Механика сплошной среды

Раздел физики, изучающий поведение материалов, моделируемых как сплошные среды.

Механика сплошной среды — раздел механики , изучающий деформацию и передачу сил через материалы, моделируемые как сплошная среда (также называемая континуумом ), а не как дискретные частицы .

Механика сплошной среды имеет дело с деформируемыми телами , в отличие от твердых тел . Модель сплошной среды предполагает, что вещество объекта полностью заполняет занимаемое им пространство. Игнорируя тот факт, что материя состоит из атомов , это обеспечивает достаточно точное описание материи в масштабах длины, намного больших, чем межатомные расстояния. Концепция сплошной среды позволяет проводить интуитивный анализ объемной материи с помощью дифференциальных уравнений, которые описывают поведение такой материи в соответствии с физическими законами , такими как сохранение массы , сохранение импульса и сохранение энергии. Информация о конкретном материале выражается в конститутивных соотношениях .

Механика сплошной среды рассматривает физические свойства твердых тел и жидкостей независимо от какой-либо конкретной системы координат , в которой они наблюдаются. Эти свойства представлены тензорами , которые являются математическими объектами с существенным свойством независимости от систем координат. Это позволяет определять физические свойства в любой точке континуума в соответствии с математически удобными непрерывными функциями . Теории упругости , пластичности и механики жидкости основаны на концепциях механики сплошной среды.

Концепция континуума

Концепция континуума лежит в основе математической структуры для изучения крупномасштабных сил и деформаций в материалах. Хотя материалы состоят из дискретных атомов и молекул, разделенных пустым пространством или микроскопическими трещинами и кристаллографическими дефектами , физические явления часто можно моделировать, рассматривая вещество, распределенное по некоторой области пространства. Континуум — это тело, которое можно непрерывно подразделять на бесконечно малые элементы с локальными свойствами материала, определенными в любой конкретной точке. Поэтому свойства объемного материала можно описать непрерывными функциями, а их эволюцию можно изучать с помощью математики исчисления .

Помимо предположения о непрерывности, при изучении механики сплошных сред часто используются два других независимых предположения. Это однородность (предположение об идентичных свойствах во всех местах) и изотропия (предположение о направленно-инвариантных векторных свойствах). ^[1] Если эти вспомогательные предположения не применимы глобально, материал можно разделить на секции, где они применимы, чтобы упростить анализ. Для более сложных случаев одно или оба из этих предположений можно опустить. В этих случаях вычислительные методы часто используются для решения дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию свойств материала.

Основные области

Дополнительная область механики континуума включает эластомерные пены , которые демонстрируют любопытную гиперболическую зависимость напряжения от деформации. Эластомер является настоящим континуумом, но однородное распределение пустот придает ему необычные свойства. ^[2]

Формулировка моделей

Рисунок 1. Конфигурация сплошного тела

Модели механики сплошной среды начинаются с назначения области в трехмерном евклидовом пространстве моделируемому материальному телу . Точки внутри этой области называются частицами или материальными точками. Различные конфигурации или состояния тела соответствуют различным областям в евклидовом пространстве. Область, соответствующая конфигурации тела в момент времени, обозначается . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Конкретная частица внутри тела в определенной конфигурации характеризуется вектором положения

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

где — векторы координат в некоторой системе отсчета, выбранной для задачи (см. рисунок 1). Этот вектор можно выразить как функцию положения частицы в некоторой конфигурации отсчета , например, конфигурации в начальный момент времени, так что ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

Эта функция должна обладать различными свойствами, чтобы модель имела физический смысл. Она должна быть: ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

• непрерывно во времени, так что тело изменяется реалистичным образом,
• глобально обратим в любой момент времени, так что тело не может пересекать само себя,
• сохраняющие ориентацию , поскольку преобразования, приводящие к зеркальным отражениям, в природе невозможны.

Для математической формулировки модели также предполагается, что она дважды непрерывно дифференцируема , так что можно сформулировать дифференциальные уравнения, описывающие движение. ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

Силы в континууме

Твёрдое тело — это деформируемое тело, обладающее прочностью на сдвиг, sc. Твёрдое тело может выдерживать сдвигающие силы (силы, параллельные поверхности материала, на которую они действуют). Жидкости, с другой стороны, не выдерживают сдвигающих сил.

Следуя классической динамике Ньютона и Эйлера , движение материального тела производится действием внешних сил, которые, как предполагается, бывают двух видов: поверхностные силы и объемные силы . ^[3] Таким образом, полная сила, приложенная к телу или к части тела, может быть выражена как: ${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}}$

Поверхностные силы

Поверхностные силы или контактные силы , выраженные как сила на единицу площади, могут действовать либо на ограничивающую поверхность тела, в результате механического контакта с другими телами, либо на воображаемые внутренние поверхности, которые ограничивают части тела, в результате механического взаимодействия между частями тела по обе стороны поверхности ( принцип напряжений Эйлера-Коши ). Когда на тело действуют внешние контактные силы, внутренние контактные силы затем передаются от точки к точке внутри тела, чтобы уравновесить их действие, в соответствии с третьим законом движения Ньютона о сохранении импульса и момента импульса (для непрерывных тел эти законы называются уравнениями движения Эйлера ). Внутренние контактные силы связаны с деформацией тела через материальные уравнения . Внутренние контактные силы могут быть математически описаны тем, как они связаны с движением тела, независимо от материального состава тела. ^{[ необходима цитата ]}

Распределение внутренних контактных сил по всему объему тела предполагается непрерывным. Следовательно, существует плотность контактной силы или поле тяги Коши ^[4] , которое представляет это распределение в определенной конфигурации тела в заданное время . Это не векторное поле, поскольку оно зависит не только от положения определенной материальной точки, но и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его нормальным вектором . ^{[5] [ нужна страница ]} ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle t\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Любая дифференциальная площадь с нормальным вектором заданной внутренней площади поверхности , ограничивающая часть тела, испытывает контактную силу, возникающую при контакте между обеими частями тела по каждую сторону от , и она определяется выражением ${\displaystyle dS\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$ ${\displaystyle S\,\!}$

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

где - поверхностное натяжение , ^[6] также называемое вектором напряжения , ^[7] натяжением , ^{[8] [ нужна страница ]} или вектором тяги . ^[9] Вектор напряжения - это вектор, не зависящий от системы отсчета (см. принцип напряжений Эйлера-Коши ). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

Общая сила контакта на конкретной внутренней поверхности затем выражается как сумма ( поверхностный интеграл ) сил контакта на всех дифференциальных поверхностях : ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle dS\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

В механике сплошной среды тело считается свободным от напряжений, если единственными присутствующими силами являются межатомные силы ( ионные , металлические и силы Ван-дер-Ваальса ), необходимые для удержания тела вместе и сохранения его формы при отсутствии всех внешних воздействий, включая гравитационное притяжение. ^{[9] [10]} Напряжения, возникающие при изготовлении тела в определенной конфигурации, также исключаются при рассмотрении напряжений в теле. Поэтому напряжения, рассматриваемые в механике сплошной среды, — это только напряжения, возникающие при деформации тела, т. е. рассматриваются только относительные изменения напряжений, а не абсолютные значения напряжений.

Силы тела

Силы тела — это силы, возникающие из источников вне тела ^[11] , которые действуют на объем (или массу) тела. Когда мы говорим, что силы тела возникают из-за внешних источников, мы подразумеваем, что взаимодействие между различными частями тела (внутренние силы) проявляется только через контактные силы. ^[6] Эти силы возникают из-за присутствия тела в силовых полях, например, гравитационном поле ( силы тяготения ) или электромагнитном поле ( электромагнитные силы ), или из-за инерционных сил , когда тела находятся в движении. Поскольку масса непрерывного тела предполагается распределенной непрерывно, любая сила, исходящая от массы, также распределена непрерывно. Таким образом, силы тела определяются векторными полями, которые предполагаются непрерывными по всему объему тела, ^{[12] т.} е. действующими на каждую его точку. Силы тела представлены плотностью силы тела(на единицу массы), которая является векторным полем, не зависящим от системы отсчета. ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$

В случае гравитационных сил интенсивность силы зависит от плотности массы материала или пропорциональна ей и определяется в терминах силы на единицу массы ( ) или на единицу объема ( ). Эти две характеристики связаны через плотность материала уравнением . Аналогично интенсивность электромагнитных сил зависит от напряженности ( электрического заряда ) электромагнитного поля. ${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle b_{i}\,\!}$ ${\displaystyle p_{i}\,\!}$ ${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$

Полная объемная сила, приложенная к сплошному телу, выражается как

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

Силы тела и контактные силы, действующие на тело, приводят к соответствующим моментам силы ( крутящим моментам ) относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент относительно начала координат определяется как ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

В определенных ситуациях, обычно не рассматриваемых при анализе механического поведения материалов, возникает необходимость включения двух других типов сил: это парные напряжения ^{[примечание 1] [примечание 2]} (поверхностные пары, ^[11] контактные крутящие моменты) ^[12] и моменты тела . Парные напряжения — это моменты на единицу площади, приложенные к поверхности. Моменты тела или пары тела — это моменты на единицу объема или на единицу массы, приложенные к объему тела. Оба важны при анализе напряжения для поляризованного диэлектрического твердого тела под действием электрического поля, материалов, где учитывается молекулярная структура ( например, кости), твердых тел под действием внешнего магнитного поля и теории дислокаций металлов. ^{[7] [8] [ нужна страница ] [11]}

Материалы, которые демонстрируют пары тел и напряжения пар в дополнение к моментам, создаваемым исключительно силами, называются полярными материалами . ^{[8] [ нужна страница ] [12]} Неполярные материалы — это материалы, обладающие только моментами сил. В классических разделах механики сплошных сред развитие теории напряжений основано на неполярных материалах.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат) в теле может быть определена как

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

Кинематика: движение и деформация

Рисунок 2. Движение сплошного тела.

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и деформацию . Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы или размера. Деформация подразумевает изменение формы и/или размера тела от начальной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (рисунок 2). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Движение сплошного тела представляет собой непрерывную временную последовательность перемещений. Таким образом, материальное тело будет занимать различные конфигурации в разное время, так что частица занимает ряд точек в пространстве, которые описывают линию траектории.

При движении или деформации сплошного тела имеет место непрерывность в том смысле, что:

• Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любой последующий момент времени.
• Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любой последующий момент времени, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.

Удобно определить опорную конфигурацию или начальное состояние, от которого отсчитываются все последующие конфигурации. Опорная конфигурация не обязательно должна быть той, которую тело когда-либо займет. Часто конфигурация в считается опорной конфигурацией, . Компоненты вектора положения частицы, взятые относительно опорной конфигурации, называются материальными или опорными координатами. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

При анализе движения или деформации твердых тел или течения жидкостей необходимо описать последовательность или эволюцию конфигураций во времени. Одно описание движения делается в терминах материальных или референтных координат, называемых материальным описанием или лагранжевым описанием.

Лагранжево описание

В лагранжевом описании положение и физические свойства частиц описываются в терминах материальных или референтных координат и времени. В этом случае референтной конфигурацией является конфигурация при ${\displaystyle t=0}$ . Наблюдатель, стоящий в системе отсчета, наблюдает изменения положения и физических свойств по мере того, как материальное тело движется в пространстве с течением времени. Полученные результаты не зависят от выбора начального времени и референтной конфигурации, . Это описание обычно используется в механике твердого тела . ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

В лагранжевом описании движение сплошного тела выражается функцией отображения (рисунок 2), ${\displaystyle \chi (\cdot )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

которая является отображением начальной конфигурации на текущую конфигурацию , давая геометрическое соответствие между ними, т.е. давая вектор положения , который частица , с вектором положения в недеформированной или опорной конфигурации , будет занимать в текущей или деформированной конфигурации в момент времени . Компоненты называются пространственными координатами. ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Физические и кинематические свойства , т.е. термодинамические свойства и скорость потока, которые описывают или характеризуют свойства материального тела, выражаются как непрерывные функции положения и времени, т.е. . ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$

Материальная производная любого свойства континуума, которая может быть скаляром, вектором или тензором, — это скорость изменения этого свойства по времени для определенной группы частиц движущегося тела континуума. Материальная производная также известна как существенная производная , или сопутствующая производная , или конвективная производная . Ее можно рассматривать как скорость, с которой свойство изменяется при измерении наблюдателем, движущимся с этой группой частиц. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

В лагранжевом описании материальная производная — это просто частная производная по времени, а вектор положения сохраняется постоянным, поскольку он не меняется со временем. Таким образом, мы имеем ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

Мгновенное положение является свойством частицы, а его материальная производная — мгновенной скоростью потока частицы. Таким образом, поле скорости потока континуума определяется как ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

Аналогично, поле ускорения определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

Непрерывность в лагранжевом описании выражается пространственной и временной непрерывностью отображения отсчетной конфигурации в текущую конфигурацию материальных точек. Все физические величины, характеризующие континуум, описываются таким образом. В этом смысле функции и являются однозначными и непрерывными, с непрерывными производными по пространству и времени до любого требуемого порядка, обычно до второго или третьего. ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$

Эйлерово описание

Непрерывность позволяет обратному проследить назад, где в исходной или опорной конфигурации находилась частица, находящаяся в данный момент . В этом случае описание движения осуществляется в терминах пространственных координат, и в этом случае оно называется пространственным описанием или эйлеровым описанием, т. е. текущая конфигурация принимается за опорную . ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Описание Эйлера, введенное Даламбером , фокусируется на текущей конфигурации , уделяя внимание тому, что происходит в фиксированной точке пространства по мере течения времени, вместо того, чтобы уделять внимание отдельным частицам, движущимся через пространство и время. Этот подход удобно применять при изучении потока жидкости , где кинематическое свойство, представляющее наибольший интерес, — это скорость, с которой происходят изменения, а не форма тела жидкости в момент отсчета времени. ^[14] ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Математически движение континуума с использованием эйлерова описания выражается функцией отображения

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

который обеспечивает трассировку частицы, которая сейчас занимает положение в текущей конфигурации, до ее исходного положения в начальной конфигурации . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Необходимым и достаточным условием существования этой обратной функции является то, что определитель матрицы Якоби , часто называемый просто якобианом, должен быть отличен от нуля. Таким образом,

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

В эйлеровом описании физические свойства выражаются как ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

где функциональная форма в лагранжевом описании не совпадает с формой в эйлеровом описании. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle p_{ij\ldots }}$

Материальная производная от , используя цепное правило, тогда равна ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

Первый член в правой части этого уравнения дает локальную скорость изменения свойства, происходящего в позиции . Второй член правой части является конвективной скоростью изменения и выражает вклад изменения положения частицы в пространстве (движение). ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Непрерывность в эйлеровом описании выражается пространственной и временной непрерывностью и непрерывной дифференцируемостью поля скорости потока. Все физические величины определяются таким образом в каждый момент времени, в текущей конфигурации, как функции положения вектора . ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Поле смещения

Вектор, соединяющий положения частицы в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения в лагранжевом описании или в эйлеровом описании. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$

Поле смещения — это векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, связывающее деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем случае поле смещения выражается в терминах материальных координат как

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

или в терминах пространственных координат как

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

где - направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами и соответственно. Таким образом, ${\displaystyle \alpha _{Ji}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

и тогда связь между и задается выражением ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{J}}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

Зная, что

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

затем

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера , т.е. ${\displaystyle \mathbf {b} =0}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

или в терминах пространственных координат как

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Управляющие уравнения

Механика сплошной среды занимается поведением материалов, которые можно аппроксимировать как непрерывные для определенных масштабов длины и времени. Уравнения, управляющие механикой таких материалов, включают законы баланса для массы , импульса и энергии . Кинематические соотношения и определяющие уравнения необходимы для завершения системы определяющих уравнений. Физические ограничения на форму определяющих уравнений могут быть применены путем требования, чтобы второй закон термодинамики выполнялся при всех условиях. В механике сплошной среды твердых тел второй закон термодинамики выполняется, если выполняется форма Клаузиуса–Дюгема неравенства энтропии.

Законы равновесия выражают идею о том, что скорость изменения величины (массы, импульса, энергии) в объеме должна возникать в результате трех причин:

1. сама физическая величина протекает через поверхность, ограничивающую объем,
2. на поверхности объема имеется источник физической величины, или/и,
3. внутри объема находится источник физической величины.

Пусть — тело (открытое подмножество евклидова пространства), а — его поверхность (граница ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Пусть движение материальных точек в теле описывается картой

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

где — положение точки в исходной конфигурации, — положение той же точки в деформированной конфигурации. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Градиент деформации определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla \mathbf {x} ~.}$

Законы равновесия

Пусть будет физической величиной, которая течет через тело. Пусть будут источниками на поверхности тела и пусть будут источниками внутри тела. Пусть будет внешней единицей нормали к поверхности . Пусть будет скоростью потока физических частиц, которые переносят физическую величину, которая течет. Также пусть скорость, с которой движется ограничивающая поверхность, будет (в направлении ). ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Тогда законы равновесия можно выразить в общем виде

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

Функции , , и могут быть скалярными, векторными или тензорными - в зависимости от физической величины, с которой имеет дело уравнение баланса. Если в теле есть внутренние границы, разрывы скачков также должны быть указаны в законах баланса. ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$

Если принять точку зрения Эйлера , то можно показать, что законы баланса массы, импульса и энергии для твердого тела можно записать как (предполагая, что исходный член равен нулю для уравнений массы и момента импульса):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

В приведенных выше уравнениях — это плотность массы (ток), — это материальная производная по времени от , — это скорость частицы, — это материальная производная по времени от , — это тензор напряжений Коши , — это плотность объемной силы, — это внутренняя энергия на единицу массы, — это материальная производная по времени от , — это вектор теплового потока, — это источник энергии на единицу массы. Используемые операторы определены ниже. ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$

Относительно исходной конфигурации (точка зрения Лагранжа) законы баланса можно записать в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

В приведенном выше примере — первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа , а — плотность массы в исходной конфигурации. Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа связан с тензором напряжений Коши соотношением ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

В качестве альтернативы мы можем определить номинальный тензор напряжений , который является транспонированным значением первого тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, таким образом, что ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

Тогда законы равновесия становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

Операторы

Операторы в приведенных выше уравнениях определяются как

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.}$

где — векторное поле, — тензорное поле второго порядка, а — компоненты ортонормированного базиса в текущей конфигурации. Также, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}}$

где — векторное поле, — тензорное поле второго порядка, а — компоненты ортонормированного базиса в исходной конфигурации. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

Внутренний продукт определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

Неравенство Клаузиуса–Дюгема

Неравенство Клаузиуса –Дюгема можно использовать для выражения второго закона термодинамики для упругопластических материалов. Это неравенство является утверждением о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии.

Как и в законах баланса в предыдущем разделе, мы предполагаем, что существует поток величины, источник величины и внутренняя плотность величины на единицу массы. Величина, представляющая интерес в этом случае, — энтропия. Таким образом, мы предполагаем, что существует поток энтропии, источник энтропии, внутренняя плотность массы и внутренняя удельная энтропия (т. е. энтропия на единицу массы) в интересующей области. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

Пусть будет такой областью и пусть будет ее границей. Тогда второй закон термодинамики гласит, что скорость увеличения в этой области больше или равна сумме того, что поступает в (в виде потока или из внутренних источников) и изменения внутренней плотности энтропии из-за потока материала в область и из нее. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \rho \eta }$

Пусть движутся со скоростью потока и пусть частицы внутри имеют скорости . Пусть будет единичной внешней нормалью к поверхности . Пусть будет плотностью вещества в области, будет потоком энтропии на поверхности, а будет источником энтропии на единицу массы. Тогда неравенство энтропии можно записать как ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bar {q}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

Скалярный поток энтропии можно связать с векторным потоком на поверхности соотношением . При предположении постепенно изотермических условий имеем ${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

где — вектор теплового потока, — источник энергии на единицу массы, — абсолютная температура материальной точки в момент времени . ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

Тогда имеем неравенство Клаузиуса–Дюгема в интегральной форме:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

Мы можем показать, что неравенство энтропии можно записать в дифференциальной форме как

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

В терминах напряжения Коши и внутренней энергии неравенство Клаузиуса–Дюгема можно записать как

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

Действительность

Обоснованность предположения о континууме может быть проверена теоретическим анализом, в котором либо выявляется некоторая четкая периодичность, либо существуют статистическая однородность и эргодичность микроструктуры . Более конкретно, гипотеза континуума опирается на концепции представительного элементарного объема и разделения масштабов на основе условия Хилла-Манделя. Это условие обеспечивает связь между точкой зрения экспериментатора и теоретика на конститутивные уравнения (линейные и нелинейные упругие/неупругие или связанные поля), а также способ пространственного и статистического усреднения микроструктуры. Когда разделение масштабов не выполняется или когда требуется установить континуум с более тонким разрешением, чем размер представительного объемного элемента (RVE), используется статистический объемный элемент (SVE), что приводит к случайным полям континуума. Последние затем обеспечивают микромеханическую основу для стохастических конечных элементов (SFE). Уровни SVE и RVE связывают механику сплошной среды со статистической механикой . Экспериментально RVE можно оценить только тогда, когда конститутивный ответ пространственно однороден.

Приложения

• Механика сплошной среды
  • Механика твёрдого тела
  • Механика жидкости
• Инженерное дело
  • Гражданское строительство
  • Машиностроение
  • Аэрокосмическая техника
  • Биомедицинская инженерия
  • Химическая инженерия

Смотрите также

• Явления переноса
• принцип Бернулли
• Эластичный материал Коши
• Конфигурационная механика
• Криволинейные координаты
• Уравнение состояния
• Тензоры конечных деформаций
• Теория конечных деформаций
• Гиперэластичный материал
• Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения
• Подвижный клеточный автомат
• Перидинамика (нелокальная теория сплошной среды, приводящая к интегральным уравнениям)
• Стресс (физика)
• Меры по снятию стресса
• Тензорное исчисление
• Производная тензора (механика сплошной среды)
• Теория упругости
• Число Кнудсена

Пояснительные записки

1. Максвелл указал, что неисчезающие моменты тела существуют в магните в магнитном поле и в диэлектрике в электрическом поле с различными плоскостями поляризации. ^[13]
2. Парные напряжения и пары тел были впервые исследованы Фойгтом и Коссератом, а затем повторно введены в 1960 году Миндлином в его работе для Bell Labs по чистым кристаллам кварца. ^{[ необходима ссылка ]}

Ссылки

Цитаты

1. Малверн 1969, стр. 2.
2. Динес и Солем 1999, стр. 155–162.
3. Смит 1993, стр. 97.
4. Смит 1993.
5. Люблинер 2008.
6. Лю 2002.
7. Wu 2004.
8. Фунг 1977.
9. Mase 1970.
10. Атанакович и Гуран 2000.
11. Irgens 2008.
12. Чедвик 1999.
13. Фунг 1977, стр. 76.
14. Спенсер 1980, стр. 83.

Цитируемые работы

• Атанакович, Теодор М.; Гуран, Ардешир (16 июня 2000 г.). Теория упругости для ученых и инженеров. Книги по физике издательства Dover. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4072-9.
• Чедвик, Питер (1 января 1999 г.). Механика сплошной среды: краткая теория и проблемы. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-40180-5.
• Dienes, JK; Solem, JC (1999). «Нелинейное поведение некоторых гидростатически напряженных изотропных эластомерных пен». Acta Mechanica . 138 (3–4): 155–162. doi :10.1007/BF01291841. S2CID  120320672.

• Fung, YC (1977). Первый курс механики сплошной среды (2-е изд.). Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-318311-5.
• Иргенс, Фритьов (10 января 2008 г.). Механика сплошной среды. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-74298-2.
• Лю, И-Ши (28 мая 2002 г.). Механика сплошной среды. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-43019-3.
• Люблинер, Якоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренное издание). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 года.

• Остоя-Стажевски, М. (2008). "7-10". Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов . CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.

• Спенсер, А. Дж. М. (1980). Механика сплошной среды. Longman Group Limited (Лондон). стр. 83. ISBN 978-0-582-44282-5.

• Робертс, А. Дж. (1994). Одномерное введение в механику сплошной среды . World Scientific.

• Смит, Дональд Р. (1993). "2". Введение в механику сплошной среды — по Трусделлу и Ноллу . Механика твердого тела и ее приложения. Том 22. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-4314-6.
• Ву, Хань-Чин (20 декабря 2004 г.). Механика сплошной среды и пластичность. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-58488-363-0.

Общие ссылки

• Батра, Р. К. (2006). Элементы механики сплошной среды . Рестон, Вирджиния: AIAA.

• Бертрам, Альбрехт (2012). Упругость и пластичность больших деформаций - Введение (третье изд.). Springer. doi :10.1007/978-3-642-24615-9. ISBN 978-3-642-24615-9. S2CID  116496103.

• Чандрамули, ПН (2014). Механика сплошных сред. Yes Dee Publishing Pvt Ltd. ISBN 9789380381398. Архивировано из оригинала 4 августа 2018 . Получено 24 марта 2014 .

• Эринген, А. Джемаль (1980). Механика сплошных сред (2-е изд.). ISBN Krieger Pub Co. 978-0-88275-663-9.

• Чен, Юпинг; Джеймс Д. Ли; Азим Эскандарян (2009). Бессеточные методы в механике твердого тела (первое издание). Springer New York. ISBN 978-1-4419-2148-2.

• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошной среды: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 978-0-8493-9779-0.

• Димитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошных сред и большие неупругие деформации . Германия: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.

• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Континуальные методы физического моделирования. Германия: Springer. ISBN 978-3-540-20619-4.

• Гуртин, М. Э. (1981). Введение в механику сплошной среды . Нью-Йорк: Academic Press.

• Lai, W. Michael; David Rubin; Erhard Krempl (1996). Введение в механику сплошных сред (3-е изд.). Elsevier, Inc. ISBN 978-0-7506-2894-5. Архивировано из оригинала 6 февраля 2009 года.

• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-1138-3.

• Малверн, Лоуренс Э. (1969). Введение в механику сплошной среды . Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.

• Mase, George E. (1970). Механика сплошной среды. McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-040663-6.

• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Механика сплошной среды для инженеров (второе издание). CRC Press. ISBN 978-0-8493-1855-9.

• Maugin, GA (1999). Термомеханика нелинейных необратимых процессов: Введение . Сингапур: World Scientific.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Пластичность: Трактат о конечной деформации гетерогенных неупругих материалов. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83979-2.

• Остоя-Старжевски, Мартин (2008). Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.

• Риз, Дэвид (2006). Основы инженерной пластичности — введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-8025-7.

• Райт, Т. В. (2002). Физика и математика адиабатических полос сдвига . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press.

Внешние ссылки

• «Объективность в классической механике сплошных сред: движения, функции Эйлера и Лагранжа; градиент деформации; производные Ли; формула сложения скоростей, Кориолис; объективность» Жиля Леборна, 7 апреля 2021 г.: «Часть IV Формула сложения скоростей и объективность» ^{[ постоянная нерабочая ссылка ]}