История алгебры

Алгебру можно по существу рассматривать как выполнение вычислений, подобных вычислениям арифметики , но с нечисловыми математическими объектами. Однако до 19 века алгебра в основном состояла из теории уравнений . Например, основная теорема алгебры принадлежит к теории уравнений и в настоящее время не считается принадлежащей алгебре (фактически, каждое доказательство должно использовать полноту действительных чисел , что не является алгебраическим свойством).

В статье описывается история теории уравнений, именуемой в данной статье «алгеброй», от истоков до возникновения алгебры как отдельного раздела математики .

Этимология

Слово «алгебра» происходит от арабского слова الجبر al-jabr , а это происходит от трактата, написанного в 830 году средневековым персидским математиком Аль-Хорезми , чье арабское название Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala , можно перевести как «Краткая книга об исчислении путем завершения и уравновешивания» . Трактат предусматривал систематическое решение линейных и квадратных уравнений . Согласно одной истории, «неясно, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычное толкование похоже на то, что подразумевается в предыдущем переводе. Слово «аль-джабр», по-видимому, означало что-то вроде «восстановления» или «завершения» и, по-видимому, относилось к перестановке вычитаемых членов на другую сторону уравнения; говорят, что слово «мукабала» относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть отмене подобных членов на противоположных сторонах уравнения. Арабское влияние в Испании, долгое время после времен аль-Хорезми, обнаруживается в « Дон Кихоте» , где слово «algebrista» использовалось для обозначения костоправа, то есть «восстановителя»». ^[1] Этот термин используется аль-Хорезми для описания введенных им операций « редукция » и «уравновешивание», имея в виду перенесение вычитаемых членов на другую сторону уравнения, то есть отмену подобных членов на противоположных сторонах уравнения. ^[2]

Этапы алгебры

Алгебраическое выражение

Алгебра не всегда использовала символику, которая сейчас повсеместно распространена в математике; вместо этого она прошла через три отдельных этапа. Этапы развития символической алгебры примерно следующие: ^[3]

• Риторическая алгебра , в которой уравнения записываются в полных предложениях. Например, риторическая форма — «Вещь плюс один равно двум» или, возможно, «Вещь плюс 1 равно 2». Риторическая алгебра была впервые разработана древними вавилонянами и оставалась доминирующей вплоть до XVI века. ${\displaystyle x+1=2}$

• Синкопированная алгебра , в которой используется некоторая символика, но которая не содержит всех характеристик символической алгебры. Например, может быть ограничение, что вычитание может быть использовано только один раз в пределах одной стороны уравнения, что не относится к символической алгебре. Синкопированное алгебраическое выражение впервые появилось в « Арифметике » Диофанта (3 век н. э.), а затем в «Брахма Спхута Сиддханте» Брахмагупты (7 век).
• Символическая алгебра , в которой используется полная символика. Ранние шаги в этом направлении можно увидеть в работах нескольких исламских математиков, таких как Ибн аль-Банна (13–14 века) и аль-Каласади (15 век), хотя полностью символическая алгебра была разработана Франсуа Виет (16 век). Позже Рене Декарт (17 век) ввел современные обозначения (например, использование x — см. ниже) и показал, что проблемы, возникающие в геометрии, могут быть выражены и решены в терминах алгебры ( декартова геометрия ).

Столь же важным, как и использование или отсутствие символики в алгебре, была степень рассматриваемых уравнений. Квадратные уравнения играли важную роль в ранней алгебре; и на протяжении большей части истории, вплоть до раннего современного периода, все квадратные уравнения классифицировались как принадлежащие к одной из трех категорий.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

где и положительны. Эта трихотомия возникает потому, что квадратные уравнения вида с и положительны, не имеют положительных корней . ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Между риторическими и синкопированными стадиями символической алгебры классическими греческими и ведическими индийскими математиками была разработана геометрическая конструктивная алгебра , в которой алгебраические уравнения решались посредством геометрии. Например, уравнение вида решалось путем нахождения стороны квадрата площади ${\displaystyle x^{2}=A}$ ${\displaystyle A.}$

Концептуальные этапы

В дополнение к трем стадиям выражения алгебраических идей некоторые авторы признавали четыре концептуальные стадии в развитии алгебры, которые происходили вместе с изменениями в выражении. Эти четыре стадии были следующими: ^[5]

• Геометрическая стадия , где концепции алгебры в основном геометрические. Это восходит к вавилонянам и продолжилось греками , а позже было возрождено Омаром Хайямом .
• Стадия решения статических уравнений , где цель состоит в том, чтобы найти числа, удовлетворяющие определенным отношениям. Отход от геометрической стадии восходит к Диофанту и Брахмагупте , но алгебра не перешла решительно к стадии решения статических уравнений, пока Аль-Хорезми не представил обобщенные алгоритмические процессы для решения алгебраических задач.
• Стадия динамической функции , где движение является базовой идеей. Идея функции начала появляться с Шарафом ад-Дином ат-Туси , но алгебра не перешла решительно на стадию динамической функции до Готфрида Лейбница .
• Абстрактная стадия , где математическая структура играет центральную роль. Абстрактная алгебра в значительной степени является продуктом 19-го и 20-го веков.

Вавилон

Планшет Plimpton 322

Истоки алгебры можно проследить до древних вавилонян , ^[6] которые разработали позиционную систему счисления , которая очень помогла им в решении их риторических алгебраических уравнений. Вавилоняне не интересовались точными решениями, а скорее приближениями, и поэтому они обычно использовали линейную интерполяцию для приближения промежуточных значений. ^[7] Одной из самых известных табличек является табличка Плимптона 322 , созданная около 1900–1600 гг. до н. э., которая дает таблицу пифагорейских троек и представляет собой некоторые из самых передовых математических представлений до греческой математики. ^[8]

Вавилонская алгебра была намного более продвинутой, чем египетская алгебра того времени; в то время как египтяне в основном были заняты линейными уравнениями, вавилоняне больше интересовались квадратными и кубическими уравнениями . ^[7] Вавилоняне разработали гибкие алгебраические операции, с помощью которых они могли складывать равные числа с равными и умножать обе части уравнения на одинаковые величины, чтобы исключить дроби и множители. ^[7] Они были знакомы со многими простыми формами факторизации , ^[7] трехчленными квадратными уравнениями с положительными корнями, ^[9] и многими кубическими уравнениями, ^[10] хотя неизвестно, смогли ли они сократить общее кубическое уравнение. ^[10]

Древний Египет

Часть папируса Ринда

Древнеегипетская алгебра имела дело в основном с линейными уравнениями, в то время как вавилоняне сочли эти уравнения слишком элементарными и развили математику на более высоком уровне, чем египтяне. ^[7]

Папирус Ринда, также известный как папирус Ахмеса, — древнеегипетский папирус, написанный около 1650 г. до н. э. Ахмесом, который переписал его с более ранней работы, которую он датировал периодом между 2000 и 1800 гг. до н. э. ^[11] Это самый обширный древнеегипетский математический документ, известный историкам. ^[12] Папирус Ринда содержит задачи, в которых решаются линейные уравнения вида и , где и известны, а что называется «аха» или куча, является неизвестным. ^[13] Решения, возможно, но маловероятно, были получены с помощью «метода ложного положения», или regula falsi , где сначала определенное значение подставляется в левую часть уравнения, затем выполняются необходимые арифметические вычисления, в-третьих, результат сравнивается с правой частью уравнения, и, наконец, правильный ответ находится с помощью использования пропорций. В некоторых задачах автор «проверяет» свое решение, тем самым записывая одно из самых ранних известных простых доказательств. ^[13] ${\displaystyle x+ax=b}$ ${\displaystyle x+ax+bx=c}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x,}$

греческая математика

Один из древнейших сохранившихся фрагментов « Начал » Евклида , найденный в Оксиринхе и датируемый примерно 100 годом н. э. ( P. Oxy. 29 ). Диаграмма прилагается к Книге II, Предложение 5. ^[14]

Иногда утверждается, что у греков не было алгебры, но это оспаривается. ^[15] Ко времени Платона греческая математика претерпела радикальные изменения. Греки создали геометрическую алгебру , в которой термины были представлены сторонами геометрических объектов, ^[16] обычно линиями, с которыми были связаны буквы, ^[17] и с помощью этой новой формы алгебры они смогли находить решения уравнений, используя процесс, который они изобрели, известный как «приложение площадей». ^[16] «Приложение площадей» является лишь частью геометрической алгебры и оно подробно рассмотрено в «Началах » Евклида .

Примером геометрической алгебры может служить решение линейного уравнения. Древние греки решали это уравнение, рассматривая его как равенство площадей, а не как равенство отношений и. Греки строили прямоугольник со сторонами длины , а затем расширяли сторону прямоугольника до длины и, наконец, завершали расширенный прямоугольник, чтобы найти сторону прямоугольника, которая является решением. ^[16] ${\displaystyle ax=bc.}$ ${\displaystyle a:b}$ ${\displaystyle c:x.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle a,}$

Цветение тимарида

Ямвлих в Introductio arithmatica говорит, что Тимарид (ок. 400 г. до н. э. – ок. 350 г. до н. э.) работал с одновременными линейными уравнениями. ^[18] В частности, он создал знаменитое в то время правило, известное как «цветок Тимара», которое гласит, что:

Если дана сумма величин, а также сумма каждой пары, содержащей определенную величину, то эта определенная величина равна разности между суммами этих пар и первой данной суммой. ^[19] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/(n-2)}$

Доказательство из «Начал» Евклида о том, что для данного отрезка прямой существует равносторонний треугольник, включающий этот отрезок в качестве одной из своих сторон.

или, используя современную нотацию, решение следующей системы линейных уравнений с неизвестными, ^[18] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$
${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$
${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

является,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Ямвлих продолжает описывать, как некоторые системы линейных уравнений, которые не находятся в этой форме, могут быть представлены в этой форме. ^[18]

Евклид Александрийский

Эллинистический математик Евклид подробно изложил геометрическую алгебру.

Евклид ( греч . Εὐκλείδης ) был греческим математиком, который процветал в Александрии , Египет , почти наверняка во время правления Птолемея I (323–283 до н. э.). ^{[20] [21]} Ни год, ни место его рождения ^[20] не были установлены, как и обстоятельства его смерти.

Евклид считается «отцом геометрии ». Его «Начала» — самый успешный учебник в истории математики . ^[20] Хотя он и является одним из самых известных математиков в истории, ему не приписывают никаких новых открытий; скорее, его помнят за его выдающиеся объяснительные способности. ^[22] «Начала » — это не собрание всех греческих математических знаний на тот момент, как иногда думают; скорее, это элементарное введение в них. ^[23]

Элементы

Геометрические работы греков, типичным примером которых являются « Начала» Евклида , обеспечили основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения частных задач, в более общие системы формулирования и решения уравнений.

Книга II «Начал » содержит четырнадцать предложений, которые во времена Евклида были чрезвычайно значимы для выполнения геометрической алгебры. Эти предложения и их результаты являются геометрическими эквивалентами нашей современной символической алгебры и тригонометрии. ^[15] Сегодня, используя современную символическую алгебру, мы позволяем символам представлять известные и неизвестные величины (т. е. числа), а затем применяем к ним алгебраические операции, в то время как во времена Евклида величины рассматривались как отрезки линий, а затем результаты выводились с использованием аксиом или теорем геометрии. ^[15]

Многие основные законы сложения и умножения включены или доказаны геометрически в Элементах . Например, предложение 1 Книги II гласит:

Если даны две прямые линии и одна из них разрезана на любое количество отрезков, то прямоугольник, заключенный между двумя прямыми линиями, равен прямоугольникам, заключенным между неразрезанной прямой линией и каждым из отрезков.

Но это не более чем геометрическая версия (левого) распределительного закона ; а в книгах V и VII «Начал» демонстрируются коммутативные и ассоциативные законы для умножения . [ 15 ^] ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$

Многие основные уравнения также были доказаны геометрически. Например, предложение 5 в Книге II доказывает, что ^[24] , а предложение 4 в Книге II доказывает, что ^[15] ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Кроме того, для многих уравнений даны также геометрические решения. Например, предложение 6 Книги II дает решение квадратного уравнения , а предложение 11 Книги II дает решение ^[25] ${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2},}$ ${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}.}$

Данные

Данные — это работа, написанная Евклидом для использования в школах Александрии, и она должна была использоваться в качестве сопутствующего тома к первым шести книгам «Начал» . Книга содержит около пятнадцати определений и девяносто пять утверждений, из которых около двух десятков утверждений служат алгебраическими правилами или формулами. ^[26] Некоторые из этих утверждений являются геометрическими эквивалентами решений квадратных уравнений. ^[26] Например, Данные содержат решения уравненийи знакомое вавилонское уравнение ^[26] ${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$ ${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.}$

Конические сечения

Коническое сечение — это кривая, которая получается в результате пересечения конуса с плоскостью . Существует три основных типа конических сечений: эллипсы (включая окружности ), параболы и гиперболы . Считается, что конические сечения были открыты Менехмом ^{[27] (ок. 380} г. до н. э. — ок. 320 г. до н. э.), и поскольку работа с коническими сечениями эквивалентна работе с их соответствующими уравнениями, они играли геометрические роли, эквивалентные кубическим уравнениям и другим уравнениям более высокого порядка.

Менехм знал, что в параболе выполняется уравнение, где — константа, называемая latus rectum , хотя он не знал о том, что любое уравнение с двумя неизвестными определяет кривую. ^[28] Он, по-видимому, вывел эти свойства конических сечений и другие. Используя эту информацию, теперь стало возможным найти решение проблемы удвоения куба , решив для точек, в которых пересекаются две параболы, решение, эквивалентное решению кубического уравнения. ^[28] ${\displaystyle y^{2}=lx}$ ${\displaystyle l}$

Евтокий сообщает нам, что метод, который он использовал для решения кубического уравнения, был разработан Дионисодором (250 г. до н. э. – 190 г. до н. э.). Дионисодор решил кубическое уравнение с помощью пересечения прямоугольной гиперболы и параболы. Это было связано с задачей из сочинения Архимеда « О сфере и цилиндре» . Конические сечения изучались и использовались в течение тысяч лет греческими, а позднее исламскими и европейскими математиками. В частности, знаменитая работа Аполлония Пергского «Коники» посвящена коническим сечениям, среди прочих тем.

Китай

Китайская математика датируется по крайней мере 300 годом до нашей эры, когда появился труд « Чжоуби Суаньцзин» , который обычно считается одним из старейших китайских математических документов. ^[29]

Девять глав о математическом искусстве

Девять глав о математическом искусстве

«Чжу-чан суань-шу» или «Девять глав о математическом искусстве» , написанная около 250 г. до н. э., является одной из самых влиятельных китайских математических книг и состоит из 246 задач. Восьмая глава посвящена решению определенных и неопределенных одновременных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, а одна задача посвящена решению четырех уравнений с пятью неизвестными. ^[29]

Морское зеркало круговых измерений

«Цэ-юань хай-цзин » или «Морское зеркало измерений круга » — сборник из примерно 170 задач, написанных Ли Чжи (или Ли Е) (1192–1279 гг. н. э.). Он использовал «фан фа» или метод Хорнера для решения уравнений вплоть до шестой степени, хотя он и не описал свой метод решения уравнений. ^[30]

Математический трактат в девяти разделах

Шу-шу цзю-чан , или Математический трактат в девяти разделах , был написан богатым губернатором и министром Цинь Цзю-шао (ок. 1202 – ок. 1261). С введением метода решения одновременных сравнений , который теперь называется китайской теоремой об остатках , он знаменует собой высшую точку в китайском неопределенном анализе ^{[ необходимо разъяснение ]} . ^[30]

Магические квадраты

Треугольник Ян Хуэй (Паскаля), изображенный древними китайцами с помощью стержневых цифр

Самые ранние известные магические квадраты появились в Китае. ^[31] В «Девяти главах» автор решает систему одновременных линейных уравнений, помещая коэффициенты и свободные члены линейных уравнений в магический квадрат (т. е. матрицу) и выполняя операции сокращения столбцов в магическом квадрате. ^[31] Самые ранние известные магические квадраты порядка больше трех приписываются Ян Хуэю (ок. 1261 – 1275), который работал с магическими квадратами порядка вплоть до десяти. ^[32]

Драгоценное зеркало четырех стихий

Ssy-yüan yü-chien《四元玉鑒》, или Драгоценное зеркало четырех стихий , было написано Чу Ши-цзе в 1303 году и знаменует собой вершину развития китайской алгебры. Четыре стихии , называемые небом, землей, человеком и материей, представляли четыре неизвестные величины в его алгебраических уравнениях. Ssy-yüan yü-chien имеет дело с одновременными уравнениями и с уравнениями степеней вплоть до четырнадцати. Автор использует метод фан фа , сегодня называемый методом Хорнера , для решения этих уравнений. ^[33]

« Драгоценное зеркало» открывается диаграммой арифметического треугольника ( треугольник Паскаля ) с использованием круглого нулевого символа, но Чу Ши-цзе отрицает свою причастность к этому. Похожий треугольник появляется в работе Ян Хуэя, но без нулевого символа. ^[34]

В Precious Mirror приведено много уравнений суммирования без доказательств . Вот несколько суммирований: ^[34]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

Диофант

Обложка издания 1621 года « Арифметики » Диофанта , переведенной на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком.

Диофант был эллинистическим математиком, жившим около 250 г. н. э., но неопределенность этой даты настолько велика, что она может быть отклонена более чем на столетие. Он известен тем, что написал «Арифметику» , трактат, который изначально состоял из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть. ^[35] «Арифметика» — самая ранняя из сохранившихся работ, в которой решаются арифметические задачи с помощью алгебры. Однако Диофант не изобрел метод алгебры, который существовал до него. ^[36] Алгебра практиковалась и распространялась устно практикующими специалистами, причем Диофант подбирал приемы решения задач по арифметике. ^[37]

В современной алгебре многочлен — это линейная комбинация переменной x, которая строится из возведения в степень, скалярного умножения, сложения и вычитания. Алгебра Диофанта, похожая на средневековую арабскую алгебру, представляет собой совокупность объектов разных типов без каких-либо операций ^[38]

Например, у Диофанта многочлен «6 4 ′ обратных степеней, 25 степеней, которым не хватает 9 единиц», что в современных обозначениях является совокупностью объекта одного рода с 25 объектами второго рода, которым не хватает 9 объектов третьего рода, без какой-либо операции. ^[39] ${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9}$ ${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}}$

Подобно средневековой арабской алгебре, Диофант использует три этапа для решения задачи по алгебре:

1) Называется неизвестное и составляется уравнение.

2) Уравнение упрощается до стандартной формы (аль-джабр и аль-мукабала на арабском языке)

3) Решается упрощенное уравнение ^[40]

Диофант не дает классификации уравнений в шести типах, как Аль-Хорезми в сохранившихся частях Арифметики. Он говорит, что позже даст решение трехчленных уравнений, так что эта часть работы, возможно, просто утеряна ^[37]

В «Арифметике » Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также сокращения для степеней чисел, отношений и операций; ^[41] таким образом, он использовал то, что сейчас известно как синкопированная алгебра. Главное различие между диофантовой синкопированной алгеброй и современной алгебраической нотацией заключается в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент. ^[42]

Так, например, то, что мы бы записали как

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

что можно переписать как

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$

в синкопированной нотации Диофанта будет записано как

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$ἴ ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

где символы представляют следующее: ^{[43] [44]}

В отличие от современной записи, коэффициенты идут после переменных, и это добавление представлено сопоставлением терминов. Буквальный символ-в-символ перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет следующим: ^[43]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

где уточнить, если использовать современные скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать как: ^[43]

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$

Однако Джеффри Оукс и Джин Кристианидис считают различие между «риторической алгеброй», «синкопированной алгеброй» и «символической алгеброй» устаревшим. Задачи решались на доске, покрытой пылью, с использованием некоторой нотации, в то время как в книгах решения были записаны в «риторическом стиле». ^[45]

Арифметика также использует тождества: ^[46]

Индия

Индийские математики активно изучали числовые системы. Самые ранние известные индийские математические документы датируются примерно серединой первого тысячелетия до нашей эры (около 6 века до нашей эры). ^[47]

Повторяющимися темами в индийской математике являются, среди прочего, определенные и неопределенные линейные и квадратные уравнения, простое измерение и пифагорейские тройки. ^[48]

Арьябхата

Арьябхата (476–550) был индийским математиком, автором книги «Арьябхатия» . В нем он дал правила: ^[49]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

и

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

Брахма Спхута Сиддханта

Брахмагупта (фл. 628) был индийским математиком, автором Брахма Спхута Сиддханты . В своей работе Брахмагупта решает общее квадратное уравнение как для положительных, так и для отрицательных корней. ^[50] В неопределенном анализе Брахмагупта дает пифагорейские триады , но это измененная форма старого вавилонского правила, с которым Брахмагупта, возможно, был знаком. ^[51] Он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения, где и являются целыми числами . В отличие от Диофанта, который дал только одно решение неопределенного уравнения, Брахмагупта дал все целочисленные решения; но то, что Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, заставило некоторых историков рассмотреть возможность греческого влияния на работу Брахмагупты или, по крайней мере, общего вавилонского источника. ^[52] ${\displaystyle m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),}$ ${\displaystyle ax+by=c,}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$

Подобно алгебре Диофанта, алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание — размещением точки над вычитаемым, а деление — размещением делителя под делимым, аналогично нашей современной нотации, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины обозначались сокращениями соответствующих терминов. ^[52] Степень греческого влияния на эту синкопу, если таковая вообще имелась, неизвестна, и возможно, что как греческая, так и индийская синкопа могут быть получены из общего вавилонского источника. ^[52]

Бхаскара II

Бхаскара II (1114 – ок. 1185) был ведущим математиком 12-го века. В алгебре он дал общее решение уравнения Пелла . ^[52] Он является автором Лилавати и Виджа-Ганиты , которые содержат задачи, связанные с определенными и неопределенными линейными и квадратными уравнениями, а также тройками Пифагора ^[48] , и он не различает точные и приближенные утверждения. ^[53] Многие из задач в Лилавати и Виджа-Ганите взяты из других индуистских источников, и поэтому Бхаскара лучше всего справляется с неопределенным анализом. ^[53]

Бхаскара использует начальные символы названий цветов как символы неизвестных переменных. Так, например, то, что мы бы сегодня записали как

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

Бхаскара написал бы так:

. _ .

я 1 ру 1

.

я 2 ру 8

.

Сумма 1 ru 9

где ya указывает на первый слог слова black , а ru взято из слова species . Точки над числами обозначают вычитание.

Исламский мир

Страница из «Краткой книги по исчислению путем завершения и балансировки»

В первом столетии Исламской Арабской Империи почти не было научных или математических достижений, поскольку арабы с их недавно завоеванной империей еще не обрели никакого интеллектуального рывка, а исследования в других частях мира угасли. Во второй половине VIII века в исламе произошло культурное пробуждение, и исследования в области математики и наук усилились. ^[54] Говорят, что мусульманскому халифу Аббасидов аль-Мамуну (809–833) приснился сон, в котором ему явился Аристотель, и в результате аль-Мамун приказал сделать арабский перевод как можно большего количества греческих трудов, включая «Альмагест» Птолемея и «Начала » Евклида . Греческие труды будут переданы мусульманам Византийской Империей в обмен на договоры, поскольку две империи находились в непростом мире. ^[54] Многие из этих греческих произведений были переведены Сабитом ибн Куррой (826–901), который перевел книги, написанные Евклидом, Архимедом, Аполлонием, Птолемеем и Евтокием. ^[55]

Арабские математики выделили алгебру в самостоятельную дисциплину и дали ей название «алгебра» ( al-jabr ). Они были первыми, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради нее самой. ^[56] Существует три теории о происхождении арабской алгебры. Первая подчеркивает индуистское влияние, вторая подчеркивает месопотамское или персидско-сирийское влияние, а третья подчеркивает греческое влияние. Многие ученые считают, что это результат сочетания всех трех источников. ^[57]

На протяжении всего времени своего правления арабы использовали полностью риторическую алгебру, где часто даже числа были прописаны словами. В конечном итоге арабы заменили прописанные числа (например, двадцать два) арабскими цифрами (например, 22), но арабы не приняли и не разработали синкопированную или символическую алгебру ^[55] до работы Ибн аль-Банны , который разработал символическую алгебру в 13 веке, за которым последовал Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади в 15 веке.

Аль-Джабр ва'ль мукабала

Слева: Оригинальная арабская печатная рукопись Книги Алгебры Аль-Хорезми . Справа: Страница из Алгебры Аль-Хорезми Фредерика Розена на английском языке .

Мусульманский ^[58] персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми , которого называют отцом ^{[59] [60] [61]} или основателем ^{[62] [63]} алгебры , был преподавателем « Дома мудрости » ( Байт аль-Хикма ) в Багдаде, который был основан Аль-Мамуном. Аль-Хорезми, который умер около 850 года нашей эры, написал более полудюжины математических и астрономических работ . ^[54] Одна из самых известных книг аль-Хорезми называется « Аль-джабр ва'л мукабала» или «Краткая книга об исчислении путем завершения и уравновешивания» , и в ней дается исчерпывающий отчет о решении многочленов до второй степени . ^[64] В книге также были введены фундаментальные концепции « редукции » и «уравновешивания», относящиеся к переносу вычитаемых членов на другую сторону уравнения, то есть к отмене подобных членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую Аль-Хорезми первоначально описал как аль-джабр . ^[65] Название «алгебра» происходит от « аль-джабр » в названии его книги.

Р. Рашед и Анджела Армстронг пишут:

«Текст Аль-Хорезми можно рассматривать как отличающийся не только от вавилонских табличек , но и от « Арифметики » Диофанта . Он больше не касается ряда проблем, которые нужно решить, но изложения , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект изучения. С другой стороны, идея уравнения ради самого себя появляется с самого начала и, можно сказать, в общей манере, поскольку она не просто возникает в ходе решения проблемы, но специально призвана определить бесконечный класс проблем». ^[66]

Аль-Джабр разделен на шесть глав, каждая из которых посвящена определенному типу формулы. Первая глава Аль-Джабра посвящена уравнениям, квадраты которых равны корням, вторая глава посвящена квадратам, равным числу, третья глава посвящена корням, равным числу, четвертая глава посвящена квадратам и корням, равным числу, пятая глава посвящена квадратам и числам, равным корням , а шестая и последняя глава посвящена корням и числам, равным квадратам ^[67] ${\displaystyle \left(ax^{2}=bx\right),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2}=c\right),}$ ${\displaystyle \left(bx=c\right),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2}+bx=c\right),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2}+c=bx\right),}$ ${\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right).}$

Страницы из арабской копии книги XIV века, демонстрирующие геометрические решения двух квадратных уравнений.

В «Аль-Джабре » аль-Хорезми использует геометрические доказательства, ^[17] он не распознает корень ^[67] и имеет дело только с положительными корнями. ^[68] Он также признает, что дискриминант должен быть положительным, и описывает метод завершения квадрата , хотя и не обосновывает эту процедуру. ^[69] Греческое влияние проявляется в геометрических основах Аль-Джабра ^{[57] [70]} и в одной задаче, взятой из Герона. ^[71] Он использует буквенные диаграммы, но все коэффициенты во всех его уравнениях являются конкретными числами, поскольку у него не было способа выразить с помощью параметров то, что он мог выразить геометрически; хотя общность метода и подразумевается. ^[17] ${\displaystyle x=0,}$

Аль-Хорезми, скорее всего, не знал об «Арифметике» Диофанта , ^[72] которая стала известна арабам где-то до 10-го века. ^[73] И хотя аль-Хорезми, скорее всего, знал о работе Брахмагупты, Аль-Джабр полностью риторический, и числа даже прописаны словами. ^[72] Так, например, то, что мы бы написали как

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

Диофант написал бы так ^[74]

${\displaystyle \Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;}$ἴ ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}}$

И аль-Хорезми написал бы так ^[74]

Один квадратный корень и десять его корней составляют тридцать девять дирхемов ; то есть, каков должен быть квадрат, который, будучи умножен на десять своих корней, составляет тридцать девять?

Логические необходимости в смешанных уравнениях

'Абд аль-Хамид ибн Турк является автором рукописи под названием « Логические необходимости в смешанных уравнениях» , которая очень похожа на « Аль-Джабр » аль-Хорезми и была опубликована примерно в то же время, или даже, возможно, раньше, чем «Аль-Джабр» . ^[73] Рукопись дает точно такую ​​же геометрическую демонстрацию, как и в «Аль-Джабр» , а в одном случае тот же пример, что и в «Аль-Джабр» , и даже выходит за рамки «Аль-Джабр» , приводя геометрическое доказательство того, что если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет решения. ^[73] Сходство между этими двумя работами привело некоторых историков к выводу, что арабская алгебра, возможно, была хорошо развита ко времени аль-Хорезми и «Абд аль-Хамида». ^[73]

Абу Камиль и аль-Караджи

Арабские математики рассматривали иррациональные числа как алгебраические объекты. ^[75] Египетский математик Абу Камиль Шуджа ибн Аслам (ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа в форме квадратного корня или корня четвертой степени в качестве решений квадратных уравнений или коэффициентов в уравнении. ^[76] Он также был первым, кто решил три нелинейных одновременных уравнения с тремя неизвестными переменными . ^[77]

Аль-Караджи (953–1029), также известный как Аль-Кархи, был преемником Абу аль-Вафы аль-Бузджани (940–998) и открыл первое численное решение уравнений вида ^[78] Аль-Караджи рассматривал только положительные корни. ^[78] Он также считается первым человеком, который освободил алгебру от геометрических операций и заменил их типом арифметических операций, которые являются ядром алгебры сегодня. Его работа по алгебре и многочленам дала правила арифметических операций для манипулирования многочленами. Историк математики Ф. Вёпке в «Extrait du Fakhri, Traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi» ( Париж , 1853) восхвалял Аль-Караджи за то, что он был «первым, кто ввел теорию алгебраического исчисления». Исходя из этого, Аль-Караджи исследовал биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля . ^[79] ${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c.}$

Омар Хайям, Шараф ад-Дин ат-Туси и аль-Каши

Омар Хайям

Для решения уравнения третьей степени Хайям построил параболу , окружность с диаметром и вертикальной линией, проходящей через точку пересечения. Решение дается длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной линии и оси абсцисс. ${\displaystyle x^{3}+a^{2}x=b}$ ${\displaystyle x^{2}=ay,}$ ${\displaystyle b/a^{2},}$ ${\displaystyle x}$

Омар Хайям (ок. 1050 – 1123) написал книгу по алгебре, которая вышла за рамки Аль-Джабра и включила уравнения третьей степени. ^[80] Омар Хайям предоставил как арифметические, так и геометрические решения для квадратных уравнений, но он дал только геометрические решения для общих кубических уравнений , поскольку ошибочно полагал, что арифметические решения невозможны. ^[80] Его метод решения кубических уравнений с использованием пересекающихся коник использовался Менахмусом , Архимедом и Ибн аль-Хайтамом (Альхазеном) , но Омар Хайям обобщил метод, чтобы охватить все кубические уравнения с положительными корнями. ^[80] Он рассматривал только положительные корни и не выходил за рамки третьей степени. ^[80] Он также видел сильную связь между геометрией и алгеброй. ^[80]

В XII веке Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213) написал « Аль-Муадалат» ( Трактат об уравнениях ), в котором рассматривались восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. Он использовал то, что позже стало известно как « метод Руффини — Хорнера », для численного приближения корня кубического уравнения. Он также разработал концепции максимумов и минимумов кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. ^[81] Он понимал важность дискриминанта кубического уравнения и использовал раннюю версию формулы Кардано ^[82] для поиска алгебраических решений определенных типов кубических уравнений. Некоторые ученые, такие как Рошди Рашед, утверждают, что Шараф ад-Дин открыл производную кубических многочленов и осознал ее значение, в то время как другие ученые связывают его решение с идеями Евклида и Архимеда. ^[83]

Шараф ад-Дин также разработал концепцию функции . [ ^{необходима цитата ]} Например, в своем анализе уравнения он начинает с изменения формы уравнения на . Затем он утверждает, что вопрос о том, имеет ли уравнение решение, зависит от того, достигает ли «функция» в левой части значения . Чтобы определить это, он находит максимальное значение для функции. Он доказывает, что максимальное значение имеет место, когда , что дает функциональное значение . Затем Шараф ад-Дин утверждает, что если это значение меньше , то положительных решений нет; если оно равно , то есть одно решение при ; а если оно больше , то есть два решения, одно между и и одно между и . ^[84] ${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}(b-x)=d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle b}$

В начале 15-го века Джамшид аль-Каши разработал раннюю форму метода Ньютона для численного решения уравнения для нахождения корней . ^[85] Аль-Каши также разработал десятичные дроби и утверждал, что открыл их сам. Однако Дж. Леннарт Берггренн отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби были впервые использованы за пять столетий до него багдадским математиком Абу-ль-Хасаном аль-Уклидиси еще в 10-м веке. ^[77] ${\displaystyle x^{P}-N=0}$ ${\displaystyle N}$

Аль-Хассар, Ибн аль-Банна и аль-Каласади

Аль-Хасар , математик из Марокко, специализирующийся на исламской наследственной юриспруденции в XII веке, разработал современную символическую математическую нотацию для дробей , где числитель и знаменатель разделены горизонтальной чертой. Эта же дробная нотация появилась вскоре после этого в работе Фибоначчи в XIII веке. ^{[86] [ не удалось проверить ]}

Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади (1412–1486) был последним крупным средневековым арабским алгебраистом, который предпринял первую попытку создания алгебраической нотации со времен Ибн аль-Банны двумя столетиями ранее, который сам был первым, кто предпринял такую ​​попытку со времен Диофанта и Брахмагупты в древние времена. ^[87] Однако синкопированные нотации его предшественников не содержали символов для математических операций . ^[42] Аль-Каласади «сделал первые шаги к введению алгебраической символики, используя буквы вместо цифр» ^[87] и «используя короткие арабские слова или только их начальные буквы в качестве математических символов». ^[87]

Европа и Средиземноморье

Так же, как смерть Гипатии знаменует закрытие Александрийской библиотеки как математического центра, так и смерть Боэция знаменует конец математики в Западной Римской империи . Хотя в Афинах велась некоторая работа , она подошла к концу, когда в 529 году византийский император Юстиниан закрыл языческие философские школы. 529 год теперь считается началом средневекового периода. Ученые бежали с Запада на более гостеприимный Восток, в частности в Персию , где они нашли убежище у царя Хосрова и основали то, что можно было бы назвать «Афинской академией в изгнании». ^[88] По договору с Юстинианом Хосров в конечном итоге вернул ученых в Восточную империю . В Темные века европейская математика находилась в самом упадке, и математические исследования состояли в основном из комментариев к древним трактатам; и большая часть этих исследований была сосредоточена в Византийской империи . Конец средневекового периода приходится на падение Константинополя под натиском турок в 1453 году.

Позднее Средневековье

В XII веке произошел поток переводов с арабского на латынь , а к XIII веку европейская математика начала соперничать с математикой других стран. В XIII веке решение кубического уравнения Фибоначчи является репрезентативным для начала возрождения европейской алгебры.

В то время как исламский мир приходил в упадок после 15 века, европейский мир поднимался. И именно здесь алгебра получила дальнейшее развитие.

Символическая алгебра

Современная нотация для арифметических операций была введена между концом XV века и началом XVI века Иоганнесом Видманом и Михаэлем Штифелем . В конце XVI века Франсуа Виет ввел символы, которые теперь называются переменными , для представления неопределенных или неизвестных чисел. Это создало новую алгебру, состоящую из вычислений с символическими выражениями, как если бы они были числами.

Другим ключевым событием в дальнейшем развитии алгебры стало общее алгебраическое решение кубических и четвертых уравнений , разработанное в середине XVI века. Идея определителя была разработана японским математиком Кова Сэки в XVII веке, а затем Готфридом Лейбницем десять лет спустя, с целью решения систем одновременных линейных уравнений с использованием матриц . Габриэль Крамер также проделал некоторую работу по матрицам и определителям в XVIII веке.

Символх

По традиции первая неизвестная переменная в алгебраической задаче в настоящее время обозначается символом , а если есть вторая или третья неизвестная, то они обозначаются и соответственно. Слово «алгебраический» традиционно печатается курсивом, чтобы отличить его от знака умножения. ${\displaystyle {\mathit {x}}}$ ${\displaystyle {\mathit {y}}}$ ${\displaystyle {\mathit {z}}}$ ${\displaystyle x}$

Математические историки ^[89] в целом согласны с тем, что использование в алгебре было введено Рене Декартом и впервые опубликовано в его трактате «Геометрия» (1637). ^{[90] [91]} В этой работе он использовал буквы из начала алфавита для известных величин и буквы из конца алфавита для неизвестных. ^[92] Было высказано предположение, что позднее он остановился на (вместо ) для первого неизвестного из-за его относительно большей распространенности во французских и латинских типографских шрифтах того времени. ^[93] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b,c,\ldots )}$ ${\displaystyle (z,y,x,\ldots )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

В 19 веке были предложены три альтернативные теории происхождения алгебраического : (1) символ, используемый немецкими алгебраистами и, как считалось, происходящий от курсивной буквы, ошибочно принимаемой за ; ^[94] (2) цифра 1 с косым зачеркиванием ; ^[95] и (3) арабо-испанский источник (см. ниже). Но швейцарско-американский историк математики Флориан Каджори изучил их и обнаружил, что все три не имеют конкретных доказательств; Каджори приписал Декарту авторство и описал его и как «свободные от традиции[,] и их выбор совершенно произвольный». ^[96] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle z}$

Тем не менее, испано-арабская гипотеза продолжает присутствовать в популярной культуре сегодня. ^[97] Это утверждение, что алгебраический является сокращением предполагаемого заимствования слова из арабского в древнеиспанском языке. Теория возникла в 1884 году у немецкого востоковеда Поля де Лагарда , вскоре после того, как он опубликовал свое издание 1505 года двуязычного испанско-арабского глоссария ^[98], в котором испанское cosa («вещь») было сопряжено с его арабским эквивалентом, شىء ( shay ^ʔ ), транскрибированным как xei . (Звук «ш» в древнеиспанском языке обычно писался ) Очевидно, Лагард знал, что арабские математики на «риторической» стадии развития алгебры часто использовали это слово для обозначения неизвестной величины. Он предположил, что «ничего не может быть более естественным» («Nichts war also natürlicher...»), чем для начальной буквы арабского слова — романизированного как древнеиспанское — быть принятой для использования в алгебре. ^[99] Более поздний читатель переосмыслил гипотезу Лагарда как «доказавшую» этот момент. ^[100] Лагард не знал, что ранние испанские математики использовали не транскрипцию арабского слова, а его перевод на их родной язык, «cosa». ^[101] В нескольких составленных исторических словарях испанского языка нет ни одного примера использования xei или подобных форм. ^{[102] [103]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$

Готфрид Лейбниц

Хотя математическое понятие функции подразумевалось в тригонометрических и логарифмических таблицах , существовавших в его время, Готфрид Лейбниц был первым, кто в 1692 и 1694 годах использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, полученных из кривой, таких как абсцисса , ордината , касательная , хорда и перпендикуляр . ^[104] В XVIII веке «функция» утратила эти геометрические ассоциации.

Лейбниц понял, что коэффициенты системы линейных уравнений можно организовать в массив, который теперь называется матрицей , которым можно манипулировать, чтобы найти решение системы, если таковое имеется. Этот метод позже был назван методом исключения Гаусса . Лейбниц также открыл булеву алгебру и символическую логику , также имеющие отношение к алгебре.

Абстрактная алгебра

Способность заниматься алгеброй — это навык, который культивируется в математическом образовании . Как объяснил Эндрю Уорвик, студенты Кембриджского университета в начале 19 века практиковали «смешанную математику», ^[105] выполняя упражнения, основанные на физических переменных, таких как пространство, время и вес. Со временем связь переменных с физическими величинами сошла на нет по мере развития математической техники. В конце концов математика была полностью связана с абстрактными многочленами , комплексными числами , гиперкомплексными числами и другими концепциями. Приложение к физическим ситуациям тогда называлось прикладной математикой или математической физикой , а область математики расширилась, включив в себя абстрактную алгебру . Например, проблема конструктивных чисел показала некоторые математические ограничения, и была разработана область теории Галуа .

Отец алгебры

Титул «отца алгебры» часто приписывают персидскому математику Аль-Хорезми , ^{[106] [107] [108]} что поддерживают историки математики , такие как Карл Бенджамин Бойер , ^[106] Соломон Гандз и Бартель Леендерт ван дер Варден . ^[109] Однако этот момент является спорным, и этот титул иногда приписывают эллинистическому математику Диофанту . ^{[106] [110]} Те, кто поддерживает Диофанта, указывают на то, что алгебра, найденная в Аль-Джабре , более элементарна , чем алгебра, найденная в Арифметике , и что Арифметика синкопирована, в то время как Аль-Джабр полностью риторический. ^[106] Однако историк математики Курт Фогель выступает против того, чтобы Диофант носил этот титул, ^[111] поскольку его математика была не намного более алгебраической, чем математика древних вавилонян . ^[112]

Те, кто поддерживает Аль-Хорезми, указывают на тот факт, что он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями ^[113] и был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради нее самой, тогда как Диофант в первую очередь занимался теорией чисел . ^[56] Аль-Хорезми также ввел фундаментальные понятия «редукции» и «уравновешивания» (для обозначения которых он первоначально использовал термин аль-джабр ), имея в виду перестановку вычитаемых членов в другую сторону уравнения, то есть отмену подобных членов на противоположных сторонах уравнения. ^[65] Другие сторонники Аль-Хорезми указывают на то, что его алгебра больше не связана «с рядом проблем, которые нужно решить, но с изложением , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект изучения». Они также указывают на его трактовку уравнения как такового и «в общем смысле, поскольку оно не просто возникает в ходе решения проблемы, но специально призвано определять бесконечный класс проблем». ^[66] Виктор Дж. Кац считает «Аль-Джабр» первым настоящим текстом по алгебре, который дошел до нас. ^[114]

По мнению Джеффри Оукса и Жана Кристианидиса, ни Диофанта, ни Аль-Хорезми не следует называть «отцами алгебры». ^{[115] [116]} Досовременная алгебра была разработана и использовалась торговцами и землемерами как часть того, что Йенс Хёйруп назвал «субнаучной» традицией. Диофант использовал этот метод алгебры в своей книге, в частности, для неопределенных задач, в то время как Аль-Хорезми написал одну из первых книг на арабском языке об этом методе. ^[37]

Смотрите также

• Математический портал

• Аль-Мансур  - второй халиф Аббасидов (годы правления 754–775)
• Хронология алгебры  – Известные события в истории алгебры

Ссылки

1. Бойер (1991:229)
2. Джеффри А. Оукс; Хайтам М. Альхатиб (2007). «Упрощение уравнений в арабской алгебре». Historia Mathematica . 34 : 45–61. doi :10.1016/j.hm.2006.02.006. ISSN  0315-0860.
3. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180) "Было сказано, что можно выделить три стадии в историческом развитии алгебры: (1) риторическая или ранняя стадия, на которой все полностью записано словами; (2) синкопированное или промежуточное состояние, на котором приняты некоторые сокращения; и (3) символическая или конечная стадия. Такое произвольное разделение развития алгебры на три стадии, конечно, является поверхностным упрощением; но оно может эффективно служить первым приближением к тому, что произошло""
4. (Boyer 1991, "Mesopotamia" стр. 32) "До недавнего времени не было и мысли о решении квадратного уравнения вида , где и положительны, поскольку уравнение не имеет положительного корня. Следовательно, квадратные уравнения в древности и Средневековье — и даже в ранний современный период — классифицировались по трем типам: (1) (2) (3) " ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x^{2}+px=q}$ ${\displaystyle x^{2}=px+q}$ ${\displaystyle x^{2}+q=px}$
5. Кац, Виктор Дж.; Бартон, Билл (октябрь 2007 г.), «Этапы в истории алгебры с последствиями для преподавания», Educational Studies in Mathematics , 66 (2): 185–201, doi :10.1007/s10649-006-9023-7, S2CID  120363574
6. Струик, Дирк Дж. (1987). Краткая история математики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60255-4.
7. (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 30) "Вавилонские математики не колеблясь использовали интерполяцию пропорциональными частями для приближения промежуточных значений. Линейная интерполяция, по-видимому, была обычной процедурой в древней Месопотамии, а позиционная нотация удобно подходила для правила трех. [...] таблица, необходимая в вавилонской алгебре; этот предмет достиг значительно более высокого уровня в Месопотамии, чем в Египте. Многие тексты задач из древневавилонского периода показывают, что решение полного трехчленного квадратного уравнения не представляло для вавилонян серьезных трудностей, поскольку были разработаны гибкие алгебраические операции. Они могли транспонировать члены в уравнениях, добавляя равные к равным, и они могли умножать обе стороны на подобные величины, чтобы удалить дроби или исключить множители. Добавляя к они могли получить , поскольку были знакомы со многими простыми формами разложения на множители. [...] Египетская алгебра была в значительной степени связана с линейными уравнениями, но вавилоняне очевидно, посчитал их слишком элементарными, чтобы уделять им много внимания. [...] В другой задаче в древневавилонском тексте мы находим два одновременных линейных уравнения относительно двух неизвестных величин, называемых соответственно «первым серебряным кольцом» и «вторым серебряным кольцом». ${\displaystyle 4ab}$ ${\displaystyle (a-b)^{2}}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}}$
8. Джойс, Дэвид Э. (1995). "Plimpton 322". Глиняная табличка с каталожным номером 322 в коллекции GA Plimpton в Колумбийском университете, возможно, самая известная математическая табличка, определенно самая фотографируемая, но она заслуживает еще большей известности. Она была написана в старовавилонский период между -1900 и -1600 годами и демонстрирует самую передовую математику до развития греческой математики.
9. (Boyer 1991, «Mesopotamia» стр. 31) «Решение трехчленного квадратного уравнения, по-видимому, намного превосходило алгебраические возможности египтян, но Нойгебауэр в 1930 году раскрыл, что такие уравнения эффективно решались вавилонянами в некоторых из древнейших текстов по задачам».
10. (Boyer 1991, "Mesopotamia" стр. 33) "В Египте нет записей о решении кубических уравнений, но среди вавилонян есть много примеров этого. [...] Неизвестно, смогли ли вавилоняне привести общее четырехчленное кубическое уравнение, ax ³ + bx ² + cx = d , к их нормальной форме".
11. (Boyer 1991, «Египет», стр. 11) «Он был куплен в 1959 году в курортном городе на Ниле шотландским антикваром Генри Райндом; поэтому его часто называют папирусом Райнда или, реже, папирусом Ахмеса в честь писца, чья рука переписала его примерно в 1650 году до нашей эры. Писец сообщает нам, что материал получен из прототипа из Среднего царства примерно с 2000 по 1800 год до нашей эры».
12. (Boyer 1991, «Египет», стр. 19) «Большая часть наших сведений о египетской математике получена из папируса Ринда или Ахмеса, самого обширного математического документа Древнего Египта; но есть и другие источники».
13. (Boyer 1991, "Egypt" стр. 15–16) "Египетские задачи, описанные до сих пор, лучше всего классифицировать как арифметические, но есть и другие, которые попадают в класс, к которому уместно применить термин алгебраические. Они не касаются конкретных объектов, таких как хлеб и пиво, и не требуют операций над известными числами. Вместо этого они требуют эквивалента решений линейных уравнений вида или , где a, b и c известны, а x неизвестен. Неизвестное называется "aha" или куча. [...] Решение, данное Ахмесом, не является решением современных учебников, а одной из предлагаемых характеристик процедуры, теперь известной как "метод ложного положения" или "правило ложности". Определенное ложное значение было предложено учеными 1920-х годов, и операции, указанные в левой части знака равенства, выполняются над этим предполагаемым числом. Недавние исследования показывают, что писцы не угадали в этих ситуациях. Точные ответы с рациональными числами, записанные в рядах египетских дробей, сбили с толку Ученые 1920-х годов. Заверенный результат показывает, что Ахмес «проверил» результат, показав, что 16 + 1/2 + 1/8, точно добавленные к седьмой части этого (что равно 2 + 1/4 + 1/8), действительно дают 19. Здесь мы видим еще один значительный шаг в развитии математики, поскольку проверка является простым примером доказательства. ${\displaystyle x+ax=b}$ ${\displaystyle x+ax+bx=c}$
14. Билл Кассельман . «Одна из старейших сохранившихся диаграмм Евклида». Университет Британской Колумбии . Получено 26 сентября 2008 г.
15. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p.109) "Вторая книга "Начал" короткая , содержит всего четырнадцать предложений, ни одно из которых не играет никакой роли в современных учебниках; тем не менее, во времена Евклида эта книга имела большое значение. Это резкое расхождение между древними и современными взглядами легко объяснить — сегодня у нас есть символическая алгебра и тригонометрия, которые заменили геометрические эквиваленты из Греции. Например, предложение 1 второй книги гласит, что "Если есть две прямые линии, и одна из них разрезана на любое количество отрезков, то прямоугольник, содержащийся между двумя прямыми линиями, равен прямоугольникам, содержащимся между неразрезанной прямой линией и каждым из отрезков". Эта теорема, которая утверждает (рис. 7.5), что AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB, есть не что иное, как геометрическое утверждение одного из основных законов арифметики, известного сегодня как распределительный закон: В более поздних книгах «Начал » (V и VII) мы находим демонстрации коммутативных и ассоциативных законов для умножения. В то время как в наше время величины представлены буквами, которые понимаются как числа (известные или неизвестные), с которыми мы работаем с алгоритмическими правилами алгебры, во времена Евклида величины изображались как отрезки прямых, удовлетворяющие аксионам и теоремам геометрии. Иногда утверждается, что у греков не было алгебры, но это явно неверно. У них была Книга II «Начал» , которая является геометрической алгеброй и служила во многом той же цели, что и наша символическая алгебра. Не может быть никаких сомнений в том, что современная алгебра значительно облегчает манипулирование отношениями между величинами. Но несомненно также верно и то, что греческий геометр, сведущий в четырнадцати теоремах «алгебры» Евклида, был гораздо более искусен в применении этих теорем к практическим измерениям, чем опытный геометр сегодня. Древняя геометрическая «алгебра» не была идеальным инструментом, но она была далеко не неэффективной. Утверждение Евклида (Предложение 4): «Если прямую линию разрезать наугад, то квадрат в целом будет равен квадратам на отрезках и вдвое больше прямоугольника, содержащегося в отрезках», — это многословный способ сказать, что ,» ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad.}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$
16. (Boyer 1991, "The Heroic Age" стр. 77–78) "Независимо от того, появилась ли дедукция в математике в шестом веке до н. э. или в четвертом, и была ли открыта несоизмеримость до или после 400 года до н. э., не может быть никаких сомнений в том, что греческая математика претерпела радикальные изменения ко времени Платона. [...] "Геометрическая алгебра" должна была занять место старой "арифметической алгебры", и в этой новой алгебре не могло быть добавления линий к площадям или площадей к объемам. Отныне должна была быть строгая однородность членов в уравнениях, и месопотамская нормальная форма, = b, должна была интерпретироваться геометрически. [...] Таким образом, греки построили решение квадратных уравнений с помощью своего процесса, известного как "применение площадей", часть геометрической алгебры, которая полностью охвачена " Началами " Евклида . [...] Линейное уравнение , например, рассматривалось как равенство площадей и , а не как пропорция — равенство между двумя отношениями и . Следовательно, при построении четвертой пропорции в этом случае обычно строили прямоугольник OCDB со сторонами b = OB и c = OC (рис. 5.9) и затем вдоль OC откладывали OA = a . Достраивали прямоугольник OCDB и проводили диагональ OE, пересекающую CD в точке P. Теперь ясно, что CP — искомая линия для прямоугольника OARS, площадь которого равна площади прямоугольника OCDB" ${\displaystyle xy=A,x\pm y=b,}$ ${\displaystyle ax=bc,}$ ${\displaystyle ax}$ ${\displaystyle bc,}$ ${\displaystyle a:b}$ ${\displaystyle c:x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$
17. (Boyer 1991, "Европа в средние века" стр. 258) "В арифметических теоремах в " Началах VII–IX" Евклида числа были представлены отрезками прямых, к которым были прикреплены буквы, а геометрические доказательства в " Алгебре " аль-Хорезми использовали буквенные диаграммы; но все коэффициенты в уравнениях, используемых в " Алгебре", являются конкретными числами, представленными цифрами или записанными словами. Идея общности подразумевается в изложении аль-Хорезми, но у него не было схемы для алгебраического выражения общих положений, которые так легко доступны в геометрии".
18. (Heath 1981a, "The ('Bloom') of Thymaridas" pp. 94–96) Тимарид из Пароса, уже упомянутый древний пифагореец (стр. 69), был автором правила для решения определенного набора одновременных простых уравнений, связывающих неизвестные величины. Правило, очевидно, было хорошо известно, поскольку оно называлось особым именем [...] 'цветок' или 'цветок' Тимарида. [...] Правило очень неясно сформулировано, но по сути оно гласит, что если у нас есть следующие уравнения, связывающие неизвестные величины, а именно [...] Ямвлих, наш информатор по этому вопросу, продолжает показывать, что другие типы уравнений могут быть сведены к этому, так что их правило не 'оставляет нас в беде' и в этих случаях. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$
19. (Флегг 1983, «Неизвестные числа», стр. 205) «Говорят, что у Фимарида (четвертый век) было следующее правило для решения определенного набора линейных уравнений с неизвестными: если дана сумма величин, а также сумма каждой пары, содержащей определенную величину, то эта конкретная величина равна разности между суммами этих пар и первой заданной суммой». ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
    ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/(n-2)}$
20. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" стр. 100) "но к 306 г. до н. э. контроль над египетской частью империи был прочно в руках Птолемея I, и этот просвещенный правитель смог обратить свое внимание на конструктивные усилия. Среди его ранних действий было создание в Александрии школы или института, известного как Музей, непревзойденного в свое время. В качестве преподавателей в школе он призвал группу ведущих ученых, среди которых был автор самого сказочно успешного учебника по математике, когда-либо написанного — Elements ( Stoichia ) Евклида. Учитывая известность автора и его бестселлера, о жизни Евклида известно на удивление мало. Его жизнь была настолько неясной, что ни одно место рождения не связано с его именем".
21. (Boyer 1991, «Евклид Александрийский», стр. 101) «История, рассказанная выше в связи с просьбой Александра Македонского о легком введении в геометрию, повторяется в случае Птолемея, которого Евклид, как сообщается, заверил, что «нет царского пути к геометрии»».
22. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104) "Некоторые из преподавателей, вероятно, преуспели в исследованиях, другие были более приспособлены к роли администраторов, а некоторые были известны своими преподавательскими способностями. Судя по имеющимся у нас отчетам, Евклид определенно вписывался в последнюю категорию. Ему не приписывают никаких новых открытий, но он был известен своими описательными навыками".
23. (Бойер 1991, «Евклид Александрийский», стр. 104) «« Начала» не были, как иногда думают, сборником всех геометрических знаний; вместо этого они были вводным учебником, охватывающим всю элементарную математику».
24. (Бойер 1991, «Евклид Александрийский» стр. 110) «То же самое справедливо и для Элементов II.5, которые содержат то, что мы должны считать непрактичным иносказанием для » ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$
25. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" стр. 111) "Совершенно аналогичным образом квадратное уравнение решается с использованием II.6: если прямую линию разделить пополам и добавить к ней прямую линию по прямой, то прямоугольник, содержащийся в целом (с добавленной прямой линией) и добавленной прямой линией вместе с квадратом на половине, равен квадрату на прямой линии, составленной из половины и добавленной прямой линии. [...] причем II.11 является важным частным случаем II.6. Здесь Евклид решает уравнение " ${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2}}$ ${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}}$
26. Данные Евклида" , работа, которая дошла до нас как через греческий, так и через арабский язык. Она, по-видимому, была составлена ​​для использования в школах Александрии, выступая в качестве сопутствующего тома к первым шести книгам "Начал " во многом таким же образом, как руководство по таблицам дополняет учебник. [...] Она открывается пятнадцатью определениями, касающимися величин и геометрических мест. Основная часть текста состоит из девяноста пяти утверждений, касающихся последствий условий и величин, которые могут быть даны в задаче. [...] Существует около двух десятков подобных утверждений, выступающих в качестве алгебраических правил или формул. [...] Некоторые из утверждений являются геометрическими эквивалентами решения квадратных уравнений. Например, [...] Исключая мы имеем или из которых Геометрическое решение, данное Евклидом, эквивалентно этому, за исключением того, что перед радикалом используется знак "минус". Утверждения 84 и 85 в "Данных" являются геометрическими заменами знакомых вавилонских алгебраических решений систем которые снова являются эквивалентами решений одновременных уравнений». ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (a-x)dx=b^{2}c}$ ${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0,}$ ${\displaystyle x={\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-b^{2}\left({\frac {c}{d}}\right)}}.}$ ${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b,}$
27. (Boyer 1991, "The Euclidean Synthesis" стр. 103) "Евтокий и Прокл оба приписывают открытие конических сечений Менехму, который жил в Афинах в конце четвертого века до нашей эры. Прокл, цитируя Эратосфена, ссылается на "триады конических сечений Менехма". Поскольку эта цитата следует сразу после обсуждения "сечения прямоугольного конуса" и "сечения остроугольного конуса", делается вывод, что конические сечения были получены путем разрезания конуса плоскостью, перпендикулярной одному из его элементов. Тогда, если угол при вершине конуса острый, полученное сечение (называемое окситомом ) является эллипсом. Если угол прямой, сечение ( ортотом ) является параболой, а если угол тупой, сечение ( амблитом ) является гиперболой (см. рис. 5.7)".
28. (Boyer 1991, "The age of Plato and Aristotle" p. 94–95) "Если OP = y и OD = x являются координатами точки P, мы имеем ).OV, или, при подстановке равных, y ² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC ² /AB ² . x Поскольку отрезки AR', BC и AB одинаковы для всех точек P на кривой EQDPG, мы можем записать уравнение кривой, "сечение прямоугольного конуса", как где - константа, позже известная как latus rectum кривой. [...] Менехм, по-видимому, вывел эти свойства конических сечений и другие. Поскольку этот материал имеет струнное сходство с использованием координат, как показано выше, иногда утверждалось, что Менехм имел аналитическую геометрию. Такое суждение оправдано только отчасти, поскольку Менехм, несомненно, не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными величинами определяет кривую. Фактически, общая концепция уравнения с неизвестными величинами была чужда греческой мысли. [...] Он натолкнулся на коники в успешном поиске кривых со свойствами, подходящими для удвоения куба. В терминах современных обозначений решение легко достигается. Сдвинув изогнутую плоскость (Gig. 6.2), мы можем найти параболу с любым latus rectum. Если, таким образом, мы хотим удвоить куб с ребром, мы располагаем на прямоугольном конусе две параболы, одну с latus rectum и другую с latus rectum [...] Вероятно, Менехм знал, что удвоение может быть достигнуто также с помощью прямоугольной гиперболы и параболы. ${\displaystyle y^{2}=R}$
    
    ${\displaystyle y^{2}=lx,}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a.}$
29. (Boyer 1991, "China and India" pp. 195–197) "оценки, касающиеся Chou Pei Suan Ching , обычно считающегося старейшим из математических классических произведений, различаются почти на тысячу лет. [...] Дата около 300 г. до н. э. кажется разумной, таким образом, помещая его в тесную конкуренцию с другим трактатом, Chiu-chang suan-shu , составленным около 250 г. до н. э., то есть незадолго до династии Хань (202 г. до н. э.). [...] Почти такой же старой, как Chou Pei , и, возможно, самой влиятельной из всех китайских математических книг, была Chui-chang suan-shu , или Девять глав о математическом искусстве . Эта книга включает 246 задач по геодезии, сельскому хозяйству, товариществам, инженерии, налогообложению, расчетам, решению уравнений и свойствам прямоугольных треугольников. [...] Глава восьмая из Девяти глав значима для решения задач одновременного линейного уравнения, использующие как положительные, так и отрицательные числа. Последняя задача в главе включает четыре уравнения с пятью неизвестными, и тема неопределенных уравнений осталась любимой среди народов Востока».
30. (Boyer 1991, "China and India" p. 204) "Ли Чжи (или Ли Йе, 1192–1279), математик из Пекина, которому Хубилай-хан предложил правительственную должность в 1206 году, но он вежливо нашел повод отказаться от нее. Его "Цэ-юань хай-цзин" ( Морское зеркало измерений круга ) включает 170 задач, связанных с [...] некоторыми из задач, приводящих к уравнениям четвертой степени. Хотя он не описал свой метод решения уравнений, включая некоторые уравнения шестой степени, похоже, что он не сильно отличался от того, который использовали Чжу Ши-цзе и Хорнер. Другими, кто использовал метод Хорнера, были Цинь Цзю-шао (ок. 1202 – ок. 1261) и Ян Хуэй (ок. 1261 – 1275). Первый был беспринципным губернатором и министром, который приобрел огромные богатство в течение ста дней с момента вступления в должность. Его Шу-шу цзю-чан ( Математический трактат в девяти разделах ) знаменует собой высшую точку китайского неопределенного анализа с изобретением процедур для решения одновременных сравнений».
31. (Boyer 1991, "China and India" p. 197) "Китайцы особенно любили узоры; поэтому неудивительно, что первая запись (древнего, но неизвестного происхождения) магического квадрата появилась именно там. [...] Интерес к таким узорам заставил автора "Девяти глав" решить систему одновременных линейных уравнений [...], выполняя операции со столбцами над матрицей [...], чтобы свести ее к [...] Вторая форма представляла собой уравнения = 24, из которых значения и последовательно находятся с легкостью". ${\displaystyle 36z=99,5y+z=24,}$ ${\displaystyle 3x+2y+z=39}$ ${\displaystyle z,y,}$ ${\displaystyle x}$
32. (Boyer 1991, "China and India" pp. 204–205) "Тот же самый "приём Хорнера" ​​использовался Ян Хуэем, о жизни которого почти ничего не известно и чьи работы сохранились лишь частично. Среди его вкладов, которые сохранились, есть самые ранние китайские магические квадраты порядка больше трёх, включая два каждого порядка с четвёртого по восьмой и по одному каждого порядка девятого и десятого".
33. (Boyer 1991, "China and India" p. 203) "Последним и величайшим из математиков династии Сун был Чжу Чжи-цзе ( ок. 1280–1303), однако мы мало что знаем о нем-, [...] Больший исторический и математический интерес представляет Ssy-yüan yü-chien ( Драгоценное зеркало четырех элементов ) 1303 года. В восемнадцатом веке оно также исчезло в Китае, чтобы быть вновь открытым в следующем столетии. Четыре элемента, называемые небом, землей, человеком и материей, являются представлениями четырех неизвестных величин в одном и том же уравнении. Книга знаменует собой вершину развития китайской алгебры, поскольку она имеет дело с одновременными уравнениями и с уравнениями степеней вплоть до четырнадцати. В ней автор описывает метод преобразования, который он называет fan fa , элементы которого возникли задолго до этого в Китае, но который, как правило, носит имя Хорнера, который жил на полтысячелетия позже".
34. (Boyer 1991, "China and India" p. 205) "Некоторые из многочисленных сумм рядов, найденных в " Precious Mirror" , следующие: [...] Однако никаких доказательств не приводится, и эта тема, по-видимому, не была продолжена в Китае до примерно девятнадцатого века. [...] " Precious Mirror" открывается диаграммой арифметического треугольника, неуместно известного на Западе как "треугольник Паскаля". (См. иллюстрацию.) [...] Чу отказывается от авторства треугольника, ссылаясь на него как на "диаграмму старого метода нахождения восьмых и более низких степеней". Подобная расстановка коэффициентов вплоть до шестой степени появилась в работе Ян Хуэя, но без символа круглого нуля".
35. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 178) Неопределенность относительно жизни Диофанта настолько велика, что мы не знаем наверняка, в каком веке он жил. Обычно предполагается, что он жил около 250 г. н. э., но иногда предлагаются даты на столетие или более раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет. [...] Главным известным нам произведением Диофанта является "Арифметика" , трактат, первоначально состоявший из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть".
36. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан. Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . п. 80.
37. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История математики . 40 (2): 158–160. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .
38. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История математики . 40 : 150.
39. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 51–52.
40. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2021). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 53–66.
41. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" pp. 180–182) "В этом отношении ее можно сравнить с великими классиками ранней Александрийской эпохи; однако она не имеет практически ничего общего с ними или, по сути, с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой по сути новую ветвь и использует другой подход. Будучи отделенной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но в то время как вавилонские математики были заняты в основном приближенными решениями определенных уравнений вплоть до третьей степени, Арифметика Диофанта (такая, какой она есть у нас) почти полностью посвящена точному решению уравнений, как определенных , так и неопределенных . [...] На протяжении шести сохранившихся книг Арифметики существует систематическое использование сокращений для степеней чисел, а также для отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву ζ (возможно, для последней буквы арифмоса). [...] Вместо этого это сборник из примерно 150 задач, все разработанные в терминах конкретных числовых примеров, хотя, возможно, подразумевалась общность метода. Нет никакой разработки постулатов, и не делается попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями дается только больший из них, а отрицательные корни не распознаются. Не проводится четкого различия между определенными и неопределенными задачами, и даже для последних, для которых число решений, как правило, неограниченно, дается только один ответ. Диофант решал задачи, включающие несколько неизвестных чисел, искусно выражая все неизвестные величины, где это возможно, через только одно из них.
42. (Boyer 1991, «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 178) «Главное различие между диофантовой синкопой и современной алгебраической записью заключается в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».
43. (Дербишир 2006, «Отец алгебры» стр. 35–36)
44. (Кук 1997, «Математика в Римской империи» стр. 167–168)
45. Oaks, Jeffrey; Christianidis, Jean (2023). The Arithmetica of Diophantus A Complete Translation and Commentary . pp. 78–79. В этой трихотомии есть два основных недостатка. Во-первых, язык, на котором написаны книги, не всегда является языком, на котором решались задачи. На арабском языке задачи часто решались в нотации на доске или какой-либо другой временной поверхности, а затем для включения в книгу составлялась риторическая версия. Кроме того, из-за двумерного характера арабской нотации она должна была быть написана и прочитана визуально, независимо от реальной или воображаемой речи. Таким образом, она прекрасно вписывается в «символическую» категорию Нессельмана. С другой стороны, риторическая версия той же работы была отнесена к категории «риторической». Эти два способа записи алгебры не отражают два этапа развития алгебры, а являются разными способами выражения одних и тех же идей. Во-вторых, Нессельман не знал о концептуальных различиях между досовременной и современной алгеброй, и поэтому он не мог оценить скачок, совершенный во времена Виета и Декарта, который включал радикальный сдвиг в интерпретации обозначений.
46. (Бойер 1991, «Европа в Средние века», стр. 257) «В книге часто используются тождества [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».
47. (Boyer 1991, «Математика индусов» стр. 197) «Самые древние сохранившиеся документы по индуистской математике — это копии трудов, написанных в середине первого тысячелетия до нашей эры, примерно в то время, когда жили Фалес и Пифагор. [...] с шестого века до нашей эры»
48. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 222) « Livavanti , как и Vija-Ganita , содержит многочисленные задачи, связанные с любимыми индуистскими темами: линейные и квадратные уравнения, как определенные, так и неопределенные, простые измерения, арифметические и геометрические прогрессии, иррациональные числа, пифагорейские триады и другие».
49. (Бойер 1991, «Математика индусов», стр. 207) «Он дал более элегантные правила для суммы квадратов и кубов начального сегмента положительных целых чисел. Шестая часть произведения трех величин, состоящих из числа членов, числа членов плюс один и удвоенного числа членов плюс один, является суммой квадратов. Квадрат суммы ряда является суммой кубов».
50. (Boyer 1991, «Китай и Индия» стр. 219) «Брахмагупта (ок. 628 г.), живший в Центральной Индии несколько более чем через столетие после Арьябхаты [...] в тригонометрии своего самого известного труда, « Брахмаспута-сиддханта» , [...] здесь мы находим общие решения квадратных уравнений, включая два корня, даже в случаях, когда один из них отрицателен».
51. (Boyer 1991, "China and India" p. 220) "Индуистская алгебра особенно примечательна своим развитием неопределенного анализа, в который Брахмагупта внес несколько вкладов. Во-первых, в его работе мы находим правило формирования пифагорейских триад, выраженное в форме ; но это всего лишь измененная форма старого вавилонского правила, с которым он, возможно, был знаком". ${\displaystyle m,1/2\left(m^{2}/n-n\right),1/2\left(m^{2}/n+n\right)}$
52. (Boyer 1991, "China and India" p. 221) "он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения , где и - целые числа. [...] В значительной степени заслугой Брахмагупты является то, что он дал все целые решения линейного диофантова уравнения, тогда как сам Диофант был удовлетворен тем, чтобы дать одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в Индии - или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии. Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, была синкопированной. Сложение обозначалось сопоставлением, вычитание - размещением точки над вычитаемым, а деление - размещением делителя под делимым, как в нашей дробной записи, но без черты. Операции умножения и эволюция (извлечение корней), а также неизвестные величины, были представлены сокращениями соответствующих слов. [...] Бхаскара (1114 – ок. 1185), ведущий математик двенадцатого века. Именно он заполнил некоторые пробелы в работе Брахмагупты, например, дав общее решение уравнения Пелля и рассмотрев проблему деления на ноль». ${\displaystyle ax+by=c,}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$
53. (Boyer 1991, «China and India» pp. 222–223) «При рассмотрении круга и сферы Лилавати также не различает точные и приблизительные утверждения. [...] Многие из проблем Бхаскары в Ливавати и Виджа-Ганите, очевидно, были заимствованы из более ранних индуистских источников; поэтому неудивительно, что автор лучше всего справляется с неопределенным анализом».
54. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 227) "Первый век мусульманской империи был лишен научных достижений. Этот период (примерно с 650 по 750 гг.) был, по сути, возможно, надиром в развитии математики, поскольку арабы еще не достигли интеллектуального рывка, а интерес к обучению в других частях мира угас. Если бы не внезапное культурное пробуждение в исламе во второй половине восьмого века, было бы утрачено значительно больше древней науки и математики. [...] Однако именно во время халифата аль-Мамуна (809–833 гг.) арабы в полной мере предались своей страсти к переводу. Говорят, что халифу приснился сон, в котором явился Аристотель, и в результате аль-Мамун решил сделать арабские версии всех греческих трудов, которые он мог заполучить, включая Альмагест Птолемея и полную версию «Начала» Евклида . Из Византийской империи, с которой арабы поддерживали непростой мир, греческие рукописи были получены посредством мирных договоров. Аль-Мамун основал в Багдаде «Дом мудрости» (Bait al-hikma), сопоставимый с древним Музеем в Александрии. Среди преподавателей был математик и астроном Мухаммед ибн-Муса аль-Хорезми, чье имя, как и имя Евклида, впоследствии стало нарицательным в Западной Европе. Ученый, умерший около 850 года, написал более полудюжины астрономических и математических трудов, самые ранние из которых, вероятно, были основаны на « Синдхаде», полученном из Индии.
55. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 234) "но работа аль-Хорезми имела серьезный недостаток, который необходимо было устранить, прежде чем она могла бы эффективно служить своей цели в современном мире: необходимо было разработать символическую нотацию, чтобы заменить риторическую форму. Этот шаг арабы так и не предприняли, за исключением замены числовых слов числовыми знаками. [...] Сабит был основателем школы переводчиков, особенно с греческого и сирийского языков, и ему мы в огромном долгу за переводы на арабский язык трудов Евклида, Архимеда, Аполлония, Птолемея и Евтокия".
56. Gandz and Saloman (1936), Источники алгебры аль-Хорезми , Osiris i, стр. 263–277: «В некотором смысле Хорезми более прав называться «отцом алгебры», чем Диофант, потому что Хорезми был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме, и ради неё самой Диофант в первую очередь занимался теорией чисел».
57. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "Аль-Хорезми продолжил: "Мы достаточно сказали о числах, о шести типах уравнений. Теперь, однако, необходимо, чтобы мы геометрически продемонстрировали истинность тех же проблем, которые мы объяснили в числах". Звучание этого отрывка, очевидно, греческое, а не вавилонское или индийское. Таким образом, существуют три основные школы мысли о происхождении арабской алгебры: одна подчеркивает индуистское влияние, другая подчеркивает месопотамскую или сирийско-персидскую традицию, а третья указывает на греческое вдохновение. Истина, вероятно, будет достигнута, если мы объединим три теории".
58. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 228–229) «В предисловии автора на арабском языке дается полная хвала Мухаммеду, пророку, и аль-Мамуну, «Повелителю правоверных».»
59. Корбин, Генри (1998). Путешествие и посланник: Иран и философия. North Atlantic Books. стр. 44. ISBN 978-1-55643-269-9. Архивировано из оригинала 28 марта 2023 . Получено 19 октября 2020 .
60. Бойер, Карл Б., 1985. История математики , стр. 252. Princeton University Press. «Диофанта иногда называют отцом алгебры, но этот титул более уместно принадлежит аль-Ховаризми...», «...Аль-Джабр ближе к элементарной алгебре сегодняшнего дня, чем труды Диофанта или Брахмагупты...»
61. S Gandz, Источники алгебры аль-Хорезми, Osiris, i (1936), 263–277, «Алгебра аль-Хорезми считается основой и краеугольным камнем наук. В некотором смысле аль-Хорезми более заслуживает звания «отца алгебры», чем Диофант, потому что аль-Хорезми был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме, и ради нее самой Диофант в первую очередь занимался теорией чисел».
62. Katz, Victor J. "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching" (PDF) . VICTOR J. KATZ, University of the District of Columbia Washington, DC : 190. Архивировано из оригинала (PDF) 27 марта 2019 г. . Получено 7 октября 2017 г. – через University of the District of Columbia Washington DC, USA. Первый настоящий текст по алгебре, который дошел до наших дней, — это работа по аль-джабру и аль-мукабале Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми, написанная в Багдаде около 825 г.
63. Эспозито, Джон Л. (2000). Оксфордская история ислама. Oxford University Press. стр. 188. ISBN 978-0-19-988041-6. Архивировано из оригинала 28 марта 2023 г. . Получено 29 сентября 2020 г. . Аль-Хорезми часто считают основателем алгебры, и его имя дало начало термину алгоритм.
64. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 228) «Арабы в целом любили хорошую, ясную аргументацию от предпосылки до заключения, а также систематическую организацию — аспекты, в которых ни Диофант, ни индусы не преуспели».
65. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "Неясно, что именно означают термины al-jabr и muqabalah , но обычное толкование похоже на то, что подразумевается в переводе выше. Слово al-jabr предположительно означало что-то вроде "восстановления" или "завершения" и, по-видимому, относится к перестановке вычитаемых членов на другую сторону уравнения, что очевидно из трактата; слово muqabalah , как говорят, относится к "сокращению" или "уравновешиванию" — то есть отмене подобных членов на противоположных сторонах уравнения".
66. Рашед, Р.; Армстронг, Анджела (1994), Развитие арабской математики , Springer , стр. 11–12, ISBN 978-0-7923-2565-9, OCLC  29181926
67. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "в шести коротких главах шести типов уравнений, составленных из трех видов величин: корней, квадратов и чисел (то есть и чисел). Глава I, в трех коротких абзацах, охватывает случай квадратов, равных корням, выраженный в современных обозначениях как и давая ответы и соответственно. (Корень не был распознан.) Глава II охватывает случай квадратов, равных числам, а глава III решает случаи корней, равных числам, снова с тремя иллюстрациями на главу, чтобы охватить случаи, в которых коэффициент переменного члена равен, больше или меньше единицы. Главы IV, V и VI более интересны, поскольку они по очереди охватывают три классических случая трехчленных квадратных уравнений: (1) квадраты и корни, равные числам, (2) квадраты и числа, равные корням, и (3) корни и числа, равные квадратам". ${\displaystyle x,x^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}=5x,x^{2}/3=4x,}$ ${\displaystyle 5x^{2}=10x,}$ ${\displaystyle x=5,x=12,}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x=0}$
68. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" стр. 229–230) "Решения представляют собой правила "поваренной книги" для "завершения квадрата", применяемые к конкретным случаям. [...] В каждом случае дается только положительный ответ. [...] Снова дается только один корень, поскольку другой отрицательный. [...] Шесть случаев уравнений, приведенных выше, исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительные корни".
69. (Boyer 1991, "The Arab Hegemony" стр. 230) "Аль-Хорезми здесь обращает внимание на тот факт, что то, что мы обозначаем как дискриминант, должно быть положительным: "Вы должны также понимать, что когда вы берете половину корней в этой форме уравнения, а затем умножаете половину на себя; если то, что получается или получается в результате умножения, меньше единиц, упомянутых выше как сопутствующих квадрату, вы получаете уравнение". [...] Еще раз шаги в завершении квадрата указаны тщательно, без обоснования,"
70. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 231) « Алгебра аль-Хорезми выдает несомненные эллинские элементы»,
71. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 233) "Несколько задач аль-Хорезми дают довольно ясное свидетельство арабской зависимости от вавилоно-героновского течения математики. Одна из них, предположительно, была взята непосредственно из Герона, поскольку фигура и размеры те же самые".
72. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 228) "алгебра аль-Хорезми полностью риторическая, без синкопирования, которое можно найти в греческой арифметике или в работе Брахмагупты. Даже числа были записаны словами, а не символами! Весьма маловероятно, что аль-Хорезми знал о работе Диофанта, но он должен был быть знаком, по крайней мере, с астрономическими и вычислительными частями Брахмагупты; однако ни аль-Хорезми, ни другие арабские ученые не использовали синкопирование или отрицательные числа".
73. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 234) " Алгебра аль-Хорезми обычно считается первой работой по этой теме, но недавняя публикация в Турции поднимает некоторые вопросы по этому поводу. Рукопись работы 'Абд-аль-Хамида ибн-Турка под названием "Логические необходимости в смешанных уравнениях" была частью книги по Аль-Джабр валь мукабала , которая, очевидно, была очень похожа на книгу аль-Хорезми и была опубликована примерно в то же время — возможно, даже раньше. Сохранившиеся главы по "Логическим необходимостям" дают точно такой же тип геометрической демонстрации, как и Алгебра аль-Хорезми , и в одном случае тот же иллюстративный пример . В одном отношении изложение 'Абд-аль-Хамада более основательно, чем у аль-Хорезми, он приводит геометрические фигуры, чтобы доказать, что если дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет решения. Сходства в работах двух ученых и систематическая организация, обнаруженная в них, по-видимому, указывают на то, что алгебра в их время не была таким уж недавним развитием, как обычно предполагалось. Когда учебники с общепринятым и хорошо упорядоченным изложением появляются одновременно, предмет, вероятно, значительно вышел за рамки стадии формирования. [...] Обратите внимание на пропуск Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, не были сначала известны в Аравии, хотя «Диофантова арифметика» стала известна до конца десятого века». ${\displaystyle x^{2}+21=10x.}$
74. (Дербишир 2006, «Отец алгебры» стр. 49)
75. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999), «Арабская математика: забытое великолепие?», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс«Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины и т. д. как «алгебраические объекты».
76. Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 148, в Селине, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000), Математика в разных культурах: история незападной математики , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
77. Berggren, J. Lennart (2007). "Математика в средневековом исламе". Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
78. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239) "Абу-ль-Вефа был способным алгебраистом, а также трионометристом. [...] Его преемник аль-Кархи, очевидно, использовал этот перевод, чтобы стать арабским учеником Диофанта — но без диофантова анализа! [...] В частности, аль-Кархи приписывается первое численное решение уравнений вида (рассматривались только уравнения с положительными корнями)", ${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c}$
79. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Бекр ибн Мухаммад ибн аль-Хусейн Аль-Караджи», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
80. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" стр. 241–242) "Омар Хайям (ок. 1050 – 1123), "изготовитель палаток", написал Алгебру , которая превзошла алгебру аль-Хорезми, включив уравнения третьей степени. Как и его арабские предшественники, Омар Хайям предоставил для квадратных уравнений как арифметические, так и геометрические решения; для общих кубических уравнений он считал (ошибочно, как позже показал шестнадцатый век), что арифметические решения невозможны; поэтому он дал только геометрические решения. Схема использования пересекающихся коник для решения кубических уравнений использовалась ранее Менехмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям предпринял похвальный шаг, обобщив метод для охвата всех уравнений третьей степени (имеющих положительные корни)... Для уравнений более высокой степени, чем три, Омар Хайям, очевидно, не представлял подобные геометрические методы, поскольку пространство не содержит более трех измерений, [...] Одним из самых плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция к сокращению разрыва между числовой и геометрической алгеброй. Решающий шаг в этом направлении был сделан гораздо позже Декартом, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Тот, кто думает, что алгебра — это трюк в получении неизвестных, думал это напрасно. Не следует обращать внимания на тот факт, что алгебра и геометрия различны по внешнему виду. Алгебры — это геометрические факты, которые доказаны».
81. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Шараф ад-Дин аль-Музаффар аль-Туси», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
82. Рашед, Рошди; Армстронг, Анджела (1994), Развитие арабской математики , Springer , стр. 342–343, ISBN 978-0-7923-2565-9
83. Берггрен, Дж. Л. (1990). «Инновации и традиции в «Муадалате» Шарафа ад-Дина ат-Туси». Журнал Американского восточного общества . 110 (2): 304–309. doi :10.2307/604533. JSTOR  604533. Рашед утверждал, что Шараф ад-Дин открыл производную кубических многочленов и осознал ее значение для исследования условий, при которых кубические уравнения были разрешимы; однако другие ученые предложили совершенно иные объяснения мышления Шарафа ад-Дина, которые связывают его с математикой, найденной у Евклида или Архимеда.
84. Виктор Дж. Кац, Билл Бартон (октябрь 2007 г.), «Этапы в истории алгебры с последствиями для преподавания», Educational Studies in Mathematics , 66 (2): 185–201 [192], doi :10.1007/s10649-006-9023-7, S2CID  120363574
85. Tjalling J. Ypma (1995), «Историческое развитие метода Ньютона-Рафсона», SIAM Review 37 (4): 531–551, doi :10.1137/1037125
86. «Числа Фибоначчи: человек, стоящий за математикой». NPR .
87. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абул Хасан ибн Али аль Каласади», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
88. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria pp. 192–193) "Смерть Боэция можно считать концом древней математики в Западной Римской империи, так же как смерть Гипатии ознаменовала закрытие Александрии как математического центра; но работа продолжалась еще несколько лет в Афинах. [...] Когда в 527 году Юстиниан стал императором на Востоке, он, очевидно, чувствовал, что языческое обучение Академии и других философских школ в Афинах представляет угрозу ортодоксальному христианству; поэтому в 529 году философские школы были закрыты, а ученые разъехались. Рим в то время едва ли был гостеприимным домом для ученых, и Симплиций и некоторые другие философы искали убежища на Востоке. Его они нашли в Персии, где при царе Хосрове они основали то, что можно было бы назвать "Афинской академией в изгнании". (Sarton 1952; p. 400)".
89. Например, Башмакова и Смирнова (2000:78), Бойер (1991:180), Бертон (1995:319), Дербишир (2006:93), Кац и Паршалл (2014:238), Сезиано (1999:125) и Светц (2013:110)
90. Декарт (1637:301–303)
91. Декарт (1925:9–14)
92. Каджори (1919:698); Каджори (1928:381–382)
93. Энестрём (1905:317)
94. Например, Тропфке (1902:150). Но Густав Энестрём (1905:316–317) показал, что Декарт в письме, написанном в 1619 году, использовал немецкий символ в явном противоречии со своим собственным ${\displaystyle x.}$
95. Перечеркнутая цифра 1 использовалась Пьетро Катальди для первой степени неизвестного. Связь между этой традицией и приписывается Каджори Густаву Вертгейму, но Каджори (1919:699; 1928:382) не находит никаких доказательств в ее поддержку. ${\displaystyle x}$
96. Каджори (1919:699)
97. См., например, выступление Терри Мура на TED под названием «Почему „x“ — неизвестное?», опубликованное в 2012 году.
98. Алькала (1505)
99. Лагард (1884).
100. Иаков (1903:519).
101. Райдер (1982) перечисляет пять трактатов по алгебре, опубликованных на испанском языке в шестнадцатом веке, все из которых используют «cosa»: Аурель (1552), Ортега (1552), Диес (1556), Перес де Мойя (1562) и Нунес (1567). Последние две работы также сокращают cosa до « co. » — как и Пуч (1672).
102. Эти формы отсутствуют в трудах Алонсо (1986), Кастена и Коди (2001), Ольшлегера (1940), онлайн-диахроническом корпусе испанского языка Испанской королевской академии (CORDE) и Корпусе испанского языка Дэвиса .
103. "Почему x?" . Получено 2019-05-30 .
104. Струик (1969), 367. ^{[ нужна полная цитата ]}
105. Эндрю Уорвик (2003) Мастера теории: Кембридж и расцвет математической физики , Чикаго: Издательство Чикагского университета ISBN 0-226-87374-9 
106. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 228) "Диофанта иногда называют "отцом алгебры", но этот титул более уместно присвоить Абу Абдулле ибн Мирсми аль-Хорезми. Верно, что в двух отношениях работа аль-Хорезми представляла собой отход от работы Диофанта. Во-первых, она находится на гораздо более элементарном уровне, чем тот, который содержится в задачах Диофанта, и, во-вторых, алгебра аль-Хорезми полностью риторическая, без синкоп, которые можно найти в греческой арифметике или в работе Брахмагупты. Даже числа были записаны словами, а не символами! Весьма маловероятно, что аль-Хорезми знал о работе Диофанта, но он должен был быть знаком, по крайней мере, с астрономическими и вычислительными частями Брахмагупты; тем не менее, ни Ни аль-Хорезми, ни другие арабские ученые не использовали синкопу или отрицательные числа».
107. Herscovics, Nicolas; Linchevski, Liora (1 июля 1994 г.). «Когнитивный разрыв между арифметикой и алгеброй». Educational Studies in Mathematics . 27 (1): 59–78. doi :10.1007/BF01284528. ISSN  1573-0816. S2CID  119624121. Это стало бы неожиданностью для аль-Хорезми, которого считают отцом алгебры (Boyer/Merzbach, 1991), который познакомил с ней средиземноморский мир около девятого века.
108. Додж, Ядола (2008). Краткая энциклопедия статистики . Springer Science & Business Media . стр. 1. ISBN 9780387317427Термин «алгоритм » происходит от латинского произношения имени математика девятого века аль-Хорезми, который жил в Багдаде и был отцом алгебры.
109. (Derbyshire 2006, «Отец алгебры» стр. 31) «Ван дер Варден отодвигает происхождение алгебры на более поздний период времени, начиная с математика аль-Хорезми»
110. (Derbyshire 2006, «Отец алгебры», стр. 31) «Диофант, отец алгебры, в честь которого я назвал эту главу, жил в Александрии, в Римском Египте, в I, II или III веке н. э.».
111. Дж. Сезиано, К. Фогель, «Диофант», Словарь научной биографии (Нью-Йорк, 1970–1990), «Диофант не был, как его часто называют, отцом алгебры».
112. (Derbyshire 2006, «Отец алгебры» стр. 31) «Курт Фогель, например, в своей статье в « Словаре научной биографии » считает труд Диофанта не намного более алгебраическим, чем труды древних вавилонян».
113. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 230) «Шесть случаев уравнений, приведенных выше, исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительный корень. Изложение аль-Хорезми было настолько систематическим и исчерпывающим, что его читатели, должно быть, не испытали особых трудностей в освоении решений».
114. Katz, Victor J. (2006). "STAGES IN THE HISTORY OF ALGEBRA WITH IMPLICATIONS FOR TEACHING" (PDF) . VICTOR J.KATZ, University of the District of Columbia Washington DC : 190. Архивировано из оригинала (PDF) 2019-03-27 . Получено 2019-08-06 – через University of the District of Columbia Washington DC, USA. Первый настоящий текст по алгебре, который дошел до наших дней, — это работа по аль-джабру и аль-мукабале Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми, написанная в Багдаде около 825 года.
115. Оукс, Джеффри (2014). Оксфордская энциклопедия ислама и философии, науки и технологий . стр. 458. Суждения историков, которые либо преуменьшают важность аль-Хорезми из-за его отсутствия оригинальности, либо навязывают ему титул «изобретателя науки алгебры», предполагают современный западный идеал математических достижений, который неприменим к нашему ученому девятого века. Известность аль-Хорезми в исламском мире основана на его успехе в написании книг, которые сыграли основополагающую роль для практического изучения и будущей науки.
116. Кристианидис, Жан (2007). «Путь Диофанта: Некоторые разъяснения по методу решения Диофанта». История математики . 34 (3): 303. doi :10.1016/j.hm.2006.10.003.

Источники

• Алькала, Педро де (1505 г.), De lingua arabica, ГранадаИздание Поля де Лагарда, Геттинген: Арнольд Хойер, 1883 г.
• Алонсо, Мартин [на испанском языке] (1986), Diccionario del español средневековый , Саламанка: Universidad Pontificia de Salamanca
• Аурель, Марко (1552), Libro primero de алгебраическая арифметика, Валенсия: Джоан де Мей
• Башмакова, И ; Смирнова, Г. (2000). Начало и эволюция алгебры . Математические изложения Дольчани. Том 23. Перевод Эйба Шенитцера. Математическая ассоциация Америки.
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8
• Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона: Введение (3-е изд.), Dubuque: Wm. C. Brown
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение (3-е изд.), The McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN 978-0-07-009465-9
• Каджори, Флориан (1919), «Как x стал обозначать неизвестную величину», Школьные науки и математика , 19 (8): 698–699, doi :10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Каджори, Флориан (1928), История математических обозначений, Чикаго: Open Court Publishing, ISBN 9780486161167
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-18082-1
• Дербишир, Джон (2006), Неизвестная величина: реальная и воображаемая история алгебры, Вашингтон, округ Колумбия: Joseph Henry Press, ISBN 978-0-309-09657-7
• Декарт, Рене (1637), Геометрия, Лейд: Ян Мэр. Интернет, 2008 г., изд. Л. Германн, Проект Гутенберг.
• Декарт, Рене (1925), Геометрия Рене Декарта, Чикаго: Open Court, ISBN 9781602066922
• Диес, Хуан (1556), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los reynos del Piru son necessarias a los mercaderes: y todo Genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al arithmetica, Мехико
• Энестрём, Густав (1905), «Kleine Mitteilungen», Bibliotheca Mathematica , сер. 3, 6(онлайн-доступ только в США)
• Флегг, Грэм (1983), Числа: их история и значение , Dover publications, ISBN 978-0-486-42165-0
• Хит, Томас Литтл (1981a), История греческой математики , Том I , Dover Publications, ISBN 978-0-486-24073-2
• Хит, Томас Литтл (1981b), История греческой математики , Том II , Dover Publications, ISBN 978-0-486-24074-9
• Якоб, Георг (1903), «Восточные элементы культуры на Западе», Ежегодный отчет Совета регентов Смитсоновского института [...] за год, закончившийся 30 июня 1902 г .: 509–529
• Кастен, Ллойд А.; Коди, Флориан Дж. (2001), Предварительный словарь средневекового испанского языка (2-е изд.), Нью-Йорк: Испанская семинария по изучению средневековья
• Кац, Виктор Дж.; Паршалл, Карен Хангер (2014), Укрощение неизвестного: История алгебры от античности до начала двадцатого века, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-1-400-85052-5
• Лагард, Поль де (1884), «Woher stammt das x der Mathematik?», Mittheilungen , vol. 1, Геттинген: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, стр. 134–137.
• Нуньес, Педро (1567), Libro de алгебра, арифметика и геометрия, Антверпен: Арнольдо Биркман
• Ольшлегер, Виктор РБ (1940), «Список слов средневекового испанского языка» , Мэдисон: Издательство Висконсинского университета
• Ортега, Хуан де (1552), Tractado subtilissimo de arismetica y geometria, Гранада: Рене Рабу
• Перес де Мойя, Хуан [на испанском языке] (1562), Aritmética práctica y especulativa, Саламанка: Матиас Гаст
• Пуч, Андрес (1672), Арифметика спекулятивная и практическая; и искусство алгебры, Барселона: Антонио Лакаваллерия
• Райдер, Робин Э. (1982), Библиография ранней современной алгебры, 1500–1800 , Беркли: Berkeley Papers in History of Science
• Сезиано, Жак (1999), Введение в историю алгебры: решение уравнений со времен Месопотамии до эпохи Возрождения, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 9780821844731
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (2-е изд.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 978-0-387-95336-6
• Свец, Фрэнк Дж. (2013), Европейское математическое пробуждение: путешествие по истории математики, 1000–1800 (2-е изд.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 9780486498058
• Тропфке, Йоханнес (1902), Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung, vol. 1, Лейпциг: Фон Фейт и Комп.

Внешние ссылки

• «Комментарий исламского шейха Закарии аль-Ансари к поэме Ибн аль-Хаима о науке алгебры и уравновешивании, называемой «Явлением Творца в объяснении убедительного»», в котором излагаются основные понятия алгебры, датируемые XV веком, из Мировой цифровой библиотеки .