Квадрисеканс

Линия, проходящая через четыре точки кривой

Три квадрисеканта трилистника [ ^1]

В геометрии квадрисеканс или квадрисекансная линия пространственной кривой — это линия , проходящая через четыре точки кривой. Это наибольшее возможное число пересечений, которые может иметь общая пространственная кривая с линией, и для таких кривых квадрисекансы образуют дискретный набор линий. Квадрисекансы были изучены для кривых нескольких типов:

• Узлы и связи в теории узлов , если они нетривиальны , всегда имеют квадрисектанты, а существование и количество квадрисектантов изучалось в связи с инвариантами узлов, включая минимальную общую кривизну и длину веревки узла.
• Число квадрисектансов неособой алгебраической кривой в комплексном проективном пространстве можно вычислить с помощью формулы, выведенной Артуром Кэли .
• Квадрисекансы расположений скрещивающихся прямых касаются подмножеств из четырех прямых из расположения. Они связаны с линейчатыми поверхностями и конфигурацией двойной шестерки Шлефли .

Определение и мотивация

Квадрисеканс — это линия, пересекающая кривую, поверхность или другой набор в четырех различных точках. Он аналогичен секущей линии , линии, пересекающей кривую или поверхность в двух точках; и трисекансу , линии, пересекающей кривую или поверхность в трех точках. ^[2]

По сравнению с секущими и трисекущими, квадрисеканты особенно актуальны для пространственных кривых , поскольку они имеют наибольшее возможное число точек пересечения прямой с общей кривой . На плоскости общая кривая может пересекаться линией произвольное количество раз; например, небольшие общие возмущения синусоидальной кривой пересекаются бесконечно часто горизонтальной осью. Напротив, если произвольная пространственная кривая возмущена на небольшое расстояние, чтобы сделать ее общей, не будет линий через пять или более точек возмущенной кривой. Тем не менее, любые квадрисеканты исходной пространственной кривой останутся присутствующими поблизости в ее возмущении. ^[3] Для общих пространственных кривых квадрисеканты образуют дискретный набор линий. Напротив, когда возникают трисекусы, они образуют непрерывные семейства линий. ^[4]

Одно из объяснений этого явления визуально: если смотреть на пространственную кривую издалека, то пространство таких точек зрения можно описать как двумерную сферу, где каждому направлению соответствует одна точка. Пары нитей кривой могут казаться пересекающимися со всех этих точек зрения или с двумерного их подмножества. Три нити будут образовывать тройное пересечение, когда точка зрения лежит на трисекущей, а четыре нити будут образовывать четверное пересечение с точки зрения на квадрисекущей. Каждое ограничение, что пересечение пары нитей лежит на другой нити, уменьшает число степеней свободы на одну (для общей кривой), поэтому точки зрения на трисекущих образуют одномерное (непрерывно бесконечное) подмножество сферы, в то время как точки зрения на квадрисекущих образуют нульмерное (дискретное) подмножество. CTC Wall пишет, что тот факт, что общие пространственные кривые пересекаются линиями не более четырех раз, является «одной из простейших теорем такого рода», модельным случаем для аналогичных теорем о многомерных трансверсалях. ^[3]

В зависимости от свойств кривой, она может не иметь ни одного квадрисектанта, иметь конечное или бесконечное количество. Эти соображения делают интересным определение условий существования квадрисектантов или нахождение границ их числа в различных особых случаях, таких как заузленные кривые, ^{[5] [6]} алгебраические кривые, ^[7] или расположения линий . ^[8]

Для специальных классов кривых

Узлы и связи

В трехмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный ручной узел или зацепление имеет квадрисеканс. Первоначально установленный в случае заузленных многоугольников и гладких узлов Эрикой Паннвиц , ^[5] этот результат был распространен на узлы в подходящем общем положении и зацепления с ненулевым числом зацеплений , ^[6] а позднее на все нетривиальные ручные узлы и зацепления. ^[9]

Паннвиц доказал более строго, что для локально плоского диска, имеющего узел в качестве своей границы, число особенностей диска может быть использовано для построения нижней границы числа различных квадрисекантов. Существование по крайней мере одного квадрисеканта следует из того факта, что любой такой диск должен иметь по крайней мере одну особенность. ^{[5] [10]} Мортон и Монд (1982) предположили, что число различных квадрисекантов данного узла всегда не менее , где — число пересечений узла. ^{[6] [10]} С тех пор были обнаружены контрпримеры к этой гипотезе. ^[10] ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle n}$

Двухкомпонентные связи имеют квадрисеканты, в которых точки на квадрисеканте появляются в чередующемся порядке между двумя компонентами, ^[6] а нетривиальные узлы имеют квадрисеканты, в которых четыре точки, упорядоченные циклически, как на узле, появляются в порядке вдоль квадрисеканта. ^[11] Существование этих чередующихся квадрисекантов можно использовать для вывода теоремы Фари–Милнора , нижней границы полной кривизны нетривиального узла. ^[11] Квадрисеканты также использовались для нахождения нижних границ длины веревки узлов. ^[12] ${\displaystyle abcd}$ ${\displaystyle acbd}$

GT Jin и HS Kim предположили, что когда заузленная кривая имеет конечное число квадрисектантов, ее можно аппроксимировать эквивалентным многоугольным узлом с вершинами в точках пересечения квадрисектантов , в том же порядке, в котором они появляются на . Однако их гипотеза ложна: на самом деле для каждого типа узла существует реализация, для которой эта конструкция приводит к самопересекающемуся многоугольнику, и другая реализация, где эта конструкция создает узел другого типа. ^[13] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Нерешенная задача по математике :

Имеет ли каждый дикий узел бесконечное количество квадрисектансов?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Было высказано предположение, что каждый дикий узел имеет бесконечное число квадрисектансов. ^[9]

Алгебраические кривые

Артур Кэли вывел формулу для числа квадрисектансов алгебраической кривой в трехмерном комплексном проективном пространстве как функцию ее степени и рода . ^[7] Для кривой степени и рода число квадрисектансов равно ^[14] Эта формула предполагает, что данная кривая неособая ; корректировки могут потребоваться, если она имеет особые точки. ^{[15] [16]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle {\frac {(d-2)(d-3)^{2}(d-4)}{12}}-{\frac {g(d^{2}-7d+13-g)}{2}}.}$$

Косые линии

Двойная шестерка Шлефли

В трехмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырех скрещивающихся прямых в общем положении имеет либо два квадрисектанса (также в этом контексте называемых трансверсалями ), либо ни одного. Любые три из четырех прямых определяют гиперболоид , дважды линейчатую поверхность , в которой один из двух наборов линейчатых прямых содержит три заданные прямые, а другая линейчатая состоит из трисекансов к заданным прямым. Если четвертая из заданных прямых пронзает эту поверхность, она имеет две точки пересечения, поскольку гиперболоид определяется квадратным уравнением . Две трисекансы линейчатой ​​поверхности, проходящие через эти две точки, образуют два квадрисектанса заданных четырех прямых. С другой стороны, если четвертая линия не пересекается с гиперболоидом, то нет никаких квадрисектансов. ^[17] В пространствах с комплексными числовыми координатами, а не с действительными координатами, четыре скрещивающиеся прямые всегда имеют ровно два квадрисектанса. ^[8]

Квадрисеканты наборов прямых играют важную роль в построении двойной шестерки Шлефли , конфигурации из двенадцати прямых, пересекающих друг друга в 30 пересечениях. Если пять прямых (для ) заданы в трехмерном пространстве, так что все пять пересекаются общей прямой, но в остальном находятся в общем положении, то каждая из пяти четверок прямых имеет вторую квадрисеканту , и пять прямых, образованных таким образом, все пересекаются общей прямой . Эти двенадцать прямых и 30 точек пересечения образуют двойную шестерку. ^{[18] [19]} ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3,4,5}$ ${\displaystyle b_{6}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{6}}$ ${\displaystyle a_{i}b_{j}}$

Расположение сложных линий с заданным числом попарных пересечений и в противном случае перекосов может быть интерпретировано как алгебраическая кривая со степенью и родом, определяемыми из числа ее пересечений, и вышеупомянутой формулой Кэли, используемой для подсчета ее квадрисектантов. Тот же результат, что и эта формула, может быть получен путем классификации четверок линий по их пересечениям, подсчета числа квадрисектантов для каждого типа четверки и суммирования по всем четверкам линий в заданном наборе. ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ссылки

1. Jin, Gyo Taek (декабрь 2017 г.), «Многоугольная аппроксимация узлов-невязок квадрисекантами», в Reiter, Philipp; Blatt, Simon; Schikorra, Armin (ред.), New Directions in Geometric and Applied Knot Theory , De Gruyter Open, стр. 159–175, doi : 10.1515/9783110571493-008
2. Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2016), 3264 и все такое: Второй курс алгебраической геометрии, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, стр. 377, doi : 10.1017/CBO9781139062046, ISBN 978-1-107-60272-4, г-н  3617981
3. Wall, CTC (1977), "Геометрические свойства общих дифференцируемых многообразий", в Palis, Jacob; do Carmo, Manfredo (ред.), Geometry and Topology: Proceedings of the Latin American School of Mathematics (ELAM III), состоявшейся в Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Рио-де-Жанейро, июль 1976 г. , Lecture Notes in Mathematics, т. 597, стр. 707–774, doi :10.1007/BFb0085382, MR  0494233
4. Денне, Элизабет (2018), «Квадрисеканты и существенные секущие узлов», в Blatt, Simon; Reiter, Philipp; Schikorra, Armin (ред.), Новые направления в геометрической и прикладной теории узлов , Partial Differential Equations and Measure Theory, De Gruyter, Берлин, стр. 138–158, doi : 10.1515/9783110571493-006 , MR  3915943, S2CID  128222971
5. Pannwitz, Эрика (1933), «Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten», Mathematische Annalen , 108 (1): 629–672, doi : 10.1007/BF01452857, S2CID  123026724
6. Мортон, Хью Р.; Монд, Дэвид М.К. (1982), «Замкнутые кривые без квадрисектансов», Топология , 21 (3): 235–243, doi : 10.1016/0040-9383(82)90007-6 , MR  0649756
7. Cayley, Arthur (1863), Philosophical Transactions of the Royal Society of London , т. 153, Королевское общество, стр. 453–483, JSTOR  108806
8. Wong, BC (1934), «Перечислительные свойства кривых в -пространстве», Бюллетень Американского математического общества , 40 (4): 291–296, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05854-3 , MR  1562839 ${\displaystyle r}$
9. Kuperberg, Greg (1994), "Квадрисеканты узлов и связей", Журнал теории узлов и ее разветвлений , 3 : 41–50, arXiv : math/9712205 , doi : 10.1142/S021821659400006X, MR  1265452, S2CID  6103528
10. Jin, Gyo Taek (2005), "Квадрисеканты узлов с малым числом пересечений", Физические и численные модели в теории узлов (PDF) , Серия Knots Everything, т. 36, Сингапур: World Scientific Publishing, стр. 507–523, doi :10.1142/9789812703460_0025, MR  2197955
11. Denne, Elizabeth Jane (2004), Чередующиеся квадрисектанты узлов , докторская диссертация, Университет Иллинойса в Урбане-Шампейне , arXiv : math/0510561 , Bibcode : 2005math.....10561D
12. Денне, Элизабет; Диао, Юаньань; Салливан, Джон М. (2006), «Квадрисеканты дают новые нижние оценки для длины веревки узла», Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math/0408026 , doi : 10.2140/gt.2006.10.1, MR  2207788, S2CID  5770206
13. Бай, Шэн; Ван, Чао; Ван, Цзяцзюнь (2018), «Контрпримеры к гипотезе приближения квадрисеканса», Журнал теории узлов и ее последствий , 27 (2), 1850022, arXiv : 1605.00538 , doi : 10.1142/S0218216518500220, MR  3770471, S2CID  119601013
14. Гриффитс, Филлип; Харрис, Джозеф (2011), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека классических произведений Wiley, т. 52, John Wiley & Sons, стр. 296, ISBN 9781118030776
15. Welchman, WG (апрель 1932 г.), «Заметка о трисекансах и квадраксантах пространственной кривой», Математические труды Кембриджского философского общества , 28 (2): 206–208, doi :10.1017/s0305004100010872, S2CID  120725025
16. Максвелл, Эдвин А. (июль 1935 г.), «Заметка о формуле для числа квадрисектансов кривой в пространстве трех измерений», Математические труды Кембриджского философского общества , 31 (3): 324–326, doi :10.1017/s0305004100013086, S2CID  122279811
17. Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 164, ISBN 978-0-8284-1087-8
18. Шлефли, Людвиг (1858), Кейли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности в видах, ссылаясь на реальность линий на поверхности», Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 2 : 55–65, 110–120
19. Coxeter, HSM (2006), «Абсолютное свойство четырех взаимно касающихся окружностей», Non-Euclidean geometries , Math. Appl. (NY), т. 581, Нью-Йорк: Springer, стр. 109–114, doi :10.1007/0-387-29555-0_5, MR  2191243; Коксетер повторяет конструкцию Шлефли и приводит несколько ссылок на упрощенные доказательства ее правильности.