собственные значения этой матрицы, решив характеристическое уравнение : $${\displaystyle \det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0,}$$

это явно: $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv}v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

Этот определитель очень прост: самые быстрые вычисления начинаются с последней строки, так как в ней наибольшее количество нулевых элементов. $${\displaystyle (u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_{vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

Теперь вычисляем определитель 2×2: определив параметр: или, что эквивалентно, в механических переменных, как: $${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{2}\right)=0,}$$ $${\displaystyle a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}},}$$ $${\displaystyle a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}.}$$

Этот параметр всегда действителен согласно второму закону термодинамики . Фактически второй закон термодинамики может быть выражен несколькими постулатами. Самым элементарным из них в математических терминах является утверждение о выпуклости фундаментального уравнения состояния, т.е. матрицы Гессе удельной энергии, выраженной как функция удельного объема и удельной энтропии: определяется положительно. Это утверждение соответствует двум условиям: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss}-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$$

Первое условие — это условие, гарантирующее, что параметр a определен как действительный.

В конечном итоге получается характеристическое уравнение: $${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0}$$

У этой проблемы есть три реальных решения: $${\displaystyle \lambda _{1}(v,u,s)=u-a(v,s),\qquad \lambda _{2}(u)=u,\qquad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a(v,s).}$$

Тогда матрица имеет три действительных собственных значения, все из которых различны: одномерные уравнения Эйлера представляют собой строго гиперболическую систему.

На этом этапе следует определить три собственных вектора: каждый из них получается путем подстановки одного собственного значения в уравнение собственных значений и его последующего решения. Подставляя первое собственное значение λ _1, получаем: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs}v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0.}$$

На основе третьего уравнения, которое имеет простое решение s ₁ =0, система сводится к: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0}$$

Два уравнения, как обычно, избыточны, тогда собственный вектор определяется с помощью множительной константы. Мы выбираем в качестве правого собственного вектора: $${\displaystyle \mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}.}$$

Два других собственных вектора можно найти с помощью аналогичной процедуры: $${\displaystyle \mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\\-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\-a\\0\end{pmatrix}}.}$$

Тогда можно построить проекционную матрицу: $${\displaystyle \mathbf {P} (v,u,s)=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a\\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}.}$$

Наконец, становится очевидным, что реальный параметр a, определенный ранее, является скоростью распространения информации, характерной для гиперболической системы уравнений Эйлера, т.е. это скорость волны . Остается показать, что скорость звука соответствует частному случаю изэнтропического преобразования : $${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}.}$$

Сжимаемость и скорость звука

Скорость звука определяется как скорость волны изэнтропического преобразования: по определению изоэнтропической сжимаемости: скорость звука всегда равна квадратному корню из отношения изэнтропической сжимаемости к плотности: $${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}},}$$ $${\displaystyle K_{s}(\rho ,p)\equiv \rho \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s},}$$ $${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}.}$$

Идеальный газ

Скорость звука в идеальном газе зависит только от его температуры: $${\displaystyle a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}.}$$

Вывод формы справедлив для идеальных газов

В идеальном газе изоэнтропическое превращение описывается законом Пуассона: где γ — коэффициент теплоемкости , постоянная величина для материала. Явно представляя дифференциалы: $${\displaystyle d\left(p\rho ^{-\gamma }\right)_{s}=0}$$

$${\displaystyle \rho ^{-\gamma }(dp)_{s}+\gamma p\rho ^{-\gamma -1}(d\rho )_{s}=0}$$

и разделив на ρ ^{− γ} d ρ :

$${\displaystyle \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}=\gamma p\rho }$$

Тогда при подстановке в общие определения для идеального газа изэнтропическая сжимаемость будет просто пропорциональна давлению:

$${\displaystyle K_{s}(p)=\gamma p}$$

и результаты скорости звука ( закон Ньютона-Лапласа ):

$${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)={\sqrt {\gamma {\frac {p}{\rho }}}}}$$

Примечательно, что для идеального газа справедлив закон идеального газа , который в математической форме выглядит просто:

$${\displaystyle p=nT}$$

где n - числовая плотность , а T - абсолютная температура , при условии, что она измеряется в энергетических единицах (т.е. в джоулях ) путем умножения на постоянную Больцмана . Поскольку плотность массы пропорциональна числовой плотности через среднюю молекулярную массу m материала:

$${\displaystyle \rho =mn}$$

Закон идеального газа можно переписать в виде формулы:

$${\displaystyle {\frac {p}{\rho }}={\frac {T}{m}}}$$

Подставляя это соотношение в закон Ньютона-Лапласа, в конечном итоге получаем выражение скорости звука в идеальном газе как функции температуры.

Поскольку удельная энтальпия идеального газа пропорциональна его температуре:

$${\displaystyle h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}},}$$

Скорость звука в идеальном газе также можно сделать зависящей только от его удельной энтальпии:

$${\displaystyle a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}.}$$

Теорема Бернулли для стационарного невязкого течения

Теорема Бернулли является прямым следствием уравнений Эйлера.

Несжимаемый случай и форма Лэмба

Тождество векторного исчисления для векторного произведения ротора имеет место:

$${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla } \mathbf {F} \ ,}$$

где используется индексная нотация Фейнмана , что означает, что индексный градиент действует только на фактор . ${\displaystyle \nabla _{F}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Лэмб в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895), которая все еще находится в печати, использовал это тождество для изменения конвективного члена скорости потока во вращательной форме: ^[14]

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ,}$$

Уравнение импульса Эйлера в форме Лэмба принимает вид:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+{\frac {\nabla p}{\rho }}.}$$

Теперь, основываясь на другой идентичности:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho ,}$$

Уравнение импульса Эйлера принимает форму, оптимальную для демонстрации теоремы Бернулли для стационарных потоков:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

В самом деле, в случае внешнего консервативного поля , определив его потенциал φ:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

В случае стационарного течения производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение импульса принимает вид:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).}$$

А при проектировании уравнения импульса на направление потока, т.е. вдоль линии тока , векторное произведение исчезает, поскольку его результат всегда перпендикулярен скорости:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho .}$$

В стационарном несжимаемом случае уравнение массы имеет простой вид:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0,}$$то есть сохранение массы для стационарного несжимаемого потока гласит, что плотность вдоль линии тока постоянна . Тогда уравнение импульса Эйлера в стационарном несжимаемом случае становится:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0.}$$

Теперь очевидно удобство определения полного напора для потока невязкой жидкости:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},}$$

что можно просто записать как:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0.}$$

То есть баланс импульса для устойчивого невязкого и несжимаемого потока во внешнем консервативном поле гласит, что полный напор вдоль линии тока постоянен .

Сжимаемый корпус

В наиболее общем стационарном (сжимаемом) случае уравнение массы в форме сохранения имеет вид:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0.}$$Поэтому предыдущее выражение скорее

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Правая часть уравнения энергии появляется в конвективной форме, которая в стационарном состоянии имеет вид:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Таким образом, уравнение энергии принимает вид:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,}$$

так что внутренняя удельная энергия теперь присутствует в голове.

Поскольку потенциал внешнего поля обычно мал по сравнению с другими членами, удобно сгруппировать последние в общую энтальпию :

$${\displaystyle h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

а инвариант Бернулли для потока невязкого газа равен:

$${\displaystyle b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,}$$

что можно записать как:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0.}$$

То есть, баланс энергии для установившегося невязкого течения во внешнем консервативном поле утверждает, что сумма полной энтальпии и внешнего потенциала постоянна вдоль линии тока .

В обычном случае малого потенциального поля просто:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0.}$$

Форма Фридмана и форма Крокко

Заменяя градиент давления градиентом энтропии и энтальпии, согласно первому закону термодинамики в энтальпийной форме:

$${\displaystyle v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h,}$$

в конвективной форме уравнения импульса Эйлера приходим к:

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h.}$$

Фридман вывел это уравнение для частного случая идеального газа и опубликовал его в 1922 году. ^[15] Однако это уравнение является общим для невязкой непроводящей жидкости, и в нем не подразумевается какое-либо уравнение состояния.

С другой стороны, подставляя энтальпийную форму первого закона термодинамики во вращательную форму уравнения импульса Эйлера, получаем:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ,}$$

и определив удельную полную энтальпию:

$${\displaystyle h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

приходим к форме Крокко–Вазсони ^[16] (Крокко, 1937) уравнения импульса Эйлера:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g} .}$$

В стационарном случае две переменные энтропия и полная энтальпия особенно полезны, поскольку уравнения Эйлера можно преобразовать в форму Крокко:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0,\\\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

Наконец, если поток также изотермический:

$${\displaystyle T\nabla s=\nabla (Ts),}$$

путем определения удельной полной свободной энергии Гиббса :

$${\displaystyle g^{t}\equiv h^{t}+Ts,}$$

Форму Крокко можно сократить до:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

Из этих соотношений следует, что удельная полная свободная энергия однородна в стационарном, безвихревом, изотермическом, изоэнтропическом, невязком потоке.

Разрывы

Уравнения Эйлера являются квазилинейными гиперболическими уравнениями, а их общими решениями являются волны . При определенных предположениях их можно упростить, приведя к уравнению Бюргерса . Подобно знакомым океаническим волнам , волны, описываемые уравнениями Эйлера, «разрываются» и образуются так называемые ударные волны ; это нелинейный эффект, представляющий собой решение, становящееся многозначным . Физически это представляет собой разрушение предположений, которые привели к формулировке дифференциальных уравнений, и для извлечения дополнительной информации из уравнений мы должны вернуться к более фундаментальной интегральной форме. Затем слабые решения формулируются путем работы со «скачками» (разрывами) в величинах потока — плотности, скорости, давления, энтропии — с использованием уравнений Ренкина–Гюгонио . Физические величины редко бывают разрывными; в реальных потоках эти разрывы сглаживаются вязкостью и теплопередачей . (См. уравнения Навье–Стокса )

Распространение ударных волн изучается, среди прочего, в аэродинамике и ракетном движении , где возникают достаточно быстрые потоки.

Для правильного вычисления континуальных величин в прерывистых зонах (например, ударных волнах или пограничных слоях) из локальных форм ^[c] (все вышеперечисленные формы являются локальными формами, поскольку описываемые переменные типичны для одной точки рассматриваемого пространства, т.е. они являются локальными переменными ) уравнений Эйлера с помощью методов конечных разностей, как правило, слишком много пространственных точек и временных шагов потребовалось бы для памяти компьютеров сейчас и в ближайшем будущем. В этих случаях обязательно избегать локальных форм уравнений сохранения, пропуская некоторые слабые формы , такие как конечно-объемная .

Уравнения Ренкина–Гюгонио

Начиная с простейшего случая, рассмотрим стационарное свободное уравнение сохранения в форме закона сохранения в пространственной области:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

где в общем случае F — матрица потока. Интегрируя это локальное уравнение по фиксированному объему V _m , оно становится:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\mathbf {0} .}$$

Тогда, основываясь на теореме о расходимости , мы можем преобразовать этот интеграл в граничный интеграл потока:

$${\displaystyle \oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \,ds=\mathbf {0} .}$$

Эта глобальная форма просто утверждает, что нет чистого потока сохраняющейся величины, проходящего через область в случае стационарности и отсутствия источника. В 1D объем сводится к интервалу , его граница является его экстремумами, тогда теорема о расходимости сводится к фундаментальной теореме исчисления :

$${\displaystyle \int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} (x')\,dx'=\mathbf {0} ,}$$

это простое конечно-разностное уравнение , известное как соотношение скачка :

$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$

Это можно выразить так:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0} ,}$$

где используются следующие обозначения:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).}$$

Или, если выполнить неопределенный интеграл:

$${\displaystyle \mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .}$$

С другой стороны, переходное уравнение сохранения:

$${\displaystyle {\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

приводит к скачку отношения:

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .}$$

Для одномерных уравнений Эйлера переменные сохранения и поток являются векторами:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj\left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},}$$

где:

• ${\displaystyle v}$это удельный объем,
• ${\displaystyle j}$это поток массы.

В одномерном случае соответствующие соотношения скачков, называемые уравнениями Ренкина–Гюгонио , имеют вид:< ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j,\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta (vj^{2}+p),\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t}&=\Delta (jv(E^{t}+p)).\end{aligned}}}$$

В устойчивом одномерном случае это становится просто:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0.\end{aligned}}}$$

Благодаря уравнению разности масс уравнение разности энергий можно упростить без каких-либо ограничений:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0,\end{aligned}}}$$

где - удельная полная энтальпия. ${\displaystyle h^{t}}$

Они обычно выражаются в конвективных переменных:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+pv\right)&=0,\end{aligned}}}$$

где:

• ${\displaystyle u}$это скорость потока
• ${\displaystyle e}$— удельная внутренняя энергия.

Уравнение энергии является интегральной формой уравнения Бернулли в сжимаемом случае. Прежние уравнения массы и импульса путем подстановки приводят к уравнению Рэлея:

$${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.}$$

Поскольку второй член является константой, уравнение Рэлея всегда описывает простую линию в плоскости давления-объема, не зависящую от какого-либо уравнения состояния, то есть линию Рэлея. Подстановкой в ​​уравнения Рэнкина-Гюгонио это также можно сделать явным как:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0},\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_{0}^{2}+p_{0},\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}.\end{aligned}}}$$

Можно также получить кинетическое уравнение и уравнение Гюгонио. Аналитические отрывки здесь не показаны для краткости.

Это соответственно:

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+(p-p_{0})(v_{0}+v),\\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p+p_{0})(v_{0}-v).\end{aligned}}}$$

Уравнение Гюгонио в сочетании с фундаментальным уравнением состояния материала:

$${\displaystyle e=e(v,p),}$$

описывает в общем случае в плоскости давления-объема кривую, проходящую по условиям (v ₀ , p ₀ ), т.е. кривую Гюгонио, форма которой существенно зависит от типа рассматриваемого материала.

Также принято определять функцию Гюгонио : ^[18]

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p(v,s)+p_{0})(v-v_{0}),}$$

позволяющее количественно оценить отклонения от уравнения Гюгонио, аналогично предыдущему определению гидравлического напора , полезному для отклонений от уравнения Бернулли.

Форма конечного объема

С другой стороны, путем интегрирования общего уравнения сохранения:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} ,}$$

на фиксированном объеме V _m , а затем на основании теоремы о расходимости это становится:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}ds=\mathbf {S} .}$$

Интегрируя это уравнение также по временному интервалу:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .}$$

Теперь определим сохраняющуюся величину узла:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n}\equiv {\frac {1}{V_{m}}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV,}$$

выводим форму конечного объема:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n+1}=\mathbf {y} _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt.}$$

В частности, для уравнений Эйлера после определения сохраняющихся величин конвективные переменные выводятся путем обратной подстановки:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \mathbf {u} _{m,n}&={\frac {\mathbf {j} _{m,n}}{\rho _{m,n}}},\\[1.2ex]\displaystyle e_{m,n}&={\frac {E_{m,n}^{t}}{\rho _{m,n}}}-{\frac {1}{2}}u_{m,n}^{2}.\end{aligned}}}$$

Тогда явные выражения конечного объема исходных конвективных переменных будут: ^[19]

Уравнения Эйлера
( форма конечного объема )

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{m,n+1}&=\rho _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\rho \mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\mathbf {u} _{m,n+1}&=\mathbf {u} _{m,n}-{\frac {1}{\rho _{m,n}V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -p\mathbf {I} )\cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\mathbf {e} _{m,n+1}&=\mathbf {e} _{m,n}-{\frac {1}{2}}\left(u_{m,n+1}^{2}-u_{m,n}^{2}\right)-{\frac {1}{\rho _{m,n}V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\left(\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}+p\right)\mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\end{aligned}}}$

Ограничения

Было показано, что уравнения Эйлера не являются полным набором уравнений, но они требуют некоторых дополнительных ограничений для допуска единственного решения: это уравнения состояния рассматриваемого материала. Чтобы соответствовать термодинамике, эти уравнения состояния должны удовлетворять двум законам термодинамики. С другой стороны, по определению неравновесные системы описываются законами, лежащими вне этих законов. Далее мы перечислим некоторые очень простые уравнения состояния и соответствующее влияние на уравнения Эйлера.

Идеальный политропный газ

Для идеального политропного газа фундаментальное уравнение состояния имеет вид: ^[20]

$${\displaystyle e(v,s)=e_{0}e^{(\gamma -1)m\left(s-s_{0}\right)}\left({v_{0} \over v}\right)^{\gamma -1},}$$

где — удельная энергия, — удельный объем, — удельная энтропия, — молекулярная масса, здесь считается константой ( политропный процесс ), и можно показать, что она соответствует отношению теплоемкостей . Можно показать, что это уравнение согласуется с обычными уравнениями состояния, используемыми в термодинамике. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma }$

Демонстрация соответствия термодинамике идеального газа

По термодинамическому определению температуры:

$${\displaystyle T(e)\equiv {\partial e \over \partial s}=(\gamma -1)me}$$

Где температура измеряется в единицах энергии. Во-первых, обратите внимание, что, объединяя эти два уравнения, можно вывести закон идеального газа :

$${\displaystyle pv=mT,}$$

или, в обычной форме:

$${\displaystyle p=nT,}$$

где: - числовая плотность материала. С другой стороны, закон идеального газа менее строг, чем исходное фундаментальное уравнение состояния, рассмотренное. ${\displaystyle n\equiv {\frac {m}{v}}}$

Теперь рассмотрим молярную теплоемкость, связанную с процессом x :

$${\displaystyle c_{x}=\left(mT{\partial s \over \partial T}\right)_{x}}$$

согласно первому закону термодинамики:

$${\displaystyle de(v,s)=-pdv+T\,ds}$$

это можно просто выразить так:

$${\displaystyle c_{x}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{x}+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{x}}$$

Теперь, обращая уравнение для температуры T(e), получаем, что для идеального политропного газа изохорная теплоемкость является постоянной величиной:

$${\displaystyle c_{v}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{v}=m{de \over dT}={\frac {1}{(\gamma -1)}}}$$

и аналогично для идеального политропного газа изобарный теплоемкость оказывается постоянным:

$${\displaystyle c_{p}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{p}+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}=m{de \over dT}+p\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}={\frac {1}{(\gamma -1)}}+1}$$

Это приводит к двум важным соотношениям между теплоемкостями : постоянная гамма фактически представляет собой отношение теплоемкостей в идеальном политропном газе:

$${\displaystyle {\frac {c_{p}}{c_{v}}}=\gamma }$$

и также приходим к соотношению Мейера :

$${\displaystyle c_{p}=c_{v}+1}$$

Удельная энергия тогда определяется путем инвертирования соотношения T(e):

$${\displaystyle e(T)={\frac {mT}{\gamma -1}}=c_{v}mT}$$

Удельная энтальпия получается путем подстановки последнего и закона идеального газа:

$${\displaystyle h(T)\equiv e(T)+(pv)(T)=c_{v}mT+mT=c_{p}mT}$$

Из этого уравнения можно вывести уравнение для давления по его термодинамическому определению:

$${\displaystyle p(v,e)\equiv -{\partial e \over \partial v}=(\gamma -1){\frac {e}{v}}.}$$

Обратив его, приходим к механическому уравнению состояния:

$${\displaystyle e(v,p)={\frac {pv}{\gamma -1}}.}$$

Тогда для идеального газа сжимаемые уравнения Эйлера могут быть просто выражены в механических или примитивных переменных удельного объема, скорости потока и давления, взяв набор уравнений для термодинамической системы и модифицируя уравнение энергии в уравнение давления через это механическое уравнение состояния. Наконец, в конвективной форме они приводят к:

Уравнения Эйлера для идеального политропного газа
( конвективная форма ) ^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}{Dv \over Dt}&=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=v\nabla p+\mathbf {g} \\[1.2ex]{Dp \over Dt}&=-\gamma p\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned}}}$

и в одномерной квазилинейной форме они приводят к:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}={\mathbf {0} }.}$$

где консервативная векторная переменная равна:

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}v\\u\\p\end{pmatrix}},}$$

и соответствующая матрица Якоби: ^{[22] [23]}

$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\0&u&v\\0&\gamma p&u\end{pmatrix}}.}$$

Устойчивый поток в материальных координатах

В случае стационарного течения в качестве системы координат для описания уравнения Эйлера стационарного импульса удобно выбрать систему Френе–Серре вдоль линии тока : ^[24] $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$$

где , и обозначают скорость потока , давление и плотность соответственно. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Пусть — ортонормированный базис Френе–Серре , состоящий из тангенциального единичного вектора, нормального единичного вектора и бинормального единичного вектора к линии тока соответственно. Поскольку линия тока — это кривая, касательная к вектору скорости потока, то левая часть приведенного выше уравнения, конвективная производная скорости, может быть описана следующим образом: где и — радиус кривизны линии тока. ${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{b}\right\}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=u{\frac {\partial }{\partial s}}(u{\boldsymbol {e}}_{s})=u{\frac {\partial u}{\partial s}}{\boldsymbol {e}}_{s}+{\frac {u^{2}}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}&=u{\boldsymbol {e}}_{s},\\{\frac {\partial }{\partial s}}&\equiv {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla ,\\{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}_{s}}{\partial s}}&={\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R}$

Таким образом, импульсная часть уравнений Эйлера для стационарного потока имеет простой вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle u{\frac {\partial u}{\partial s}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}},\\\displaystyle {u^{2} \over R}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}&({\partial /\partial n}\equiv {\boldsymbol {e}}_{n}\cdot \nabla ),\\\displaystyle 0&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial b}}&({\partial /\partial b}\equiv {\boldsymbol {e}}_{b}\cdot \nabla ).\end{aligned}}}$$

Для баротропного течения уравнение Бернулли выводится из первого уравнения : ${\displaystyle (\rho =\rho (p))}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\right)=0.}$$

Второе уравнение выражает, что в случае, если линия тока искривлена, должен существовать градиент давления, нормальный к линии тока, поскольку центростремительное ускорение пакета жидкости создается только нормальным градиентом давления.

Третье уравнение выражает, что давление постоянно вдоль бинормальной оси.

Теорема о кривизне линии тока

«Теорема о кривизне линии тока» гласит, что давление на верхней поверхности аэродинамического профиля ниже, чем давление вдали от него, а давление на нижней поверхности выше, чем давление вдали от него; следовательно, разница давлений между верхней и нижней поверхностями аэродинамического профиля создает подъемную силу.

Пусть — расстояние от центра кривизны линии тока, тогда второе уравнение запишется следующим образом: ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho {\frac {u^{2}}{r}}~(>0),}$$

где ${\displaystyle {\partial /\partial r}=-{\partial /\partial n}.}$

Это уравнение гласит:

При установившемся течении невязкой жидкости без внешних сил центр кривизны линии тока лежит в направлении убывания радиального давления.

Хотя эта связь между полем давления и кривизной потока очень полезна, она не имеет названия в англоязычной научной литературе. ^[25] Японские специалисты по гидродинамике называют эту связь «теоремой о кривизне линии потока». ^[26]

Эта "теорема" ясно объясняет, почему в центре вихрей , ^[25] которые состоят из концентрических окружностей линий тока, существуют такие низкие давления. Это также способ интуитивно объяснить, почему аэродинамические профили генерируют подъемные силы . ^[25]

Точные решения

Все решения потенциального потока также являются решениями уравнений Эйлера, и в частности, несжимаемых уравнений Эйлера, когда потенциал является гармоническим. ^[27]

Двумерный параллельный сдвиговый поток.

Решения уравнений Эйлера с завихренностью :

• параллельные сдвиговые потоки – где поток однонаправленный, а скорость потока изменяется только в направлениях поперечного потока, например, в декартовой системе координат поток, например, происходит в -направлении – с единственным ненулевым компонентом скорости, зависящим только от и , а не от ^[28] ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u_{x}(y,z)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x.}$
• Течение Арнольда–Бельтрами–Чайлдресса – точное решение несжимаемых уравнений Эйлера.
• Два решения трехмерных уравнений Эйлера с цилиндрической симметрией были представлены Гиббоном, Муром и Стюартом в 2003 году. ^[29] Эти два решения имеют бесконечную энергию; они взрываются повсюду в пространстве за конечное время.

Смотрите также

• Теорема Бернулли
• Теорема Кельвина о циркуляции
• Уравнения Коши
• Число Фруда
• Уравнения Маделунга
• Уравнения Навье–Стокса
• Уравнение Бюргерса
• Уравнения Джинса
• Идеальная жидкость
• Парадокс Даламбера

Ссылки

Примечания

1. В 3D, например, имеет длину 5, размер 3×3 и размер 5×3, поэтому явные формы следующие: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\\0\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho u_{1}&\rho u_{2}&\rho u_{3}\\\rho u_{1}^{2}+p&\rho u_{1}u_{2}&\rho u_{1}u_{3}\\\rho u_{1}u_{2}&\rho u_{2}^{2}+p&\rho u_{2}u_{3}\\\rho u_{3}u_{1}&\rho u_{3}u_{2}&\rho u_{3}^{2}+p\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{pmatrix}}.}$$
2. Например, в 3D y имеет длину 5, I имеет размер 3×3, а F имеет размер 3×5, поэтому явные формы следующие: $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}j_{1}\\j_{2}\\j_{3}\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\{\frac {j_{1}^{2}}{\rho }}+p&{\frac {j_{1}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{1}j_{3}}{\rho }}\\{\frac {j_{1}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{2}^{2}}{\rho }}+p&{\frac {j_{2}j_{3}}{\rho }}\\{\frac {j_{3}j_{1}}{\rho }}&{\frac {j_{3}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{3}^{2}}{\rho }}+p\\\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{1}}{\rho }}&\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{2}}{\rho }}&\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{3}}{\rho }}\end{pmatrix}}.}$$
3. Иногда локальную и глобальную формы также называют соответственно дифференциальной и недифференциальной , но это не подходит для всех случаев. Например, это подходит для уравнений Эйлера, но не для уравнений Навье-Стокса, поскольку в их глобальной форме есть некоторые остаточные пространственные операторы производных первого порядка во всех характеристических транспортных членах, которые в локальной форме содержат пространственные производные второго порядка.

Цитаты

1. Toro 1999, стр. 24.
2. Андерсон 1995.
3. Эйлер 1757.
4. Christodoulou 2007.
5. Дарригол, О.; Фриш, У. (2008). «От механики Ньютона к уравнениям Эйлера». Physica D: Nonlinear Phenomena . 237 (14–17): 1855–1869. doi :10.1016/j.physd.2007.08.003.
6. Хантер 2006.
7. Элгинди, Тарек М. (2021-11-01). "Формирование сингулярности за конечное время для решений $C^{1,\alpha}$ несжимаемых уравнений Эйлера на $\mathbb{R}^3$". Annals of Mathematics . 194 (3). arXiv : 1904.04795 . doi : 10.4007/annals.2021.194.3.2. ISSN  0003-486X.
8. Quartapelle & Auteri 2013, с. 13, гл. 9.
9. Ландау и Лифшиц 2013, стр. 4, уравнения 2.6 и 2.7.
10. Хендерсон 2000, стр. 152, 2.6 Термодинамические свойства материалов.
11. Chorin & Marsden 2013, стр. 118, пар. 3.2 Шоки.
12. Торо 1999, стр. 44, п. 2.1 Квазилинейные уравнения.
13. Торо 1999, стр. 52, пар. 2.3 Линейная гиперболическая система.
14. Валорани и Насути, стр. 11–12.
15. Фридман 1934, стр. 198, уравнение 91.
16. Хендерсон 2000, стр. 177, пар. 2.12 Теорема Крокко.
17. Chorin & Marsden 2013, стр. 122, пар. 3.2 Шоки.
18. Хендерсон 2000, стр. 167, пар. 2.96 Теорема Бете–Вейля.
19. Quartapelle & Auteri 2013, с. 161, пар. 11.10: Форма дифференциала: метод конечного объема.
20. Quartapelle & Auteri 2013, с. А-61, Приложение Е.
21. Toro 1999, стр. 91, п. 3.1.2 Неконсервативные формулировки.
22. Зингале 2013.
23. Торо 1999, стр. 92.
24. Фэй 1994, стр. 150–152.
25. Бабинский 2003.
26. Имаи 1973.
27. Маркиоро и Пульвиренти 1994, стр. 33.
28. Фридлендер и Серр 2003, стр. 298.
29. Гиббон, Мур и Стюарт 2003.

Источники

• Андерсон, Джон (1995). Вычислительная гидродинамика. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0-07-001685-9.
• Бабинский, Хольгер (ноябрь 2003 г.), «Как работают крылья?» (PDF) , Physics Education , 38 (6): 497–503, Bibcode : 2003PhyEd..38..497B, doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001, S2CID  1657792
• Chorin, Alexandre J.; Marsden, Jerrold E. (2013). Математическое введение в механику жидкости. Springer. ISBN 978-1-4612-0883-9.
• Христодулу, Деметриос (октябрь 2007 г.). "Уравнения Эйлера течения сжимаемой жидкости" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 44 (4): 581–602. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01181-0 .
• Эйлер, Леонард (1757). «Principes généraux du mouvement des Fluides» [Общие принципы движения жидкостей]. Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке). 11 : 274–315.
• Фэй, Джеймс А. (1994). Введение в механику жидкости. MIT Press. ISBN 978-0-262-06165-0.
• Фридлендер, С.; Серр, Д., ред. (2003). Справочник по математической гидродинамике – Том 2. Elsevier. ISBN 978-0-444-51287-1.
• Фридман, А. (1934) [1922]. Кочин, Николай (ред.). Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости . Петроград .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Гиббон, Дж. Д.; Мур, ДР; Стюарт, Дж. Т. (2003). «Точные решения с бесконечной энергией и разрушением трехмерных уравнений Эйлера». Нелинейность . 16 (5): 1823–1831. Bibcode :2003Nonli..16.1823G. doi :10.1088/0951-7715/16/5/315. S2CID  250797052.
• Хендерсон, Л. Ф. (2000). "Общие законы распространения ударных волн через вещество". В Бен-Дор, Габи; Игра, Озер; Элперин, Тов (ред.). Справочник по ударным волнам, трехтомный комплект . Elsevier. ISBN 978-0-08-053372-8.
• Хантер, Джон К. (25 сентября 2006 г.), Введение в уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости (PDF) , получено 31 мая 2019 г.
• 今井功 (IMAI, Исао) (ноябрь 1973 г.). 『流体力学(前編)』 [ Динамика жидкости 1 ] (на японском языке). 裳華房 (Сёкабу). ISBN 4-7853-2314-0.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (2013). Механика жидкости. Elsevier. ISBN 978-1-4831-4050-6.
• Marchioro, C.; Pulvirenti, M. (1994). Математическая теория несжимаемых невязких жидкостей . Прикладные математические науки. Т. 96. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94044-8.
• Квартапель, Луиджи; Аутери, Франко (2013). Fluidodinamica comprimibile [ Динамика сжимаемой жидкости ] (на итальянском языке). СЕА. ISBN 978-88-08-18558-7.
• Торо, ЭФ (1999). Решатели Римана и численные методы для гидродинамики: практическое введение. Springer. ISBN 978-3-540-65966-2.
• Валорани, Мауро; Насути, Франческо (nd), Metodi di analisi delle Turbomacchine (PDF) , Sapienza - Universit`a di Roma, заархивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2022 г. , получено 31 мая 2019 г.
• Зингале, М. (16 апреля 2013 г.), Заметки об уравнениях Эйлера (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 2015-06-19 , извлечено 2019-05-31

Дальнейшее чтение

• Бадин, Г.; Крисциани, Ф. (2018). Вариационная формулировка динамики жидкости и геофизической жидкости - Механика, симметрии и законы сохранения - . Springer. стр. 218. Bibcode :2018vffg.book.....B. doi :10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID  125902566.
• Бэтчелор, Г. К. (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
• Томпсон, Филип А. (1972). Течение сжимаемой жидкости . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-064405-5.