Специальная унитарная группа

Группа унитарных матриц с определителем 1

В математике специальная унитарная группа степени n , обозначаемая SU( n ) , представляет собой группу Ли унитарных матриц размера n × n с определителем 1.

Матрицы более общей унитарной группы могут иметь комплексные определители с абсолютным значением 1, а не с действительным 1 в частном случае.

Групповая операция — умножение матриц . Специальная унитарная группа — это нормальная подгруппа унитарной группы U( n ) , состоящая из всех унитарных матриц размера n × n . Как компактная классическая группа , U( n ) — это группа, которая сохраняет стандартное скалярное произведение на . ^[а] Она сама является подгруппой общей линейной группы , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Группы SU ( n ) находят широкое применение в Стандартной модели физики элементарных частиц , особенно SU(2) в электрослабом взаимодействии и SU(3) в квантовой хромодинамике . ^[1]

Простейший случай SU(1) — это тривиальная группа , имеющая только один элемент. Группа SU(2) изоморфна группе кватернионов нормы 1 и, таким образом, диффеоморфна 3 - сфере . Поскольку единичные кватернионы могут использоваться для представления вращений в трехмерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм из SU(2) в группу вращений SO(3) , ядром которой является {+ I , − I } . ^[b] SU(2) также идентична одной из групп симметрии спиноров Spin (3) , которая позволяет спинорное представление вращений.

Характеристики

Специальная унитарная группа SU( n ) является строго вещественной группой Ли (по сравнению с более общей комплексной группой Ли ). Его размерность как вещественного многообразия равна n ² − 1 . Топологически он компактен и односвязен . ^[2] Алгебраически это простая группа Ли (это означает, что ее алгебра Ли проста; см. ниже). ^[3]

Центр SU ( n ) изоморфен циклической группе и состоит из диагональных матриц ζ I для ζ корня n -й степени из единицы и I единичной матрицы размера n × n . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Его внешняя группа автоморфизмов для n ≥ 3 — это тривиальная группа , а внешняя группа автоморфизмов SU (2) — тривиальная группа . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

Максимальный тор ранга n - 1 задается набором диагональных матриц с определителем 1 . Группа Вейля SU ( n ) — это симметричная группа Sn , которая представлена ​​матрицами перестановок со знаком (знаки необходимы, чтобы гарантировать, что определитель равен ₁ ) .

Алгебра Ли группы SU( n ) , обозначаемая , может быть отождествлена ​​с набором бесследовых антиэрмитовых комплексных матриц размера n × n с регулярным коммутатором в виде скобки Ли. Физики элементарных частиц часто используют другое, эквивалентное представление: набор бесследовых эрмитовых комплексных матриц размера n × n со скобкой Ли, заданной — i , умноженной на коммутатор. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Алгебра Ли

Алгебра Ли состоит из косоэрмитовых матриц размера n × n с нулевым следом. ^[4] Эта (реальная) алгебра Ли имеет размерность n ² − 1 . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в § Структура алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

Фундаментальное представление

В физической литературе алгебру Ли принято отождествлять с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц с нулевым следом. Иными словами, алгебра Ли физиков в раз отличается от алгебры Ли математиков. Следуя этому соглашению, можно затем выбрать генераторы T _a , которые представляют собой бесследовые эрмитовы комплексные матрицы размера n × n , где: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$

где f - структурные константы и антисимметричны по всем индексам, а d -коэффициенты симметричны по всем индексам.

В результате коммутатор:

${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$

и соответствующий антикоммутатор:

${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$

Коэффициент i в коммутационном соотношении возникает из физического соглашения и отсутствует при использовании математического соглашения.

Традиционное условие нормировки:

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$

Присоединенное представление

В ( n ² − 1) -мерном присоединенном представлении генераторы представлены ( n ² − 1) × ( n ² − 1) матрицами, элементы которых определяются самими структурными константами:

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

Группа СУ(2)

Используя умножение матриц для бинарной операции, SU(2) образует группу, ^[5]

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

где черта означает комплексное сопряжение .

Диффеоморфизм с 3-сферой S 3

Если рассматривать как пару где и , то уравнение принимает вид ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ ${\displaystyle \beta =c+di}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

Это уравнение 3-сферы S ³ . Это также можно увидеть с помощью встраивания: карта

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

где обозначает набор 2 на 2 комплексных матриц, является инъективным вещественным линейным отображением (с учетом диффеоморфности и диффеоморфности ) . Следовательно, ограничение φ на 3-сферу ( поскольку модуль равен 1), обозначенное S ³ , является вложением 3-сферы в компактное подмногообразие , а именно φ ( S ³ ) = SU(2) . ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

Следовательно, как многообразие S3 диффеоморфно SU(2) , что показывает, что SU (2) ^{односвязно} и что ^S3 можно наделить структурой компактной связной группы Ли .

Изоморфизм с группой версоров

Кватернионы нормы 1 называются версорами , поскольку они порождают группу вращения SO(3) : Матрица SU(2) :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

может быть отображен в кватернион

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$

Это отображение на самом деле является групповым изоморфизмом . Кроме того, определителем матрицы является квадрат нормы соответствующего кватерниона. Очевидно, что любая матрица в SU(2) имеет этот вид, и, поскольку ее определитель равен  1 , соответствующий кватернион имеет норму 1 . Таким образом, SU(2) изоморфна группе версоров. ^[6]

Связь с пространственными вращениями

Каждый версор естественным образом связан с пространственным вращением в трех измерениях, а произведение версоров связано с композицией связанных вращений. Более того, каждое вращение таким образом возникает ровно из двух версоров. Короче говоря: существует сюръективный гомоморфизм 2:1 из SU(2) в SO(3) ; следовательно, SO(3) изоморфна фактор- группе SU(2)/{±I} , многообразие, лежащее в основе SO(3), получается путем отождествления антиподальных точек 3-сферы S ³ , а SU(2) является универсальным оболочка SO (3) .

Алгебра Ли

Алгебра Ли группы SU (2) состоит из косоэрмитовых матриц размера 2 × 2 с нулевым следом. ^[7] В явном виде это означает

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

Алгебра Ли затем генерируется следующими матрицами:

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

которые имеют вид общего элемента, указанного выше.

Это также можно записать с помощью матриц Паули . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

Они удовлетворяют кватернионным отношениям , и поэтому скобка коммутатора определяется формулой ${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$ ${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$

Вышеупомянутые генераторы связаны с матрицами Паули соотношением и Это представление обычно используется в квантовой механике для представления вращения фундаментальных частиц, таких как электроны . Они также служат единичными векторами для описания наших трех пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации . Они также соответствуют вентилям Паули X, Y и Z , которые являются стандартными генераторами для однокубитных вентилей, соответствующих трехмерным вращениям вокруг осей сферы Блоха . ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Алгебра Ли служит для разработки представлений SU(2) .

СУ(3)

Группа SU(3) — это 8-мерная простая группа Ли , состоящая из всех унитарных матриц размера 3 × 3 с определителем 1.

Топология

Группа SU(3) — односвязная компактная группа Ли. ^[8] Его топологическую структуру можно понять, заметив, что SU(3) действует транзитивно на единичной сфере в . Стабилизатор произвольной точки сферы изоморфен SU(2) , который топологически является 3-сферой. Отсюда следует, что ^SU (3) — расслоение над базой S5 со ^слоем S3 . Поскольку слои и база односвязны, простая связность SU(3) вытекает с помощью стандартного топологического результата ( длинной точной последовательности гомотопических групп для расслоений). ^[9] ${\displaystyle S^{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

SU (2) -расслоения над S5 классифицируются по принципу ^, поскольку любое такое расслоение можно построить, рассматривая тривиальные расслоения в двух полушариях и рассматривая функцию перехода на ^их пересечении, которая гомотопически эквивалентна S4 , поэтому ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{N}^{5},S_{S}^{5}}$

${\displaystyle S_{N}^{5}\cap S_{S}^{5}\simeq S^{4}}$

Тогда все такие функции перехода классифицируются гомотопическими классами отображений

${\displaystyle \left[S^{4},SU(2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$

и поскольку вместо , SU(3) не может быть тривиальным расслоением SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ и, следовательно, должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, рассмотрев индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах. ${\displaystyle \pi _{4}(SU(3))=\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Теория представлений

Теория представлений SU(3) хорошо понятна. ^[10] Описания этих представлений с точки зрения комплексифицированной алгебры Ли можно найти в статьях о представлениях алгебры Ли или коэффициентах Клебша–Гордана для SU(3) . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Алгебра Ли

Генераторы T алгебры Ли группы SU (3) в определяющем (эрмитовом) представлении (физика элементарных частиц) суть ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

где λ _a , матрицы Гелла-Манна , являются SU(3) аналогом матриц Паули для SU(2) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Эти λ _a охватывают все бесследовые эрмитовы матрицы H алгебры Ли , что и требовалось. Заметим, что λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ антисимметричны.

Они подчиняются отношениям

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$

f — структурные константы алгебры Ли, определяемые формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

тогда как все остальные f _abc , не связанные с ними перестановкой, равны нулю. В общем, они исчезают, если не содержат нечетное количество индексов из набора {2, 5, 7} . ^[с]

Симметричные коэффициенты d принимают значения

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$

Они исчезают, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетно.

Общий элемент группы SU(3) , порожденный бесследовой эрмитовой матрицей H 3×3 , нормализованной как tr( H ² ) = 2 , может быть выражен как матричный полином второго порядка от H : ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Структура алгебры Ли

Как отмечалось выше, алгебра Ли группы SU( n ) состоит из косоэрмитовых матриц размера n × n с нулевым следом. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Комплексификация алгебры Ли — это пространство всех n × n комплексных матриц с нулевым следом. ^[13] Картановская подалгебра тогда состоит из диагональных матриц с нулевым следом, ^[14] которые мы отождествляем с векторами, сумма элементов которых равна нулю. Тогда корни состоят из всех n ( n − 1) перестановок (1, −1, 0, ..., 0 ) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Выбор простых корней

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Итак, SU( n ) имеет ранг n − 1 , а его диаграмма Дынкина задается A _{n −1} , цепочкой из n − 1 узлов:.... ^[15] Его матрица Картана

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Его группа Вейля или группа Кокстера — это симметрическая группа Sn _, группа симметрии ( n − 1 ) -симплекса .

Обобщенная специальная унитарная группа

Для поля F обобщенная специальная унитарная группа над F , SU( p , q ; F ) — это группа всех линейных преобразований определителя 1 векторного пространства ранга n = p + q над F , которые оставляют инвариантным невырожденный , Эрмитова форма подписи ( p , q ) . Эту группу часто называют специальной унитарной группой сигнатуры p q над F . Поле F можно заменить коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем .

В частности, зафиксируйте эрмитову матрицу A сигнатуры p q в , тогда все ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$

удовлетворить

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$

Часто можно увидеть обозначение SU( p , q ) без ссылки на кольцо или поле; в этом случае речь идет о кольце или поле, и это дает одну из классических групп Ли . Стандартный выбор для A , когда ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$

Однако для определенных измерений может быть лучший выбор для A , который демонстрирует большее поведение при ограничении подкольцами . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Пример

Важным примером группы этого типа является модулярная группа Пикара , которая действует (проективно) на комплексное гиперболическое пространство степени два так же, как действует (проективно) на вещественное гиперболическое пространство размерности два. В 2005 году Габор Франсикс и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область действия этой группы на HC ² . ^[16] ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

Еще один пример: , который изоморфен . ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

Важные подгруппы

В физике для представления бозонных симметрий используется специальная унитарная группа . В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU( n ) , важные для физики Великого объединения , для p > 1, n − p > 1 ,

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$

где × обозначает прямое произведение , а U(1) , известная как группа кругов , представляет собой мультипликативную группу всех комплексных чисел с абсолютным значением  1.

Для полноты еще существуют ортогональные и симплектические подгруппы,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$

Поскольку ранг SU ( n ) равен n − 1 , а U(1) равен 1, полезная проверка состоит в том, что сумма рангов подгрупп меньше или равна рангу исходной группы. SU( n ) — подгруппа различных других групп Ли,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$

См. группу спина и группу простого Ли для E ₆ , E ₇ и G ₂ .

Существуют также случайные изоморфизмы : SU(4) = Spin(6) , SU(2) = Spin(3) = Sp(1) , ^[d] и U(1) = Spin(2) = SO(2). .

Наконец, можно упомянуть, что SU(2) — это двойная накрывающая группа SO (3) , соотношение, которое играет важную роль в теории вращений 2- спиноров в нерелятивистской квантовой механике .

СУ(1, 1)

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$где обозначает комплексно-сопряженное комплексное число u . ${\displaystyle ~u^{*}~}$

Эта группа изоморфна SL(2,ℝ) и Spin(2,1) ^[17] , где числа, разделенные запятой, относятся к сигнатуре квадратичной формы, сохраняемой группой. Выражение в определении SU(1,1) представляет собой эрмитову форму , которая становится изотропной квадратичной формой, когда u и v разлагаются на их действительные компоненты. ${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

Первым появлением этой группы была «единичная сфера» кокватернионов , введенная Джеймсом Коклом в 1852 году. Пусть

${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

Тогда единичная матрица 2×2 и элементы i, j и k антикоммутируют , как в кватернионах . Также по-прежнему является квадратным корнем из − I ₂ (отрицательная единица матрицы), тогда как в отличие от кватернионов это не так. И для кватернионов, и для кокватернионов все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные I ₂ и обозначаются как 1 . ${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$ ${\displaystyle ~k\,i=j~,}$ ${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

Кокватернион со скаляром w имеет сопряжение, подобное кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма ${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ ${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$ ${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Обратите внимание, что двухлистный гиперболоид соответствует мнимым единицам алгебры, так что любую точку p на этом гиперболоиде можно использовать как полюс синусоидальной волны согласно формуле Эйлера . ${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

Гиперболоид стабилен относительно SU(1, 1) , иллюстрируя изоморфизм со Spin(2, 1) . Изменчивость полюса волны, как отмечалось в исследованиях поляризации , может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом . ${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$ Модель сферы Пуанкаре , используемая с 1892 года, сравнивалась с моделью двухполостного гиперболоида ^[18] и была введена практика SU(1, 1) -интерферометрии .

Когда элемент SU(1, 1) интерпретируется как преобразование Мёбиуса , он оставляет единичный диск стабильным, поэтому эта группа представляет движения модели диска Пуанкаре в геометрии гиперболической плоскости. Действительно, для точки [ z, 1 ] на комплексной проективной прямой действие SU(1,1) определяется выражением

${\displaystyle {\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]}$

поскольку в проективных координатах ${\displaystyle (\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.}$

Написание арифметики комплексных чисел показывает ${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$

где Следовательно, чтобы их соотношение лежало в открытом диске. ^[19] ${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$ ${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Унитарная группа
• Проективная специальная унитарная группа , ПГУ( н )
• Ортогональная группа
• Обобщения матриц Паули
• Теория представлений SU(2)

Сноски

1. Для характеристики U( n ) и, следовательно, SU( n ) с точки зрения сохранения стандартного скалярного продукта на см. Классическую группу . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
2. Для явного описания гомоморфизма SU(2) → SO(3) см. Связь между SO(3) и SU(2) .
3. _, менее 1 ⁄ 6 всех fabc не исчезают.
4. Sp( n ) — компактная действительная форма . Иногда его обозначают USp( 2n ) . Размерность Sp( n ) -матриц равна 2 n × 2 n . ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$

Цитаты

1. Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-88741-2.
2. Холл 2015, Предложение 13.11.
3. Уайборн, Б.Г. (1974). Классические группы для физиков . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0471965057.
4. Зал 2015 г., Предложение 3.24.
5. Зал 2015 г., Упражнение 1.5.
6. Сэвидж, Алистер. «Группы лжи» (PDF) . MATH 4144 примечания.
7. Зал 2015 г., Предложение 3.24.
8. Зал 2015 г., Предложение 13.11.
9. Зал 2015 г., раздел 13.2.
10. Зал 2015, Глава 6.
11. Розен, СП (1971). «Конечные преобразования в различных представлениях SU (3)». Журнал математической физики . 12 (4): 673–681. Бибкод : 1971JMP....12..673R. дои : 10.1063/1.1665634.; Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2015). «Элементарные результаты для фундаментального представления SU (3)». Доклады по математической физике . 76 (3): 401–404. arXiv : 1508.00868 . Бибкод : 2015РпМП...76..401С. дои : 10.1016/S0034-4877(15)30040-9. S2CID  119679825.
12. Зал 2015 г., Предложение 3.24.
13. Зал 2015 г., раздел 3.6.
14. Зал 2015 г., раздел 7.7.1.
15. Зал 2015 г., раздел 8.10.1.
16. Франсикс, Габор; Лакс, Питер Д. (сентябрь 2005 г.). «Явная фундаментальная область модулярной группы Пикара в двух комплексных измерениях». arXiv : math/0509708 .
17. Гилмор, Роберт (1974). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Джон Уайли и сыновья . С. 52, 201−205. МР  1275599.
18. Мота, РД; Охеда-Гильен, Д.; Саласар-Рамирес, М.; Гранадос, В.Д. (2016). «SU(1,1)-подход к параметрам Стокса и теории поляризации света». Журнал Оптического общества Америки Б. 33 (8): 1696–1701. arXiv : 1602.03223 . Бибкод : 2016JOSAB..33.1696M. дои : 10.1364/JOSAB.33.001696. S2CID  119146980.
19. Сигел, CL (1971). Темы теории комплексных функций . Том. 2. Перевод Шеницера А.; Треткофф, М. Уайли-Интерсайенс. стр. 13–15. ISBN 0-471-79080 Х.

Рекомендации

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и их приложения , Конспекты лекций по физике, том. 708, Спрингер, ISBN 3540362363