белый шум

Тип сигнала при обработке сигналов

Форма сигнала гауссовского белого шума, нанесенная на график

В обработке сигналов белый шум представляет собой случайный сигнал , имеющий одинаковую интенсивность на разных частотах , что придает ему постоянную спектральную плотность мощности . ^[1] Этот термин используется в этом или подобных значениях во многих научных и технических дисциплинах, включая физику , акустическую технику , телекоммуникации и статистическое прогнозирование . Белый шум относится к статистической модели сигналов и источников сигналов, а не к какому-либо конкретному сигналу. Белый шум получил свое название от белого света , ^[2] хотя свет, который кажется белым, обычно не имеет постоянной спектральной плотности мощности в видимом диапазоне .

Изображение «белого шума»

В дискретное время белый шум представляет собой дискретный сигнал , выборки которого рассматриваются как последовательность последовательно некоррелированных случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией ; единичная реализация белого шума — это случайный шок . В зависимости от контекста можно также потребовать, чтобы выборки были независимыми и имели одинаковое распределение вероятностей (другими словами, независимые и одинаково распределенные случайные величины являются простейшим представлением белого шума). ^[3] В частности, если каждая выборка имеет нормальное распределение с нулевым средним значением, сигнал называется аддитивным белым гауссовским шумом . ^[4]

Выборки сигнала белого шума могут быть последовательными во времени или расположены по одному или нескольким пространственным измерениям. При цифровой обработке изображений пиксели изображения с белым шумом обычно располагаются в прямоугольной сетке и считаются независимыми случайными величинами с равномерным распределением вероятностей в некотором интервале. Эту концепцию можно определить и для сигналов, распространяющихся на более сложные области, такие как сфера или тор .

Какой-то звук «белого шума» (очень громкий)

Сигнал белого шума с бесконечной полосой пропускания представляет собой чисто теоретическую конструкцию. Полоса белого шума на практике ограничена механизмом генерации шума, средой передачи и ограниченными возможностями наблюдения. Таким образом, случайные сигналы считаются «белым шумом», если наблюдается плоский спектр в диапазоне частот, соответствующих контексту. Для звукового сигнала соответствующим диапазоном является полоса слышимых звуковых частот (между 20 и 20 000 Гц ). Такой сигнал воспринимается человеческим ухом как шипящий звук , напоминающий звук /h/ при длительном устремлении. С другой стороны, звук «ш» /ʃ/ в «ясне» является цветным шумом, поскольку имеет формантную структуру. В музыке и акустике термин «белый шум» может использоваться для любого сигнала, имеющего аналогичный шипящий звук.

Термин «белый шум» иногда используется в контексте филогенетически обоснованных статистических методов для обозначения отсутствия филогенетической закономерности в сравнительных данных. ^[5] Иногда его аналогично используют в нетехническом контексте, означая «случайный разговор без осмысленного содержания». ^{[6] [7]}

Статистические свойства

Спектрограмма розового шума (слева) и белого шума (справа), показанная с линейной осью частоты (вертикальная) в зависимости от оси времени (горизонтальная).

Возможно любое распределение значений (хотя оно должно иметь нулевую постоянную составляющую ). Даже двоичный сигнал, который может принимать только значения 1 или -1, будет белым, если последовательность статистически некоррелирована. Шум, имеющий непрерывное распределение, например нормальное распределение , конечно, может быть белым.

Часто ошибочно полагают, что гауссов шум (т. е. шум с гауссовским распределением амплитуд – см. нормальное распределение ) обязательно относится к белому шуму, однако ни одно из свойств не подразумевает другого. Гауссовость относится к распределению вероятности относительно значения, в данном контексте вероятности попадания сигнала в какой-либо конкретный диапазон амплитуд, тогда как термин «белый» относится к способу распределения мощности сигнала (т. е. независимо) во времени. или среди частот.

Одной из форм белого шума является обобщенная среднеквадратическая производная винеровского процесса или броуновского движения .

Обобщением случайных элементов в бесконечномерных пространствах, таких как случайные поля , является мера белого шума .

Практическое применение

Музыка

Белый шум обычно используется при создании электронной музыки , обычно либо напрямую, либо в качестве входного сигнала для фильтра для создания других типов шумового сигнала. Он широко используется в синтезе звука , как правило, для воссоздания ударных инструментов, таких как тарелки или малые барабаны , которые имеют высокий уровень шума в частотной области. ^[8] Простой пример белого шума — несуществующая радиостанция (помехи).

Электронная инженерия

Белый шум также используется для получения импульсной характеристики электрической цепи, в частности усилителей и другого аудиооборудования. Он не используется для тестирования громкоговорителей, так как в его спектре слишком много высокочастотного контента. Розовый шум , который отличается от белого шума тем, что имеет одинаковую энергию в каждой октаве, используется для тестирования преобразователей, таких как громкоговорители и микрофоны.

Вычисление

Белый шум используется в качестве основы некоторых генераторов случайных чисел . Например, Random.org использует систему атмосферных антенн для генерации случайных наборов цифр из источников, которые можно хорошо смоделировать с помощью белого шума. ^[9]

Лечение тиннитуса

Белый шум — это распространенный источник синтетического шума, используемый для маскировки звука с помощью маскировщика тиннитуса . ^[10] Аппараты белого шума и другие источники белого шума продаются в качестве усилителей конфиденциальности и вспомогательных средств для сна (см. «Музыка и сон» ), а также для маскировки шума в ушах . ^[11] Marpac Sleep-Mate был первым прибором с белым шумом для домашнего использования, построенным в 1962 году коммивояжером Джимом Баквалтером. ^[12] Альтернативно, использование FM-радио, настроенного на неиспользуемые частоты («статические»), является более простым и экономически эффективным источником белого шума. ^[13] Однако белый шум, генерируемый обычным коммерческим радиоприемником, настроенным на неиспользуемую частоту, чрезвычайно уязвим к загрязнению паразитными сигналами, такими как соседние радиостанции, гармоники от несмежных радиостанций, электрооборудование, находящееся вблизи объекта. приемная антенна, вызывающая помехи или даже атмосферные явления, такие как солнечные вспышки и особенно молнии.

Рабочая среда

Влияние белого шума на когнитивные функции неоднозначно. Недавно небольшое исследование показало, что фоновая стимуляция белым шумом улучшает когнитивные функции среди учащихся средних школ с синдромом дефицита внимания и гиперактивности (СДВГ), одновременно снижая успеваемость учащихся без СДВГ. ^{[14] [15]} Другие исследования показывают, что он эффективен в улучшении настроения и производительности работников за счет маскировки фонового офисного шума, ^[16] но снижает когнитивные способности при выполнении сложных задач по сортировке карточек. ^[17]

Аналогичным образом был проведен эксперимент на шестидесяти шести здоровых участниках, чтобы оценить преимущества использования белого шума в учебной среде. В эксперименте участники идентифицировали разные изображения, слушая разные звуки на заднем плане. В целом эксперимент показал, что белый шум действительно имеет преимущества в плане обучения. Эксперименты показали, что белый шум немного улучшил способности участников к обучению и память на узнавание. ^[18]

Математические определения

Вектор белого шума

Случайный вектор (то есть случайная величина со значениями в R ⁿ ) называется вектором белого шума или белым случайным вектором, если каждый из его компонентов имеет распределение вероятностей с нулевым средним и конечной дисперсией ^{[ необходимы пояснения ]} и статистически независимы : то есть их совместное распределение вероятностей должно быть продуктом распределений отдельных компонентов. ^[19]

Необходимым (но, вообще говоря, недостаточным ) условием статистической независимости двух переменных является то, что они статистически некоррелированы ; то есть их ковариация равна нулю. Следовательно, ковариационная матрица R компонентов вектора белого шума w с n элементами должна быть диагональной матрицей размера n на n , где каждый диагональный элемент R _ii представляет собой дисперсию компонента w _i ; и корреляционная матрица должна быть единичной матрицей размера n на n .

Если каждая переменная в w не только является независимой, но и имеет нормальное распределение с нулевым средним значением и той же дисперсией , то w называется вектором гауссовского белого шума. В этом случае совместное распределение w является многомерным нормальным распределением ; тогда независимость между переменными означает, что распределение имеет сферическую симметрию в n -мерном пространстве. Следовательно, любое ортогональное преобразование вектора приведет к гауссовскому белому случайному вектору. В частности, при большинстве типов дискретного преобразования Фурье , таких как БПФ и Хартли , преобразование W от w также будет вектором гауссовского белого шума; то есть n коэффициентов Фурье w будут независимыми гауссовыми переменными с нулевым средним значением и одинаковой дисперсией . ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Спектр мощности P случайного вектора w можно определить как ожидаемое значение квадрата модуля каждого коэффициента его преобразования Фурье W , то есть P _i = E(| W _i | ² ). Согласно этому определению, вектор гауссовского белого шума будет иметь совершенно плоский спектр мощности с P _i  =  σ ² для всех  i .

Если w — белый случайный вектор, но не гауссов, его коэффициенты Фурье Wi _не будут полностью независимы друг от друга; хотя для больших n и общих распределений вероятностей зависимости очень тонкие, и их парные корреляции можно считать равными нулю.

Часто в определении белого шума вместо «статистически независимого» используется более слабое условие «статистически некоррелированный». Однако некоторые из обычно ожидаемых свойств белого шума (например, плоский спектр мощности) могут не соответствовать этой более слабой версии. В этом предположении более строгую версию можно явно назвать независимым вектором белого шума. ^{[20] : стр.60} Другие авторы вместо этого используют сильно белый и слабо белый. ^[21]

Примером случайного вектора, который является «гауссовым белым шумом» в слабом, но не в сильном смысле, является то, где — нормальная случайная величина с нулевым средним значением и с равной вероятностью равна или . Эти две переменные некоррелированы и по отдельности нормально распределены, но совместно они не имеют нормального распределения и не являются независимыми. Если его повернуть на 45 градусов, два его компонента все равно останутся некоррелированными, но их распределение уже не будет нормальным. ${\displaystyle x=[x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle +x_{1}}$ ${\displaystyle -x_{1}}$ ${\displaystyle x}$

В некоторых ситуациях можно ослабить определение, разрешив каждому компоненту белого случайного вектора иметь ненулевое ожидаемое значение . Особенно при обработке изображений , где выборки обычно ограничиваются положительными значениями, часто принимают за половину максимального значения выборки. В этом случае коэффициент Фурье, соответствующий компоненту нулевой частоты (по сути, среднему значению ), также будет иметь ненулевое ожидаемое значение ; и спектр мощности будет плоским только на ненулевых частотах. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle P}$

Белый шум дискретного времени

Случайный процесс с дискретным временем представляет собой обобщение случайного вектора с конечным числом компонентов на бесконечное число компонентов. Случайный процесс с дискретным временем называется белым шумом, если его среднее значение равно нулю для всех , т.е. и если автокорреляционная функция имеет ненулевое значение только для , т.е. ^{[ нужна ссылка ] [ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [W(n)]=0}$ ${\displaystyle R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)}$

Непрерывный белый шум

Чтобы определить понятие «белого шума» в теории непрерывных сигналов, необходимо заменить понятие «случайного вектора» случайным сигналом с непрерывным временем; то есть случайный процесс, который генерирует функцию действительнозначного параметра . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle t}$

Такой процесс называется белым шумом в самом строгом смысле этого слова, если значение для любого момента времени является случайной величиной, которая статистически независима от всей его истории до этого . Более слабое определение требует независимости только между значениями и в каждой паре различных моментов времени и . Еще более слабое определение требует лишь того, чтобы такие пары были некоррелированными. ^[22] Как и в дискретном случае, некоторые авторы принимают более слабое определение «белого шума» и используют квалификатор «независимый» для ссылки на любое из более сильных определений. Другие используют слабо-белый и сильно-белый, чтобы различать их. ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle w(t_{1})}$ ${\displaystyle w(t_{2})}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle w(t_{1})}$ ${\displaystyle w(t_{2})}$

Однако точное определение этих понятий не является тривиальным, поскольку некоторые величины, являющиеся конечными суммами в конечном дискретном случае, должны быть заменены интегралами, которые могут не сходиться. Действительно, набор всех возможных экземпляров сигнала больше не является конечномерным пространством , а бесконечномерным функциональным пространством . Более того, по любому определению сигнал белого шума должен быть по существу прерывистым в каждой точке; поэтому даже самые простые операции над , такие как интегрирование по конечному интервалу, требуют сложного математического аппарата. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$

Некоторые авторы ^{[ нужна цитация ] [ необходимы разъяснения ]} требуют, чтобы каждое значение было действительной случайной величиной с математическим ожиданием и некоторой конечной дисперсией . Тогда ковариация между значениями в два момента времени четко определена: она равна нулю, если моменты времени различны и если они равны. Однако согласно этому определению интеграл ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}$

в любом интервале с положительной шириной будет просто ширина, умноженная на ожидание: . ^{[ необходимы пояснения ]} Это свойство делает концепцию неадекватной в качестве модели сигналов «белого шума» ни в физическом, ни в математическом смысле. ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\mu }$

Поэтому большинство авторов определяют сигнал косвенно, указывая случайные значения для интегралов от и по каждому интервалу . Однако в этом подходе значение в изолированный момент времени не может быть определено как случайная величина ^{с действительным знаком} . Также ковариация становится бесконечной, когда ; и функция автокорреляции должна быть определена как , где – некоторая действительная константа и – «функция» Дирака . ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle |w(t)|^{2}}$ ${\displaystyle [a,a+r]}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$ ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {R} (t_{1},t_{2})}$ ${\displaystyle N\delta (t_{1}-t_{2})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \delta }$

В этом подходе обычно указывают, что интеграл по интервалу является реальной случайной величиной с нормальным распределением, нулевым средним значением и дисперсией ; а также то , что ковариация интегралов равна , где – ширина пересечения двух интервалов . Эта модель называется сигналом (или процессом) гауссовского белого шума. ${\displaystyle W_{I}}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle (b-a)\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})}$ ${\displaystyle W_{I}}$ ${\displaystyle W_{J}}$ ${\displaystyle r\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I\cap J}$ ${\displaystyle I,J}$

В математической области, известной как анализ белого шума , гауссовский белый шум определяется как стохастическое умеренное распределение, то есть случайная величина со значениями в пространстве умеренных распределений . Аналогично случаю с конечномерными случайными векторами, закон вероятности в бесконечномерном пространстве может быть определен через его характеристическую функцию (существование и единственность гарантируются расширением теоремы Бохнера–Минлоса, которая носит название Бохнера–Минлоса). теорема Минлоса–Сазанова); аналогично случаю многомерного нормального распределения , которое имеет характеристическую функцию ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )}$

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,X\rangle })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,\mu \rangle -{\frac {1}{2}}\langle k,\Sigma k\rangle },}$

белый шум должен удовлетворять ${\displaystyle w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ):\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle w,\varphi \rangle })=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|\varphi \|_{2}^{2}},}$

где – естественное спаривание умеренного распределения с функцией Шварца , взятое сценарно для , и . ${\displaystyle \langle w,\varphi \rangle }$ ${\displaystyle w(\omega )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x}$

Математические приложения

Анализ временных рядов и регрессия

В статистике и эконометрике часто предполагается, что наблюдаемый ряд значений данных представляет собой сумму значений, генерируемых детерминированным линейным процессом , зависящим от определенных независимых (объясняющих) переменных , а также от ряда значений случайного шума. Затем регрессионный анализ используется для вывода параметров модельного процесса на основе наблюдаемых данных, например, с помощью обычного метода наименьших квадратов , и для проверки нулевой гипотезы о том, что каждый из параметров равен нулю, в сравнении с альтернативной гипотезой о том, что он не равен нулю. Проверка гипотезы обычно предполагает, что значения шума не коррелируют друг с другом с нулевым средним значением и имеют одинаковое гауссово распределение вероятностей – другими словами, что шум является белым по Гауссу (а не просто белым). Если существует ненулевая корреляция между значениями шума, лежащими в основе различных наблюдений, то оцененные параметры модели по-прежнему являются несмещенными , но оценки их неопределенностей (таких как доверительные интервалы ) будут смещенными (в среднем неточными). Это также верно, если шум гетероскедастичен  , то есть если он имеет разные дисперсии для разных точек данных.

Альтернативно, в подмножестве регрессионного анализа, известном как анализ временных рядов, часто нет объясняющих переменных, кроме прошлых значений моделируемой переменной ( зависимой переменной ). В этом случае шумовой процесс часто моделируется как процесс скользящего среднего , в котором текущее значение зависимой переменной зависит от текущих и прошлых значений последовательного процесса белого шума.

Случайные векторные преобразования

Эти две идеи имеют решающее значение в таких приложениях, как оценка канала и выравнивание каналов в средствах связи и аудио . Эти концепции также используются при сжатии данных .

В частности, с помощью подходящего линейного преобразования (преобразования раскраски) белый случайный вектор можно использовать для создания «небелого» случайного вектора (то есть списка случайных величин), элементы которого имеют заданную ковариационную матрицу . И наоборот, случайный вектор с известной ковариационной матрицей может быть преобразован в белый случайный вектор с помощью подходящего преобразования отбеливания .

Поколение

Белый шум может генерироваться в цифровом виде с помощью процессора цифровых сигналов , микропроцессора или микроконтроллера . Генерация белого шума обычно предполагает подачу соответствующего потока случайных чисел в цифро-аналоговый преобразователь . Качество белого шума будет зависеть от качества используемого алгоритма. ^[23]

Неофициальное использование

Этот термин иногда используется в разговорной речи для описания фона окружающего звука, создающего нечеткое или плавное волнение. Ниже приведены некоторые примеры:

• Болтовня от многочисленных разговоров в акустике замкнутого пространства.
• Плеонастический жаргон , используемый политиками , чтобы замаскировать то, что они не хотят замечать. ^[24]
• Музыка неприятная, резкая, диссонирующая или диссонирующая без мелодии .

Этот термин также можно использовать метафорически, как, например, в романе Дона Делилло «Белый шум» (1985) , в котором исследуются симптомы современной культуры , которые объединились, чтобы затруднить человеку реализацию своих идей и личности.

Смотрите также

• Теорема Бохнера – Минлоса
• Броуновский шум
• Дельта-функция Дирака
• Независимый анализ компонентов
• МойШум
• Шум (электроника)
• Шум (видео)
• Обонятельный белый
• Розовый шум
• Анализ главных компонентов
• Звуковая маскировка

Рекомендации

1. Картер, Манчини, Брюс, Рон (2009). Операционные усилители для всех . Инструменты Техаса. стр. 10–11. ISBN 978-0-08-094948-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Штейн, Майкл Л. (1999). Интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга . Серия Спрингера по статистике. Спрингер. п. 40. дои : 10.1007/978-1-4612-1494-6. ISBN 978-1-4612-7166-6. белый свет представляет собой примерно равную смесь всех видимых частот света, что было продемонстрировано Исааком Ньютоном.
3. Штейн, Майкл Л. (1999). Интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга . Серия Спрингера по статистике. Спрингер. п. 40. дои : 10.1007/978-1-4612-1494-6. ISBN 978-1-4612-7166-6. Самый известный обобщенный процесс — это белый шум, который можно рассматривать как непрерывный во времени аналог последовательности независимых и одинаково распределенных наблюдений.
4. Диболд, Фрэнк (2007). Элементы прогнозирования (Четвертое изд.).
5. Фуско, Дж; Гарланд, Т. младший; Хант, Дж; Хьюз, Северная Каролина (2011). «Эволюция признаков развития у трилобитов». Эволюция . 66 (2): 314–329. дои : 10.1111/j.1558-5646.2011.01447.x . PMID  22276531. S2CID  14726662.
6. Клэр Шипман (2005), Доброе утро, Америка : «Политическая риторика о социальном обеспечении - это белый шум». Сказано в телешоу «Доброе утро, Америка» на канале ABC 11 января 2005 года.
7. Дон Делилло (1985), Белый шум
8. Кларк, Декстер. «Знаете ли вы все эти секреты белого шума? (советы по созданию музыки)». www.learnhowtoproducemusic.com . Проверено 25 июля 2022 г.
9. О'Коннелл, Памела ЛиКальци (8 апреля 2004 г.). «Лотерейные номера и книги с голосом». Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 26 июля 2009 года . Проверено 25 июля 2022 г.
10. Ястребофф, П.Дж. (2000). «Терапия привыкания к тиннитусу (THT) и терапия переобучения тиннитуса (TRT)». Справочник по тиннитусу . Сан-Диего: Единственное число. стр. 357–376.
11. Лопес, Х.Х.; Брача, А.С.; Брача, HS (сентябрь 2002 г.). «Дополнительное вмешательство при бессоннице, основанное на фактических данных» (PDF) . Гавайи Мед Дж . 61 (9): 192, 213. PMID  12422383.
12. Грин, Пенелопа (27 декабря 2018 г.). "Звук тишины". Нью-Йорк Таймс . ISSN  0362-4331 . Проверено 20 мая 2021 г.
13. Ноэлл, Кортни А; Уильям Л. Мейерхофф (февраль 2003 г.). «Тиннитус. Диагностика и лечение этого неуловимого симптома». Гериатрия . 58 (2): 28–34. ISSN  0016-867X. ПМИД  12596495.
14. Содерлунд, Горан; Сверкер Сикстрем; Ян Лофтеснес; Эдмунд Сонуга Барк (2010). «Влияние фонового белого шума на память у невнимательных школьников». Поведенческие и функции мозга . 6 (1): 55. дои : 10.1186/1744-9081-6-55 . ПМЦ 2955636 . ПМИД  20920224. 
15. Седерлунд, Горан; Сверкер Сикстрем; Эндрю Смарт (2007). «Слушайте шум: шум полезен для когнитивных функций при СДВГ». Журнал детской психологии и психиатрии . 48 (8): 840–847. CiteSeerX 10.1.1.452.530 . дои : 10.1111/j.1469-7610.2007.01749.x. ISSN  0021-9630. ПМИД  17683456. 
16. Лоуэн, Лаура Дж.; Питер Судфельд (1 мая 1992 г.). «Когнитивные и возбуждающие эффекты маскировки офисного шума». Окружающая среда и поведение . 24 (3): 381–395. дои : 10.1177/0013916592243006. S2CID  144443528.
17. Бейкер, Мэри Энн; Деннис Х. Холдинг (июль 1993 г.). «Влияние шума и речи на выполнение когнитивных задач». Журнал общей психологии . 120 (3): 339–355. дои : 10.1080/00221309.1993.9711152. ISSN  0022-1309. ПМИД  8138798.
18. Рауш, В.Х. (2014). Белый шум улучшает обучение, модулируя активность дофаминергических областей среднего мозга и правой верхней височной борозды. Журнал когнитивной нейробиологии, 1469–1480 гг.
19. Джеффри А. Фесслер (1998), О преобразованиях случайных векторов. Технический отчет 314, кафедра электротехники и информатики, унив. Мичигана. ( PDF )
20. Эрик Зивот и Цзяхуэй Ван (2006), Моделирование финансовых временных рядов с помощью S-PLUS. Второе издание. ( PDF )
21. Фрэнсис X. Диболд (2007), Элементы прогнозирования, 4-е издание. ( PDF )
22. Процесс белого шума. Архивировано 11 сентября 2016 г. в Wayback Machine . По Econterms через About.com. Доступ осуществлен 12 февраля 2013 г.
23. Мэтт Донадио. «Как сгенерировать белый гауссов шум» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2021 г. Проверено 19 сентября 2012 г.
24. белый шум, Merriam-Webster , получено 6 мая 2022 г.

Внешние ссылки