Группа 3D вращения

Группа вращений в 3-х измерениях

В механике и геометрии группа трехмерных вращений , часто обозначаемая как SO (3) , представляет собой группу всех вращений вокруг начала координат трехмерного евклидова пространства под действием операции композиции . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

По определению, вращение вокруг начала координат — это преобразование, которое сохраняет начало координат, евклидово расстояние (то есть является изометрией ) и ориентацию (т. е. ручность пространства). Композиция двух вращений приводит к другому вращению, каждое вращение имеет уникальное обратное вращение, а тождественное отображение удовлетворяет определению вращения. Благодаря указанным выше свойствам (вместе со свойством ассоциативности составных вращений ) множество всех вращений является группой относительно композиции.

Каждое нетривиальное вращение определяется его осью вращения (прямой, проходящей через начало координат) и его углом вращения. Вращения не являются коммутативными (например, вращение R на 90° в плоскости xy, за которым следует S на 90° в плоскости yz, не то же самое, что S, за которым следует R ), что делает группу трехмерного вращения неабелевой группой . Более того, группа вращения имеет естественную структуру как многообразие , для которого групповые операции гладко дифференцируемы , поэтому на самом деле это группа Ли . Она компактна и имеет размерность 3.

Вращения являются линейными преобразованиями и , следовательно, могут быть представлены матрицами после выбора базиса . В частности, если мы выбираем ортонормированный базис , каждое вращение описывается ортогональной матрицей 3 × 3 (т. е. матрицей 3 × 3 с действительными элементами, которая при умножении на ее транспонирование дает единичную матрицу ) с определителем 1. Таким образом, группа SO(3) может быть отождествлена ​​с группой этих матриц при умножении матриц . Эти матрицы известны как «специальные ортогональные матрицы», что объясняет обозначение SO(3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Группа SO(3) используется для описания возможных вращательных симметрий объекта, а также возможных ориентаций объекта в пространстве. Ее представления важны в физике, где они приводят к возникновению элементарных частиц с целым спином .

Длина и угол

Помимо сохранения длины, повороты также сохраняют углы между векторами. Это следует из того факта, что стандартное скалярное произведение между двумя векторами u и v можно записать исключительно в терминах длины (см. закон косинусов ): $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

Из этого следует, что каждое сохраняющее длину линейное преобразование в сохраняет скалярное произведение и, следовательно, угол между векторами. Вращения часто определяются как линейные преобразования, которые сохраняют скалярное произведение на , что эквивалентно требованию сохранения ими длины. См. классическую группу для рассмотрения этого более общего подхода, где SO(3) появляется как частный случай. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ортогональные и вращательные матрицы

Каждое вращение отображает ортонормальный базис в другой ортонормальный базис. Как и любое линейное преобразование конечномерных векторных пространств, вращение всегда может быть представлено матрицей _. Пусть R — заданное вращение. Относительно стандартного базиса e ₁ , e ₂ , e ₃ столбцы R задаются как ( Re 1 _, Re 2 _, Re 3 ) . Поскольку стандартный базис ортонормален, а R сохраняет углы и длину, столбцы R образуют другой ортонормальный базис. Это условие ортонормальности можно выразить в виде ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

где R ^T обозначает транспонирование R , а I — единичная матрица 3 × 3. Матрицы, для которых выполняется это свойство, называются ортогональными матрицами . Группа всех ортогональных матриц 3 × 3 обозначается O(3) и состоит из всех собственных и несобственных вращений.

В дополнение к сохранению длины, собственные вращения должны также сохранять ориентацию. Матрица будет сохранять или менять ориентацию в зависимости от того, является ли определитель матрицы положительным или отрицательным. Для ортогональной матрицы R обратите внимание, что det R ^T = det R подразумевает (det R ) ² = 1 , так что det R = ±1 . Подгруппа ортогональных матриц с определителем +1 называется специальной ортогональной группой и обозначается SO(3) .

Таким образом, каждое вращение может быть представлено единственным образом ортогональной матрицей с единичным определителем. Более того, поскольку композиция вращений соответствует умножению матриц , группа вращений изоморфна специальной ортогональной группе SO(3) .

Неправильные вращения соответствуют ортогональным матрицам с определителем −1 , и они не образуют группу, поскольку произведение двух неправильных вращений является правильным вращением.

Структура группы

Группа вращений — это группа относительно композиции функций (или, что эквивалентно, произведение линейных преобразований ). Это подгруппа общей линейной группы, состоящей из всех обратимых линейных преобразований действительного 3-пространства . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Более того, группа вращений неабелева . То есть, порядок, в котором составлены вращения, имеет значение. Например, четверть оборота вокруг положительной оси x , за которой следует четверть оборота вокруг положительной оси y , — это вращение, отличное от того, которое получается при вращении сначала вокруг y , а затем вокруг x .

Ортогональная группа, состоящая из всех собственных и несобственных вращений, порождается отражениями. Каждое собственное вращение является композицией двух отражений, частным случаем теоремы Картана–Дьедонне .

Полная классификация конечных подгрупп

Конечные подгруппы полностью классифицированы . ^[3] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

Каждая конечная подгруппа изоморфна либо элементу одного из двух счетно бесконечных семейств плоских изометрий: циклическим группам или группам диэдра , либо одной из трех других групп: группе тетраэдра , группе октаэдра или группе икосаэдра . ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong A_{4}}$ ${\displaystyle \cong S_{4}}$ ${\displaystyle \cong A_{5}}$

Ось вращения

Каждое нетривиальное собственное вращение в 3 измерениях фиксирует уникальное одномерное линейное подпространство , которое называется осью вращения (это теорема Эйлера о вращении ). Каждое такое вращение действует как обычное двумерное вращение в плоскости, ортогональной этой оси. Поскольку каждое двумерное вращение может быть представлено углом φ , произвольное трехмерное вращение может быть задано осью вращения вместе с углом поворота вокруг этой оси. (Технически, нужно указать ориентацию для оси и то, считается ли вращение по часовой стрелке или против часовой стрелки относительно этой ориентации). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Например, поворот против часовой стрелки вокруг положительной оси z на угол φ определяется выражением

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

При наличии единичного вектора n в и угла φ пусть R ( φ ,  n ) представляет собой вращение против часовой стрелки вокруг оси через n (с ориентацией, определяемой n ). Тогда ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• R (0, n ) — тождественное преобразование для любого n
• р ( φ , п ) знак равно р (- φ , - п )
• р ( π  +  φ , п ) знак равно р ( π  -  φ , - п ).

Используя эти свойства, можно показать, что любой поворот может быть представлен единственным углом φ в диапазоне 0 ≤ φ ≤ π и единичным вектором n таким, что

• n произвольно, если φ = 0
• n уникально, если 0 < φ < π
• n уникально с точностью до знака , если φ = π (то есть вращения R ( π , ± n ) идентичны).

В следующем разделе это представление вращений используется для топологической идентификации SO(3) с трехмерным действительным проективным пространством.

Топология

Группа Ли SO(3) диффеоморфна вещественному проективному пространству ^[4] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}$

Рассмотрим сплошной шар в радиусом π (то есть все точки на расстоянии π или меньше от начала координат). Учитывая вышесказанное, для каждой точки в этом шаре существует вращение с осью, проходящей через точку и начало координат, и углом поворота, равным расстоянию точки от начала координат. Тождественное вращение соответствует точке в центре шара. Вращение на угол 𝜃 между 0 и π (не включая ни то, ни другое) находится на той же оси на том же расстоянии. Вращение на углы между 0 и − π соответствует точке на той же оси и расстоянии от начала координат, но на противоположной стороне от начала координат. Единственная оставшаяся проблема заключается в том, что два вращения через π и через − π одинаковы. Таким образом, мы отождествляем (или «склеиваем») антиподальные точки на поверхности шара. После этого отождествления мы приходим к топологическому пространству, гомеоморфному группе вращений. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Действительно, шар с антиподальными точками поверхности, идентифицированными как гладкое многообразие , и это многообразие диффеоморфно группе вращений. Оно также диффеоморфно реальному 3-мерному проективному пространству , поэтому последнее также может служить топологической моделью для группы вращений. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$

Эти идентификации иллюстрируют, что SO(3) связен , но не просто связен . Что касается последнего, в шаре с идентифицированными антиподальными точками поверхности рассмотрим путь, идущий от «северного полюса» прямо через внутреннюю часть вниз к южному полюсу. Это замкнутая петля, поскольку северный полюс и южный полюс идентифицированы. Эту петлю нельзя сжать до точки, поскольку независимо от того, как она деформируется, начальная и конечная точки должны оставаться антиподальными, иначе петля «разорвется». С точки зрения вращений эта петля представляет собой непрерывную последовательность вращений вокруг оси z , начинающуюся (например) в тождестве (центре шара), через южный полюс, перескакивая на северный полюс и снова заканчиваясь в тождественном вращении (т. е. серия вращений на угол φ , где φ пробегает от 0 до 2 π ).

Удивительно, но пробегая путь дважды, т. е. пробегая от северного полюса вниз к южному полюсу, прыгая обратно к северному полюсу (используя тот факт, что северный и южный полюсы отождествляются), а затем снова пробегая от северного полюса вниз к южному полюсу, так что φ пробегает от 0 до 4 π , получается замкнутая петля, которую можно сжать до одной точки: сначала непрерывно перемещаем пути к поверхности шара, по-прежнему соединяя северный полюс с южным полюсом дважды. Затем второй путь можно зеркально отразить на противоположную сторону, вообще не меняя путь. Теперь у нас есть обычная замкнутая петля на поверхности шара, соединяющая северный полюс с самим собой по большому кругу. Этот круг можно сжать до северного полюса без проблем. Трюк с пластиной и подобные трюки демонстрируют это на практике.

Такое же рассуждение можно провести в общем случае, и оно показывает, что фундаментальная группа SO(3) является циклической группой порядка 2 (фундаментальная группа с двумя элементами). В физических приложениях нетривиальность (более одного элемента) фундаментальной группы допускает существование объектов, известных как спиноры , и является важным инструментом в разработке теоремы о спиновой статистике .

Универсальное покрытие SO(3) является группой Ли , называемой Spin(3) . Группа Spin(3) изоморфна специальной унитарной группе SU(2); она также диффеоморфна единичной 3-сфере S3 и может пониматься как группа версоров ( кватернионов с абсолютным значением 1). Связь между кватернионами и вращениями, обычно используемая в ^{компьютерной} графике , объясняется в кватернионах и пространственных вращениях . Отображение из S3 на SO(3), которое определяет антиподальные точки ^S3 , ^{является} сюръективным гомоморфизмом групп Ли с ядром {±1}. Топологически это отображение является двукратным накрывающим отображением . (См. трюк с пластиной .)

Связь между SO(3) и SU(2)

В этом разделе мы даем две различные конструкции двуединого и сюръективного гомоморфизма SU(2) на SO(3).

Использование кватернионов единичной нормы

Группа SU(2) изоморфна кватернионам единичной нормы посредством отображения, заданного [ ^5], ограниченного на , , , и , . $${\displaystyle q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +\beta \mathbf {j} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U}$$ ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\textstyle q\in \mathbb {H} }$ ${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \beta =c+di\in \mathbb {C} }$

Давайте теперь отождествимся с диапазоном . Затем можно проверить, что если находится в и является единичным кватернионом, то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.}$$

Более того, отображение является вращением Более того, то же самое, что и . Это означает, что существует гомоморфизм 2:1 из кватернионов единичной нормы в трехмерную группу вращений SO(3) . ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$ ${\displaystyle qvq^{-1}}$

Можно явно реализовать этот гомоморфизм: единичный кватернион q сопоставляется с матрицей вращения $${\displaystyle {\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$$

Это поворот вокруг вектора ( x , y , z ) на угол 2 θ , где cos θ = w и |sin θ | = ‖ ( x , y , z ) ‖ . Правильный знак для sin θ подразумевается, как только знаки компонентов оси зафиксированы. Природа 2:1 очевидна, поскольку и q , и − q отображаются в один и тот же Q.

Использование преобразований Мёбиуса

Стереографическая проекция из сферы радиуса ⁠1/2⁠ от северного полюса ( x , y , z ) = (0, 0, ⁠1/2⁠ ) ​​на плоскость M, заданную z = − ⁠1/2⁠ координируется ( ξ , η ) , здесь показано в поперечном сечении.

Общая ссылка для этого раздела - Gelfand, Minlos & Shapiro (1963). Точки P на сфере

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}\right\}}$

можно, за исключением северного полюса N , поставить во взаимно-однозначное соответствие с точками S ( P ) = P' на плоскости M, определяемой z = − ⁠1/2⁠ , см. рисунок. Карта S называется стереографической проекцией .

Пусть координаты на M будут ( ξ , η ) . Прямая L, проходящая через N и P, может быть параметризована как

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Требуя, чтобы z -координата была равна − ⁠ ${\displaystyle L(t_{0})}$1/2⁠ , можно найти

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

У нас есть Отсюда карта ${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

где для дальнейшего удобства плоскость М отождествляется с комплексной плоскостью ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Для обратного запишите L как

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

и спрос x ² + y ² + z ² = ⁠1/4⁠ найти s = ⁠1/1 + ξ ² + η ²⁠ и таким образом

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Если g ∈ SO(3) является вращением, то оно переводит точки на S в точки на S своим стандартным действием Π _s ( g ) на пространстве вложения. Составляя это действие с S, получаем преобразование S ∘ Π _s ( g ) ∘ S ⁻¹ множества M , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

Таким образом, Π u ₍ g ) является преобразованием , связанным с преобразованием Π _s ( g ) . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Оказывается, что g ∈ SO(3), представленная таким образом Π _u ( g ), может быть выражена как матрица Π _u ( g ) ∈ SU(2) (где обозначения переработаны, чтобы использовать то же имя для матрицы, что и для преобразования, которое она представляет). Чтобы идентифицировать эту матрицу, рассмотрим сначала поворот g _φ вокруг оси z на угол φ , ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

что, как и следовало ожидать, является вращением в комплексной плоскости. Аналогичным образом, если g _θ является вращением вокруг оси x на угол θ , то

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

что после небольшой алгебры становится

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

Таким образом , эти два поворота соответствуют билинейным преобразованиям R 2 ^≃ C ≃ M , а именно, они являются примерами преобразований Мёбиуса . ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$

Общее преобразование Мёбиуса задается формулой

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

Вращения, генерируют все SO(3) и правила композиции преобразований Мёбиуса показывают, что любая композиция транслируется в соответствующую композицию преобразований Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса могут быть представлены матрицами ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

поскольку общий множитель α , β , γ , δ сокращается.

По той же причине матрица не определена однозначно, поскольку умножение на − I не влияет ни на определитель, ни на преобразование Мёбиуса. Закон композиции преобразований Мёбиуса следует закону соответствующих матриц. Вывод состоит в том, что каждое преобразование Мёбиуса соответствует двум матрицам g , − g ∈ SL(2, C ) .

Используя эту переписку, можно написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Эти матрицы унитарны и, таким образом, Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . В терминах углов Эйлера ^{[nb 1]} для общего поворота находим

один имеет ^[6]

Для обратного рассмотрим общую матрицу

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

Сделайте замены

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\frac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

С заменами Π( g _{α , β} ) принимает вид правой части ( RHS ) уравнения ( 2 ), что соответствует при Π _u матрице в виде RHS уравнения ( 1 ) с теми же φ , θ , ψ . В терминах комплексных параметров α , β ,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

Чтобы убедиться в этом, заменим α , β элементами матрицы в правой части ( 2 ). После некоторых манипуляций матрица примет вид правой части ( 1 ).

Из явного вида в терминах углов Эйлера ясно, что отображение

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

Только что описанный гомоморфизм групп является гладким, 2:1 и сюръективным . Следовательно, это явное описание универсального накрывающего пространства SO (3) из универсальной накрывающей группы SU(2) .

алгебра Ли

С каждой группой Ли связана ее алгебра Ли , линейное пространство той же размерности, что и группа Ли, замкнутое относительно билинейного знакопеременного произведения, называемого скобкой Ли . Алгебра Ли группы SO(3) обозначается и состоит из всех кососимметричных матриц 3 × 3. ^[7] Это можно увидеть, дифференцируя условие ортогональности , A ^T A = I , A ∈ SO(3) . ^{[nb 2]} Скобка Ли двух элементов группы , как и для алгебры Ли каждой матричной группы, задается матричным коммутатором , [ A ₁ , A ₂ ] = A ₁ A ₂ − A ₂ A ₁ , который снова является кососимметричной матрицей. Скобка алгебры Ли отражает суть произведения группы Ли в смысле, уточняемом формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Элементы являются «бесконечно малыми генераторами» вращений, т.е. они являются элементами касательного пространства многообразия SO(3) в единичном элементе. Если обозначает вращение против часовой стрелки на угол φ вокруг оси, заданной единичным вектором, то ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Это можно использовать, чтобы показать, что алгебра Ли (с коммутатором) изоморфна алгебре Ли (с перекрестным произведением ). При этом изоморфизме вектор Эйлера соответствует линейному отображению, определенному как ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Более подробно, чаще всего подходящей основой для 3 - мерного векторного пространства является ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Коммутационные соотношения этих базисных элементов следующие:

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

которые согласуются с соотношениями трех стандартных единичных векторов под векторным произведением. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Как было объявлено выше, любую матрицу в этой алгебре Ли можно отождествить с вектором Эйлера ^[8] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

Эту идентификацию иногда называют картой шляпы . ^[9] При этой идентификации скобка соответствует векторному произведению , ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

Матрица, отождествляемая с вектором, обладает тем свойством, что ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

где в левой части мы имеем обычное матричное умножение. Это подразумевает, что находится в нулевом пространстве кососимметричной матрицы, с которой она отождествляется, потому что ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

Заметка об алгебрах Ли

В представлениях алгебры Ли группа SO(3) компактна и проста ранга 1, и поэтому она имеет единственный независимый элемент Казимира , квадратичную инвариантную функцию трех генераторов, которая коммутирует со всеми из них. Форма Киллинга для группы вращений — это просто дельта Кронекера , и поэтому этот инвариант Казимира — это просто сумма квадратов генераторов алгебры ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.}$

То есть инвариант Казимира задается выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.}$

Для унитарных неприводимых представлений D ^j собственные значения этого инварианта являются действительными и дискретными и характеризуют каждое представление, которое является конечномерным, размерности . То есть собственные значения этого оператора Казимира равны ${\displaystyle 2j+1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},}$

где j — целое или полуцелое число, называемое спином или угловым моментом .

Итак, генераторы 3 × 3 L, показанные выше, действуют на триплетное (спин 1) представление, в то время как генераторы 2 × 2 ниже, t, действуют на дублетное (спин-1/2) представление. Взяв произведения Кронекера D 1/2 с собой повторно , можно построить все ^высшие неприводимые представления D ^j . То есть, полученные генераторы для систем с высшим спином в трех пространственных измерениях для произвольно большого j могут быть вычислены с использованием этих спиновых операторов и лестничных операторов .

Для каждого унитарного неприводимого представления D ^j существует эквивалентное ему представление D ^{− j −1} . Все бесконечномерные неприводимые представления должны быть неунитарными, поскольку группа компактна.

В квантовой механике инвариант Казимира — это оператор «квадрата углового момента»; целые значения спина j характеризуют бозонные представления , а полуцелые значения — фермионные представления . Антиэрмитовы матрицы, использованные выше, используются как операторы спина после того, как они умножаются на i , так что теперь они эрмитовы (как матрицы Паули). Таким образом, на этом языке,

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.}$

и, следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.}$

Явные выражения для этих D ^j следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}}$

где j — произвольное число, а . ${\displaystyle 1\leq a,b\leq 2j+1}$

Например, результирующие матрицы спина для спина 1 ( ) имеют вид ${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, однако, что они находятся в эквивалентном, но другом базисе, сферическом базисе , чем вышеуказанный i L в декартовом базисе. ^{[nb 3]}

Для более высоких вращений, таких как вращение ⁠3/2⁠ ( ): ${\displaystyle j={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Для спина ⁠5/2⁠ ( ), ${\displaystyle j={\tfrac {5}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Изоморфизм с 𝖘𝖚(2)

Алгебры Ли и изоморфны. Один из базисов для дается формулой ^[10] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

Они связаны с матрицами Паули соотношением

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.}$

Матрицы Паули подчиняются соглашению физиков для алгебр Ли. В этом соглашении элементы алгебры Ли умножаются на i , экспоненциальное отображение (ниже) определяется с дополнительным множителем i в показателе степени, а структурные константы остаются прежними, но их определение приобретает множитель i . Аналогично, коммутационные соотношения приобретают множитель i . Коммутационные соотношения для являются ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},}$

где ε _ijk — полностью антисимметричный символ с ε ₁₂₃ = 1. Изоморфизм между и может быть установлен несколькими способами. Для дальнейшего удобства и определяются отображением ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},}$

и расширяется по линейности.

Экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение для SO(3) имеет вид, поскольку SO(3) является матричной группой Ли, определяемой с помощью стандартного матричного экспоненциального ряда,

${\displaystyle {\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}$

Для любой кососимметричной матрицы A ∈ 𝖘𝖔(3) , e ^A всегда принадлежит SO(3) . Доказательство использует элементарные свойства матричной экспоненты

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

Поскольку матрицы A и A ^T коммутируют, это можно легко доказать с помощью кососимметричного матричного условия. Этого недостаточно, чтобы показать, что 𝖘𝖔(3) является соответствующей алгеброй Ли для SO(3) , и это должно быть доказано отдельно.

Уровень сложности доказательства зависит от того, как определяется алгебра Ли матричной группы. Холл (2003) определяет алгебру Ли как множество матриц

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

в этом случае это тривиально. Россманн (2002) использует для определения производные гладких кривых сегментов в SO(3) через тождество, взятое в тождестве, в этом случае это сложнее. ^[11]

Для фиксированного A ≠ 0 , e ^tA , −∞ < t < ∞ является однопараметрической подгруппой вдоль геодезической в ​​SO(3) . То, что это дает однопараметрическую подгруппу, следует непосредственно из свойств экспоненциального отображения. ^[12]

Экспоненциальное отображение обеспечивает диффеоморфизм между окрестностью начала координат в 𝖘𝖔(3) и окрестностью единицы в SO(3) . ^[13] Доказательство см. в теореме о замкнутой подгруппе .

Экспоненциальное отображение сюръективно . Это следует из того факта, что каждое R ∈ SO(3) , поскольку каждое вращение оставляет ось неподвижной ( теорема вращения Эйлера ), и сопряжено с блочно-диагональной матрицей вида

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

такой, что A = BDB ⁻¹ , и что

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

вместе с тем фактом, что 𝖘𝖔(3) замкнуто относительно присоединенного действия SO (3) , что означает, что BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

Таким образом, например, легко проверить популярную идентичность

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

Как показано выше, каждый элемент A ∈ 𝖘𝖔(3) связан с вектором ω = θ u , где u = ( x , y , z ) — единичный вектор величины. Поскольку u находится в нулевом пространстве A , если теперь выполнить поворот к новому базису через некоторую другую ортогональную матрицу O , с u в качестве оси z , конечный столбец и строка матрицы поворота в новом базисе будут равны нулю.

Таким образом, мы заранее знаем из формулы для экспоненты, что exp( OAO ^T ) должен оставить u фиксированным. Математически невозможно предоставить простую формулу для такого базиса как функцию u , потому что ее существование нарушило бы теорему о волосатом шаре ; но прямое возведение в степень возможно и дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&={\boldsymbol {I}}+2cs({\boldsymbol {u\cdot L}})+2s^{2}({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}2\left(x^{2}-1\right)s^{2}+1&2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

где и . Это распознается как матрица для вращения вокруг оси u на угол θ : ср. Формула вращения Родригеса . ${\textstyle c=\cos {\frac {\theta }{2}}}$ ${\textstyle s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Логарифмическая карта

Для R ∈ SO(3) обозначим антисимметричную часть и пусть Тогда логарифм R определяется выражением ^[9] ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$ ${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

Это очевидно при рассмотрении смешанной формы симметрии формулы Родригеса:

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

где первый и последний член в правой части симметричны.

Равномерная случайная выборка

${\displaystyle SO(3)}$дважды покрывается группой единичных кватернионов, которая изоморфна 3-сфере. Поскольку мера Хаара на единичных кватернионах является просто мерой 3-площади в 4 измерениях, мера Хаара на является просто продолжением меры 3-площади. ${\displaystyle SO(3)}$

Следовательно, генерация равномерно случайного вращения в эквивалентна генерации равномерно случайной точки на 3-сфере. Это может быть достигнуто следующим образом ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

где — равномерно случайные выборки . ^[14] ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа

Предположим, что X и Y в алгебре Ли даны. Их экспоненты, exp( X ) и exp( Y ) , являются матрицами вращения, которые можно умножать. Поскольку экспоненциальное отображение является сюръекцией, для некоторого Z в алгебре Ли exp( Z ) = exp( X ) exp( Y ) , и можно предварительно записать

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

для C некоторое выражение от X и Y. Когда exp( X ) и exp( Y ) коммутируют, то Z = X + Y , имитируя поведение комплексного возведения в степень.

Общий случай задается более сложной формулой BCH , расширением ряда вложенных скобок Ли. ^[15] Для матриц скобка Ли является той же операцией, что и коммутатор , который контролирует отсутствие коммутативности при умножении. Это общее расширение разворачивается следующим образом, ^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

Бесконечное расширение в формуле БЧХ для SO(3) сводится к компактной форме:

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

для подходящих коэффициентов тригонометрической функции ( α , β , γ ) .

Тригонометрические коэффициенты

( α , β , γ ) определяются формулами

${\displaystyle \alpha =\phi \cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\gamma ,\qquad \beta =\theta \cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\gamma ,\qquad \gamma ={\frac {\sin ^{-1}d}{d}}{\frac {c}{\theta \phi }},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}\sin \theta \sin \phi -2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}\cos(\angle (u,v)),\quad a=c\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right),\quad b=c\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right),\\d&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\angle (u,v))+c^{2}\sin ^{2}(\angle (u,v))}},\end{aligned}}}$

для

${\displaystyle \theta =\|X\|,\quad \phi =\|Y\|,\quad \angle (u,v)=\cos ^{-1}{\frac {\langle X,Y\rangle }{\|X\|\|Y\|}}.}$

Внутренний продукт — это внутренний продукт Гильберта–Шмидта , а норма — это ассоциированная норма. При шляпном изоморфизме

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} X^{\mathrm {T} }Y,}$

что объясняет множители для θ и φ . Это выпадает из выражения для угла.

Имеет смысл записать этот составной генератор вращения как

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

чтобы подчеркнуть, что это тождество алгебры Ли .

Вышеуказанное тождество справедливо для всех точных представлений 𝖘𝖔 (3) . Ядро гомоморфизма алгебры Ли является идеалом , но 𝖘𝖔(3) , будучи простым , не имеет нетривиальных идеалов и все нетривиальные представления, следовательно, точны. Это справедливо, в частности, в дублетном или спинорном представлении. Та же явная формула, таким образом, следует более простым способом через матрицы Паули, ср. вывод 2×2 для SU(2) .

Дело SU(2)

Версия той же формулы BCH с вектором Паули представляет собой несколько более простой закон композиции групп SU(2),

${\displaystyle e^{ia'\left({\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib'\left({\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=\exp \left({\frac {c'}{\sin c'}}\sin a'\sin b'\left(\left(i\cot b'{\hat {u}}+i\cot a'{\hat {v}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}+{\frac {1}{2}}\left[i{\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }},i{\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]\right)\right),}$

где

${\displaystyle \cos c'=\cos a'\cos b'-{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}\sin a'\sin b',}$

сферический закон косинусов . (Обратите внимание, что a', b', c' — это углы, а не a , b , c выше.)

Это явно имеет тот же формат, что и выше,

${\displaystyle Z=\alpha 'X+\beta 'Y+\gamma '[X,Y],}$

с

${\displaystyle X=ia'{\hat {u}}\cdot \mathbf {\sigma } ,\quad Y=ib'{\hat {v}}\cdot \mathbf {\sigma } \in {\mathfrak {su}}(2),}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}\cos b'\\\beta '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin b'}{b'}}\cos a'\\\gamma '&={\frac {1}{2}}{\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}{\frac {\sin b'}{b'}}.\end{aligned}}}$

Для равномерной нормализации генераторов в рассматриваемой алгебре Ли выразим матрицы Паули через t -матрицы, σ → 2 i t , так что

${\displaystyle a'\mapsto -{\frac {\theta }{2}},\quad b'\mapsto -{\frac {\phi }{2}}.}$

Чтобы убедиться, что это те же коэффициенты, что и выше, вычислите отношения коэффициентов,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha '}{\gamma '}}&=\theta \cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\beta '}{\gamma '}}&=\phi \cot {\frac {\phi }{2}}&={\frac {\beta }{\gamma }}.\end{aligned}}}$

Наконец, γ = γ', учитывая тождество d = sin 2 c' .

Для общего случая n × n можно использовать ^{[16] .}

Случай кватерниона

Кватернионная формула композиции двух вращений R _B и R _A также дает непосредственно ось вращения и угол составного вращения R _C = R _B R _A .

Пусть кватернион, связанный с пространственным вращением R, построен из его оси вращения S и угла вращения φ этой оси. Соответствующий кватернион задается как,

${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$

Тогда композиция вращения R _R с R _A представляет собой вращение R _C = R _B R _A с осью вращения и углом, определяемыми произведением кватернионов

${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{ and }}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$

то есть

${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$

Разверните этот продукт, чтобы получить

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$

Разделим обе части этого уравнения на тождество, которое является законом косинусов на сфере ,

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$

и вычислить

${\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.}$

Это формула Родригеса для оси составного вращения, определяемого через оси двух вращений. Он вывел эту формулу в 1840 году (см. стр. 408). ^[17]

Три оси вращения A , B и C образуют сферический треугольник, а двугранные углы между плоскостями, образованными сторонами этого треугольника, определяются углами вращения.

Бесконечно малые вращения

Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица, представляющая бесконечно малое вращение .

В то время как матрица вращения является ортогональной матрицей, представляющей элемент ( специальной ортогональной группы ), дифференциал вращения является кососимметричной матрицей в касательном пространстве ( специальной ортогональной алгебре Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

где - единичная матрица, исчезающе мала, и ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Например, если представить бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , то базисный элемент ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Правила вычисления для бесконечно малых матриц вращения такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые второго порядка обычно отбрасываются. С этими правилами эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные конечные матрицы вращения при обычной обработке бесконечно малых. ^[18] Оказывается, что порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения .

Реализации вращений

Мы увидели, что существуют различные способы представления вращений:

• как ортогональные матрицы с определителем 1,
• по оси и углу поворота
• в кватернионной алгебре с версорами и отображением 3-сферы S ³ → SO(3) (см. кватернионы и пространственные вращения )
• в геометрической алгебре как ротор
• как последовательность трех вращений вокруг трех фиксированных осей; см. углы Эйлера .

Сферические гармоники

Группа SO(3) трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве

${\displaystyle L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathbb {N} ^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\},}$

где — сферические гармоники . Ее элементы — квадратично интегрируемые комплекснозначные функции ^{[nb 5]} на сфере. Скалярное произведение на этом пространстве задается как ${\displaystyle Y_{m}^{\ell }}$

Если f — произвольная квадратично интегрируемая функция, определенная на единичной сфере S2 ^, то ее можно выразить как ^[19]

где коэффициенты расширения определяются как

Действие группы Лоренца ограничивается действием SO(3) и выражается как

Это действие является унитарным, что означает, что

D ^{( ℓ )} можно получить из D ^{( m ,  n )} выше с помощью разложения Клебша–Гордана , но их проще напрямую выразить как экспоненту нечетномерного su ( 2 ) -представления (3-мерное — это в точности 𝖘𝖔(3) ). ^{[20] [21]} В этом случае пространство L ² ( S ² ) аккуратно разлагается в бесконечную прямую сумму неприводимых нечетных конечномерных представлений V _{2 i + 1} , i = 0, 1, ... согласно ^[22]

Это характерно для бесконечномерных унитарных представлений SO(3) . Если Π — бесконечномерное унитарное представление на сепарабельном ^{[nb 6]} гильбертовом пространстве, то оно разлагается в прямую сумму конечномерных унитарных представлений. ^[19] Такое представление, таким образом, никогда не является неприводимым. Все неприводимые конечномерные представления (Π, V ) можно сделать унитарными с помощью соответствующего выбора скалярного произведения, ^[19]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,}$

где интеграл — это единственный инвариантный интеграл по SO(3), нормализованный к 1 , здесь выраженный с использованием параметризации углов Эйлера . Внутреннее произведение внутри интеграла — это любое внутреннее произведение на V.

Обобщения

Группа вращений вполне естественно обобщается на n -мерное евклидово пространство с его стандартной евклидовой структурой. Группа всех собственных и несобственных вращений в n измерениях называется ортогональной группой O( n ), а подгруппа собственных вращений называется специальной ортогональной группой SO( n ), которая является группой Ли размерности n ( n − 1)/2 . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В специальной теории относительности мы работаем в 4-мерном векторном пространстве, известном как пространство Минковского, а не в 3-мерном евклидовом пространстве. В отличие от евклидова пространства, пространство Минковского имеет скалярное произведение с неопределенной сигнатурой . Однако все еще можно определить обобщенные вращения , которые сохраняют это скалярное произведение. Такие обобщенные вращения известны как преобразования Лоренца , а группа всех таких преобразований называется группой Лоренца .

Группа вращений SO(3) может быть описана как подгруппа E ⁺ (3) , евклидовой группы прямых изометрий евклидового пространства. Эта большая группа является группой всех движений твердого тела : каждое из них представляет собой комбинацию вращения вокруг произвольной оси и переноса или, иными словами, комбинацию элемента SO(3) и произвольного переноса. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

В общем случае группа вращения объекта — это группа симметрии внутри группы прямых изометрий; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Смотрите также

• Ортогональная группа
• Угловой момент импульса
• Координатные вращения
• Диаграммы на SO(3)
• Представления SO(3)
• Углы Эйлера
• Формула вращения Родригеса
• Бесконечно малое вращение
• Группа контактов
• Кватернионы и пространственные вращения
• Твёрдое тело
• Сферические гармоники
• Плоскость вращения
• Группа Ли
• Матрица Паули
• Трюк с тарелкой
• Оператор трехмерного вращения

Сноски

1. Это достигается путем применения вращения через ${\displaystyle g_{\theta }}$φ оось z, чтобы взятьось x к линииL , пересечение плоскостейху иx'y , причем последняя является повернутой плоскостью xy . Затем поверните на θ вокруг L , чтобы получить новую ось z из старой, и, наконец, поверните на угол ψ вокруг новой оси z , где ψ — угол между L и новой осью x . В уравнении и выражаются во временном повернутом базисе на каждом шаге, что видно из их простой формы. Чтобы преобразовать их обратно в исходный базис, обратите внимание, что Здесь жирный шрифт означает, что вращение выражается в исходном базисе. Аналогично, ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{\theta }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}.}$

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}.}$

   Таким образом

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }\mathbf {g} _{\theta }\mathbf {g} _{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}*g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}*g_{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }.}$

2. Для альтернативного вывода см. Классическая группа . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$
3. В частности, для ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {J}}_{\alpha }{\boldsymbol {U}}^{\dagger }=i{\boldsymbol {L}}_{\alpha }}$

   ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&i&0\\\end{array}}\right).}$

4. Для полного доказательства см . Производная экспоненциального отображения . Вопросы сходимости этого ряда к правильному элементу алгебры Ли здесь заметены под ковер. Сходимость гарантирована, когда и Ряд может по-прежнему сходиться, даже если эти условия не выполняются. Решение всегда существует, поскольку exp является на в рассматриваемых случаях. ${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<\log 2}$ ${\displaystyle \|Z\|<\log 2.}$
5. Элементы L ² ( S ² ) на самом деле являются классами эквивалентности функций. Две функции объявляются эквивалентными, если они отличаются только на множестве меры ноль . Интеграл — это интеграл Лебега для получения полного пространства скалярного произведения.
6. Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную базу. Все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны.

Ссылки

1. Якобсон (2009), стр. 34, пример 14.
2. размера n  ×  n идентичны линейным преобразованиям , выраженным в ее стандартном базисе . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
3. Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Нью-Йорк. С. 53. ISBN 0-486-61480-8.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Холл 2015 Предложение 1.17
5. Россманн 2002 стр. 95.
6. Эти выражения были, по сути, основополагающими в развитии квантовой механики в 1930-х годах, см. гл. III, § 16, BL van der Waerden, 1932/1932
7. Холл 2015 Предложение 3.24
8. Россманн 2002
9. Engø 2001
10. Холл 2015 Пример 3.27
11. См. Rossmann 2002, теорема 3, раздел 2.2.
12. Россманн 2002 Раздел 1.1.
13. Холл 2003 Теорема 2.27.
14. Шумейк, Кен (1992-01-01), Кирк, Дэвид (ред.), "III.6 - Равномерные случайные вращения", Graphics Gems III (версия IBM) , Сан-Франциско: Morgan Kaufmann, стр. 124–132, ISBN 978-0-12-409673-8, получено 29.07.2022
15. Холл 2003, гл. 3; Варадараджан 1984, §2.15
16. Кертрайт, Фэрли и Захос 2014 Элементы группы SU(2) выражаются в замкнутой форме как конечные многочлены генераторов алгебры Ли для всех определенных спиновых представлений группы вращений.
17. Родригес, О. (1840), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système Solide dans l'espace, et lavariation des coordonnées provenant de ses déplacements, рассматриваемые независимо от причин, которые могут быть произведены, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
18. (Гольдштейн, Пул и Сафко 2002, §4.8)
19. Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963
20. В квантовой механике – нерелятивистской теории Ландау и Лифшица низший порядок D вычисляется аналитически.
21. Curtright, Fairlie & Zachos 2014 Приведена формула для D ^{( ℓ ),} действительная для всех ℓ .
22. Холл 2003 Раздел 4.3.5.

Библиография

• Боас, Мэри Л. (2006), Математические методы в физических науках (3-е изд.), John Wiley & sons, стр. 120, 127, 129, 155 и далее и 535, ISBN 978-0471198260
• Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014), "Компактная формула для вращений как спиновых матричных полиномов", SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode :2014SIGMA..10..084C, doi :10.3842/SIGMA.2014.084, S2CID  18776942
• Энгё, Кент (2001), «О формуле БЧХ в 𝖘𝖔(3)», BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi :10.1023/A:1021979515229, ISSN  0006-3835, S2CID  126053191[1]
• Гельфанд, И.М.; Минлос , Р.А .; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press
• Голдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2002), Классическая механика (третье изд.), Эддисон Уэсли , ISBN 978-0-201-65702-9
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Холл, Брайан С. (2003). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Graduate Texts in Mathematics. Том 222. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-40122-9.
• Якобсон, Натан (2009), Основы алгебры , т. 1 (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Джоши, AW (2007), Элементы теории групп для физиков , New Age International, стр. 111 и далее, ISBN 978-81-224-0975-8
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• ван дер Варден, Б.Л. (1952), Теория групп и квантовая механика , Springer Publishing, ISBN 978-3642658624(перевод оригинального издания 1932 года « Die Gruppentheoretische Methode in Der Quantenmechanik »).
• Варадараджан, ВС (1984). Группы Ли, алгебры Ли и их представления . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90969-1.
• Вельтман, М .; 'т Хоофт, Г .; де Вит, Б. (2007). "Группы Ли в физике (онлайн-лекция)" (PDF) . Получено 24.10.2016 ..