Конформная геометрия

Исследование сохраняющих углы преобразований геометрического пространства

В математике конформная геометрия — это изучение набора сохраняющих угол ( конформных ) преобразований в пространстве.

В реальном двумерном пространстве конформная геометрия — это в точности геометрия римановых поверхностей . В пространстве выше двух измерений конформная геометрия может относиться либо к изучению конформных преобразований так называемых «плоских пространств» (таких как евклидовы пространства или сферы ), либо к изучению конформных многообразий , которые являются римановыми или псевдоримановыми многообразиями. с классом метрик , которые определены в масштабе. Изучение плоских структур иногда называют геометрией Мёбиуса и является разновидностью геометрии Клейна .

Конформные многообразия

Конформное многообразие — это псевдориманово многообразие, снабженное классом эквивалентности метрических тензоров , в котором две метрики g и h эквивалентны тогда и только тогда, когда

${\displaystyle h=\lambda ^{2}g,}$

где λ — вещественная гладкая функция , определенная на многообразии и называемая конформным фактором . Класс эквивалентности таких метрик известен как конформная метрика или конформный класс . Таким образом, конформную метрику можно рассматривать как метрику, которая определяется только «до масштаба». Часто конформные метрики обрабатываются путем выбора метрики из конформного класса и применения к выбранной метрике только «конформно-инвариантных» конструкций.

Конформная метрика является конформно плоской, если существует представляющая ее метрика, которая является плоской в ​​обычном смысле, когда тензор кривизны Римана обращается в нуль. В конформном классе можно найти только метрику, плоскую в открытой окрестности каждой точки. При необходимости различать эти случаи последний называют локально конформно плоским , хотя часто в литературе никакого различия не выдерживают. n -сфера — это локально конформно плоское многообразие , которое не является глобально конформно плоским в этом смысле, тогда как евклидово пространство, тор или любое конформное многообразие, покрытое открытым подмножеством евклидова пространства, является (глобально) конформно плоским в этом смысле. смысл. Локально конформно плоское многообразие локально конформно геометрии Мёбиуса , что означает, что существует угол, сохраняющий локальный диффеоморфизм многообразия в геометрию Мёбиуса. В двух измерениях каждая конформная метрика локально конформно плоская. В размерности n > 3 конформная метрика локально конформно плоская тогда и только тогда, когда ее тензор Вейля обращается в нуль; в размерности n = 3 тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.

Конформная геометрия имеет ряд особенностей, отличающих ее от (псевдо)римановой геометрии. Во-первых, хотя в (псевдо)римановой геометрии в каждой точке имеется четко определенная метрика, в конформной геометрии существует только класс метрик. Таким образом, длину касательного вектора определить невозможно, но угол между двумя векторами можно определить. Другой особенностью является отсутствие связи Леви-Чивита, поскольку если g и λ ² g являются двумя представителями конформной структуры, то символы Кристоффеля g и λ ² g не согласуются. Те, которые связаны с λ ² g, будут включать производные функции λ, тогда как те, которые связаны с g , не будут.

Несмотря на эти различия, конформная геометрия по-прежнему доступна. Связность Леви-Чивита и тензор кривизны , хотя и определяются только после того, как был выделен конкретный представитель конформной структуры, все же удовлетворяют определенным законам преобразования, включающим λ и его производные, когда выбирается другой представитель. В частности, (в размерности выше 3) тензор Вейля оказывается не зависящим от λ и, следовательно, является конформным инвариантом . Более того, даже несмотря на то, что на конформном многообразии нет соединения Леви-Чивита, вместо этого можно работать с конформным соединением , которое можно рассматривать либо как тип соединения Картана , смоделированного на соответствующей геометрии Мёбиуса, либо как соединение Вейля . Это позволяет определить конформную кривизну и другие инварианты конформной структуры.

геометрия Мёбиуса

Геометрия Мёбиуса — это изучение « евклидова пространства с добавленной на бесконечности точкой» или « пространства Минковского (или псевдоевклидова) с добавленным на бесконечности нулевым конусом ». То есть сеттинг представляет собой компактификацию привычного пространства; геометрия связана с последствиями сохранения углов.

На абстрактном уровне евклидово и псевдоевклидово пространство можно обрабатывать практически одинаково, за исключением случая второго измерения. Компактифицированная двумерная плоскость Минковского демонстрирует обширную конформную симметрию . Формально его группа конформных преобразований бесконечномерна. Напротив, группа конформных преобразований компактифицированной евклидовой плоскости всего лишь 6-мерна.

Два измерения

Самолет Минковского

Конформная группа для квадратичной формы Минковского q ( x , y ) = 2 xy на плоскости является абелевой группой Ли.

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

с алгеброй Ли cso (1, 1), состоящей из всех вещественных диагональных матриц размера 2 × 2 .

Рассмотрим теперь плоскость Минковского, снабженную метрикой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

Однопараметрическая группа конформных преобразований порождает векторное поле X со свойством, что производная Ли от g вдоль X пропорциональна g . Символически,

L _Икс g знак равно λg   для некоторого λ .

В частности, используя приведенное выше описание алгебры Ли cso (1, 1) , отсюда следует, что

1. L _Икс   dx знак равно а ( x ) dx
2. L _Икс   dy знак равно б ( y ) dy

для некоторых действительных функций a и b , зависящих соответственно от x и y .

И наоборот, для любой такой пары вещественных функций существует векторное поле X , удовлетворяющее условиям 1 и 2. Следовательно, алгебра Ли инфинитезимальных симметрий конформной структуры, алгебра Витта , бесконечномерна .

Конформная компактификация плоскости Минковского является декартовым произведением двух окружностей S ¹ × S ¹ . На универсальном накрытии нет препятствий для интегрирования бесконечно малых симметрий, поэтому группа конформных преобразований представляет собой бесконечномерную группу Ли

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

где Diff( S ¹ ) — группа диффеоморфизмов окружности. ^[1]

Конформная группа CSO(1, 1) и ее алгебра Ли представляют современный интерес в двумерной конформной теории поля .

Евклидово пространство

Координатная сетка до преобразования Мёбиуса

Та же сетка после преобразования Мёбиуса

Группа конформных симметрий квадратичной формы

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

— это группа GL ₁ ( C ) = C ^× , мультипликативная группа комплексных чисел. Его алгебра Ли — gl ₁ ( C ) = C .

Рассмотрим (евклидову) комплексную плоскость , снабженную метрикой

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

Инфинитезимальные конформные симметрии удовлетворяют

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

где f удовлетворяет уравнению Коши – Римана и поэтому голоморфен в своей области определения. (См. «Алгебра Витта» .)

Таким образом, конформные изометрии области состоят из голоморфных автоотображений. В частности, на конформной компактификации – сфере Римана – конформные преобразования задаются преобразованиями Мёбиуса

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

где ad − bc не равно нулю.

Высшие измерения

В двух измерениях группа конформных автоморфизмов пространства может быть достаточно большой (как в случае лоренцевой сигнатуры) или переменной (как в случае евклидовой сигнатуры). Сравнительная недостаточная жесткость двумерного случая по сравнению с случаем более высоких измерений обусловлена ​​аналитическим фактом, что асимптотические развития бесконечно малых автоморфизмов структуры относительно неограничены. В лоренцевой сигнатуре свобода находится в паре вещественнозначных функций. В евклидовом представлении свобода заключена в одной голоморфной функции.

В случае более высоких размерностей асимптотические развития бесконечно малых симметрий представляют собой не более чем квадратичные полиномы. ^[2] В частности, они образуют конечномерную алгебру Ли . Поточечные инфинитезимальные конформные симметрии многообразия могут быть проинтегрированы именно тогда, когда многообразие представляет собой определенное модельное конформно плоское пространство ( с точностью до взятия универсальных накрытий и дискретных групповых факторов). ^[3]

Общая теория конформной геометрии аналогична, хотя и с некоторыми различиями, в случаях евклидовой и псевдоевклидовой сигнатур. ^[4] В любом случае существует ряд способов введения модельного пространства конформно плоской геометрии. Если иное не ясно из контекста, в этой статье рассматривается случай евклидовой конформной геометрии с пониманием того, что она также применима, mutatis mutandis , к псевдоевклидовой ситуации.

Инверсивная модель

Инверсивная модель конформной геометрии состоит из группы локальных преобразований евклидова пространства En ^, порожденных инверсией в сферах. По теореме Лиувилля любое локальное (конформное) преобразование, сохраняющее угол, имеет такой вид. ^[5] С этой точки зрения, свойства преобразования плоского конформного пространства аналогичны свойствам инверсной геометрии .

Проективная модель

Проективная модель отождествляет конформную сферу с некоторой квадрикой в ​​проективном пространстве . Пусть q обозначает лоренцеву квадратичную форму на R ^{n +2} , определенную формулой

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

В проективном пространстве P ( Rn ^{+ 2} ) пусть S будет местом q = 0 . Тогда S — проективная (или Мёбиуса) модель конформной геометрии. Конформное преобразование на S — это проективное линейное преобразование P ( R n ^{+2 )} , которое оставляет квадрику инвариантной.

В родственной конструкции квадрика S рассматривается как небесная сфера на бесконечности нулевого конуса в пространстве Минковского R ^{n +1,1} , которое снабжено квадратичной формой q, как указано выше. Нулевой конус определяется формулой

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

Это аффинный конус над проективной квадрикой S. Пусть N ⁺ — будущая часть нулевого конуса (с удаленным началом координат). Тогда тавтологическая проекция Rn ^{+ 1,1} \{0} → P ( Rn ^{+ 2} ) ограничивается проекцией N ⁺ → S. Это дает N ⁺ структуру линейного расслоения над S . Конформные преобразования на S индуцируются ортохронными преобразованиями Лоренца R n ^+1,1 , поскольку это однородные линейные преобразования, сохраняющие будущий нулевой конус ^.

Евклидова сфера

Интуитивно понятно, что конформно-плоская геометрия сферы менее жесткая, чем риманова геометрия сферы. Конформные симметрии сферы порождаются инверсией во всех ее гиперсферах . С другой стороны, римановы изометрии сферы порождены инверсиями в геодезических гиперсферах (см. теорему Картана – Дьедонне ). Евклидова сфера может быть отображена в конформную сферу каноническим образом, но не наоборот.

Евклидова единичная сфера - это локус в R ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Это можно отобразить в пространство Минковского R ^{n +1,1,} полагая

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

Легко видеть, что образ сферы при таком преобразовании равен нулю в пространстве Минковского и, следовательно, лежит на конусе N ⁺ . Следовательно, оно определяет сечение линейного расслоения N ⁺ → S .

Тем не менее выбор был произвольный. Если κ ( x ) — любая положительная функция от x = ( z , x0 _, ..., xn ) , _то назначение

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

также дает отображение в N ⁺ . Функция κ представляет собой произвольный выбор конформной шкалы .

Репрезентативные показатели

Представительная риманова метрика на сфере — это метрика, пропорциональная стандартной метрике сферы. Это дает реализацию сферы как конформного многообразия. Стандартная метрика сферы — это ограничение евклидовой метрики на R ^{n +1}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

в сферу

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Конформный представитель g — это метрика вида λ ² g , где λ — положительная функция на сфере. Конформный класс g , обозначаемый [ g ], представляет собой совокупность всех таких представителей:

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

Вложение евклидовой сферы в N ⁺ , как и в предыдущем разделе, определяет конформный масштаб на S . И наоборот, любая конформная шкала на S задается таким вложением. Таким образом, линейное расслоение N ⁺ → S отождествляется с расслоением конформных шкал на S : задать сечение этого расслоения равносильно указанию метрики в конформном классе [ g ].

Модель показателей окружающей среды

Другой способ реализовать репрезентативную метрику — использовать специальную систему координат на R ^{n +1, 1} . Предположим, что евклидова n -сфера S несет в себе стереографическую систему координат . Оно состоит из следующего отображения Rn → S ⊂ Rn ^{+ 1 :}

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

В терминах этих стереографических координат можно задать систему координат на нулевом конусе N ⁺ в пространстве Минковского. Используя приведенное выше вложение, представительное метрическое сечение нулевого конуса равно

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Введем новую переменную t , соответствующую расширениям вверх N ⁺ , так, чтобы нулевой конус координировался формулой

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Наконец, пусть ρ будет следующей определяющей функцией N ⁺ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

В координатах t , ρ , y на R ^{n +1,1} метрика Минковского принимает вид:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

где g _ij — метрика на сфере.

В этих терминах раздел расслоения N ⁺ состоит из спецификации значения переменной t = t ( y ⁱ ) как функции y ⁱ вдоль нулевого конуса ρ = 0 . Это дает следующего представителя конформной метрики на S :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

Кляйнианская модель

Рассмотрим сначала случай плоской конформной геометрии в евклидовой сигнатуре. n -мерная модель представляет собой небесную сферу ( n +2) -мерного лоренцева пространства Rn ^{+ 1,1} . Здесь модель представляет собой геометрию Клейна : однородное пространство G / H , где G = SO( n + 1, 1), действующее на ( n + 2) -мерное лоренцево пространство R ^{n +1,1} , а H — группа изотропии фиксированный нулевой луч в световом конусе . Таким образом, конформно плоские модели являются пространствами инверсной геометрии . Для псевдоевклидова метрической сигнатуры ( p , q ) плоская геометрия модели определяется аналогично однородному пространству O( p + 1, q + 1)/ H , где H снова принимается как стабилизатор нулевой линии. Обратите внимание, что как евклидово, так и псевдоевклидово модельные пространства компактны .

Конформные алгебры Ли

Чтобы описать группы и алгебры, участвующие в плоском модельном пространстве, зафиксируйте следующую форму на R ^{p +1, q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

где J — квадратичная форма подписи ( p , q ) . Тогда G = O( p + 1, q + 1) состоит из ( n + 2) × ( n + 2) матриц, стабилизирующих Q  : ^t MQM = Q . Алгебра Ли допускает разложение Картана

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

где

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Альтернативно, это разложение согласуется с естественной структурой алгебры Ли, определенной на R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

Стабилизатор нулевого луча, направленного вверх по последнему координатному вектору, задается подалгеброй Бореля.

час знак равно г ₀ ⊕ г ₁ .

Смотрите также

• Конформная геометрическая алгебра
• Конформная гравитация
• Конформное уравнение Киллинга
• Эрлангенская программа
• Плоскость Мёбиуса

Примечания

1. Пол Гинспарг (1989), Прикладная конформная теория поля . arXiv : hep-th/9108028. Опубликовано в Ecole d'Eté de Physique Théorique: Champs, cordes et phénomènes critiques/Поля, струны и критические явления (Les Houches), изд. Э. Брезин и Дж. Зинн-Джастин, Elsevier Science Publishers BV
2. Кобаяши (1972).
3. Согласно общей теореме Штернберга (1962).
4. Словацкий (1993).
5. С. А. Степанов (2001) [1994], «Теоремы Лиувилля», Энциклопедия математики , EMS Press. Г. Монж (1850). « Расширение трех измерений вопроса о географическом следе, примечание VI (Ж. Лиувилля)». Применение анализа в геометрии. Башелье, Париж. стр. 609–615..

Рекомендации

• Кобаяши, Шошичи (1970). Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Первое изд.). Спрингер. ISBN 3-540-05848-6.
• Словак, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях. Конспект исследовательских лекций, Венский университет (Диссертация).
• Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии . Нью-Йорк: Челси. ISBN 0-8284-0316-3.

Внешние ссылки

• Г. В. Бушманова (2001) [1994], «Конформная геометрия», Математическая энциклопедия , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm