Голоморфная функция

Комплексно-дифференцируемая (математическая) функция

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ (внизу).

В математике голоморфная функция — это комплекснозначная функция одной или нескольких комплексных переменных, которая комплексно дифференцируема в окрестности каждой точки области в комплексном координатном пространстве ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ . Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием: оно подразумевает, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора (является аналитической ). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения в комплексном анализе .

Хотя термин аналитическая функция часто используется взаимозаменяемо с термином «голоморфная функция», слово «аналитический» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которая может быть записана как сходящийся степенной ряд в окрестности каждой точки своей области определения . То, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой в комплексном анализе . ^[1]

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . ^[2] Голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость , называется целой функцией . Фраза «голоморфная в точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ » означает не просто дифференцируемую в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ , но и дифференцируемую всюду в некоторой близкой окрестности ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ в комплексной плоскости.

Определение

Функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(z)={\bar {z}}}$ не является комплексной \дифференцируемой в нуле, потому что, как показано выше, значение ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}}$ меняется в зависимости от направления, с которого приближается к нулю. Только на действительной оси ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ равно функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle g(z)=z}$ и предел равен ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ , тогда как только вдоль мнимой оси ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ равно другой функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle h(z)=-z}$ и предел равен ⁠ ⁠ ${\displaystyle -1}$ . Другие направления дают еще другие пределы.

Для комплекснозначной функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ одной комплексной переменной производная ⁠ ${\displaystyle f}$ ⁠ в точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ ее области определения определяется как предел ^[3 ]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Это то же самое определение, что и для производной действительной функции , за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется, когда комплексное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ стремится к ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ , и это означает, что то же самое значение получается для любой последовательности комплексных значений для ⁠ ⁠ , ${\displaystyle z}$ которая стремится к ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ . Если предел существует, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ называется комплексно дифференцируемой в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ . Эта концепция комплексной дифференцируемости разделяет несколько свойств с действительной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения , правилу частного и правилу цепочки . ^[4]

Функция голоморфна на открытом множестве ⁠ ⁠ , ${\displaystyle U}$ если она комплексно дифференцируема в каждой точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ . Функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ голоморфна в точке ⁠ ⁠ , если она голоморфна в некоторой окрестности ⁠ ⁠ . ^[5] Функция голоморфна на некотором не открытом множестве ⁠ ⁠ , если она голоморфна в каждой точке ⁠ ⁠ . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Функция может быть комплексно дифференцируемой в точке, но не голоморфной в этой точке. Например, функция комплексно дифференцируема в ⁠ ⁠ , но не комплексно дифференцируема нигде больше, в частности, ни в одном месте, близком к ⁠ ⁠ (см. уравнения Коши–Римана ниже). Таким образом, она не голоморфна в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \textstyle f(z)=|z|{\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Связь между действительной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью следующая: если комплексная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ голоморфна, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ имеют первые частные производные по ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана : ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

или, что эквивалентно, производная Виртингера ⁠ ⁠ по ${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠ , комплексно ${\displaystyle {\bar {z}}}$ сопряженному ⁠ ⁠ , равна ${\displaystyle z}$ нулю: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

то есть, грубо говоря, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ функционально независим от ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ , комплексно сопряженного ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ .

Если непрерывность не задана, обратное утверждение не обязательно верно. Простое обратное утверждение заключается в том, что если ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ является голоморфным. Более удовлетворительное обратное утверждение, которое гораздо сложнее доказать, — это теорема Лумана–Менхоффа : если ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ непрерывна, ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывные) и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ является голоморфным. ^[8]

Терминология

Термин голоморфный был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жаном-Клодом Буке , двумя учениками Огюстена-Луи Коши , и происходит от греческого ὅλος ( hólos ), что означает «целый», и μορφή ( morphḗ ), что означает «форма» или «внешний вид» или «тип», в отличие от термина мероморфный, полученного от μέρος ( méros ), что означает «часть». Голоморфная функция напоминает целую функцию («целое») в области комплексной плоскости, в то время как мероморфная функция (определенная как означающая голоморфную, за исключением некоторых изолированных полюсов ), напоминает рациональную дробь («часть») целых функций в области комплексной плоскости. ^{[a] [9] [10]} Вместо этого Коши использовал термин синектический . ^[b]

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитают термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который не следует очевидным образом из определений. Термин «аналитический», однако, также широко используется.

Характеристики

Поскольку комплексное дифференцирование линейно и подчиняется правилам произведения, частного и цепочки, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно везде, где знаменатель не равен нулю. ^[12] То есть, если функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ голоморфны в области ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ , то также являются ⁠ ⁠ ${\displaystyle f+g}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f-g}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle fg}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\circ g}$ . Кроме того, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f/g}$ голоморфна, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ не имеет нулей в ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ ; в противном случае она мероморфна .

Если отождествить ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с действительной плоскостью ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши–Римана , систему двух уравнений в частных производных . ^[6]

Каждая голоморфная функция может быть разделена на действительную и мнимую части ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ , и каждая из них является гармонической функцией на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ (каждая удовлетворяет уравнению Лапласа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$ ), причем ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ является гармонически сопряженной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ . ^[13] И наоборот, каждая гармоническая функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle u(x,y)}$ на односвязной области ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ является действительной частью голоморфной функции: если ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ является гармонически сопряженной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ , единственной с точностью до константы, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ голоморфна.

Интегральная теорема Коши подразумевает, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: ^[14]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Здесь ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ — спрямляемый путь в односвязной комплексной области ⁠ ⁠, ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ начальная точка которого совпадает с его конечной точкой, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ — голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диска , полностью определяется своими значениями на границе диска. ^[14] Более того: Предположим, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ — комплексная область, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ — голоморфная функция, а замкнутый диск ⁠ ⁠ ${\displaystyle D\equiv \{z:}$полностью содержится в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle U}$ Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ — круг, образующий границу ⁠ ⁠ . Тогда ${\displaystyle D}$для каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ внутри ⁠ ⁠ : ${\displaystyle D}$

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производную ⁠ ⁠ ${\displaystyle {f'}(a)}$ можно записать в виде контурного интеграла ^[14] с использованием формулы дифференцирования Коши :

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

для любой простой петли, положительно обмотанной один раз вокруг ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , и

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

для бесконечно малых положительных петель ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ вокруг ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции являются конформными : они сохраняют углы и форму (но не размер) малых фигур. ^[15]

Каждая голоморфная функция является аналитической . То есть голоморфная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ имеет производные каждого порядка в каждой точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ своей области определения, и она совпадает со своим собственным рядом Тейлора в ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ в окрестности ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ . Фактически, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ совпадает со своим рядом Тейлора в ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ в любом круге с центром в этой точке и лежащем внутри области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве является коммутативным кольцом и комплексным векторным пространством . Кроме того, множество голоморфных функций на открытом множестве ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ связно. ^[7] Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , в котором полунормы являются супремумами на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ голоморфна в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ тогда и только тогда, когда ее внешняя производная ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ в окрестности ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ точки ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ равна ⁠ ⁠ ${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$ для некоторой непрерывной функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f'}$ . Это следует из

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

что ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ также пропорционально ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} z}$ , подразумевая, что производная ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ сама по себе голоморфна и, таким образом, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ бесконечно дифференцируема. Аналогично, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$ подразумевает, что любая функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ , которая голоморфна в односвязной области ⁠ ⁠ , ${\displaystyle U}$ также интегрируема в ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ .

(Для пути ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ в ⁠ ⁠ , ${\displaystyle z}$ полностью лежащего в ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ , определим ⁠ ⁠ ${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z}$ ; в свете теоремы Жордана о кривой и обобщенной теоремы Стокса ⁠ ⁠ не зависит ${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$от конкретного выбора пути ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ , и, таким образом, ⁠ ⁠ ${\displaystyle F(z)}$ является хорошо определенной функцией на ⁠ ⁠ , ${\displaystyle U}$ имеющей ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$⁠ или ⁠ ⁠ ${\displaystyle f={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}}$ .

Примеры

Все полиномиальные функции в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ с комплексными коэффициентами являются целыми функциями (голоморфными во всей комплексной плоскости ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), а также экспоненциальная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle \exp z}$ и тригонометрические функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (ср. формулу Эйлера ). Главная ветвь функции комплексного логарифма ⁠ ⁠ голоморфна ${\displaystyle \log z}$ на области ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$ . Функция квадратного корня может быть определена как ⁠ ⁠ и ${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$, следовательно, голоморфна везде, где логарифм ⁠ ⁠ ${\displaystyle \log z}$ . Обратная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$ голоморфна на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$ . (Обратная функция и любая другая рациональная функция мероморфны на ⁠ ⁠ .) ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Как следствие уравнений Коши–Римана , любая вещественнозначная голоморфная функция должна быть константой . Следовательно, абсолютное значение , аргумент ⁠ ⁠ , вещественная часть ⁠ ⁠ и мнимая часть ⁠ ⁠ не являются голоморфными. Другим типичным примером непрерывной функции, которая не является голоморфной, является комплексно сопряженная ⁠ ⁠ (Комплексно сопряженная функция антиголоморфна .) ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$ ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Несколько переменных

Определение голоморфной функции обобщается на несколько комплексных переменных простым способом. Функция ⁠ ⁠ по ${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$ комплексным переменным является аналитической в ​​точке ⁠ ⁠ , если существует окрестность ⁠ ⁠ , в которой ⁠ ⁠ равна сходящемуся степенному ряду по комплексным переменным ; ^[16] функция ⁠ ⁠ голоморфна в открытом подмножестве ⁠ ⁠ из ⁠ ⁠ , если она аналитична в каждой точке ⁠ ⁠ . Лемма Осгуда показывает (используя многомерную интегральную формулу Коши), что для непрерывной функции ⁠ ⁠ это эквивалентно тому, что ⁠ ⁠ является голоморфной по каждой переменной в отдельности (это означает, что если какие-либо ⁠ ⁠ координаты фиксированы, то ограничение ⁠ ⁠ является голоморфной функцией оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что предположение о непрерывности не является необходимым: ⁠ ⁠ голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В более общем смысле функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши–Римана в смысле распределений.

Функции нескольких комплексных переменных в некоторых основных отношениях сложнее функций одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно является открытым шаром; эти области являются логарифмически выпуклыми областями Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, на которых существуют голоморфные функции, которые не могут быть расширены до более крупных областей, сильно ограничены. Такой набор называется областью голоморфности .

Комплексная дифференциальная ⁠ ⁠ ${\displaystyle (p,0)}$ -форма ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ голоморфна тогда и только тогда, когда ее антиголоморфная производная Дольбо равна нулю: ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$ .

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции может быть распространено на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может быть использована для определения понятия голоморфной функции на банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

Смотрите также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Антиголоморфная функция
• Биголоморфность
• Оценка Коши
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Голоморфная отделимость
• Мероморфная функция
• Квадратурные домены
• Производные Виртингера

Сноски

1. Первоначальные французские термины — holomorphe и méromorphe :

   Lorsqu'une fonction est continue, monotrope, et a une dérivée, quand la Variable se meut dans une une partie du plan, nous dirons qu'elle est holomorphe dans cette party du plan. Мы указываем по этому названию, что это похоже на функции, которые позволяют вам пользоваться этой собственностью в рамках всего плана. [...]

   Une Fractionnelle admet comme Pôles les racines du dénominateur; это голоморфная функция на всей вечеринке плана, который содержит все эти полюса.

   Lorsqu’une fonction est голоморф в этой партии плана, за исключением некоторых полюсов, мы говорим, что это мероморф в этой партии плана, это очень похоже на дроби rationnelles.

   [Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части [комплексной] плоскости , мы говорим, что она голоморфна в этой части плоскости. Под этим названием мы подразумеваем, что она похожа на целые функции , которые обладают этими свойствами во всем объеме плоскости. ...

   [Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни знаменателя; она является голоморфной функцией во всей той части плоскости, которая не содержит полюсов .

   [Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы говорим, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть она напоминает рациональные дроби.]

   Briot & Bouquet (1875), стр. 14–15; ^[9] см. также Harkness & Morley (1893), стр. 161. ^[10]
2. Брио и Буке (1859), стр. 11 ранее также приняли термин Коши «синектический» ( по-французски synectique ) в первом издании своей книги. ^[11]

Ссылки

1. "Аналитические функции одной комплексной переменной". Энциклопедия математики . Европейское математическое общество / Springer. 2015 – через encyclopediaofmath.org.
2. "Аналитическая функция", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
3. Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (McGraw-Hill, 1979).
4. Хенричи, П. (1986) [1974, 1977]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ . Wiley.Три тома, изд.: 1974, 1977, 1986.
5. Эбенфельт, Питер; Хунгербюлер, Норберт; Кон, Джозеф Дж.; Мок, Нгайминг; Штраубе, Эмиль Дж. (2011). Комплексный анализ. Научные и деловые СМИ. Спрингер – через Google.
6. Маркушевич, А.И. (1965). Теория функций комплексного переменного . Prentice-Hall.[В трех томах.]
7. Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Современный анализ. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall . ISBN 9780821869536. MR  0180696. Zbl  0141.08601 – через Google.
8. Грей, Дж. Д.; Моррис, С. А. (апрель 1978 г.). «Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши-Римана, является аналитической?». The American Mathematical Monthly . 85 (4): 246–256. doi :10.2307/2321164. JSTOR  2321164.
9. Бриот, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1875). «Голоморфы §15 функций». Théorie des fonctions elliptiques [ Теория эллиптических функций ] (на французском языке) (2-е изд.). Готье-Виллар. стр. 14–15.
10. Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1893). "5. Интеграция". Трактат о теории функций . Macmillan. стр. 161.
11. Брио, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1859). «§10». Теория периодического удвоения функций . Малле-Башелье. п. 11.
12. Henrici, Peter (1993) [1986]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ. Wiley Classics Library. Том 3 (Переиздание). Нью-Йорк - Чичестер - Брисбен - Торонто - Сингапур: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-58986-1. MR  0822470. Zbl  1107.30300 – через Google.
13. Эванс, Л. К. (1998). Уравнения с частными производными . Американское математическое общество.
14. Lang, Serge (2003). Комплексный анализ . Springer Verlag GTM. Springer Verlag .
15. Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw–Hill Book Co. ISBN 978-0-07-054234-1. МР  0924157.
16. Ганнинг и Росси. Аналитические функции нескольких комплексных переменных . стр. 2.

Дальнейшее чтение

• Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Blackie and Sons. OCLC  2370110.

Внешние ссылки

• «Аналитическая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]