Герман Клаус Хьюго Вейль , ForMemRS [1] ( нем. [vaɪl] ; 9 ноября 1885 — 8 декабря 1955) — немецкий математик , физик-теоретик , логик и философ . Хотя большая часть его трудовой жизни прошла в Цюрихе , Швейцария , а затем в Принстоне, Нью-Джерси , он связан с математической традицией Геттингенского университета , представленной Карлом Фридрихом Гауссом , Давидом Гильбертом и Германом Минковским .
Его исследования имели важное значение для теоретической физики , а также для чисто математических дисциплин, таких как теория чисел . Он был одним из самых влиятельных математиков двадцатого века и важным членом Института перспективных исследований в первые годы его существования. [4] [5]
Вейль внес вклад в исключительно [6] широкий спектр математических областей, включая работы по пространству , времени , материи , философии , логике , симметрии и истории математики . Он был одним из первых, кто задумал объединить общую теорию относительности с законами электромагнетизма . Фримен Дайсон писал, что один только Вейль выдерживает сравнение с «последними великими универсальными математиками девятнадцатого века», Пуанкаре и Гильбертом . [6] Майкл Атья , в частности, заметил, что всякий раз, когда он исследовал математическую тему, он обнаруживал, что Вейль опередил его. [7]
Герман Вейль родился в Эльмсхорне , небольшом городке недалеко от Гамбурга , в Германии , и посещал Христианскую гимназию в Альтоне . [8] Его отец, Людвиг Вейль, был банкиром; тогда как его мать, Анна Вейль (урожденная Дик), происходила из богатой семьи. [9]
С 1904 по 1908 год он изучал математику и физику в Гёттингене и Мюнхене . Его докторская степень была присуждена в Геттингенском университете под руководством Давида Гильберта , которым он очень восхищался.
В сентябре 1913 года в Геттингене Вейль женился на Фридерике Берте Элен Йозеф (30 марта 1893 [10] - 5 сентября 1948 [11] ), которая носила имя Хелен (прозвище «Хелла»). Хелен была дочерью доктора Бруно Йозефа (13 декабря 1861 – 10 июня 1934), врача, занимавшего должность санитарного врача в Рибниц-Дамгартене , Германия. Элен была философом (она была ученицей феноменолога Эдмунда Гуссерля ) и переводчиком испанской литературы на немецкий и английский языки (особенно произведений испанского философа Хосе Ортеги-и-Гассета ). [12] Именно благодаря тесной связи Элены с Гуссерлем Германн познакомился с мыслью Гуссерля (и находился под ее сильным влиянием). У Германа и Хелен было два сына, Фриц Иоахим Вейль (19 февраля 1915 г. - 20 июля 1977 г.) и Михаэль Вейль (15 сентября 1917 г. - 19 марта 2011 г.), [13] оба родились в Цюрихе, Швейцария. Элен умерла в Принстоне, штат Нью-Джерси, 5 сентября 1948 года. Поминальная служба в ее честь прошла в Принстоне 9 сентября 1948 года. На ее поминальной службе выступали ее сын Фриц Иоахим Вейль и математики Освальд Веблен и Ричард Курант . [14] В 1950 году Герман женился на скульпторе Эллен Бар (урожденной Лонштейн) (17 апреля 1902 - 14 июля 1988), [15] которая была вдовой профессора Рихарда Йозефа Бара (11 сентября 1892 - 15 декабря 1940). [16] Цюриха.
Проработав несколько лет на преподавательской должности, Вейль в 1913 году уехал из Геттингена в Цюрих, чтобы занять кафедру математики [17] в ETH Zürich , где он был коллегой Альберта Эйнштейна , разрабатывавшего детали теории общая теория относительности . Эйнштейн оказал длительное влияние на Вейля, который увлекся математической физикой. В 1921 году Вейль познакомился с Эрвином Шрёдингером , физиком-теоретиком, который в то время был профессором Цюрихского университета . Со временем им суждено было стать близкими друзьями. У Вейля был своего рода бездетный роман с женой Шредингера Аннемари (Анни) Шрёдингер (урожденной Бертель), в то время как в то же время Анни помогала воспитывать внебрачную дочь Эрвина по имени Рут Джорджи Эрика Марч, которая родилась в 1934 году в Оксфорде, Англия . . [18] [19]
Вейль был пленарным докладчиком Международного конгресса математиков (ICM) в 1928 году в Болонье [20] и приглашенным докладчиком ICM в 1936 году в Осло . Он был избран членом Американского физического общества в 1928 году, [21] членом Американской академии искусств и наук в 1929 году, [22] членом Американского философского общества в 1935 году, [23] и членом Национальной академии наук в 1940 году. [24] В 1928–1929 учебном году он был приглашенным профессором в Принстонском университете , [25] где написал статью «О проблеме теории групп, возникающей в основах теории групп». бесконечно малая геометрия», совместно с Говардом П. Робертсоном . [26]
Вейль покинул Цюрих в 1930 году, чтобы стать преемником Гильберта в Геттингене, уехав, когда в 1933 году к власти пришли нацисты, особенно потому, что его жена была еврейкой. Ему предложили одну из первых должностей преподавателя в новом Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси , но он отказался, поскольку не хотел покидать свою родину. Когда политическая ситуация в Германии ухудшилась, он передумал и согласился, когда ему снова предложили эту должность. Он оставался там до выхода на пенсию в 1951 году. Вместе со своей второй женой Эллен он провел время в Принстоне и Цюрихе и умер от сердечного приступа 8 декабря 1955 года, живя в Цюрихе.
Вейль был кремирован в Цюрихе 12 декабря 1955 года. [27] Его прах остался в частных руках [ недостоверный источник? ] до 1999 года, после чего они были похоронены в открытом колумбарии на Принстонском кладбище . [28] Останки сына Германа Михаэля Вейля (1917–2011) захоронены рядом с прахом Германа в том же хранилище колумбария.
Вейль был пантеистом . [29]
В 1911 году Вейль опубликовал «Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte» ( «Об асимптотическом распределении собственных значений » ), в которой доказал, что собственные значения лапласиана в компактной области распределяются согласно так называемому закону Вейля . В 1912 году он предложил новое доказательство, основанное на вариационных принципах. Вейль несколько раз возвращался к этой теме, рассматривал систему упругости и сформулировал гипотезу Вейля . Эти работы положили начало важной области современного анализа — асимптотическому распределению собственных значений.
В 1913 году Вейль опубликовал Die Idee der Riemannschen Fläche ( «Концепция римановой поверхности »), в которой дал унифицированную трактовку римановых поверхностей . В нем Вейль использовал топологию точечного множества , чтобы сделать теорию римановой поверхности более строгой, модель, которой следовали в более поздних работах над многообразиями . С этой целью он впитал ранние работы Л. Дж. Брауэра по топологии.
Вейль, как крупная фигура геттингенской школы, был полностью осведомлен о работах Эйнштейна с первых дней их существования. Он проследил развитие физики относительности в своей книге Raum, Zeit, Materie (« Пространство, время, материя ») 1918 года, которая вышла в 4-м издании в 1922 году. В 1918 году он ввел понятие калибровки и дал первый пример того, что сейчас является известная как калибровочная теория . Калибровочная теория Вейля была неудачной попыткой смоделировать электромагнитное поле и гравитационное поле как геометрические свойства пространства-времени . Тензор Вейля в римановой геометрии имеет большое значение для понимания природы конформной геометрии. В 1929 году Вейль ввел в общую теорию относительности понятие вирбена . [30]
Его общий подход к физике был основан на феноменологической философии Эдмунда Гуссерля , в частности, на книге Гуссерля 1913 года «Ideen zu einer Reinen Phänomenologie und Phänomenologischen Philosophie». Эрстес Бух: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie (Идеи чистой феноменологии и феноменологической философии. Первая книга: Общее введение). Гуссерль резко отреагировал на критику Готлоба Фреге его первой работы по философии арифметики и исследовал смысл математических и других структур, которые Фреге отличал от эмпирических ссылок. [ нужна цитата ]
С 1923 по 1938 год Вейль разработал теорию компактных групп в терминах матричных представлений . В случае компактной группы Ли он доказал фундаментальную формулу характера .
Эти результаты имеют основополагающее значение для понимания структуры симметрии квантовой механики , которую он положил на теоретико-групповую основу. Сюда входили спиноры . Вместе с математической формулировкой квантовой механики , в значительной степени благодаря Джону фон Нейману , это дало трактовку, знакомую примерно с 1930 года. Некомпактные группы и их представления, особенно группа Гейзенберга , также были упрощены в этом конкретном контексте, в его 1927 Квантование Вейля — лучший из существующих на сегодняшний день мостов между классической и квантовой физикой. С этого времени, и, конечно, во многом благодаря изложениям Вейля, группы Ли и алгебры Ли стали основной частью как чистой математики , так и теоретической физики .
Его книга «Классические группы» переосмыслила теорию инвариантов . Он охватывал симметрические группы , общие линейные группы , ортогональные группы и симплектические группы , а также результаты об их инвариантах и представлениях .
Вейль также показал, как использовать экспоненциальные суммы в диофантовом приближении , с помощью своего критерия равномерного распределения по модулю 1 , что стало фундаментальным шагом в аналитической теории чисел . Эта работа относилась к дзета-функции Римана , а также к аддитивной теории чисел . Его разработали многие другие.
В «Континууме» Вейль разработал логику предикативного анализа , используя нижние уровни разветвленной теории типов Бертрана Рассела . Он смог разработать большую часть классического исчисления , не используя при этом ни аксиому выбора , ни доказательство от противного , а также избегая бесконечных множеств Георга Кантора . Вейль в этот период апеллировал [ необходимы разъяснения ] к радикальному конструктивизму немецкого романтика, субъективного идеалиста Фихте .
Вскоре после публикации «Континуума» Вейль на короткое время полностью перешел на интуиционизм Брауэра. В «Континууме» конструируемые точки существуют как дискретные объекты. Вейль хотел, чтобы континуум не представлял собой совокупность точек. Он написал скандальную статью, в которой провозгласил себя и Л. Дж. Брауэра «революцией». [31] Эта статья оказала гораздо большее влияние на распространение интуиционистских взглядов, чем оригинальные работы самого Брауэра.
Джордж Полиа и Вейль во время встречи математиков в Цюрихе (9 февраля 1918 г.) заключили пари относительно будущего направления математики. Вейль предсказал, что в последующие 20 лет математики осознают полную неопределенность таких понятий, как действительные числа , множества и счетность , и, более того, что спрашивать об истинности или ложности свойства наименьшей верхней границы действительных чисел было столь же значимо, как вопрос об истинности основных утверждений Гегеля о философии природы. [32] Любой ответ на такой вопрос был бы непроверяемым, не связанным с опытом и, следовательно, бессмысленным.
Однако через несколько лет Вейль решил, что интуиционизм Брауэра действительно накладывает слишком большие ограничения на математику, как всегда говорили критики. Статья «Кризис» обеспокоила учителя -формалиста Вейля Гильберта, но позже, в 1920-х годах, Вейль частично примирил свою позицию с позицией Гильберта.
Примерно после 1928 года Вейль, по-видимому, решил, что математический интуиционизм несовместим с его энтузиазмом по поводу феноменологической философии Гуссерля , как он, по-видимому, думал ранее. В последние десятилетия своей жизни Вейль подчеркивал математику как «символическую конструкцию» и перешел на позицию, более близкую не только к Гильберту, но и к позиции Эрнста Кассирера . Однако Вейль редко ссылается на Кассирера и пишет лишь краткие статьи и отрывки, формулирующие эту позицию.
К 1949 году Вейль окончательно разочаровался в конечной ценности интуиционизма и писал: «Математика у Брауэра обретает высшую интуитивную ясность. Ему удается естественным образом развивать начала анализа, все время сохраняя контакт с интуицией гораздо больше». Однако нельзя отрицать, что при продвижении к более высоким и более общим теориям неприменимость простых законов классической логики в конечном итоге приводит к почти невыносимой неловкости. И математик с болью наблюдает за большей частью его высокое здание, которое, как он полагал, было построено из бетонных блоков, растворялось в тумане у него на глазах». Как выразился Джон Л. Белл: «Мне очень жаль, что Вейль не дожил до появления в 1970-х годах гладкого анализа бесконечно малых величин, математической структуры, в рамках которой его видение истинного континуума, а не «синтезированного» из дискретных Хотя основная логика гладкого бесконечно малого анализа является интуиционистской (закон исключенного третьего не является общепризнанным), математика, развиваемая внутри, избегает «невыносимой неловкости», о которой Вейль упоминал выше».
В 1929 году Вейль предложил уравнение, известное как уравнение Вейля , для использования в качестве замены уравнения Дирака . Это уравнение описывает безмассовые фермионы . Обычный фермион Дирака может быть разделен на два фермиона Вейля или образован из двух фермионов Вейля. Когда-то считалось, что нейтрино являются фермионами Вейля, но теперь известно, что они обладают массой. Фермионы Вейля востребованы в электронике. Квазичастицы , которые ведут себя как фермионы Вейля, были открыты в 2015 году в форме кристаллов, известных как полуметаллы Вейля , типа топологического материала. [33] [34] [35]
Только он мог выдержать сравнение с последними великими универсальными математиками девятнадцатого века, Гильбертом и Пуанкаре.
... Теперь он мертв, контакт прерван, и нашим надеждам на постижение физической вселенной путем прямого использования творческого математического воображения на данный момент пришел конец.
По меткому выражению его сына Михаэля, «Открытый мир» (1932) содержит «диалоги Германа с Богом», потому что здесь математик сталкивается со своими главными проблемами. Они не вписываются в традиционные религиозные традиции, но по духу гораздо ближе к рациональному анализу Спинозы того, что он называл «Богом или природой», столь важному и для Эйнштейна. ...В конце концов Вейль заключает, что этот Бог «не может и не будет постигнут» человеческим разумом, даже несмотря на то, что «разум есть свобода в пределах ограничений существования; он открыт бесконечности». Тем не менее, «ни Бог не может проникнуть в человека посредством откровения, ни человек проникнуть к нему посредством мистического восприятия».
