Теорема Банаха–Алаоглу

Theorem in functional analysis

В функциональном анализе и смежных разделах математики теорема Банаха –Алаоглу (также известная как теорема Алаоглу ) утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства нормированного векторного пространства компактен в слабой* топологии . ^[1] Общее доказательство идентифицирует единичный шар с топологией weak-* как замкнутое подмножество произведения компактных множеств с топологией произведения . Как следствие теоремы Тихонова , это произведение , а следовательно, и единичный шар внутри, компактны.

Эта теорема имеет применение в физике при описании множества состояний алгебры наблюдаемых величин, а именно, что любое состояние можно записать в виде выпуклой линейной комбинации так называемых чистых состояний.

История

Согласно Лоуренсу Наричи и Эдварду Бекенштейну, теорема Алаоглу является «очень важным результатом — возможно, самым важным фактом о слабой* топологии — [который] отражается во всем функциональном анализе». ^[2] В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного сопряженного пространства является счетно слабо* компактным. ^[3] В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого сепарабельного нормированного пространства является последовательно слабо* компактным (Банах рассматривал только последовательную компактность ). ^[3] Доказательство для общего случая было опубликовано в 1940 году математиком Леонидасом Алаоглу . Согласно Питчу [2007], есть по крайней мере двенадцать математиков, которые могут претендовать на эту теорему или ее важного предшественника. ^[2] ${\displaystyle C([a,b])}$

Теорема Бурбаки–Алаоглу является обобщением ^{[4] [5]} исходной теоремы Бурбаки на двойственные топологии на локально выпуклых пространствах . Эта теорема также называется теоремой Банаха–Алаоглу или теоремой о слабой-* компактности , и ее обычно называют просто теоремой Алаоглу . ^[2]

Заявление

Если — векторное пространство над полем, то будет обозначать алгебраическое сопряженное пространство , и эти два пространства в дальнейшем будут связаны с билинейным оценочным отображением , определяемым соотношением , где тройка образует сопряженную систему, называемую канонической сопряженной системой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)}$$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle }$

Если — топологическое векторное пространство (TVS), то его непрерывное сопряженное пространство будет обозначаться как , где всегда выполняется. Обозначим топологию weak-* на как и обозначим топологию weak-* на как Топология weak-* также называется топологией поточечной сходимости , поскольку при заданной карте и сети карт сеть сходится в этой топологии тогда и только тогда, когда для каждой точки в области сеть значений сходится к значению ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f(x).}$

Теорема Алаоглу ^[3]  —  Для любого топологического векторного пространства (TVS) ( не обязательно хаусдорфова или локально выпуклого ) с непрерывным сопряженным пространством поляра любой окрестности начала координат в компактна в слабой* топологии ^{[примечание 1]} на Более того, равна поляре относительно канонической системы и также является компактным подмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ $${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$

Доказательство с использованием теории двойственности

Доказательство

Обозначим через базовое поле, где — либо действительные числа , либо комплексные числа. В этом доказательстве будут использованы некоторые из основных свойств, перечисленных в статьях: полярное множество , двойственная система и непрерывный линейный оператор . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Чтобы начать доказательство, напоминаем некоторые определения и легко проверяемые результаты. Когда наделено слабой-* топологией , то это локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа обозначается Пространство всегда является полным TVS ; однако может не быть полным пространством, что является причиной того, что это доказательство включает пространство В частности, это доказательство будет использовать тот факт, что подмножество полного хаусдорфова пространства является компактным, если (и только если) оно замкнуто и полностью ограничено . Важно, что топология подпространства , которая наследуется от , равна Это можно легко проверить, показав, что заданная любая сеть в сходится к в одной из этих топологий тогда и только тогда, когда она также сходится к в другой топологии (вывод следует из того, что две топологии равны тогда и только тогда, когда они имеют точно такие же сходящиеся сети). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Тройка является дуальной парой, хотя в отличие от нее в общем случае не гарантируется, что она будет дуальной системой. Везде, если не указано иное, все полярные наборы будут рассматриваться относительно канонической пары ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Пусть — окрестность начала координат и пусть: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$быть полярным по отношению к каноническому спариванию ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$быть биполярным ${\displaystyle U}$ относительно ; ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$быть полярой относительно канонической двойственной системы. Обратите внимание, что ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}$

Хорошо известный факт о полярных множествах заключается в том, что ${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}$

1. Покажите, что является -замкнутым подмножеством Пусть и предположим, что является сетью в , которая сходится к в Чтобы заключить, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого Поскольку в скалярном поле и каждое значение принадлежит замкнутому (в ) подмножеству, предел этой сети также должен принадлежать этому множеству. Таким образом, ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle f\in X^{\#}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle f\in U^{\#},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f_{i}(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle f(u)}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. Покажите, что и затем сделайте вывод, что является замкнутым подмножеством обоих и Включение выполняется, поскольку каждый непрерывный линейный функционал является (в частности) линейным функционалом. Для обратного включения пусть так, что в точности утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности ; таким образом, является непрерывным линейным функционалом (то есть ) и так далее, как и требовалось. Используя (1) и тот факт, что пересечение замкнуто в топологии подпространства, по утверждению о замкнутости следует. ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}$ ${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ ${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$
3. Покажите, что является - вполне ограниченным подмножеством По биполярной теореме , где, поскольку окрестность является поглощающим подмножеством того же самого, должно быть верно и для множества, можно доказать, что это влечет, что является - вполне ограниченным подмножеством Поскольку различает точки подмножества является -ограниченным тогда и только тогда, когда оно является - вполне ограниченным . Так, в частности, является также - вполне ограниченным. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U^{\circ \circ };}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
4. Заключаем, что также является -полностью ограниченным подмножеством Напомним, что топология на идентична топологии подпространства, которая наследуется от Этот факт вместе с (3) и определением «полностью ограниченный» подразумевает, что является -полностью ограниченным подмножеством ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$
5. Наконец, выводим, что является -компактным подмножеством Поскольку является полным TVS и является замкнутым (по (2)) и вполне ограниченным (по (4)) подмножеством его, то является компактным. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Если — нормированное векторное пространство , то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в сопряженном пространстве. В частности, если — открытый (или замкнутый) единичный шар в , то поляра — замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве ( с обычной дуальной нормой ). Следовательно, эту теорему можно специфицировать до: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Банаха–Алаоглу  —  Если — нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве (снабженном его обычной операторной нормой ) компактен относительно слабой-* топологии . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Когда непрерывное сопряженное пространство является бесконечномерным нормированным пространством, то замкнутый единичный шар в не может быть компактным подмножеством, когда имеет свою обычную топологию нормы. Это происходит потому, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (ср. теорему Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия различных топологий на одном и том же векторном пространстве. ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Следует предупредить, что, несмотря на видимость, теорема Банаха–Алаоглу не подразумевает, что слабая-* топология локально компактна . Это происходит потому, что замкнутый единичный шар является только окрестностью начала координат в сильной топологии , но обычно не является окрестностью начала координат в слабой-* топологии, поскольку имеет пустую внутреннюю часть в слабой* топологии, если только пространство не конечномерно. Фактически, это результат Вейля, что все локально компактные хаусдорфовы топологические векторные пространства должны быть конечномерными.

Элементарное доказательство

Следующее элементарное доказательство не использует теорию двойственности и требует только базовых понятий из теории множеств, топологии и функционального анализа. Из топологии требуются практические знания о сходимости сетей в топологических пространствах и знакомство с тем фактом, что линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в окрестности начала координат (подробнее см. статьи о непрерывных линейных функционалах и сублинейных функционалах ). Также требуется правильное понимание технических деталей того, как пространство всех функций формы определяется как декартово произведение , и взаимосвязи между поточечной сходимостью , топологией произведения и топологиями подпространств, которые они индуцируют на подмножествах, таких как алгебраическое сопряженное пространство и произведения подпространств, таких как Объяснение этих деталей сейчас дается для читателей, которым это интересно. ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$ ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

Суть теоремы Банаха–Алаоглу можно найти в следующем предложении, из которого следует теорема Банаха–Алаоглу. В отличие от теоремы Банаха–Алаоглу, это предложение не требует наделения векторного пространства какой-либо топологией. ${\displaystyle X}$

Предложение ^[3]  —  Пусть будет подмножеством векторного пространства над полем (где ) и для каждого действительного числа наделим замкнутый шар его обычной топологией ( не обязательно наделять какой-либо топологией, но иметь свою обычную евклидову топологию ). Определим ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle r,}$ ${\textstyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}.}$$

Если для каждого — действительное число такое, что то — замкнутое и компактное подпространство пространства произведений (где, поскольку эта топология произведений идентична топологии поточечной сходимости , которая также называется слабой-* топологией в функциональном анализе, это означает, что является компактным в слабой-* топологии или «слабо-* компактным» для краткости). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U,}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$

Прежде чем доказать вышеприведенное предложение, сначала покажем, как из него следует теорема Банаха–Алаоглу (в отличие от предложения, теорема Банаха–Алаоглу предполагает, что является топологическим векторным пространством (TVS) и что является окрестностью начала координат). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

Доказательство того, что Банах-Алаоглу следует из предложения выше

Предположим, что является топологическим векторным пространством с непрерывным дуальным пространством и что является окрестностью начала отсчета. Поскольку является окрестностью начала отсчета в , то это также поглощающее подмножество , поэтому для каждого существует действительное число такое, что Таким образом, гипотезы приведенного выше предложения выполнены, и поэтому множество является компактным в слабой-* топологии . Доказательство теоремы Банаха–Алаоглу будет завершено, как только будет показано, что ^{[примечание 2]} , где напомним, что было определено как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U.}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ $${\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}$$

Доказательство того, что ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}$ поскольку заключение эквивалентно Если тогда , которое точно утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности , следовательно, является непрерывным линейным функционалом (то есть ), как и требовалось. ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Доказательство предложения

Пространство произведения компактно по теореме Тихонова (поскольку каждый замкнутый шар является хаусдорфовым ^{[примечание 3]} компактным пространством ). Поскольку замкнутое подмножество компактного пространства компактно, доказательство предложения будет полным, как только будет показано, что является замкнутым подмножеством Следующие утверждения гарантируют этот вывод: ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}}$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

1. ${\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$
2. ${\displaystyle U^{\#}}$является замкнутым подмножеством пространства продуктов ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}$

Доказательство (1) :

Для любого пусть обозначает проекцию на ^th координату (как определено выше). Чтобы доказать, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого So зафиксируем и пусть Because остается показать, что Напомним, что было определено в утверждении предложения как любое положительное действительное число, которое удовлетворяет (так, например, было бы допустимым выбором для каждого ), что подразумевает , что Because является положительной однородной функцией, которая удовлетворяет ${\displaystyle z\in X,}$ ${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}.}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U}$ ${\displaystyle r_{u}:=1}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$$

Таким образом, что показывает, что так и хотелось. ${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$

Доказательство (2) :

Алгебраическое двойственное пространство всегда является замкнутым подмножеством (это доказано в лемме ниже для читателей, которые не знакомы с этим результатом). Множество замкнуто в топологии произведения на , поскольку оно является произведением замкнутых подмножеств Таким образом, является пересечением двух замкнутых подмножеств , что доказывает (2). ^{[примечание 4]} ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Вывод о том, что множество замкнуто, можно также сделать, применив следующий более общий результат, на этот раз доказанный с использованием сетей, к частному случаю и ${\displaystyle U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle B:=B_{1}.}$

Наблюдение : Если — любое множество и если — замкнутое подмножество топологического пространства , то — замкнутое подмножество в топологии поточечной сходимости. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Доказательство наблюдения : Пусть и предположим, что есть сеть в , которая поточечно сходится к Остается показать, что по определению означает Для любого поскольку в и каждое значение принадлежит замкнутому (в ) подмножеству, то и предел этой сети должен принадлежать этому замкнутому множеству; таким образом, что завершает доказательство. ${\displaystyle f\in Y^{X}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U_{B}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f\in U_{B},}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B.}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f(u)\in B,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Лемма ( замкнута в ) ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ —  Алгебраическое сопряженное пространство любого векторного пространства над полем (где есть или ) является замкнутым подмножеством в топологии поточечной сходимости. (Векторное пространство не обязательно должно быть наделено какой-либо топологией). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$

Лемма выше фактически вытекает из ее следствия ниже, поскольку является хаусдорфовым полным равномерным пространством и любое подмножество такого пространства (в частности ) замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Следствие из леммы ( является слабо-* полным) ${\displaystyle X^{\#}}$ —  Когда алгебраическое сопряженное пространство векторного пространства снабжено топологией поточечной сходимости (также известной как слабо-* топология), то полученное топологическое пространство является полным хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством . ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$

Приведенное выше элементарное доказательство теоремы Банаха–Алаоглу на самом деле показывает, что если — любое подмножество, удовлетворяющее (например, любое поглощающее подмножество ) , то — слабо-* компактное подмножество ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

В качестве примечания, с помощью приведенного выше элементарного доказательства можно показать (см. эту сноску) ^{[доказательство 1],} что существуют -индексированные неотрицательные действительные числа, такие, что эти действительные числа также могут быть выбраны «минимальными» в следующем смысле: используя (как в доказательстве) и определяя обозначения для любого , если , то и для каждого , что показывает, что эти числа уникальны; действительно, эта формула инфимума может быть использована для их определения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }}$ ${\displaystyle P=U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},}$ $${\displaystyle T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$

В самом деле, если обозначает множество всех таких произведений замкнутых шаров, содержащих полярное множество , то где обозначает пересечение всех множеств, принадлежащих ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle P,}$ $${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},}$$ ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}}$ ${\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}.}$

Это подразумевает (помимо прочего ^{[примечание 5]} ), что единственный наименьший элемент относительно этого может быть использован в качестве альтернативного определения этого (обязательно выпуклого и сбалансированного ) множества. Функция является полунормой и не изменяется, если заменяется выпуклой сбалансированной оболочкой ( потому что ). Аналогично, поскольку также не изменяется, если заменяется его замыканием в ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq ;}$ ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Последовательная теорема Банаха–Алаоглу

Частным случаем теоремы Банаха–Алаоглу является ее секвенциальная версия, которая утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства сепарабельного нормированного векторного пространства секвенциально компактен в топологии weak-*. Фактически, топология weak* на замкнутом единичном шаре двойственного пространства сепарабельного пространства метризуема , и, таким образом, компактность и секвенциальная компактность эквивалентны.

В частности, пусть будет сепарабельным нормированным пространством и замкнутым единичным шаром в Поскольку сепарабельно, пусть будет счетным плотным подмножеством. Тогда следующее определяет метрику, где для любого в , где обозначает сопряжение двойственности с Секвенциальная компактность в этой метрике может быть показана с помощью аргумента диагонализации, аналогичного тому, который использовался в доказательстве теоремы Арцела–Асколи . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ $${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$

Из-за конструктивного характера доказательства (в отличие от общего случая, который основан на аксиоме выбора), последовательная теорема Банаха–Алаоглу часто используется в области уравнений с частными производными для построения решений дифференциальных уравнений в частных производных или вариационных задач . Например, если требуется минимизировать функционал на двойственном к сепарабельному нормированному векторному пространству, одна общая стратегия состоит в том, чтобы сначала построить минимизирующую последовательность , которая приближается к инфимуму использования последовательной теоремы Банаха–Алаоглу для извлечения подпоследовательности, которая сходится в слабой* топологии к пределу , а затем установить, что является минимизатором Для последнего шага часто требуется соблюдение (секвенциального) свойства полунепрерывности снизу в слабой* топологии. ${\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Когда — пространство конечных мер Радона на вещественной прямой (то есть, по теореме Рисса о представлении , — пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности ), то последовательная теорема Банаха–Алаоглу эквивалентна теореме выбора Хелли . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}$

Доказательство

Для каждого пусть и пусть будут наделены топологией произведения . Поскольку каждое является компактным подмножеством комплексной плоскости, теорема Тихонова гарантирует, что их произведение компактно. ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}}$$ $${\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}}$$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle D}$

Замкнутый единичный шар, обозначенный как , может быть естественным образом идентифицирован как подмножество : ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime },}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}$$

Это отображение является инъективным и непрерывным, когда имеет топологию weak-* . Обратное отображение, определенное на его образе, также непрерывно. ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$

Теперь будет показано, что изображение приведенной выше карты замкнуто, что завершит доказательство теоремы. Даны точка и сеть в изображении с индексом таким образом, что функционал, определенный с помощью , лежит в и ${\displaystyle \lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,}$$ ${\displaystyle g:X\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,}$$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$ ${\displaystyle F(g)=\lambda _{\bullet }.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Последствия

Последствия для нормированных пространств

Предположим, что — нормированное пространство , и наделим его непрерывное сопряженное пространство обычной сопряженной нормой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

• Замкнутый единичный шар в является слабо-* компактным. ^[3] Таким образом, если является бесконечномерным, то его замкнутый единичный шар обязательно не является компактным в топологии нормы по теореме Ф. Рисса (несмотря на то, что он является слабо-* компактным). ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар -компакт ; это известно как теорема Джеймса . ^[3] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
• Если — рефлексивное банахово пространство , то каждая ограниченная последовательность в имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха–Алаоглу к слабо метризуемому подпространству ; или, более кратко, из применения теоремы Эберлейна–Шмульяна .) Например, предположим, что — пространство Lp пространство , где и пусть удовлетворяет Пусть — ограниченная последовательность функций из Тогда существует подпоследовательность и такая, что Соответствующий результат для неверен, так как не рефлексивен. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in X}$ $${\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Последствия для гильбертовых пространств

• В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, поэтому каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертовы пространства рефлексивны ).
• Будучи замкнутыми по норме, выпуклые множества слабо замкнуты ( теорема Хана–Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых пространствах или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
• Замкнутые и ограниченные множества в являются предкомпактными относительно слабой операторной топологии (слабая операторная топология слабее сверхслабой топологии, которая, в свою очередь, является слабой-* топологией относительно предсопряженной топологии операторов класса следов ). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, обладает свойством Гейне–Бореля , если снабжено либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией. ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B(H),}$ ${\displaystyle B(H)}$

Отношение к аксиоме выбора и другим утверждениям

Теорема Банаха–Алаоглу может быть доказана с помощью теоремы Тихонова , которая в рамках аксиоматики теории множеств Цермело–Френкеля ( ZF ) эквивалентна аксиоме выбора . Большая часть основного функционального анализа опирается на ZF + аксиому выбора, которая часто обозначается как ZFC . Однако теорема не опирается на аксиому выбора в сепарабельном случае (см. выше): в этом случае фактически существует конструктивное доказательство. В общем случае произвольного нормированного пространства лемма об ультрафильтре , которая строго слабее аксиомы выбора и эквивалентна теореме Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств, достаточна для доказательства теоремы Банаха–Алаоглу и фактически эквивалентна ей.

Теорема Банаха–Алаоглу эквивалентна лемме об ультрафильтре , которая влечет теорему Хана–Банаха для вещественных векторных пространств ( HB ), но не эквивалентна ей (иначе говоря, теорема Банаха–Алаоглу также строго сильнее, чем HB ). Однако теорема Хана–Банаха эквивалентна следующей слабой версии теоремы Банаха–Алаоглу для нормированного пространства ^[6] , в которой заключение о компактности (в слабой-* топологии замкнутого единичного шара сопряженного пространства) заменено заключением о квазикомпактности (иногда также называемой выпуклой компактностью );

Слабая версия теоремы Алаоглу ^[6]  — Пусть— нормированное пространство, а пустьобозначает замкнутый единичный шар егонепрерывного сопряженного пространства.Тогдаимеет следующее свойство, которое называется (слабым-*) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle B}$квазикомпактность иливыпуклая компактность :еслиявляется покрытиемвыпуклымислабо* замкнутымиподмножествамитакого, чтообладаетсвойством конечного пересечения, тонепусто. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \{B\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle B\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}$

Компактность подразумевает выпуклую компактность, поскольку топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств, обладающее свойством конечного пересечения (FIP), имеет непустое пересечение. Определение выпуклой компактности похоже на эту характеристику компактных пространств в терминах FIP, за исключением того, что оно включает только те замкнутые подмножества, которые также являются выпуклыми (а не все замкнутые подмножества).

Смотрите также

• Теорема Бишопа–Фелпса
• Теорема Банаха–Мазура
• Теорема о дельта-компактности
• Теорема Диксмье–Нг
• Теорема Эберлейна–Шмульяна  – связывает три различных вида слабой компактности в банаховом пространстве.
• Теорема Голдстайна
• Теорема Джеймса  – теорема в математикеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема Крейна-Мильмана  – О том, когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точекPages displaying short descriptions of redirect targets
• Лемма Мазура  – ​​О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Примечания

1. Явно, подмножество называется «компактным (соответственно, вполне ограниченным и т. д.) в слабой-* топологии», если при заданной слабой-* топологии и при заданной подмножеству топологии подпространства, унаследованной от , то оно является компактным (соответственно, вполне ограниченным и т. д.) пространством. ${\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$
2. Если обозначает топологию, которая (изначально) наделена, то равенство показывает, что поляра зависит только от (и ), а остальную часть топологии можно игнорировать. Чтобы прояснить, что имеется в виду, предположим, что есть любая топология TVS на , такая, что множество является (также) окрестностью начала координат в Обозначим непрерывное сопряженное пространство через и обозначим поляру относительно через так, что есть просто множество сверху. Тогда, поскольку оба эти множества равны Иначе говоря, определяющее «требование» полярного множества , чтобы оно было подмножеством непрерывного сопряженного пространства , несущественно и может быть проигнорировано, поскольку оно не оказывает никакого влияния на результирующий набор линейных функционалов. Однако, если есть топология TVS на , такая, что не является окрестностью начала координат в , то поляра относительно не гарантирует равенства , и поэтому топологию нельзя игнорировать. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }={\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma ).}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ $${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\#}.}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\nu }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \nu }$
3. Поскольку каждое также является хаусдорфовым пространством , вывод о компактности требует только так называемой «теоремы Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтре и строго слабее аксиомы выбора . ${\displaystyle B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$
4. Заключение можно записать как Множество , таким образом, может быть эквивалентно определено как Переписывание определения таким образом помогает сделать очевидным, что множество замкнуто в, поскольку это верно для X # . {\displaystyle X^{\#}.} ${\displaystyle U_{B_{1}}=\prod _{x\in X}C_{x}}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}~=~{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$
5. Этот кортеж является наименьшим элементом относительно естественного индуцированного поточечного частичного порядка, определяемого соотношением тогда и только тогда, когда для каждого Таким образом, каждая окрестность начала координат в может быть сопоставлена ​​с этой единственной (минимальной) функцией Для любого , если таково, что то так что в частности, и для каждого ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }\leq S_{\bullet }}$ ${\displaystyle R_{x}\leq S_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }:X\to [0,\infty ).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rU}$ ${\displaystyle m_{x}\leq r}$ ${\displaystyle m_{0}=0}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$

Доказательства

1. Для любого непустого подмножества равенство выполняется (пересечение слева является замкнутым, а не открытым, диском − возможно, радиуса − потому что оно является пересечением замкнутых подмножеств и, таким образом, само должно быть замкнутым). Для каждого пусть так, что предыдущее равенство множеств влечет Из следует, что и тем самым делая наименьшим элементом относительно (На самом деле, семейство замкнуто относительно (ненулевых ) произвольных пересечений, а также относительно конечных объединений по крайней мере одного множества). Элементарное доказательство показало, что и не пусты и, более того, оно также даже показало, что имеет элемент , который удовлетворяет для каждого , что влечет, что для каждого Включение является непосредственным; чтобы доказать обратное включение, пусть По определению, тогда и только тогда, когда так, пусть и остается показать, что Из следует, что влечет, что как и требовалось. ${\displaystyle A\subseteq [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \cap \left\{B_{a}:a\in A\right\}=B_{\inf _{}A}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf _{}\left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}=\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}\prod _{x\in X}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}.}$ ${\displaystyle P\subseteq \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P},}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle r_{u}=1}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle P~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\prime }~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}}$ ${\displaystyle f\in \left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}.}$ ${\displaystyle f\in P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\#}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$ ${\displaystyle f\in \cap \operatorname {Box} _{P}=\prod B_{m_{\bullet }},}$ ${\displaystyle f(u)=\Pr {}_{u}(f)\in \Pr {}_{u}\left(\prod _{x\in X}B_{m_{x}}\right)=B_{m_{u}},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq m_{u}\leq 1,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Рудин 1991, Теорема 3.15.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 235–240.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
4. Кёте 1983, Теорема (4) в §20.9.
5. Мейзе и Фогт 1997, Теорема 23.5.
6. Белл, Дж.; Фремлин, Дэвид (1972). «Геометрическая форма аксиомы выбора» (PDF) . Фундамента Математика . 77 (2): 167–170. дои : 10.4064/fm-77-2-167-170 . Проверено 26 декабря 2021 г.

Ссылки

• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Мейс, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). "Теорема 23.5". Введение в функциональный анализ . Оксфорд, Англия: Clarendon Press. стр. 264. ISBN 0-19-851485-9.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277. См. теорему 3.15, стр. 68.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Дальнейшее чтение

• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Получено 22 июля 2020 г. .