матрица Картана

Матрицы имени Эли Картана

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы в честь французского математика Эли Картана . Забавно, что матрицы Картана в контексте алгебр Ли были впервые исследованы Вильгельмом Киллингом , тогда как форма Киллинга принадлежит Картану. ^{[ необходима цитата ]}

Алгебры Ли

(Симметризуемая) обобщенная матрица Картана — это квадратная матрица с целыми элементами, такая что ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. Для диагональных записей, . ${\displaystyle a_{ii}=2}$
2. Для недиагональных записей, . ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$если и только если ${\displaystyle a_{ji}=0}$
4. ${\displaystyle A}$можно записать как , где — диагональная матрица , а — симметричная матрица . ${\displaystyle DS}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$

Например, матрицу Картана для G 2 можно разложить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}$

Третье условие не является независимым, а на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в приведенном выше разложении положительно определена , то говорят, что A является матрицей Картана .

Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементами которой являются скалярные произведения

${\displaystyle a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}}$^[1]

(иногда называемые целыми числами Картана ), где r _i — простые корни алгебры. Элементы являются целыми из одного из свойств корней . Первое условие следует из определения, второе — из того факта, что для — корень, который является линейной комбинацией простых корней r _i и r _j с положительным коэффициентом для r _j и, таким образом, коэффициент для r _i должен быть неотрицательным. Третье условие верно, поскольку ортогональность является симметричным отношением. И, наконец, пусть и . Поскольку простые корни охватывают евклидово пространство , S положительно определено. ${\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}$ ${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$ ${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$

И наоборот, если задана обобщенная матрица Картана, можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. ( Более подробную информацию см. в разделе Алгебра Каца–Муди ).

Классификация

Матрица A разложима, если существует непустое собственное подмножество такое, что всякий раз, когда и . Матрица A неразложима , если она не разложима. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j\notin I}$

Пусть A — неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип , если все ее главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если ее собственные главные миноры положительны и A имеет определитель 0, и что A имеет неопределенный тип в противном случае.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов ), тогда как неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0). ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли приведены в следующей таблице (вместе с A ₁ =B ₁ =C ₁ , B ₂ =C ₂ , D ₃ =A ₃ , D ₂ =A ₁ A ₁ , E ₅ =D ₅ , E ₄ =A ₄ и E ₃ =A ₂ A ₁ ). ^[2]

Другим свойством этого определителя является то, что он равен индексу соответствующей корневой системы, т.е. он равен где P, Q обозначают решетку весов и решетку корней соответственно. ${\displaystyle |P/Q|}$

Представления конечномерных алгебр

В теории модульных представлений и, в более общем смысле, в теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр A , которые не являются полупростыми , матрица Картана определяется путем рассмотрения (конечного) множества главных неразложимых модулей и записи для них композиционных рядов в терминах неприводимых модулей , что дает матрицу целых чисел, подсчитывающую количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в М-теории

В М-теории можно рассматривать геометрию с двумя циклами , которые пересекаются друг с другом в конечном числе точек, в пределе, где площадь двух циклов стремится к нулю. В этом пределе появляется локальная группа симметрии . Матрица чисел пересечения базиса двух циклов, как предполагается, является матрицей Картана алгебры Ли этой локальной группы симметрии. ^[3]

Это можно объяснить следующим образом. В М-теории есть солитоны , которые являются двумерными поверхностями, называемыми мембранами или 2-бранами . 2-брана имеет натяжение и поэтому имеет тенденцию к сжатию, но она может обернуться вокруг 2-цикла, который не дает ей сжаться до нуля.

Можно компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двухциклов и их точек пересечения, а затем взять предел, где это измерение сжимается до нуля, таким образом получая размерную редукцию по этому измерению. Тогда можно получить теорию струн типа IIA как предел М-теории, с 2-бранами, оборачивающими двухциклы, теперь описываемые открытой струной, натянутой между D-бранами . Для каждой D-браны существует локальная группа симметрии U(1) , напоминающая степень свободы ее перемещения без изменения ориентации. Предел, где два цикла имеют нулевую площадь, является пределом, где эти D-браны находятся друг над другом, так что получается улучшенная локальная группа симметрии.

Теперь открытая струна, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатор двух таких генераторов — это третий, представленный открытой струной, которую можно получить, склеив края двух открытых струн. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от того, как 2-браны могут пересекаться в исходной М-теории, то есть от чисел пересечения двухциклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечения. Точное соотношение с матрицей Картана заключается в том, что последняя описывает коммутаторы простых корней , которые связаны с двумяциклами в выбранном базисе.

Генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, натянутыми между D-браной и самой собой.

Смотрите также

• Диаграмма Дынкина
• Исключительная йорданова алгебра
• Фундаментальное представление
• Форма убийства
• Простая группа Ли

Примечания

1. Джорджи, Ховард (1999-10-22). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press. стр. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
2. Определители Картана-Грама для простых групп Ли Альфред CT Ву, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, ноябрь 1982 г.
3. Сен, Ашок (1997). "Заметка о расширенных калибровочных симметриях в теории М и струн". Журнал физики высоких энергий . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th/9707123 . doi :10.1088/1126-6708/1997/09/001. S2CID  15444381.

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: Первый курс . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 129. Springer-Verlag. стр. 334. ISBN 0-387-97495-4.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 9. Springer-Verlag. pp. 55–56. doi :10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
• Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6..

Внешние ссылки

• «Матрица Картана», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Матрица Картана". MathWorld .