Закон силы

Функциональная связь между двумя величинами

Пример степенного графика, демонстрирующего рейтинг популярности. Справа — длинный хвост , а слева — несколько доминирующих (также известное как правило 80–20 ).

В статистике степенной закон — это функциональная связь между двумя величинами, где относительное изменение одной величины приводит к относительному изменению другой величины, пропорциональному изменению, возведенному в постоянную степень : одна величина изменяется как степень другой. Изменение не зависит от начального размера этих величин.

Например, площадь квадрата имеет степенную зависимость от длины его стороны, так как если длина удваивается, площадь умножается на 2 ² , а если длина утраивается, площадь умножается на 3 ² , и так далее. ^[1]

Эмпирические примеры

Распределения самых разных физических, биологических и созданных человеком явлений приблизительно следуют степенному закону в широком диапазоне величин: к ним относятся размеры кратеров на Луне и солнечных вспышек , ^[2] размеры облаков, ^[3] схема добычи пищи различными видами, ^[4] размеры моделей активности нейронных популяций, ^[5] частоты слов в большинстве языков, частоты фамилий , видовое богатство в кладах организмов, ^[6] размеры отключений электроэнергии , извержений вулканов, ^[7] человеческие суждения об интенсивности стимула ^{[8] [9]} и многие другие величины. ^[10] Эмпирические распределения могут соответствовать степенному закону только для ограниченного диапазона значений, поскольку чистый степенной закон допускал бы произвольно большие или малые значения. Акустическое затухание следует частотным степенным законам в широких частотных диапазонах для многих сложных сред. Аллометрические законы масштабирования для отношений между биологическими переменными являются одними из самых известных степенных функций в природе.

Характеристики

Статистическая неполнота

Модель степенного закона не подчиняется заветной парадигме статистической полноты. Особенно границы вероятности, предполагаемая причина типичных явлений изгиба и/или уплощения в высоко- и низкочастотных графических сегментах, параметрически отсутствуют в стандартной модели. ^[11]

Масштабная инвариантность

Одним из атрибутов степенных законов является их масштабная инвариантность . При наличии отношения масштабирование аргумента на постоянный множитель вызывает только пропорциональное масштабирование самой функции. То есть, ${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

где обозначает прямую пропорциональность . То есть масштабирование на константу просто умножает исходное степенное отношение на константу . Таким образом, следует, что все степенные законы с определенным показателем масштабирования эквивалентны с точностью до постоянных множителей, поскольку каждый из них является просто масштабированной версией других. Это поведение является тем, что создает линейную зависимость, когда логарифмы берутся от обоих и , а прямая линия на графике в двойном логарифмическом масштабе часто называется сигнатурой степенного закона. С реальными данными такая прямолинейность является необходимым, но не достаточным условием для данных, следующих степенному отношению. Фактически, существует много способов генерировать конечные объемы данных, которые имитируют это поведение сигнатуры, но в своем асимптотическом пределе не являются истинными степенными законами. ^{[ необходима ссылка ]} Таким образом, точная подгонка и проверка моделей степенного закона является активной областью исследований в статистике; см. ниже. ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{-k}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Отсутствие четко определенного среднего значения

Степенной закон имеет четко определенное среднее значение только в том случае, если , и имеет конечную дисперсию только в том случае, если ; большинство выявленных степенных законов в природе имеют показатели, такие, что среднее значение четко определено, но дисперсия — нет, что подразумевает, что они способны к поведению черного лебедя . ^[2] Это можно увидеть в следующем мысленном эксперименте: ^[12] представьте себе комнату с друзьями и оцените средний ежемесячный доход в комнате. Теперь представьте, что в комнату входит самый богатый человек в мире с ежемесячным доходом около 1 миллиарда долларов США. Что происходит со средним доходом в комнате? Доход распределяется в соответствии со степенным законом, известным как распределение Парето (например, чистая стоимость активов американцев распределяется в соответствии со степенным законом с показателем 2). ${\displaystyle x^{-k}}$ ${\displaystyle x\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle k>2}$ ${\displaystyle k>3}$

С одной стороны, это делает некорректным применение традиционной статистики, основанной на дисперсии и стандартном отклонении (например, регрессионный анализ ). ^[13] С другой стороны, это также позволяет проводить экономически эффективные вмешательства. ^[12] Например, учитывая, что выхлопные газы автомобилей распределяются по степенному закону среди автомобилей (очень немногие автомобили вносят наибольший вклад в загрязнение), было бы достаточно убрать эти очень немногие автомобили с дороги, чтобы существенно сократить общий объем выхлопных газов. ^[14]

Однако медиана существует: для степенного закона x ^{– k} с показателем ⁠ ⁠ ${\displaystyle k>1}$ она принимает значение 2 ^{1/( k – 1)} x _min , где x _min – минимальное значение, для которого выполняется степенной закон. ^[2]

Универсальность

Эквивалентность степенных законов с определенным показателем масштабирования может иметь более глубокое происхождение в динамических процессах, которые порождают степенное отношение. Например, в физике фазовые переходы в термодинамических системах связаны с возникновением степенных распределений определенных величин, показатели которых называются критическими показателями системы. С помощью теории ренормгрупп можно показать, что различные системы с одинаковыми критическими показателями, то есть которые демонстрируют одинаковое поведение масштабирования по мере приближения к критичности , имеют одну и ту же фундаментальную динамику. Например, поведение воды и CO2 _в точках кипения попадает в один и тот же класс универсальности, поскольку они имеют одинаковые критические показатели. ^{[ необходима цитата ] [ необходима уточнение ]} Фактически, почти все материальные фазовые переходы описываются небольшим набором классов универсальности. Аналогичные наблюдения были сделаны, хотя и не столь всесторонне, для различных самоорганизованных критических систем, где критическая точка системы является аттрактором . Формально такое разделение динамики называется универсальностью , и говорят, что системы с точно такими же критическими показателями принадлежат к одному и тому же классу универсальности .

Степенные функции

Научный интерес к степенным отношениям частично обусловлен легкостью, с которой некоторые общие классы механизмов их порождают. ^[15] Демонстрация степенного отношения в некоторых данных может указывать на определенные виды механизмов, которые могут лежать в основе рассматриваемого природного явления, и может указывать на глубокую связь с другими, на первый взгляд не связанными системами; ^[16] см. также универсальность выше. Повсеместность степенных отношений в физике частично обусловлена ​​размерными ограничениями , в то время как в сложных системах степенные законы часто считаются сигнатурами иерархии или определенных стохастических процессов . Несколько примечательных примеров степенных законов — закон распределения доходов Парето , структурное самоподобие фракталов и законы масштабирования в биологических системах . Исследование происхождения степенных отношений и попытки наблюдать и подтверждать их в реальном мире являются активной темой исследований во многих областях науки, включая физику , информатику , лингвистику , геофизику , нейронауку , систематику , социологию , экономику и другие.

Однако большая часть недавнего интереса к степенным законам исходит из изучения распределений вероятностей : распределения самых разных величин, по-видимому, следуют форме степенного закона, по крайней мере в их верхнем хвосте (крупные события). Поведение этих крупных событий связывает эти величины с изучением теории больших отклонений (также называемой теорией экстремальных значений ), которая рассматривает частоту крайне редких событий, таких как крахи фондового рынка и крупные стихийные бедствия . Название «степенной закон» используется в первую очередь при изучении статистических распределений.

В эмпирических контекстах приближение к степенному закону часто включает в себя термин отклонения , который может представлять неопределенность в наблюдаемых значениях (возможно, ошибки измерения или выборки) или обеспечивать простой способ отклонения наблюдений от функции степенного закона (возможно, по стохастическим причинам): ${\displaystyle o(x^{k})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .\!}$

Математически строгий степенной закон не может быть распределением вероятностей, но распределение, которое является усеченной степенной функцией , возможно: для где показатель степени (греческая буква альфа , не путать с масштабным коэффициентом, использованным выше) больше 1 (иначе хвост имеет бесконечную площадь), необходимо минимальное значение, в противном случае распределение имеет бесконечную площадь, когда x стремится к 0, а константа C является масштабным коэффициентом, чтобы гарантировать, что общая площадь равна 1, как того требует распределение вероятностей. Чаще используют асимптотический степенной закон — тот, который верен только в пределе; подробности см. ниже в разделе степенные распределения вероятностей. Обычно показатель степени попадает в диапазон , хотя и не всегда. ^[10] ${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$ ${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ ${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Примеры

Более сотни степенных распределений были выявлены в физике (например, песчаные лавины), биологии (например, вымирание видов и масса тела) и социальных науках (например, размеры городов и доход). ^[17] Среди них:

Искусственный интеллект

• Закон нейронного масштабирования

Астрономия

• третий закон Кеплера
• Начальная функция масс звезд
• Дифференциальный энергетический спектр ядер космических лучей
• Соотношение М–сигма
• Солнечные вспышки

Биология

• Закон Клейбера, связывающий метаболизм животных с размером, и аллометрические законы в целом
• Закон двух третей, связывающий скорость с кривизной в двигательной системе человека . ^[18]
• Закон Тейлора, связывающий среднюю численность популяции и дисперсию численности популяций в экологии
• Нейронные лавины ^[5]
• Видовое богатство (число видов) в кладах пресноводных рыб ^[19]
• Эффект Харлоу Кнаппа, при котором подмножество киназ, обнаруженных в организме человека, составляет большую часть опубликованных исследований ^[20]
• Размер лесных участков во всем мире подчиняется степенному закону ^[21]
• Зависимость вида от площади, определяющая количество видов, встречающихся на определенной территории, как функцию размера этой территории.

Химия

• Закон о ставке

Климатология

• Размеры облачных зон и периметры, вид из космоса ^[3]
• Размер ячеек ливневой дождевой воды ^[22]
• Рассеивание энергии в циклонах ^[23]
• Диаметры пылевых вихрей на Земле и Марсе ^[24]

Общая наука

• Высоко оптимизированная толерантность
• Предлагаемая форма эффектов кривой опыта
• Розовый шум
• Закон числа рек и закон длин рек ( законы Хортона , описывающие речные системы) ^[25]
• Население городов ( закон Жибрата ) ^[26]
• Библиограммы и частоты слов в тексте ( закон Ципфа ) ^[27]
• Принцип 90–9–1 в вики (также известный как правило 1% ) ^{[28] [29]}
• Закон Ричардсона о серьезности насильственных конфликтов (войн и терроризма) ^{[30] [31]}
• Зависимость между размером кэша ЦП и количеством промахов кэша подчиняется степенному закону промахов кэша .
• Спектральная плотность весовых матриц глубоких нейронных сетей ^[32]
• Связано с экспоненциальным ростом :
  • Хвосты в статистических распределениях для экспоненциальных процессов роста со случайным наблюдением (или уничтожением) ^[33]
  • Прогресс посредством экспоненциального роста и экспоненциального распространения инноваций ^[34]

Экономика

• Численность населения городов региона или городской сети , закон Ципфа .
• Распределение художников по средней цене их произведений искусства. ^[35]
• Распределение доходов в рыночной экономике.
• Распределение степеней в банковских сетях. ^[36]
• Распределение размеров фирм. ^[37]

Финансы

• Доходность высокорисковых венчурных инвестиций ^[38]
• Среднее абсолютное изменение логарифмических средних цен ^[39]
• Большие изменения цен, волатильность и объем транзакций на фондовых биржах ^[40]
• Среднее время ожидания изменения направления ^[41]
• Среднее время ожидания превышения

Математика

• Фракталы
• Распределение Парето и принцип Парето, также называемый «правилом 80–20»
• Закон Ципфа в корпусном анализе и распределении популяций, среди прочего, согласно которому частота элемента или события обратно пропорциональна его частотному рангу (т. е. второй по частоте элемент/событие встречается в два раза реже, чем самый частый элемент, третий по частоте элемент/событие встречается в три раза реже, чем самый частый элемент, и т. д.).
• Распределение Дзета (дискретное)
• Распределение Юла-Саймона (дискретное)
• Распределение Стьюдента (непрерывное), частным случаем которого является распределение Коши
• Закон Лотки
• Модель сети без масштабирования

Физика

• Показатель Ангстрема в аэрозольной оптике
• Частотная зависимость акустического затухания в сложных средах
• Закон Стефана –Больцмана
• Кривые входного напряжения и выходного тока полевых транзисторов и электронных ламп приближаются к квадратичной зависимости, что является фактором « лампового звука ».
• Закон квадрата-куба (отношение площади поверхности к объему)
• В анодных характеристиках триодов можно обнаружить закон 3/2 .
• Законы обратных квадратов ньютоновской гравитации и электростатики , о чем свидетельствуют гравитационный потенциал и электростатический потенциал соответственно.
• Самоорганизованная критичность с критической точкой в ​​качестве аттрактора
• Модель силы Ван-дер-Ваальса
• Сила и потенциал в простом гармоническом движении
• Гамма-коррекция, связывающая интенсивность света с напряжением
• Поведение вблизи фазовых переходов второго рода с участием критических показателей
• Зона безопасной эксплуатации, касающаяся максимального одновременного тока и напряжения в силовых полупроводниковых приборах.
• Сверхкритическое состояние вещества и сверхкритические жидкости , такие как сверхкритические показатели теплоемкости и вязкости . ^[42]
• Закон Кюри -фон Швейдлера в диэлектрических реакциях на ступенчатое постоянное напряжение на входе.
• Зависимость силы демпфирования от скорости в расчетах антисейсмических демпферов
• Сложенные области поверхности центрированных аминокислот в сегментах структуры белка, подвергающиеся воздействию растворителя ^[43]

Политология

• Закон кубического корня размеров сборки

Психология

• Закон психофизики Стивенса ( оспариваемый демонстрациями того, что он может быть логарифмическим ^{[44] [45]} )
• Закон забывания ^[46]

Варианты

Нарушенный степенной закон

Некоторые модели начальной функции масс используют закон сломанной степени; здесь Kroupa (2001) выделено красным.

Ломаный степенной закон — это кусочная функция , состоящая из двух или более степенных законов, объединенных с порогом. Например, с двумя степенными законами: ^[47]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _{1}}}$для ${\displaystyle x<x_{\text{th}},}$

${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}}$.

Плавно нарушенный степенной закон

Части нарушенного степенного закона можно плавно соединить вместе, чтобы построить плавно нарушенный степенной закон.

Существуют различные возможные способы объединения степенных законов. Один из примеров: ^[48] где . $${\displaystyle \ln \left({\frac {y}{y_{0}}}+a\right)=c_{0}\ln \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}-c_{i-1}}{f_{i}}}\ln \left(1+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{f_{i}}\right)}$$ ${\displaystyle 0<x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}$

Когда функция представлена ​​в виде логарифмического графика с горизонтальной осью и вертикальной осью , график состоит из линейных сегментов с наклонами , разделенных на , плавно соединенных вместе. Размер определяет резкость соединения между сегментами . ${\displaystyle \ln x}$ ${\displaystyle \ln(y/y_{0}+a)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle c_{0},c_{1},...,c_{n}}$ ${\displaystyle x=x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i-1,i}$

Степенной закон с экспоненциальным ограничением

Степенной закон с экспоненциальным ограничением — это просто степенной закон, умноженный на экспоненциальную функцию: ^[10]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\beta x}.}$

Криволинейный степенной закон

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$^[49]

Распределение вероятностей по степенному закону

В более широком смысле степенное распределение вероятностей — это распределение, функция плотности которого (или функция массы в дискретном случае) имеет вид для больших значений [ ^50] ${\displaystyle x}$

${\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}}$

где , а — медленно меняющаяся функция , которая является любой функцией, которая удовлетворяет для любого положительного фактора . Это свойство непосредственно следует из требования быть асимптотически масштабно инвариантным; таким образом, форма контролирует только форму и конечную протяженность нижнего хвоста. Например, если — постоянная функция, то мы имеем степенной закон, который справедлив для всех значений . Во многих случаях удобно предположить нижнюю границу , из которой справедлив закон. Объединяя эти два случая, и где — непрерывная переменная, степенной закон имеет вид распределения Парето ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\mathrm {min} }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },}$

где префактор to — это нормирующая константа . Теперь мы можем рассмотреть несколько свойств этого распределения. Например, его моменты задаются как ${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{m}\right)=\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}}$

что хорошо определено только для . То есть, все моменты расходятся: когда , среднее и все моменты более высокого порядка бесконечны; когда , среднее существует, но дисперсия и моменты более высокого порядка бесконечны и т. д. Для выборок конечного размера, взятых из такого распределения, это поведение подразумевает, что центральные оценки моментов (такие как среднее и дисперсия) для расходящихся моментов никогда не сойдутся — по мере накопления большего количества данных они продолжают расти. Эти степенные распределения вероятностей также называются распределениями типа Парето, распределениями с хвостами Парето или распределениями с регулярно меняющимися хвостами. ${\displaystyle m<\alpha -1}$ ${\displaystyle m\geq \alpha -1}$ ${\displaystyle \alpha \leq 2}$ ${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Модификация, которая не удовлетворяет общей форме выше, с экспоненциальным отсечением, ^[10 ]

${\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.}$

В этом распределении экспоненциальный член распада в конечном итоге подавляет поведение степенного закона при очень больших значениях . Это распределение не масштабируется ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]} и, таким образом, не является асимптотически как степенной закон; однако, оно приблизительно масштабируется в конечной области до отсечки. Чистая форма выше является подмножеством этого семейства, с . Это распределение является распространенной альтернативой асимптотическому степенному распределению, поскольку оно естественным образом улавливает эффекты конечного размера. ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda =0}$

Распределения Твиди представляют собой семейство статистических моделей, характеризующихся закрытостью при аддитивной и репродуктивной свертке, а также при масштабном преобразовании. Следовательно, все эти модели выражают степенную зависимость между дисперсией и средним значением. Эти модели играют фундаментальную роль в качестве фокусов математической сходимости, аналогичную роли, которую нормальное распределение играет в качестве фокуса в центральной предельной теореме . Этот эффект сходимости объясняет, почему закон дисперсии к среднему так широко проявляется в естественных процессах, как в случае закона Тейлора в экологии и масштабирования флуктуаций ^[51] в физике. Можно также показать, что этот закон дисперсии к среднему значению, продемонстрированный методом расширяющихся бинов , подразумевает наличие шума 1/ f и что шум 1/ f может возникнуть как следствие этого эффекта сходимости Твиди. ^[52]

Графические методы идентификации

Хотя были предложены более сложные и надежные методы, наиболее часто используемыми графическими методами идентификации степенных распределений вероятностей с использованием случайных выборок являются графики квантилей-квантилей Парето (или графики Q–Q Парето ), ^{[ требуется ссылка ]} графики средней остаточной продолжительности жизни ^{[53] [54]} и графики в логарифмических координатах . Другой, более надежный графический метод использует пучки функций остаточных квантилей. ^[55] (Пожалуйста, имейте в виду, что степенные распределения также называются распределениями типа Парето.) Здесь предполагается, что случайная выборка получена из распределения вероятностей, и что мы хотим узнать, следует ли хвост распределения степенному закону (другими словами, мы хотим узнать, есть ли у распределения «хвост Парето»). Здесь случайная выборка называется «данными».

Диаграммы Q–Q Парето

Диаграммы Парето Q–Q сравнивают квантили логарифмически преобразованных данных с соответствующими квантилями экспоненциального распределения со средним значением 1 (или с квантилями стандартного распределения Парето) путем построения графика первого против второго. Если полученная диаграмма рассеивания предполагает, что нанесенные на график точки асимптотически сходятся к прямой линии, то следует подозревать распределение по степенному закону. Ограничением диаграмм Парето Q–Q является то, что они ведут себя плохо, когда индекс хвоста (также называемый индексом Парето) близок к 0, поскольку диаграммы Парето Q–Q не предназначены для идентификации распределений с медленно меняющимися хвостами. ^[55] ${\displaystyle \alpha }$

Графики среднего остаточного ресурса

С другой стороны, в своей версии для идентификации степенных распределений вероятностей график средней остаточной жизни состоит из первого логарифмического преобразования данных, а затем построения среднего значения тех логарифмически преобразованных данных, которые выше статистики i -го порядка, по сравнению со статистикой i -го порядка, для i  = 1, ...,  n , где n — размер случайной выборки. Если полученная диаграмма рассеяния предполагает, что нанесенные точки имеют тенденцию стабилизироваться около горизонтальной прямой линии, то следует подозревать степенное распределение. Поскольку график средней остаточной жизни очень чувствителен к выбросам (он не является надежным), он обычно создает графики, которые трудно интерпретировать; по этой причине такие графики обычно называют графиками ужасов Хилла. ^[56]

Логарифмические графики

Прямая линия на графике в двойном логарифмическом масштабе необходима, но недостаточна для доказательства степенных законов; наклон прямой линии соответствует показателю степенного закона.

Логарифмические графики являются альтернативным способом графического исследования хвоста распределения с использованием случайной выборки. Логарифмирование степенного закона вида приводит к: ^[57] ${\displaystyle f(x)=ax^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log(f(x))&=\log(ax^{k})\\&=\log(a)+\log(x^{k})\\&=\log(a)+k\cdot \log(x),\end{aligned}}}$

которая образует прямую линию с наклоном в двойном логарифмическом масштабе. Однако следует проявлять осторожность, поскольку график в двойном логарифмическом масштабе является необходимым, но недостаточным доказательством степенной зависимости, поскольку многие нестепенные распределения будут отображаться в виде прямых линий на графике в двойном логарифмическом масштабе. ^{[10] [58]} Этот метод заключается в построении логарифма оценочной функции вероятности того, что определенное число распределения встречается в сравнении с логарифмом этого конкретного числа. Обычно эта оценочная функция представляет собой долю раз, когда число встречается в наборе данных. Если точки на графике имеют тенденцию сходиться к прямой линии для больших чисел по оси x, то исследователь приходит к выводу, что распределение имеет степенной хвост. Были опубликованы примеры применения этих типов графиков. ^[59] Недостатком этих графиков является то, что для того, чтобы они обеспечивали надежные результаты, они требуют огромных объемов данных. Кроме того, они подходят только для дискретных (или сгруппированных) данных. ${\displaystyle k}$

Связки участков

Был предложен еще один графический метод идентификации степенных распределений вероятностей с использованием случайных выборок. ^[55] Эта методология состоит из построения графика пучка для логарифмически преобразованной выборки . Первоначально предложенный как инструмент для исследования существования моментов и функции генерации моментов с использованием случайных выборок, методология пучка основана на остаточных квантильных функциях (RQF), также называемых остаточными процентильными функциями, ^{[60] [61] [62] [63] [64] [65] [66],} которые обеспечивают полную характеристику поведения хвоста многих известных распределений вероятностей, включая степенные распределения, распределения с другими типами тяжелых хвостов и даже распределения без тяжелых хвостов. Графики пучка не имеют недостатков графиков Парето Q–Q, графиков средней остаточной продолжительности жизни и графиков логарифмов, упомянутых выше (они устойчивы к выбросам, позволяют визуально идентифицировать степенные законы с малыми значениями и не требуют сбора большого количества данных). ^{[ необходима цитата ]} Кроме того, с помощью диаграмм пучков можно определить и другие типы поведения хвоста. ${\displaystyle \alpha }$

Построение графиков степенных распределений

В общем, степенные распределения строятся на двойных логарифмических осях , что подчеркивает верхнюю хвостовую область. Наиболее удобный способ сделать это — использовать (дополнительное) кумулятивное распределение (ccdf), то есть функцию выживания , , ${\displaystyle P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)}$

${\displaystyle P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X)\,\mathrm {d} X={\frac {\alpha -1}{x_{\min }^{-\alpha +1}}}\int _{x}^{\infty }X^{-\alpha }\,\mathrm {d} X=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-(\alpha -1)}.}$

Функция cdf также является степенной функцией, но с меньшим показателем масштабирования. Для данных эквивалентной формой cdf является подход ранг-частота, в котором мы сначала сортируем наблюдаемые значения в порядке возрастания и наносим их на график против вектора . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]}$

Хотя может быть удобно логарифмировать данные или иным образом сглаживать функцию плотности вероятности (массы) напрямую, эти методы вносят неявное смещение в представление данных, и поэтому их следует избегать. ^{[10] [67]} Функция выживания, с другой стороны, более устойчива к (но не без) таким смещениям в данных и сохраняет линейную сигнатуру на двойных логарифмических осях. Хотя представление функции выживания предпочтительнее, чем представление pdf при подгонке степенного закона к данным с помощью линейного метода наименьших квадратов, оно не лишено математической неточности. Таким образом, при оценке показателей степенного распределения рекомендуется использовать оценку максимального правдоподобия.

Оценка показателя степени по эмпирическим данным

Существует много способов оценки значения показателя масштабирования для хвоста степенного закона, однако не все из них дают непредвзятые и последовательные ответы . Некоторые из наиболее надежных методов часто основаны на методе максимального правдоподобия . Альтернативные методы часто основаны на создании линейной регрессии либо на логарифмической вероятности, либо на логарифмической кумулятивной функции распределения, либо на логарифмически сгруппированных данных, но этих подходов следует избегать, поскольку все они могут привести к сильно предвзятым оценкам показателя масштабирования. ^[10]

Максимальная вероятность

Для действительных, независимых и одинаково распределенных данных мы подбираем степенное распределение вида

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

к данным , где коэффициент включен для обеспечения нормализации распределения . При выборе для функция логарифмического правдоподобия становится: ${\displaystyle x\geq x_{\min }}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$ ${\displaystyle x_{\min }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\alpha )=\log \prod _{i=1}^{n}{\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

Максимум этого правдоподобия находится путем дифференцирования по параметру , приравнивая результат к нулю. После перестановки это дает уравнение оценки: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=1+n\left[\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right]^{-1}}$

где — точки данных . ^{[2] [68]} Эта оценка демонстрирует небольшое смещение конечного размера выборки порядка , которое мало при n  > 100. Кроме того, стандартная ошибка оценки равна . Эта оценка эквивалентна популярной ^{[ требуется цитирование ]} оценке Хилла из количественной финансовой теории и теории экстремальных значений . ^{[ требуется цитирование ]} ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$ ${\displaystyle O(n^{-1})}$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})}$

Для набора из n целочисленных точек данных , где снова каждая , показатель максимального правдоподобия является решением трансцендентного уравнения ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$

${\displaystyle {\frac {\zeta '({\hat {\alpha }},x_{\min })}{\zeta ({\hat {\alpha }},x_{\min })}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}}$

где — неполная дзета-функция . Неопределенность в этой оценке следует той же формуле, что и для непрерывного уравнения. Однако два уравнения для не эквивалентны, и непрерывная версия не должна применяться к дискретным данным, и наоборот. ${\displaystyle \zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Кроме того, обе эти оценки требуют выбора . Для функций с нетривиальной функцией выбор слишком малого значения приводит к значительному смещению в , тогда как выбор слишком большого значения увеличивает неопределенность в , и снижает статистическую мощность нашей модели. В целом, лучший выбор сильно зависит от конкретной формы нижнего хвоста, представленного выше. ${\displaystyle x_{\min }}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle x_{\min }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle x_{\min }}$ ${\displaystyle L(x)}$

Более подробную информацию об этих методах и условиях, при которых их можно использовать, можно найти в ^[10] . Кроме того, в этой комплексной обзорной статье представлен пригодный для использования код (Matlab, Python, R и C++) для процедур оценки и тестирования степенных распределений.

Оценка Колмогорова–Смирнова

Другой метод оценки показателя степенного закона, который не предполагает независимости и одинакового распределения (iid) данных, использует минимизацию статистики Колмогорова–Смирнова , , между кумулятивными функциями распределения данных и степенным законом: ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\underset {\alpha }{\operatorname {arg\,min} }}\,D_{\alpha }}$

с

${\displaystyle D_{\alpha }=\max _{x}|P_{\mathrm {emp} }(x)-P_{\alpha }(x)|}$

где и обозначают cdfs данных и степенной закон с показателем , соответственно. Поскольку этот метод не предполагает iid данных, он предоставляет альтернативный способ определения показателя степенного закона для наборов данных, в которых временная корреляция не может быть проигнорирована. ^[5] ${\displaystyle P_{\mathrm {emp} }(x)}$ ${\displaystyle P_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Метод двухточечной подгонки

Этот критерий ^[69] может быть применен для оценки показателя степенного закона в случае безмасштабных распределений и обеспечивает более сходящуюся оценку, чем метод максимального правдоподобия. Он был применен для изучения вероятностных распределений апертур трещин. В некоторых контекстах распределение вероятностей описывается не кумулятивной функцией распределения , а кумулятивной частотой свойства X , определяемой как число элементов на метр (или единицу площади, секунду и т. д.), для которых применяется X  >  x , где x — переменное действительное число. Например, ^{[ требуется ссылка ]} кумулятивное распределение апертуры трещины X для выборки из N элементов определяется как «число трещин на метр, имеющих апертуру больше x» . Использование кумулятивной частоты имеет некоторые преимущества, например, оно позволяет помещать на одну и ту же диаграмму данные, собранные с линий выборки разной длины в разных масштабах (например, с обнажения и с микроскопа).

Проверка степенных законов

Хотя степенные соотношения привлекательны по многим теоретическим причинам, демонстрация того, что данные действительно следуют степенному соотношению, требует большего, чем просто подгонка конкретной модели к данным. ^[34] Это важно для понимания механизма, который приводит к распределению: внешне похожие распределения могут возникать по существенно разным причинам, и разные модели дают разные прогнозы, такие как экстраполяция.

Например, логнормальное распределение часто ошибочно принимают за степенное распределение: ^[70] набор данных, полученный из логнормального распределения, будет приблизительно линейным для больших значений (что соответствует верхнему хвосту логнормального распределения, близкому к степенному закону) ^{[ необходимо пояснение ]} , но для малых значений логнормальное распределение будет значительно падать (прогибаться), что соответствует малому нижнему хвосту логнормального распределения (в степенном законе очень мало малых значений, а не много малых значений). ^{[ необходимо цитирование ]}

Например, закон Жибрата о пропорциональных процессах роста создает распределения, которые являются логнормальными, хотя их графики логарифмического распределения выглядят линейными в ограниченном диапазоне. Объяснение этого заключается в том, что хотя логарифм логарифмической нормальной функции плотности является квадратичным по log( x ) , что дает «изогнутую» форму на графике логарифмического распределения, если квадратичный член мал по сравнению с линейным членом, то результат может казаться почти линейным, а логарифмическое поведение заметно только тогда, когда доминирует квадратичный член, что может потребовать значительно больше данных. Следовательно, график логарифмического распределения, который слегка «изогнут» вниз, может отражать логарифмически нормальное распределение, а не степенной закон.

В целом, многие альтернативные функциональные формы могут в некоторой степени следовать форме степенного закона. ^[71] Stumpf & Porter (2012) предложили построить график эмпирической кумулятивной функции распределения в области двойного логарифма и заявили, что кандидат на степенной закон должен охватывать по крайней мере два порядка величины. ^[72] Кроме того, исследователи обычно сталкиваются с проблемой принятия решения о том, следует ли распределение вероятностей в реальном мире степенному закону. В качестве решения этой проблемы Диас ^[55] предложил графическую методологию, основанную на случайных выборках, которые позволяют визуально различать различные типы поведения хвостов. Эта методология использует пучки остаточных квантильных функций, также называемых процентильными остаточными функциями жизни, которые характеризуют множество различных типов хвостов распределения, включая как тяжелые, так и нетяжелые хвосты. Однако Stumpf & Porter (2012) заявили о необходимости как статистической, так и теоретической основы для поддержки степенного закона в базовом механизме, управляющем процессом генерации данных. ^[72]

Один из методов проверки степенного отношения проверяет множество ортогональных предсказаний конкретного генеративного механизма по данным. Простая подгонка степенного отношения к определенному виду данных не считается рациональным подходом. Таким образом, проверка утверждений степенного права остается очень активной областью исследований во многих областях современной науки. ^[10]

Смотрите также

• Распределение с толстым хвостом
• Распределения с тяжелыми хвостами
• Гиперболический рост
• Полет Леви
• Длинный хвост
• Низкая степень насыщения
• Распределение Парето
• Жидкость степенного закона
• модель Саймона
• Стабильное распределение
• Закон степени Стивенса

Ссылки

Примечания

1. Янир Бар-Ям. "Концепции: степенной закон". New England Complex Systems Institute . Получено 18 августа 2015 г.
2. Newman, MEJ (2005). «Степенные законы, распределения Парето и закон Ципфа». Contemporary Physics . 46 (5): 323–351. arXiv : cond-mat/0412004 . Bibcode : 2005ConPh..46..323N. doi : 10.1080/00107510500052444. S2CID  202719165.
3. DeWitt, Thomas D.; Garrett, Timothy J.; Rees, Karlie N.; Bois, Corey; Krueger, Steven K.; Ferlay, Nicolas (2024-01-05). «Климатологически инвариантная масштабная инвариантность, наблюдаемая в распределениях горизонтальных размеров облаков». Atmospheric Chemistry and Physics . 24 (1): 109–122. Bibcode : 2024ACP....24..109D. doi : 10.5194/acp-24-109-2024 . ISSN  1680-7316.
4. Humphries NE, Queiroz N, Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW (2010). «Экологический контекст объясняет закономерности движения морских хищников по законам Леви и Броуновского движения» (PDF) . Nature . 465 (7301): 1066–1069. Bibcode : 2010Natur.465.1066H. doi : 10.1038/nature09116. PMID  20531470. S2CID  4316766.
5. Klaus A, Yu S, Plenz D (2011). Zochowski M (ред.). "Статистический анализ подтверждает степенные распределения, обнаруженные в нейронных лавинах". PLOS ONE . ​​6 (5). e19779. Bibcode :2011PLoSO...619779K. doi : 10.1371/journal.pone.0019779 . PMC 3102672 . PMID  21720544. 
6. Альберт и Рейс 2011, стр.  ^{[ нужна страница ]} .
7. Каннаво, Флавио; Нуннари, Джузеппе (2016-03-01). «О возможном едином законе масштабирования для продолжительности вулканических извержений». Scientific Reports . 6 : 22289. Bibcode :2016NatSR...622289C. doi :10.1038/srep22289. ISSN  2045-2322. PMC 4772095 . PMID  26926425. 
8. Стивенс, СС (1957). «О психофизическом законе». Psychological Review . 64 (3): 153–181. doi :10.1037/h0046162. PMID  13441853.
9. Staddon, JER (1978). «Теория поведенческих функций власти». Psychological Review . 85 (4): 305–320. doi :10.1037/0033-295x.85.4.305. hdl : 10161/6003 .
10. Clauset, Шализи и Ньюман, 2009.
11. Ван Дроогенбрук, Франс Дж., «Завершение стандартной степенной модели путем включения верхних и нижних границ вероятности» (2023).
12. "9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias" . Ютуб . 31 декабря 2013 г.
13. Талеб, Нассим Николас; Бар-Ям, Янир; Чирилло, Паскуале (2020-10-20). «О прогнозах по одной точке для переменных с толстым хвостом». Международный журнал прогнозирования . 38 (2): 413–422. doi : 10.1016/j.ijforecast.2020.08.008 . ISSN  0169-2070. PMC 7572356. PMID 33100449.  S2CID 220919883  . 
14. Малкольм Гладуэлл (13 февраля 2006 г.). «Мюррей на миллион долларов». Архивировано из оригинала 2015-03-18 . Получено 2015-06-14 .
15. Сорнетт 2006.
16. Саймон 1955.
17. Андриани, П.; Маккелви, Б. (2007). «За пределами гауссовых средних: перенаправление международных исследований бизнеса и менеджмента на экстремальные события и степенные законы». Журнал международных бизнес-исследований . 38 (7): 1212–1230. doi :10.1057/palgrave.jibs.8400324. S2CID  512642.
18. Лакуанити, Франческо ; Терцуоло, Карло; Вивиани, Паоло (1983). «Закон, связывающий кинематические и фигуральные аспекты движений рисунка». Acta Psychologica . 54 (1–3): 115–130. doi :10.1016/0001-6918(83)90027-6. PMID  6666647. S2CID  5144040.
19. Альберт, Дж. С.; Барт, Х. Дж.; Рейс, Р. Э. «Видовое богатство и кладальное разнообразие». В Albert & Reis (2011), стр. 89–104.
20. Ю, Фрэнк Х.; Уилсон, Тимоти; Фрай, Стивен; Эдвардс, Алед; Бейдер, Гэри Д.; Иссерлин, Рут (2011-02-02). «Геном человека и открытие лекарств спустя десятилетие. Дороги (все еще) не выбраны». Nature . 470 (7333): 163–165. arXiv : 1102.0448v2 . Bibcode :2011Natur.470..163E. doi :10.1038/470163a. ​​PMID  21307913. S2CID  4429387.
21. Саравия, Леонардо А.; Дойл, Сантьяго Р.; Бонд-Ламберти, Бен (10.12.2018). «Степень законов и критическая фрагментация в глобальных лесах». Scientific Reports . 8 (1): 17766. Bibcode :2018NatSR...817766S. doi :10.1038/s41598-018-36120-w. ISSN  2045-2322. PMC 6288094 . PMID  30532065. 
22. Machado L, Rossow, WB (1993). "Структурные характеристики и радиальные свойства тропических облачных скоплений". Monthly Weather Review . 121 (12): 3234–3260. doi : 10.1175/1520-0493(1993)121<3234:scarpo>2.0.co;2 .
23. Коррал, А, Оссо, А, Ллебо, Дж. Э. (2010). «Масштабирование рассеивания тропических циклонов». Nature Physics . 6 (9): 693–696. arXiv : 0910.0054 . Bibcode : 2010NatPh...6..693C. doi : 10.1038/nphys1725. S2CID  67754747.
24. Лоренц РД (2009). «Степенной закон диаметров пылевых вихрей на Земле и Марсе». Icarus . 203 (2): 683–684. Bibcode :2009Icar..203..683L. doi :10.1016/j.icarus.2009.06.029.
25. "Законы Хортона – Пример". www.engr.colostate.edu . Получено 2018-09-30 .
26. Саттон, Дж. (1997), «Наследие Гибрата», Журнал экономической литературы XXXV, 40–59.
27. Ли, В. (ноябрь 1999 г.). «Случайные тексты демонстрируют распределение частот слов, подобное закону Ципфа». Труды IEEE по теории информации . 38 (6): 1842–1845. doi :10.1109/18.165464. ISSN  0018-9448.
28. Кертис, Вики (2018-04-20). Онлайновая гражданская наука и расширение академии: распределенное взаимодействие с исследованиями и производством знаний. Springer. ISBN 978-3-319-77664-4.
29. Крото, Дэвид; Хойнс, Уильям (2013-11-06). Медиа/Общество: Отрасли, Образы и Аудитория. SAGE Publications. ISBN 978-1-4833-2355-8.
30. Льюис Фрай Ричардсон (1950). Статистика смертельных ссор .
31. Берреби, Дэвид (31 июля 2014 г.). «Облачно, возможна война». Журнал Nautilus . Получено 22 октября 2020 г.
32. Мартин, Чарльз Х.; Махони, Майкл У. (2018-10-02). «Неявная саморегуляризация в глубоких нейронных сетях: доказательства из теории случайных матриц и последствия для обучения». arXiv : 1810.01075 [cs.LG].
33. Рид, У. Дж.; Хьюз, Б. Д. (2002). «От семейств генов и родов до доходов и размеров интернет-файлов: почему степенные законы так распространены в природе» (PDF) . Phys Rev E. 66 ( 6): 067103. Bibcode : 2002PhRvE..66f7103R. doi : 10.1103/physreve.66.067103. PMID  12513446.
34. Hilbert, Martin (2013). «Масштабно-свободные степенные законы как взаимодействие между прогрессом и диффузией». Сложность (Представленная рукопись). 19 (4): 56–65. Bibcode :2014Cmplx..19d..56H. doi :10.1002/cplx.21485.
35. Этро, Ф.; Степанова, Е. (2018). «Степень законов в искусстве». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 506 : 217–220. Bibcode : 2018PhyA..506..217E. doi : 10.1016/j.physa.2018.04.057. hdl : 11382/522706 . S2CID  126347599.
36. Фрике, Даниэль; Люкс, Томас (2015-02-13). «О распределении связей в межбанковской сети: данные с рынка однодневных денег e-MID» (PDF) . Эмпирическая экономика . 49 (4). Springer Science and Business Media LLC: 1463–1495. doi :10.1007/s00181-015-0919-x. ISSN  0377-7332. S2CID  154684126.
37. «Гранулированные истоки агрегированных колебаний». Econometrica . 79 (3): 733–772. 2011. doi :10.3982/ecta8769. ISSN  0012-9682.
38. Ньюман, Джерри (2015-06-25). "Степень законов в венчурном капитале". ReactionWheel . Получено 2023-10-11 .
39. Мюллер, Ульрих А.; Дакоронья, Мишель М.; Ольсен, Ричард Б.; Пикте, Оливье В.; Шварц, Маттиас; Моргенегг, Клод (1990-12-01). «Статистическое исследование валютных курсов, эмпирические доказательства закона масштабирования изменения цен и внутридневной анализ». Журнал банковского дела и финансов . 14 (6): 1189–1208. doi :10.1016/0378-4266(90)90009-Q. ISSN  0378-4266.
40. Люкс, Томас А.; Альфарано, Симоне (2016). «Финансовые степенные законы: эмпирические данные, модели и механизмы». Хаос, солитоны и фракталы . 88 : 3–18. Bibcode :2016CSF....88....3L. doi :10.1016/j.chaos.2016.01.020.
41. Глаттфельдер, Дж. Б.; Дюпюи, А.; Олсен, Р. Б. (01.04.2011). «Закономерности в высокочастотных данных FX: открытие 12 эмпирических законов масштабирования». Количественные финансы . 11 (4): 599–614. arXiv : 0809.1040 . doi : 10.1080/14697688.2010.481632. ISSN  1469-7688. S2CID  154979612.
42. Болматов, Д.; Бражкин, В.В.; Траченко, К. (2013). "Термодинамическое поведение сверхкритической материи". Nature Communications . 4 : 2331. arXiv : 1303.3153 . Bibcode :2013NatCo...4.2331B. doi :10.1038/ncomms3331. PMID  23949085. S2CID  205319155.
43. Moret, M.; Zebende, G. (2007). «Гидрофобность аминокислот и доступная площадь поверхности». Physical Review E. 75 ( 1 Pt 1). 011920. Bibcode :2007PhRvE..75a1920M. doi :10.1103/PhysRevE.75.011920. PMID  17358197.
44. Маккей, Д. М. (1963). «Психофизика воспринимаемой интенсивности: Теоретическая основа законов Фехнера и Стивенса». Science . 139 (3560): 1213–1216. Bibcode :1963Sci...139.1213M. doi :10.1126/science.139.3560.1213-a. S2CID  122501807.
45. Staddon, JER (1978). "Теория поведенческих функций власти" (PDF) . Psychological Review . 85 (4): 305–320. doi :10.1037/0033-295x.85.4.305. hdl : 10161/6003 .
46. Джон Т. Викстед; Шана К. Карпентер. «Закон степеней Викельгрена и функция сбережений Эббингауза» (PDF) . Психологическая наука . Архивировано из оригинала (PDF) 8 апреля 2016 г. . Получено 31 августа 2016 г. .
47. Йоханнессон, Гудлаугур; Бьёрнссон, Гуннлаугур; Гудмундссон, Эйнар Х. (2006). «Кривые послесвечения и сломанные степенные законы: статистическое исследование». The Astrophysical Journal . 640 (1): L5. arXiv : astro-ph/0602219 . Bibcode :2006ApJ...640L...5J. doi :10.1086/503294. S2CID  16139116.
48. Кабальеро, Итан; Гупта, Кшитидж; Риш, Ирина; Крюгер, Дэвид (24 апреля 2023 г.). «Нарушенные законы нейронного масштабирования». arXiv : 2210.14891 [cs.LG].
49. "Закон криволинейной мощности". Архивировано из оригинала 2016-02-08 . Получено 2013-07-07 .
50. NH Bingham, CM Goldie и JL Teugels, Регулярная вариация. Cambridge University Press, 1989
51. Кендал, WS; Йоргенсен, B (2011). «Степенной закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясненные сходимостью, подобной центральному пределу». Phys. Rev. E. 83 ( 6): 066115. Bibcode : 2011PhRvE..83f6115K. doi : 10.1103/physreve.83.066115. PMID  21797449.
52. Кендал, WS; Йоргенсен, BR (2011). "Сходимость Твиди: математическая основа степенного закона Тейлора, шума 1/f и мультифрактальности" (PDF) . Phys. Rev. E . 84 (6): 066120. Bibcode :2011PhRvE..84f6120K. doi :10.1103/physreve.84.066120. PMID  22304168.
53. Бейрлант, Дж., Тейгельс, Дж. Л., Винкиер, П. (1996) Практический анализ экстремальных значений , Лёвен: Издательство Лёвенского университета
54. Коулз, С. (2001) Введение в статистическое моделирование экстремальных значений . Springer-Verlag, Лондон.
55. Diaz, FJ (1999). «Идентификация поведения хвоста с помощью функций остаточного квантиля». Журнал вычислительной и графической статистики . 8 (3): 493–509. doi :10.2307/1390871. JSTOR  1390871.
56. Резник, СИ (1997). «Моделирование тяжелого хвоста и данные телетрафика». Анналы статистики . 25 (5): 1805–1869. doi : 10.1214/aos/1069362376 .
57. //www.физика.pomona.edu/sixideas/old/labs/LRM/LR05.pdf .
58. «Итак, вы думаете, что у вас есть степенной закон — разве это не особенно?». bactra.org . Получено 27 марта 2018 г.
59. Jeong, H.; Tombor, B. Albert; Oltvai, ZN; Barabasi, A.-L. (2000). «Крупномасштабная организация метаболических сетей». Nature . 407 (6804): 651–654. arXiv : cond-mat/0010278 . Bibcode :2000Natur.407..651J. doi :10.1038/35036627. PMID  11034217. S2CID  4426931.
60. Арнольд, BC; Брокетт, PL (1983). «Когда функция остаточного срока службы β-го процентиля определяет распределение?». Исследование операций . 31 (2): 391–396. doi :10.1287/opre.31.2.391.
61. Джо, Х.; Прошан, Ф. (1984). «Процентильные остаточные функции жизни». Исследование операций . 32 (3): 668–678. doi :10.1287/opre.32.3.668.
62. Джо, Х. (1985), «Характеристики распределений продолжительности жизни по процентильным остаточным продолжительностям жизни», Ann. Inst. Statist. Math. 37, Часть A, 165–172.
63. Csorgo, S.; Viharos, L. (1992). "Доверительные полосы для процентильных остаточных сроков службы" (PDF) . Журнал статистического планирования и вывода . 30 (3): 327–337. doi :10.1016/0378-3758(92)90159-p. hdl : 2027.42/30190 .
64. Шмиттлейн, Д.К.; Моррисон, Д.Г. (1981). «Медианное остаточное время жизни: теорема о характеризации и ее применение». Исследование операций . 29 (2): 392–399. doi :10.1287/opre.29.2.392.
65. Моррисон, Д. Г.; Шмиттлейн, Д. К. (1980). «Работа, забастовки и войны: вероятностные модели для продолжительности». Организационное поведение и эффективность человека . 25 (2): 224–251. doi :10.1016/0030-5073(80)90065-3.
66. Герчак, Y (1984). «Снижение показателей неудач и связанные с этим проблемы в социальных науках». Operations Research . 32 (3): 537–546. doi :10.1287/opre.32.3.537.
67. Bauke, H. (2007). «Оценка параметров степенных распределений методами максимального правдоподобия». European Physical Journal B. 58 ( 2): 167–173. arXiv : 0704.1867 . Bibcode : 2007EPJB...58..167B. doi : 10.1140/epjb/e2007-00219-y. S2CID  119602829.
68. Холл, П. (1982). «О некоторых простых оценках показателя регулярной вариации». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 44 ( 1): 37–42. doi :10.1111/j.2517-6161.1982.tb01183.x. JSTOR  2984706.
69. Геррьеро, Винченцо; Витале, Стефано; Чиарсия, Сабатино; Маццоли, Стефано (9 мая 2011 г.). «Улучшенный статистический многомасштабный анализ аналогов трещиноватого коллектора». Тектонофизика . 504 (1): 14–24. Бибкод : 2011Tectp.504...14G. doi :10.1016/j.tecto.2011.01.003. ISSN  0040-1951.
70. Митценмахер 2004.
71. Лаэррер и Сорнетт 1998.
72. Stumpf & Porter 2012.

Библиография

• Альберт, Дж. С.; Рейс, Р. Э., ред. (2011). Историческая биогеография неотропических пресноводных рыб. Беркли: Издательство Калифорнийского университета.
• Бак, Пер (1997). Как работает природа . Oxford University Press. ISBN 0-19-850164-1.
• Бьюкенен, Марк (2000). Вездесущность . Вайденфельд и Николсон. ISBN 0-297-64376-2.
• Clauset, A.; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). «Распределения по степенному закону в эмпирических данных». SIAM Review . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C. doi : 10.1137/070710111. S2CID  9155618.
• Laherrère, J.; Sornette, D. (1998). «Растянутые экспоненциальные распределения в природе и экономике: «толстые хвосты» с характерными масштабами». European Physical Journal B . 2 (4): 525–539. arXiv : cond-mat/9801293 . Bibcode :1998EPJB....2..525L. doi :10.1007/s100510050276. S2CID  119467988.
• Митценмахер, М. (2004). «Краткая история генеративных моделей для степенного закона и логнормальных распределений» (PDF) . Интернет-математика . 1 (2): 226–251. doi : 10.1080/15427951.2004.10129088 . S2CID  1671059.
• Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009). Теория закона Ципфа и далее . Конспект лекций по экономике и математическим системам. Том 632. Springer. ISBN 978-3-642-02945-5.
• Саймон, HA (1955). «О классе функций косого распределения». Biometrika . 42 (3/4): 425–440. doi :10.2307/2333389. JSTOR  2333389.
• Sornette, Didier (2006). Критические явления в естественных науках: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: концепции и инструменты . Springer Series in Synergetics (2-е изд.). Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-30882-9.
• Stumpf, MPH; Porter, MA (2012). «Критические истины о степенных законах». Science . 335 (6069): 665–666. Bibcode :2012Sci...335..665S. doi :10.1126/science.1216142. PMID  22323807. S2CID  206538568.

Внешние ссылки

• Zipf, Power-laws и Pareto – руководство по ранжированию Архивировано 26 октября 2007 г. на Wayback Machine
• Морфометрия рек и законы Хортона
• «Как финансовые гуру ошибаются в оценке риска» Бенуа Мандельброта и Нассима Николаса Талеба. Fortune , 11 июля 2005 г.
• «Мюррей на миллион долларов»: степенное распределение бездомности и других социальных проблем; Малкольм Гладуэлл . The New Yorker , 13 февраля 2006 г.
• Бенуа Мандельброт и Ричард Хадсон: Неправильное поведение рынков (2004)
• Филип Болл: Критическая масса: как одно приводит к другому (2005)
• Тирания степенного закона из блога Econophysics
• Итак, вы думаете, что у вас есть степенной закон — разве это не особенно? из Three-Toed Sloth, блога Космы Шализи , профессора статистики в Университете Карнеги-Меллона.
• Простой скрипт MATLAB, который группирует данные для иллюстрации степенного распределения (если таковое имеется) в данных.
• Сервер веб-графа Erdős, архивированный 01.03.2021 на Wayback Machine, визуализирует распределение степеней веб-графа на странице загрузки.