В математике , особенно в алгебраической геометрии , комплексном анализе и теории алгебраических чисел , абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие , которое также является алгебраической группой , т. е. имеет групповой закон , который может быть определен регулярными функциями . Абелевы многообразия являются одновременно одними из наиболее изучаемых объектов алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для исследования других вопросов алгебраической геометрии и теории чисел.
Абелево многообразие может быть определено уравнениями, имеющими коэффициенты в любом поле ; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми изучаемыми абелевыми многообразиями были те, которые определялись в поле комплексных чисел . Такие абелевы многообразия оказываются именно теми комплексными торами , которые можно голоморфно вложить в комплексное проективное пространство .
Абелевы многообразия, определенные над полями алгебраических чисел, представляют собой частный случай, важный и с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом ведут от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к многообразиям, определенным над конечными полями и различными локальными полями . Поскольку числовое поле является полем дробей дедекиндовой области , для любого ненулевого простого числа вашей дедекиндовой области существует отображение из дедекиндовой области в частное дедекиндовой области по простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. . Это вызывает отображение поля дроби в любое такое конечное поле. Учитывая кривую с уравнением, определенным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля.
Абелевы многообразия естественным образом появляются как якобианы (компоненты связности нуля в многообразиях Пикара ) и многообразия Альбанезе других алгебраических многообразий. Групповой закон абелева многообразия обязательно коммутативен , а многообразие неособо . Эллиптическая кривая — это абелево многообразие размерности 1. Абелевы многообразия имеют размерность Кодаиры 0.
В начале XIX века теории эллиптических функций удалось дать основу теории эллиптических интегралов , и это открыло очевидный путь для исследований. Стандартные формы эллиптических интегралов включали квадратные корни из кубических и четвертых полиномов . Что произойдет, если их заменить полиномами более высокой степени, скажем, квинтиками ?
В работе Нильса Абеля и Карла Якоби ответ был сформулирован: здесь будут задействованы функции двух комплексных переменных , имеющие четыре независимых периода (т.е. векторы периодов). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 ( абелевой поверхности ): то, что теперь будет называться якобианом гиперэллиптической кривой рода 2 .
После Абеля и Якоби одними из наиболее важных авторов теории абелевых функций были Риман , Вейерштрасс , Фробениус , Пуанкаре и Пикард . В то время эта тема была очень популярна, и уже существовала большая литература.
К концу XIX века математики начали использовать геометрические методы при изучении абелевых функций. В конце концов, в 1920-х годах Лефшец заложил основу для изучения абелевых функций в терминах комплексных торов. Он также, по-видимому, первым использовал название «абелева разновидность». Именно Андре Вейль в 1940-х годах дал этому предмету современные основы на языке алгебраической геометрии.
Сегодня абелевы многообразия являются важным инструментом в теории чисел, в динамических системах (точнее, при изучении гамильтоновых систем ) и в алгебраической геометрии (особенно многообразиях Пикара и многообразиях Альбанезе ).
Комплексный тор размерности g — это тор вещественной размерности 2 g , несущий структуру комплексного многообразия . Его всегда можно получить как фактор g -мерного комплексного векторного пространства по решетке ранга 2 g . Комплексное абелево многообразие размерности g — это комплексный тор размерности g , который также является проективным алгебраическим многообразием над полем комплексных чисел. Применяя теорему вложения Кодайры и теорему Чоу, можно эквивалентным образом определить комплексное абелево многообразие размерности g как комплексный тор размерности g , допускающий положительное линейное расслоение. Поскольку абелевы многообразия представляют собой комплексные торы, они несут структуру группы . Морфизм абелевых многообразий — это морфизм лежащих в основе алгебраических многообразий, который сохраняет единичный элемент для структуры группы. Изогения — это морфизм , кратный конечной единице.
Когда комплексный тор несет структуру алгебраического многообразия, эта структура обязательно уникальна. В случае g = 1 понятие абелева многообразия такое же, как и понятие эллиптической кривой , и каждый комплексный тор порождает такую кривую; для g > 1 со времен Римана было известно, что условие алгебраического многообразия накладывает дополнительные ограничения на комплексный тор.
Следующий критерий Римана решает, является ли данный комплексный тор абелевым многообразием, т. е. может ли он быть вложен в проективное пространство. Пусть X — g -мерный тор, заданный как X = V / L , где V — комплексное векторное пространство размерности g, а L — решетка в V. Тогда X является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда существует положительно определенная эрмитова форма на V , мнимая часть которой принимает целые значения на L × L . Такую форму на X обычно называют (невырожденной) формой Римана . Выбрав базис для V и L , можно сделать это условие более явным. Есть несколько эквивалентных формулировок этого; все они известны как условия Римана.
Каждой алгебраической кривой C рода g ≥ 1 сопоставляется абелевое многообразие J размерности g посредством аналитического отображения C в J. Как тор, J несет коммутативную групповую структуру, а образ C порождает J как группу. Точнее, J покрывается C g : [1] любая точка в J происходит из g -кортежа точек в C . Изучение дифференциальных форм на C , которые приводят к абелевым интегралам , с которых началась теория, может быть выведено из более простой, трансляционно-инвариантной теории дифференциалов на J. Абелево многообразие J называется якобианом многообразия C для любой неособой кривой C над комплексными числами. С точки зрения бирациональной геометрии , ее функциональное поле есть фиксированное поле симметрической группы на g букв , действующей на функциональное поле Cg .
Абелева функция — это мероморфная функция на абелевом многообразии, которую поэтому можно рассматривать как периодическую функцию n комплексных переменных, имеющую 2n независимых периодов; эквивалентно, это функция в функциональном поле абелева многообразия. Например, в девятнадцатом веке большой интерес проявлялся к гиперэллиптическим интегралам , которые можно было выразить через эллиптические интегралы. Это сводится к утверждению, что J является произведением эллиптических кривых с точностью до изогении.
Одной из важных структурных теорем абелевых многообразий является теорема Мацусаки . Он утверждает, что над алгебраически замкнутым полем каждое абелево многообразие является фактором якобиана некоторой кривой; т. е. существует некоторая сюръекция абелевых многообразий, где – якобиан. Эта теорема остается верной, если основное поле бесконечно. [2]
Обычно используются два эквивалентных определения абелева многообразия над общим полем k :
Когда основанием является поле комплексных чисел, эти понятия совпадают с предыдущим определением. Над всеми базисами эллиптические кривые являются абелевыми многообразиями размерности 1.
В начале 1940-х годов Вейль использовал первое определение (по произвольному базовому полю), но сначала не смог доказать, что из него следует второе. Лишь в 1948 году он доказал, что полные алгебраические группы можно вложить в проективное пространство. Между тем, чтобы доказать работу гипотезы Римана для кривых над конечными полями , о которой он объявил в 1940 году, ему пришлось ввести понятие абстрактного многообразия и переписать основы алгебраической геометрии для работы с многообразиями без проективных вложений. (см. также раздел истории в статье «Алгебраическая геометрия »).
По определениям абелево многообразие является групповым многообразием. Можно доказать, что его группа точек коммутативна .
Для C и, следовательно, по принципу Лефшеца для любого алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики периодическая группа абелева многообразия размерности g изоморфна ( Q / Z ) 2 g . Следовательно, ее n -крученная часть изоморфна ( Z / n Z ) 2g , т.е. произведению 2g копий циклической группы порядка n .
Когда базовое поле является алгебраически замкнутым полем характеристики p , n -кручение по-прежнему изоморфно ( Z / n Z ) 2g , когда n и p взаимно просты . Когда n и p не являются взаимно простыми, тот же результат можно получить, если интерпретировать его как утверждение, что n -кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2 g . Если вместо рассмотрения полной структуры схемы n -кручения рассматривать только геометрические точки, то получается новый инвариант многообразий характеристики p (так называемый p -ранг при n = p ).
Группа k -рациональных точек глобального поля k конечно порождается теоремой Морделла -Вейля . Следовательно, по структурной теореме для конечно порожденных абелевых групп она изоморфна произведению свободной абелевой группы Z r и конечной коммутативной группы для некоторого неотрицательного целого числа r, называемого рангом абелева многообразия. Аналогичные результаты справедливы и для некоторых других классов полей k .
Произведение абелева многообразия A размерности m и абелева многообразия B размерности n над одним и тем же полем является абелевым многообразием размерности m + n . Абелево многообразие называется простым, если оно не изогенно произведению абелевых многообразий меньшей размерности. Любое абелево многообразие изогенно произведению простых абелевых многообразий.
Абелеву многообразию A над полем k сопоставляется двойственное абелево многообразие A v (над тем же полем), которое является решением следующей проблемы модулей . Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованное k -многообразием T , определяется как линейное расслоение L на A × T такое, что
Тогда существует многообразие A v и семейство линейных расслоений P степени 0 , расслоение Пуанкаре, параметризованное A v , такие, что семейству L на T сопоставлен единственный морфизм f : T → A v , так что L изоморфно обратный образ P вдоль морфизма 1 A × f : A × T → A × A v . Применяя это к случаю, когда T является точкой, мы видим, что точки A v соответствуют линейным расслоениям степени 0 на A , поэтому существует естественная групповая операция на A v , заданная тензорным произведением линейных расслоений, что делает ее в абелеву разновидность.
Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что существует естественный изоморфизм между двойными двойственными A vv и A (определенными через расслоение Пуанкаре) и что она является контравариантной функториальной , т.е. она сопоставляет всем морфизмам f : A → B двойственные морфизмы f v : B v → A v совместимым способом. n -кручение абелева многообразия и n -кручение его двойственного многообразия двойственны друг другу, когда n взаимно просто с характеристикой базы. В общем случае - для всех n -круговые групповые схемы двойственных абелевых многообразий являются двойственными по Картье друг другу. Это обобщает спаривание Вейля для эллиптических кривых.
Поляризация абелева многообразия — это изогения от абелева многообразия к двойственному ему многообразию , симметричная относительно двойной двойственности для абелевых многообразий и для которой достаточен обратный образ расслоения Пуанкаре вдоль соответствующего морфизма графа (поэтому он аналогичен положительно определённая квадратичная форма). Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов . Основная поляризация — это поляризация, которая является изоморфизмом. Якобианы кривых естественным образом наделяются главной поляризацией, как только выбирают произвольную рациональную базовую точку на кривой, и кривая может быть восстановлена по ее поляризованному якобиану, когда род > 1. Не все принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых. кривые; см. проблему Шоттки . Поляризация индуцирует инволюцию Розати на кольце эндоморфизмов A .
Над комплексными числами поляризованное абелево многообразие также можно определить как абелево многообразие A вместе с выбором римановой формы H . Две формы Римана H 1 и H 2 называются эквивалентными , если существуют целые положительные числа n и m такие, что nH 1 = mH 2 . Выбор класса эквивалентности форм Римана на A называется поляризацией A . Морфизм поляризованных абелевых многообразий — это морфизм A → B абелевых многообразий такой, что возврат формы Римана на B к A эквивалентен заданной форме на A.
Можно также определить схему абелевых многообразий - теоретически и относительно базы . Это позволяет единообразно рассматривать такие явления, как редукция абелевых многообразий по модулю p (см. Арифметика абелевых многообразий ) и семейства параметров абелевых многообразий. Абелева схема над базовой схемой S относительной размерности g — это правильная гладкая групповая схема над S , геометрические слои которой связны и имеют размерность g . Слоями абелевой схемы являются абелевы многообразия, поэтому можно думать об абелевой схеме над S как о семействе абелевых многообразий, параметризованных S .
Для абелевой схемы A / S группа n -точек кручения образует конечную плоскую групповую схему . Объединение pn - точек кручения для всех n образует p-делимую группу . Деформации абелевых схем, согласно теореме Серра – Тейта , определяются свойствами деформации ассоциированных p -делимых групп.
Пусть такое, что не имеет повторяющихся комплексных корней. Тогда дискриминант не равен нулю. Пусть , so является открытой подсхемой . Тогда – абелева схема над . Ее можно расширить до модели Нерона над , которая является гладкой групповой схемой над , но модель Нерона не является собственной и, следовательно, не является абелевой схемой над .
В. А. Абрашкин [3] и Жан-Марк Фонтен [4] независимо доказали, что не существует ненулевых абелевых многообразий над Q с хорошей редукцией во всех простых числах. Эквивалентно, над Spec Z не существует ненулевых абелевых схем . Доказательство заключается в том, чтобы показать, что координаты p n -точек кручения порождают числовые поля с очень малым разветвлением и, следовательно, с малым дискриминантом, в то время как, с другой стороны, существуют нижние границы дискриминантов числовых полей. [5]
Полуабелево многообразие — это коммутативное групповое многообразие, являющееся расширением абелева многообразия с помощью тора .
![{\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db78c7c6981e8b96dff61f40dc4ea0ff1c3275e3)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}zx^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc22d0899e4d3075856d76d5e49ee05953a56c92)