В теории динамических систем и теории управления фазовое пространство или пространство состояний — это пространство , в котором представлены все возможные «состояния» динамической системы или системы управления , причем каждое возможное состояние соответствует одной уникальной точке в фазовом пространстве. Для механических систем фазовое пространство обычно состоит из всех возможных значений переменных положения и импульса . Это прямое произведение прямого пространства и обратного пространства . [ необходимо разъяснение ] Концепция фазового пространства была разработана в конце 19 века Людвигом Больцманом , Анри Пуанкаре и Джозайей Уиллардом Гиббсом . [1]
В фазовом пространстве каждая степень свободы или параметр системы представлена как ось многомерного пространства; одномерная система называется фазовой линией , в то время как двумерная система называется фазовой плоскостью . Для каждого возможного состояния системы или разрешенной комбинации значений параметров системы точка включена в многомерное пространство. Эволюционирующее состояние системы с течением времени прослеживает путь ( траекторию фазового пространства для системы) через многомерное пространство. Траектория фазового пространства представляет собой набор состояний, совместимых с началом из одного конкретного начального условия , расположенный в полном фазовом пространстве, которое представляет собой набор состояний, совместимых с началом из любого начального условия. В целом фазовая диаграмма представляет все, чем может быть система, и ее форма может легко прояснить качества системы, которые могли бы быть неочевидны в противном случае. Фазовое пространство может содержать большое количество измерений. Например, газ, содержащий много молекул, может потребовать отдельного измерения для положений и импульсов x , y и z каждой частицы (6 измерений для идеализированного одноатомного газа), а для более сложных молекулярных систем требуются дополнительные измерения для описания колебательных мод молекулярных связей, а также вращения вокруг 3 осей. Фазовые пространства проще использовать при анализе поведения механических систем, ограниченных движением вокруг и вдоль различных осей вращения или трансляции — например, в робототехнике, например, для анализа диапазона движения роботизированной руки или определения оптимального пути для достижения определенного результата положения/импульса.
В классической механике любой выбор обобщенных координат q i для положения (т.е. координат на конфигурационном пространстве ) определяет сопряженные обобщенные импульсы p i , которые вместе определяют координаты на фазовом пространстве. Более абстрактно, в классической механике фазовое пространство является кокасательным расслоением конфигурационного пространства, и в этой интерпретации вышеприведенная процедура выражает, что выбор локальных координат на конфигурационном пространстве индуцирует выбор естественных локальных координат Дарбу для стандартной симплектической структуры на кокасательном пространстве.
Движение ансамбля систем в этом пространстве изучается классической статистической механикой . Локальная плотность точек в таких системах подчиняется теореме Лиувилля , и поэтому может считаться постоянной. В контексте модельной системы в классической механике координаты фазового пространства системы в любой момент времени состоят из всех динамических переменных системы. Благодаря этому можно вычислить состояние системы в любой момент времени в будущем или прошлом посредством интегрирования уравнений движения Гамильтона или Лагранжа.
Для простых систем может быть всего одна или две степени свободы. Одна степень свободы возникает, когда есть автономное обыкновенное дифференциальное уравнение с одной переменной, при этом полученная одномерная система называется фазовой линией , а качественное поведение системы сразу видно из фазовой линии. Простейшими нетривиальными примерами являются модель экспоненциального роста /распада (одно нестабильное/устойчивое равновесие) и модель логистического роста (два равновесия, одно устойчивое, одно нестабильное).
Фазовое пространство двумерной системы называется фазовой плоскостью , которая встречается в классической механике для одной частицы, движущейся в одном измерении, и где двумя переменными являются положение и скорость. В этом случае эскиз фазового портрета может дать качественную информацию о динамике системы, например, предельный цикл осциллятора Ван дер Поля, показанный на диаграмме.
Здесь горизонтальная ось дает положение, а вертикальная ось — скорость. По мере развития системы ее состояние следует одной из линий (траекторий) на фазовой диаграмме.
График переменных положения и импульса как функции времени иногда называют фазовым графиком или фазовой диаграммой . Однако последнее выражение, « фазовая диаграмма », в физических науках обычно используется для диаграммы, показывающей различные области стабильности термодинамических фаз химической системы, которая состоит из давления , температуры и состава.
В математике фазовый портрет — это геометрическое представление орбит динамической системы на фазовой плоскости . Каждый набор начальных условий представлен отдельной точкой или кривой .
Фазовые портреты являются бесценным инструментом в изучении динамических систем. Они состоят из графика типичных траекторий в фазовом пространстве. Это раскрывает информацию, например, о том, присутствует ли аттрактор , репеллер или предельный цикл для выбранного значения параметра. Концепция топологической эквивалентности важна для классификации поведения систем, указывая, когда два разных фазовых портрета представляют одно и то же качественное динамическое поведение. Аттрактор — это устойчивая точка, которая также называется «стоком». Репеллер рассматривается как неустойчивая точка, которая также известна как «источник».
Фазовый портрет динамической системы изображает траектории системы (стрелками), устойчивые состояния (точками) и неустойчивые состояния (кругами) в фазовом пространстве. Оси — переменные состояния .В классической статистической механике (непрерывные энергии) концепция фазового пространства обеспечивает классический аналог статистической суммы (сумма по состояниям), известной как фазовый интеграл. [2] Вместо суммирования фактора Больцмана по дискретно разнесенным энергетическим состояниям (определяемым соответствующими целыми квантовыми числами для каждой степени свободы), можно интегрировать по непрерывному фазовому пространству. Такое интегрирование по существу состоит из двух частей: интегрирования импульсной составляющей всех степеней свободы (импульсное пространство) и интегрирования позиционной составляющей всех степеней свободы (конфигурационное пространство). Как только фазовый интеграл известен, его можно связать с классической статистической суммой путем умножения константы нормализации, представляющей число квантовых энергетических состояний на единицу фазового пространства. Эта константа нормализации является просто обратной величиной постоянной Планка , возведенной в степень, равную числу степеней свободы для системы. [3]
Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:
В квантовой механике координаты p и q фазового пространства обычно становятся эрмитовыми операторами в гильбертовом пространстве .
Но они могут альтернативно сохранять свою классическую интерпретацию, при условии, что функции от них составляются новыми алгебраическими способами (через звездное произведение Грёневольда 1946 года ). Это согласуется с принципом неопределенности квантовой механики. Каждая квантово-механическая наблюдаемая соответствует уникальной функции или распределению на фазовом пространстве, и наоборот, как указано Германом Вейлем (1927) и дополнено Джоном фон Нейманом (1931); Юджином Вигнером (1932); и, в большом синтезе, Г. Дж. Грёневольдом (1946). С Дж. Э. Мойалом (1949) они завершили основы фазово -пространственной формулировки квантовой механики , полной и логически автономной переформулировки квантовой механики. [4] (Его современные абстракции включают деформационное квантование и геометрическое квантование .)
Ожидаемые значения в квантовании фазового пространства получаются изоморфно отслеживанию наблюдаемых операторов с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они получаются с помощью интегралов наблюдаемых в фазовом пространстве, причем распределение квазивероятности Вигнера фактически служит мерой.
Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (тот же объем, что и для классической механики), отображение Вейля облегчает распознавание квантовой механики как деформации (обобщения) классической механики с параметром деформации ħ / S , где S - действие соответствующего процесса. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской в релятивистскую механику с параметром деформации v / c ; [ требуется ссылка ] или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиусом Шварцшильда / характерным размером.) [ требуется ссылка ]
Классические выражения, наблюдаемые величины и операции (такие как скобки Пуассона ) модифицируются квантовыми поправками, зависящими от ħ , поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается до некоммутативного звездного умножения, характеризующего квантовую механику и лежащего в основе ее принципа неопределенности.
В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: во-первых, он используется в том же смысле, что и в классической механике. Если термодинамическая система состоит из N частиц, то точка в 6 N -мерном фазовом пространстве описывает динамическое состояние каждой частицы в этой системе, поскольку каждая частица связана с 3 переменными положения и 3 переменными импульса. В этом смысле, пока частицы различимы , точка в фазовом пространстве называется микросостоянием системы . (Для неразличимых частиц микросостояние состоит из набора N ! точек, соответствующих всем возможным обменам N частиц.) N обычно имеет порядок числа Авогадро , поэтому описание системы на микроскопическом уровне часто непрактично. Это приводит к использованию фазового пространства в другом смысле.
Фазовое пространство может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. д. Например, можно рассматривать диаграмму давление-объем или диаграмму температура-энтропия как описание части этого фазового пространства. Точка в этом фазовом пространстве соответственно называется макросостоянием. Может легко существовать более одного микросостояния с одним и тем же макросостоянием. Например, при фиксированной температуре система может иметь много динамических конфигураций на микроскопическом уровне. При использовании в этом смысле фаза представляет собой область фазового пространства, где рассматриваемая система находится, например, в жидкой фазе или твердой фазе и т. д.
Поскольку микросостояний гораздо больше, чем макросостояний, фазовое пространство в первом смысле обычно является многообразием гораздо больших измерений, чем во втором смысле. Очевидно, что для регистрации каждой детали системы вплоть до молекулярного или атомного масштаба требуется гораздо больше параметров, чем для простого указания, скажем, температуры или давления системы.
Фазовое пространство широко используется в неизображающей оптике [5] , разделе оптики, посвященном освещению. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике .
В медицине и биоинженерии метод фазового пространства используется для визуализации многомерных физиологических реакций. [6] [7]
