Матрицы Паули

Матрицы важны в квантовой механике и изучении спина

Вольфганг Паули (1900–1958), ок. 1924 г. Паули получил Нобелевскую премию по физике в 1945 г., номинированную Альбертом Эйнштейном , за принцип запрета Паули .

В математической физике и математике матрицы Паули представляют собой набор из трех комплексных матриц 2 × 2 , которые являются бесследовыми, эрмитовыми , инволютивными и унитарными . Обычно обозначаются греческой буквой сигма ( σ ), иногда их обозначают тау ( τ ), когда они используются в связи с симметриями изоспина . $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\\\end{aligned}}}$$

Эти матрицы названы в честь физика Вольфганга Паули . В квантовой механике они встречаются в уравнении Паули , которое учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем . Они также представляют собой состояния взаимодействия двух поляризационных фильтров для горизонтальной/вертикальной поляризации, поляризации под углом 45 градусов (правый/левый) и круговой поляризации (правый/левый).

Каждая матрица Паули является эрмитовой , и вместе с единичной матрицей I (иногда рассматриваемой как нулевая матрица Паули σ ₀ ) матрицы Паули образуют базис для действительного векторного пространства эрмитовых матриц 2 × 2. Это означает, что любая эрмитова матрица 2 × 2 может быть записана единственным образом как линейная комбинация матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.

Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых комплексного двумерного гильбертова пространства . В контексте работы Паули σ _k представляет наблюдаемую, соответствующую спину вдоль k-й оси координат в трехмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Матрицы Паули (после умножения на i, чтобы сделать их антиэрмитовыми ) также генерируют преобразования в смысле алгебр Ли : матрицы iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ образуют базис для действительной алгебры Ли , которая экспонентируется в специальную унитарную группу SU(2) . ^[a] Алгебра , порожденная тремя матрицами σ ₁ , σ ₂ , σ _{3 ,} изоморфна алгебре Клиффорда из [ ^1] , а (унитальная) ассоциативная алгебра, порожденная iσ ₁ , iσ ₂ , iσ _{3 ,} функционирует тождественно ( изоморфна ) алгебре кватернионов ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Алгебраические свойства

Все три матрицы Паули можно свести к одному выражению:

${\displaystyle \sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}},}$

где решение для i ² = −1 является « мнимой единицей », а δ _jk является дельтой Кронекера , которая равна +1 , если j = k и 0 в противном случае. Это выражение полезно для «выбора» любой из матриц численно путем подстановки значений j = 1, 2, 3, в свою очередь полезно, когда любая из матриц (но не какая-то конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.

Матрицы инволютивны :

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I,}$

где I — единичная матрица .

Определители и следы матриц Паули имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&=-1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&=0,\end{aligned}}}$

из чего можно сделать вывод, что каждая матрица σ _j имеет собственные значения +1 и −1.

С включением единичной матрицы I (иногда обозначаемой σ ₀ ) матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта–Шмидта ) гильбертова пространства эрмитовых матриц размера 2 × 2 над и гильбертова пространства всех комплексных матриц размера 2 × 2 над . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Коммутационные и антикоммутационные отношения

Соотношения коммутации

Матрицы Паули подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [\sigma _{j},\sigma _{k}]=2i\varepsilon _{jkl}\,\sigma _{l},}$

где структурная константа ε _jkl является символом Леви-Чивиты , и используется обозначение суммирования Эйнштейна .

Эти коммутационные соотношения делают матрицы Паули генераторами представления алгебры Ли ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3).}$

Антикоммутационные отношения

Они также удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

${\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\delta _{jk}\,I,}$

где определяется как и δ _jk — символ Кронекера . I обозначает единичную матрицу 2 × 2 . ${\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j},}$

Эти антикоммутационные соотношения делают матрицы Паули генераторами представления алгебры Клиффорда для обозначенных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} ).}$

Обычная конструкция генераторов с использованием алгебры Клиффорда восстанавливает приведенные выше коммутационные соотношения с точностью до несущественных числовых множителей. ${\displaystyle \sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}[\sigma _{j},\sigma _{k}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Ниже в качестве примеров приведены несколько явных коммутаторов и антикоммутаторов:

Собственные векторы и собственные значения

Каждая из ( эрмитовых ) матриц Паули имеет два собственных значения : +1 и −1 . Соответствующие нормализованные собственные векторы равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Векторы Паули

Вектор Паули определяется как ^[b] , где , , и являются эквивалентными обозначениями для более знакомых , , и . $${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3},}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

Вектор Паули обеспечивает механизм отображения векторного базиса в матричный базис Паули ^[2] следующим образом: с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{k}\,{\hat {x}}_{k})\cdot (\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{\ell })=a_{k}\,\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=a_{k}\,\sigma _{\ell }\,\delta _{k\ell }=a_{k}\,\sigma _{k}\\&=a_{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+a_{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+a_{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

Более формально, это определяет отображение из в векторное пространство бесследовых эрмитовых матриц. Это отображение кодирует структуры как нормированное векторное пространство и как алгебру Ли (с перекрестным произведением в качестве ее скобки Ли) через функции матриц, делая отображение изоморфизмом алгебр Ли. Это делает матрицы Паули переплетающимися с точки зрения теории представлений. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Другой способ рассматривать вектор Паули — это рассматривать его как эрмитов бесследовый матричнозначный дуальный вектор, то есть элемент, который отображает ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}.}$

Полнота отношения

Каждый компонент может быть восстановлен из матрицы (см. соотношение полноты ниже). Это представляет собой обратную матрицу к отображению , что делает очевидным тот факт, что отображение является биекцией. ${\displaystyle {\vec {a}}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}{\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}.}$$ ${\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

Определитель

Норма задается определителем (с точностью до знака минус). Тогда, рассматривая сопряженное действие матрицы на этом пространстве матриц, $${\displaystyle \det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2}.}$$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\,{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\,U^{-1},}$

мы находим и что является эрмитовым и бесследовым. Тогда имеет смысл определить , где имеет ту же норму, что и и, следовательно, интерпретировать как вращение трехмерного пространства. Фактически, оказывается, что специальное ограничение на подразумевает, что вращение сохраняет ориентацию. Это позволяет определить отображение, заданное как ${\displaystyle \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}),}$ ${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}$ ${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }},}$ ${\displaystyle {\vec {a}}'}$ ${\displaystyle {\vec {a}},}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }},}$

где Эта карта является конкретной реализацией двойного покрытия и, следовательно, показывает, что Компоненты могут быть восстановлены с помощью процесса трассировки, описанного выше: ${\displaystyle R(U)\in \mathrm {SO} (3).}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2),}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong \mathrm {Spin} (3).}$ ${\displaystyle R(U)}$

${\displaystyle R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\right).}$

Перекрестный продукт

Перекрестное произведение задается матричным коммутатором (с точностью до множителя ). Фактически, существование нормы следует из того факта, что является алгеброй Ли (см. форму Киллинга ). ${\displaystyle 2i}$ $${\displaystyle [{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}]=2i\,({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Это перекрестное произведение можно использовать для доказательства свойства сохранения ориентации карты, представленной выше.

Собственные значения и собственные векторы

Собственные значения равны Это немедленно следует из бесследности и явного вычисления определителя. ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}$

Более абстрактно, без вычисления определителя, которое требует явных свойств матриц Паули, это следует из , поскольку это можно разложить на Стандартный результат в линейной алгебре (линейное отображение, удовлетворяющее полиномиальному уравнению, записанному с различными линейными множителями, является диагональным) означает, что это означает, что является диагональным с возможными собственными значениями. Бесследность означает, что оно имеет ровно одно из каждого собственного значения. ${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0.}$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$

Его нормализованные собственные векторы — Эти выражения становятся сингулярными для . Их можно спасти, допустив и взяв предел , что даст правильные собственные векторы (0,1) и (1,0) для . $${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{{\sqrt {2\left|{\vec {a}}\right|\ (a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|)\ }}\ }}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.}$$ ${\displaystyle a_{3}\to -\left|{\vec {a}}\right|}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|(\epsilon ,0,-(1-\epsilon ^{2}/2))}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

В качестве альтернативы можно использовать сферические координаты для получения собственных векторов и . ${\displaystyle {\vec {a}}=a(\sin \vartheta \cos \varphi ,\sin \vartheta \sin \varphi ,\cos \vartheta )}$ ${\displaystyle \psi _{+}=(\cos(\vartheta /2),\sin(\vartheta /2)\exp(i\varphi ))}$ ${\displaystyle \psi _{-}=(-\sin(\vartheta /2)\exp(-i\varphi ),\cos(\vartheta /2))}$

4-вектор Паули

4-вектор Паули, используемый в спинорной теории, записывается с компонентами ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }}).}$

Это определяет отображение из в векторное пространство эрмитовых матриц, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

${\displaystyle x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}$

который также кодирует метрику Минковского (в основном с отрицательным соглашением) в своем определителе:

${\displaystyle \det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$

Этот 4-вектор также имеет отношение полноты. Удобно определить второй 4-вектор Паули

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }}).}$

и позволяют поднимать и опускать с помощью метрического тензора Минковского. Тогда соотношение можно записать $${\displaystyle x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}.}$$

Аналогично случаю 3-вектора Паули, мы можем найти матричную группу, которая действует как изометрии на в этом случае матричная группа есть и это показывает Аналогично вышесказанному, это можно явно реализовать для с компонентами ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\cong \mathrm {Spin} (1,3).}$ ${\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }$

${\displaystyle \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\bar {\sigma }}_{\nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right).}$

Фактически, свойство определителя абстрактно следует из свойств следа матриц . Для матриц справедливо следующее тождество: ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }.}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ }$

${\displaystyle \det(A+B)=\det(A)+\det(B)+\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} (B)-\operatorname {tr} (AB).}$

То есть, «перекрестные члены» можно записать как следы. Когда выбираются разными, перекрестные члены исчезают. Затем следует, теперь явно показывая суммирование, Поскольку матрицы это равно ${\displaystyle \ A,B\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}$ ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ ,}$ ${\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$

Отношение к скалярному и векторному произведению

Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}$

так что,

${\displaystyle ~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~}$

Свертка каждой части уравнения с компонентами двух 3- векторов a _p и b _q (которые коммутируют с матрицами Паули, т.е. a _p σ _q = σ _q a _p ) для каждой матрицы σ _q и компонента вектора a _p (и аналогично с b _q ) дает

${\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}.~}$

Наконец, перевод индексной записи для скалярного произведения и перекрестного произведения приводит к

Если i отождествить с псевдоскаляром σ _x σ _y σ _z, то правая часть становится , что также является определением для произведения двух векторов в геометрической алгебре. ${\displaystyle a\cdot b+a\wedge b}$

Если мы определим оператор спина как J = ⁠час/2⁠ σ , то J удовлетворяет коммутационному соотношению:Или, что эквивалентно, вектор Паули удовлетворяет: $${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J} }$$ $${\displaystyle {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2}}}$$

Некоторые следовые связи

Следующие следы можно получить, используя коммутационные и антикоммутационные соотношения.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}}$

Если также рассмотреть матрицу σ ₀ = I , то эти соотношения становятся

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}}$$

где греческие индексы α , β , γ и μ принимают значения из {0, x , y , z } , а обозначение используется для обозначения суммы по циклической перестановке включенных индексов. ${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$

Экспонента вектора Паули

Для

${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,}$

для четных степеней имеем 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I,}$

что можно показать сначала для случая p = 1 , используя антикоммутационные соотношения. Для удобства случай p = 0 условно принимается за I.

Для нечетных степеней, 2q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.}$

Возведение матрицы в степень и использование ряда Тейлора для синуса и косинуса ,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}}$.

В последней строке первая сумма — косинус, а вторая сумма — синус; итак, наконец,

что аналогично формуле Эйлера , распространенной на кватернионы .

Обратите внимание, что

${\displaystyle \det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}}$,

в то время как определитель самой экспоненты равен всего лишь 1 , что делает ее общим элементом группы SU(2) .

Более абстрактную версию формулы (2) для общей матрицы 2 × 2 можно найти в статье о матричных экспоненциалах . Общая версия (2) для аналитической (при a и − a ) функции обеспечивается применением формулы Сильвестра , ^[3]

${\displaystyle f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}.}$

Закон состава группыСУ(2)

Прямое применение формулы (2) обеспечивает параметризацию закона композиции группы SU(2) . ^[c] Можно напрямую решить для c в $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}}$$

которая определяет общее групповое умножение, где, очевидно, сферический закон косинусов . При условии c , тогда, $${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,}$$ $${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right).}$$

Следовательно, составные параметры вращения в этом групповом элементе (закрытая форма соответствующего разложения БЧХ в данном случае) просто равны ^[4]

$${\displaystyle e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right).}$$

(Разумеется, когда параллелен , то и , и c = a + b .) ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {m}}}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$

Совместное действие

Аналогично легко вычислить сопряженное действие на вектор Паули, а именно поворот на любой угол вдоль любой оси : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ $${\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$$

Взяв скалярное произведение любого единичного вектора с приведенной выше формулой, мы получим выражение любого оператора одного кубита при любом вращении. Например, можно показать, что . ${\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}}$

Полнота отношения

Альтернативная запись, которая обычно используется для матриц Паули, состоит в записи векторного индекса k в верхнем индексе, а индексов матрицы — в нижнем индексе, так что элемент в строке α и столбце β k - й матрицы Паули равен σ ^k _αβ .

В этой записи соотношение полноты для матриц Паули можно записать

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }.}$

Доказательство

Тот факт, что матрицы Паули, вместе с единичной матрицей I , образуют ортогональный базис для гильбертова пространства всех 2 × 2 комплексных эрмитовых матриц, означает, что мы можем выразить любую эрмитову матрицу M как где c — комплексное число, а a — 3-компонентный комплексный вектор. Несложно показать, используя перечисленные выше свойства, что где « tr » обозначает след , и, следовательно, то , что можно переписать в терминах матричных индексов как где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам γ и δ . Поскольку это верно для любого выбора матрицы M , соотношение полноты следует, как указано выше. QED $${\displaystyle M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M.\end{aligned}}\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle 2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,}$$

Как отмечено выше, принято обозначать единичную матрицу 2 × 2 как σ ₀ , так что σ ⁰ _αβ = δ _αβ . Отношение полноты можно альтернативно выразить как $${\displaystyle \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.}$$

Тот факт, что любые эрмитовы комплексные матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к представлению в виде сферы Блоха матрицы плотности смешанных состояний 2 × 2 ( положительно полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом). Это можно увидеть, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как действительную линейную комбинацию { σ ₀ , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ }, как указано выше, а затем наложив условия положительной полуопределенности и следа 1 .

Для чистого состояния в полярных координатах идемпотентная матрица плотности $${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$$

действует на собственный вектор состояния с собственным значением +1, следовательно, действует как оператор проекции . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$

Связь с оператором перестановки

Пусть P _jk будет транспозицией (также известной как перестановка) между двумя спинами σ _j и σ _{k ,} находящимися в пространстве тензорного произведения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$ ,

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}$

Этот оператор можно также записать более явно как оператор обмена спином Дирака ,

${\displaystyle P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}$

Его собственные значения, следовательно, ^[d] 1 или −1. Таким образом, его можно использовать как член взаимодействия в гамильтониане, разделяя собственные значения энергии его симметричных и антисимметричных собственных состояний.

СУ(2)

Группа SU(2) является группой Ли унитарных матриц 2 × 2 с единичным определителем; ее алгебра Ли является множеством всех антиэрмитовых матриц 2 × 2 со следом 0. Прямое вычисление, как и выше, показывает, что алгебра Ли является трехмерной действительной алгеброй, натянутой на множество { iσ _k } . В компактной записи, ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}$

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}.}$

В результате каждый iσ _j можно рассматривать как бесконечно малый генератор SU(2). Элементы SU(2) являются экспоненциальными линейными комбинациями этих трех генераторов и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU(2), это не является правильным представлением su(2) , поскольку собственные значения Паули масштабируются нетрадиционным образом. Традиционная нормализация λ = ⁠1/2⁠ , так что

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}.}$

Поскольку SU(2) — компактная группа, ее разложение Картана тривиально.

ТАК(3)

Алгебра Ли изоморфна алгебре Ли , которая соответствует группе Ли SO(3) , группе вращений в трехмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что iσ _j являются реализацией (и, по сути, реализацией наименьшей размерности) бесконечно малых вращений в трехмерном пространстве. Однако, хотя и изоморфны как алгебры Ли, SU(2) и SO(3) не изоморфны как группы Ли. SU(2) на самом деле является двойным покрытием SO (3) , что означает, что существует гомоморфизм групп два к одному из SU(2) в SO(3) , см. связь между SO(3) и SU(2) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Кватернионы

Действительная линейная оболочка { I , iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ } изоморфна действительной алгебре кватернионов , представленной оболочкой базисных векторов. Изоморфизм из в это множество задается следующим отображением (обратите внимание на обратные знаки для матриц Паули): ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ $${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}.}$$

В качестве альтернативы изоморфизм может быть достигнут с помощью отображения, использующего матрицы Паули в обратном порядке, ^[5]

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}$

Поскольку множество версоров U ⊂ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ образует группу, изоморфную SU(2) , U дает еще один способ описания SU(2) . Двукратный гомоморфизм из SU(2) в SO(3) может быть задан в терминах матриц Паули в этой формулировке.

Физика

Классическая механика

В классической механике матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна. ^[6] Матрица P , соответствующая положению точки в пространстве, определяется в терминах указанной выше векторной матрицы Паули, ${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}.}$

Следовательно, матрица преобразования Q _θ для поворотов вокруг оси x на угол θ может быть записана в терминах матриц Паули и единичной матрицы как ^[6]

${\displaystyle Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

Аналогичные выражения следуют для общих вращений векторов Паули, как подробно описано выше.

Квантовая механика

В квантовой механике каждая матрица Паули связана с оператором углового момента , который соответствует наблюдаемой, описывающей спин частицы со спином 1 ⁄ 2 в каждом из трех пространственных направлений. Как непосредственное следствие разложения Картана, упомянутого выше, iσ _j являются генераторами проективного представления ( спинового представления ) группы вращения SO(3), действующей на нерелятивистские частицы со спином 1 ⁄ 2 . Состояния частиц представлены в виде двухкомпонентных спиноров . Таким же образом матрицы Паули связаны с оператором изоспина .

Интересное свойство частиц со спином 1 ⁄ 2 заключается в том, что они должны быть повернуты на угол 4 π , чтобы вернуться к своей исходной конфигурации. Это связано с двузначным соответствием между SU(2) и SO(3), упомянутым выше, и тем фактом, что, хотя спин вверх/вниз визуализируется как полюс север-юг на 2-сфере S ² , на самом деле они представлены ортогональными векторами в двумерном комплексном гильбертовом пространстве .

Для частицы со спином 1 ⁄ 2 оператор спина определяется выражением J = ⁠час/2⁠ σ , фундаментальное представление SU (2) . Взяв произведения Кронекера этого представления с собой многократно, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть, результирующие операторы спина для высших спиновых систем в трех пространственных измерениях для произвольно большого j , можно вычислить с помощью этого оператора спина и лестничных операторов . Их можно найти в Rotation group SO(3) § A note on Lie algebras . Аналоговая формула для приведенного выше обобщения формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, является поддающейся обработке, но менее простой. ^[7]

Также полезная в квантовой механике многочастичных систем общая группа Паули G _n определяется как состоящая из всех n -кратных тензорных произведений матриц Паули.

Релятивистская квантовая механика

В релятивистской квантовой механике спиноры в четырех измерениях являются матрицами 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или сигма-матрицы, действующие на эти спиноры, должны быть матрицами 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как

${\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}.}$

Из этого определения следует, что матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что и матрицы σ _k . ${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$

Однако релятивистский угловой момент не является трехвектором, а является четырехмерным тензором второго порядка . Следовательно, его необходимо заменить на Σ _μν , генератор преобразований Лоренца на спинорах . В силу антисимметрии углового момента, Σ _μν также антисимметричны. Следовательно, имеется только шесть независимых матриц. ${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$

Первые три — это оставшиеся три, где матрицы Дирака α k определяются как ${\displaystyle \ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}.}$ ${\displaystyle \ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,}$

${\displaystyle {\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}.}$

Релятивистские спиновые матрицы Σ _μν записываются в компактной форме в терминах коммутатора гамма-матриц как

${\displaystyle \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}.}$

Квантовая информация

В квантовой информации однокубитные квантовые вентили представляют собой унитарные матрицы 2 × 2. Матрицы Паули являются одними из наиболее важных однокубитных операций. В этом контексте разложение Картана, приведенное выше, называется «Z–Y разложением однокубитного вентиля». Выбор другой пары Картана дает похожее «X–Y разложение однокубитного вентиля ».

Смотрите также

• Алгебра физического пространства
• Спиноры в трех измерениях
• Гамма-матрицы
  • § Базис Дирака
• Угловой момент импульса
• Матрицы Гелл-Манна
• Группа Пуанкаре
• Обобщения матриц Паули
• сфера Блоха
• Четырехквадратное тождество Эйлера
• Для обобщений матриц Паули для высших спинов см. Спин (физика) § Высшие спины
• Матрица обмена (первая матрица Паули — это матрица обмена второго порядка)
• Сплит-кватернион

Замечания

1. Это соответствует соглашению в математике для матричной экспоненты , iσ ⟼ exp( iσ ) . В соглашении в физике , σ ⟼ exp(− iσ ) , поэтому в нем не требуется предварительного умножения на i для получения SU(2) .
2. Вектор Паули — это формальное устройство. Его можно рассматривать как элемент , где пространство тензорного произведения наделено отображением, индуцированным скалярным произведением на ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times ({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3})\to {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$
3. Соотношение между a, b, c, n, m, k, полученное здесь в представлении 2 × 2, справедливо для всех представлений SU (2) , являясь групповым тождеством . Обратите внимание, что в силу стандартной нормализации генераторов этой группы как половины матриц Паули параметры a , b , c соответствуют половине углов поворота группы поворота. То есть связанная формула Гиббса равна . ${\displaystyle {\hat {k}}\tan c/2=({\hat {n}}\tan a/2+{\hat {m}}\tan b/2-{\hat {m}}\times {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)/(1-{\hat {m}}\cdot {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)}$
4. Явно, в соглашении о «матрицах правого пространства в элементы матриц левого пространства», это ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right)~.}$

Примечания

1. Gull, SF; Lasenby, AN; Doran, CJL (январь 1993 г.). «Мнимые числа не являются действительными – геометрическая алгебра пространства-времени» (PDF) . Найдено. Phys . 23 (9): 1175–1201. Bibcode :1993FoPh...23.1175G. doi :10.1007/BF01883676. S2CID  14670523 . Получено 5 мая 2023 г. – через geometry.mrao.cam.ac.uk.
2. Смотрите карту спинора .
3. Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333.
4. Гиббс, Дж. У. (1884). "4. О дифференциальном и интегральном исчислении векторов". Элементы векторного анализа . Нью-Хейвен, Коннектикут: Tuttle, Moorehouse & Taylor. стр. 67.На самом деле, однако, формула восходит к Олинде Родригесу (1840 г.), изобилующему полууглами: Родригес, Олинде (1840 г.). «Des lois géometriques qui regissent les déplacements d' un systéme Solide dans l' espace, et de lavariation des coordonnées producant de ces déplacement, рассматриваемые как независимые причины, которые могут быть произведены» (PDF) . Дж. Математика. Приложение Pures. 5 : 380–440.
5. Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). CRC Press. стр. xxii. ISBN 978-0-7503-0606-5– через Google Книги.
6. Goldstein, Herbert (1959). Классическая механика . Addison-Wesley. стр. 109–118.
7. Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Компактная формула для вращений как спиновых матричных полиномов". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode :2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.

Ссылки

• «Спиновые матрицы Паули». Фейнмановские лекции по физике .
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику (4-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5. OCLC  837947786.
• Шифф, Леонард И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-055287-6. OCLC  643977885.
• Леонхардт, Ульф (2010). Essential Quantum Optics . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511806117. ISBN 978-0-521-14505-3. OCLC  855534544.