китайская математика

Математика возникла в Китае независимо к 11 веку до н. э. ^[1] Китайцы независимо разработали действительную систему счисления , которая включает в себя значительно большие и отрицательные числа , более одной системы счисления ( двоичную и десятичную ), алгебру , геометрию , теорию чисел и тригонометрию .

Начиная с династии Хань , поскольку диофантово приближение было выдающимся численным методом , китайцы добились существенного прогресса в оценке полиномов . Такие алгоритмы, как regula falsi , и выражения, такие как непрерывные дроби, широко используются и хорошо документированы с тех пор. Они намеренно находят главный корень n-й степени положительных чисел и корни уравнений . ^{[2] [3]} Основные тексты того периода, «Девять глав о математическом искусстве» и « Книга о числах и вычислениях», дают подробные процессы решения различных математических задач в повседневной жизни. ^[4] Все процедуры вычислялись с использованием счетной доски в обоих текстах, и они включали обратные элементы , а также евклидовы деления . Тексты предоставляют процедуры, похожие на процедуру исключения Гаусса и метод Горнера для линейной алгебры . ^[5] Достижения китайской алгебры достигли своего апогея в XIII веке во времена династии Юань с развитием тянь юань шу .

В результате очевидных языковых и географических барьеров, а также содержания, китайская математика и математика древнего Средиземноморья, как предполагается, развивались более или менее независимо друг от друга вплоть до того времени, когда «Девять глав о математическом искусстве» достигли своей окончательной формы, в то время как «Книга о числах и вычислениях» и «Хуайнаньцзы» примерно современны классической греческой математике. Вероятны некоторые обмены идеями по всей Азии посредством известных культурных обменов, по крайней мере, со времен Рима. Часто элементы математики ранних обществ соответствуют рудиментарным результатам, найденным позже в таких разделах современной математики, как геометрия или теория чисел. Например, теорема Пифагора была засвидетельствована во времена герцога Чжоу . Также было показано, что знание треугольника Паскаля существовало в Китае за столетия до Паскаля , ^[6] например, у полимата эпохи Сун Шэнь Ко .

Доимперская эпоха

Визуальное доказательство треугольника (3, 4, 5) в « Чжоуби Суаньцзин» 500–200 гг. до н.э.

Система исчисления костяного письма Оракула

счетный стержень место значение десятичная дробь

Династия Шан (1600–1050 до н. э.). Одной из старейших сохранившихся математических работ является « И Цзин» , которая оказала большое влияние на письменную литературу во времена династии Чжоу (1050–256 до н. э.). Что касается математики, книга включала сложное использование гексаграмм . Лейбниц указал, что «И Цзин» (И Цзин) содержит элементы двоичных чисел .

Начиная с периода Шан, китайцы уже полностью разработали десятичную систему. С ранних времен китайцы понимали базовую арифметику (которая доминировала в истории Дальнего Востока), алгебру, уравнения и отрицательные числа со счетными палочками . ^{[ необходима цитата ]} Хотя китайцы были больше сосредоточены на арифметике и продвинутой алгебре для астрономических целей, они также были первыми, кто разработал отрицательные числа, алгебраическую геометрию и использование десятичных дробей.

Математика была одним из шести искусств, которые ученики должны были освоить во времена династии Чжоу (1122–256 гг. до н. э.). Изучение их всех в совершенстве требовалось, чтобы стать идеальным джентльменом, сопоставимым с понятием « человек эпохи Возрождения ». Шесть искусств имеют свои корни в конфуцианской философии .

Самая старая существующая работа по геометрии в Китае происходит из философского канона Мохизма около  330 г. до н. э. , составленного последователями Моцзы (470–390 г. до н. э.). Мо Цзин описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшой объем информации по математике. Он предоставил «атомарное» определение геометрической точки, заявив, что линия разделена на части, а часть, которая не имеет оставшихся частей (т. е. не может быть разделена на меньшие части) и, таким образом, образует крайний конец линии, является точкой. ^[7] Подобно первому и третьему определениям Евклида и « началу линии» Платона, Мо Цзин утверждал, что «точка может стоять в конце (линии) или в ее начале, как головное предлежание при родах. (Что касается ее невидимости), нет ничего похожего на нее». ^[8] Подобно атомистам Демокрита , Мо Цзин утверждал , что точка является наименьшей единицей и не может быть разделена пополам, поскольку «ничто» не может быть разделено пополам. ^[8] В нем говорилось, что две линии одинаковой длины всегда заканчиваются в одном и том же месте, ^[8] а также давались определения для сравнения длин и для параллелей , ^[9] вместе с принципами пространства и ограниченного пространства. ^[10] В нем также описывался тот факт, что плоскости без качества толщины не могут быть сложены, поскольку они не могут взаимно соприкасаться. ^[11] В книге давалось распознавание слов для окружности, диаметра и радиуса, а также определение объема. ^[12]

История развития математики не имеет некоторых доказательств. До сих пор ведутся споры о некоторых классических математических работах. Например, « Чжоуби Суаньцзин» датируется примерно 1200–1000 гг. до н. э., однако многие ученые считали, что он был написан между 300 и 250 гг. до н. э. « Чжоуби Суаньцзин» содержит подробное доказательство теоремы Гоугу (частного случая теоремы Пифагора ), но больше фокусируется на астрономических вычислениях. Однако недавнее археологическое открытие бамбуковых пластинок Цинхуа , датированных примерно  305 г. до н. э. , выявило некоторые аспекты математики до Цинь, такие как первая известная десятичная таблица умножения . ^[13]

Впервые абак упоминается во втором веке до нашей эры, наряду с «вычислениями с помощью палочек» ( суань -цзы ), при которых небольшие бамбуковые палочки размещаются в последовательных квадратах шахматной доски. ^[14]

династия Цинь

Не так много известно о математике династии Цинь или до нее из-за сожжения книг и захоронения ученых около 213–210 гг. до н. э. Знания об этом периоде можно определить по гражданским проектам и историческим свидетельствам. Династия Цинь создала стандартную систему весов. Гражданские проекты династии Цинь были значительными подвигами человеческой инженерии. Император Цинь Шихуанди приказал многим мужчинам построить большие статуи в натуральную величину для дворцовой гробницы вместе с другими храмами и святилищами, а форма гробницы была разработана с использованием геометрических навыков архитектуры. Несомненно, что одно из величайших подвигов человеческой истории, Великая Китайская стена , потребовало многих математических методов. Все здания и грандиозные проекты династии Цинь использовали передовые формулы вычислений для объема, площади и пропорции.

По предварительным данным, бамбуковые деньги эпохи Цинь, приобретенные на антикварном рынке Гонконга Академией Юэлу , содержат самый ранний эпиграфический образец математического трактата.

династия Хань

Девять глав о математическом искусстве

В династии Хань числа были преобразованы в десятичную систему счисления с разрядами и использовались на счетной доске с набором счетных стержней, называемых исчислением стержней , состоящим всего из девяти символов с пустым местом на счетной доске, представляющим ноль. ^[3] Отрицательные числа и дроби также были включены в решения великих математических текстов того периода. Математические тексты того времени, Книга о числах и вычислениях и Цзючжан суаньшу, решали основные арифметические задачи, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. ^[4] Кроме того, они дали процессы извлечения квадратных и кубических корней, которые в конечном итоге были применены для решения квадратных уравнений до третьего порядка. ^[5] Оба текста также достигли существенного прогресса в линейной алгебре, а именно в решении систем уравнений с несколькими неизвестными. ^[15] Значение числа пи принято равным трем в обоих текстах. ^[16] Однако математики Лю Синь (ум. 23) и Чжан Хэн (78–139) дали более точные приближения для числа пи, чем те, которые использовали китайцы предыдущих столетий. ^[4] Математика была разработана для решения практических задач того времени, таких как раздел земли или проблемы, связанные с разделом платежа. ^[17] Китайцы не фокусировались на теоретических доказательствах, основанных на геометрии или алгебре в современном смысле доказательства уравнений для нахождения площади или объема. Книга вычислений и Девять глав о математическом искусстве предоставляют многочисленные практические примеры, которые можно было бы использовать в повседневной жизни. ^[18]

Книга о числах и вычислениях

Книга о числах и вычислениях содержит около семи тысяч символов, написанных на 190 бамбуковых полосках. ^[19] Она была обнаружена вместе с другими писаниями в 1984 году, когда археологи открыли гробницу в Чжанцзяшане в провинции Хубэй . Из документальных свидетельств известно, что эта гробница была закрыта в 186 году до нашей эры, в начале династии Западная Хань . ^[4] Хотя ее связь с Девятью главами все еще обсуждается учеными, некоторые ее содержания явно параллельны там. Текст Суань шу шу , однако, гораздо менее систематичен, чем Девять глав, и, по-видимому, состоит из ряда более или менее независимых коротких разделов текста, взятых из ряда источников. ^[19]

Книга вычислений содержит много дополнительных сведений о задачах, которые будут подробно рассмотрены в Девяти главах математического искусства. ^[19] Пример элементарной математики в Суан шу шу , квадратный корень приближен с использованием метода ложного положения , который гласит: «объединить избыток и недостаток как делитель; (взяв) числитель недостатка, умноженный на знаменатель избытка, и числитель избытка, умноженный на знаменатель недостатка, объединить их как делимое». ^[19] Кроме того, Книга вычислений решает системы из двух уравнений и двух неизвестных, используя тот же метод ложного положения. ^[20]

Девять глав о математическом искусстве

«Девять глав о математическом искусстве» археологически датируются 179 г. н. э., хотя традиционно датируются 1000 г. до н. э., но, возможно, были написаны еще в 300–200 гг. до н. э. ^[21] Хотя автор(ы) неизвестны, они внесли большой вклад в восточный мир. Задачи составлены с вопросами, за которыми сразу следуют ответы и процедура. ^[17] В тексте нет формальных математических доказательств, только пошаговая процедура. ^[22] В комментариях Лю Хуэя приводятся геометрические и алгебраические доказательства задач, приведенных в тексте. ^[3]

«Девять глав о математическом искусстве» были одной из самых влиятельных из всех китайских математических книг и состоят из 246 задач. ^[21] Позднее они были включены в « Десять вычислительных канонов» , которые стали ядром математического образования в последующие века. ^[17] Эта книга включает в себя 246 задач по геодезии, сельскому хозяйству, партнерству, инженерии, налогообложению, вычислениям, решению уравнений и свойствам прямоугольных треугольников. ^[17] «Девять глав» внесли значительные дополнения в решение квадратных уравнений способом, похожим на метод Горнера . ^[5] Они также внесли продвинутый вклад в фанчэн , или то, что сейчас известно как линейная алгебра. ^[20] В седьмой главе решается система линейных уравнений с двумя неизвестными с использованием метода ложного положения, аналогичного «Книге вычислений». ^[20] Восьмая глава посвящена решению определенных и неопределенных одновременных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, причем одна задача касается решения четырех уравнений с пятью неизвестными. ^[20] В книге «Девять глав» решаются системы уравнений с использованием методов, похожих на современный метод исключения Гаусса и обратную подстановку . ^[20]

Версия «Девяти глав» , которая послужила основой для современных изданий, была результатом усилий ученого Дай Чжэня. Транскрибируя проблемы непосредственно из энциклопедии «Юнлэ» , он затем приступил к внесению изменений в исходный текст, а также включил собственные заметки, объясняющие его рассуждения, лежащие в основе изменений. ^[23] Его законченная работа была впервые опубликована в 1774 году, но новая редакция была опубликована в 1776 году, чтобы исправить различные ошибки, а также включить версию « Девяти глав из Южной Сун», содержащую комментарии Луй Хуэя и Ли Чуньфэна. Окончательная версия работы Дай Чжэня вышла в 1777 году под названием «Павильон ряби» , и эта окончательная интерпретация получила широкое распространение и стала стандартом для современных версий «Девяти глав» . ^[24] Однако эта версия подверглась критике со стороны Го Шучэня, который утверждал, что отредактированная версия по-прежнему содержит многочисленные ошибки и что не все первоначальные поправки были сделаны самим Дай Чжэнем. ^[23]

Расчет числа Пи

Задачи в «Девяти главах математического искусства» принимают пи равным трем при вычислении задач, связанных с окружностями и сферами, таких как площадь сферической поверхности. ^[21] В тексте нет явной формулы для вычисления пи, равного трем, но она используется во всех задачах как «Девяти глав математического искусства», так и «Записок мастера», которые были созданы в тот же период времени. ^[16] Историки полагают, что эта цифра пи была вычислена с использованием соотношения 3:1 между длиной окружности и диаметром круга. ^[21] Некоторые математики династии Хань пытались улучшить это число, например, Лю Синь, который, как полагают, оценил пи как 3,154. ^[4] Позже Лю Хуэй попытался улучшить расчет, вычислив пи как 3,141024. Лю вычислил это число, используя многоугольники внутри шестиугольника в качестве нижнего предела по сравнению с кругом. ^[25] Цзу Чунчжи позже открыл вычисление числа пи как 3,1415926 < π < 3,1415927, используя многоугольники с 24 576 сторонами. Это вычисление было обнаружено в Европе в 16 веке. ^[26]

Не существует четкого метода или записи того, как он рассчитал эту оценку. ^[4]

Деление и извлечение корня

Базовые арифметические процессы, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, существовали до династии Хань. ^[4] Девять глав о математическом искусстве принимают эти базовые операции как должное и просто инструктируют читателя о том, как их выполнять. ^[20] Математики династии Хань вычисляли квадратные и кубические корни таким же образом, как и деление, и задачи на деление и извлечение корня встречаются в Главе четвертой Девяти глав о математическом искусстве . ^[27] Вычисление квадратных и кубических корней чисел выполняется с помощью последовательного приближения, так же, как и деление, и часто использует похожие термины, такие как делимое ( ши ) и делитель ( фа ) на протяжении всего процесса. ^[5] Этот процесс последовательного приближения затем был распространен на решение квадратных уравнений второго и третьего порядка, таких как , с использованием метода, похожего на метод Хорнера. ^[5] Метод не был распространен на решение квадратных уравнений n-го порядка во время династии Хань; однако, этот метод в конечном итоге использовался для решения этих уравнений. ^[5] ${\displaystyle x^{2}+a=b}$

Фанчэн на счетной доске

Линейная алгебра

Книга вычислений — первый известный текст, в котором решаются системы уравнений с двумя неизвестными. ^{[20] Всего в} Книге вычислений есть три набора задач,включающих решение систем уравнений методом ложного положения, которые снова изложены в практических терминах. ^[20] Глава семь из Девяти глав математического искусства также рассматривает решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными методом ложного положения. ^[20] Чтобы решить задачу относительно большего из двух неизвестных, метод ложного положения предписывает читателю перекрестно умножить меньшие члены или zi (которые являются значениями, указанными для избытка и недостатка) на большие члены mu . ^[20] Чтобы решить задачу относительно меньшего из двух неизвестных, просто сложите меньшие члены. ^[20]

Глава восьмая из «Девяти глав математического искусства» посвящена решению бесконечных уравнений с бесконечными неизвестными. ^[20] Этот процесс упоминается как «процедура фанчэн» на протяжении всей главы. ^[20] Многие историки решили оставить термин фанчэн без перевода из-за противоречивых свидетельств того, что означает этот термин. Многие историки сегодня переводят это слово в линейную алгебру . В этой главе процесс исключения Гаусса и обратная подстановка используются для решения систем уравнений со многими неизвестными. ^[20] Задачи решались на счетной доске и включали использование отрицательных чисел, а также дробей. ^[20] Счетная доска фактически представляла собой матрицу , где верхняя строка является первой переменной одного уравнения, а нижняя — последней. ^[20]

Комментарий Лю ХуэяДевять глав о математическом искусстве

Метод истощения Лю Хуэя

Комментарий Лю Хуэя к «Девяти главам о математическом искусстве» является самым ранним доступным изданием оригинального текста. ^[21] Большинство считает, что Хуэй был математиком вскоре после династии Хань. В своем комментарии Хуэй квалифицировал и доказал некоторые проблемы с алгебраической или геометрической точки зрения. ^[18] Например, на протяжении всего текста «Девяти глав о математическом искусстве» значение числа пи принимается равным трем в задачах, касающихся окружностей или сфер. ^[16] В своем комментарии Лю Хуэй находит более точную оценку числа пи, используя метод исчерпывания . ^[16] Метод включает в себя создание последовательных многоугольников внутри круга, так что в конечном итоге площадь многоугольника более высокого порядка будет идентична площади круга. ^[16] Используя этот метод, Лю Хуэй утверждал, что значение числа пи составляет около 3,14. ^[4] Лю Хуэй также представил геометрическое доказательство извлечения квадратных и кубических корней, похожее на греческий метод, который включал разрезание квадрата или куба по любой линии или секции и определение квадратного корня через симметрию оставшихся прямоугольников. ^[27]

Троецарствие, Цзинь и Шестнадцать королевств

Исследование морского острова Лю Хуэем

Алгоритм Санзи для деления 400 г. н.э.

Разделение аль-Хорезми в IX веке

Статуя Цзу Чунчжи .

В третьем веке Лю Хуэй написал свой комментарий к Девяти главам, а также написал Хайдао Суаньцзин , в котором рассматривалось использование теоремы Пифагора (уже известной по 9 главам) и тройной, четверной триангуляции для геодезии; его достижения в математической геодезии превзошли достижения западных ученых на тысячелетие. ^[28] Он был первым китайским математиком, который вычислил π = 3,1416 с помощью своего алгоритма π . Он открыл использование принципа Кавальери для нахождения точной формулы для объема цилиндра, а также разработал элементы исчисления бесконечно малых в течение 3 века н. э.

интерполяция дробей для числа пи

В четвертом веке другой влиятельный математик по имени Цзу Чунчжи представил календарь Да Мин Ли. Этот календарь был специально рассчитан для предсказания многих космологических циклов, которые произойдут в определенный период времени. О его жизни на самом деле известно очень мало. Сегодня единственные источники находятся в Книге Суй , теперь мы знаем, что Цзу Чунчжи был одним из поколений математиков. Он использовал пи-алгоритм Лю Хуэя, примененный к 12288-угольнику, и получил значение пи с точностью до 7 точных десятичных знаков (между 3,1415926 и 3,1415927), что останется самым точным приближением числа π, доступным в течение следующих 900 лет. Он также применил интерполяцию Хэ Чэнтяня для аппроксимации иррационального числа дробью в своих астрономических и математических работах, он получил как хорошую дробь приближение для пи; Ёсио Миками заметил, что ни греки, ни индусы, ни арабы не знали об этой дробной аппроксимации числа «пи» до тех пор, пока голландский математик Адриан Антонисзум не открыл её заново в 1585 году, «следовательно, китайцы обладали этой самой необычной из всех дробных величин на целое тысячелетие раньше, чем Европа». ^[29] ${\displaystyle {\tfrac {355}{113}}}$

Вместе со своим сыном, Цзу Гэном, Цзу Чунчжи применил принцип Кавальери, чтобы найти точное решение для вычисления объема сферы. Помимо формул для вычисления объема сферы, его книга также включала формулы кубических уравнений и точное значение числа пи. Его работа, Чжуй Шу, была исключена из программы по математике во время династии Сун и утеряна. Многие считали, что Чжуй Шу содержит формулы и методы для линейной , матричной алгебры , алгоритм для вычисления значения числа π , формулу для объема сферы. Текст также должен ассоциироваться с его астрономическими методами интерполяции, которые содержали бы знания, подобные нашей современной математике.

Математическое руководство под названием Sunzi, математическая классика, датируемая между 200 и 400 годами н. э., содержало наиболее подробное пошаговое описание алгоритма умножения и деления с помощью счетных палочек. Интересно, что Sunzi , возможно, повлиял на развитие систем счисления с разрядами и систем с разрядами и связанного с ними деления Галлей на Западе. Европейские источники узнали о методах с разрядами в 13 веке из латинского перевода работы начала 9 века Аль-Хорезми . Изложение Хорезми почти идентично алгоритму деления в Sunzi , даже в отношении стилистических вопросов (например, использование пробелов для представления конечных нулей); сходство предполагает, что результаты, возможно, не были независимым открытием. Исламские комментаторы работы Аль-Хорезми считали, что она в первую очередь обобщала индуистские знания; неспособность Аль-Хорезми сослаться на свои источники затрудняет определение того, были ли эти источники, в свою очередь, обучены процедуре из Китая. ^[30]

В пятом веке руководство под названием « Чжан Цюцзянь суаньцзин » обсуждало линейные и квадратные уравнения. К этому моменту у китайцев уже была концепция отрицательных чисел .

династия Тан

В эпоху династии Тан изучение математики было довольно стандартным в великих школах. «Десять вычислительных канонов» представляли собой сборник из десяти китайских математических работ, составленных математиком ранней династии Тан Ли Чуньфэном (李淳風 602–670) в качестве официальных математических текстов для императорских экзаменов по математике. Династии Суй и Тан управляли «Школой вычислений». ^[31]

Ван Сяотун был великим математиком в начале династии Тан , и он написал книгу: Цзигу Суаньцзин ( Продолжение древней математики ), где впервые появляются численные решения общих кубических уравнений. ^[32]

Первые знания по математике (арифметике) тибетцы получили из Китая во время правления Нам-ри Сронг Бцана , который умер в 630 году . ^{[33] [34]}

Таблица синусов индийского математика Арьябхаты была переведена в китайскую математическую книгу Кайюань Чжаньцзин , составленную в 718 году нашей эры во времена династии Тан. ^{[35] Хотя} китайцы преуспели в других областях математики, таких как стереометрия , биномиальная теорема и сложные алгебраические формулы, ранние формы тригонометрии не были так широко признаны, как в современной индийской и исламской математике . ^[36]

Математику и буддийскому монаху И Сину приписывают вычисление таблицы тангенсов. Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирическую замену, известную как чун ча , в то время как практическое использование плоской тригонометрии с использованием синуса, тангенса и секанса было известно. ^[36] И Син был известен своей гениальностью и, как известно, вычислил количество возможных позиций на доске для игры го (хотя без символа для нуля у него были трудности с выражением числа).

Династии Сун и Юань

Математик династии Северная Сун Цзя Сянь разработал аддитивный мультипликативный метод извлечения квадратного и кубического корня, который реализовал правило «Хорнера». ^[37]

Треугольник Ян Хуэй ( треугольник Паскаля ) с использованием стержневых цифр, как изображено в публикации Чжу Шицзе в 1303 году нашей эры.

Четыре выдающихся математика появились во времена династий Сун и Юань , особенно в двенадцатом и тринадцатом веках: Ян Хуэй , Цинь Цзюшао , Ли Чжи (Ли Е) и Чжу Шицзе . Ян Хуэй, Цинь Цзюшао, Чжу Шицзе использовали метод Горнера - Руффини шестьюстами годами ранее для решения определенных типов одновременных уравнений, корней, квадратных, кубических и четвертых уравнений. Ян Хуэй был также первым человеком в истории, который открыл и доказал « треугольник Паскаля », вместе с его биномиальным доказательством (хотя самое раннее упоминание о треугольнике Паскаля в Китае существует до одиннадцатого века нашей эры). Ли Чжи, с другой стороны, исследовал форму алгебраической геометрии, основанную на тянь юань шу . Его книга; Ceyuan haijing произвел революцию в идее вписывания окружности в треугольники, превратив эту геометрическую задачу в алгебру вместо традиционного метода использования теоремы Пифагора. Го Шоуцзин этой эпохи также работал над сферической тригонометрией для точных астрономических вычислений. На этом этапе математической истории многие современные западные математики уже были открыты китайскими математиками. На некоторое время все затихло до Ренессанса китайской математики в тринадцатом веке. Это позволило китайским математикам решать уравнения методами, которые Европа не знала до восемнадцатого века. Кульминацией этой эпохи стали две книги Чжу Шицзе «Суаньсюэ цимэн» и « Нефритовое зеркало четырех неизвестных» . В одном случае он, как сообщается, дал метод, эквивалентный осевой конденсации Гаусса .

Цинь Цзюшао ( ок.  1202  – 1261) был первым, кто ввел символ нуля в китайскую математику». ^[38] До этого нововведения в системе счетных стержней вместо нулей использовались пробелы . ^[39] Одним из важнейших вкладов Цинь Цзюшао был его метод решения числовых уравнений высокого порядка. Ссылаясь на решение Цинем уравнения 4-го порядка, Ёсио Миками сказал: «Кто может отрицать тот факт, что прославленный процесс Хорнера использовался в Китае по крайней мере на шесть долгих столетий раньше, чем в Европе?» ^[40] Цинь также решил уравнение 10-го порядка. ^[41]

Треугольник Паскаля был впервые проиллюстрирован в Китае Ян Хуэем в его книге «Сянцзе Цзючжан Суаньфа» (詳解九章算法), хотя он был описан ранее около 1100 года Цзя Сянем . ^[42] Хотя « Введение в вычислительные исследования» (算學啓蒙), написанное Чжу Шицзе ( около 13 века) в 1299 году, не содержало ничего нового в китайской алгебре, оно оказало большое влияние на развитие японской математики . ^[43]

Алгебра

Цеюань хайцзин

Вписанный круг в треугольник Ли Е: схема круглого города

Магические концентрические круги Ян Хуэя – цифры на каждом круге и диаметре (игнорируя среднюю 9) в сумме дают 138

Ceyuan haijing ( китайский :測圓海鏡; пиньинь : Cèyuán Hǎijìng ), или Морское зеркало измерений окружности , представляет собой сборник из 692 формул и 170 задач, связанных с вписанной окружностью в треугольник, написанный Ли Чжи (или Ли Е) (1192–1272 н. э.). Он использовал Тянь юань шу для преобразования сложных геометрических задач в чисто алгебраические задачи. Затем он использовал фань фа , или метод Горнера , для решения уравнений степени вплоть до шестой, хотя он не описал свой метод решения уравнений. ^[44] «Ли Чжи (или Ли Е, 1192–1279), математик из Пекина, которому Хубилай-хан предложил правительственную должность в 1206 году, но он вежливо нашел повод отказаться от нее. Его «Цэ-юань хай-цзин» ( Морское зеркало измерений круга ) включает 170 задач, связанных с [...] некоторыми из задач, приводящих к полиномиальным уравнениям шестой степени. Хотя он не описал свой метод решения уравнений, похоже, что он не сильно отличался от того, который использовали Чжу Ши-цзе и Хорнер. Другими, кто использовал метод Хорнера, были Цинь Цзю-шао (ок. 1202 – ок. 1261) и Ян Хуэй (ок. 1261–1275).

Нефритовое зеркало четырех неизвестных

Факсимиле Нефритового зеркала четырех неизвестных

«Нефритовое зеркало четырех неизвестных» было написано Чжу Шицзе в 1303 году нашей эры и знаменует собой вершину развития китайской алгебры. Четыре элемента, называемые небом, землей, человеком и материей, представляли четыре неизвестные величины в его алгебраических уравнениях. Оно имеет дело с одновременными уравнениями и уравнениями степеней вплоть до четырнадцати. Автор использует метод фан фа , сегодня называемый методом Хорнера, для решения этих уравнений. ^[45]

В Mirror приведено много уравнений рядов суммирования без доказательства . Вот несколько рядов суммирования: ^[46]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$ ${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

Математический трактат в девяти разделах

« Математический трактат в девяти разделах » был написан богатым губернатором и министром Цинь Цзю-шао ( ок.  1202  – ок.  1261 ) и с изобретением метода решения одновременных сравнений он знаменует собой высшую точку в китайском неопределенном анализе. ^[44]

Магические квадраты и магические круги

Самые ранние известные магические квадраты порядка больше трех приписываются Ян Хуэю (ок. 1261–1275), который работал с магическими квадратами порядка до десяти. ^[47] «То же самое устройство «Хорнера» использовал Ян Хуэй, о жизни которого почти ничего не известно и чьи работы сохранились лишь частично. Среди его вкладов, которые сохранились, самые ранние китайские магические квадраты порядка больше трех, включая два каждого порядка с четвертого по восьмой и по одному каждого порядка с девятого по десятый». Он также работал с магическим кругом .

Тригонометрия

Эмбриональное состояние тригонометрии в Китае начало медленно меняться и развиваться во времена династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах. ^[36] Полимат и чиновник Шэнь Ко (1031–1095) использовал тригонометрические функции для решения математических задач хорд и дуг. ^{[36] Джозеф В. Добен отмечает, что в формуле} « техники пересекающихся окружностей» Шэня он создает приближение дуги окружности s по формуле s = c + 2 v ² / d , где d — диаметр , v — версинус , c — длина хорды c , стягивающей дугу. ^[48] ​​Сал Рестиво пишет, что работа Шена по длинам дуг окружностей послужила основой для сферической тригонометрии, разработанной в XIII веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). ^[49] Гоше и Нидхэм утверждают, что Го использовал сферическую тригонометрию в своих вычислениях для улучшения китайского календаря и астрономии . ^{[36] [50]} Наряду с более поздней китайской иллюстрацией XVII века математических доказательств Го, Нидхэм пишет:

Го использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базовый четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги, а также двух меридиональных дуг , одна из которых проходила через точку летнего солнцестояния ... Такими методами он смог получить ду люй (градусы экватора, соответствующие градусам эклиптики), цзи ча (значения хорд для заданных эклиптических дуг) и ча люй (разница между хордами дуг, отличающихся на 1 градус). ^[51]

Несмотря на достижения Шэня и Го в тригонометрии, другая существенная работа по китайской тригонометрии не была опубликована до 1607 года, когда появились «Начала» Евклида , изданные одновременно китайским чиновником и астрономом Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянским иезуитом Маттео Риччи (1552–1610). ^[52]

династия Мин

После свержения династии Юань Китай стал подозрительно относиться к монгольским знаниям. Двор отвернулся от математики и физики в пользу ботаники и фармакологии . Императорские экзамены включали мало математики, а то немногое, что они включали, игнорировало последние разработки. Марцлофф пишет:

В конце XVI века китайская автохтонная математика, известная самим китайцам, была почти ничем, немногим больше, чем расчеты на абаке, в то время как в XVII и XVIII веках ничто не могло сравниться с революционным прогрессом в театре европейской науки. Более того, в этот же период никто не мог сообщить, что произошло в более отдаленном прошлом, поскольку сами китайцы имели лишь отрывочные знания об этом. Не следует забывать, что в самом Китае автохтонная математика не была заново открыта в больших масштабах до последней четверти XVIII века. ^[53]

Соответственно, ученые уделяли меньше внимания математике; выдающиеся математики, такие как Гу Инсян и Тан Шуньчжи, по-видимому, не знали метода «увеличить умножить» . ^[54] Без устных собеседников, которые могли бы их объяснить, тексты быстро становились непонятными; что еще хуже, большинство задач можно было решить более элементарными методами. Для среднего ученого тогда тяньюань казался нумерологией. Когда У Цзин собрал все математические работы предыдущих династий в «Аннотации вычислений в девяти главах математического искусства» , он опустил Тянь юань шу и метод увеличения умножить. ^{[55] [ не удалось проверить ]}

Счеты

Вместо этого математический прогресс сосредоточился на вычислительных инструментах. В 15 веке счеты приобрели форму суань пан . Удобные в использовании и переноске, быстрые и точные, они быстро обогнали исчисление стержней в качестве предпочтительной формы вычислений. Чжусуань , арифметические вычисления с помощью счет, вдохновили на создание множества новых работ. «Суаньфа тунцзун» (общий источник вычислительных методов), 17-томный труд, опубликованный в 1592 году Чэн Давэем , использовался более 300 лет. ^{[ требуется ссылка ]} Чжу Цзайюй, принц Чжэна, использовал 81-позиционные счеты для вычисления квадратного корня и кубического корня с точностью от 2 до 25 цифр, точность, которая позволила ему разработать равнотемперированную систему .

В конце XVI века Маттео Риччи решил опубликовать западные научные труды, чтобы занять должность при императорском дворе. С помощью Сюй Гуанци он смог перевести «Начала» Евклида, используя те же методы, которые использовались для преподавания классических буддийских текстов. ^[56] Другие миссионеры последовали его примеру, переводя западные труды по специальным функциям (тригонометрия и логарифмы), которые были проигнорированы в китайской традиции. ^[57] Однако современные ученые посчитали акцент на доказательствах — в отличие от решенных задач — озадачивающим, и большинство продолжало работать только с классическими текстами. ^[58]

династия Цин

При императоре Канси , который изучал западную математику у иезуитов и был открыт для внешних знаний и идей, китайская математика пользовалась кратким периодом официальной поддержки. ^[59] По указанию Канси Мэй Гучэн и три других выдающихся математика составили 53-томный труд под названием « Шули цзинъюнь » («Суть математического исследования»), который был напечатан в 1723 году и дал систематическое введение в западные математические знания. ^[60] В то же время Мэй Гучэн также разработал «Мэйши цуншу цзиян» [Собрание трудов Мэя]. «Мэйши цуншу цзиян» был энциклопедическим резюме почти всех школ китайской математики того времени, но он также включал межкультурные работы Мэй Вэньдина (1633–1721), деда Гучэна. ^{[61] [62]} Целью этого предприятия было облегчить трудности для китайских математиков, работающих над западной математикой, в отслеживании цитат. ^[63]

В 1773 году император Цяньлун решил составить Полную библиотеку четырех сокровищниц (или Сыку Цюаньшу ). Дай Чжэнь (1724–1777) выбрал и вычитал «Девять глав о математическом искусстве» из энциклопедии Юнлэ и несколько других математических работ династий Хань и Тан. ^[64] Давно пропавшие математические работы династий Сун и Юань, такие как «Сы-юань юй-цзянь» и «Цэюань хайцзин», также были найдены и напечатаны, что напрямую привело к волне новых исследований. ^[65] Наиболее аннотированными работами были «Цзючжан суаньшу сицаотушо» (Иллюстрации процесса вычислений для «Девяти глав о математическом искусстве »), предоставленные Ли Хуаном, и «Сыюань юйцзянь сицао» (Подробное объяснение «Сы-юань юй-цзянь») Ло Шилиня. ^[66]

Западные влияния

В 1840 году Первая опиумная война заставила Китай открыть дверь и посмотреть на внешний мир, что также привело к притоку западных математических исследований с непревзойденной в предыдущие столетия скоростью. В 1852 году китайский математик Ли Шаньлань и британский миссионер Александр Уайли совместно перевели последние девять томов « Начал» и 13 томов по алгебре . ^{[67] [68]} При содействии Джозефа Эдкинса вскоре последовало больше работ по астрономии и исчислению. Китайские ученые изначально не были уверены, стоит ли браться за новые работы: было ли изучение западных знаний формой подчинения иностранным захватчикам ? Но к концу века стало ясно, что Китай может начать восстанавливать свой суверенитет, только включив западные работы. Китайские ученые, обучавшиеся в западных миссионерских школах по (переведенным) западным текстам, быстро потеряли связь с местной традицией. Те, кто обучался самостоятельно или находился в традиционалистских кругах, тем не менее продолжали работать в рамках традиционной алгоритмической математики, не прибегая к западному символизму. ^[69] Однако, как отмечает Марцлофф, «с 1911 года в Китае практиковалась исключительно западная математика». ^[70]

В современном Китае

Китайская математика пережила большой всплеск возрождения после создания современной Китайской республики в 1912 году . С тех пор современные китайские математики добились многочисленных достижений в различных областях математики.

Некоторые известные современные математики этнического китайского происхождения:

• Шиин-Шен Черн был широко признан лидером в области геометрии и одним из величайших математиков 20-го века и был удостоен премии Вольфа за свой вклад в математику. ^{[71] [72]}
• Ки Фан внес вклад в теорию неподвижной точки , а также оказал влияние на нелинейный функциональный анализ, который нашел широкое применение в математической экономике и теории игр, теории потенциала, вариационном исчислении и дифференциальных уравнениях.
• Лауреат Филдсовской премии Шинг-Тунг Яу оказал влияние как на физику, так и на математику. Он активно работал на стыке геометрии и теоретической физики и впоследствии был удостоен премии за свой вклад.
• Теренс Тао , лауреат Филдсовской медали и вундеркинд китайского происхождения, был самым молодым участником в истории Международной математической олимпиады в возрасте 10 лет, выиграв бронзовую, серебряную и золотую медали. Он остается самым молодым обладателем каждой из трех медалей в истории Олимпиады.
• Итан Чжан , специалист по теории чисел , который установил первую конечную границу промежутков между простыми числами.
• Чэнь Цзинжунь , теоретик чисел , доказавший, что каждое достаточно большое четное число можно записать в виде суммы либо двух простых чисел , либо простого числа и полупростого числа , что теперь называется теоремой Чэня . ^[73] Его работа была важна для исследования гипотезы Гольдбаха .

Китайская Народная Республика

В 1949 году, в начале основания Китайской Народной Республики, правительство уделяло большое внимание делу науки, хотя страна находилась в затруднительном положении из-за нехватки средств. Китайская академия наук была создана в ноябре 1949 года. Институт математики был официально создан в июле 1952 года. Затем Китайское математическое общество и его учредительные журналы восстановили и добавили другие специальные журналы. За 18 лет после 1949 года количество опубликованных статей превысило общее количество статей до 1949 года более чем в три раза. Многие из них не только заполнили пробелы в прошлом Китая, но и достигли передового мирового уровня. ^[74]

Во время хаоса Культурной революции науки пришли в упадок. В области математики, помимо Чэнь Цзинжуня, Хуа Логенга, Чжан Гуанхоу и других математиков, боровшихся за продолжение своей работы. После катастрофы, с публикацией литературного произведения Го Можо «Весна науки», китайские науки и математика пережили возрождение. В 1977 году в Пекине был сформулирован новый план развития математики, возобновлена ​​работа математического общества, переиздан журнал, опубликован академический журнал, усилено математическое образование и усилены основные теоретические исследования. ^[74]

Важным математическим достижением китайского математика в направлении энергосистемы является то, как Ся Чжихун доказал гипотезу Пенлеве в 1988 году. Когда есть некоторые начальные состояния N небесных тел, одно из небесных тел достигло бесконечности или скорости за ограниченное время. Бесконечность достигается, то есть существуют нестолкновительные сингулярности. Гипотеза Пенлеве является важной гипотезой в области энергосистем, предложенной в 1895 году. Очень важным недавним развитием для проблемы 4 тел является то, что Сюэ Цзиньсинь и Долгопят доказали нестолкновительную сингулярность в упрощенной версии системы 4 тел около 2013 года. ^[75]

Кроме того, в 2007 году Шэнь Вэйсяо и Козловски, Ван-Стриен доказали гипотезу Real Fatou : Действительные гиперболические многочлены плотны в пространстве действительных многочленов с фиксированной степенью. Эту гипотезу можно проследить до Фату в 1920-х годах, а позже Смейл сформулировал ее в 1960-х годах. Доказательство гипотезы Real Fatou является одним из важнейших достижений в области конформной динамики за последнее десятилетие. ^[75]

ИМО производительность

По сравнению с другими странами-участницами Международной математической олимпиады , Китай имеет самые высокие командные баллы и выигрывал золото IMO среди всех участников с полной командой наибольшее количество раз. ^[76]

В образовании

Первое упоминание о книге, используемой для изучения математики в Китае, датируется вторым веком н. э. ( Хоу Ханьшу : 24, 862; 35, 1207). Нам говорят, что Ма Сюй, который был юношей около  110 года , и Чжэн Сюань (127–200) оба изучали « Девять глав о математических процедурах» . Кристофер Каллен утверждает, что математика, подобно медицине, преподавалась устно. Стилистика « Суань шу шу» из Чжанцзяшаня предполагает, что текст был собран из разных источников, а затем подвергся кодификации. ^[77]

Смотрите также

• китайская астрономия
• История математики
  • индийская математика
  • исламская математика
  • японская математика
• Список китайских открытий
• Список китайских математиков
• Числа в китайской культуре

Ссылки

Цитаты

1. Обзор на китайском языке
2. Нидхэм 1959, стр. 65–66.
3. Карин Чемла, математика Восточной Азии в Британской энциклопедии
4. Нидхэм 1959.
5. Нидхэм 1955.
6. Swetz, Frank J.; Kao, TI (1988). Был ли Пифагор китайцем? исследование теории прямоугольного треугольника в Древнем Китае . University Park, Pa: Pennsylvania State University Press. ISBN 978-0-271-01238-4.
7. Нидхэм 1959, стр. 91.
8. Needham 1959, стр. 92.
9. Нидхэм 1959, стр. 92–93.
10. Нидхэм 1959, стр. 93.
11. Нидхэм 1959, стр. 93–94.
12. Нидхэм 1959, стр. 94.
13. Qiu, Jane (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, скрытая в китайских бамбуковых полосках». Nature . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . ISSN  0028-0836. S2CID  130132289 . Получено 17 ноября 2023 г. .
14. Ифра, Жорж (2001). Всеобщая история вычислений: от счетов до квантового компьютера. Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-39671-0.
15. Харт 2011.
16. Леннарт, Бергрен (1997). Пи: Справочник . Нью-Йорк. ISBN 978-1-4757-2738-8.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
17. Yong, Lam Lay (1994). «Цзю чжан суаньшу (девять глав о математическом искусстве): обзор». Архив History of Exact Sciences . 47 (1): 1–51. doi :10.1007/BF01881700. ISSN  0003-9519. JSTOR  41133972. S2CID  123502226.
18. Сиу 1993.
19. Даубен 2008.
20. Hart 2011, стр. 11–85.
21. Даубен 2013.
22. Страффин, Филип Д. (1 июня 1998 г.). «Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики». Mathematics Magazine . 71 (3): 163–181. doi :10.2307/2691200. JSTOR  2691200.
23. Hart 2011, стр. 32–33.
24. Даубен 2013, стр. 211–216.
25. Харт 2011, стр. 39.
26. Уилсон, Робин (2013). «Ранняя китайская математика». The Mathematical Intelligencer . 35 (2): 80. doi : 10.1007/s00283-013-9364-x . ISSN  0343-6993. S2CID  122920358.
27. Yong, Lam Lay (1970). «Геометрическая основа древнекитайского метода квадратного корня». Isis . 61 (1): 92–102. doi :10.1086/350581. ISSN  0021-1753. JSTOR  229151. S2CID  145059170.
28. Swetz, Frank J.; Liu, Hui (1992). The sea island matrix manual: surveying and mathematics in Ancient China. University Park, Pa: Pennsylvania State University Press. стр. 63. ISBN 978-0-271-00795-3. Получено 18 ноября 2023 г. .
29. Миками 1913, стр. 50.
30. Лам Лэй Йонг (1996). «Развитие индуистской арабской и традиционной китайской арифметики» (PDF) . Китайская наука . 13 : 35–54. Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2012 года . Получено 31 декабря 2015 года .
31. Карп, Александр; Шубринг, Герт (2014). Справочник по истории математического образования. Нью-Йорк: Springer. С. 59. ISBN 978-1-4614-9155-2.
32. Миками 1913, стр. 53.
33. Чисхолм, Хью , ред. (1911). "Tibet sv History"  . Encyclopaedia Britannica . Vol. 26 (11th ed.). Cambridge University Press. p. 926. ... gNam-ri srong btsan, умерший в 630 году. Во время его правления тибетцы получили свои первые знания по арифметике и медицине из Китая.
34. Жизнь Будды и ранняя история его ордена: взято из тибетских работ в Bkah-hgyur и Bstan-hgyur, за которыми следуют заметки о ранней истории Тибета и Кхотена. Перевод: Рокхилл, Уильям Вудвилл; Лейманн, Эрнст; Нанджио, Бунью. К. Пол, Тренч, Трюбнер. 1907. стр. 211. ISBN 9780415244824. Получено 1 июля 2011 г. . В шестом веке тибетцы получили первые знания по арифметике и медицине от китайцев.
35. Нидхэм 1959, стр. 109.
36. Needham 1959, стр. 108–109.
37. Марцлофф 1987, стр. 142.
38. Нидхэм 1959, стр. 43.
39. Нидхэм 1959, стр. 62–63.
40. Миками 1913, стр. 77.
41. Либбрехт 1973, стр. 211.
42. Нидхэм 1959, стр. 134–137.
43. Нидхэм 1959, стр. 46.
44. Boyer 1991, стр. 204, «Китай и Индия».
45. Бойер 1991, стр. 203, «Китай и Индия».
46. Бойер 1991, стр. 205, «Китай и Индия».
47. Бойер 1991, стр. 204–205, «Китай и Индия».
48. Даубен 2007, стр. 308.
49. Restivo, Sal (1992). Математика в обществе и истории: социологические исследования . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 32. ISBN 1-4020-0039-1..
50. Гоше, Л. (1917). «Записка о сферической тригонометрии Куо Чеу-короля». Тунг Пао (на французском языке). 18 (3): 151–174. дои : 10.1163/156853217X00075. ISSN  0082-5433. JSTOR  4526535.
51. Нидхэм 1959, стр. 109–110.
52. Нидхэм 1959, стр. 110.
53. Марцлофф 1987, стр. 4.
54. Хэ, Цзи-Хуан (2004). «Некоторые формулы интерполяции в древней китайской математике». Прикладная математика и вычисления . 152 (2): 367–371. doi :10.1016/S0096-3003(03)00559-9. ISSN  0096-3003. S2CID  28478650.
55. Марцлофф 1987, стр. 20.
56. Марцлофф 1987, стр. 21.
57. Брукер (1912). «Маттео Риччи». Католическая энциклопедия . Нью-Йорк: Роберт Эпплтон. OCLC  174525342.
58. Марцлофф 1987, стр. 29.
59. Марцлофф 1987, стр. 25–28.
60. Хань Ци ; Джами, Кэтрин (2003). «Реконструкция императорской математики в Китае во время правления Канси (1662-1722)». Ранняя наука и медицина . 8 (2): 88–110. doi :10.1163/157338203X00026. ISSN  1383-7427.
61. Джами, Кэтрин (1 декабря 2011 г.). «Ученый-математик из Цзяннани: первый период полураспада Мэй Вэндинг». Новая математика императора: западное обучение и императорская власть во время правления Канси (1662-1722) . Издательство Оксфордского университета. стр. 82–101. doi :10.1093/acprof:oso/9780199601400.003.0005. ISBN 9780199601400. Получено 28 июля 2018 г.
62. Элман, Бенджамин А. (2005). На их собственных условиях: наука в Китае, 1550-1900 . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674036475. OCLC  443109938.
63. Марцлофф 1987, стр. 28.
64. Минхуэй, Ху (14 февраля 2017 г.). Переход Китая к современности: новое классическое видение Дай Чжэня . Сиэтл. ISBN 978-0295741802. OCLC  963736201.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
65. Марцлофф 1987.
66. Кэтрин, Джами (2012). Новая математика императора: западное обучение и императорская власть во время правления Канси (1662-1722) . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 9780191729218. OCLC  774104121.
67. Карлайл, Эдвард Ирвинг (1900). «Уайли, Александр». В Ли, Сидни . Словарь национальной биографии . 63. Лондон: Smith, Elder & Co.
68. Марцлофф 1987, стр. 341–351.
69. Бреар 2019.
70. Марцлофф 1987, стр. 34–39.
71. "Биография Черна". www-history.mcs.st-and.ac.uk . Получено 16 января 2017 г. .
72. "12.06.2004 - Известный математик Шиин-Шен Черн, возродивший изучение геометрии, скончался в возрасте 93 лет в Тяньцзине, Китай". www.berkeley.edu . Получено 16 января 2017 г.
73. Чен, Дж. Р. (1973). «О представлении большего четного целого числа в виде суммы простого числа и произведения не более двух простых чисел». Scientia Sinica . 16 : 157–176.
74. Kong 2015.
75. Kong 2012.
76. «Результаты командного первенства: Китай на Международной математической олимпиаде».
77. Каллен, Кристофер; Лоу, Майкл (2010). «Числа, счет и космос». В Nylan, Майкл ; Лоу, Майкл (ред.). Ранние империи Китая: переоценка . Восточные публикации Кембриджского университета. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85297-5.

Цитируемые работы

• Boyer, CB (1991). История математики . ред. Uta C. Merzbach (мягкая обложка). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
• Бреар, Андреа (2019). Девять глав о математической современности: очерки о глобальных исторических связях науки о числах в Китае . Транскультурные исследования — Гейдельбергские исследования Азии и Европы в глобальном контексте. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-93695-6.
• Добен, Джозеф В. (2007). «Китайская математика». В Katz, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Добен, Джозеф В. (2008). «算数書 Suan Shu Shu A Book on Numbers and Computations: English Translation with Commentary». Архив для History of Exact Sciences . 62 (2): 91–178. doi :10.1007/s00407-007-0124-1. JSTOR  41134274. S2CID  125757029.
• Добен, Джозеф В. (2013). «九章筭术 Цзю чжан суань шу (Девять глав об искусстве математики) - оценка текста, его изданий и переводов». Архив Зудхоффа (на немецком языке). 97 (2): 199–235. doi : 10.25162/sudhoff-2013-0017. ISSN  0039-4564. JSTOR  43694474. PMID  24707775. S2CID  1159700.
• Ландер, Брайан (10 апреля 2014 г.). «Государственное управление речными дамбами в раннем Китае: новые источники по истории окружающей среды региона Центральный Янцзы». T'oung Pao . 100 (4–5): 325–362. doi :10.1163/15685322-10045P02. ISSN  0082-5433.
• Либбрехт, Ульрих (1973). Китайская математика в тринадцатом веке: Шу-шу цзю-чан Цинь Цзю-шао . Серия MIT East Asian science. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-12043-2.
• Харт, Роджер (2011). Китайские корни линейной алгебры . Балтимор: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9755-9.
• Конг Гопин (孔国平) (октябрь 2012 г.). Чжунгуо сюсюэ шу шан зуй гуанг хуи де пьян чжан 中国数学史上最光辉的篇章 [ Самая блестящая глава в истории китайской математики ] (на китайском языке). Цзилиньская научно-техническая пресса. ISBN 9787538461541.
• Конг Гопин (孔国平) (2015). Zhōngguó shùxué sīxingshǐ 中国数学思想史 [ Интеллектуальная история китайской математики ] (на китайском языке). Издательство Нанкинского университета. ISBN 9787305147050.
• Марцлофф, Жан-Клод (1987). История китайской математики. Перевод Уилсона, Стивена С. Берлин: Springer. ISBN 9783540337836. OCLC  262687287 . Получено 17 ноября 2023 г. .
• Миками, Ёсио (1961) [1913]. Развитие математики в Китае и Японии (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. ISBN 978-0-8284-0149-4. LCCN  62-001997.
• Нидхэм, Джозеф (1955). «Метод Хорнера в китайской математике». T'oung Pao . Вторая серия. 43 (5): 345–401. JSTOR  4527405.
• Нидхэм, Джозеф (1959). Математика и науки о небе и земле . Наука и цивилизация в Китае. Том 3. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-05801-8.
• Сиу, Ман-Кынг (1993). «Доказательство и педагогика в Древнем Китае». Образовательные исследования в области математики . 24 (4): 345–357. doi :10.1007/BF01273370. JSTOR  3482649. S2CID  120420378.
•  В статье использован текст из «Британской энциклопедии: словаря искусств, наук, литературы и общей информации», том 26 , Хью Чизхолма, издания 1911 года, в настоящее время находящегося в общественном достоянии в Соединенных Штатах.
•  В статье использован текст из «Жизни Будды» и ранней истории его ордена, взятый из тибетских трудов Bkah-hgyur и Bstan-hgyur, а также заметки о ранней истории Тибета и Кхотена , опубликованные в 1907 году и в настоящее время находящиеся в открытом доступе в Соединенных Штатах.

Внешние ссылки

• Ранние тексты по математике (китайский) - Проект китайского текста
• Обзор китайской математики
• Китайская математика во времена династии Хань
• Учебник математики Чжу Шицзе