Набор главных идеалов кольца
В коммутативной алгебре простой спектр (или просто спектр ) коммутативного кольца R представляет собой множество всех простых идеалов кольца R и обычно обозначается ; в алгебраической геометрии это одновременно топологическое пространство, снабженное пучком колец .
Топология Зариского
Для любого идеала I из R определите множество простых идеалов, содержащих I. Мы можем создать топологию , определив совокупность замкнутых множеств как
Эта топология называется топологией Зарисского .
Базис топологии Зарисского можно построить следующим образом . Для f ∈ R определим D f как множество простых идеалов R , не содержащих f . Тогда каждый D f является открытым подмножеством и является базисом топологии Зарисского.
— компактное пространство , но почти никогда не Хаусдорф : на самом деле максимальные идеалы в R — это именно замкнутые точки в этой топологии. По тем же соображениям, вообще говоря, не является пространством T 1 . Однако всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T 0 ); это также спектральное пространство .
Пучки и схемы
Для пространства с топологией Зариского структурный пучок определяется на выделенных открытых подмножествах путем задания локализации R степенями f . Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, определяет пучок . Более подробно, выделенные открытые подмножества являются базисом топологии Зариского, поэтому для произвольного открытого множества U , записанного как объединение , мы устанавливаем где обозначает предел относительно естественных гомоморфизмов колец . Можно проверить, что этот предпучок пучок, то же самое и пространство с кольцом . Любое кольцевое пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются склейкой аффинных схем.
Аналогично, для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок на . На выделенные открытые подмножества устанавливаются с помощью локализации модуля . Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах и удовлетворяет аксиоме склейки . Пучок такого вида называется квазикогерентным .
Если P — точка в , то есть простой идеал, то слой структурного пучка в P равен локализации R в идеале P , и это локальное кольцо . Следовательно, — локально окольцованное пространство .
Если R — область целостности с полем частных K , то мы можем описать кольцо более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент f в K является регулярным в точке P в X , если его можно представить в виде дроби f = a / b , где b не входит в P. Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем точно описать множество элементов K , которые регулярны в каждой точке P в U .
Функториальная перспектива
Полезно воспользоваться языком теории категорий и заметить, что это функтор . Каждый гомоморфизм колец индуцирует непрерывное отображение (поскольку прообраз любого простого идеала в является простым идеалом в ). Таким образом, его можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, для любого простого числа гомоморфизм сводится к гомоморфизмам
местных колец. Тем самым даже определяется контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств . Фактически это универсальный такой функтор, и, следовательно, его можно использовать для определения функтора с точностью до естественного изоморфизма . [ нужна цитата ]
Функтор дает контравариантную эквивалентность между категорией коммутативных колец и категорией аффинных схем ; каждую из этих категорий часто считают категорией, противоположной другой.
Мотивация из алгебраической геометрии
Следуя примеру, в алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества , т. е. подмножества K n (где K — алгебраически замкнутое поле ), которые определяются как общие нули набора многочленов от n переменных. Если A такое алгебраическое множество, рассматривается коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций A → K . Максимальные идеалы R соответствуют точкам A (поскольку K алгебраически замкнуто), а простые идеалы R соответствуют подмногообразиям A ( алгебраическое множество называется неприводимым или многообразием , если его нельзя записать в виде объединения два собственных алгебраических подмножества).
Таким образом, спектр R состоит из точек A вместе с элементами всех подмногообразий A . Точки A замкнуты в спектре, а элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A , т. е. максимальные идеалы в R , то определенная выше топология Зарисского совпадает с топологией Зарисского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет именно алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R , т. е . вместе с топологией Зарисского, гомеоморфны A также с топологией Зарисского.
Таким образом, топологическое пространство можно рассматривать как «обогащение» топологического пространства A (топологией Зарисского): для каждого подмногообразия A введена одна дополнительная незамкнутая точка, и эта точка «отслеживает» соответствующее подмногообразие. . Эту точку можно рассматривать как общую точку подмногообразия. Более того, пучок на и пучок полиномиальных функций на A по существу идентичны. Изучая спектры колец полиномов вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и за их пределами, в конечном итоге придя к языку схем .
Примеры
- Спектр целых чисел: Аффинная схема является последним объектом в категории аффинных схем, поскольку является исходным объектом в категории коммутативных колец.
- Теоретико-схемный аналог : Аффинная схема . С точки зрения функтора точек точку можно отождествить с оценочным морфизмом . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.
- Крест: топологически выглядит как поперечное пересечение двух комплексных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как , поскольку единственными четко определенными морфизмами to являются оценочные морфизмы, связанные с точками .
- Простой спектр булевого кольца (например, кольца степенных множеств ) представляет собой компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство (т. е. пространство Стоуна ).
- ( М. Хохстер ) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. е. спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно компактно, квазиотделимо и трезво .
Неаффинные примеры
Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены путем склеивания аффинных схем.
- Проективное пространство над полем . Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. Конструкцию Проя (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективное пространство for не аффинно, как глобальная часть is .
- Аффинная плоскость без начала координат. Внутри выделяют открытые аффинные подсхемы . Их объединение представляет собой аффинную плоскость с вынесенным началом. Глобальные секции представляют собой пары полиномов на , которые ограничиваются одним и тем же полиномом на , который, как можно показать , является глобальной секцией . не является аффинным, как в .
Незарисские топологии на простом спектре
Некоторые авторы (особенно М. Хохстер) рассматривают топологии простых спектров, отличные от топологии Зарисского.
Во-первых, существует понятие конструктивной топологии : для данного кольца A подмножества формы удовлетворяют аксиомам для замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология называется конструктивной топологией.
В Хохстере (1969) Хохстер рассматривает то, что он называет топологией патчей на простом спектре. [11] По определению, патч-топология — это наименьшая топология, в которой множества форм и замкнуты.
Глобальная или относительная спецификация
Существует относительная версия функтора, называемая глобальным или относительным . Если схема, то относительная обозначается или . Если понятно из контекста, то относительная Spec может обозначаться или . Для схемы и квазикогерентного пучка -алгебр существуют схема и морфизм такие, что для каждого открытого аффина существует изоморфизм , и такие, что для открытых аффинов включение индуцируется отображением ограничения . То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, карты ограничения пучка алгебр индуцируют карты включения спектров, составляющих Spec пучка .
Глобальная спецификация имеет универсальное свойство, аналогичное универсальному свойству обычной спецификации. Точнее, так же, как Spec и функтор глобального сечения являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого образа для структурного отображения являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных -алгебр и схем над . [ сомнительно – обсудить ] В формулах
где – морфизм схем.
Пример относительной спецификации
Относительная спецификация — правильный инструмент для параметризации семейства прямых через начало над. Рассмотрим пучок алгебр и пусть — пучок идеалов. Тогда относительная спецификация параметризует искомое семейство. Фактически, волокно над — это линия, проходящая через начало координат, содержащая точку. Предполагая, что волокно можно вычислить, глядя на композицию обратных диаграмм.
где состав нижних стрелок
дает линию, содержащую точку и начало координат. Этот пример можно обобщить, чтобы параметризовать семейство линий через начало координат over , разрешив и
Перспектива теории представлений
С точки зрения теории представлений , простой идеал I соответствует модулю R / I , а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R , тогда как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы — это исследование модулей над ее групповой алгеброй .
Связь с теорией представлений становится более ясной , если рассматривать кольцо многочленов или , без базиса . векторное пространство. Тогда идеал I или, что то же самое, модуль является циклическим представлением R (циклическое значение, порожденное одним элементом в качестве R -модуля; это обобщает одномерные представления).
В случае, когда поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n -пространстве по Nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный , соответствует точке ). Эти представления затем параметризуются дуальным пространством, ковектор задается путем отправки каждого в соответствующий . Таким образом, представление ( K -линейных карт ) задается набором из n чисел или, что то же самое, ковектором.
Таким образом, точки в n -пространстве, рассматриваемые как максимальная спецификация, соответствуют в точности одномерным представлениям R , тогда как конечные множества точек соответствуют конечномерным представлениям (которые приводимы, геометрически соответствуют объединению и алгебраически соответствуют не быть главным идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечномерным представлениям.
Перспектива функционального анализа
Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов . Учитывая линейный оператор T в конечномерном векторном пространстве V , можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной R = K [ T ], как в структурной теореме для конечно порожденных модулей над область главного идеала . Тогда спектр K [ T ] (как кольца) равен спектру T (как оператора).
Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (эквивалентно алгебраической структуре модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2×2 имеется соответствующий модуль:
нулевая матрица 2×2 имеет модуль
показывая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения , в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль
показывающий алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.
Более детально:
- собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
- первичное разложение модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
- приведенному многообразию соответствует диагонализуемый (полупростой) оператор;
- циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого под T охватывает пространство);
- последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристическому многочлену .
Обобщения
Спектр можно обобщить с колец на C*-алгебры в теории операторов , что дает понятие спектра C*-алгебры . Примечательно, что для хаусдорфова пространства алгебра скаляров (ограниченные непрерывные функции в пространстве аналогичны регулярным функциям) является коммутативной C *-алгеброй, причем пространство восстанавливается как топологическое пространство из алгебры скаляров, действительно, функториально так; это содержание теоремы Банаха–Стоуна . Действительно, любая коммутативная С*-алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфова пространства, давая то же соответствие, что и между кольцом и его спектром. Обобщение на некоммутативные C*-алгебры дает некоммутативную топологию .
Смотрите также
Цитаты
Рекомендации
- Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-40751-8.
- Архангельский, А.В. ; Понтрягин Л.С. , ред. (1990). Общая топология I. Энциклопедия математических наук. Том. 17. дои : 10.1007/978-3-642-61265-7. ISBN 978-3-642-64767-3.
- Брандал, Вилли (1979). Коммутативные кольца, конечно порожденные модули которых распадаются . Конспект лекций по математике. Том. 723. дои : 10.1007/BFb0069021. ISBN 978-3-540-09507-1.
- Кокс, Дэвид ; О'Ши, Донал; Литтл, Джон (1997), Идеалы, разновидности и алгоритмы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94680-1
- Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем , Тексты для выпускников по математике, том. 197, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-98637-1, МР 1730819
- Фонтана, Марко; Лопер, К. Алан (2008). «Патч-топология и топология ультрафильтра на простом спектре коммутативного кольца». Связь в алгебре . 36 (8): 2917–2922. arXiv : 0707.1525 . дои : 10.1080/00927870802110326. S2CID 17045655.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР 0463157
- Хохстер, М. (1969). «Первичная идеальная структура в коммутативных кольцах». Труды Американского математического общества . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X . JSTOR 1995344.
- Шарп, Родни Ю. (2001). Шаги в коммутативной алгебре (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-511-62368-4.
- Таризаде, Абольфазл (2019). «Плоская топология и ее двойственные аспекты». Связь в алгебре . 47 : 195–205. arXiv : 1503.04299 . дои : 10.1080/00927872.2018.1469637. S2CID 119574163.
Внешние ссылки
- Кевин Р. Кумбс: Спектр кольца
- Кок, Иоахим (2007). «Замечания о спектрах, носителях и двойственности Хохстера» (PDF) . S2CID 54501563.
- Авторы проекта Stacks. «27.3 Относительный спектр посредством склейки».
- Вакил, Рави (н. д.). «Основы алгебраической геометрии». math.stanford.edu .
{{cite web}}
: CS1 maint: ref duplicates default (link)