Неевклидова геометрия

Две геометрии, основанные на аксиомах, тесно связанных с аксиомами, определяющими евклидову геометрию

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии

В математике неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомах , тесно связанных с теми, которые определяют евклидову геометрию . Поскольку евклидова геометрия лежит на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии , неевклидова геометрия возникает либо путем замены постулата параллельности альтернативой, либо путем ослабления метрического требования. В первом случае получаются гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия , традиционные неевклидовы геометрии. Когда метрическое требование ослаблено, то возникают аффинные плоскости, связанные с планарными алгебрами, которые приводят к кинематическим геометриям, которые также называются неевклидовой геометрией.

Принципы

Существенное различие между метрическими геометриями заключается в природе параллельных прямых. Пятый постулат Евклида , постулат параллельности , эквивалентен постулату Плейфера , который гласит, что в пределах двумерной плоскости для любой заданной прямой l и точки A , которая не лежит на l , существует ровно одна прямая, проходящая через A , которая не пересекает l . В гиперболической геометрии, напротив, существует бесконечно много прямых, проходящих через A, не пересекающих l , в то время как в эллиптической геометрии любая прямая, проходящая через A, пересекает l .

Другой способ описать различия между этими геометриями — рассмотреть две прямые линии, бесконечно продолженные в двумерной плоскости, которые обе перпендикулярны третьей линии (в той же плоскости):

• В евклидовой геометрии прямые остаются на постоянном расстоянии друг от друга (это означает, что прямая, проведенная перпендикулярно одной прямой в любой точке, пересечет другую прямую, а длина отрезка, соединяющего точки пересечения, остается постоянной) и называются параллельными.
• В гиперболической геометрии они «искривляются» друг от друга, увеличиваясь по мере удаления от точек пересечения с общим перпендикуляром; эти линии часто называют ультрапараллелями .
• В эллиптической геометрии линии «изгибаются» друг к другу и пересекаются.

История

Фон

Евклидова геометрия , названная в честь греческого математика Евклида , включает в себя некоторые из древнейших известных математических уравнений, и геометрии, отклоняющиеся от нее, не были широко признаны как законные до XIX века.

Дебаты, которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовых геометрий, начались почти сразу после того, как Евклид написал « Начала» . В « Началах » Евклид начинает с ограниченного числа предположений (23 определения, пять общих понятий и пять постулатов) и стремится доказать все остальные результаты ( предложения ) в работе. Самый известный из постулатов часто называют «Пятым постулатом Евклида» или просто постулатом о параллельных линиях , который в оригинальной формулировке Евклида выглядит так:

Если прямая падает на две прямые таким образом, что внутренние углы по одну сторону от нее вместе меньше двух прямых углов, то эти прямые, если их продолжить до бесконечности, встретятся с той стороны, по которую углы по одну сторону меньше двух прямых углов.

Другие математики придумали более простые формы этого свойства. Независимо от формы постулата, однако, он последовательно кажется более сложным, чем другие постулаты Евклида :

1. Провести прямую линию от любой точки до любой точки.
2. Произвести [продолжить] конечную прямую линию непрерывно по прямой линии.
3. Описать окружность с любым центром и расстоянием [радиусом].
4. Что все прямые углы равны между собой.

По крайней мере тысячу лет геометры были обеспокоены несопоставимой сложностью пятого постулата и считали, что его можно доказать как теорему из остальных четырех. Многие пытались найти доказательство от противного , включая Ибн аль-Хайтама (Альхазен, 11 век), ^[1] Омара Хайяма (12 век), Насир ад-Дина ат-Туси (13 век) и Джованни Джироламо Саккери (18 век).

Теоремы Ибн аль-Хайсама, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери , были «первыми несколькими теоремами гиперболической и эллиптической геометрий ». Эти теоремы вместе с их альтернативными постулатами, такими как аксиома Плейфера , сыграли важную роль в дальнейшем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело , Леви бен Герсона , Альфонсо , Джона Уоллиса и Саккери. ^[2] Все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию, однако, предоставили несовершенные доказательства постулата о параллельных прямых, зависящие от предположений, которые теперь признаются по сути эквивалентными постулату о параллельных прямых. Однако эти ранние попытки позволили получить некоторые ранние свойства гиперболической и эллиптической геометрий.

Хайям, например, пытался вывести его из эквивалентного постулата, который он сформулировал из «Принципов Философа» ( Аристотеля ): «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении, в котором они сходятся». ^[3] Затем Хайям рассмотрел три случая: прямой, тупой и острый, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и, доказав ряд теорем о них, он правильно опроверг тупой и острый случаи, основанные на своем постулате, и, следовательно, вывел классический постулат Евклида, который он не осознавал, был эквивалентен его собственному постулату. Другим примером является сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), который написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой была представлена ​​другая гипотеза, эквивалентная постулату о параллельных. «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих положений из « Начал ». ^{[4] [5]} Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами, включая Саккери ^[4], который критиковал эту работу, а также работу Валлиса. ^[6]

Джордано Витале в своей книге «Возвращение Евклида» (1680, 1686) использовал четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены от основания AB и вершины CD, то AB и CD равноудалены всюду.

В работе под названием «Euclides ab Omni Naevo Vindicatus» ( «Евклид, свободный от всех недостатков» ), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отверг эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и принялся за доказательство большого количества результатов в гиперболической геометрии.

В конце концов он достиг точки, в которой он считал, что его результаты продемонстрировали невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, по-видимому, основывалось на евклидовых предпосылках, поскольку не было никакого логического противоречия. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не осознал этого.

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал, Theorie der Parallellinien, в которой он попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, теперь известной как четырехугольник Ламберта , четырехугольник с тремя прямыми углами (можно считать половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении об остром угле. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не развил эту идею дальше. ^[7]

В то время было широко распространено мнение, что Вселенная работает в соответствии с принципами евклидовой геометрии. ^[8]

Открытие неевклидовой геометрии

Начало 19 века, наконец, стало свидетелем решающих шагов в создании неевклидовой геометрии. Около 1813 года Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт ^[9] разработали зародышевые идеи неевклидовой геометрии, но ни один из них не опубликовал никаких результатов. Племянник Швейкарта Франц Тауринус опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, однако, признавая внутреннюю согласованность гиперболической геометрии, он все еще верил в особую роль евклидовой геометрии. ^[10]

Затем, в 1829–1830 годах русский математик Николай Иванович Лобачевский и в 1832 году венгерский математик Янош Бойяи отдельно и независимо опубликовали трактаты по гиперболической геометрии. Следовательно, гиперболическая геометрия называется геометрией Лобачевского или геометрией Бойяи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бойяи, когда ему показали работу младшего Бойяи, что он разработал такую ​​геометрию несколькими годами ранее ^[11] , хотя он ее не опубликовал. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бойяи разработал геометрию, в которой как евклидова, так и гиперболическая геометрия возможны в зависимости от параметра  k . Бойяи завершает свою работу указанием на то, что с помощью одних лишь математических рассуждений невозможно решить, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук.

Бернхард Риман в своей знаменитой лекции 1854 года основал область римановой геометрии , обсуждая, в частности, идеи, которые сейчас называются многообразиями , римановой метрикой и кривизной . Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, дав формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в евклидовом пространстве . Простейшая из них называется эллиптической геометрией и считается неевклидовой геометрией из-за отсутствия в ней параллельных прямых. ^[12]

Формулируя геометрию в терминах тензора кривизны , Риман позволил неевклидовой геометрии применяться к более высоким измерениям. Бельтрами (1868) был первым, кто применил геометрию Римана к пространствам отрицательной кривизны.

Терминология

Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». ^[13] Он имел в виду свою собственную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского . Некоторые современные авторы до сих пор используют общий термин «неевклидова геометрия» для обозначения гиперболической геометрии . ^[14]

Артур Кэли заметил, что расстояние между точками внутри конического сечения можно определить через логарифм и проекционную функцию двойного отношения . Метод стал называться метрикой Кэли–Клейна , поскольку Феликс Клейн использовал его для описания неевклидовых геометрий в статьях ^[15] в 1871 и 1873 годах, а позднее в форме книги. Метрики Кэли–Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрических геометрий, а также евклидовой геометрии.

Клейн ввел термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он назвал евклидову геометрию параболической , термин, который впоследствии вышел из употребления ^[16] ). Его влияние привело к тому, что в настоящее время термин «неевклидова геометрия» используется для обозначения либо «гиперболической», либо «эллиптической» геометрии.

Некоторые математики хотели бы расширить список геометрий, которые следует называть «неевклидовыми», различными способами. ^[17]

Существует много видов геометрии, которые существенно отличаются от евклидовой геометрии, но также не обязательно включаются в общепринятое значение «неевклидовой геометрии», например, более общие примеры римановой геометрии .

Аксиоматическая основа неевклидовой геометрии

Евклидова геометрия может быть аксиоматически описана несколькими способами. Однако изначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не является одной из них, поскольку его доказательства опирались на несколько невысказанных предположений, которые также должны были быть приняты в качестве аксиом. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом ^[18], наиболее близко следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие другие наборы неопределенных терминов, получают ту же геометрию другими путями. Все подходы, однако, имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида, постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфера, в то время как Биркгоф , например, использует аксиому, которая гласит, что «существует пара подобных, но не конгруэнтных треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату о параллельных линиях, в какой бы форме она ни принимала, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, производит абсолютную геометрию . Поскольку первые 28 предложений Евклида (в «Началах ») не требуют использования постулата о параллельных линиях или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии. ^[19]

Чтобы получить неевклидову геометрию, параллельный постулат (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Плейфера , поскольку это составное утверждение (... существует один и только один ...), может быть сделано двумя способами:

• Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой, либо не будет существовать прямых, проходящих через точку параллельно данной прямой. В первом случае замена постулата параллельности (или его эквивалента) утверждением «В плоскости, заданной точкой P и прямой l, не проходящей через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекают l » и сохранение всех остальных аксиом дает гиперболическую геометрию . ^[20]
• Второй случай не так легко решается. Простая замена постулата о параллельности утверждением: «На плоскости, заданной точкой P и прямой l, не проходящей через P, все прямые, проходящие через P, пересекают l », не дает согласованного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, ^[21], но это утверждение говорит, что параллельных прямых нет. Эта проблема была известна (в другом обличье) Хайяму, Саккери и Ламберту и была основой для их отказа от того, что было известно как «случай тупого угла». Чтобы получить согласованный набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, необходимо подправить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти корректировки имеют эффект изменения второго постулата Евклида с утверждения о том, что отрезки прямых могут быть продолжены до бесконечности, до утверждения о том, что прямые неограниченны. Эллиптическая геометрия Римана оказывается наиболее естественной геометрией, удовлетворяющей этой аксиоме.

Модели

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

На сфере сумма углов треугольника не равна 180°. Поверхность сферы не является евклидовым пространством, но локально законы евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В небольшом треугольнике на поверхности Земли сумма углов очень близка к 180°.

Модели неевклидовой геометрии — это математические модели геометрий, которые являются неевклидовыми в том смысле, что невозможно провести ровно одну прямую, параллельную данной прямой l через точку, которая не лежит на l . В гиперболических геометрических моделях, напротив, существует бесконечно много прямых, проходящих через A и параллельных l , а в эллиптических геометрических моделях параллельных прямых не существует. (Дополнительную информацию см. в статьях о гиперболической геометрии и эллиптической геометрии .)

Евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоской плоскости ». Простейшей моделью для эллиптической геометрии является сфера, где линии являются « большими окружностями » (например, экватор или меридианы на глобусе ), а противоположные друг другу точки идентифицируются (считаются одинаковыми). Псевдосфера имеет соответствующую кривизну для моделирования гиперболической геометрии.

Эллиптическая геометрия

Простейшей моделью для эллиптической геометрии является сфера, где линии являются « большими окружностями » (например, экватор или меридианы на глобусе ), а противоположные друг другу точки (называемые антиподальными точками ) идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости . Разница в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, тогда как в качестве модели проективной плоскости такой метрики нет.

В эллиптической модели для любой заданной прямой l и точки A , которая не лежит на прямой l , все прямые, проходящие через A, будут пересекать l .

Гиперболическая геометрия

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бойяи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». Модель для гиперболической геометрии была разработана Эудженио Бельтрами в 1868 году, который первым показал, что поверхность, называемая псевдосферой , имеет подходящую кривизну для моделирования части гиперболического пространства , а во второй статье в том же году определил модель Клейна , которая моделирует все гиперболическое пространство, и использовал это, чтобы показать, что евклидова геометрия и гиперболическая геометрия были равносогласованными , так что гиперболическая геометрия была логически непротиворечивой тогда и только тогда, когда была непротиворечивой евклидова геометрия. (Обратное следствие следует из модели орисферы евклидовой геометрии.)

В гиперболической модели в двумерной плоскости для любой заданной прямой l и точки A , не лежащей на l , существует бесконечно много прямых, проходящих через A и не пересекающих l .

В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это вносит искажение восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь искусственностью способа их представления.

Трехмерная неевклидова геометрия

В трех измерениях существует восемь моделей геометрий. ^[22] Существуют евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как и в двумерном случае; смешанные геометрии, которые являются частично евклидовыми и частично гиперболическими или сферическими; скрученные версии смешанных геометрий; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т. е. каждое направление ведет себя по-разному).

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, имеют много схожих свойств, а именно тех, которые не зависят от природы параллельности. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией ). Однако свойства, которые отличают одну геометрию от других, исторически получили наибольшее внимание.

Помимо поведения прямых относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы имеем также следующее:

• Четырехугольник Ламберта — это четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта острый , если геометрия гиперболическая, прямой, если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату о параллельных) только в евклидовой геометрии.
• Четырехугольник Саккери — это четырехугольник с двумя сторонами одинаковой длины, обе из которых перпендикулярны стороне, называемой основанием . Два других угла четырехугольника Саккери называются углами вершины и имеют одинаковую меру. Углы вершины четырехугольника Саккери являются острыми, если геометрия гиперболическая, прямыми, если геометрия евклидова, и тупыми, если геометрия эллиптическая.
• Сумма мер углов любого треугольника меньше 180°, если геометрия гиперболическая, равна 180°, если геометрия евклидова, и больше 180°, если геометрия эллиптическая. Дефект треугольника — это численное значение (180° − сумма мер углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положителен, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицателен.

Важность

До того, как Бельтрами, Клейн и Пуанкаре представили модели неевклидовой плоскости, евклидова геометрия была неоспоримой математической моделью пространства . Более того, поскольку сущность предмета в синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла собой абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовых геометрий имело волновой эффект, который вышел далеко за пределы математики и науки. Трактовка человеческого знания философом Иммануилом Кантом имела особую роль для геометрии. Это был его главный пример синтетического априорного знания; не полученного из чувств и не выведенного посредством логики — наше знание пространства было истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция этой неизменно истинной геометрии была евклидовой. Теология также была затронута изменением от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика связана с окружающим ее миром, что было результатом этого сдвига парадигмы. ^[23]

Неевклидова геометрия является примером научной революции в истории науки , в которой математики и ученые изменили свой взгляд на свои предметы. ^[24] Некоторые геометры называли Лобачевского « Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ. ^{[25] [26]}

Существование неевклидовых геометрий оказало влияние на интеллектуальную жизнь викторианской Англии во многих отношениях ^[27] и, в частности, было одним из ведущих факторов, которые вызвали переосмысление преподавания геометрии на основе «Начал» Евклида . Этот вопрос учебной программы горячо обсуждался в то время и даже был предметом книги « Евклид и его современные соперники» , написанной Чарльзом Лютвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл , автором «Алисы в стране чудес» .

Планарные алгебры

В аналитической геометрии плоскость описывается декартовыми координатами :

${\displaystyle C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$

Точки иногда отождествляют с обобщенными комплексными числами z = x + y ε, где ε ² ∈ { –1, 0, 1} .

Евклидова плоскость соответствует случаю ε ² = −1 , мнимая единица . Поскольку модуль z определяется как

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(x-y\epsilon )=x^{2}+y^{2},}$эта величина представляет собой квадрат евклидова расстояния между z и началом координат.

Например, { z | zz * = 1} — единичная окружность .

Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. Когда ε ² = +1 , гиперболическая единица . Тогда z является расщепленно-комплексным числом и условно j заменяет эпсилон. Тогда

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!}$

и { z | zz * = 1} — единичная гипербола .

Когда ε ² = 0 , то z является дуальным числом . ^[28]

Этот подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в плоскости дуальных чисел и гиперболического угла в плоскости расщепленного комплекса соответствуют углу в евклидовой геометрии. Действительно, каждый из них возникает в полярном разложении комплексного числа z . ^[29]

Кинематическая геометрия

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с физической космологией, введенной Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время в математическую физику . Он понял, что подмногообразие событий на один момент собственного времени в будущем можно считать гиперболическим пространством трех измерений. ^{[30] [31]} Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн чертил это подмногообразие с помощью своей Алгебры физики и гиперболических кватернионов , хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии.

Неевклидовы планарные алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, расщепленное комплексное число z = e ^{a j} может представлять событие пространства-времени на один момент в будущем системы отсчета с быстротой a . Более того, умножение на z равнозначно лоренцевскому бусту, отображающему систему с быстротой ноль в систему с быстротой a .

Кинематическое исследование использует дуальные числа для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения эквивалентны отображению сдвига в линейной алгебре: ${\displaystyle z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$ ${\displaystyle x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.}$

С двойными числами отображение выглядит так ^[32] ${\displaystyle t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .}$

Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был выдвинут Э. Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в Трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переделали аналитическую геометрию, подразумеваемую в алгебре расщепленных комплексных чисел, в синтетическую геометрию предпосылок и выводов. ^{[33] [34]}

Вымысел

Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .

• В 1895 году Герберт Уэллс опубликовал рассказ «Замечательный случай глаз Дэвидсона». Чтобы оценить этот рассказ, нужно знать, как определяются антиподальные точки на сфере в модели эллиптической плоскости. В рассказе, посреди грозы, Сидни Дэвидсон видит «Волны и замечательно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории Технического колледжа Харлоу. В конце рассказа Дэвидсон оказывается свидетелем того, как HMS Fulmar проплыл у острова Антиподов .
• Неевклидова геометрия иногда связана с влиянием писателя ужасов 20-го века Г. Ф. Лавкрафта . В его работах многие неестественные вещи следуют своим собственным уникальным законам геометрии: в « Мифах Ктулху» Лавкрафта затонувший город Р'льех характеризуется своей неевклидовой геометрией. В значительной степени подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку ее явная врожденная неправильность, как говорят, способна свести с ума тех, кто на нее смотрит. ^[35]
• Главный герой книги Роберта Пирсига « Дзен и искусство ухода за мотоциклом» неоднократно упоминал риманову геометрию .
• В «Братьях Карамазовых» Достоевский рассуждает о неевклидовой геометрии через своего персонажа Ивана.
• В романе Кристофера Приста «Перевернутый мир» описываются трудности жизни на планете, имеющей форму вращающейся псевдосферы .
• В произведении Роберта Хайнлайна «Число зверя» неевклидова геометрия используется для объяснения мгновенного перемещения в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• Zeno Rogue's HyperRogue — игра в жанре roguelike, действие которой происходит на гиперболической плоскости , позволяющая игроку ощутить многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии. ^[36]
• В научно-фантастическом сеттинге Renegade Legion для военной игры FASA , ролевой игры и художественной литературы путешествия и связь со скоростью, превышающей скорость света, возможны благодаря использованию «Полимерной неевклидовой геометрии» Се Хо, опубликованной где-то в середине XXII века.
• В романе Яна Стюарта «Флаттерландия» главная героиня Виктория Лайн посещает всевозможные неевклидовы миры.

Смотрите также

• Евклидово пространство
• Гиперболическое пространство
• сфера Ленарта
• Проективная геометрия
• Рост неевклидовой поверхности
• Параллельно (геометрия)#В неевклидовой геометрии
• Сферическая геометрия#Отношение к подобным геометриям

Примечания

1. Эдер, Мишель (2000), Взгляды на постулат о параллельных линиях Евклида в Древней Греции и средневековом исламе, Ратгерский университет , получено 23 января 2008 г.
2. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич, «Геометрия», стр. 470, в Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Энциклопедия истории арабской науки , т. 2, стр. 447–494, Routledge , Лондон и Нью-Йорк:

   «Три ученых, Ибн аль-Хайсам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой была полностью признана только в девятнадцатом веке. По существу, их предложения относительно свойств четырехугольника, которые они рассматривали, предполагая, что некоторые из углов этих фигур были острыми или тупыми, воплощали в себе первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрий. Их другие предложения показали, что различные геометрические утверждения были эквивалентны постулату Евклида V. Чрезвычайно важно, что эти ученые установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырехугольника. Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики напрямую повлияли на соответствующие исследования своих европейских коллег. Первая европейская попытка доказать постулат о параллельных прямых — предпринятая Витело , польским ученым тринадцатого века, при пересмотре «Книги оптики» Ибн аль- Хайсама ( Kitab al-Manazir ) – несомненно, был подсказан арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в четырнадцатом веке еврейским ученым Леви бен Герсоном , жившим на юге Франции, и вышеупомянутым Альфонсо из Испании, непосредственно граничат с доказательством Ибн аль-Хайтама. Выше мы продемонстрировали, что « Exposition of Euclid» Псевдо-Туси стимулировало исследования теории параллельных линий как Дж. Уоллиса, так и Дж. Саккери .

3. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», стр. 467, в Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Энциклопедия истории арабской науки , т. 2, стр. 447–494, Routledge , ISBN 0-415-12411-5 
4. Victor J. Katz (1998), История математики: Введение , стр. 270–271, Addison–Wesley , ISBN 0-321-01618-1 : 

   «Но в рукописи, вероятно, написанной его сыном Садр ад-Дином в 1298 году, основанной на более поздних мыслях Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы заключается в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работы Саккери и в конечном итоге для открытия неевклидовой геометрии».

5. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Roshdi Rashed, ред., Encyclopedia of the History of Arabic Science , т. 2, стр. 447–494 [469], Routledge , Лондон и Нью-Йорк:

   «В «Изложении Евклида» Псевдо-Туси [...] вместо постулата используется другое утверждение. Оно не зависит от постулата Евклида V и его легко доказать. [...] Он существенно пересмотрел как систему аксиом и постулатов Евклида, так и доказательства многих положений из « Начал ».

6. Джованни Джироламо Саккери из MacTutor
7. O'Connor, JJ; Robertson, EF "Johann Heinrich Lambert" . Получено 16 сентября 2011 г.
8. Примечательным исключением является Дэвид Юм, который еще в 1739 году серьезно рассматривал возможность того, что наша Вселенная неевклидова; см. David Hume (1739/1978) A Treatise of Human Nature , LA Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), стр. 51–52.
9. В письме от декабря 1818 года Фердинанд Карл Швейкарт (1780–1859) набросал несколько идей о неевклидовой геометрии. Письмо было переслано Гауссу в 1819 году бывшим учеником Гаусса Герлингом. В своем ответе Герлингу Гаусс похвалил Швейкарта и упомянул о своих собственных, более ранних исследованиях неевклидовой геометрии. См.:
   • Карл Фридрих Гаусс, Werke (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1900), том. 8, стр. 180–182.
   • Переводы письма Швейкарта на английский язык и ответа Гаусса Герлингу можно найти в: Курсовые заметки: «Гаусс и неевклидова геометрия», Университет Ватерлоо, Онтарио, Канада; см. особенно страницы 10 и 11.
   • Письма Швейкарта и сочинения его племянника Франца Адольфа Таурина , который также интересовался неевклидовой геометрией и который в 1825 году опубликовал краткую книгу об аксиоме параллельности, можно найти в: Пауль Штекель и Фридрих Энгель, Die theorie der Parallellinien von Euklid. bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometry (Теория параллельных линий от Евклида до Гаусса, архив неевклидовой геометрии), (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1895), страницы 243 и далее.
10. Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития. Чикаго: Открытый суд.
11. В письме Вольфгангу (Фаркасу) Бойяи от 6 марта 1832 года Гаусс утверждает, что работал над этой проблемой тридцать или тридцать пять лет (Faber 1983, стр. 162). В своем письме 1824 года Тауринусу (Faber 1983, стр. 158) он утверждал, что работал над этой проблемой более 30 лет, и предоставил достаточно подробностей, чтобы показать, что он действительно проработал детали. Согласно Фаберу (1983, стр. 156), только около 1813 года Гаусс пришел к признанию существования новой геометрии.
12. Однако, чтобы сделать эту геометрию осуществимой, необходимо изменить и другие аксиомы, помимо постулата о параллельности.
13. Феликс Кляйн, Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , Дувр, 1948 (Переиздание английского перевода 3-го издания, 1940. Первое издание на немецком языке, 1908.) стр. 176.
14. Например: Кульчицкий, Стефан (1961). Неевклидова геометрия . Пергам. С. 53.
    Ивасава, Кенкичи (1993). Алгебраические функции . Американское математическое общество. стр. 140. ISBN 9780821845950.
15. Ф. Кляйн, Über die sogenannte nichteuklidische Geometry, Mathematische Annalen , 4 (1871).
16. Евклидова плоскость по-прежнему называется параболической в ​​контексте конформной геометрии : см. теорему об униформизации .
17. например, Мэннинг 1963 и Яглом 1968
18. «Grundlagen der Geometrie» Гильберта согласно Smart 1997, стр. 416
19. (Смарт 1997, стр. 366)
20. хотя постулируются только две линии, легко показать, что таких линий должно быть бесконечное число.
21. «Начал» Евклида
22. * Уильям Терстон . Трехмерная геометрия и топология. Том 1. Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1997. x+311 стр. ISBN 0-691-08304-5 (подробное объяснение восьми геометрий и доказательство того, что их всего восемь) 
23. Имре Тот, «Gott und Geometry: Eine viktorianische Kontroverse», Evolutionstheorie und ihre Evolution , Дитер Хенрих, изд. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, группа 7, 1982), стр. 141–204.
24. см. Трюдо 1987, стр. vii-viii.
25. Белл, ET (1986). Люди математики . Touchstone Books. стр. 294. ISBN 978-0-671-62818-5.Автор приписывает эту цитату другому математику, Уильяму Кингдону Клиффорду .
26. Это цитата из предисловия переводчика Дж. Б. Холстеда к его переводу «Теории параллелей» 1914 года : «Тем, чем Везалий был для Галена , чем Коперник был для Птолемея , тем был Лобачевский для Евклида ». — У. К. Клиффорд
27. (Ричардс 1988)
28. Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , перевод Э. Примроуза с 1963 г. Русский оригинал, приложение «Неевклидовы геометрии на плоскости и комплексные числа», стр. 195–219, Academic Press , Нью-Йорк
29. Ричард К. Толман (2004) Теория относительности движения , стр. 194, §180 Неевклидов угол, §181 Кинематическая интерпретация угла в терминах скорости
30. Герман Минковский (1908–1909). «Пространство и время» (Wikisource).
31. Скотт Уолтер (1999) Неевклидов стиль специальной теории относительности
32. Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное изложение геометрии Галилея и принципа относительности Галилея, Springer ISBN 0-387-90332-1 
33. Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис (1912) «Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма» Труды Американской академии искусств и наук 48:387–507
34. Синтетическое пространство-время, сборник аксиом, использованных Уилсоном и Льюисом, и доказанных теорем. Архивировано WebCite
35. «Зов Ктулху».
36. "Сайт HyperRogue".

Ссылки

• A'Campo, Norbert и Papadopoulos, Athanase , (2012) Заметки о гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, т. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI:10.4171/105. 
• Андерсон, Джеймс В. Гиперболическая геометрия , второе издание, Springer, 2005
• Бельтрами, Эухенио Теория фундаменталя дельи спази ди криватура костанте , Аннали. di Mat., серия II 2 (1868), 232–255.
• Блюменталь, Леонард М. (1980), Современный взгляд на геометрию , Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-63962-2
• Кэрролл, Льюис Эвклид и его современные соперники , Нью-Йорк: Barnes and Noble, 2009 (переиздание) ISBN 978-1-4351-2348-9 
• HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , Издательство Университета Торонто , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN 0-88385-522-4 . 
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
• Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидовы, неевклидовы и релятивистские , 2-е издание, Clarendon Press .
• Гринберг, Марвин Джей Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история , 4-е изд., Нью-Йорк: WH Freeman, 2007. ISBN 0-7167-9948-0 
• Моррис Клайн (1972) Математическая мысль от древности до современности , Глава 36 Неевклидова геометрия, стр. 861–81, Oxford University Press .
• Бернард Х. Лавенда , (2012) «Новый взгляд на теорию относительности: одиссея в неевклидовых геометриях», World Scientific , стр. 696, ISBN 9789814340489 . 
• Николай Лобачевский (2010) Пангеометрия , Переводчик и редактор: А. Пападопулос, Серия «Наследие европейской математики», т. 4, Европейское математическое общество .
• Мэннинг, Генри Паркер (1963), Введение в неевклидову геометрию , Нью-Йорк: Довер
• Мешковский, Герберт (1964), Неевклидова геометрия , Нью-Йорк: Academic Press
• Милнор, Джон В. (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. Amer. Math. Soc. (NS) Том 6, Номер 1, стр. 9–24.
• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии , Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Смарт, Джеймс Р. (1997), Современные геометрии (5-е изд.) , Пасифик Гроув: Брукс/Коул, ISBN 0-534-35188-3
• Стюарт, Ян (2001) Flatterland , Нью-Йорк: Perseus Publishing ISBN 0-7382-0675-X (мягкая обложка) 
• Джон Стиллвелл (1996) Источники гиперболической геометрии , Американское математическое общество ISBN 0-8218-0529-0 . 
• Трудо, Ричард Дж. (1987), Неевклидова революция , Бостон: Birkhauser, ISBN 0-8176-3311-1
• А. Пападопулос и Гийом Тере (2014) La theorie des parallèles de Иоганна Генриха Ламберта , Критическое издание мемуаров Ламберта с французским переводом, с историческими и математическими примечаниями и комментариями под ред. Бланшар, колл. Sciences dans l'Histoire, ISBN Парижа 978-2-85367-266-5 

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с неевклидовой геометрией на Wikimedia Commons

• Роберто Бонола (1912) Неевклидова геометрия, Открытый суд, Чикаго.
• Статья из архива MacTutor о неевклидовой геометрии
• Неевклидова геометрия на PlanetMath .
• Неевклидовы геометрии из Энциклопедии математики Европейского математического общества и Springer Science+Business Media
• Синтетическое пространство-время, сборник аксиом, использованных Уилсоном и Льюисом, и доказанных теорем. Архивировано WebCite .