В математике дифференциальная топология — это область, занимающаяся топологическими свойствами и гладкими свойствами [a] гладких многообразий . В этом смысле дифференциальная топология отличается от тесно связанной области дифференциальной геометрии , которая занимается геометрическими свойствами гладких многообразий, включая понятия размера, расстояния и жесткой формы. Для сравнения, дифференциальная топология занимается более грубыми свойствами, такими как количество дырок в многообразии, его гомотопический тип или структура его группы диффеоморфизмов . Поскольку многие из этих грубых свойств могут быть охвачены алгебраически , дифференциальная топология имеет тесные связи с алгебраической топологией . [1]
Центральной целью области дифференциальной топологии является классификация всех гладких многообразий с точностью до диффеоморфизма . Поскольку размерность является инвариантом гладких многообразий с точностью до типа диффеоморфизма, эта классификация часто изучается путем классификации ( связных ) многообразий в каждой размерности отдельно:
Начиная с размерности 4, классификация становится намного сложнее по двум причинам. [5] [6] Во-первых, каждая конечно представленная группа появляется как фундаментальная группа некоторого 4-многообразия , и поскольку фундаментальная группа является инвариантом диффеоморфизма, это делает классификацию 4-многообразий по крайней мере такой же сложной, как классификация конечно представленных групп. По проблеме слов для групп , которая эквивалентна проблеме остановки , невозможно классифицировать такие группы, поэтому полная топологическая классификация невозможна. Во-вторых, начиная с размерности 4, возможно иметь гладкие многообразия, которые являются гомеоморфными, но с различными, недиффеоморфными гладкими структурами . Это верно даже для евклидова пространства , которое допускает множество экзотических структур. Это означает, что изучение дифференциальной топологии в размерностях 4 и выше должно использовать инструменты, действительно выходящие за рамки регулярной непрерывной топологии топологических многообразий . Одной из центральных открытых проблем в дифференциальной топологии является гипотеза Пуанкаре о четырехмерной гладкости , которая спрашивает, является ли каждое гладкое 4-многообразие, гомеоморфное 4-сфере , также диффеоморфным ей. То есть, допускает ли 4-сфера только одну гладкую структуру ? Эта гипотеза верна в размерностях 1, 2 и 3 согласно приведенным выше результатам классификации, но, как известно, ложна в размерности 7 из-за сфер Милнора .
Важные инструменты в изучении дифференциальной топологии гладких многообразий включают построение гладких топологических инвариантов таких многообразий, таких как когомологии де Рама или форма пересечения , а также сглаживаемые топологические конструкции, такие как теория гладкой хирургии или построение кобордизмов . Теория Морса является важным инструментом, который изучает гладкие многообразия, рассматривая критические точки дифференцируемых функций на многообразии, демонстрируя, как гладкая структура многообразия входит в набор доступных инструментов. [7] Часто можно использовать более геометрические или аналитические методы, оснащая гладкое многообразие римановой метрикой или изучая дифференциальное уравнение на нем. Необходимо позаботиться о том, чтобы полученная информация была нечувствительна к этому выбору дополнительной структуры и, таким образом, действительно отражала только топологические свойства базового гладкого многообразия. Например, теорема Ходжа обеспечивает геометрическую и аналитическую интерпретацию когомологий де Рама, а калибровочная теория использовалась Саймоном Дональдсоном для доказательства фактов о форме пересечения односвязных 4-многообразий. [8] В некоторых случаях могут применяться методы современной физики , такие как топологическая квантовая теория поля , которые можно использовать для вычисления топологических инвариантов гладких пространств.
Известные теоремы в дифференциальной топологии включают теорему вложения Уитни , теорему о волосатом шаре , теорему Хопфа , теорему Пуанкаре–Хопфа , теорему Дональдсона и гипотезу Пуанкаре .
Дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, которые требуют только гладкой структуры на многообразии для определения. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут выступать в качестве препятствий для определенных типов эквивалентностей и деформаций , которые существуют в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами , которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии — то есть можно плавно «выровнять» определенные многообразия, но это может потребовать искажения пространства и воздействия на кривизну или объем. [ необходима цитата ]
С другой стороны, гладкие многообразия более жесткие, чем топологические многообразия . Джон Милнор обнаружил, что некоторые сферы имеют более одной гладкой структуры — см. Экзотическая сфера и теорема Дональдсона . Мишель Кервер продемонстрировал топологические многообразия без гладкой структуры вообще. [9] Некоторые конструкции теории гладких многообразий, такие как существование касательных расслоений , [10] могут быть выполнены в топологической постановке с гораздо большей работой, а другие — нет.
Одной из основных тем в дифференциальной топологии является изучение специальных видов гладких отображений между многообразиями, а именно погружений и субмерсий , а также пересечений подмногообразий посредством трансверсальности . В более общем плане интерес представляют свойства и инварианты гладких многообразий, переносимые диффеоморфизмами , другим специальным видом гладких отображений. Теория Морса — это еще одна ветвь дифференциальной топологии , в которой топологическая информация о многообразии выводится из изменений ранга якобиана функции .
Список тем по дифференциальной топологии см. в следующей ссылке: Список тем по дифференциальной геометрии .
Дифференциальная топология и дифференциальная геометрия прежде всего характеризуются своим сходством . Обе они изучают в первую очередь свойства дифференцируемых многообразий, иногда с наложенными на них разнообразными структурами.
Одно из главных отличий заключается в природе проблем, которые каждый субъект пытается решить. С одной точки зрения, [4] дифференциальная топология отличается от дифференциальной геометрии тем, что изучает в первую очередь те проблемы, которые по своей сути являются глобальными . Рассмотрим пример с чашкой кофе и пончиком. С точки зрения дифференциальной топологии пончик и чашка кофе являются одним и тем же (в некотором смысле). Однако это по своей сути глобальный взгляд, поскольку у дифференциального тополога нет возможности определить, являются ли два объекта одинаковыми (в этом смысле), глядя только на крошечную ( локальную ) часть любого из них. Они должны иметь доступ к каждому целому ( глобальному ) объекту.
С точки зрения дифференциальной геометрии кофейная чашка и пончик отличаются , потому что невозможно повернуть кофейную чашку таким образом, чтобы ее конфигурация совпадала с пончиком. Это также глобальный способ мышления о проблеме. Но важное отличие состоит в том, что геометру не нужен весь объект, чтобы решить это. Например, посмотрев на крошечный кусочек ручки, он может решить, что кофейная чашка отличается от пончика, потому что ручка тоньше (или более изогнута), чем любая часть пончика.
Если говорить кратко, то дифференциальная топология изучает структуры на многообразиях, которые, в некотором смысле, не имеют интересной локальной структуры. Дифференциальная геометрия изучает структуры на многообразиях, которые имеют интересную локальную (или иногда даже бесконечно малую) структуру.
Более математически, например, проблема построения диффеоморфизма между двумя многообразиями одинаковой размерности является изначально глобальной, поскольку локально два таких многообразия всегда диффеоморфны. Аналогично, проблема вычисления величины на многообразии, которое инвариантно относительно дифференцируемых отображений, является изначально глобальной, поскольку любой локальный инвариант будет тривиальным в том смысле, что он уже представлен в топологии . Более того, дифференциальная топология не ограничивает себя обязательно изучением диффеоморфизма. Например, симплектическая топология — подветвь дифференциальной топологии — изучает глобальные свойства симплектических многообразий . Дифференциальная геометрия занимается проблемами — которые могут быть локальными или глобальными — которые всегда имеют некоторые нетривиальные локальные свойства. Таким образом, дифференциальная геометрия может изучать дифференцируемые многообразия, снабженные связностью , метрикой ( которая может быть римановой , псевдоримановой или финслеровой ), особым видом распределения (таким как CR-структура ) и т. д.
Однако это различие между дифференциальной геометрией и дифференциальной топологией размывается в вопросах, специально относящихся к локальным инвариантам диффеоморфизма, таким как касательное пространство в точке. Дифференциальная топология также имеет дело с такими вопросами, которые специально относятся к свойствам дифференцируемых отображений на (например, касательное расслоение , струйные расслоения , теорема о расширении Уитни и т. д.).
Различие кратко изложено в абстрактных терминах:
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
