Матрица Картана

Матрицы имени Эли Картана

В математике термин «матрица Картана» имеет три значения. Все они названы в честь французского математика Эли Картана . Забавно, что матрицы Картана в контексте алгебр Ли были впервые исследованы Вильгельмом Киллингом , тогда как форма Киллинга принадлежит Картану. ^{[ нужна цитата ]}

Алгебры Ли

(Симметризуемая) обобщенная матрица Картана — это квадратная матрица с целыми элементами такая, что ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. Для диагональных записей . ${\displaystyle a_{ii}=2}$
2. Для недиагональных записей . ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$если и только если ${\displaystyle a_{ji}=0}$
4. ${\displaystyle A}$можно записать как , где – диагональная матрица , – симметричная матрица . ${\displaystyle DS}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$

Например, матрицу Картана для G 2 можно разложить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}$

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в приведенном выше разложении положительно определена , то A называется матрицей Картана .

Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементами которой являются скалярные произведения

${\displaystyle a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}}$^[1]

(иногда называемые целыми числами Картана ), где r _i — простые корни алгебры. Записи являются целыми от одного из свойств корней . Первое условие следует из определения, второе — из того факта, что for — это корень, который представляет собой линейную комбинацию простых корней r _i и r _j с положительным коэффициентом при r _j , поэтому коэффициент при r _i должен быть равен неотрицательный. Третье верно, поскольку ортогональность — симметричное отношение. И наконец, пусть и . Поскольку простые корни охватывают евклидово пространство , S положительно определен. ${\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}$ ${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$ ${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$

И наоборот, по обобщенной матрице Картана можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. ( Более подробную информацию см. в разделе «Алгебра Каца – Муди» ).

Классификация

Матрица A является разложимой, если существует непустое собственное подмножество такое, что всякий раз, когда и . А неразложимо , если оно неразложимо. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j\notin I}$

Пусть A — неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все его главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип , если его собственные главные миноры положительны и A имеет определитель 0, и что A имеет неопределенный тип в противном случае.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов ), а неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0). ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли приведены в следующей таблице (вместе с A ₁ =B ₁ =C ₁ , B ₂ =C ₂ , D ₃ =A ₃ , D ₂ =A ₁ A ₁ , E ₅ =D ₅ , E ₄ =A ₄ и E ₃ =A ₂ A ₁ ). ^[2]

Другое свойство этого определителя состоит в том, что он равен индексу ассоциированной системы корней, т.е. равен где P, Q обозначают решетку весов и решетку корней соответственно. ${\displaystyle |P/Q|}$

Представления конечномерных алгебр

В модульной теории представлений и, в более общем смысле, в теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр A , которые не являются полупростыми , матрица Картана определяется путем рассмотрения (конечного) набора главных неразложимых модулей и записи композиционных рядов для них в терминах неприводимые модули , что дает матрицу целых чисел, подсчитывающую количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в М-теории

В М-теории можно рассматривать геометрию с двумя циклами , которые пересекаются друг с другом в конечном числе точек, в пределе, когда площадь двух циклов стремится к нулю. В этом пределе появляется локальная группа симметрии . Предполагается, что матрица чисел пересечения базиса двухциклов является матрицей Картана алгебры Ли этой локальной группы симметрии. ^[3]

Это можно объяснить следующим образом. В М-теории есть солитоны , которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембранами или 2-бранами . 2-брана обладает напряжением и поэтому имеет тенденцию сжиматься, но она может оборачиваться вокруг двухциклов, что не позволяет ей сжаться до нуля.

Можно компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двух циклов и их точек пересечения, а затем взять предел, при котором это измерение сжимается до нуля, получая таким образом уменьшение размерности по этому измерению. Тогда мы получаем теорию струн типа IIA как предел М-теории с двумя бранами, обертывающими два цикла, которые теперь описываются открытой струной, натянутой между D-бранами . Для каждой D-браны существует локальная группа симметрии U(1) , напоминающая степень свободы ее перемещения без изменения ориентации. Предел, при котором два цикла имеют нулевую площадь, — это предел, когда эти D-браны располагаются друг над другом, так что получается расширенная локальная группа симметрии.

Теперь открытая струна, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатором двух таких генераторов является третий, представленный открытой струной, которую получают склейкой ребер двух открытых струн. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от способа пересечения 2-бран в исходной М-теории, т.е. от числа пересечений двухциклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечений. Точная связь с матрицей Картана заключается в том, что последняя описывает коммутаторы простых корней , которые связаны с двумя циклами в выбранном базисе.

Генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, натянутыми между D-браной и самой собой.

Смотрите также

• Диаграмма Дынкина
• Исключительная йордановая алгебра
• Фундаментальное представление
• Убийственная форма
• Группа «Простая ложь»

Примечания

1. Георгий, Ховард (22 октября 1999 г.). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Вествью Пресс. п. 115. ИСБН 0-7382-0233-9.
2. Определители Картана-Грама для простых групп Ли Альфред К.Т. Ву, J. Math. Физ. Том. 23, № 11, ноябрь 1982 г.
3. Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенной калибровочной симметрии в M-теории и теории струн». Журнал физики высоких энергий . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th/9707123 . дои : 10.1088/1126-6708/1997/09/001. S2CID  15444381.

Рекомендации

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: Первый курс . Тексты для аспирантов по математике . Том. 129. Шпрингер-Верлаг. п. 334. ИСБН 0-387-97495-4.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике . Том. 9. Шпрингер-Верлаг. стр. 55–56. дои : 10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
• Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры лжи (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6..

Внешние ссылки

• «Матрица Картана», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Картана». Математический мир .