Электрический дипольный момент

Мера положительных и отрицательных зарядов

Электрический дипольный момент — это мера разделения положительных и отрицательных электрических зарядов в системе: то есть мера общей полярности системы . Единицей СИ для электрического дипольного момента является кулон - метр (Кл⋅м). Дебай (Д) — это еще одна единица измерения, используемая в атомной физике и химии.

Теоретически электрический диполь определяется членом первого порядка мультипольного разложения ; он состоит из двух равных и противоположных зарядов, которые находятся на бесконечно малом расстоянии друг от друга, хотя реальные диполи имеют разделенный заряд. ^{[примечания 1]}

Элементарное определение

Величины, определяющие электрический дипольный момент двух точечных зарядов.

Часто в физике размеры объекта можно игнорировать, поэтому его можно рассматривать как точечный объект, то есть как точечную частицу . Точечные частицы с электрическим зарядом называются точечными зарядами . Два точечных заряда, один с зарядом + q , а другой с зарядом − q, разделенные расстоянием d , составляют электрический диполь (простой случай электрического мультиполя ). В этом случае электрический дипольный момент имеет величину и направлен от отрицательного заряда к положительному. Некоторые авторы могут разделить d пополам и использовать s = d /2, поскольку эта величина представляет собой расстояние между любым зарядом и центром диполя, что приводит к множителю два в определении. $${\displaystyle p=qd}$$

Более сильное математическое определение заключается в использовании векторной алгебры , поскольку величина с величиной и направлением, например, дипольный момент двух точечных зарядов, может быть выражена в векторной форме, где d — вектор смещения, направленный от отрицательного заряда к положительному. Вектор электрического дипольного момента p также направлен от отрицательного заряда к положительному. При таком определении направление диполя имеет тенденцию выравниваться с внешним электрическим полем (и обратите внимание, что линии электрического потока, создаваемые зарядами самого диполя, которые направлены от положительного заряда к отрицательному заряду, затем имеют тенденцию противостоять линиям потока внешнего поля). Обратите внимание, что это соглашение о знаках используется в физике, в то время как противоположное соглашение о знаках для диполя, от положительного заряда к отрицательному, используется в химии. ^[1] $${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }$$

Идеализацией этой двухзарядной системы является электрический точечный диполь, состоящий из двух (бесконечных) зарядов, разнесенных лишь на бесконечно малое расстояние, но с конечным p . Эта величина используется в определении плотности поляризации .

Энергия и крутящий момент

Электрический диполь p и его момент силы τ в однородном электрическом поле.

Объект с электрическим дипольным моментом p подвергается воздействию крутящего момента τ , когда он помещен во внешнее электрическое поле E. Крутящий момент стремится выровнять диполь с полем. Диполь, выровненный параллельно электрическому полю, имеет более низкую потенциальную энергию , чем диполь, составляющий с ним некоторый ненулевой угол. Для пространственно однородного электрического поля в малой области, занимаемой диполем, энергия U и крутящий момент определяются как ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ $${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} ,\qquad \ {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} .}$$

Скалярное точечное произведение " ⋅ " и знак минус показывают, что потенциальная энергия минимальна, когда диполь параллелен полю, максимальна, когда он антипараллелен, и равна нулю, когда он перпендикулярен. Символ " × " относится к векторному векторному произведению . Вектор электрического поля и вектор диполя определяют плоскость, а крутящий момент направлен перпендикулярно этой плоскости с направлением, заданным правилом правой руки . Диполь в таком однородном поле может скручиваться и колебаться, но не получает общей чистой силы без линейного ускорения диполя. Диполь скручивается, чтобы выровняться с внешним полем.

Однако в неоднородном электрическом поле диполь действительно может получить чистую силу, поскольку сила на одном конце диполя больше не уравновешивает силу на другом конце. Можно показать, что эта чистая сила в целом параллельна дипольному моменту.

Выражение (общий случай)

В более общем случае для непрерывного распределения заряда, ограниченного объемом V , соответствующее выражение для дипольного момента имеет вид: $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ')\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)d^{3}\mathbf {r} ',}$$

где r определяет точку наблюдения, а d ³ r ′ обозначает элементарный объем в V. Для массива точечных зарядов плотность заряда становится суммой дельта-функций Дирака : $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right),}$$

где каждый r _i — вектор из некоторой точки отсчета к заряду q _i . Подстановка в приведенную выше формулу интегрирования дает: $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\,d^{3}\mathbf {r} _{0}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).}$$

Это выражение эквивалентно предыдущему выражению в случае нейтральности заряда и N = 2. Для двух противоположных зарядов, обозначая расположение положительного заряда пары как r ₊ , а расположение отрицательного заряда как r ₋ : $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=q_{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )+q_{2}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-})=q\mathbf {d} ,}$$

показывая, что вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному заряду, поскольку радиус -вектор точки направлен наружу от начала координат к этой точке.

Дипольный момент особенно полезен в контексте общей нейтральной системы зарядов, такой как пара противоположных зарядов или нейтральный проводник в однородном электрическом поле. Для такой системы, визуализированной как массив парных противоположных зарядов, соотношение для электрического дипольного момента следующее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\,,\end{aligned}}}$$

где r — точка наблюдения и d _i = r ' _i − r _i , r _i — положение отрицательного заряда в диполе i , а r ' _i — положение положительного заряда. Это векторная сумма индивидуальных дипольных моментов нейтральных пар зарядов. (Ввиду общей нейтральности заряда дипольный момент не зависит от положения наблюдателя r .) Таким образом, значение p не зависит от выбора точки отсчета, при условии, что общий заряд системы равен нулю.

При обсуждении дипольного момента ненейтральной системы, такой как дипольный момент протона , возникает зависимость от выбора точки отсчета. В таких случаях принято выбирать в качестве точки отсчета центр масс системы, а не какое-то произвольное начало координат. ^[3] Этот выбор не является только вопросом соглашения: понятие дипольного момента по сути выводится из механического понятия крутящего момента, и, как и в механике, с вычислительной и теоретической точки зрения полезно выбирать центр масс в качестве точки наблюдения. Для заряженной молекулы точкой отсчета должен быть центр заряда, а не центр масс. Для нейтральных систем точка отсчета не важна, а дипольный момент является внутренним свойством системы.

Потенциал и поле электрического диполя

Карта потенциала физического электрического диполя. Отрицательные потенциалы обозначены синим цветом, положительные — красным.

Идеальный диполь состоит из двух противоположных зарядов с бесконечно малым разделением. Мы вычисляем потенциал и поле такого идеального диполя, начиная с двух противоположных зарядов с разделением d > 0 и принимая предел при d → 0.

Два близко расположенных разноименных заряда ± q имеют потенциал вида: соответствующий плотности заряда по закону Кулона , где разделение зарядов равно: $${\displaystyle V(\mathbf {r} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right|}}-{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right|}}\right),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )\ =\ -\varepsilon _{0}\nabla ^{2}V\ =\ q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right)-q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\,,\quad d=|\mathbf {d} |\,.}$$

Пусть R обозначает вектор положения относительно средней точки и соответствующий единичный вектор: ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}},\quad {\hat {\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {R} }{|\mathbf {R} |}}\,,}$$

Разложение Тейлора (см. мультипольное разложение и квадрупольное разложение ) выражает этот потенциал в виде ряда. ^{[4] [5]} где члены более высокого порядка в ряду исчезают на больших расстояниях, R , по сравнению с d . ^{[примечания 2]} Здесь электрический дипольный момент p равен, как и выше: ${\displaystyle {\tfrac {d}{R}}}$ $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{R^{3}}}\right)\ \approx \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{|\mathbf {R} |^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {R} }{|\mathbf {R} |^{3}}}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} \,.}$$

Результат для дипольного потенциала также можно выразить как: ^[7] $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\approx -\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\,,}$$

которая связывает потенциал диполя с потенциалом точечного заряда. Ключевым моментом является то, что потенциал диполя падает быстрее с расстоянием R, чем потенциал точечного заряда.

Электрическое поле диполя представляет собой отрицательный градиент потенциала, что приводит к: ^[7] $${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {R} \right)={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\right){\hat {\mathbf {R} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}\,.}$$

Таким образом, хотя два близко расположенных противоположных заряда не являются идеальным электрическим диполем (потому что их потенциал на коротких расстояниях не является потенциалом диполя), на расстояниях, намного больших, чем их разделение, их дипольный момент p непосредственно проявляется в их потенциале и поле.

По мере того, как два заряда сближаются ( d становится меньше), дипольный член в мультипольном разложении, основанном на отношении d / R, становится единственным значимым членом на все более близких расстояниях R , и в пределе бесконечно малого разделения дипольный член в этом разложении - это все, что имеет значение. Однако, поскольку d становится бесконечно малым, дипольный заряд должен увеличиваться, чтобы поддерживать p постоянным. Этот ограничивающий процесс приводит к «точечному диполю».

Плотность дипольного момента и плотность поляризации

Дипольный момент массива зарядов, $${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d_{i}} \,,}$$

определяет степень полярности массива, но для нейтрального массива это просто векторное свойство массива без информации об абсолютном местоположении массива. Плотность дипольного момента массива p ( r ) содержит как местоположение массива, так и его дипольный момент. Когда приходит время вычислить электрическое поле в некоторой области, содержащей массив, решаются уравнения Максвелла, а информация о массиве зарядов содержится в плотности поляризации P ( r ) уравнений Максвелла. В зависимости от того, насколько мелкозернистая оценка электрического поля требуется, больше или меньше информации о массиве зарядов должно быть выражено через P ( r ). Как поясняется ниже, иногда достаточно точно взять P ( r ) = p ( r ). Иногда требуется более подробное описание (например, дополнение плотности дипольного момента дополнительной квадрупольной плотностью), а иногда необходимы даже более сложные версии P ( r ).

Теперь исследуется, каким образом плотность поляризации P ( r ), которая входит в уравнения Максвелла , связана с дипольным моментом p всего нейтрального массива зарядов, а также с плотностью дипольного момента p ( r ) (которая описывает не только дипольный момент, но и местоположение массива). В дальнейшем рассматриваются только статические ситуации, поэтому P ( r ) не имеет зависимости от времени, и ток смещения отсутствует . Сначала приводится некоторое обсуждение плотности поляризации P ( r ). Это обсуждение сопровождается несколькими конкретными примерами.

Формулировка уравнений Максвелла, основанная на разделении зарядов и токов на «свободные» и «связанные» заряды и токи, приводит к введению полей D и P : где P называется плотностью поляризации . В этой формулировке дивергенция этого уравнения дает: и поскольку член дивергенции в E является полным зарядом, а ρ _f является «свободным зарядом», то мы остаемся с соотношением: с ρ _b в качестве связанного заряда, под которым понимается разность между полной и свободной плотностями заряда. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \cdot \mathbf {P} \,,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{b}\,,}$$

Кстати, при отсутствии магнитных эффектов уравнения Максвелла указывают, что $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\boldsymbol {0}}\,,}$$

что подразумевает $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {D} -\mathbf {P} \right)={\boldsymbol {0}}\,,}$$

Применяем разложение Гельмгольца : ^[8] для некоторого скалярного потенциала φ , и: $${\displaystyle \mathbf {D} -\mathbf {P} =-\nabla \varphi \,,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {D} -\mathbf {P} )=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}+\rho _{b}=-\nabla ^{2}\varphi \,.}$$

Предположим, что заряды делятся на свободные и связанные, а потенциал делится на

$${\displaystyle \varphi =\varphi _{f}+\varphi _{b}\,.}$$

Удовлетворение граничных условий на φ может быть разделено произвольно между φ _f и φ _b, поскольку только сумма φ должна удовлетворять этим условиям. Из этого следует, что P просто пропорционально электрическому полю, обусловленному зарядами, выбранными в качестве связанных, с граничными условиями, которые оказываются удобными. ^{[примечания 3] [примечания 4]} В частности, когда нет свободного заряда, одним из возможных вариантов является P = ε ₀ E .

Далее обсуждается, как несколько различных описаний дипольного момента среды связаны с поляризацией, входящей в уравнения Максвелла.

Среда с зарядовой и дипольной плотностью

Как описано далее, модель для плотности поляризационного момента p ( r ) приводит к поляризации, ограниченной той же моделью. Для плавно изменяющегося распределения дипольного момента p ( r ) соответствующая плотность связанного заряда просто такая , какую мы вскоре установим посредством интегрирования по частям . Однако, если p ( r ) демонстрирует резкий скачок дипольного момента на границе между двумя областями, ∇· p ( r ) приводит к компоненту поверхностного заряда связанного заряда. Этот поверхностный заряд можно рассматривать через поверхностный интеграл или с использованием условий разрыва на границе, как показано в различных примерах ниже. $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=-\rho _{b},}$$

В качестве первого примера, связывающего дипольный момент с поляризацией, рассмотрим среду, состоящую из непрерывной плотности заряда ρ ( r ) и непрерывного распределения дипольного момента p ( r ). ^{[примечания 5]} Потенциал в точке r равен: ^{[10] [11]} $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0},}$$

где ρ ( r ) — плотность неспаренного заряда, а p ( r ) — плотность дипольного момента. ^{[примечания 6]} Используя тождество: поляризационный интеграл можно преобразовать: где векторное тождество использовалось на последних шагах. Первый член можно преобразовать в интеграл по поверхности, ограничивающей объем интегрирования, и он вносит вклад в поверхностную плотность заряда, обсуждаемую позже. Подставляем этот результат обратно в потенциал и игнорируем поверхностный заряд на данный момент: где интегрирование по объему распространяется только до ограничивающей поверхности и не включает эту поверхность. $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\\={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\implies \mathbf {A} \cdot (\nabla {B})=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}}$$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,,}$$

Потенциал определяется общим зарядом, который, как показано выше, состоит из: показывая, что: $${\displaystyle \rho _{\text{total}}\left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,}$$ $${\displaystyle -\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho _{b}\,.}$$

Короче говоря, плотность дипольного момента p ( r ) играет роль плотности поляризации P для этой среды. Обратите внимание, p ( r ) имеет ненулевую дивергенцию, равную плотности связанного заряда (как моделируется в этом приближении).

Можно отметить, что этот подход можно расширить, включив в него все мультиполи: диполь, квадруполь и т. д. ^{[12] [13]} Используя соотношение: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}\,,}$$

Плотность поляризации определяется как: $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} _{\text{dip}}-\nabla \cdot \mathbf {p} _{\text{quad}}+\cdots \,,}$$

где добавленные члены предназначены для указания вкладов от высших мультиполей. Очевидно, включение высших мультиполей означает, что плотность поляризации P больше не определяется только плотностью дипольного момента p . Например, при рассмотрении рассеяния от зарядовой решетки, различные мультиполи рассеивают электромагнитную волну по-разному и независимо, требуя представления зарядов, которое выходит за рамки дипольного приближения. ^{[14] [15]}

Поверхностный заряд

Равномерный массив одинаковых диполей эквивалентен поверхностному заряду.

Выше обсуждение было отложено для первого члена в выражении для потенциала из-за диполей. Интеграция расхождения приводит к поверхностному заряду. Рисунок справа дает интуитивное представление о том, почему возникает поверхностный заряд. Рисунок показывает однородный массив идентичных диполей между двумя поверхностями. Внутри головы и хвосты диполей являются смежными и компенсируют друг друга. Однако на ограничивающих поверхностях никакой компенсации не происходит. Вместо этого на одной поверхности головы диполей создают положительный поверхностный заряд, в то время как на противоположной поверхности хвосты диполей создают отрицательный поверхностный заряд. Эти два противоположных поверхностных заряда создают чистое электрическое поле в направлении, противоположном направлению диполей.

Эта идея представлена ​​в математической форме с использованием приведенного выше потенциального выражения. Игнорируя свободный заряд, потенциал равен: $${\displaystyle \phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,.}$$

Используя теорему о расходимости , член расходимости преобразуется в поверхностный интеграл: $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot d\mathbf {A} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\,,}$$

с d A ₀ элементом площади поверхности объема. В случае, если p ( r ) является константой, выживает только поверхностный член: с d A ₀ элементарной площадью поверхности, ограничивающей заряды. Другими словами, потенциал, обусловленный константой p внутри поверхности, эквивалентен потенциалу поверхностного заряда , который положителен для элементов поверхности с компонентой в направлении p и отрицателен для элементов поверхности, направленных в противоположную сторону. (Обычно направление элемента поверхности принимается равным направлению внешней нормали к поверхности в месте расположения элемента.) $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$ $${\displaystyle \sigma =\mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} }$$

Если ограничивающая поверхность является сферой, а точка наблюдения находится в центре этой сферы, то интегрирование по поверхности сферы равно нулю: вклады положительного и отрицательного поверхностного заряда в потенциал сокращаются. Однако, если точка наблюдения нецентральна, может возникнуть чистый потенциал (в зависимости от ситуации), поскольку положительные и отрицательные заряды находятся на разных расстояниях от точки наблюдения. ^{[примечания 7]} Поле, обусловленное поверхностным зарядом, равно: которое в центре сферической ограничивающей поверхности не равно нулю ( поля отрицательных и положительных зарядов на противоположных сторонах центра складываются, поскольку оба поля направлены в одну сторону), а равно: ^[17] $${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla _{\mathbf {r} }\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}}\,.}$$

Если предположить, что поляризация диполей была вызвана внешним полем, то поле поляризации противостоит приложенному полю и иногда называется полем деполяризации . ^{[18] [19]} В случае, когда поляризация находится вне сферической полости, поле в полости, обусловленное окружающими диполями, имеет то же направление, что и поляризация. ^{[примечания 8]}

В частности, если электрическая восприимчивость введена через приближение: где E в этом и в следующем случае представляет собой внешнее поле , вызывающее поляризацию. $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,,}$$

Затем: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\nabla \cdot \left(\chi (\mathbf {r} )\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\right)=-\rho _{b}\,.}$$

Всякий раз, когда χ ( r ) используется для моделирования ступенчатого разрыва на границе между двумя областями, ступенька создает слой поверхностного заряда. Например, интегрирование вдоль нормали к ограничивающей поверхности от точки, лежащей внутри одной поверхности, до другой точки, лежащей снаружи: $${\displaystyle \varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{n}}}\int d\Omega _{n}\ \rho _{b}=0\,,}$$

где A _n , Ω _n указывают площадь и объем элементарной области, охватывающей границу между областями, и единицу, нормальную к поверхности. Правая сторона исчезает по мере уменьшения объема, поскольку ρ _b конечна, указывая на разрыв в E , и, следовательно, на поверхностный заряд. То есть, когда моделируемая среда включает ступеньку в диэлектрической проницаемости, плотность поляризации, соответствующая плотности дипольного момента ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

обязательно включает в себя вклад поверхностного заряда. ^{[21] [22] [23]}

Физически более реалистичное моделирование p ( r ) имело бы плотность дипольного момента, быстро падающую, но плавно до нуля на границе ограничивающей области, а не делающую резкий скачок к нулевой плотности. Тогда поверхностный заряд не будет концентрироваться на бесконечно тонкой поверхности, а вместо этого, будучи дивергенцией плавно изменяющейся плотности дипольного момента, распределится по тонкому, но конечному переходному слою.

Диэлектрический шар в однородном внешнем электрическом поле

Линии поля D - поля в диэлектрической сфере с большей восприимчивостью, чем ее окружение, помещенной в предварительно однородное поле. ^{[примечания 9]} Линии поля E -поля ( не показаны) везде совпадают с линиями поля D -поля, но внутри сферы их плотность ниже, что соответствует тому факту, что E -поле слабее внутри сферы, чем снаружи. Многие из внешних линий E -поля заканчиваются на поверхности сферы, где находится связанный заряд.

Вышеизложенные общие замечания о поверхностном заряде становятся более конкретными при рассмотрении примера диэлектрической сферы в однородном электрическом поле. ^{[25] [26]} Обнаружено, что сфера принимает поверхностный заряд, связанный с дипольным моментом ее внутренней части.

Предполагается, что однородное внешнее электрическое поле направлено в направлении оси z , и вводятся сферически-полярные координаты, поэтому потенциал, создаваемый этим полем, равен: $${\displaystyle \phi _{\infty }=-E_{\infty }z=-E_{\infty }r\cos \theta \,.}$$

Предполагается, что сфера описывается диэлектрической проницаемостью κ , то есть, $${\displaystyle \mathbf {D} =\kappa \varepsilon _{0}\mathbf {E} \,,}$$

и внутри сферы потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Пропуская некоторые детали, решение внутри сферы: $${\displaystyle \phi _{<}=Ar\cos \theta \,,}$$

находясь вне сферы: $${\displaystyle \phi _{>}=\left(Br+{\frac {C}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}$$

На больших расстояниях φ _> → φ _{∞ ,} поэтому B = − E _∞ . Непрерывность потенциала и радиальной составляющей смещения D = κε ₀ E определяют две другие константы. Предположим, что радиус сферы равен R , $${\displaystyle A=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }\ ;\ C={\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }R^{3}\,,}$$

В результате потенциал равен: который является потенциалом, обусловленным приложенным полем и, кроме того, диполем в направлении приложенного поля ( направление z ) дипольного момента: $${\displaystyle \phi _{>}=\left(-r+{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}\right)E_{\infty }\cos \theta \,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}R^{3}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$

или, на единицу объема: $${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,.}$$

Множитель ( κ − 1)/( κ + 2) называется фактором Клаузиуса–Моссотти и показывает, что индуцированная поляризация меняет знак, если κ < 1. Конечно, в этом примере этого произойти не может, но в примере с двумя разными диэлектриками κ заменяется отношением диэлектрических проницаемостей внутренней и внешней областей, которое может быть больше или меньше единицы. Потенциал внутри сферы равен: $${\displaystyle \phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \,,}$$

приводящее к полю внутри сферы: $${\displaystyle -\nabla \phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,}$$

показывая деполяризующий эффект диполя. Обратите внимание, что поле внутри сферы однородно и параллельно приложенному полю. Дипольный момент однороден по всей внутренней части сферы. Поверхностная плотность заряда на сфере представляет собой разницу между радиальными компонентами поля: $${\displaystyle \sigma =3\varepsilon _{0}{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }\cos \theta ={\frac {1}{V}}\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\,.}$$

Этот пример линейного диэлектрика показывает, что рассмотрение диэлектрической проницаемости эквивалентно модели однородного дипольного момента и приводит к нулевому заряду везде, за исключением поверхностного заряда на границе сферы.

Общие СМИ

Если наблюдение ограничено областями, достаточно удаленными от системы зарядов, можно сделать мультипольное разложение точной плотности поляризации. Усекая это разложение (например, сохраняя только дипольные члены, или только дипольные и квадрупольные члены, и т. д. ), можно восстановить результаты предыдущего раздела. В частности, усекая разложение на дипольном члене, результат неотличим от плотности поляризации, созданной однородным дипольным моментом, ограниченным областью заряда. С точностью до этого дипольного приближения, как показано в предыдущем разделе, плотность дипольного момента p ( r ) (которая включает не только p , но и местоположение p ) служит в качестве P ( r ).

В местах внутри массива зарядов для соединения массива парных зарядов с приближением, включающим только плотность дипольного момента p ( r ), требуются дополнительные соображения. Простейшее приближение — заменить массив зарядов моделью идеальных (бесконечно мало разнесенных) диполей. В частности, как в примере выше, который использует постоянную плотность дипольного момента, ограниченную конечной областью, возникают поверхностный заряд и поле деполяризации. Более общая версия этой модели (которая позволяет поляризации изменяться в зависимости от положения) — это обычный подход с использованием электрической восприимчивости или электрической диэлектрической проницаемости .

Более сложная модель массива точечных зарядов вводит эффективную среду путем усреднения микроскопических зарядов; ^[19] например, усреднение может организовать так, что только дипольные поля играют роль. ^{[27] [28]} Связанный подход заключается в разделении зарядов на те, которые находятся вблизи точки наблюдения, и те, которые находятся достаточно далеко, чтобы допустить мультипольное расширение. Затем близлежащие заряды вызывают локальные полевые эффекты . ^{[17] [29]} В общей модели этого типа удаленные заряды рассматриваются как однородная среда с использованием диэлектрической проницаемости, а близлежащие заряды рассматриваются только в дипольном приближении. ^[30] Аппроксимация среды или массива зарядов только диполями и связанной с ними плотностью дипольного момента иногда называется приближением точечного диполя , приближением дискретного диполя или просто приближением диполя . ^{[31] [32] [33]}

Электрические дипольные моменты фундаментальных частиц

Не путать с магнитными дипольными моментами частиц, продолжается большая экспериментальная работа по измерению электрических дипольных моментов (ЭДМ; или аномального электрического дипольного момента ) фундаментальных и составных частиц, а именно электрона и нейтрона , соответственно. Поскольку ЭДМ нарушают как симметрию четности (P), так и симметрию обращения времени (T), их значения дают в основном модельно-независимую меру нарушения CP в природе (предполагая, что симметрия CPT верна). ^[34] Поэтому значения для этих ЭДМ накладывают сильные ограничения на масштаб нарушения CP, которые могут позволить расширения стандартной модели физики элементарных частиц . Текущие поколения экспериментов спроектированы так, чтобы быть чувствительными к диапазону суперсимметрии ЭДМ, обеспечивая дополнительные эксперименты к тем, что проводятся на LHC . ^[35]

Действительно, многие теории несовместимы с текущими пределами и фактически были исключены, а устоявшаяся теория допускает гораздо большее значение, чем эти пределы, что приводит к сильной проблеме CP и побуждает к поискам новых частиц, таких как аксион . ^[36]

Мы знаем, по крайней мере, в секторе Юкавы из нейтральных каонных колебаний, что CP нарушен. Были проведены эксперименты по измерению электрического дипольного момента различных частиц, таких как электрон и нейтрон . Многие модели за пределами стандартной модели с дополнительными нарушающими CP членами в общем случае предсказывают ненулевой электрический дипольный момент и, следовательно, чувствительны к такой новой физике. Поправки инстантона из ненулевого члена θ в квантовой хромодинамике предсказывают ненулевой электрический дипольный момент для нейтрона и протона, которые не наблюдались в экспериментах (где наилучшие границы получаются из анализа нейтронов). Это сильная проблема CP и является предсказанием киральной теории возмущений .

Дипольные моменты молекул

Дипольные моменты в молекулах отвечают за поведение вещества в присутствии внешних электрических полей. Диполи имеют тенденцию быть выровненными по внешнему полю, которое может быть постоянным или зависящим от времени. Этот эффект составляет основу современной экспериментальной техники, называемой диэлектрической спектроскопией .

Дипольные моменты можно обнаружить в обычных молекулах, таких как вода, а также в биомолекулах, таких как белки. ^[37]

С помощью полного дипольного момента некоторого материала можно вычислить диэлектрическую постоянную, которая связана с более интуитивной концепцией проводимости. Если — полный дипольный момент образца, то диэлектрическая проницаемость определяется как, где k — константа, а — временная корреляционная функция полного дипольного момента. В общем случае полный дипольный момент имеет вклады, обусловленные перемещениями и вращениями молекул в образце, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}}$ $${\displaystyle \varepsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle }$$ ${\displaystyle \left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle }$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.}$$

Следовательно, диэлектрическая проницаемость (и проводимость) имеет вклады от обоих членов. Этот подход можно обобщить для вычисления частотно-зависимой диэлектрической функции. ^[38]

Можно рассчитать дипольные моменты из теории электронной структуры , либо как реакцию на постоянные электрические поля, либо из матрицы плотности. ^[39] Однако такие значения напрямую не сопоставимы с экспериментом из-за потенциального присутствия ядерных квантовых эффектов, которые могут быть существенными даже для простых систем, таких как молекула аммиака. ^[40] Теория связанных кластеров (особенно CCSD(T) ^[41] ) может дать очень точные дипольные моменты, ^[42] хотя можно получить разумные оценки (в пределах примерно 5%) из теории функционала плотности , особенно если используются гибридные или двойные гибридные функционалы. ^[43] Дипольный момент молекулы также можно рассчитать на основе молекулярной структуры, используя концепцию методов группового вклада. ^[44]

Смотрите также

• Аномальный магнитный дипольный момент
• Дипольный момент связи
• Электрический дипольный момент нейтрона
• Электрический дипольный момент электрона
• Тороидальный дипольный момент
• Динамический тороидальный диполь
• Расширение мультиполя
• Мультипольные моменты
• Сплошные гармоники
• Аксиальные мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты
• Сферические мультипольные моменты
• расширение Лапласа
• полиномы Лежандра

Примечания

1. Многие теоретики предсказывают, что элементарные частицы могут иметь очень маленькие электрические дипольные моменты, возможно, без разделенного заряда. Такие большие диполи не имеют значения для повседневной физики и пока не наблюдались. (См. электрический дипольный момент электрона ). Однако при проведении измерений на расстоянии, намного большем, чем разделение зарядов, диполь дает хорошее приближение к реальному электрическому полю. Диполь представлен вектором от отрицательного заряда к положительному заряду.
2. Каждый последующий член обеспечивает более детальное представление распределения заряда и падает быстрее с расстоянием. Например, квадрупольный момент является основой для следующего члена: с r ₀ = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ). ^[6] $${\displaystyle Q_{ij}=\int d^{3}\mathbf {r} _{0}\left(3x_{i}x_{j}-r_{0}^{2}\delta _{ij}\right)\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,}$$
3. Например, можно поместить границу вокруг связанных зарядов на бесконечности. Тогда φ _b убывает с расстоянием от связанных зарядов. Если присутствует внешнее поле и нулевой свободный заряд, поле может быть учтено во вкладе φ _f , что удовлетворит граничным условиям и уравнению Лапласа $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi _{f}=0\,.}$$
4. В принципе, можно было бы добавить один и тот же произвольный ротор к D и P , что устранило бы разницу D − P. Однако, если предположить, что D и P возникают в результате простого деления зарядов на свободные и связанные, то они формально подобны электрическим полям и, следовательно, имеют нулевой ротор .
5. Эту среду можно рассматривать как идеализацию, растущую из мультипольного расширения потенциала произвольно сложного распределения заряда, усечения расширения и принуждения усеченной формы к применению везде. Результатом является гипотетическая среда. ^[9]
6. Например, для системы идеальных диполей с дипольным моментом p, заключенной внутри некоторой замкнутой поверхности, дипольная плотность p ( r ) равна p внутри поверхности, но равна нулю снаружи. То есть дипольная плотность включает ступенчатую функцию Хевисайда , локализующую диполи внутри поверхности.
7. Грубую оценку интеграла можно выполнить с помощью мультипольного разложения: ^[16] $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}=\sum _{\ell ,\ m}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {1}{r}}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{\ell }{Y^{*}}_{\ell }^{m}\left(\theta _{0},\ \phi _{0}\right)Y_{\ell }^{m}\left(\theta ,\ \phi \right).}$$
8. Например, капля в окружающей среде испытывает более сильное или более слабое внутреннее поле в зависимости от того, имеет ли среда более высокую или более низкую диэлектрическую проницаемость, чем капля. ^[20]
9. Основано на уравнениях Эндрю Грея ^[24] , которые ссылаются на статьи сэра У. Томсона.

Ссылки

1. Питер В. Аткинс; Лоретта Джонс (2016). Химические принципы: поиски понимания (7-е изд.). Macmillan Learning. ISBN 978-1464183959.
2. Raymond A. Serway; John W. Jewett Jr. (2009). Физика для ученых и инженеров, том 2 (8-е изд.). Cengage Learning. стр. 756–757. ISBN 978-1439048399.
3. Кристофер Дж. Крамер (2004). Основы вычислительной химии (2-е изд.). Wiley. стр. 307. ISBN 978-0-470-09182-1.
4. Дэвид Э. Дагдейл (1993). Основы электромагнетизма. Springer. С. 80–81. ISBN 978-1-56396-253-0.
5. Кикудзи Хиросе; Томоя Оно; Ёситака Фудзимото (2005). Расчеты первых принципов в формализме реального пространства. Imperial College Press. стр. 18. ISBN 978-1-86094-512-0.
6. HW Wyld (1999). Математические методы в физике. Westview Press. стр. 106. ISBN 978-0-7382-0125-2.
7. BB Laud (1987). Электромагнетизм (2-е изд.). New Age International. стр. 25. ISBN 978-0-85226-499-7.
8. Цзе-Чжи Ву; Хуэй-Ян Ма; Мин-Дэ Чжоу (200). "§2.3.1 Функционально ортогональное разложение". Вихревость и вихревая динамика . Springer. стр. 36 и далее . ISBN 978-3-540-29027-8.
9. Джек Вандерлинде (2004). "§7.1 Электрическое поле, вызванное поляризованным диэлектриком". Классическая электромагнитная теория . Springer. ISBN 978-1-4020-2699-7.
10. Уве Крей; Энтони Оуэн (2007). Базовая теоретическая физика: краткий обзор. Springer. С. 138–143. ISBN 978-3-540-36804-5.
11. T Tsang (1997). Классическая электродинамика. World Scientific. стр. 59. ISBN 978-981-02-3041-8.
12. Джордж Э. Оуэн (2003). Введение в электромагнитную теорию (переиздание издания Allyn & Bacon 1963 года). Courier Dover Publications. стр. 80. ISBN 978-0-486-42830-7.
13. Пьер-Франсуа Бреве (1997). Генерация поверхностной второй гармоники. Прессы политехнические и университетские романские . п. 24. ISBN 978-2-88074-345-1.
14. Дэниел А. Джелски; Томас Ф. Джордж (1999). Вычислительные исследования новых материалов. World Scientific. стр. 219. ISBN 978-981-02-3325-9.
15. EM Purcell; CR Pennypacker (1973). «Рассеяние и поглощение света несферическими диэлектрическими зернами». Astrophysical Journal . 186 : 705–714. Bibcode : 1973ApJ...186..705P. doi : 10.1086/152538.
16. HW Wyld (1999). Математические методы в физике. Westview Press. стр. 104. ISBN 978-0-7382-0125-2.
17. H. Ibach; Hans Lüth (2003). Физика твердого тела: введение в принципы материаловедения (3-е изд.). Springer. стр. 361. ISBN 978-3-540-43870-0.
18. Ясуаки Масумото; Тосихидэ Такагахара (2002). Полупроводниковые квантовые точки: физика, спектроскопия и приложения. Springer. стр. 72. ISBN 978-3-540-42805-3.
19. Ютака Тоёдзава (2003). Оптические процессы в твёрдых телах. Cambridge University Press. стр. 96. ISBN 978-0-521-55605-7.
20. Пол С. Дрзаик (1995). Жидкокристаллические дисперсии. World Scientific. стр. 246. ISBN 978-981-02-1745-7.
21. Вай-Кай Чен (2005). Справочник по электротехнике. Academic Press. стр. 502. ISBN 978-0-12-170960-0.
22. Джулиус Адамс Страттон (2007). Электромагнитная теория (переиздание издания 1941 г.). Wiley-IEEE. стр. 184. ISBN 978-0-470-13153-4.
23. Эдвард Дж. Ротвелл; Майкл Дж. Клауд (2001). Электромагнетизм. CRC Press. стр. 68. ISBN 978-0-8493-1397-4.
24. Грей, Эндрю (1888). Теория и практика абсолютных измерений в электричестве и магнетизме. Macmillan & Co., стр. 126–127.
25. HW Wyld (1999). Математические методы в физике (2-е изд.). Westview Press. стр. 233 и далее . ISBN 978-0-7382-0125-2.
26. Джулиус Адамс Страттон (2007). Электромагнитная теория (переиздание Wiley-IEEE). Piscataway, NJ: IEEE Press. стр. 205 и далее . ISBN 978-0-470-13153-4.
27. Джон Э. Сайп; Р. В. Бойд (2002). "Нанокомпозитные материалы для нелинейной оптики на основе локальных полевых эффектов". В Владимир М. Шалаев (ред.). Оптические свойства наноструктурированных случайных сред . Springer. стр. 3. ISBN 978-3-540-42031-6.
28. Эмиль Вольф (1977). Прогресс в оптике. Elsevier. стр. 288. ISBN 978-0-7204-1515-5.
29. Марк Фокс (2006). Оптические свойства твердых тел. Oxford University Press. стр. 39. ISBN 978-0-19-850612-6.
30. Лев Канторович (2004). "§8.2.1 Локальное поле". Квантовая теория твердого тела . Springer. стр. 426. ISBN 978-1-4020-2153-4.
31. Пьер Мейстр (2001). Атомная оптика. Springer. стр. 5. ISBN 978-0-387-95274-1.
32. Брюс Т. Дрейн (2001). «Дискретное дипольное приближение для рассеяния света нерегулярными целями». В Михаил И. Мищенко (ред.). Рассеяние света несферическими частицами . Academic Press. стр. 132. ISBN 978-0-12-498660-2.
33. MA Yurkin; AG Hoekstra (2007). «Приближение дискретного диполя: обзор и последние разработки». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 106 (1–3): 558–589. arXiv : 0704.0038 . Bibcode :2007JQSRT.106..558Y. doi :10.1016/j.jqsrt.2007.01.034. S2CID  119572857.
34. Хриплович, Иосип Б.; Ламоро, Стив К. (2012). Нарушение CP без странности: электрические дипольные моменты частиц, атомов и молекул . [Sl]: Springer. ISBN 978-3-642-64577-8.
35. Ибрагим, Тарик; Итани, Ахмад; Нат, Пран (2014). «Электронный EDM как чувствительный зонд физики масштаба ПэВ». Physical Review D. 90 ( 5): 055006. arXiv : 1406.0083 . Bibcode : 2014PhRvD..90e5006I. doi : 10.1103/PhysRevD.90.055006. S2CID  118880896.
36. Ким, Джин Э.; Карози, Джанпаоло (2010). «Аксионы и сильная проблема CP». Обзоры современной физики . 82 (1): 557–602. arXiv : 0807.3125 . Bibcode :2010RvMP...82..557K. doi :10.1103/RevModPhys.82.557.
37. Охеда, П.; Гарсия, М. (2010). «Нарушение конформации нативного бета-слоистого белка под действием электрического поля и генерация спиральной структуры». Biophysical Journal . 99 (2): 595–599. Bibcode :2010BpJ....99..595O. doi :10.1016/j.bpj.2010.04.040. PMC 2905109 . PMID  20643079. 
38. Y. Shim; H. Kim (2008). «Диэлектрическая релаксация, ионная проводимость, вращение растворителя и динамика сольватации в ионной жидкости при комнатной температуре». J. Phys. Chem. B . 112 (35): 11028–11038. doi :10.1021/jp802595r. PMID  18693693.
39. Франк., Дженсен (2007). Введение в вычислительную химию (2-е изд.). Чичестер, Англия: John Wiley & Sons. ISBN 9780470011874. OCLC  70707839.
40. Пуццарини, Кристина (2008-09-01). "Ab initio характеристика XH3 (X = N,P). Часть II. Электрические, магнитные и спектроскопические свойства аммиака и фосфина". Theoretical Chemistry Accounts . 121 (1–2): 1–10. doi :10.1007/s00214-008-0409-8. ISSN  1432-881X. S2CID  98782005.
41. Рагхавачари, Кришнан; Тракс, Гэри В.; Попл, Джон А.; Хэд-Гордон, Мартин (1989). «Сравнение возмущений пятого порядка теорий электронной корреляции». Chemical Physics Letters . 157 (6): 479–483. Bibcode : 1989CPL...157..479R. doi : 10.1016/s0009-2614(89)87395-6.
42. Хельгакер, Трюгве; Йоргенсен, Пол; Олсен, Йеппе (2000). Теория электронной структуры молекул (Представлена ​​рукопись). Уайли. дои : 10.1002/9781119019572. ISBN 9781119019572.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
43. Hait, Diptarka; Head-Gordon, Martin (2018-03-21). «Насколько точна теория функционала плотности при предсказании дипольных моментов? Оценка с использованием новой базы данных из 200 контрольных значений». Journal of Chemical Theory and Computation . 14 (4): 1969–1981. arXiv : 1709.05075 . doi : 10.1021/acs.jctc.7b01252. PMID  29562129. S2CID  4391272.
44. К. Мюллер; Л. Мокрушина; В. Арльт (2012). «Метод группового вклада второго порядка для определения дипольного момента». J. Chem. Eng. Data . 57 (4): 1231–1236. doi :10.1021/je2013395.

Дальнейшее чтение

• Мелвин Шварц (1987). "Электрический ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ". Принципы электродинамики (переиздание издания 1972 г.). Courier Dover Publications. стр. 49 и далее . ISBN 978-0-486-65493-5.

Внешние ссылки

• Электрический дипольный момент – из книги Эрика Вайсштейна «Мир физики»
• Электростатическая дипольная мультифизическая модель ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}