Когерентный пучок

Обобщение векторных расслоений

В математике, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные пучки — это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами базового пространства. Определение когерентных пучков дается со ссылкой на пучок колец , который кодирует эту геометрическую информацию.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию , и поэтому они замкнуты относительно таких операций, как взятие ядер , образов и коядер . Квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков и включают локально свободные пучки бесконечного ранга.

Когерентные когомологии пучков — это мощный метод, в частности, для изучения сечений заданного когерентного пучка.

Определения

Квазикогерентный пучок на окольцованном пространстве — это пучок - модулей , имеющий локальное представление, то есть каждая точка в имеет открытую окрестность , в которой существует точная последовательность ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

для некоторых (возможно бесконечных) множеств и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Когерентный пучок на окольцованном пространстве — это пучок -модулей , удовлетворяющий следующим двум свойствам: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$имеет конечный тип над , то есть каждая точка в имеет открытую окрестность в , такую, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. для любого открытого множества , любого натурального числа и любого морфизма -модулей ядро ​​имеет конечный тип. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Морфизмы между (квази)когерентными пучками совпадают с морфизмами пучков -модулей. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Дело о схемах

Когда является схемой, общие определения выше эквивалентны более явным. Пучок -модулей является квазикогерентным тогда и только тогда, когда над каждой открытой аффинной подсхемой ограничение изоморфно пучку, связанному с модулем над . Когда является локально нётеровой схемой, является когерентным тогда и только тогда, когда он является квазикогерентным, а модули выше можно считать конечно порожденными . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

На аффинной схеме существует эквивалентность категорий из -модулей в квазикогерентные пучки, переводящая модуль в ассоциированный пучок . Обратная эквивалентность переводит квазикогерентный пучок в -модуль глобальных сечений . ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Вот несколько дополнительных характеристик квазикогерентных пучков на схеме. ^[1]

Теорема  —  Пусть — схема и -модуль на ней. Тогда следующие утверждения эквивалентны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является квазикогерентным.
• Для каждой открытой аффинной подсхемы , изоморфен как -модуль пучку, связанному с некоторым -модулем . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle M}$
• Существует открытое аффинное покрытие такое , что для каждого покрытия оно изоморфно пучку, связанному с некоторым -модулем. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U_{\alpha })}$
• Для каждой пары открытых аффинных подсхем естественный гомоморфизм ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle X}$

  ${\displaystyle {\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}}$

является изоморфизмом.

• Для каждой открытой аффинной подсхемы и каждого , записывая для открытой подсхемы , где не равно нулю, естественный гомоморфизм ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle U_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})}$

является изоморфизмом. Гомоморфизм происходит из универсального свойства локализации .

Характеристики

На произвольном кольцевом пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию, и они чрезвычайно полезны в этом контексте. ^[2]

На любом кольцевом пространстве когерентные пучки образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории -модулей. ^[3] (Аналогично, категория когерентных модулей над любым кольцом является полной абелевой подкатегорией категории всех -модулей.) Таким образом, ядро, образ и коядро любого отображения когерентных пучков когерентны. Прямая сумма двух когерентных пучков когерентна; ​​в более общем случае -модуль, являющийся расширением двух когерентных пучков, когерентен. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Подмодуль когерентного пучка когерентен, если он имеет конечный тип. Когерентный пучок всегда является -модулем конечного представления , что означает, что каждая точка в имеет открытую окрестность такую, что ограничение на изоморфно коядру морфизма для некоторых натуральных чисел и . Если когерентен, то, наоборот, каждый пучок конечного представления над когерентен. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Пучок колец называется когерентным, если он когерентен, рассматриваемый как пучок модулей над собой. В частности, теорема когерентности Ока утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном аналитическом пространстве является когерентным пучком колец. Основная часть доказательства — случай . Аналогично, на локально нётеровой схеме структурный пучок является когерентным пучком колец. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Основные конструкции когерентных пучков

• -модуль на окольцованном пространстве называется локально свободным конечного ранга или векторным расслоением , если каждая точка в имеет открытую окрестность такую, что ограничение изоморфно конечной прямой сумме копий . Если является свободным того же ранга вблизи каждой точки из , то говорят , что векторное расслоение имеет ранг . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$

Векторные расслоения в этом смысле теории пучков над схемой эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема с морфизмом и с покрытием открытыми множествами с заданными изоморфизмами над такими, что два изоморфизма над пересечением отличаются линейным автоморфизмом. ^[6] (Аналогичная эквивалентность также имеет место для комплексных аналитических пространств.) Например, если задано векторное расслоение в этом геометрическом смысле, соответствующий пучок определяется следующим образом: над открытым множеством , -модуль является множеством сечений морфизма . Теоретико-пучковая интерпретация векторных расслоений имеет то преимущество, что векторные расслоения (на локально нётеровой схеме) включены в абелеву категорию когерентных пучков. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$

• Локально свободные пучки оснащены стандартными операциями -модуля, но они возвращают локально свободные пучки. ^{[ неопределенно ]} ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• Пусть , нётерово кольцо. Тогда векторные расслоения на — это в точности пучки, ассоциированные с конечно порождёнными проективными модулями над , или (что эквивалентно) с конечно порождёнными плоскими модулями над . ^[7] ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• Пусть , нётерово -градуированное кольцо, является проективной схемой над нётеровым кольцом . Тогда каждый -градуированный -модуль определяет квазикогерентный пучок на такой, что является пучком, связанным с -модулем , где является однородным элементом положительной степени и является локусом , где не обращается в нуль. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$ ${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$
• Например, для каждого целого числа пусть обозначает градуированный -модуль, заданный . Тогда каждый определяет квазикогерентный пучок на . Если порождается как -алгебра с помощью , то является линейным расслоением (обратимым пучком) на и является -й тензорной степенью . В частности, называется тавтологическим линейным расслоением на проективном -пространстве. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ ${\displaystyle n}$
• Простой пример когерентного пучка на , который не является векторным расслоением, дается коядром в следующей последовательности ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

это происходит потому, что ограничение на исчезающее множество двух многочленов имеет двумерные волокна и имеет одномерные волокна в других местах. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• Идеальные пучки : Если — замкнутая подсхема локально нётеровой схемы , то пучок всех регулярных функций, обращающихся в нуль, является когерентным. Аналогично, если — замкнутое аналитическое подпространство комплексного аналитического пространства , то идеальный пучок является когерентным. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$
• Структурный пучок замкнутой подсхемы локально нётеровой схемы можно рассматривать как когерентный пучок на . Если быть точным, это прямой образ пучка , где — включение. Аналогично для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Пучок имеет слой (определенный ниже) размерности ноль в точках открытого множества и слой размерности 1 в точках . Существует короткая точная последовательность когерентных пучков на : ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle X-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков и на кольцевом пространстве тензорный пучок произведения и пучок гомоморфизмов когерентны. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$
• Простой не-пример квазикогерентного пучка дается расширением нулевым функтором. Например, рассмотрим для ${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^[9]

Поскольку этот пучок имеет нетривиальные стебли, но нулевые глобальные сечения, он не может быть квазикогерентным пучком. Это происходит потому, что квазикогерентные пучки на аффинной схеме эквивалентны категории модулей над базовым кольцом, а присоединение происходит из взятия глобальных сечений.

Функториальность

Пусть будет морфизмом окольцованных пространств (например, морфизмом схем ). Если является квазикогерентным пучком на , то обратный образ -модуль (или пулбэк ) является квазикогерентным на . ^[10] Для морфизма схем и когерентного пучка на пулбэк не является когерентным в полной общности (например, , который может не быть когерентным), но пулбэки когерентных пучков когерентны, если является локально нётеровым. Важным частным случаем является пулбэк векторного расслоения, которое является векторным расслоением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Если — квазикомпактный квазиразделенный морфизм схем и — квазикогерентный пучок на , то прямой образ пучка (или прямой образ ) является квазикогерентным на . ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

Прямой образ когерентного пучка часто не является когерентным. Например, для поля пусть будет аффинной прямой над и рассмотрим морфизм ; тогда прямой образ — это пучок на , ассоциированный с полиномиальным кольцом , который не является когерентным, поскольку имеет бесконечную размерность как -векторное пространство. С другой стороны, прямой образ когерентного пучка при собственном морфизме является когерентным, согласно результатам Грауэрта и Гротендика . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k}$

Локальное поведение когерентных пучков

Важной особенностью когерентных пучков является то, что свойства в точке контролируют поведение в окрестности , в большей степени, чем это было бы верно для произвольного пучка. Например, лемма Накаямы гласит (на геометрическом языке), что если является когерентным пучком на схеме , то слой в точке (векторное пространство над полем вычетов ) равен нулю тогда и только тогда, когда пучок равен нулю в некоторой открытой окрестности . Связанный с этим факт заключается в том, что размерность слоев когерентного пучка является полунепрерывной сверху . ^[11] Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может подскочить на замкнутом подмножестве меньшей размерности. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$

В том же духе: когерентный пучок на схеме является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стебель является свободным модулем над локальным кольцом для каждой точки в . ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

На общей схеме невозможно определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением только по его волокнам (в отличие от его стеблей). На редуцированной локально нётеровой схеме, однако, когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен. ^[13]

Примеры векторных расслоений

Для морфизма схем пусть будет диагональным морфизмом , который является замкнутым погружением , если является отделенным над . Пусть будет идеальным пучком в . Тогда пучок дифференциалов может быть определен как обратный образ в . Сечения этого пучка называются 1-формами на над , и их можно локально записать на как конечные суммы для регулярных функций и . Если локально имеет конечный тип над полем , то является когерентным пучком на . ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle g_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Если является гладким над , то (имея в виду ) является векторным расслоением над , называемым кокасательным расслоением . Тогда касательное расслоение определяется как двойственное расслоение . Для гладкого над размерностью всюду касательное расслоение имеет ранг . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Если — гладкая замкнутая подсхема гладкой схемы над , то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

который можно использовать как определение нормального расслоения в . ${\displaystyle N_{Y/X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Для гладкой схемы над полем и натуральным числом векторное расслоение i -форм на определяется как -я внешняя степень кокасательного расслоения, . Для гладкого многообразия размерности над каноническое расслоение означает линейное расслоение . Таким образом , сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами объемных форм на . Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства над можно записать как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

где — многочлен с коэффициентами в . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

Пусть будет коммутативным кольцом и натуральным числом. Для каждого целого числа существует важный пример линейного расслоения на проективном пространстве над , называемый . Чтобы определить это, рассмотрим морфизм -схем ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}$

задано в координатах как . (То есть, думая о проективном пространстве как о пространстве одномерных линейных подпространств аффинного пространства, отправим ненулевую точку в аффинном пространстве на прямую, которую она охватывает.) Тогда сечение над открытым подмножеством определяется как регулярная функция на , которая является однородной степени , что означает, что ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

как регулярные функции на ( . Для всех целых чисел и , существует изоморфизм линейных расслоений на . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

В частности, каждый однородный многочлен в степени над можно рассматривать как глобальное сечение над . Обратите внимание, что каждая замкнутая подсхема проективного пространства может быть определена как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых сечений линейных расслоений . ^[14] Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема является просто нулевым множеством некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции на проективном пространстве над являются просто «константами» (кольцом ), и поэтому важно работать с линейными расслоениями . ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков на проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит для аффинного пространства. А именно, пусть будет нётерово кольцо (например, поле), и рассмотрим кольцо многочленов как градуированное кольцо , каждое из которых имеет степень 1. Тогда каждый конечно порожденный градуированный -модуль имеет связанный когерентный пучок на над . Каждый когерентный пучок на возникает таким образом из конечно порожденного градуированного -модуля . (Например, линейное расслоение является пучком, связанным с -модулем с его градуировкой, пониженной на .) Но -модуль , который дает данный когерентный пучок на , не является единственным; он единственный только с точностью до замены на градуированные модули, которые ненулевые только в конечном числе степеней. Точнее, абелева категория когерентных пучков на является фактором категории конечно порождённых градуированных -модулей по подкатегории Серра модулей, которые отличны от нуля только в конечном числе степеней. ^[15] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$

Касательное расслоение проективного пространства над полем можно описать в терминах линейного расслоения . А именно, существует короткая точная последовательность, последовательность Эйлера : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

Отсюда следует, что каноническое расслоение (двойственное к определительному линейному расслоению касательного расслоения) изоморфно . Это фундаментальное вычисление для алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильного линейного расслоения, означает, что проективное пространство является многообразием Фано . Над комплексными числами это означает, что проективное пространство имеет кэлерову метрику с положительной кривизной Риччи . ${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Векторные расслоения на гиперповерхности

Рассмотрим гладкую степень- гиперповерхность, определяемую однородным полиномом степени . Тогда существует точная последовательность ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}$

где вторая карта является обратным выводом дифференциальных форм, а первая карта посылает

${\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}$

Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что является конормальным пучком в . Дуализация этого дает точную последовательность ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}$

следовательно, является нормальным пучком в . Если мы используем тот факт, что задана точная последовательность ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}$

векторных расслоений с рангами , , , существует изоморфизм ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}$

линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм

${\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}$

показывая, что

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}$

Конструкция Серра и векторные расслоения

Одним из полезных методов построения векторных расслоений ранга 2 является конструкция Серра ^{[16] [17] стр. 3} , которая устанавливает соответствие между векторными расслоениями ранга 2 на гладком проективном многообразии и подмногообразиями коразмерности 2 с использованием определенной -группы, вычисленной на . Это задается когомологическим условием на линейном расслоении (см. ниже). ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$

Соответствие в одном направлении задается следующим образом: для сечения мы можем сопоставить исчезающее множество . Если — подмногообразие коразмерности 2, то ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle V(s)\subseteq X}$ ${\displaystyle V(s)}$

1. Это локальное полное пересечение, то есть если мы возьмем аффинную карту, то ее можно представить как функцию , где и ${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$ ${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. Линейное расслоение изоморфно каноническому расслоению на ${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$ ${\displaystyle \omega _{V(s)}}$ ${\displaystyle V(s)}$

В другом направлении, ^[18] для подмногообразия коразмерности 2 и линейного расслоения, таких что ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

существует канонический изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$,

который является функториальным относительно включения подмногообразий коразмерности . Более того, любой изоморфизм, заданный слева, соответствует локально свободному пучку в середине расширения справа. То есть, для того, что является изоморфизмом, существует соответствующий локально свободный пучок ранга 2, который вписывается в короткую точную последовательность ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

Это векторное расслоение может быть затем дополнительно изучено с использованием когомологических инвариантов, чтобы определить, является ли оно стабильным или нет. Это формирует основу для изучения модулей стабильных векторных расслоений во многих конкретных случаях, таких как на принципиально поляризованных абелевых многообразиях ^[17] и поверхностях K3 . ^[19]

Классы Черна и алгебраическиеК-теория

Вектор расслоения на гладком многообразии над полем имеет классы Черна в кольце Чжоу , в для . ^[20] Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Черна в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{i}(E)}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

векторных расслоений на , классы Черна задаются формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

Отсюда следует, что классы Черна векторного расслоения зависят только от класса в группе Гротендика . По определению, для схемы , является фактором свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений по соотношению , что для любой короткой точной последовательности, как указано выше. Хотя в общем случае трудно вычислить, алгебраическая K-теория предоставляет множество инструментов для ее изучения, включая последовательность связанных групп для целых чисел . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{i}(X)}$ ${\displaystyle i>0}$

Вариантом является группа (или ), группа Гротендика когерентных пучков на . (В топологических терминах G -теория имеет формальные свойства теории гомологии Бореля–Мура для схем, в то время как K -теория является соответствующей теорией когомологий .) Естественный гомоморфизм является изоморфизмом, если является регулярной разделенной нётеровой схемой, используя то, что каждый когерентный пучок имеет конечное разрешение векторными расслоениями в этом случае. ^[21] Например, это дает определение классов Черна когерентного пучка на гладком многообразии над полем. ${\displaystyle G_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}'(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$

В более общем смысле, говорят, что нётерова схема имеет свойство разрешения , если каждый когерентный пучок на имеет сюръекцию из некоторого векторного расслоения на . Например, каждая квазипроективная схема над нётеровым кольцом имеет свойство разрешения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Применение свойства резолюции

Поскольку свойство разрешения утверждает, что когерентный пучок на нётеровой схеме квазиизоморфен в производной категории комплексу векторных расслоений: мы можем вычислить полный класс Чженя с помощью ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}$

Например, эта формула полезна для нахождения классов Черна пучка, представляющего подсхему . Если мы возьмем проективную схему, связанную с идеалом , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}$

так как есть разрешение

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

над . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Гомоморфизм пучков против гомоморфизма пучков

Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются взаимозаменяемо, необходимо уделять внимание различию гомоморфизмов пучков и гомоморфизмов пучков. В частности, для данных векторных расслоений , по определению, гомоморфизм пучков является схемным морфизмом над (т.е. ), таким, что для каждой геометрической точки в , является линейным отображением ранга, независимого от . Таким образом, он индуцирует гомоморфизм пучков постоянного ранга между соответствующими локально свободными -модулями (пучками двойственных сечений). Но может быть гомоморфизм -модулей, который не возникает таким образом; а именно, те, которые не имеют постоянного ранга. ${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=q\circ \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

В частности, подпучок является подпучком (т. е. является подпучком ). Но обратное может быть неверным; например, для эффективного делителя Картье на является подпучком , но обычно не является подпучком (поскольку любой линейный пучок имеет только два подпучка). ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$

Категория квазикогерентных пучков

Квазикогерентные пучки на любой фиксированной схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют особенно хорошо себя ведущую абелеву категорию, категорию Гротендика . ^[22] Квазикомпактная квазиотделимая схема (такая как алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на , по Розенбергу, обобщая результат Габриэля . ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Когерентные когомологии

Основным техническим инструментом в алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя она была введена только в 1950-х годах, многие более ранние методы алгебраической геометрии проясняются языком когомологий пучков, применяемых к когерентным пучкам. В широком смысле, когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных расслоений или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В комплексной аналитической геометрии когомологии когерентных пучков также играют основополагающую роль.

Среди основных результатов когерентных пучковых когомологий — результаты о конечномерности когомологий, результаты об исчезновении когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра , соотношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа , и формулы для эйлеровых характеристик когерентных пучков, такие как теорема Римана–Роха .

Смотрите также

• Группа Пикарда
• Делитель (алгебраическая геометрия)
• Возвратный пучок
• Схема цитаты
• Скрученный сноп
• По существу конечное векторное расслоение
• Комплект основных частей
• Теорема реконструкции Габриэля–Розенберга
• Псевдокогерентный пучок
• Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке

Примечания

1. Мамфорд 1999, Гл. III, § 1, Теорема-Определение 3.
2. ^ Проект.
3. Проект Stacks, тег 01BU.
4. Серр 1955, §13
5. Гротендик и Дьедонне 1960, следствие 1.5.2
6. Хартшорн 1977, Упражнение II.5.18
7. Проект Stacks, тег 00NV.
8. Серр 1955, §14
9. Хартшорн 1977
10. Проект Stacks, Тег 01BG.
11. Хартшорн 1977, Пример III.12.7.2
12. Гротендик и Дьедонне 1960, Гл. 0, 5.2.7
13. Эйзенбуд 1995, Упражнение 20.13
14. Хартшорн 1977, Следствие II.5.16
15. Проект Stacks, тег 01YR.
16. Серр, Жан-Пьер (1960–1961). «Сюр-ле-модули проектов». Семинар Дюбрей. Algèbre et theorie des nombres (на французском языке). 14 (1): 1–16.
17. Gulbrandsen, Martin G. (2013-05-20). "Векторные расслоения и монады на абелевых трехмерных многообразиях" (PDF) . Сообщения по алгебре . 41 (5): 1964–1988. arXiv : 0907.3597 . doi :10.1080/00927872.2011.645977. ISSN  0092-7872.
18. Хартсхорн, Робин (1978). «Стабильные векторные расслоения ранга 2 на P3». Математические Аннален . 238 : 229–280.
19. Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (2010). Геометрия пространств модулей пучков. Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 123–128, 238–243. doi :10.1017/cbo9780511711985. ISBN 978-0-521-13420-0.
20. Фултон 1998, §3.2 и пример 8.3.3
21. Фултон 1998, B.8.3
22. Проект Stacks, Тег 077K.
23. Антио 2016, Следствие 4.2

Ссылки

• Антио, Бенджамин (2016), «Теорема о реконструкции абелевых категорий скрученных пучков», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515/crell-2013-0119, MR  3466552
• Данилов, В.И. (2001) [1994], "Когерентный алгебраический пучок", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN 3-540-13178-7, МР  0755331
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию , Graduate Texts in Mathematics , т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, г-н  1322960
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7, г-н  1644323
• Разделы 0.5.3 и 0.5.4 Гротендика, Александра ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга многообразий и схем: включает Мичиганские лекции (1974) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X. МР  1748380.
• Онищик, АЛ (2001) [1994], "Когерентный аналитический пучок", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Онищик, АЛ (2001) [1994], "Когерентный пучок", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents», Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi : 10.2307/1969915, MR  0068874

Внешние ссылки

• Авторы проекта «Стеки», проект «Стеки»
• Часть V Вакила, Рави , «Восходящее море»