Норма (математика)

Длина в векторном пространстве

В математике норма — это функция из действительного или комплексного векторного пространства в неотрицательные действительные числа, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от начала координат : она коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равна нулю только в начале координат. В частности, евклидово расстояние в евклидовом пространстве определяется нормой в связанном евклидовом векторном пространстве , называемой евклидовой нормой, 2-нормой или, иногда, величиной или длиной вектора. Эта норма может быть определена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора на самого себя.

Полунорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть равна нулю для векторов, отличных от начала координат. [ ^1] Векторные пространства с указанной нормой называются нормированными векторными пространствами . Аналогично, векторное пространство с полунормой называется полунормированными векторными пространствами .

Термин псевдонорма использовался для нескольких связанных значений. Он может быть синонимом «полунормы». ^[1] Псевдонорма может удовлетворять тем же аксиомам, что и норма, с заменой равенства на неравенство « » в аксиоме однородности. ^{[2] [ сомнительный – обсудить ]} Он также может относиться к норме, которая может принимать бесконечные значения, ^[3] или к определенным функциям, параметризованным направленным множеством . ^[4] ${\displaystyle \,\leq \,}$

Определение

Для векторного пространства над подполем комплексных чисел норма на является действительной функцией со следующими свойствами, где обозначает обычное абсолютное значение скаляра : ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |s|}$ ${\displaystyle s}$

1. Субаддитивность / Неравенство треугольника : для всех ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Абсолютная однородность : для всех и всех скаляров ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
3. Положительная определенность /позитивность ^[6] /Разделение точек : для всехеслито ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$
   • Поскольку свойство (2.) подразумевает, что некоторые авторы заменяют свойство (3.) эквивалентным условием: для каждого тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Полунорма на — это функция , которая обладает свойствами (1.) и (2.) ^[7], так что, в частности, каждая норма также является полунормой (и, следовательно, также сублинейным функционалом ). Однако существуют полунормы, которые не являются нормами. Свойства (1.) и (2.) подразумевают, что если является нормой (или, в более общем смысле, полунормой), то и что также обладает следующим свойством: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

4. Неотрицательность : ^[6] для всех ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Некоторые авторы включают неотрицательность в определение «нормы», хотя это не обязательно. Хотя в этой статье « положительный » определяется как синоним «положительно определенного», некоторые авторы вместо этого определяют « положительный » как синоним «неотрицательного»; ^[8] эти определения не эквивалентны.

Эквивалентные нормы

Предположим, что и являются двумя нормами (или полунормами) на векторном пространстве Тогда и называются эквивалентными , если существуют две положительные действительные константы и с такими, что для каждого вектора Отношение « эквивалентно » является рефлексивным , симметричным ( подразумевает ) и транзитивным и, таким образом, определяет отношение эквивалентности на множестве всех норм на Нормы и эквивалентны тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию на ^[9] Любые две нормы на конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечномерные пространства. ^[9] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle cq\leq p\leq Cq}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

Обозначение

Если норма задана на векторном пространстве , то норма вектора обычно обозначается путем заключения его в двойные вертикальные линии: Такое обозначение также иногда используется, если является только полунормой. Для длины вектора в евклидовом пространстве (что является примером нормы, как поясняется ниже) также широко распространено обозначение с одинарными вертикальными линиями. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle \|z\|=p(z).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |x|}$

Примеры

Каждое (действительное или комплексное) векторное пространство допускает норму: если — базис Гамеля для векторного пространства , то действительное отображение, которое отправляет (где все, кроме конечного числа скаляров , равны ) в , является нормой на ^[10]. Существует также большое количество норм, которые обладают дополнительными свойствами, делающими их полезными для конкретных задач. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}$ ${\displaystyle X.}$

Абсолютная норма

Абсолютное значение является нормой в векторном пространстве, образованном действительными или комплексными числами . Комплексные числа образуют одномерное векторное пространство над собой и двумерное векторное пространство над действительными числами; абсолютное значение является нормой для этих двух структур. ${\displaystyle |x|}$

Любая норма в одномерном векторном пространстве эквивалентна (с точностью до масштабирования) абсолютной норме, что означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств, где есть либо или , а сохранение нормы означает, что Этот изоморфизм задается путем сопоставления вектору нормы , который существует, поскольку такой вектор получается путем умножения любого ненулевого вектора на обратный ему вектор. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle 1,}$

Евклидова норма

На -мерном евклидовом пространстве интуитивное понятие длины вектора выражается формулой ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

Это евклидова норма , которая дает обычное расстояние от начала координат до точки X — следствие теоремы Пифагора . Эту операцию также можно назвать «SRSS», что является аббревиатурой квадратного корня суммы квадратов . [ ^12]

Евклидова норма является наиболее часто используемой нормой в ^[11], но существуют и другие нормы в этом векторном пространстве, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию в конечномерных пространствах. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Внутреннее произведение двух векторов евклидова векторного пространства является скалярным произведением их координатных векторов по ортонормированному базису . Следовательно, евклидова норма может быть записана в виде, свободном от координат, как $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Евклидова норма также называется квадратичной нормой , нормой , ^[13] нормой , 2-нормой или квадратной нормой ; см. пространство . Она определяет функцию расстояния, называемую евклидовой длиной , расстоянием или расстоянием . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Множество векторов, в которых евклидова норма является заданной положительной константой, образует -сферу . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

Евклидова норма комплексных чисел

Евклидова норма комплексного числа — это его абсолютное значение (также называемое модулем ), если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью. Эта идентификация комплексного числа как вектора в евклидовой плоскости делает величину (как впервые предположил Эйлер) евклидовой нормой, связанной с комплексным числом. Для норма также может быть записана как где — комплексно сопряженное число ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z\,.}$

Кватернионы и октонионы

Существует ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица над действительными числами . Это действительные числа, комплексные числа, кватернионы и , наконец, октонионы, где размерности этих пространств над действительными числами равны соответственно. Канонические нормы на и являются их функциями абсолютного значения , как обсуждалось ранее. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} ,}$ ${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Каноническая норма на кватернионах определяется как для каждого кватерниона в Это то же самое, что и евклидова норма на рассматриваемом как векторное пространство Аналогично, каноническая норма на октонионах - это просто евклидова норма на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ $${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$ ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

Конечномерные комплексные нормированные пространства

На -мерном комплексном пространстве наиболее распространенной нормой является ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ $${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

В этом случае норму можно выразить как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя: где представлено как вектор-столбец , а обозначает его сопряженное транспонирование . $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

Эта формула верна для любого пространства внутреннего произведения , включая евклидовы и комплексные пространства. Для комплексных пространств внутреннее произведение эквивалентно комплексному скалярному произведению . Следовательно, формулу в этом случае можно также записать, используя следующие обозначения: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Норма такси или норма Манхэттена

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$Название связано с расстоянием, которое такси должно проехать по прямоугольной сетке улиц (например, в районе Нью-Йорка Манхэттен ), чтобы добраться от начальной точки до конечной точки. ${\displaystyle x.}$

Множество векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность крестового многогранника , размерность которого равна размерности векторного пространства минус 1. Норма такси также называется нормой . Расстояние, полученное из этой нормы, называется манхэттенским расстоянием или расстоянием . ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

1-норма — это просто сумма абсолютных значений столбцов.

Напротив, это не является нормой, поскольку может привести к отрицательным результатам. $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

п-норма

Пусть будет действительным числом. Норма (также называемая -нормой) вектора равна ^[11] Для мы получаем норму такси, для мы получаем евклидову норму, и по мере приближения -норма приближается к бесконечной норме или максимальной норме: Норма связана с обобщенным средним или степенным средним. ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$ ${\displaystyle p=1,}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$ ${\displaystyle p}$

Для -нормы даже индуцируется каноническим внутренним произведением, что означает, что для всех векторов Это внутреннее произведение может быть выражено в терминах нормы с использованием тождества поляризации . На этом внутреннем произведении есть ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$Евклидово скалярное произведение определяется как , тогда как для пространства,связанного смерой пространства, состоящего из всехквадратично интегрируемых функций, это скалярное произведение равно $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Это определение все еще представляет некоторый интерес для , но полученная функция не определяет норму, ^[14] поскольку она нарушает неравенство треугольника . Что верно для этого случая даже в измеримом аналоге, так это то, что соответствующий класс является векторным пространством, и также верно, что функция (без корня th) определяет расстояние, которое превращает в полное метрическое топологическое векторное пространство . Эти пространства представляют большой интерес для функционального анализа , теории вероятностей и гармонического анализа . Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое двойственное пространство содержит только нулевой функционал. ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$

Частная производная -нормы определяется выражением ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

Производная по , следовательно , равна , где обозначает произведение Адамара и используется для абсолютного значения каждого компонента вектора. ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Для частного случая это становится или ${\displaystyle p=2,}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}.}$$

Максимальная норма (частный случай: бесконечной нормы, равномерной нормы или супремум-нормы)

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}$

Если — некоторый вектор такой, что тогда: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

Множество векторов, бесконечная норма которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

Нулевая норма

В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и для F-пространства последовательностей с F-нормой ^{[15]. Здесь под} F-нормой мы подразумеваем некоторую действительнозначную функцию на F-пространстве с расстоянием таким, что Описанная выше F - норма не является нормой в обычном смысле, поскольку она не обладает требуемым свойством однородности. ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$

Расстояние Хэмминга вектора от нуля

В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение один для различных точек и ноль в противном случае. При применении покоординатно к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга , которое важно в кодировании и теории информации . В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля не является однородным в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единицей, когда его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При применении покомпонентно к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая подсчитывает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; снова, эта неоднородная «норма» является разрывной.

В обработке сигналов и статистике Дэвид Донохо ссылался на нулевую « норму » в кавычках. Следуя обозначениям Донохо, нулевая «норма» — это просто число ненулевых координат или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта «норма» локализуется на ограниченном множестве, она является пределом -норм при приближении к 0. Конечно, нулевая «норма» не является истинной нормой, поскольку она не является положительно однородной . На самом деле, она даже не является F-нормой в описанном выше смысле, поскольку она разрывна, совместно и порознь, относительно скалярного аргумента в скалярно-векторном умножении и относительно ее векторного аргумента. Злоупотребляя терминологией , некоторые инженеры ^{[ кто? ]} опускают кавычки Донохо и неуместно называют функцию числа ненулевых значений нормой , повторяя обозначение для пространства Лебега измеримых функций . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{0}}$

Бесконечные измерения

Обобщение приведенных выше норм на бесконечное число компонент приводит к и пространствам для с нормами ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1\,,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

для комплекснозначных последовательностей и функций на соответственно, которые могут быть далее обобщены (см. меру Хаара ). Эти нормы также справедливы в пределе как , давая супремум-норму , и называются и ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

Любой внутренний продукт естественным образом вызывает норму ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в статье о банаховых пространствах .

В общем случае эти нормы не дают одинаковых топологий. Например, бесконечномерное пространство дает строго более тонкую топологию, чем бесконечномерное пространство, когда ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle p<q\,.}$

Композитные нормы

Другие нормы могут быть построены путем объединения вышеизложенных; например, норма о ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования мы можем определить новую норму, равную In 2D, с поворотом на 45° и подходящим масштабированием, это меняет норму такси в максимальную норму. Каждое из примененных к норме такси, с точностью до инверсии и перестановки осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle \|Ax\|.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием в форме параллелограмма).

Существуют примеры норм, которые не определяются формулами "entrywise". Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму на (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Все вышеприведенные формулы также дают нормы без изменений. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Существуют также нормы на пространствах матриц (с действительными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы .

В абстрактной алгебре

Пусть будет конечным расширением поля неразделимой степени и пусть имеет алгебраическое замыкание Если различные вложения являются тогда норма Галуа -теории элемента есть значение Поскольку эта функция однородна степени , норма Галуа-теории не является нормой в смысле этой статьи. Однако корень -й степени нормы (предполагая, что это понятие имеет смысл) является нормой. ^[16] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{\mu },}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ ${\displaystyle [E:k]}$ ${\displaystyle [E:k]}$

Композиционные алгебры

Понятие нормы в композиционных алгебрах не разделяет обычные свойства нормы, поскольку допускаются нулевые векторы . Композиционная алгебра состоит из алгебры над полем, инволюции и квадратичной формы, называемой «нормой». ${\displaystyle N(z)}$ ${\displaystyle (A,{}^{*},N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle {}^{*},}$ ${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$

Характерной чертой композиционных алгебр является свойство гомоморфизма : для произведения двух элементов и композиционной алгебры ее норма удовлетворяет В случае алгебр с делением и композиционной алгебры норма является квадратом нормы, рассмотренной выше. В этих случаях норма является определенной квадратичной формой . В расщепляемых алгебрах норма является изотропной квадратичной формой . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle wz}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Характеристики

Для любой нормы в векторном пространстве справедливо обратное неравенство треугольника : если — непрерывное линейное отображение между нормированными пространствами, то норма и норма транспонированного значения равны . ^[17] ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}$$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Для норм имеем неравенство Гёльдера ^[18]. Частным случаем этого является неравенство Коши–Шварца : ^[18] ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$ $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}$$

Иллюстрации единичных окружностей в различных нормах.

Каждая норма является полунормой и, таким образом, удовлетворяет всем свойствам последней . В свою очередь, каждая полунорма является сублинейной функцией и, таким образом, удовлетворяет всем свойствам последней . В частности, каждая норма является выпуклой функцией .

Эквивалентность

Понятие единичной окружности (множество всех векторов нормы 1) различно в разных нормах: для 1-нормы единичная окружность — это квадрат , ориентированный как ромб; для 2-нормы (евклидовой нормы) — это хорошо известная единичная окружность ; в то время как для бесконечной нормы — это квадрат, выровненный по осям. Для любой -нормы это суперэллипс с совпадающими осями (см. прилагаемую иллюстрацию). В силу определения нормы единичная окружность должна быть выпуклой и центрально-симметричной (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, а для -нормы). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$

В терминах векторного пространства полунорма определяет топологию на пространстве, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать различные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Топология, определенная таким образом (либо нормой, либо полунормой), может быть понята либо в терминах последовательностей, либо открытых множеств. Говорят, что последовательность векторов сходится по норме к , если как Эквивалентно, топология состоит из всех множеств, которые могут быть представлены как объединение открытых шаров . Если является нормированным пространством, то ^[19] ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

Две нормы и на векторном пространстве называются ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle X}$эквивалентны, если они индуцируют одну и ту же топологию,^[9]что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числаитакие, что для всех Например, еслинато^[20] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$ ${\displaystyle p>r\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

В частности, То есть, Если векторное пространство является конечномерным действительным или комплексным, то все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны. $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

Эквивалентные нормы определяют те же понятия непрерывности и сходимости и для многих целей не нуждаются в различении. Точнее, однородная структура, определяемая эквивалентными нормами на векторном пространстве, является однородно изоморфной .

Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества

Все полунормы на векторном пространстве можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств Каждому такому подмножеству соответствует полунорма, называемая калибровкой , определяемая как , где — инфимум , со свойством , что Обратно: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{A}}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}$$ ${\displaystyle \inf _{}}$ $${\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}$$

Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальный базис , состоящий из абсолютно выпуклых множеств. Обычный метод построения такого базиса — использовать семейство полунорм , разделяющее точки : совокупность всех конечных пересечений множеств превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждое p является непрерывным . ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{p<1/n\}}$

Такой метод используется для проектирования слабых и слабых* топологий .

нормальный случай:

Предположим теперь, что содержит единичный , поскольку является разделяющим , является нормой и является его открытым единичным шаром . Тогда является абсолютно выпуклой ограниченной окрестностью 0 и является непрерывным. ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p:}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A=\{p<1\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p=p_{A}}$

Обратное утверждение принадлежит Андрею Колмогорову : любое локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо . А именно:

Если — абсолютно выпуклая ограниченная окрестность нуля, то калибровка (то есть норма). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g_{X}}$ ${\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}$

Смотрите также

• Асимметричная норма  – Обобщение понятия нормы
• F-полунорма  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикойPages displaying short descriptions of redirect targets
• норма Гауэрса
• Норма Кадеца  – Все бесконечномерные, сепарабельные банаховы пространства гомеоморфны.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов  – Метод вычисления периодичности
• Расстояние Махаланобиса  – статистическая мера расстояния
• Величина (математика)  – свойство, определяющее сравнение и упорядочение
• Матричная норма  – норма на векторном пространстве матриц
• Расстояние Минковского  – Математическая метрика в нормированном векторном пространстве
• Функционал Минковского  – Функция, созданная из множества
• Норма оператора  – мера «размера» линейных операторов.
• Паранорма  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Соотношение норм и метрик  – Математическое пространство с понятием расстоянияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Полунорма  – неотрицательно-действительная функция на действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сублинейная функция  – Тип функции в линейной алгебре

Ссылки

1. Кнапп, AW (2005). Базовый реальный анализ . Биркхойзер. п. [1]. ISBN 978-0-817-63250-2.
2. "Псевдонорма - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2022-05-12 .
3. "Pseudonorm". www.spektrum.de (на немецком языке) . Получено 2022-05-12 .
4. Хайерс, Д. Х. (1939-09-01). «Псевдонормированные линейные пространства и абелевы группы». Duke Mathematical Journal . 5 (3). doi :10.1215/s0012-7094-39-00551-x. ISSN  0012-7094.
5. Pugh, CC (2015). Реальный математический анализ . Springer. стр. 28. ISBN 978-3-319-17770-0. Пруговечки, Э. (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве . стр. 20.
6. Kubrusly 2011, стр. 200.
7. Рудин, В. (1991). Функциональный анализ . стр. 25.
8. Наричи и Бекенштейн, 2011, стр. 120–121.
9. Конрад, Кит. "Эквивалентность норм" (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Получено 7 сентября 2020 г. .
10. Вилански 2013, стр. 20–21.
11. Weisstein, Eric W. "Vector Norm". mathworld.wolfram.com . Получено 24.08.2020 .
12. Чопра, Анил (2012). Динамика структур, 4-е изд . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-285803-8.
13. Weisstein, Eric W. "Norm". mathworld.wolfram.com . Получено 24.08.2020 .
14. За исключением случаев, когда она совпадает с евклидовой нормой и когда она тривиальна. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0},}$
15. Rolewicz, Stefan (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы , математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), т. 29 (перевод с польского под ред. Эвы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co.; PWN — Polish Scientific Publishers, стр. xvi, 524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371, OCLC  13064804
16. Ланг, Серж (2002) [1993]. Алгебра (пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 284. ISBN 0-387-95385-X.
17. Тревес 2006, стр. 242–243.
18. Голуб, Джин ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления (третье изд.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. стр. 53. ISBN 0-8018-5413-X.
19. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–113.
20. "Отношение между p-нормами". Mathematics Stack Exchange .

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (Второе изд.). Бостон: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.