Измерение в квантовой механике

Взаимодействие квантовой системы с классическим наблюдателем

В квантовой физике измерение — это тестирование или манипулирование физической системой для получения числового результата. Фундаментальной особенностью квантовой теории является то, что ее предсказания являются вероятностными . Процедура нахождения вероятности включает объединение квантового состояния , которое математически описывает квантовую систему, с математическим представлением измерения, которое должно быть выполнено в этой системе. Формула для этого расчета известна как правило Борна . Например, квантовая частица, такая как электрон, может быть описана квантовым состоянием, которое связывает с каждой точкой пространства комплексное число, называемое амплитудой вероятности . Применение правила Борна к этим амплитудам дает вероятности того, что электрон будет обнаружен в той или иной области, когда будет проведен эксперимент по его обнаружению. Это лучшее, что может сделать теория; она не может сказать наверняка, где будет обнаружен электрон. То же самое квантовое состояние можно также использовать для предсказания того, как будет двигаться электрон, если эксперимент будет проведен для измерения его импульса вместо его положения. Принцип неопределенности подразумевает, что, каким бы ни было квантовое состояние, диапазон предсказаний для положения электрона и диапазон предсказаний для его импульса не могут быть одновременно узкими. Некоторые квантовые состояния подразумевают почти определенное предсказание результата измерения положения, но результат измерения импульса будет крайне непредсказуемым, и наоборот. Более того, тот факт, что природа нарушает статистические условия, известные как неравенства Белла, указывает на то, что непредсказуемость результатов квантовых измерений не может быть объяснена как незнание « локальных скрытых переменных » в квантовых системах.

Измерение квантовой системы обычно изменяет квантовое состояние, которое описывает эту систему. Это центральная особенность квантовой механики, которая является как математически сложной, так и концептуально тонкой. Математические инструменты для прогнозирования того, какие результаты измерения могут иметь место и как могут изменяться квантовые состояния, были разработаны в 20 веке и используют линейную алгебру и функциональный анализ . Квантовая физика доказала свою эмпирическую успешность и широкую применимость. Однако на более философском уровне продолжаются дебаты о значении концепции измерения.

Математический формализм

«Наблюдаемые» как самосопряженные операторы

В квантовой механике каждая физическая система связана с гильбертовым пространством , каждый элемент которого представляет возможное состояние физической системы. Подход, кодифицированный Джоном фон Нейманом, представляет собой измерение физической системы самосопряженным оператором в этом гильбертовом пространстве, называемом «наблюдаемой». ^{[1] : 17} Эти наблюдаемые играют роль измеримых величин, знакомых по классической физике: положение, импульс , энергия , угловой момент и т. д. Размерность гильбертова пространства может быть бесконечной, как это имеет место для пространства квадратично-интегрируемых функций на прямой, которое используется для определения квантовой физики непрерывной степени свободы. С другой стороны, гильбертово пространство может быть конечномерным, как это происходит для спиновых степеней свободы. Многие трактовки теории сосредоточены на конечномерном случае, поскольку задействованная математика несколько менее требовательна. Действительно, вводные тексты по физике в области квантовой механики часто упускают из виду математические технические детали, возникающие для непрерывно-значных наблюдаемых и бесконечномерных гильбертовых пространств, такие как различие между ограниченными и неограниченными операторами ; вопросы сходимости (принадлежит ли предел последовательности элементов гильбертова пространства также гильбертову пространству), экзотические возможности для множеств собственных значений, таких как множества Кантора ; и т. д. ^{[2] : 79  [3]} Эти вопросы могут быть удовлетворительно решены с помощью спектральной теории ; ^{[2] : 101} в настоящей статье они будут избегаться, когда это возможно.

Проективное измерение

Собственные векторы фон Неймановского наблюдаемого образуют ортонормированный базис для гильбертова пространства, и каждый возможный результат этого измерения соответствует одному из векторов, составляющих базис. Оператор плотности — это положительно-полуопределенный оператор в гильбертовом пространстве, след которого равен 1. ^{[1] [2]} Для каждого измерения, которое может быть определено, распределение вероятностей по результатам этого измерения может быть вычислено из оператора плотности. Процедура для этого — правило Борна , которое гласит, что

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

где — оператор плотности, а — оператор проекции на базисный вектор, соответствующий результату измерения . Среднее собственных значений наблюдаемой фон Неймана, взвешенное по вероятностям правила Борна, является ожидаемым значением этой наблюдаемой. Для наблюдаемой ожидаемое значение при заданном квантовом состоянии равно ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}$

Оператор плотности, который является проекцией ранга 1, известен как чистое квантовое состояние, а все квантовые состояния, которые не являются чистыми, называются смешанными . Чистые состояния также известны как волновые функции . Назначение чистого состояния квантовой системе подразумевает определенность относительно результата некоторого измерения в этой системе (т. е. для некоторого результата ). Любое смешанное состояние может быть записано как выпуклая комбинация чистых состояний, хотя и не единственным способом . ^[4] Пространство состояний квантовой системы — это множество всех состояний, чистых и смешанных, которые могут быть ей назначены. ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle x}$

Правило Борна связывает вероятность с каждым единичным вектором в гильбертовом пространстве таким образом, что эти вероятности в сумме дают 1 для любого набора единичных векторов, составляющих ортонормальный базис. Более того, вероятность, связанная с единичным вектором, является функцией оператора плотности и единичного вектора, а не дополнительной информации, такой как выбор базиса для этого вектора, в который он должен быть встроен. Теорема Глисона устанавливает обратное: все назначения вероятностей единичным векторам (или, что эквивалентно, операторам, которые проецируются на них), которые удовлетворяют этим условиям, принимают форму применения правила Борна к некоторому оператору плотности. ^{[5] [6] [7]}

Обобщенное измерение (POVM)

В функциональном анализе и квантовой теории измерений положительно-операторнозначная мера (POVM) — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением проекционно-значных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантового измерения, описываемого PVM. По грубой аналогии, POVM по отношению к PVM является тем же, чем смешанное состояние является по отношению к чистому состоянию. Смешанные состояния необходимы для указания состояния подсистемы более крупной системы (см. теорему Шредингера–HJW ); аналогично, POVM необходимы для описания эффекта на подсистему проективного измерения, выполняемого на более крупной системе. POVM являются наиболее общим видом измерения в квантовой механике и могут также использоваться в квантовой теории поля . ^[8] Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM представляет собой набор положительно полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве , которые в сумме дают единичную матрицу ^{[9] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

В квантовой механике элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при выполнении измерения квантового состояния определяется выражением ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

где оператор следа . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием, эта формула сводится к ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Изменение состояния из-за измерения

Измерение квантовой системы обычно приводит к изменению квантового состояния этой системы. Написание POVM не предоставляет полной информации, необходимой для описания этого процесса изменения состояния. ^{[10] : 134} Чтобы исправить это, дополнительная информация указывается путем разложения каждого элемента POVM на произведение:

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

Операторы Крауса , названные в честь Карла Крауса , предоставляют спецификацию процесса изменения состояния. ^[a] Они не обязательно являются самосопряженными, но продукты являются. Если при выполнении измерения получен результат, то начальное состояние обновляется до ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Важным частным случаем является правило Людерса, названное в честь Герхарта Людерса . ^{[16] [17]} Если POVM сама по себе является PVM, то операторы Крауса можно считать проекторами на собственные пространства наблюдаемой фон Неймана:

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

Если начальное состояние чистое, а проекторы имеют ранг 1, их можно записать как проекторы на векторы и , соответственно. Формула упрощается таким образом до ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

Правило Людерса исторически известно как «редукция волнового пакета» или « коллапс волновой функции ». ^{[17] [18] [19]} Чистое состояние подразумевает вероятность-один предсказания для любой фон Неймановской наблюдаемой, которая имеет в качестве собственного вектора. Вводные тексты по квантовой теории часто выражают это, говоря, что если квантовое измерение повторяется в быстрой последовательности, тот же результат будет получен оба раза. Это чрезмерное упрощение, поскольку физическая реализация квантового измерения может включать процесс, подобный поглощению фотона; после измерения фотон не существует для повторного измерения. ^{[9] : 91} ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

Мы можем определить линейное, сохраняющее след, полностью положительное отображение , суммируя по всем возможным состояниям POVM после измерения без нормализации:

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

Это пример квантового канала , ^{[10] : 150} , и его можно интерпретировать как выражение того, как изменяется квантовое состояние, если измерение выполняется, но результат этого измерения теряется. ^{[10] : 159}

Примеры

Представление состояний сферой Блоха (синим цветом) и оптимальная POVM (красным цветом) для однозначного различения квантовых состояний ^[20] на состояниях и . Обратите внимание, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Прототипическим примером конечномерного гильбертова пространства является кубит , квантовая система, гильбертово пространство которой является двумерным. Чистое состояние кубита можно записать как линейную комбинацию двух ортогональных базисных состояний и с комплексными коэффициентами: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Измерение в базисе даст результат с вероятностью и результат с вероятностью , поэтому путем нормализации, ${\displaystyle (|0\rangle ,|1\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

Произвольное состояние кубита можно записать в виде линейной комбинации матриц Паули , которые обеспечивают основу для самосопряженных матриц: ^{[10] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

где действительные числа — это координаты точки внутри единичного шара и ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Элементы POVM могут быть представлены аналогичным образом, хотя след элемента POVM не фиксирован и равен 1. Матрицы Паули не имеют следа и ортогональны друг другу относительно внутреннего произведения Гильберта–Шмидта , и поэтому координаты состояния являются ожидаемыми значениями трех измерений фон Неймана, определенных матрицами Паули. ^{[10] : 126} Если такое измерение применяется к кубиту, то по правилу Людерса состояние обновится до собственного вектора этой матрицы Паули, соответствующей результату измерения. Собственные векторы являются базисными состояниями и , а измерение часто называют измерением в «вычислительном базисе». ^{[10] : 76} После измерения в вычислительном базисе результат или измерения является максимально неопределенным. ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Пара кубитов вместе образуют систему, гильбертово пространство которой является 4-мерным. Одно значимое измерение фон Неймана в этой системе определяется базисом Белла , ^{[21] : 36} набор из четырех максимально запутанных состояний:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Плотность вероятности результата измерения положения с учетом собственного энергетического состояния одномерного гармонического осциллятора. ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

Распространенным и полезным примером квантовой механики, применяемой к непрерывной степени свободы, является квантовый гармонический осциллятор . ^{[22] : 24} Эта система определяется гамильтонианом

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

где , оператор импульса и оператор положения являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на действительной прямой . Собственные энергетические состояния решают не зависящее от времени уравнение Шредингера : ${\displaystyle {H}}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {x}}$

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Можно показать, что эти собственные значения определяются как

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

и эти значения дают возможные числовые результаты измерения энергии на осцилляторе. Набор возможных результатов измерения положения на гармоническом осцилляторе непрерывен, и поэтому предсказания формулируются в терминах функции плотности вероятности , которая дает вероятность результата измерения, лежащего в бесконечно малом интервале от до . ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$

История концепции измерения

«Старая квантовая теория»

Старая квантовая теория представляет собой набор результатов 1900–1925 годов ^[23], которые предшествовали современной квантовой механике . Теория никогда не была полной или самосогласованной, а скорее представляла собой набор эвристических поправок к классической механике . ^[24] Теория теперь понимается как полуклассическое приближение ^[25] к современной квантовой механике. ^[26] Известные результаты этого периода включают расчет Планком спектра излучения черного тела , объяснение Эйнштейном фотоэлектрического эффекта , работу Эйнштейна и Дебая по удельной теплоемкости твердых тел, доказательство Бора и ван Левена того , что классическая физика не может объяснить диамагнетизм , модель атома водорода Бора и расширение Арнольдом Зоммерфельдом модели Бора для включения релятивистских эффектов .

Эксперимент Штерна-Герлаха: атомы серебра, движущиеся через неоднородное магнитное поле и отклоняющиеся вверх или вниз в зависимости от их спина; (1) печь, (2) пучок атомов серебра, (3) неоднородное магнитное поле, (4) классически ожидаемый результат, (5) наблюдаемый результат

Эксперимент Штерна –Герлаха , предложенный в 1921 году и реализованный в 1922 году, ^{[27] [28] [29]} стал прототипическим примером квантового измерения, имеющего дискретный набор возможных результатов. В оригинальном эксперименте атомы серебра были отправлены через пространственно изменяющееся магнитное поле, которое отклоняло их до того, как они ударялись об экран детектора, например, стеклянный слайд. Частицы с ненулевым магнитным моментом отклоняются из-за градиента магнитного поля от прямого пути. Экран показывает дискретные точки накопления, а не непрерывное распределение из-за квантованного спина частиц . ^{[30] [31] [32]}

Переход к «новой» квантовой теории

Статья Гейзенберга 1925 года , известная на английском языке как « Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических соотношений », ознаменовала поворотный момент в развитии квантовой физики. ^[33] Гейзенберг стремился разработать теорию атомных явлений, которая опиралась бы только на «наблюдаемые» величины. В то время и в отличие от более позднего стандартного представления квантовой механики Гейзенберг не считал положение электрона, связанного внутри атома, «наблюдаемым». Вместо этого его основными величинами, представляющими интерес, были частоты света, испускаемого или поглощаемого атомами. ^[33]

Принцип неопределенности относится к этому периоду. Его часто приписывают Гейзенбергу, который ввел эту концепцию при анализе мысленного эксперимента , в котором пытаются одновременно измерить положение и импульс электрона . Однако Гейзенберг не дал точных математических определений того, что означает «неопределенность» в этих измерениях. Точное математическое выражение принципа неопределенности положения-импульса принадлежит Кеннарду , Паули и Вейлю , а его обобщение на произвольные пары некоммутирующих наблюдаемых принадлежит Робертсону и Шредингеру . ^{[34] [35]}

Записывая и для самосопряженных операторов, представляющих положение и импульс соответственно, стандартное отклонение положения можно определить как ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle {p}}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

и то же самое для импульса:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

Соотношение неопределенностей Кеннарда–Паули–Вейля имеет вид

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Это неравенство означает, что никакое приготовление квантовой частицы не может одновременно подразумевать точные предсказания для измерения положения и для измерения импульса. ^[36] Неравенство Робертсона обобщает это на случай произвольной пары самосопряженных операторов и . Коммутатор этих двух операторов равен ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

и это дает нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Подставляя в каноническое коммутационное соотношение выражение, впервые постулированное Максом Борном в 1925 году ^[37], мы восстанавливаем утверждение Кеннарда–Паули–Вейля принципа неопределенности. ${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$

От неопределенности к отсутствию скрытых переменных

Существование принципа неопределенности естественным образом поднимает вопрос о том, можно ли понимать квантовую механику как приближение к более точной теории. Существуют ли « скрытые переменные », более фундаментальные, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы делать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория? Набор результатов, наиболее значимым из которых является теорема Белла , продемонстрировал, что широкие классы таких теорий скрытых переменных фактически несовместимы с квантовой физикой.

Белл опубликовал теорему, теперь известную под его именем, в 1964 году, более глубоко исследовав мысленный эксперимент, первоначально предложенный в 1935 году Эйнштейном , Подольским и Розеном . ^{[38] [39]} Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты теста Белла будут ограничены определенным, количественно определяемым образом. Если тест Белла проводится в лаборатории и результаты таким образом не ограничены, то они не согласуются с гипотезой о существовании локальных скрытых переменных. Такие результаты подтверждают позицию, что нет способа объяснить явления квантовой механики в терминах более фундаментального описания природы, которое больше соответствует правилам классической физики . Многие типы тестов Белла были выполнены в физических лабораториях, часто с целью улучшения проблем экспериментального проектирования или установки, которые могли бы в принципе повлиять на достоверность результатов более ранних тестов Белла. Это известно как «закрытие лазеек в тестах Белла ». На сегодняшний день тесты Белла показали, что гипотеза о локальных скрытых переменных не соответствует поведению физических систем. ^{[40] [41]}

Квантовые системы как измерительные приборы

Принцип неопределенности Робертсона–Шредингера устанавливает, что когда две наблюдаемые не коммутируют, между ними существует компромисс в предсказуемости. Теорема Вигнера–Араки–Янасе демонстрирует еще одно следствие некоммутативности: наличие закона сохранения ограничивает точность, с которой могут быть измерены наблюдаемые, которые не коммутируют с сохраняющейся величиной. ^[42] Дальнейшие исследования в этом направлении привели к формулировке информации об асимметрии Вигнера–Янасе . ^[43]

Исторически эксперименты в квантовой физике часто описывались в полуклассических терминах. Например, спин атома в эксперименте Штерна-Герлаха можно было бы рассматривать как квантовую степень свободы, в то время как атом рассматривался бы движущимся через магнитное поле , описываемое классической теорией уравнений Максвелла . ^{[2] : 24} Но устройства, используемые для построения экспериментальной аппаратуры, сами по себе являются физическими системами, и поэтому квантовая механика должна быть применима и к ним. Начиная с 1950-х годов Розенфельд , фон Вайцзеккер и другие пытались разработать условия согласованности, которые выражались бы, когда квантово-механическая система могла бы рассматриваться как измерительный прибор. ^[44] Одно предложение относительно критерия, касающегося того, когда система, используемая как часть измерительного прибора, может быть смоделирована полуклассически, опирается на функцию Вигнера , распределение квазивероятности , которое можно рассматривать как распределение вероятностей на фазовом пространстве в тех случаях, когда оно всюду неотрицательно. ^{[2] : 375}

Декогеренция

Квантовое состояние для несовершенно изолированной системы, как правило, будет развиваться, чтобы быть запутанным с квантовым состоянием для окружающей среды. Следовательно, даже если начальное состояние системы является чистым, состояние в более позднее время, найденное путем взятия частичного следа совместного состояния система-окружение, будет смешанным. Это явление запутывания, произведенное взаимодействием система-окружение, имеет тенденцию скрывать более экзотические черты квантовой механики, которые система могла бы в принципе проявлять. Квантовая декогеренция, как этот эффект известен, была впервые подробно изучена в 1970-х годах. ^[45] (Более ранние исследования того, как классическая физика может быть получена как предел квантовой механики, изучали предмет несовершенно изолированных систем, но роль запутывания не была полностью оценена. ^[44] ) Значительная часть усилий, прилагаемых к квантовым вычислениям , направлена ​​на то, чтобы избежать пагубных эффектов декогеренции. ^{[46] [21] : 239}

Для иллюстрации обозначим начальное состояние системы, начальное состояние среды и гамильтониан, задающий взаимодействие системы и среды. Оператор плотности можно диагонализировать и записать в виде линейной комбинации проекторов на его собственные векторы: ${\displaystyle \rho _{S}}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

Выражая эволюцию времени для длительности с помощью унитарного оператора , состояние системы после этой эволюции равно ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

который оценивается как

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

Окружающие величины можно определить как операторы Крауса, и таким образом это определяет квантовый канал. ^[45] ${\displaystyle \rho _{S}}$

Указание формы взаимодействия между системой и средой может установить набор «состояний указателей», состояний для системы, которые (приблизительно) стабильны, за исключением общих фазовых факторов, по отношению к колебаниям окружающей среды. Набор состояний указателей определяет предпочтительный ортонормальный базис для гильбертова пространства системы. ^{[2] : 423}

Квантовая информация и вычисления

Квантовая информатика изучает, как информационная наука и ее применение в качестве технологии зависят от квантово-механических явлений. Понимание измерения в квантовой физике важно для этой области во многих отношениях, некоторые из которых кратко рассмотрены здесь.

Измерение, энтропия и различимость

Энтропия фон Неймана является мерой статистической неопределенности, представленной квантовым состоянием. Для матрицы плотности энтропия фон Неймана равна ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

записывая в терминах его базиса собственных векторов, ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

энтропия фон Неймана равна

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

Это энтропия Шеннона набора собственных значений, интерпретируемых как распределение вероятностей, и поэтому энтропия фон Неймана является энтропией Шеннона случайной величины, определенной путем измерения в собственном базисе . Следовательно, энтропия фон Неймана исчезает, когда является чистым. ^{[10] : 320} Энтропия фон Неймана может быть эквивалентно охарактеризована как минимальная энтропия Шеннона для измерения, заданного квантовым состоянием , с минимизацией по всем POVM с элементами ранга 1. ^{[10] : 323} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Многие другие величины, используемые в квантовой теории информации, также находят мотивацию и обоснование в терминах измерений. Например, расстояние следа между квантовыми состояниями равно наибольшей разнице в вероятности , которую эти два квантовых состояния могут подразумевать для результата измерения: ^{[10] : 254}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

Аналогично, точность двух квантовых состояний, определяемая как

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

выражает вероятность того, что одно состояние пройдет тест на определение успешного приготовления другого. Расстояние трассировки обеспечивает границы точности через неравенства Фукса–ван де Граафа : ^{[10] : 274}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

Квантовые схемы

Схемное представление измерения. Одна линия слева обозначает кубит, а две линии справа — классический бит.

Квантовые схемы — это модель квантовых вычислений , в которой вычисление представляет собой последовательность квантовых вентилей, за которыми следуют измерения. ^{[21] : 93} Вентили представляют собой обратимые преобразования на квантово-механическом аналоге n - битного регистра . Эта аналогичная структура называется n - кубитным регистром . Измерения, изображенные на схеме в виде стилизованных стрелок-указателей, указывают, где и как получается результат от квантового компьютера после выполнения шагов вычисления. Без потери общности можно работать со стандартной моделью схемы, в которой набор вентилей представляет собой однокубитные унитарные преобразования и управляемые вентили НЕ на парах кубитов, а все измерения находятся в вычислительной базе. ^{[21] : 93  [47]}

Квантовые вычисления на основе измерений

Квантовые вычисления на основе измерений (MBQC) — это модель квантовых вычислений , в которой ответ на вопрос, неформально говоря, создается в процессе измерения физической системы, которая служит компьютером. ^{[21] : 317  [48] [49]}

Квантовая томография

Томография квантовых состояний — это процесс, с помощью которого, имея набор данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется квантовое состояние, согласующееся с этими результатами измерений. ^[50] Он назван по аналогии с томографией , реконструкцией трехмерных изображений из срезов, взятых через них, как при КТ . Томография квантовых состояний может быть расширена до томографии квантовых каналов ^[50] и даже измерений. ^[51]

Квантовая метрология

Квантовая метрология — это использование квантовой физики для измерения величин, которые, как правило, имели значение в классической физике, например, использование квантовых эффектов для повышения точности измерения длины. ^[52] Известным примером является введение сжатого света в эксперимент LIGO , что увеличило его чувствительность к гравитационным волнам . ^{[53] [54]}

Лабораторные внедрения

Диапазон физических процедур, к которым может применяться математика квантовых измерений, очень широк. ^[55] В ранние годы развития предмета лабораторные процедуры включали регистрацию спектральных линий , затемнение фотопленки, наблюдение сцинтилляций , поиск треков в камерах Вильсона и прослушивание щелчков счетчиков Гейгера . ^[b] Язык той эпохи сохранился, например, описание результатов измерений в абстракции как «щелчков детектора». ^[57]

Двухщелевой эксперимент является прототипической иллюстрацией квантовой интерференции , обычно описываемой с использованием электронов или фотонов. Первый интерференционный эксперимент, который был проведен в режиме, где как волновые, так и корпускулярные аспекты поведения фотона были значимы, был тест GI Taylor в 1909 году. Taylor использовал экраны из дымчатого стекла для ослабления света, проходящего через его аппарат, до такой степени, что, выражаясь современным языком, только один фотон освещал щели интерферометра за раз. Он записал интерференционные картины на фотографических пластинках; для самого тусклого света требуемое время экспозиции составляло примерно три месяца. ^{[58] [59]} В 1974 году итальянские физики Пьер Джорджио Мерли, Джан Франко Миссироли и Джулио Поцци реализовали двухщелевой эксперимент, используя одиночные электроны и телевизионную трубку . ^[60] Четверть века спустя группа ученых из Венского университета провела эксперимент по интерференции с бакиболами , в котором бакиболы, прошедшие через интерферометр, ионизировались лазером , а затем ионы вызывали испускание электронов, испускание которых, в свою очередь, усиливалось и детектировалось электронным умножителем . ^[61]

Современные эксперименты по квантовой оптике могут использовать однофотонные детекторы . Например, в «тесте BIG Bell» 2018 года несколько лабораторных установок использовали однофотонные лавинные диоды . Другая лабораторная установка использовала сверхпроводящие кубиты . ^[40] Стандартный метод проведения измерений на сверхпроводящих кубитах заключается в соединении кубита с резонатором таким образом, чтобы характерная частота резонатора смещалась в соответствии с состоянием кубита, и обнаружении этого сдвига путем наблюдения за тем, как резонатор реагирует на зондовый сигнал. ^[62]

Интерпретации квантовой механики

Нильс Бор и Альберт Эйнштейн , изображенные здесь в доме Пауля Эренфеста в Лейдене (декабрь 1925 г.), вели длительный коллегиальный спор о том, что квантовая механика подразумевает для природы реальности.

Несмотря на консенсус среди ученых, что квантовая физика на практике является успешной теорией, разногласия сохраняются на более философском уровне. Многие дебаты в области, известной как квантовые основы, касаются роли измерения в квантовой механике. Повторяющиеся вопросы включают в себя, какая интерпретация теории вероятностей лучше всего подходит для вероятностей, вычисленных по правилу Борна; и является ли кажущаяся случайность результатов квантовых измерений фундаментальной или следствием более глубокого детерминированного процесса. ^{[63] [64] [65]} Мировоззрения, которые представляют ответы на такие вопросы, известны как «интерпретации» квантовой механики; как однажды пошутил физик Н. Дэвид Мермин , «Новые интерпретации появляются каждый год. Ни одна никогда не исчезает». ^[66]

Центральным вопросом в квантовых основах является « проблема квантового измерения », хотя то, как эта проблема разграничивается и следует ли ее считать одним вопросом или несколькими отдельными вопросами, являются спорными темами. ^{[56] [67]} Основной интерес представляет кажущееся несоответствие между явно различными типами эволюции времени. Фон Нейман заявил, что квантовая механика содержит «два принципиально разных типа» изменения квантового состояния. ^{[68] : §V.1} Во-первых, существуют изменения, включающие процесс измерения, а во-вторых, существует унитарная эволюция времени при отсутствии измерения. Первое является стохастическим и прерывистым, пишет фон Нейман, а второе — детерминированным и непрерывным. Эта дихотомия задала тон для гораздо более поздних дебатов. ^{[69] [70]} Некоторые интерпретации квантовой механики считают опору на два различных типа эволюции времени неприятной и считают двусмысленность того, когда ссылаться на один или другой, недостатком способа, которым квантовая теория была исторически представлена. ^[71] Чтобы поддержать эти интерпретации, их сторонники работали над получением способов рассмотрения «измерения» как вторичного понятия и вывода кажущегося стохастического эффекта процессов измерения как приближений к более фундаментальной детерминированной динамике. Однако среди сторонников правильного способа реализации этой программы, и в частности, как обосновать использование правила Борна для вычисления вероятностей, не было достигнуто консенсуса. ^{[72] [73]} Другие интерпретации рассматривают квантовые состояния как статистическую информацию о квантовых системах, таким образом утверждая, что резкие и прерывистые изменения квантовых состояний не являются проблематичными, а просто отражают обновления доступной информации. ^{[55] [74]} В этом направлении мысли Белл спросил: « Чья информация? Информация о чем ?» ^[71] Ответы на эти вопросы различаются среди сторонников информационно-ориентированных интерпретаций. ^{[64] [74]}

Смотрите также

• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Теорема Холево
• Квантовая коррекция ошибок
• Квантовый предел
• Квантовая логика
• Квантовый эффект Зенона
• Кот Шредингера
• SIC-POVM

Примечания

1. Хеллвиг и Краус ^{[11] [12]} изначально ввели операторы с двумя индексами, , такими что . Дополнительный индекс не влияет на вычисление вероятности результата измерения, но он играет роль в правиле обновления состояния, при этом состояние после измерения теперь пропорционально . Это можно рассматривать как представление как грубое объединение нескольких результатов более мелкозернистой POVM. ^{[13] [14] [15]} Операторы Крауса с двумя индексами также встречаются в обобщенных моделях взаимодействия системы и среды. ^{[9] : 364} ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}A_{ij}^{\dagger }=E_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}^{\dagger }\rho A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle E_{i}}$
2. Стеклянные пластины, используемые в эксперименте Штерна-Герлаха, не темнели должным образом, пока Штерн не подышал на них, случайно подвергнув их воздействию серы из своих дешевых сигар. ^{[31] [56]}

Ссылки

1. Holevo, Alexander S. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Springer. ISBN 3-540-42082-7. OCLC  318268606.
2. Перес, Эшер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2549-4.
3. Тао, Терри (12 августа 2014 г.). «Авила, Бхаргава, Хайрер, Мирзакхани». Что нового . Получено 9 февраля 2020 г. .
4. Киркпатрик, КА (февраль 2006 г.). «Теорема Шредингера-HJW». Foundations of Physics Letters . 19 (1): 95–102. arXiv : quant-ph/0305068 . Bibcode : 2006FoPhL..19...95K. doi : 10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875. S2CID  15995449.
5. Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Indiana University Mathematics Journal . 6 (4): 885–893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . MR  0096113.
6. Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Physical Review Letters . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Bibcode : 2003PhRvL..91l0403B. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.120403. PMID  14525351. S2CID  2168715.
7. Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Манн, Киран К.; Ренес, Джозеф М. (2004). «Выводы типа Глисона правила квантовой вероятности для обобщенных измерений». Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : quant-ph/0306179 . Bibcode : 2004FoPh...34..193C. doi : 10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5. S2CID  18132256.
8. Перес, Эшер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Reviews of Modern Physics . 76 (1): 93–123. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode : 2004RvMP...76...93P. doi : 10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
9. Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-63503-5. OCLC  634735192.
10. Уайлд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Cambridge University Press. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976.001. ISBN 9781107176164. OCLC  973404322. S2CID  2515538.
11. Хеллвиг, К. -Э.; Краус, К. (сентябрь 1969). «Чистые операции и измерения». Communications in Mathematical Physics . 11 (3): 214–220. doi :10.1007/BF01645807. ISSN  0010-3616. S2CID  123659396.
12. Краус, Карл (1983). Состояния, эффекты и операции: фундаментальные понятия квантовой теории. Лекции по математической физике в Техасском университете в Остине. Т. 190. Springer-Verlag. ISBN 978-3-5401-2732-1. OCLC  925001331.
13. Барнум, Ховард; Нильсен, МА ; Шумахер, Бенджамин (1 июня 1998 г.). «Передача информации через шумный квантовый канал». Physical Review A. 57 ( 6): 4153–4175. arXiv : quant-ph/9702049 . Bibcode : 1998PhRvA..57.4153B. doi : 10.1103/PhysRevA.57.4153. ISSN  1050-2947. S2CID  13717391.
14. Фукс, Кристофер А.; Якобс, Курт (16 мая 2001 г.). "Информационно-компромиссные отношения для квантовых измерений конечной силы". Physical Review A . 63 (6): 062305. arXiv : quant-ph/0009101 . Bibcode :2001PhRvA..63f2305F. doi :10.1103/PhysRevA.63.062305. ISSN  1050-2947. S2CID  119476175.
15. Пулен, Дэвид (7 февраля 2005 г.). «Макроскопические наблюдаемые». Physical Review A. 71 ( 2): 022102. arXiv : quant-ph/0403212 . Bibcode : 2005PhRvA..71b2102P. doi : 10.1103/PhysRevA.71.022102. ISSN  1050-2947. S2CID  119364450.
16. Людерс, Герхарт (1950). «Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß». Аннален дер Физик . 443 (5–8): 322. Бибкод : 1950АнП...443..322Л. дои : 10.1002/andp.19504430510.Перевод KA Kirkpatrick как Lüders, Gerhart (3 апреля 2006 г.). «Об изменении состояния в результате процесса измерения». Annalen der Physik . 15 (9): 663–670. arXiv : quant-ph/0403007 . Bibcode : 2006AnP...518..663L. doi : 10.1002/andp.200610207. S2CID  119103479.
17. Буш, Пол ; Лахти, Пекка (2009), Гринбергер, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.), «Правило Людерса», Сборник квантовой физики , Springer Berlin Heidelberg, стр. 356–358, doi : 10.1007/978-3-540-70626-7_110, ISBN 978-3-540-70622-9
18. Джеммер, Макс (1979). «Рассмотрение философских последствий новой физики». В Радницки, Герард; Андерссон, Гуннар (ред.). Структура и развитие науки. Т. 59. Дордрехт: Springer Netherlands. стр. 41–61. doi :10.1007/978-94-009-9459-1_3. ISBN 978-90-277-0995-0. Получено 26 марта 2024 г. .
19. Пессоа, Освальдо (2022). «Проблема измерения». В Фрейре, Оливал (ред.). Оксфордский справочник по истории квантовых интерпретаций . Oxford University Press. стр. 281–302. doi :10.1093/oxfordhb/9780198844495.013.0012. ISBN 978-0-191-88008-7.
20. Перес, Эшер ; Терно, Дэниел Р. (1998). «Оптимальное различие между неортогональными квантовыми состояниями». Журнал физики A: Математический и общий . 31 (34): 7105–7111. arXiv : quant-ph/9804031 . Bibcode : 1998JPhA...31.7105P. doi : 10.1088/0305-4470/31/34/013. ISSN  0305-4470. S2CID  18961213.
21. Риффель, Элеанор Г.; Полак, Вольфганг Х. (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: легкое введение . MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
22. Вайнберг, Стивен (2015). Лекции по квантовой механике (Второе издание). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-11166-0. OCLC  910664598.
23. Пайс, Авраам (2005). Тонкий Господь: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна (иллюстрированное издание). Oxford University Press . стр. 28. ISBN 978-0-19-280672-7.
24. тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория . Pergamon Press. стр. 206. ISBN 978-0-08-012101-7.
25. "Полуклассическое приближение". Энциклопедия математики . Получено 1 февраля 2020 г.
26. Sakurai, JJ ; Napolitano, J. (2014). «Квантовая динамика». Современная квантовая механика . Pearson. ISBN 978-1-292-02410-3. OCLC  929609283.
27. Герлах, В.; Стерн, О. (1922). «Der Experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld». Zeitschrift für Physik . 9 (1): 349–352. Бибкод : 1922ZPhy....9..349G. дои : 10.1007/BF01326983. S2CID  186228677.
28. Герлах, В.; Стерн, О. (1922). «Магнитный момент сильбератомов». Zeitschrift für Physik . 9 (1): 353–355. Бибкод : 1922ZPhy....9..353G. дои : 10.1007/BF01326984. S2CID  126109346.
29. Герлах, В.; Стерн, О. (1922). «Der Experimentelle Nachweis des Magneticischen Moments des Silberatoms». Zeitschrift für Physik . 8 (1): 110–111. Бибкод : 1922ZPhy....8..110G. дои : 10.1007/BF01329580. S2CID  122648402.
30. Франклин, Аллан ; Перович, Слободан. «Эксперимент в физике, Приложение 5». В Эдвард Н. Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (зима 2016 г.) . Получено 14 августа 2018 г.
31. Фридрих, Б.; Хершбах, Д. (2003). «Штерн и Герлах: как плохая сигара помогла переориентировать атомную физику». Physics Today . 56 (12): 53. Bibcode : 2003PhT....56l..53F. doi : 10.1063/1.1650229 . S2CID  17572089.
32. Чжу, Гуантянь; Сингх, Чандралекха (май 2011 г.). «Улучшение понимания студентами квантовой механики с помощью эксперимента Штерна–Герлаха». American Journal of Physics . 79 (5): 499–507. arXiv : 1602.06367 . Bibcode : 2011AmJPh..79..499Z. doi : 10.1119/1.3546093. ISSN  0002-9505. S2CID  55077698.
33. ван дер Варден, BL (1968). «Введение, часть II». Источники квантовой механики . Дувр. ISBN 0-486-61881-1.
34. Буш, Пол ; Лахти, Пекка; Вернер, Рейнхард Ф. (17 октября 2013 г.). «Доказательство соотношения ошибки и возмущения Гейзенберга». Physical Review Letters . 111 (16): 160405. arXiv : 1306.1565 . Bibcode : 2013PhRvL.111p0405B. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.160405. ISSN  0031-9007. PMID  24182239. S2CID  24507489.
35. Appleby, David Marcus (6 мая 2016 г.). «Квантовые ошибки и возмущения: ответ Бушу, Лахти и Вернеру». Entropy . 18 (5): 174. arXiv : 1602.09002 . Bibcode :2016Entrp..18..174A. doi : 10.3390/e18050174 .
36. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. OCLC  2284121.
37. Борн, М .; Джордан, П. (1925). «Цур Квантенмеханик». Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B. дои : 10.1007/BF01328531. S2CID  186114542.
38. Белл, Дж. С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Physics Physique Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
39. Эйнштейн, А .; Подольский, Б .; Розен, Н. (15 мая 1935 г.). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?». Physical Review . 47 (10): 777–780. Bibcode : 1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
40. The BIG Bell Test Collaboration (9 мая 2018 г.). «Бросая вызов локальному реализму с человеческим выбором». Nature . 557 (7704): 212–216. arXiv : 1805.04431 . Bibcode :2018Natur.557..212B. doi :10.1038/s41586-018-0085-3. PMID  29743691. S2CID  13665914.
41. Вулховер, Натали (7 февраля 2017 г.). «Эксперимент подтверждает квантовую странность». Журнал Quanta . Получено 8 февраля 2020 г.
42. См., например:
    • Вигнер, EP (1995), «Die Messung quantenmechanischer Operatingen», в Мехре, Джагдиш (редактор), «Философские размышления и синтезы» , Springer Berlin Heidelberg, стр. 147–154, номер документа : 10.1007/978-3-642-78374- 6_10, ISBN 978-3-540-63372-3
    • Араки, Хузихиро ; Янасе, Муцуо М. (15 октября 1960 г.). «Измерение операторов квантовой механики». Physical Review . 120 (2): 622–626. Bibcode : 1960PhRv..120..622A. doi : 10.1103/PhysRev.120.622. ISSN  0031-899X.
    • Yanase, Mutsuo M. (15 июля 1961 г.). «Оптимальная измерительная аппаратура». Physical Review . 123 (2): 666–668. Bibcode : 1961PhRv..123..666Y. doi : 10.1103/PhysRev.123.666. ISSN  0031-899X.
    • Ахмади, Мехди; Дженнингс, Дэвид; Рудольф, Терри (28 января 2013 г.). «Теорема Вигнера–Араки–Янасе и квантовая ресурсная теория асимметрии». New Journal of Physics . 15 (1): 013057. arXiv : 1209.0921 . Bibcode :2013NJPh...15a3057A. doi : 10.1088/1367-2630/15/1/013057 . ISSN  1367-2630.
43. Луо, Шэньлун (2003). «Информация с перекосом Вигнера–Янасе и отношения неопределенности». Physical Review Letters . 91 (18): 180403. Bibcode : 2003PhRvL..91r0403L. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.180403. PMID  14611271.
44. Camilleri, K.; Schlosshauer, M. (2015). «Нильс Бор как философ эксперимента: бросает ли теория декогеренции вызов учению Бора о классических концепциях?». Исследования по истории и философии современной физики . 49 : 73–83. arXiv : 1502.06547 . Bibcode : 2015SHPMP..49...73C. doi : 10.1016/j.shpsb.2015.01.005. S2CID  27697360.
45. Schlosshauer, M. (2019). «Квантовая декогеренция». Physics Reports . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Bibcode : 2019PhR...831....1S. doi : 10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
46. ДиВинченцо, Дэвид ; Терхал, Барбара (март 1998 г.). «Декогеренция: препятствие квантовым вычислениям». Physics World . 11 (3): 53–58. doi :10.1088/2058-7058/11/3/32. ISSN  0953-8585.
47. Terhal, Barbara M. (7 апреля 2015 г.). «Квантовая коррекция ошибок для квантовой памяти». Reviews of Modern Physics . 87 (2): 307–346. arXiv : 1302.3428 . Bibcode : 2013arXiv1302.3428T. doi : 10.1103/RevModPhys.87.307. ISSN  0034-6861. S2CID  118646257.
48. Raussendorf, R.; Browne, DE; Briegel, HJ (2003). "Квантовые вычисления на основе измерений в кластерных состояниях". Physical Review A. 68 ( 2): 022312. arXiv : quant-ph/0301052 . Bibcode : 2003PhRvA..68b2312R. doi : 10.1103/PhysRevA.68.022312. S2CID  6197709.
49. Чайлдс, Эндрю М .; Леунг, Дебби В .; Нильсен, Майкл А. (17 марта 2005 г.). «Унифицированные выводы схем на основе измерений для квантовых вычислений». Physical Review A. 71 ( 3): 032318. arXiv : quant-ph/0404132 . Bibcode : 2005PhRvA..71c2318C. doi : 10.1103/PhysRevA.71.032318. ISSN  1050-2947. S2CID  27097365.
50. Granade, Christopher; Combes, Joshua; Cory, DG (1 января 2016 г.). "Практическая байесовская томография". New Journal of Physics . 18 (3): 033024. arXiv : 1509.03770 . Bibcode : 2016NJPh...18c3024G. doi : 10.1088/1367-2630/18/3/033024. ISSN  1367-2630. S2CID  88521187.
51. Ландин, Дж. С.; Фейто, А.; Колденстродт-Ронге, Х.; Прегнелл, КЛ; Силберхорн, Ч; Ральф, TC; Эйсерт, Дж.; Пленио, МБ; Уолмсли, Айова (2009). «Томография квантовых детекторов». Физика природы . 5 (1): 27–30. arXiv : 0807.2444 . Бибкод : 2009NatPh...5...27L. дои : 10.1038/nphys1133. ISSN  1745-2481. S2CID  119247440.
52. Braunstein, Samuel L.; Caves, Carlton M. (30 мая 1994 г.). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Physical Review Letters . 72 (22): 3439–3443. Bibcode :1994PhRvL..72.3439B. doi :10.1103/physrevlett.72.3439. PMID  10056200.
53. Коберлейн, Брайан (5 декабря 2019 г.). «LIGO сожмет свет, чтобы преодолеть квантовый шум пустого пространства». Universe Today . Получено 2 февраля 2020 г.
54. , Филип (5 декабря 2019 г.). «В фокусе: выжимаем больше из детекторов гравитационных волн». Физика . 12. doi :10.1103/Physics.12.139. S2CID  216538409.
55. Пайерлс, Рудольф (1991). "В защиту "измерения"". Мир физики . 4 (1): 19–21. doi :10.1088/2058-7058/4/1/19. ISSN  2058-7058.
56. Barad, Karen (2007). Встреча Вселенной на полпути: квантовая физика и запутанность материи и смысла . Duke University Press. ISBN 978-0-8223-3917-5. OCLC  1055296186.
57. Энглерт, Бертольд-Георг (22 ноября 2013 г.). «О квантовой теории». The European Physical Journal D. 67 ( 11): 238. arXiv : 1308.5290 . Bibcode : 2013EPJD...67..238E. doi : 10.1140/epjd/e2013-40486-5. ISSN  1434-6079. S2CID  119293245.
58. Тейлор, GI (1909). «Интерференционные полосы со слабым светом». Труды Кембриджского философского общества . 15 : 114–115.
59. Gbur, Greg (25 августа 2018 г.). «Тейлор видит (слабый) свет (1909)». Черепа в звездах . Получено 24 октября 2020 г.
60. Мерли, ПГ; Миссироли, ГФ; Поцци, Г (1976). «О статистическом аспекте явлений электронной интерференции». American Journal of Physics . 44 (3): 306–307. Bibcode : 1976AmJPh..44..306M. doi : 10.1119/1.10184.
61. Арндт, Маркус; Наирз, Олаф; Вос-Андреа, Джулиан; Келлер, Клаудия; Ван Дер Зув, Гербранд; Цайлингер, Антон (1999). «Волново-частичный дуализм молекул C60». Природа . 401 (6754): 680–682. Бибкод : 1999Natur.401..680A. дои : 10.1038/44348. PMID  18494170. S2CID  4424892.
62. Кранц, Филипп; Бенгтссон, Андреас; Симоен, Михаэль; Густавссон, Саймон; Шумейко, Виталий; Оливер, В. Д.; Уилсон, К. М.; Дельсинг, Пер; Бюландер, Йонас (9 мая 2016 г.). "Однократное считывание сверхпроводящего кубита с использованием параметрического осциллятора Джозефсона". Nature Communications . 7 (1): 11417. arXiv : 1508.02886 . Bibcode :2016NatCo...711417K. doi : 10.1038/ncomms11417 . ISSN  2041-1723. PMC 4865746 . PMID  27156732. 
63. Шлосшауэр, Максимилиан; Кофлер, Йоханнес; Цайлингер, Антон (6 января 2013 г.). «Краткий обзор основополагающих взглядов на квантовую механику». Исследования по истории и философии науки, часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 44 (3): 222–230. arXiv : 1301.1069 . Bibcode :2013SHPMP..44..222S. doi :10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID  55537196.
64. Cabello, Adán (2017). «Интерпретации квантовой теории: карта безумия». В Lombardi, Olimpia ; Fortin, Sebastian; Holik, Federico; López, Cristian (ред.). Что такое квантовая информация? . Cambridge University Press . стр. 138–143. arXiv : 1509.04711 . Bibcode :2015arXiv150904711C. doi :10.1017/9781316494233.009. ISBN 9781107142114. S2CID  118419619.
65. Шаффер, Кэтрин; Баррето Лемос, Габриэла (24 мая 2019 г.). «Уничтожение вещности: введение в «Что» и «Ну и что» квантовой физики». Основы науки . 26 : 7–26. arXiv : 1908.07936 . doi : 10.1007/s10699-019-09608-5. ISSN  1233-1821. S2CID  182656563.
66. Mermin, N. David (1 июля 2012 г.). «Комментарий: Квантовая механика: исправление шаткого расщепления». Physics Today . 65 (7): 8–10. Bibcode : 2012PhT....65g...8M. doi : 10.1063/PT.3.1618 . ISSN  0031-9228.
67. Баб, Джеффри ; Питовски, Итамар (2010). «Две догмы о квантовой механике». Много миров? . Oxford University Press . стр. 433–459. arXiv : 0712.4258 . ISBN 9780199560561. OCLC  696602007.
68. фон Нейман, Джон (2018). Уилер, Николас А. (ред.). Математические основы квантовой механики. Новое издание . Перевод Роберта Т. Бейера. Princeton University Press . ISBN 9-781-40088-992-1. OCLC  1021172445.
69. Вигнер, Э. П. (1995), «Обзор проблемы квантово-механического измерения», в Mehra, Jagdish (ред.), Philosophical Reflections and Syntheses , Springer Berlin Heidelberg, стр. 225–244, doi :10.1007/978-3-642-78374-6_19, ISBN 978-3-540-63372-3
70. Фэй, Ян (2019). «Копенгагенская интерпретация квантовой механики». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
71. Белл, Джон (1990). "Против 'измерения'". Мир физики . 3 (8): 33–41. doi :10.1088/2058-7058/3/8/26. ISSN  2058-7058.
72. Кент, Адриан (2010). «Один мир против многих: неадекватность эвереттовских отчетов об эволюции, вероятности и научном подтверждении». Многие миры? . Oxford University Press . стр. 307–354. arXiv : 0905.0624 . ISBN 9780199560561. OCLC  696602007.
73. Барретт, Джеффри (2018). «Формулировка квантовой механики относительного состояния Эверетта». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
74. Healey, Richard (2016). «Квантово-байесовские и прагматистские взгляды на квантовую теорию». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.

Дальнейшее чтение

• Уилер, Джон А.; Журек , Войцех Х. , ред. (1983). Квантовая теория и измерения . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08316-2.
• Брагинский, Владимир Б.; Халили, Фарид Я. (1992). Квантовые измерения . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41928-4.
• Гринстейн, Джордж С.; Зайонц, Артур Г. (2006). Квантовый вызов: современные исследования основ квантовой механики (2-е изд.). ISBN 978-0763724702.
• Alter, Orly; Yamamoto, Yoshihisa (2001). Квантовое измерение одиночной системы . Нью-Йорк: Wiley. doi :10.1002/9783527617128. ISBN 9780471283089.
• Jordan, Andrew N.; Siddiqi, Irfan A. (2024). Квантовое измерение: теория и практика . Cambridge University Press. ISBN 978-1009100069.