В топологии топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным , или 1-односвязным [1] ), если оно линейно связно и каждый путь между двумя точками можно непрерывно преобразовать в любой другой такой путь с сохранением двух рассматриваемые конечные точки. Интуитивно это соответствует пространству, не имеющему непересекающихся частей и дыр, полностью проходящих через него, поскольку два пути, огибающие разные стороны такой дыры, не могут непрерывно трансформироваться друг в друга. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором невозможности односвязности пространства: топологическое пространство с линейной связностью является односвязным тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.
Эквивалентная формулировка такова: является просто связным тогда и только тогда, когда он связен по путям, и всякий раз, когда и являются двумя путями (то есть непрерывными отображениями) с одинаковыми начальной и конечной точкой ( и ), то их можно непрерывно деформировать, сохраняя при этом обе конечные точки фиксированы. Явно существует гомотопия такая, что и
Топологическое пространство односвязно тогда и только тогда, когда оно линейно связно и фундаментальная группа в каждой точке тривиальна, т. е. состоит только из единичного элемента . Аналогично, односвязно тогда и только тогда, когда для всех точек множество морфизмов в фундаментальном группоиде имеет только один элемент. [2]
В комплексном анализе : открытое подмножество просто связно тогда и только тогда, когда оба и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел с мнимой частью строго больше нуля и меньше единицы представляет собой пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого несвязно. Тем не менее, это просто связано. Ослабление требования о связности приводит к исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, открытое множество (не обязательно связное) имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда каждый из его связных компонентов односвязен.
Неформальное обсуждение
Неформально, объект в нашем пространстве просто связен, если он состоит из одного куска и не имеет никаких «дырок», проходящих через него. Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях не просто соединен круг, а диск и линия. Пространства, которые связны , но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .
Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый шарик с полым центром) является просто связной, поскольку любая петля на поверхности сферы может сжаться в точку, даже если она имеет «дырку» в полом центре. Более сильное условие, согласно которому объект не имеет дырок любого размера, называется сжимаемостью .
Примеры
Евклидова плоскость просто связна, а минус начало координат — нет. Если то и минус начало координат просто связаны.
Аналогично: n -мерная сфера односвязна тогда и только тогда, когда
Одноточечная компактификация не является односвязной (хотя и односвязной).
Длинная линия просто связна, а ее компактификация, расширенная длинная линия — нет (поскольку она даже не связна по путям).
Характеристики
Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (количество ручек поверхности) равен 0.
Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства — это односвязное пространство, которое отображается через отображение покрытия .
Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальной картой: изображение не является односвязным.
Понятие простой связности важно в комплексном анализе из-за следующих фактов:
Интегральная теорема Коши утверждает , что если является односвязным открытым подмножеством комплексной плоскости и является голоморфной функцией , то имеет первообразную и значение каждого интеграла прямой с подынтегральным выражением зависит только от конечных точек и пути, и можно вычислить как Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего и
Понятие простой связности также является решающим условием гипотезы Пуанкаре .
Смотрите также
Фундаментальная группа - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
Ретракт деформации - непрерывное, сохраняющее положение отображение топологического пространства в подпространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets