Конфокальные конические сечения

Конические сечения с одинаковыми фокусами

Пучки софокусных эллипсов и гипербол

В геометрии два конических сечения называются софокусными, если они имеют одни и те же фокусы .

Поскольку эллипсы и гиперболы имеют два фокуса, существуют конфокальные эллипсы , конфокальные гиперболы и конфокальные смеси эллипсов и гипербол. В смеси конфокальных эллипсов и гипербол любой эллипс пересекает любую гиперболу ортогонально (под прямым углом).

Параболы имеют только один фокус, поэтому, по соглашению, конфокальные параболы имеют тот же фокус и ту же ось симметрии. Следовательно, любая точка, не лежащая на оси симметрии, лежит на двух конфокальных параболах, которые пересекаются ортогонально (см. ниже).

Окружность — это эллипс с двумя фокусами, совпадающими в центре. Окружности, которые имеют один и тот же фокус, называются концентрическими окружностями , и они ортогонально пересекают любую линию, проходящую через этот центр.

Формальное расширение концепции софокусных коник на поверхности приводит к софокусным квадрикам .

Софокусные эллипсы и гиперболы

Любая гипербола или (некруговой) эллипс имеет два фокуса, и любая пара различных точек на евклидовой плоскости и любая третья точка, не лежащая на прямой, соединяющей их, однозначно определяют эллипс и гиперболу с общими фокусами , пересекающиеся ортогонально в одной точке (см. Эллипс § Определение как геометрическое место точек и Гипербола § Как геометрическое место точек .) ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P.}$

Таким образом, фокусы определяют два пучка софокусных эллипсов и гипербол. ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$

По теореме о главной оси плоскость допускает декартову систему координат с началом в средней точке между фокусами и ее осями, совмещенными с осями софокусных эллипсов и гипербол. Если — линейный эксцентриситет (половина расстояния между и ), то в этой системе координат ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0).}$

Пучок конфокальных эллипсов и гипербол задается выбором линейного эксцентриситета c ( координата x одного фокуса) и может быть параметризован большой полуосью a ( координата x пересечения определенной коники в пучке и оси x ). При 0 < a < c коника является гиперболой; при c < a коника является эллипсом.

Каждый эллипс или гипербола в пучке является геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}$

с большой полуосью в качестве параметра. Если большая полуось меньше линейного эксцентриситета ( ), уравнение определяет гиперболу, а если большая полуось больше линейного эксцентриситета ( ), оно определяет эллипс. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<a<c}$ ${\displaystyle a>c}$

Другое общее представление определяет пучок эллипсов и гипербол, конфокальных с заданным эллипсом большой полуоси и малой полуоси (так что ), каждая коника генерируется выбором параметра ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0<b<a}$ ${\displaystyle \lambda \colon }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1,}$

Если коника является эллипсом . Если коника является гиперболой . Для нет решений. Общие фокусы каждой коники в пучке являются точками Это представление естественным образом обобщается на более высокие размерности (см. § Софокусные квадрики). ${\displaystyle -\infty <\lambda <b^{2},}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2},}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$ ${\textstyle {\bigl (}{\pm }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0{\bigr )}.}$

Предельные кривые

При приближении параметра к значению снизу предел пучка софокусных эллипсов вырождается в отрезок прямой между фокусами на оси x (бесконечно плоский эллипс). При приближении сверху предел пучка софокусных гипербол вырождается в относительное дополнение этого отрезка прямой относительно оси x ; то есть в два луча с концами в фокусах, направленными наружу вдоль оси x (бесконечно плоская гипербола). Эти две предельные кривые имеют два общих фокуса. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

Это свойство аналогично проявляется в 3-мерном случае, приводя к определению фокальных кривых софокусных квадрик. См. § Софокусные квадрики ниже.

Двукратная ортогональная система

Наглядное доказательство того, что софокусные эллипсы и гиперболы пересекаются ортогонально, поскольку каждая из них обладает «свойством отражения»

Рассматривая пучки софокусных эллипсов и гипербол (см. схему), из геометрических свойств нормали и касательной в точке ( нормаль эллипса и касательная гиперболы делят угол между прямыми к фокусам пополам) получаем: Любой эллипс пучка пересекает любую гиперболу ортогонально (см. схему).

Такое расположение, в котором каждая кривая в пучке непересекающихся кривых ортогонально пересекает каждую кривую в другом пучке непересекающихся кривых, иногда называют ортогональной сеткой . Ортогональная сетка эллипсов и гипербол является базой эллиптической системы координат .

Конфокальные параболы

Парабола — предельная кривая пучка эллипсов с общей вершиной и одним общим фокусом, поскольку другой фокус удален на бесконечность вправо, а также предельная кривая пучка гипербол с общей вершиной и одним общим фокусом, поскольку другой фокус удален на бесконечность влево.

Парабола имеет только один фокус и может рассматриваться как предельная кривая набора эллипсов (или набора гипербол), где один фокус и одна вершина остаются неподвижными, а второй фокус перемещается в бесконечность. Если это преобразование выполняется на каждой конике в ортогональной сетке софокусных эллипсов и гипербол, предел представляет собой ортогональную сетку софокусных парабол, обращенных в противоположных направлениях .

Каждая парабола с фокусом в начале координат и осью x в качестве оси симметрии является геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle y^{2}=2xp+p^{2},}$

для некоторого значения параметра , где - полуширокая прямая кость. Если то парабола ветвится вправо , а если парабола ветвится влево . Точка является вершиной параболы. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |p|}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle {\bigl (}{-}{\tfrac {1}{2}}p,0{\bigr )}}$

Пучок софокусных парабол

Из определения параболы следует , что для любой точки, не лежащей на оси x , существует уникальная парабола с фокусом в начале координат, выходящая вправо, и уникальная парабола с фокусом в начале координат, выходящая влево, пересекающиеся ортогонально в точке . (Параболы ортогональны по той же причине, что и софокусные эллипсы и гиперболы: параболы обладают отражательным свойством .) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Аналогично софокусным эллипсам и гиперболам, плоскость может быть покрыта ортогональной сеткой парабол, которую можно использовать для параболической системы координат .

Сетку софокусных парабол можно рассматривать как изображение сетки линий, параллельных осям координат и содержащихся в правой половине комплексной плоскости посредством конформного отображения (см. Внешние ссылки). ${\displaystyle w=z^{2}}$

Концентрические окружности и пересекающиеся линии

Окружность — это эллипс с двумя совпадающими фокусами. Предел гипербол при сближении фокусов вырожден : пара пересекающихся прямых.

Если ортогональная сеть эллипсов и гипербол преобразуется путем объединения двух фокусов, то результатом будет ортогональная сеть концентрических окружностей и линий, проходящих через центр окружности. Они являются основой для полярной системы координат . ^[1]

Предел пучка эллипсов, имеющих один и тот же центр и оси и проходящих через заданную точку, вырождается в пару прямых, параллельных большой оси, когда два фокуса перемещаются в бесконечность в противоположных направлениях. Аналогично предел аналогичного пучка гипербол вырождается в пару прямых, перпендикулярных большой оси. Таким образом, прямоугольная сетка, состоящая из ортогональных пучков параллельных линий, является своего рода сеткой вырожденных софокусных коник. Такая ортогональная сетка является основой для декартовой системы координат.

Теорема Грейвса

Построение конфокальных эллипсов

В 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью струны: ^[2]

Если окружить заданный эллипс E замкнутой нитью, которая длиннее окружности заданного эллипса, и нарисовать кривую, похожую на ту, которую строит садовник (см. рисунок), то получится эллипс, софокусный с E.

Доказательство этой теоремы использует эллиптические интегралы и содержится в книге Клейна. Отто Штауде распространил этот метод на построение софокусных эллипсоидов (см. книгу Клейна).

Если эллипс E схлопнется в отрезок прямой , то получится небольшая вариация метода садовника, рисующего эллипс с фокусами . ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

Конфокальные квадрики

Конфокальные квадрики: (красный), (синий), (фиолетовый)
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6,\ }$
${\displaystyle \lambda _{1}=0.1}$ ${\displaystyle \ \lambda _{2}=0.5}$ ${\displaystyle \lambda _{3}=0.8}$

Типы, зависящие от ${\displaystyle \lambda }$

Две квадратичные поверхности являются конфокальными , если они имеют одни и те же оси и если их пересечения с каждой плоскостью симметрии являются конфокальными кониками. Аналогично коникам, невырожденные пучки конфокальных квадрик бывают двух типов: трехосные эллипсоиды , гиперболоиды с одной полосой и гиперболоиды с двумя полосами; и эллиптические параболоиды , гиперболические параболоиды и эллиптические параболоиды, открывающиеся в противоположном направлении.

Трехосный эллипсоид с полуосями где определяет пучок софокусных квадрик. Каждая квадрика, порожденная параметром, является геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению: ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a>b>c>0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1.}$

Если , то квадрика — эллипсоид ; если (на схеме: синий), то это однополостный гиперболоид ; если это двуполостный гиперболоид . Для нет решений. ${\displaystyle \lambda <c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$

Фокусные кривые

Фокальные конические сечения (эллипс, гипербола, черный)

${\displaystyle c^{2}=0.36,\ b^{2}=0.64,\quad }$вверху: (эллипсоид, красный), (1с гиперб., синий), (1с гиперб., синий), (2с гиперб., фиолетовый) внизу: Ограничительные поверхности между типами ${\displaystyle \lambda =}$
${\displaystyle 0.3575}$ ${\displaystyle \ 0.3625}$
${\displaystyle 0.638}$ ${\displaystyle \ 0.642}$

Предельные поверхности для : ${\displaystyle \lambda \to c^{2}}$

При приближении параметра к значению снизу предельный эллипсоид является бесконечно плоским, или, точнее, представляет собой область плоскости x - y , состоящую из эллипса ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle E:{\frac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

и его дважды покрытый интерьер (на схеме: внизу, слева, красный).

При приближении сверху предельный однополостный гиперболоид является бесконечно плоским, или, точнее, представляет собой область плоскости x - y , состоящую из того же эллипса и его дважды покрытой внешности (на схеме: внизу, слева, синего цвета). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Две предельные поверхности имеют общие точки эллипса . ${\displaystyle E}$

Предельные поверхности для : ${\displaystyle \lambda \to b^{2}}$

Аналогично, при приближении сверху и снизу, соответствующие предельные гиперболоиды (на схеме: внизу, справа, синие и фиолетовые) имеют гиперболу ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle H:\ {\frac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1}$

в общем.

Фокусные кривые:

Фокусами эллипса являются вершины гиперболы и наоборот. Таким образом, и являются парой фокальных коник . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$

Обратное: Поскольку любая квадрика пучка софокусных квадрик, определяемая с помощью метода булавки и нити (см. эллипсоид ), фокальные коники играют роль бесконечного множества фокусов и называются фокальными кривыми пучка софокусных квадрик. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle E,H}$

Тройная ортогональная система

Аналогично случаю софокусных эллипсов/гипербол,

Любая точка лежит ровно на одной поверхности любого из трех типов софокусных квадрик. ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0}$

Три квадрики, проходящие через точку, пересекаются там ортогонально (см. внешнюю ссылку). ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Пример функции ${\displaystyle f(\lambda )}$

Доказательство существования и единственности трех квадрик, проходящих через точку:
Для точки с пусть будет . Эта функция имеет три вертикальные асимптоты и является в любом из открытых интервалов непрерывной и монотонно возрастающей функцией . Из поведения функции вблизи ее вертикальных асимптот и из находим (см. диаграмму): Функция имеет ровно 3 нуля при ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1}$ ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )}$ ${\displaystyle \lambda \to \pm \infty }$
${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .}$

Доказательство ортогональности поверхностей: Используя пучки функций с параметром, софокусные квадрики можно описать с помощью . Для любых двух пересекающихся квадрик с одна попадает в общую точку
${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle 0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb }$

${\displaystyle \ =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .}$

Из этого уравнения получаем скалярное произведение градиентов в общей точке

${\displaystyle \operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,}$

что доказывает ортогональность.

Эллипсоид с линиями кривизны в виде кривых пересечения с конфокальными гиперболоидами
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6}$

Приложения:
В силу теоремы Дюпена о трехкратных ортогональных системах поверхностей, кривая пересечения любых двух софокусных квадрик является линией кривизны . Аналогично плоским эллиптическим координатам существуют эллипсоидальные координаты .

В физике конфокальные эллипсоиды появляются как эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида. ^[6]

Теорема Айвори

Теорема Айвори

Теорема Айвори (или лемма Айвори ) ^[7] , названная в честь шотландского математика и астронома Джеймса Айвори (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях чистого прямоугольника , четырехугольника, образованного ортогональными кривыми:

Для любого развертки-прямоугольника, образованного двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с одинаковыми фокусами, диагонали имеют одинаковую длину (см. диаграмму).

Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы:
Пусть — эллипс с фокусами и уравнением ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0\ }$

и конфокальная гипербола с уравнением ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .}$

Вычислив точки пересечения и получим четыре точки: ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right)}$

Диагонали прямоугольника-сети:
Для упрощения вычислений пусть без потери общности (любая другая конфокальная сеть может быть получена равномерным масштабированием) и среди четырех пересечений эллипса и гиперболы выберем те, которые находятся в положительном квадранте (другие комбинации знаков дают тот же результат после аналогичного вычисления). ${\displaystyle c=1}$

Пусть будут два софокусных эллипса и две софокусные гиперболы с теми же фокусами. Диагонали четырех точек сетевого прямоугольника, состоящего из точек ${\displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$ ${\displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{11}&=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right),&P_{22}&=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),\\[5mu]P_{12}&=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),&P_{21}&=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

являются:

${\displaystyle {\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}\\[5mu]&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

Последнее выражение инвариантно относительно обмена . Именно этот обмен приводит к . Следовательно ${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2}}$ ${\displaystyle |P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}}$ ${\displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$

Доказательство утверждения для софокусных парабол представляет собой простое вычисление.

Айвори даже доказал трехмерную версию своей теоремы (см. Блашке, стр. 111):

Для трехмерного прямоугольного кубоида, образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют одинаковую длину.

Смотрите также

• Аполлонические круги
• Фокалоид

Ссылки

1. Гильберт и Кон-Фоссен 1952, с. 6.
2. Феликс Кляйн: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Берлин, 1926, S.32.
3. Стауде, О.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Математика. Энн. 20, 147–184 (1882)
4. Штауде, О.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Классы. Математика. Энн. 27, 253–271 (1886).
5. Штауде, О.: Die алгебраические Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Энн. 50, 398 – 428 (1898)
6. Д. Фукс , С. Табачников : Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Берлин/Гейдельберг, 2011 г., ISBN  978-3-642-12959-9 , стр. 480.
7. Айвори использовал это как лемму при доказательстве теоремы о том, что эквипотенциальные поверхности гравитационного поля, внешнего по отношению к однородному трехосному эллипсоиду, являются софокусными эллипсоидами.

• Блашке, Вильгельм (1954). «VI. Konfokale Quadriken» [Конфокальные квадрики]. Analytische Geometrie [ Аналитическая геометрия ] (на немецком языке). Базель: Спрингер. стр. 108–132.
• Глезер, Георг; Стачел, Хельмут; Оденал, Борис (2016). «2. Евклидова плоскость». Вселенная Коникс . Спрингер. стр. 11–60. дои : 10.1007/978-3-662-45450-3_2. ISBN 978-3-662-45449-7.См. также «10. Другие геометрии», doi :10.1007/978-3-662-45450-3_10.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), «§1.4 Построение нити эллипсоида и софокусные квадрики» , Геометрия и воображение , Челси, стр. 19–25
• Оденал, Борис; Стачел, Хельмут; Глезер, Георг (2020). «7. Конфокальные квадрики». Вселенная Квадрик . Спрингер. стр. 279–325. дои : 10.1007/978-3-662-61053-4_7. ISBN 978-3-662-61052-7. S2CID  242527367.
• Эрнесто Паскаль : Repertorium der Höheren Mathematik. Тойбнер, Лейпциг/Берлин, 1910 г., с. 257.
• А. Робсон: Введение в аналитическую геометрию, т. I, Кембридж, University Press, 1940, стр. 157.
• Sommerville, Duncan MacLaren Young (1934). "XII. Фокусы и фокальные свойства" . Аналитическая геометрия трех измерений . Cambridge University Press. стр. 224–250.

Внешние ссылки

• Т. Хофманн: Минискрипт Дифференциальная геометрия I, стр. 48
• Б. Спрингборн: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
• Х. Вальзер: Konforme Abbildungen. п. 8.