Фундаментальные теоремы экономики благосостояния

Полная, полная информация, совершенно конкурентные рынки эффективны по Парето.

Существуют две фундаментальные теоремы экономики благосостояния . Первый утверждает, что в условиях экономического равновесия набор полных рынков с полной информацией и в условиях совершенной конкуренции будет оптимальным по Парето (в том смысле, что никакой дальнейший обмен не улучшит благосостояние одного человека, не ухудшив при этом положение другого). Требования совершенной конкуренции таковы: ^[1]

1. Никаких внешних эффектов нет , и каждый актер обладает совершенной информацией .
2. Фирмы и потребители принимают цены как данность (ни один экономический субъект или группа участников не обладает рыночной властью ).

Теорему иногда рассматривают как аналитическое подтверждение принципа « невидимой руки » Адама Смита , а именно, что конкурентные рынки обеспечивают эффективное распределение ресурсов . Однако нет никакой гарантии, что оптимальный по Парето рыночный результат является социально желательным, поскольку существует множество возможных эффективных по Парето распределений ресурсов, различающихся по своей желательности (например, один человек может владеть всем, а все остальные - ничем). ^[2]

Вторая теорема утверждает, что любой оптимум Парето может поддерживаться как конкурентное равновесие для некоторого начального набора возможностей. Подразумевается, что любой желаемый оптимальный по Парето результат может быть поддержан; Эффективность по Парето может быть достигнута при любом перераспределении первоначального богатства. Однако попытки исправить распределение могут привести к искажениям, и поэтому полная оптимальность может быть недостижима при перераспределении. ^[3]

Теоремы можно визуализировать графически для простой экономики чистого обмена с помощью диаграммы Эджворта .

История фундаментальных теорем

Адам Смит (1776)

Обсуждая импортные пошлины, Адам Смит писал, что:

Каждый человек обязательно трудится над тем, чтобы годовой доход общества был как можно большим... В этом, как и во многих других отношениях, он ведом невидимой рукой для достижения цели, которая не входила в его намерения... Преследуя свои собственные интересы, он часто способствует интересам общества более эффективно, чем тогда, когда он действительно намеревается их продвигать. ^[4]

Обратите внимание, что идеи Смита не были направлены конкретно на экономику благосостояния, поскольку эта область экономики в то время еще не была создана. Однако его аргументы были использованы в пользу создания этой отрасли, а также фундаментальных теорий экономики благосостояния. ^[5]

Леон Вальрас (1870)

Вальрас писал, что «обмен при свободной конкуренции — это операция, посредством которой все стороны получают максимальное удовлетворение при условии покупки и продажи по единой цене». ^[6]

Ф. Я. Эджворт (1881)

Эджворт сделал шаг к первой фундаментальной теореме в своей «Математической психике», рассматривая экономику чистого обмена без производства. В свой анализ он включил несовершенную конкуренцию. ^[7] Его определение равновесия почти такое же, как более позднее определение оптимальности, данное Парето: это такая точка, что...

В каком бы направлении мы ни сделали бесконечно малый шаг, Р и П [полезности покупателя и продавца] не увеличиваются вместе, а, в то время как одно увеличивается, другое уменьшается. ^[8]

Вместо того, чтобы заключить, что равновесие было оптимальным по Парето, Эджворт пришел к выводу, что равновесие максимизирует сумму полезностей сторон, что является частным случаем эффективности по Парето:

Судя по всему, из общих динамических принципов, примененных к этому частному случаю, следует, что равновесие достигается, когда общая энергия удовольствия участников является максимальной относительной или подчиненной условиям... ^[9]

Вильфредо Парето (1906/9)

Парето сформулировал первую фундаментальную теорему в своем «Руководстве» (1906) и с большей строгостью в ее французской редакции ( Мануэль , 1909). ^[10] Он был первым, кто заявил об оптимальности по своему собственному критерию или поддержал это утверждение убедительными аргументами. ^{[ нужна цитата ]}

Он определяет равновесие более абстрактно, чем Эджворт, как состояние, которое будет сохраняться неопределенно долго в отсутствие внешнего давления ^[11] и показывает, что в экономике обмена это точка, в которой общая касательная к кривым безразличия сторон проходит через запас . ^[12]

Его определение оптимальности дано в гл. ВИ:

Мы скажем, что члены коллектива обладают максимумом офеличности [т.е. полезности] в определенном положении, когда невозможно отойти ни на небольшой шаг так, чтобы офелимность, которой обладает каждый индивидуум в коллективе, увеличилась, или когда она уменьшается. [Ранее он определял увеличение индивидуальной офеличности как переход на более высокую кривую безразличия.] Другими словами, любой небольшой шаг неизбежно приведет к увеличению офелимитации одних людей и уменьшению офелимитации у других. ^[13]

Следующий абзац дает нам теорему:

Для явлений типа I [т.е. совершенной конкуренции], когда равновесие имеет место в точке касания кривых безразличия, члены коллектива обладают максимумом неограниченности.

Он добавляет, что «строгое доказательство не может быть дано без помощи математики», и ссылается на свое Приложение. ^[14]

Викселль , ссылаясь на свое определение оптимальности, прокомментировал:

При таком определении почти самоочевидно, что этот так называемый максимум достигается при свободной конкуренции, потому что если бы после совершения обмена можно было посредством дальнейшей серии прямых или косвенных обменов произвести дополнительное удовлетворение потребности участников, то в такой степени такой продолжительный обмен, несомненно, имел бы место, и исходное положение не могло бы быть состоянием окончательного равновесия. ^[15]

Парето не нашел это таким простым. В своем тексте он приводит схематический аргумент, применимый исключительно к обмену, ^[16] и 32-страничный математический аргумент в Приложении ^[17] , которому Самуэльсону «нелегко следовать». ^[18] Парето препятствовало отсутствие концепции границы производства и возможностей , развитие которой было частично связано с его сотрудником Энрико Бароне . ^[19] Его собственные «кривые безразличия к препятствиям», похоже, были ложным путем.

Вскоре после формулировки первой фундаментальной теоремы Парето задает вопрос о распределении:

Рассмотрим коллективистское общество, которое стремится максимизировать благосостояние своих членов. Проблема делится на две части. Во-первых, у нас есть проблема распределения: как блага внутри общества должны распределяться между его членами? А во-вторых, как должно быть организовано производство, чтобы при таком распределении благ члены общества получили максимальное благосостояние?

Его ответ является неформальным предшественником второй теоремы:

Распределив товары в соответствии с ответом на первую проблему, государство должно позволить членам коллектива осуществлять второе распределение или осуществлять его самостоятельно, в любом случае гарантируя, что оно осуществляется в соответствии с принципами свободной конкуренции. ^[20]

Энрико Бароне (1908)

Бароне , соратник Парето, доказал свойство оптимальности совершенной конкуренции, ^[21] а именно то, что – при условии экзогенных цен – она максимизирует денежную стоимость дохода от производственной деятельности, представляющую собой сумму ценностей досуга, сбережений и товары для потребления, взятые в нужных пропорциях. ^[22] Он не утверждает, что цены, выбранные рынком, сами по себе оптимальны.

Его статья не была переведена на английский язык до 1935 года. Она получила одобрение от Самуэльсона ^[23], но, похоже, не повлияла на развитие теорем благосостояния в их нынешнем виде.

Абба Лернер (1934)

В 1934 году Лернер переформулировал условие обмена Эджворта о том, что кривые безразличия должны пересекаться как касательные, представляя это как свойство оптимальности. Он установил аналогичное условие для производства, а именно, что граница производственных возможностей ( PPF , которой он дал альтернативное название «кривая продуктивного безразличия») должна быть касательной к кривой безразличия для сообщества. Он был одним из создателей PPF, использовав его в статье о международной торговле в 1932 году. ^[24] Он показывает, что оба аргумента могут быть представлены в одних и тех же терминах, поскольку PPF играет ту же роль, что и зеркальный. Кривая безразличия изображения в ящике Эджворта. Он также упоминает, что кривые не обязательно должны быть дифференцируемыми, поскольку тот же результат получается, если они соприкасаются в заостренных углах.

Его определение оптимальности было эквивалентно определению Парето:

Если... возможно переместить одного человека в предпочтительное положение, не переводя другого человека в худшее положение... мы можем сказать, что относительный оптимум не достигнут...

Условие оптимальности производства эквивалентно паре требований: (i) цена должна равняться предельным издержкам и (ii) выпуск должен быть максимальным при условии (i). Таким образом, Лернер сводит оптимальность к касанию как производства, так и обмена, но не говорит, почему подразумеваемая точка PPF должна быть условием равновесия для свободного рынка. Возможно, он считал, что это уже достаточно устоялось. ^[25]

Лернер приписывает своему коллеге из Лондонской школы экономики Виктору Эдельбергу заслугу в предложении использования кривых безразличия. Самуэльсон предположил, что Лернер получил свои результаты независимо от работы Парето. ^[26]

Гарольд Хотеллинг (1938)

Хотеллинг выдвинул новый аргумент, чтобы показать, что «продажи при предельных издержках являются условием максимального общего благосостояния» (согласно определению Парето). Он признал, что этому условию удовлетворяет совершенная конкуренция, но, как следствие, утверждал, что совершенная конкуренция не может быть оптимальной, поскольку некоторые выгодные проекты не смогут окупить свои постоянные затраты, взимая плату по этой ставке (например, в естественной монополии ). ^[27]

Оскар Ланге (1942)

Статья Ланге «Основы экономики благосостояния» является источником ставшего традиционным сочетания двух теорем: одна регулирует рынки, а другая — распределение. Он обосновал определение оптимальности Парето для первой теоремы ссылкой на отказ Лайонела Роббинса от межличностных сравнений полезности ^[28] и предложил различные способы вновь ввести межличностные сравнения для второй теоремы, такие как решения демократически избранного Конгресса. Ланге считал, что такой конгресс может действовать аналогично капиталистическому: путем установления векторов цен он может достичь любого оптимального плана производства, чтобы достичь эффективности и социального равенства. ^[29]

Его рассуждения представляют собой математический перевод (в множители Лагранжа ) графического аргумента Лернера. Вторая теорема не принимает в его руках привычной формы; скорее, он просто показывает, что условия оптимизации для истинной функции социальной полезности аналогичны условиям оптимальности по Парето.

Абрам Бергсон и Пол Самуэльсон (1947)

Самуэльсон (отдавая должное Абраму Бергсону за суть его идей) привел вторую теорему Ланге о благосостоянии примерно к ее современной форме. ^[30] Он следует за Ланге в выводе набора уравнений, которые необходимы для оптимальности по Парето, а затем рассматривает, какие дополнительные ограничения возникают, если от экономики требуется удовлетворять истинной функции общественного благосостояния, находя дополнительный набор уравнений, из которых это следует что все действия, необходимые для достижения данного этического желания , могут принимать форму паушальных налогов или премий» . ^[31]

Кеннет Эрроу и Жерар Дебре (отдельно, 1951)

Две статьи Эрроу и Дебре ^[32] (написанные независимо и опубликованные почти одновременно) стремились улучшить строгость первой теоремы Ланге. Их отчеты относятся как к (краткосрочному) производству, так и к обмену, выражая условия обоих через линейные функции.

Равновесие для производства выражается ограничением, согласно которому стоимость чистого выпуска производителя, т. е. скалярное произведение вектора производства на вектор цен, должна быть максимизирована в пределах производственного набора производителя . Это интерпретируется как максимизация прибыли .

Равновесие для обмена интерпретируется как означающее, что полезность индивида должна быть максимизирована по сравнению с позициями, которые можно получить от дара посредством обмена, причем это позиции, ценность которых не превышает стоимости его или ее запаса, где ценность распределения равна его или ее запасам. скалярное произведение с вектором цены.

Эрроу мотивировал свою статью ссылкой на необходимость расширить доказательства, чтобы охватить равновесия на краю пространства, а Дебре - возможностью недифференцируемости кривых безразличия. Современные тексты следуют их стилю доказательства.

Теорема Гринвальда-Стиглица

В своей статье 1986 года «Внешние эффекты в экономике с несовершенной информацией и неполными рынками» Брюс Гринвальд и Джозеф Стиглиц показали, что фундаментальные теоремы благосостояния не выполняются, если существуют неполные рынки или несовершенная информация. ^[33] В статье установлено, что конкурентное равновесие в экономике с асимметричной информацией, как правило, даже не ограничено эффективностью по Парето. Правительство, сталкивающееся с теми же информационными ограничениями, что и частные лица в экономике, тем не менее, может найти меры политического вмешательства, улучшающие Парето. ^[34]

Гринвальд и Стиглиц отметили несколько соответствующих ситуаций, в том числе то, как моральный риск может сделать ситуацию неэффективной (например, налог на алкоголь может быть улучшен по Парето, поскольку он снижает количество автомобильных аварий). ^[35]

Предположения для основных теорем

В принципе, существуют две широко распространенные версии фундаментальных теорем: одна относится к экономике обмена, в которой ресурсы даются экзогенно, и другая относится к экономике, в которой происходит производство. Экономика производства носит более общий характер и требует дополнительных допущений. Все предположения основаны на стандартном учебнике по микроэкономике для выпускников. ^[36]

Фундаментальные теоремы обычно не гарантируют ни существования, ни единственности равновесий.

Первая фундаментальная теорема

• Отношение предпочтения локально ненасыщено для каждого потребителя i. ${\displaystyle \geq _{i}}$
• Агенты (потребители, а в производственной экономике и фирмы) принимают цены как данность.
• Рынки заполнены .
• Идеальная информация .
• Агенты ведут себя рационально . Предпочтения эгоистичны.
• Никаких внешних эффектов .

Вторая фундаментальная теорема

Вторая фундаментальная теорема имеет более жесткие условия.

• Все предположения первой теоремы; кроме того:
• Отношение предпочтения локально ненасыщено и выпукло для каждого потребителя i ${\displaystyle \geq _{i}}$
• Производственное множество выпукло для каждой фирмы j. ${\displaystyle Y_{j}}$
• Для перехода от ценового квазиравновесия к ценовому равновесию с трансфертами: Начальный запас каждого агента строго положителен.

Распространенные ошибки предположений

Ниже приводится неисчерпывающий список распространенных ошибок в предположениях, лежащих в основе фундаментальных теорем.

• Поведение ценообразования: при взаимодействии в теории игр, например, когда фирмы обладают монопольной властью , возникающее в результате равновесие не является эффективным по Парето.
• Внешние эффекты: Во многих случаях, особенно в случае загрязнения окружающей среды и борьбы с изменением климата, это предположение нарушается. В некоторых случаях налог Пигу может восстановить эффективное по Парето распределение.
• Ненасыщение. Хотя ненасыщение является очень слабым предположением, существуют два основных случая, когда оно не выполняется. Во-первых, если у предпочтений есть точка насыщения (например, центральные банки, которые таргетируют инфляцию, имеют точку насыщения на уровне инфляции, на который они нацелены). Во-вторых, если товары можно покупать только отдельными частями, это предположение может быть нарушено.
• Рациональность. В области поведенческой экономики зафиксировано множество нарушений экономической рациональности.
• Выпуклость: при наличии возрастающей отдачи от масштаба выпуклость терпит неудачу. Заметим, что это предположение не является необходимым для первой фундаментальной теоремы.

Другой случай, когда теоремы о благосостоянии не выполняются, — это каноническая модель перекрывающихся поколений (OLG). Еще одно предположение, которое подразумевается в формулировке теоремы, заключается в том, что стоимость совокупных запасов в экономике (некоторые из которых могут быть преобразованы в другие товары посредством производства) конечна. ^[37] В модели OLG ограниченность обеспеченности терпит неудачу, что приводит к проблемам, аналогичным описанным в парадоксе Гильберта о Гранд Отеле .

Являются ли предположения, лежащие в основе фундаментальных теорем, адекватным описанием рынков, это, по крайней мере частично, эмпирический вопрос и может различаться в каждом конкретном случае.

Доказательство первой фундаментальной теоремы

Первая фундаментальная теорема справедлива при общих условиях. ^[38] Формальное утверждение таково: если предпочтения локально ненасыщены и если существует ценовое равновесие с трансфертами, то распределение является оптимальным по Парето. ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$ Равновесие в этом смысле либо относится только к экономике обмена, либо предполагает, что фирмы эффективны в плане распределения и производства, что, как можно показать, следует из совершенно конкурентных рынков факторов производства и рынков факторов производства. ^[38]

Учитывая набор типов товаров, мы работаем в реальном векторном пространстве над и используем жирный шрифт для векторных переменных. Например, если бы это было трехмерное векторное пространство, вектор представлял бы набор товаров, содержащий 1 единицу масла, 2 единицы печенья и 3 единицы молока. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle G=\lbrace {\text{butter}},{\text{cookies}},{\text{milk}}\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$

Предположим, что потребитель i обладает таким богатством, что где – совокупный запас товаров (т.е. сумма всех запасов потребителей и производителей), а – объем производства фирмы j . ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$

Максимизация предпочтений (из определения ценового равновесия с трансфертами) предполагает (используется для обозначения отношения предпочтения для потребителя i ): ${\displaystyle >_{i}}$

если тогда ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\mathbf {w_{i}} }$

Другими словами, если набор товаров строго предпочтителен, он должен быть недоступен по цене . Локальная ненасыщенность дополнительно подразумевает: ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

если тогда ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq \mathbf {w_{i}} }$

Чтобы понять почему, представьте себе, что, но … Тогда за счет локальной ненасыщенности мы могли бы найти сколь угодно близкое к (и, следовательно, доступное) значение, которое строго предпочтительнее . Но это результат максимизации предпочтений, поэтому это противоречие. ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$

Распределение — это пара, где и , т.е. «матрица» (допускающая потенциально бесконечное количество строк/столбцов), i -й столбец которой представляет собой набор товаров, выделенных потребителю i , и «матрица», j -й столбец которой представляет собой продукцию фирмы. Дж . Мы ограничиваем наше внимание возможными распределениями, то есть такими распределениями, при которых ни один потребитель не продает, а производитель не потребляет товары, которых им не хватает, т. е. для каждого товара и каждого потребителя, первоначальные запасы потребителей плюс их чистый спрос должны быть положительными, как и для производителей. ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Теперь рассмотрим распределение , в котором доминирует Парето . Это означает, что для всех i и для некоторых i . Из вышеизложенного мы знаем для всех i и для некоторых i . Суммируя, находим: ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$.

Мы знаем , что это максимизация прибыли . Но товары должны быть сохранены таким образом . Следовательно, это неосуществимо. Поскольку все распределения с доминированием по Парето невозможны, они сами по себе должны быть оптимальными по Парето. ^[38] ${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$ ${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$ ${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$ ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$

Обратите внимание: хотя факт максимизации прибыли просто предполагается в формулировке теоремы, результат полезен/интересен только в той степени, в которой такое распределение производства, максимизирующее прибыль, возможно. К счастью, при любом ограничении распределения производства и цен закрытым подмножеством, в котором предельная цена не равна нулю, например, при любом разумном выборе непрерывных функций для параметризации возможного производства, такой максимум существует. Это следует из того факта, что минимальная предельная цена и конечное богатство ограничивают максимально возможное производство (0 ограничивает минимум), а теорема Тихонова гарантирует, что произведение этих компактных пространств компактно, гарантируя нам максимум любой непрерывной функции, которую мы желаем. ${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$

Доказательство второй фундаментальной теоремы

Вторая теорема формально утверждает, что в предположении, что каждая производственная совокупность выпукла , а каждое отношение предпочтений выпукло и локально ненасыщено , любое желаемое распределение, эффективное по Парето, может поддерживаться как ценовое квазиравновесие с трансфертами. ^[38] Для доказательства этого утверждения для ценового равновесия с трансфертами необходимы дальнейшие предположения. ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$

Доказательство проводится в два этапа: во-первых, мы доказываем, что любое эффективное по Парето распределение может поддерживаться как ценовое квазиравновесие с трансфертами; затем мы даем условия, при которых ценовое квазиравновесие также является ценовым равновесием.

Определим ценовое квазиравновесие с трансфертами как распределение , вектор цен p и вектор уровней благосостояния w (достигаемых за счет единовременных трансфертов) с (где - совокупный запас товаров и - производство фирмы j ) такой, что: ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle y_{j}^{*}}$

я. для всех (фирмы максимизируют прибыль, производя ) ${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$ ${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$ ${\displaystyle y_{j}^{*}}$

ii. Для всех i , if then (если строго предпочтительнее, то это не может стоить меньше ) ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

iii. (бюджетное ограничение удовлетворено) ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

Единственное различие между этим определением и стандартным определением ценового равновесия с трансфертами заключается в утверждении ( ii ). Неравенство здесь слабое ( ), что делает ценовое квазиравновесие. Позже мы усилим это, чтобы добиться ценового равновесия. ^[38] Определите набор всех потребительских наборов, которым строго отдает предпочтение потребитель i , и пусть V будет суммой всех . является выпуклым из-за выпуклости отношения предпочтения . V выпукло, потому что все выпукло. Точно так же объединение всех производственных наборов плюс совокупный запас выпукло, потому что каждое из них выпукло. Мы также знаем, что пересечение V и должно быть пустым, потому что в противном случае это означало бы, что существует пакет, который строго предпочитается всеми и который также доступен. Это исключается Парето-оптимальностью . ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle Y+\{\omega \}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y+\{\omega \}}$ ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$ ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$

Эти два выпуклых непересекающихся множества позволяют нам применить теорему о разделяющей гиперплоскости . Эта теорема утверждает, что существует вектор цен и число r такие, что для каждого и для каждого . Другими словами, существует вектор цен, определяющий гиперплоскость, идеально разделяющую два выпуклых множества. ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle p\cdot z\geq r}$ ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle p\cdot z\leq r}$ ${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$

Далее мы утверждаем, что если для всех i , то . Это происходит из-за локальной ненасыщенности: должен существовать расслоение , сколь угодно близкое к тому, которое строго предпочтительнее и, следовательно, является частью , поэтому . Переход к пределу as не меняет и слабого неравенства . Другими словами, находится в замыкании V . ${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$ ${\displaystyle x'_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$ ${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Используя это соотношение, мы видим это само по себе . Мы тоже это знаем , и так тоже. Объединив их, мы находим это . Мы можем использовать это уравнение, чтобы показать, что оно соответствует определению ценового квазиравновесия с трансфертами. ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$ ${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$

Потому что и мы знаем, что для любой фирмы j: ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$для ${\displaystyle h\neq j}$

что подразумевает . Точно так же мы знаем: ${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$для ${\displaystyle k\neq i}$

что подразумевает . Эти два утверждения, наряду с возможностью распределения при оптимальном Парето, удовлетворяют трем условиям ценового квазиравновесия с трансфертами, поддерживаемыми уровнями благосостояния для всех i . ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$

Теперь мы обратимся к условиям, при которых ценовое квазиравновесие также является ценовым равновесием, другими словами, к условиям, при которых утверждение «если тогда » подразумевает «если то ». Чтобы это было правдой , нам нужно теперь предположить, что потребительское множество выпукло, а отношение предпочтения непрерывно . Тогда, если существует вектор потребления такой, что и , ценовое квазиравновесие является ценовым равновесием. ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$ ${\displaystyle x'_{i}}$ ${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$

Чтобы понять почему, предположим обратное и , и существует. Тогда по выпуклости мы имеем расслоение с . По непрерывности при близких к 1 имеем . Это противоречие, поскольку этот пакет предпочтительнее и стоит меньше, чем . ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Следовательно, для того чтобы ценовое квазиравновесие было ценовым равновесием, достаточно, чтобы потребительское множество было выпуклым, отношение предпочтений было непрерывным и чтобы всегда существовал «более дешевый» потребительский набор . Один из способов обеспечить существование такого набора — потребовать, чтобы уровень благосостояния был строго положительным для всех потребителей i . ^[38] ${\displaystyle x'_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Смотрите также

• Выпуклые предпочтения
• Теоремы Вариана : конкурентное равновесие является одновременно эффективным по Парето и свободным от зависти .
• Теория общего равновесия

Рекомендации

1. https://web.stanford.edu/~hammond/effMktFail.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
2. Стиглиц, Джозеф Э. (1994), Куда идет социализм? , Массачусетский технологический институт, ISBN 978-0-262-69182-6
3. См. обсуждение Мас-Колелла и др. на стр. 556 f.
4. «Богатство народов» (1776 г.), Книга IV, Глава II.
5. Фельдман, Аллан М. (2017), «Экономика благосостояния», Новый экономический словарь Пэлгрейва , Лондон: Palgrave Macmillan UK, стр. 1–14, doi : 10.1057/978-1-349-95121-5_1417-2, ISBN 978-1-349-95121-5, получено 12 ноября 2021 г.
6. Перефразировано из Leçon 18 (первое издание) журнала Éléments . «L'échange de deux Marchandises entre elles sur un Marché Régi par la Free Concurrence est une Operation par laquelle tous les Porteurs soit de l'une des deux Marchandises, soit de l'autre, soit de toutes les deux, obtiennent la plus grande» Удовлетворение от покупок соответствует совместимому с этим условием того, чтобы получить товарный знак, который продается, и получить товарный знак, который соответствует пропорции коммуны и идентичности». По словам Викселля, этот отрывок перенесен в урок 10 4-го изд.
7. Пол Самуэльсон поддержал его, заявив, что локус паретианских оптимумов может быть получен в условиях многосторонней монополии. «Основы экономического анализа» (1947), с. 214.
8. с. 21.
9. с. 25. См. также Джон Криди, «Фрэнсис Исидро Эджворт и Филип Генри Уикстид» (2010), https://core.ac.uk/reader/6561724.
10. Руководство по политической экономии с введением в социальную науку (1906) / Мануэль д'Экономи Политик (1909).
11. Руководство  /  Мануэль , глава III, §22.
12. §116.
13. §33.
14. §35.
15. К. Викселль, «Лекции по политической экономии» I ​​(1906), англ. тр. (1934), стр. 82 ф.
16. §35.
17. Мануэль , §109 – конец.
18. П.А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 212.
19. Томас М. Хамфри, «Сакральная диаграмма теоретика торговли: ее происхождение и раннее развитие» (1988).
20. Эта и предыдущая цитаты были сокращены из §53 и §55 гл. VI.
21. Э. Бароне, «Il Ministro della Produzione nello Stato Colletivistica» (1908).
22. Фактически он делит эту стоимость на цену произвольно выбранного товара, но, поскольку цены предполагаются фиксированными, это просто вносит несущественную асимметрию.
23. П.А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 214–217.
24. А. Лернер, «Диаграмматическое представление условий затрат в международной торговле» (1932), цитируется в книге Томаса М. Хамфри, «Сакральная диаграмма теоретика торговли: ее происхождение и раннее развитие» (1988).
25. Например, «Ничто, кроме себестоимости [т.е. предельных издержек] обязательно и непосредственно не входит в цену предложения на короткие периоды времени»: Альфред Маршалл , «Принципы экономики», Vv6 (консультация с восьмым изд.). И ср. «Предварительный вывод Кнута Викселля о том, что свободная конкуренция обычно является достаточным условием для обеспечения максимизации производства», «Лекции по политической экономии» I ​​(1906), англ. тр. (1934), с. 141.
26. П.А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 217.
27. Х. Хотеллинг, «Общая проблема благосостояния в связи с проблемами налогообложения, тарифов на железнодорожные перевозки и коммунальные услуги» (1938), Econometrica, стр. 260, 267.
28. «Вся та часть теории государственных финансов, которая касается «социальной полезности», игнорируется»: Л. Роббинс, « Очерк о природе и значении экономической науки » (1932), с. 125. Дж. А. Кинг отметил, что «Эта защита привилегий требует неубедительно солипсистского подхода к проблеме сравнения состояний ума разных людей...» («Николас Калдор» (2009), цитируется в обзоре Харви Грэма 2011 года). .
29. Фельдман, Аллан М. (2017), «Экономика благосостояния», Новый экономический словарь Пэлгрейва, Лондон: Palgrave Macmillan UK, стр. 1–14, doi: 10.1057/978-1-349-95121-5_1417-2, ISBN 978-1-349-95121-5 , получено 12 ноября 2021 г.
30. П.А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 219–249.
31. с. 245.
32. К. Эрроу, «Расширение основных теорем классической экономики благосостояния» (1951); Г. Дебре, «Коэффициент использования ресурсов» (1951).
33. Гринвальд, Брюс С.; Стиглиц, Джозеф Э. (1986). «Внешние эффекты в экономиках с несовершенной информацией и неполными рынками». Ежеквартальный экономический журнал . 101 (2): 229–264. дои : 10.2307/1891114 . ISSN  0033-5533. JSTOR  1891114.
34. Авинаш Диксит , «Куда Гринвальд-Стиглиц?» (2003).
35. Гринвальд и Стиглиц (1986), с. 238.
36. Мас-Колелл, Андреу; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 978-0-19-507340-9.
37. Аджемоглу, Дарон (2009). Введение в современный экономический рост . Принстон, Нью-Джерси Оксфорд: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13292-1.
38. Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (1995), «Глава 16: Равновесие и его основные свойства благосостояния», Микроэкономическая теория , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-510268-0