Формальный степенной ряд

Бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от любого понятия сходимости.

В математике формальный ряд — это бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от какого-либо понятия сходимости и может обрабатываться с помощью обычных алгебраических операций над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. д.).

Формальный степенной ряд — это особый вид формального ряда, имеющий вид

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,}$

где называемые коэффициенты , являются числами или, в более общем смысле, элементами некоторого кольца , а являются формальными степенями символа , который называется неопределенным или, обычно, переменной . Следовательно, степенные ряды можно рассматривать как обобщение многочленов , где число членов может быть бесконечным, и они отличаются от обычных степенных рядов отсутствием требований сходимости, что подразумевает, что степенной ряд не может представлять функцию своей переменной. Формальные степенные ряды находятся во взаимно однозначном соответствии со своими последовательностями коэффициентов, но эти два понятия не следует путать, поскольку операции, которые могут применяться, различны. ${\displaystyle a_{n},}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x}$

Формальный степенной ряд с коэффициентами в кольце называется формальным степенным рядом над . Формальный степенной ряд над кольцом образует кольцо, обычно обозначаемое как (Его можно рассматривать как ( x ) -адическое пополнение кольца многочленов так же, как целые p -адические числа являются p -адическим пополнением кольца целых чисел.) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[x]].}$ ${\displaystyle R[x],}$

Формальные ряды степеней нескольких неизвестных определяются аналогично путем замены степеней одной неизвестной величины на одночлены нескольких неизвестных.

Формальные степенные ряды широко используются в комбинаторике для представления последовательностей целых чисел в качестве производящих функций . В этом контексте рекуррентное соотношение между элементами последовательности часто можно интерпретировать как дифференциальное уравнение , которому удовлетворяет производящая функция. Это позволяет использовать методы комплексного анализа для комбинаторных задач (см. аналитическая комбинаторика ).

Введение

Формальный степенной ряд можно в общих чертах рассматривать как объект, похожий на многочлен , но с бесконечным количеством членов. В качестве альтернативы, для тех, кто знаком со степенными рядами (или рядами Тейлора ), можно рассматривать формальный степенной ряд как степенной ряд, в котором мы игнорируем вопросы сходимости , не предполагая, что переменная X обозначает какое-либо числовое значение (даже неизвестное значение). Например, рассмотрим ряд

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

Если бы мы изучали это как степенной ряд, его свойства включали бы, например, то, что его радиус сходимости равен 1 по теореме Коши–Адамара . Однако, как формальный степенной ряд, мы можем полностью игнорировать это; все, что имеет значение, это последовательность коэффициентов [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Другими словами, формальный степенной ряд — это объект, который просто записывает последовательность коэффициентов. Вполне приемлемо рассматривать формальный степенной ряд с факториалами [ 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] в качестве коэффициентов, даже если соответствующий степенной ряд расходится для любого ненулевого значения X .

Алгебра на формальных степенных рядах выполняется просто путем притворства, что ряды являются многочленами. Например, если

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

затем мы складываем A и B почленно:

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

Мы можем умножать формальные степенные ряды, снова просто рассматривая их как многочлены (см., в частности, произведение Коши ):

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

Обратите внимание, что каждый коэффициент в произведении AB зависит только от конечного числа коэффициентов A и B. Например, член X ⁵ задается как

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

По этой причине можно умножать формальные степенные ряды, не беспокоясь об обычных вопросах абсолютной , условной и равномерной сходимости , которые возникают при работе со степенными рядами в условиях анализа .

После того, как мы определили умножение для формальных степенных рядов, мы можем определить мультипликативные обратные следующим образом. Мультипликативный обратный элемент формального степенного ряда A — это формальный степенной ряд C , такой что AC = 1, при условии, что такой формальный степенной ряд существует. Оказывается, если у A есть мультипликативный обратный элемент, он уникален, и мы обозначаем его как A ⁻¹ . Теперь мы можем определить деление формальных степенных рядов, определив B / A как произведение BA ⁻¹ , при условии, что обратный элемент A существует. Например, можно использовать определение умножения выше для проверки знакомой формулы

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

Важной операцией над формальными степенными рядами является извлечение коэффициентов. В своей самой базовой форме оператор извлечения коэффициентов, применяемый к формальному степенному ряду с одной переменной, извлекает коэффициент th-й степени переменной, так что и . Другие примеры включают ${\displaystyle [X^{n}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [X^{2}]A=5}$ ${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

Аналогично, многие другие операции, выполняемые над полиномами, можно распространить на формальный случай степенных рядов, как поясняется ниже.

Кольцо формальных степенных рядов

Если рассмотреть множество всех формальных степенных рядов по X с коэффициентами в коммутативном кольце R , то элементы этого множества в совокупности образуют другое кольцо, которое записывается и называется кольцом формальных степенных рядов по переменной  X над R. ${\displaystyle R[[X]],}$

Определение формального кольца степенных рядов

Можно абстрактно характеризовать как пополнение полиномиального кольца, снабженного определенной метрикой . Это автоматически дает структуру топологического кольца (и даже полного метрического пространства). Но общая конструкция пополнения метрического пространства более сложна, чем то, что здесь требуется, и заставила бы формальные степенные ряды казаться более сложными, чем они есть на самом деле. Можно описать более явно и определить структуру кольца и топологическую структуру отдельно следующим образом. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Кольцевая структура

Как множество, может быть построено как множество всех бесконечных последовательностей элементов , индексированных натуральными числами (включая 0). Обозначая последовательность, член которой в индексе равен , мы определяем сложение двух таких последовательностей как ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

и умножение на

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

Этот тип произведения называется произведением Коши двух последовательностей коэффициентов и является своего рода дискретной сверткой . С этими операциями становится коммутативным кольцом с нулевым элементом и мультипликативной единицей . ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$

Произведение на самом деле то же самое, что используется для определения произведения многочленов с одним неопределенным, что предполагает использование похожей нотации. Встраивание в осуществляется путем отправки любой (константы) в последовательность и обозначения последовательности как ; затем, используя приведенные выше определения, каждая последовательность с конечным числом ненулевых членов может быть выражена в терминах этих специальных элементов как ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle a\in R}$ ${\displaystyle (a,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle (0,1,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

это как раз полиномы от . Учитывая это, вполне естественно и удобно обозначать общую последовательность формальным выражением , даже если последнее не является выражением, образованным операциями сложения и умножения, определенными выше (из которых могут быть построены только конечные суммы). Это соглашение об обозначениях позволяет переформулировать приведенные выше определения как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

что довольно удобно, но следует помнить о различии между формальным суммированием (простой условностью) и фактическим сложением.

Топологическая структура

Оговорившись условно, что

хотелось бы интерпретировать правую часть как вполне определенную бесконечную сумму. Для этого определяется понятие сходимости в и строится топология на . Существует несколько эквивалентных способов определения желаемой топологии. ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$

• Мы можем задать топологию произведения , где каждой копии задается дискретная топология . ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$
• Мы можем задать I -адическую топологию , где — идеал, порожденный , который состоит из всех последовательностей, первый член которых равен нулю. ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I=(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}}$
• Требуемая топология может быть также получена из следующей метрики . Расстояние между различными последовательностями определяется как где — наименьшее натуральное число, такое что ; расстояние между двумя равными последовательностями, конечно, равно нулю. ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}$ $${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$

Неформально, две последовательности и становятся все ближе и ближе тогда и только тогда, когда все больше и больше их членов точно совпадают. Формально, последовательность частичных сумм некоторого бесконечного суммирования сходится, если для каждой фиксированной степени коэффициента стабилизируется: существует точка, за которой все дальнейшие частичные суммы имеют тот же коэффициент. Это, очевидно, относится к правой части ( 1 ), независимо от значений , поскольку включение члена для дает последнее (и фактически единственное) изменение коэффициента . Также очевидно, что предел последовательности частичных сумм равен левой части. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle i=n}$ ${\displaystyle X^{n}}$

Эта топологическая структура вместе с кольцевыми операциями, описанными выше, образуют топологическое кольцо. Это называется кольцом формальных степенных рядов над ${\displaystyle R}$ и обозначается . Топология обладает полезным свойством, что бесконечное суммирование сходится тогда и только тогда, когда последовательность его членов сходится к 0, что просто означает, что любая фиксированная степень встречается только в конечном числе членов. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$

Топологическая структура допускает гораздо более гибкое использование бесконечных сумм. Например, правило умножения можно переформулировать просто как

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

поскольку только конечное число членов справа влияет на любое фиксированное . Бесконечные произведения также определяются топологической структурой; можно видеть, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда последовательность его множителей сходится к 1 (в этом случае произведение не равно нулю) или бесконечное число множителей не имеет постоянного члена (в этом случае произведение равно нулю). ${\displaystyle X^{n}}$

Альтернативные топологии

Вышеуказанная топология является наилучшей топологией , для которой

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}$

всегда сходится как сумма к формальному степенному ряду, обозначенному тем же выражением, и часто достаточно придать смысл бесконечным суммам и произведениям или другим видам пределов, которые хотят использовать для обозначения конкретного формального степенного ряда. Однако иногда может случиться, что хотят использовать более грубую топологию, так что некоторые выражения станут сходящимися, которые в противном случае расходились бы. Это применимо, в частности, когда базовое кольцо уже имеет топологию, отличную от дискретной, например, если оно также является кольцом формальных степенных рядов. ${\displaystyle R}$

В кольце формальных степенных рядов топология вышеприведенной конструкции относится только к неопределенному , поскольку топология, которая была применена, была заменена дискретной топологией при определении топологии всего кольца. Таким образом, ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }XY^{i}}$

сходится (и его сумма может быть записана как ); однако ${\displaystyle {\tfrac {X}{1-Y}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }X^{i}Y}$

будет считаться расходящимся, поскольку каждый член влияет на коэффициент . Эта асимметрия исчезает, если кольцу степенного ряда в задана топология произведения, где каждой копии задана ее топология как кольца формальных степенных рядов, а не дискретная топология. При этой топологии последовательность элементов из сходится, если коэффициент каждой степени сходится к формальному степенному ряду в , что является более слабым условием, чем полная стабилизация. Например, при этой топологии во втором примере, приведенном выше, коэффициент при сходится к , поэтому вся сумма сходится к . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-X}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{1-X}}}$

Этот способ определения топологии на самом деле является стандартным для повторяющихся построений колец формальных степенных рядов и дает ту же топологию, которую можно было бы получить, взяв формальные степенные ряды по всем неопределенным сразу. В приведенном выше примере это означало бы построение и здесь последовательность сходится тогда и только тогда, когда коэффициент каждого монома стабилизируется. Эта топология, которая также является -адической топологией, где — идеал, порожденный и , все еще обладает свойством, что суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0. ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X,Y]]}$ ${\displaystyle X^{i}Y^{j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Тот же принцип можно использовать для того, чтобы заставить другие расходящиеся пределы сходиться. Например, в пределе ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}$

не существует, поэтому, в частности, он не сходится к

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

Это происходит потому, что для коэффициент не стабилизируется как . Однако он сходится в обычной топологии , и фактически к коэффициенту . Следовательно, если бы кто-то дал топологию произведения , где топология является обычной топологией, а не дискретной, то указанный выше предел сходился бы к . Этот более разрешительный подход, однако, не является стандартным при рассмотрении формальных степенных рядов, поскольку он привел бы к соображениям сходимости, которые являются такими же тонкими, как и в анализе , в то время как философия формальных степенных рядов, напротив, заключается в том, чтобы сделать вопросы сходимости настолько тривиальными, насколько это возможно. С этой топологией не было бы случая, когда суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0. ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{i}}/n^{i}}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{i!}}}$ ${\displaystyle \exp(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(X)}$

Универсальная собственность

Кольцо можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Если — коммутативная ассоциативная алгебра над , если — идеал в , такой что -адическая топология на является полной, и если — элемент из , то существует единственный со следующими свойствами: ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$

• ${\displaystyle \Phi }$является гомоморфизмом -алгебры ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle \Phi }$является непрерывным
• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$.

Операции над формальными степенными рядами

Можно выполнять алгебраические операции над степенными рядами для генерации новых степенных рядов. ^{[1] [2]} Помимо операций с кольцевой структурой, определенных выше, мы имеем следующее.

Степенной ряд возведен в степень

Для любого натурального числа n n- я степень формального степенного ряда S определяется рекурсивно следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{1}&=S\\S^{n}&=S\cdot S^{n-1}\quad {\text{for }}n>1.\end{aligned}}}$$

Если m и a ₀ обратимы в кольце коэффициентов, можно доказать ^{[3] [4] [5] [a]} где В случае формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами комплексные степени хорошо определены для рядов f с постоянным членом, равным 1. В этом случае может быть определено либо композицией с биномиальным рядом (1+ x ) ^α , либо композицией с экспоненциальным и логарифмическим рядами, либо как решение дифференциального уравнения (в терминах рядов) с постоянным членом, равным 1; три определения эквивалентны. Правила исчисления и легко следуют. $${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f^{\alpha }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$ ${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$ ${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$

Мультипликативная обратная

Сериал

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

обратим в тогда и только тогда, когда его постоянный коэффициент обратим в . Это условие необходимо по следующей причине: если мы предположим, что имеет обратный элемент , то постоянный член является постоянным членом ряда тождеств, т.е. он равен 1. Это условие также достаточно; мы можем вычислить коэффициенты обратного ряда с помощью явной рекурсивной формулы ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$ ${\displaystyle A\cdot B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

Важным частным случаем является то, что формула геометрической прогрессии верна в : ${\displaystyle R[[X]]}$

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

Если — поле, то ряд обратим тогда и только тогда, когда свободный член не равен нулю, т.е. тогда и только тогда, когда ряд не делится на . Это означает, что — дискретное кольцо нормирования с униформизирующим параметром . ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K[[X]]}$ ${\displaystyle X}$

Разделение

Вычисление частного ${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

предполагая, что знаменатель обратим (то есть обратим в кольце скаляров), можно выполнить как произведение и обратное к , или непосредственно приравняв коэффициенты в : ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=gh}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

Извлечение коэффициентов

Оператор извлечения коэффициентов, применяемый к формальному степенному ряду

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

в X написано

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

и извлекает коэффициент X ^m , так что

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

Состав

Даны два формальных степенных ряда

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots }$

таким образом, чтобы можно было сформировать композицию ${\displaystyle a_{0}=0,}$

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

где коэффициенты c _n определяются путем «разложения» степеней f ( X ):

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

Здесь сумма распространяется на все ( k , j ) с и с ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$ ${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

Так как необходимо иметь и для каждого Это означает, что указанная выше сумма конечна и что коэффициент является коэффициентом в многочлене , где и - многочлены, полученные путем усечения ряда в точке , то есть путем удаления всех членов, содержащих степень выше ${\displaystyle a_{0}=0,}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle j_{i}\leq n}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle g_{n}(f_{n}(X))}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle x^{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n.}$

Более явное описание этих коэффициентов дает формула Фаа ди Бруно , по крайней мере в случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0 .

Композиция действительна только тогда, когда не имеет постоянного члена , так что каждый зависит только от конечного числа коэффициентов и . Другими словами, ряд для сходится в топологии . ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle g(X)}$ ${\displaystyle g(f(X))}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Пример

Предположим, что кольцо имеет характеристику 0 и ненулевые целые числа обратимы в . Если обозначить формальным степенным рядом ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \exp(X)}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

тогда равенство

${\displaystyle \exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots }$

имеет смысл как формальный степенной ряд, поскольку постоянный коэффициент равен нулю. ${\displaystyle \exp(X)-1}$

Состав обратный

Всякий раз, когда формальная серия

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

имеет f ₀ = 0 и f ₁ является обратимым элементом R , то существует ряд

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

то есть композиция обратная к , то есть композиция с дает ряд, представляющий функцию тождества . Коэффициенты могут быть найдены рекурсивно с использованием приведенной выше формулы для коэффициентов композиции, приравнивая их к коэффициентам тождества композиции X (то есть 1 в степени 1 и 0 в каждой степени больше 1). В случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0, формула обращения Лагранжа (обсуждаемая ниже) предоставляет мощный инструмент для вычисления коэффициентов g , а также коэффициентов (мультипликативных) степеней g . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle g}$

Формальная дифференциация

Дан формальный степенной ряд

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

мы определяем ее формальную производную , обозначаемую Df или f ′, как

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

Символ D называется оператором формального дифференцирования . Это определение просто имитирует почленное дифференцирование полинома.

Эта операция является R - линейной :

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

для любых a , b в R и любых f , g в Кроме того, формальная производная имеет много свойств обычной производной исчисления. Например, справедливо правило произведения : ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

и правило цепочки тоже работает:

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

всякий раз, когда определяются соответствующие составы серий (см. выше в разделе состав серий).

Таким образом, в этих отношениях формальные степенные ряды ведут себя как ряды Тейлора . Действительно, для f, определенного выше, мы находим, что

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

где D ^k обозначает k- ю формальную производную (то есть результат формального дифференцирования k раз).

Формальная антидифференциация

Если — кольцо с нулевой характеристикой и ненулевые целые числа обратимы в , то задан формальный степенной ряд ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

мы определяем его формальную первообразную или формальный неопределенный интеграл как

${\displaystyle D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.}$

для любой константы . ${\displaystyle C\in R}$

Эта операция является R - линейной :

${\displaystyle D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g}$

для любых a , b в R и любых f , g в Кроме того, формальная первообразная имеет многие свойства обычной первообразной исчисления. Например, формальная первообразная является правой обратной формальной производной: ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(D^{-1}(f))=f}$

для любого . ${\displaystyle f\in R[[X]]}$

Характеристики

Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов

${\displaystyle R[[X]]}$— ассоциативная алгебра над , содержащая кольцо многочленов над ; многочлены соответствуют последовательностям, которые заканчиваются нулями. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$

Радикал Джекобсона — это идеал , порожденный и радикал Джекобсона ; это следует из критерия обратимости элемента, рассмотренного выше. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

Максимальные идеалы всех возникают из идеалов следующим образом: идеал является максимальным тогда и только тогда, когда является максимальным идеалом и порождается как идеал посредством и . ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle M\cap R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\cap R}$

Некоторые алгебраические свойства наследуются : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

• если - локальное кольцо , то также является (с множеством неединиц - единственным максимальным идеалом), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• если является нётеровым , то также является (версия теоремы о базисе Гильберта ), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• если является областью целостности , то также является и ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• если — поле , то — кольцо дискретного оценивания . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Топологические свойства кольца формальных степенных рядов

Метрическое пространство является полным . ${\displaystyle (R[[X]],d)}$

Кольцо компактно тогда и только тогда, когда R конечно . Это следует из теоремы Тихонова и характеристики топологии на как топологии произведения. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Препарат Вейерштрасса

Кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами в полном локальном кольце удовлетворяет подготовительной теореме Вейерштрасса .

Приложения

Формальные степенные ряды можно использовать для решения рекуррентных уравнений, встречающихся в теории чисел и комбинаторике. Пример, включающий нахождение выражения замкнутой формы для чисел Фибоначчи , см. в статье Примеры генерирующих функций .

Можно использовать формальный степенной ряд, чтобы доказать несколько отношений, знакомых из анализа в чисто алгебраической обстановке. Рассмотрим, например, следующие элементы : ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X]]}$

${\displaystyle \sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}}$

${\displaystyle \cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}}$

Тогда можно показать, что

${\displaystyle \sin ^{2}(X)+\cos ^{2}(X)=1,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}\sin(X)=\cos(X),}$

${\displaystyle \sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y).}$

Последний из них действителен на ринге. ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X,Y]].}$

Для поля K кольцо часто используется как «стандартное, наиболее общее» полное локальное кольцо над K в алгебре. ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$

Интерпретация формальных степенных рядов как функций

В математическом анализе каждый сходящийся степенной ряд определяет функцию со значениями в действительных или комплексных числах. Формальные степенные ряды над некоторыми специальными кольцами также могут интерпретироваться как функции, но нужно быть осторожным с доменом и кодоменом . Пусть

${\displaystyle f=\sum a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

и предположим, что является коммутативной ассоциативной алгеброй над , является идеалом в , таким, что I-адическая топология на является полной, и является элементом . Определим: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.}$

Этот ряд гарантированно сходится в с учетом сделанных выше предположений относительно . Кроме того, мы имеем ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

и

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}$

В отличие от случая настоящих функций, эти формулы не являются определениями, а должны быть доказаны.

Поскольку топология на является -адической топологией и является полной, мы можем, в частности, применять степенные ряды к другим степенным рядам, при условии, что аргументы не имеют постоянных коэффициентов (так что они принадлежат идеалу ): , и все они хорошо определены для любого формального степенного ряда ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(X^{2}-X)}$ ${\displaystyle f((1-X)^{-1}-1)}$ ${\displaystyle f\in R[[X]].}$

Используя этот формализм, мы можем дать явную формулу для мультипликативной обратной величины степенного ряда, постоянный коэффициент которого обратим относительно : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a=f(0)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.}$

Если формальный степенной ряд с задан неявно уравнением ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle f(g)=X}$

где — известный степенной ряд с , тогда коэффициенты можно явно вычислить с помощью формулы обращения Лагранжа. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle g}$

Обобщения

Серия «Формальный Лоран»

Формальные ряды Лорана над кольцом определяются аналогично формальному степенному ряду, за исключением того, что мы также допускаем конечное число членов отрицательной степени. То есть, это ряды, которые можно записать как ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

для некоторого целого числа , так что существует только конечное число отрицательных с . (Это отличается от классического ряда Лорана комплексного анализа .) Для ненулевого формального ряда Лорана минимальное целое число такое, что называется порядком и обозначается ( Порядок нулевого ряда равен .) ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$ ${\displaystyle +\infty }$

Умножение таких рядов можно определить. Действительно, аналогично определению для формальных степенных рядов, коэффициент двух рядов с соответствующими последовательностями коэффициентов и равен Эта сумма имеет только конечное число ненулевых членов из-за предполагаемого обращения коэффициентов в нуль при достаточно отрицательных индексах. ${\displaystyle X^{k}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ $${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}$$

Формальные ряды Лорана образуют кольцо формальных рядов Лорана над , обозначаемое . ^[b] Оно равно локализации кольца формальных степенных рядов относительно множества положительных степеней . Если — поле , то — фактически поле, которое может быть альтернативно получено как поле дробей области целостности . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((X))}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle K((X))}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Как и в случае , кольцо формальных рядов Лорана можно наделить структурой топологического кольца, введя метрику ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R((X))}$ $${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$$

Можно определить формальную дифференциацию для формальных рядов Лорана естественным (почленно). А именно, формальная производная формального ряда Лорана выше есть что снова является формальным рядом Лорана. Если — непостоянный формальный ряд Лорана и с коэффициентами в поле характеристики 0, то имеем Однако, в общем случае это не так, поскольку множитель для члена самого низкого порядка может быть равен 0 в . ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

Формальный остаток

Предположим, что — поле характеристики 0. Тогда отображение ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D\colon K((X))\to K((X))}$

Определенный выше вывод - это вывод , который удовлетворяет ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ker D=K}$

${\displaystyle \operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.}$

Последнее показывает, что коэффициент в представляет особый интерес; он называется формальным вычетом и обозначается . Отображение ${\displaystyle X^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f)}$

${\displaystyle \operatorname {Res} :K((X))\to K}$

является -линейной, и согласно вышеприведенному наблюдению, имеет место точная последовательность ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\to K\to K((X)){\overset {D}{\longrightarrow }}K((X))\;{\overset {\operatorname {Res} }{\longrightarrow }}\;K\to 0.}$

Некоторые правила исчисления . Как прямое следствие из приведенного выше определения и правил формального вывода, для любого ${\displaystyle f,g\in K((X))}$

1. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f')=0;}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;}$
4. ${\displaystyle \operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),}$если ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)>0;}$
5. ${\displaystyle [X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).}$

Свойство (i) является частью точной последовательности выше. Свойство (ii) следует из (i) применительно к . Свойство (iii): любой можно записать в виде , с и : тогда подразумевает обратим в откуда Свойство (iv): Поскольку мы можем записать с . Следовательно, и (iv) следует из (i) и (iii). Свойство (v) ясно из определения. ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=X^{m}g}$ ${\displaystyle m=\operatorname {ord} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ ${\displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=m.}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ ${\displaystyle g=g_{-1}X^{-1}+G',}$ ${\displaystyle G\in K((X))}$ ${\displaystyle (g\circ f)f'=g_{-1}f^{-1}f'+(G'\circ f)f'=g_{-1}f'/f+(G\circ f)'}$

Формула обращения Лагранжа

Как упоминалось выше, любой формальный ряд с f ₀ = 0 и f ₁ ≠ 0 имеет обратный ряд. Между коэффициентами g ⁿ и f ^{− k} справедливо следующее соотношение: ${\displaystyle f\in K[[X]]}$ ${\displaystyle g\in K[[X]].}$Формула обращения Лагранжа "):

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

В частности, для n  = 1 и всех k  ≥ 1,

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

Поскольку доказательство формулы обращения Лагранжа представляет собой очень короткое вычисление, стоит привести здесь одно доказательство на основе остатков (существует ряд различных доказательств, ^{[6] [7] [8]} использующих, например, формулу коэффициентов Коши для голоморфных функций, аргументы с подсчетом деревьев или индукцию). Отмечая , мы можем применить правила исчисления выше, в частности, правило (iv), подставив , чтобы получить: ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$ ${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

Обобщения. Можно заметить, что приведенное выше вычисление можно просто повторить в более общих условиях, чем K (( X )): обобщение формулы обращения Лагранжа уже доступно, работая в -модулях , где α - комплексная экспонента. Как следствие, если f и g такие, как указано выше, с , мы можем связать комплексные степени f / X и g / X : точно, если α и β - ненулевые комплексные числа с отрицательной целой суммой, то ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$ ${\displaystyle X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),}$ ${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$ ${\displaystyle m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$

Например, таким образом можно найти степенной ряд для комплексных степеней функции Ламберта .

Степенные ряды с несколькими переменными

Можно определить формальный степенной ряд по любому числу неопределенных (даже бесконечно большому). Если I — множество индексов, а X _I — множество неопределенных X _i для i ∈ I , то моном X ^α — это любое конечное произведение элементов X _I (повторения допускаются); формальный степенной ряд по X _I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением из множества мономов X ^α в соответствующий коэффициент c _α и обозначается . Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается и ему задается кольцевая структура путем определения ${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$ ${\displaystyle R[[X_{I}]],}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\beta }d_{\beta }X^{\beta }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}$

Топология

Топология на такова, что последовательность ее элементов сходится только тогда, когда для каждого монома X ^α соответствующий коэффициент стабилизируется. Если I конечно, то это J -адическая топология, где J - идеал в , порожденный всеми неопределенными в X _I . Это не выполняется, если I бесконечно. Например, если то последовательность с не сходится относительно никакой J -адической топологии на R , но очевидно, что для каждого монома соответствующий коэффициент стабилизируется. ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f_{n}=X_{n}+X_{n+1}+X_{n+2}+\cdots }$

Как было отмечено выше, топология на повторяющемся формальном кольце степенных рядов, подобном , обычно выбирается таким образом, что оно становится изоморфным как топологическое кольцо ${\displaystyle R[[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle R[[X,Y]].}$

Операции

Все операции, определенные для рядов с одной переменной, могут быть распространены на случай нескольких переменных.

• Ряд обратим тогда и только тогда, когда его свободный член обратим в R.
• Композиция f ( g ( X )) двух серий f и g определяется, если f является серией с одним неопределенным, а постоянный член g равен нулю. Для серии f с несколькими неопределенными может быть определена форма «композиции» аналогичным образом, со столькими отдельными сериями вместо g , сколько имеется неопределенных.

В случае формальной производной теперь существуют отдельные операторы частной производной , которые дифференцируются по каждой из неопределенностей. Все они коммутируют друг с другом.

Универсальная собственность

В случае нескольких переменных универсальное свойство, характеризующее алгебру, становится следующим. Если S — коммутативная ассоциативная алгебра над R , если I — идеал S , такой что I -адическая топология на S является полной, и если x ₁ , ..., x _r — элементы I , то существует единственное отображение со следующими свойствами: ${\displaystyle R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]\to S}$

• Φ — гомоморфизм R -алгебры
• Φ непрерывен
• Φ( X _i ) = x _i для i = 1, ..., r .

Некоммутирующие переменные

Случай нескольких переменных можно дополнительно обобщить, взяв некоммутирующие переменные X _i для i ∈ I , где I — набор индексов, а затем моном X ^α — любое слово из X _I ; формальный степенной ряд в X _I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением из набора мономов X ^α в соответствующий коэффициент c _α и обозначается . Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается R « X _I », и ему задается кольцевая структура путем определения поточечного сложения ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

и умножение на

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha }\cdot X^{\beta }}$

где · обозначает конкатенацию слов. Эти формальные степенные ряды над R образуют кольцо Магнуса над R . ^{[9] [10]}

На полукольце

Даны алфавит и полукольцо . Формальный степенной ряд над , поддерживаемый языком , обозначается как . Он состоит из всех отображений , где — свободный моноид , порожденный непустым множеством . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle r:\Sigma ^{*}\to S}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Элементы можно записать в виде формальных сумм ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$

${\displaystyle r=\sum _{w\in \Sigma ^{*}}(r,w)w.}$

где обозначает значение в слове . Элементы называются коэффициентами . ${\displaystyle (r,w)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle w\in \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle (r,w)\in S}$ ${\displaystyle r}$

Для поддержки есть набор ${\displaystyle r\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {supp} (r)=\{w\in \Sigma ^{*}|\ (r,w)\neq 0\}}$

Ряд, в котором каждый коэффициент равен либо , называется характеристическим рядом его носителя. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Подмножество, состоящее из всех рядов с конечным носителем, обозначается и называется многочленами. ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle S\langle \Sigma ^{*}\rangle }$

Для и сумма определяется как ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)}$

Продукт (Коши) определяется как ${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\cdot r_{2},w)=\sum _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2},w_{2})}$

Произведение Адамара определяется как ${\displaystyle r_{1}\odot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)}$

И произведения на скаляр и на ${\displaystyle sr_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}s}$

${\displaystyle (sr_{1},w)=s(r_{1},w)}$и , соответственно. ${\displaystyle (r_{1}s,w)=(r_{1},w)s}$

При этих операциях и являются полукольцами, где пустое слово в . ${\displaystyle (S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (S\langle \Sigma ^{*}\rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

Эти формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенных автоматов в теоретической информатике , когда коэффициенты ряда принимаются равными весу пути с меткой в ​​автоматах. ^[11] ${\displaystyle (r,w)}$ ${\displaystyle w}$

Замена набора индексов упорядоченной абелевой группой

Предположим, что — упорядоченная абелева группа, то есть абелева группа с полным порядком, учитывающим сложение группы, так что тогда и только тогда, когда для всех . Пусть I — вполне упорядоченное подмножество , то есть I не содержит бесконечной нисходящей цепи. Рассмотрим множество, состоящее из ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a+c<b+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}X^{i}}$

для всех таких I , с в коммутативном кольце , где мы предполагаем, что для любого набора индексов, если все из равны нулю, то сумма равна нулю. Тогда есть кольцо формальных степенных рядов на ; из-за условия, что набор индексов должен быть вполне упорядоченным, произведение вполне определено, и мы, конечно, предполагаем, что два элемента, которые отличаются на ноль, одинаковы. Иногда для обозначения используется обозначение . ^[12] ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [[R^{G}]]}$ ${\displaystyle R((G))}$

Различные свойства переноса в . Если является полем, то также является . Если является упорядоченным полем, мы можем упорядочить , установив любой элемент так, чтобы он имел тот же знак, что и его старший коэффициент, определяемый как наименьший элемент множества индексов I, связанный с ненулевым коэффициентом. Наконец, если является делимой группой и является действительным замкнутым полем , то является действительным замкнутым полем, и если является алгебраически замкнутым , то также является . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$

Эта теория принадлежит Гансу Хану , который также показал, что подполя получаются, когда число (ненулевых) членов ограничено некоторой фиксированной бесконечной мощностью.

Примеры и связанные темы

• Ряды Белла используются для изучения свойств мультипликативных арифметических функций.
• Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона с использованием формальных степенных рядов.
• Ряды Пюизё являются расширением формальных рядов Лорана, допускающим дробные показатели.
• Рациональный ряд

Смотрите также

• Кольцо ограниченного степенного ряда

Примечания

1. Формула часто приписывается Дж. К. П. Миллеру , но она имеет долгую историю повторных открытий, восходящую, по крайней мере, к открытию Эйлера в 1748 году. ^[4]
2. Для каждого ненулевого формального ряда Лорана порядок является целым числом (то есть степени членов ограничены снизу). Но кольцо содержит ряды всех порядков. ${\displaystyle R((X))}$

Ссылки

1. Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «0,313». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. с. 18. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.(Также несколько предыдущих изданий.)
2. Нивен, Иван (октябрь 1969 г.). «Формальный степенной ряд». American Mathematical Monthly . 76 (8): 871–889. doi :10.1080/00029890.1969.12000359.
3. Финкель, Хэл (2010-07-13). «Метод дифференциального преобразования и повторение Миллера». arXiv : 1007.2178 [math.CA].
4. Gould, HW (1974). «Тождества коэффициентов для степеней рядов Тейлора и Дирихле». The American Mathematical Monthly . 81 (1): 3–14. doi :10.2307/2318904. ISSN  0002-9890. JSTOR  2318904.
5. Zeilberger, Doron (1995). «Рекуррентное соотношение JCP Miller для возведения в степень многочлена и его q-аналог». Journal of Difference Equations and Applications . 1 (1): 57–60. doi :10.1080/10236199508808006 – через Taylor & Francis Online.
6. Ричард, Стэнли (2012). Перечислительная комбинаторика. Том 1. Cambridge Stud. Adv. Math. Том 49. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-60262-5. МР  2868112.
7. Айра, Гессель (2016), «Обращение Лагранжа», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 144 : 212–249, arXiv : 1609.05988 , doi : 10.1016/j.jcta.2016.06.018, MR  3534068
8. Сурья, Эрланг; Варнке, Лутц (2023), «Формула обращения Лагранжа по индукции», The American Mathematical Monthly , 130 (10): 944–948, arXiv : 2305.17576 , doi : 10.1080/00029890.2023.2251344, MR  4669236
9. Кох, Хельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag . стр. 167. ISBN 978-3-540-63003-6. Збл  0819.11044.
10. Моран, Зигфрид (1983). Математическая теория узлов и кос: Введение . North-Holland Mathematics Studies. Т. 82. Elsevier. С. 211. ISBN 978-0-444-86714-8. Збл  0528.57001.
11. Droste, M., & Kuich, W. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1, стр. 12
12. Шамседдин, Ходр; Берз, Мартин (2010). «Анализ поля Леви-Чивиты: краткий обзор» (PDF) . Contemporary Mathematics . 508 : 215–237. doi :10.1090/conm/508/10002. ISBN 9780821847404.

• Берстель, Жан ; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 137. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19022-0. Збл  1250.68007.
• Николя Бурбаки : Алгебра , IV, §4. Спрингер-Верлаг 1988.

Дальнейшее чтение

• W. Kuich. Semirings and formal power series: Their relevance to formal languages ​​and automata theory. В G. Rozenberg and A. Salomaa, editors, Handbook of Formal Languages, volume 1, Chapter 9, pages 609–677. Springer, Berlin, 1997, ISBN 3-540-60420-0 
• Droste, M., & Kuich, W. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Арто Саломаа (1990). "Формальные языки и степенные ряды". В Jan van Leeuwen (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. Том B. Elsevier. С. 103–132. ISBN 0-444-88074-7.