Уравнение Шредингера

Описание квантово-механической системы

Уравнение Шредингера — это уравнение в частных производных , которое управляет волновой функцией нерелятивистской квантово-механической системы. ^{[1] : 1–2} Его открытие стало важной вехой в развитии квантовой механики . Оно названо в честь Эрвина Шредингера , который постулировал уравнение в 1925 году и опубликовал его в 1926 году, что легло в основу работы, которая привела к его Нобелевской премии по физике в 1933 году. ^{[2] [3]}

Концептуально уравнение Шредингера является квантовым аналогом второго закона Ньютона в классической механике . При заданном наборе известных начальных условий второй закон Ньютона делает математическое предсказание относительно того, какой путь данная физическая система выберет с течением времени. Уравнение Шредингера дает эволюцию со временем волновой функции , квантово-механическую характеристику изолированной физической системы. Уравнение было постулировано Шредингером на основе постулата Луи де Бройля о том, что вся материя имеет связанную с ней волну материи . Уравнение предсказывало связанные состояния атома в соответствии с экспериментальными наблюдениями. ^{[4] : II:268}

Уравнение Шредингера — не единственный способ изучения квантово-механических систем и составления прогнозов. Другие формулировки квантовой механики включают матричную механику , введенную Вернером Гейзенбергом , и формулировку интеграла по траектории , разработанную в основном Ричардом Фейнманом . При сравнении этих подходов использование уравнения Шредингера иногда называют «волновой механикой». Уравнение Клейна-Гордона — это волновое уравнение , которое является релятивистской версией уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является нерелятивистским, поскольку содержит первую производную по времени и вторую производную по пространству, и поэтому пространство и время не находятся на равных основаниях.

Поль Дирак объединил специальную теорию относительности и квантовую механику в единую формулировку , которая упрощается до уравнения Шредингера в нерелятивистском пределе. Это уравнение Дирака , которое содержит одну производную как в пространстве, так и во времени. Частичное уравнение с второй производной уравнения Клейна-Гордона привело к проблеме с плотностью вероятности, хотя это было релятивистское волновое уравнение . Плотность вероятности могла быть отрицательной, что физически невыполнимо. Это было исправлено Дираком, путем взятия так называемого квадратного корня из оператора Клейна-Гордона и, в свою очередь, введения матриц Дирака . В современном контексте уравнение Клейна-Гордона описывает частицы без спина , в то время как уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2 .

Определение

Предварительные

Вводные курсы по физике или химии обычно вводят уравнение Шредингера таким образом, что его можно оценить, зная только концепции и обозначения базового исчисления , в частности производные по пространству и времени. Частным случаем уравнения Шредингера, который допускает формулировку в этих терминах, является уравнение Шредингера в пространстве положений для одной нерелятивистской частицы в одном измерении: Здесь — волновая функция, функция, которая присваивает комплексное число каждой точке в каждый момент времени . Параметр — масса частицы, а — потенциал , представляющий среду, в которой существует частица. ^{[5] : 74} Константа — мнимая единица , а — приведенная постоянная Планка , которая имеет единицы действия ( энергия, умноженная на время). ^{[5] : 10} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$$ ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(x,t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hbar }$

Комплексный график волновой функции , удовлетворяющей нерелятивистскому свободному уравнению Шредингера с V = 0. Подробнее см. волновой пакет

Расширяя этот простой случай, математическая формулировка квантовой механики , разработанная Полем Дираком ^[6], Дэвидом Гильбертом ^[7], Джоном фон Нейманом ^[8] и Германом Вейлем ^[9], определяет состояние квантово-механической системы как вектор, принадлежащий сепарабельному комплексному гильбертову пространству . Предполагается, что этот вектор нормализуется относительно скалярного произведения гильбертова пространства, то есть в обозначениях Дирака он подчиняется . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы — например, для описания положения и импульса гильбертово пространство является пространством квадратично интегрируемых функций , в то время как гильбертово пространство для спина одного протона является двумерным комплексным векторным пространством с обычным скалярным произведением. ^{[5] : 322} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Интересующие физические величины – положение, импульс, энергия, спин – представлены наблюдаемыми , которые являются самосопряженными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Волновая функция может быть собственным вектором наблюдаемой, в этом случае она называется собственным состоянием , а связанное с ней собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем смысле квантовое состояние будет линейной комбинацией собственных состояний, известной как квантовая суперпозиция . Когда измеряется наблюдаемая, результатом будет одно из ее собственных значений с вероятностью, заданной правилом Борна : в простейшем случае собственное значение невырождено, а вероятность определяется как , где – ее связанный с ней собственный вектор. В более общем смысле собственное значение вырождено, а вероятность определяется как , где – проектор на ее связанное с ней собственное пространство. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

Собственное состояние импульса будет совершенно монохроматической волной бесконечной протяженности, которая не является квадратично интегрируемой. Аналогично собственное состояние положения будет дельта -распределением Дирака , не является квадратично интегрируемым и технически вообще не является функцией. Следовательно, ни одно из них не может принадлежать гильбертову пространству частицы. Физики иногда рассматривают эти собственные состояния, состоящие из элементов вне гильбертова пространства, как « обобщенные собственные векторы ». Они используются для удобства вычислений и не представляют физические состояния. ^{[10] [11] : 100–105} Таким образом, волновая функция пространства положения , как использовано выше, может быть записана как внутреннее произведение вектора состояния, зависящего от времени, с нефизическими, но удобными «собственными состояниями положения» : ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$$

Уравнение, зависящее от времени

Каждая из этих трех строк представляет собой волновую функцию, которая удовлетворяет зависящему от времени уравнению Шредингера для гармонического осциллятора . Слева: Действительная часть (синяя) и мнимая часть (красная) волновой функции. Справа: Распределение вероятностей нахождения частицы с этой волновой функцией в заданном положении. Верхние две строки являются примерами стационарных состояний , которые соответствуют стоячим волнам . Нижняя строка является примером состояния, которое не является стационарным.

Форма уравнения Шредингера зависит от физической ситуации. Наиболее общая форма — это зависящее от времени уравнение Шредингера, которое дает описание системы, развивающейся со временем: ^{[12] : 143}

Уравнение Шредингера, зависящее от времени  (общее)

я ℏ d d t | Ψ ( t ) ⟩ = H ^ | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle я\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle }

где — время, — вектор состояния квантовой системы ( обозначаемый греческой буквой пси ), а — наблюдаемая величина, оператор Гамильтона . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Термин «уравнение Шредингера» может относиться как к общему уравнению, так и к конкретной нерелятивистской версии. Общее уравнение действительно является довольно общим, оно используется во всей квантовой механике, для всего, от уравнения Дирака до квантовой теории поля , путем подстановки различных выражений для гамильтониана. Конкретная нерелятивистская версия является приближением, которое дает точные результаты во многих ситуациях, но только до определенной степени (см. релятивистская квантовая механика и релятивистская квантовая теория поля ).

Чтобы применить уравнение Шредингера, запишите гамильтониан для системы, учитывая кинетическую и потенциальную энергии частиц, составляющих систему, затем вставьте его в уравнение Шредингера. Полученное уравнение в частных производных решается для волновой функции, которая содержит информацию о системе. На практике квадрат абсолютного значения волновой функции в каждой точке берется для определения функции плотности вероятности . ^{[5] : 78} Например, если задана волновая функция в пространстве положений , как указано выше, мы имеем ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ $${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$$

Уравнение, не зависящее от времени

Описанное выше зависящее от времени уравнение Шредингера предсказывает, что волновые функции могут образовывать стоячие волны , называемые стационарными состояниями . Эти состояния особенно важны, поскольку их индивидуальное изучение впоследствии упрощает задачу решения зависящего от времени уравнения Шредингера для любого состояния. Стационарные состояния также могут быть описаны более простой формой уравнения Шредингера, независимым от времени уравнением Шредингера.

Уравнение Шредингера, не зависящее от времени ( общее )

${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$

где - энергия системы. ^{[5] : 134} Это используется только тогда, когда сам гамильтониан явно не зависит от времени. Однако даже в этом случае полная волновая функция зависит от времени, как объясняется в разделе о линейности ниже. На языке линейной алгебры это уравнение является уравнением собственных значений . Следовательно, волновая функция является собственной функцией оператора Гамильтона с соответствующим собственным значением(ями) . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Характеристики

Линейность

Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением , что означает, что если два вектора состояния и являются решениями, то таковой является любая линейная комбинация двух векторов состояния, где a и b — любые комплексные числа. ^{[13] : 25} Более того, сумма может быть расширена для любого числа векторов состояния. Это свойство позволяет суперпозициям квантовых состояний быть решениями уравнения Шредингера. Еще более обще, оно гласит, что общее решение уравнения Шредингера может быть найдено путем взятия взвешенной суммы по базису состояний. Часто используемый выбор — это базис собственных состояний энергии , которые являются решениями не зависящего от времени уравнения Шредингера. В этом базисе зависящий от времени вектор состояния может быть записан в виде линейной комбинации , где — комплексные числа, а векторы являются решениями не зависящего от времени уравнения . ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$

Унитарность

При сохранении постоянной Гамильтона уравнение Шредингера имеет решение ^[12] Оператор известен как оператор эволюции во времени, и он унитарен : он сохраняет скалярное произведение между векторами в гильбертовом пространстве. ^[13] Унитарность является общей чертой эволюции во времени в соответствии с уравнением Шредингера. Если начальное состояние равно , то состояние в более позднее время будет задано для некоторого унитарного оператора . Наоборот, предположим, что представляет собой непрерывное семейство унитарных операторов, параметризованное с помощью . Без потери общности , ^[14] параметризация может быть выбрана так, что является оператором тождества и что для любого . Тогда зависит от параметра таким образом, что для некоторого самосопряженного оператора , называемого генератором семейства . Гамильтониан является именно таким генератором (с точностью до множителя постоянной Планка, который будет установлен равным 1 в натуральных единицах ). Чтобы увидеть, что генератор является эрмитовым, заметим, что при , мы имеем поэтому является унитарным только в том случае, если, в первом порядке, его производная является эрмитовой. ^[15] ${\displaystyle {\hat {H}}}$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$ ${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)\approx {\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)^{\dagger }{\hat {U}}(\delta t)\approx ({\hat {U}}(0)^{\dagger }+i{\hat {G}}^{\dagger }\delta t)({\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t)=I+i\delta t({\hat {G}}^{\dagger }-{\hat {G}})+O(\delta t^{2}),}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

Изменения в основе

Уравнение Шредингера часто представляется с использованием величин, изменяющихся как функции положения, но как векторно-операторное уравнение оно имеет допустимое представление в любом произвольном полном базисе кетов в гильбертовом пространстве . Как упоминалось выше, «базисы», которые лежат за пределами физического гильбертова пространства, также используются для вычислительных целей. Это иллюстрируется уравнениями Шредингера в пространстве положения и пространстве импульса для нерелятивистской, бесспиновой частицы. ^{[11] : 182} Гильбертово пространство для такой частицы является пространством комплексных квадратично-интегрируемых функций в трехмерном евклидовом пространстве, а его гамильтониан представляет собой сумму члена кинетической энергии, квадратичного по оператору импульса, и члена потенциальной энергии: Записывая для трехмерного вектора положения и для трехмерного вектора импульса, уравнение Шредингера в пространстве положения имеет вид Аналог в пространстве импульса включает преобразования Фурье волновой функции и потенциала: Функции и выводятся из , где и не принадлежат самому гильбертову пространству, но имеют четко определенные внутренние произведения со всеми элементами этого пространства. $${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$$ $${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$

При ограничении от трех измерений до одного, уравнение позиционного пространства является просто первой формой уравнения Шредингера, приведенного выше. Связь между положением и импульсом в квантовой механике можно оценить в одном измерении. В каноническом квантовании классические переменные и повышаются до самосопряженных операторов и , которые удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению Это подразумевает, что ^{[11] : 190} поэтому действие оператора импульса в представлении позиционного пространства равно . Таким образом, становится второй производной , а в трех измерениях вторая производная становится лапласианом . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$ $${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Каноническое коммутационное соотношение также подразумевает, что операторы положения и импульса являются сопряженными Фурье друг другу. Следовательно, функции, изначально определенные в терминах зависимости от положения, могут быть преобразованы в функции импульса с помощью преобразования Фурье. В физике твердого тела уравнение Шредингера часто записывается для функций импульса, поскольку теорема Блоха гарантирует, что периодический потенциал кристаллической решетки связывается с только для дискретных векторов обратной решетки . Это делает удобным решение уравнения Шредингера в импульсном пространстве в каждой точке зоны Бриллюэна независимо от других точек зоны Бриллюэна. ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+K)}$ ${\displaystyle K}$

Вероятность тока

Уравнение Шредингера согласуется с локальной вероятностью сохранения . ^{[11] : 238} Оно также гарантирует, что нормализованная волновая функция остается нормализованной после временной эволюции. В матричной механике это означает, что оператор временной эволюции является унитарным оператором . ^[16] В отличие, например, от уравнения Клейна-Гордона, хотя переопределенное внутреннее произведение волновой функции может быть независимым от времени, полный объемный интеграл квадрата модуля волновой функции не обязательно должен быть независимым от времени. ^[17]

Уравнение непрерывности вероятности в нерелятивистской квантовой механике формулируется следующим образом: где — ток вероятности или поток вероятности (поток на единицу площади). $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

Если волновая функция представлена ​​как , где — действительная функция, которая представляет комплексную фазу волновой функции, то поток вероятности вычисляется как: Следовательно, говорят, что пространственное изменение фазы волновой функции характеризует поток вероятности волновой функции. Хотя этот термин, по-видимому, играет роль скорости, он не представляет скорость в точке, поскольку одновременное измерение положения и скорости нарушает принцип неопределенности . ^[16] ${\textstyle \psi ({\bf {x}},t)={\sqrt {\rho ({\bf {x}},t)}}\exp \left({\frac {iS({\bf {x}},t)}{\hbar }}\right),}$ ${\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$ ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$

Разделение переменных

Если гамильтониан не является явной функцией времени, уравнение Шредингера выглядит так: Оператор в левой части зависит только от времени; оператор в правой части зависит только от пространства. Решение уравнения путем разделения переменных означает поиск решения в виде произведения пространственной и временной частей ^[18] , где является функцией всех пространственных координат частиц, составляющих систему, и является функцией только времени. Подстановка этого выражения для в левую часть, зависящую от времени, показывает, что является фазовым множителем: Решение такого типа называется стационарным, поскольку единственная зависимость от времени — это фазовый множитель, который отменяется при вычислении плотности вероятности с помощью правила Борна. ^{[12] : 143ff} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \tau (t)}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau (t)}$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$$

Пространственная часть полной волновой функции решается следующим образом: ^[19] где энергия появляется в фазовом множителе. $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=0.}$$ ${\displaystyle E}$

Это обобщается на любое количество частиц в любом количестве измерений (в потенциале, не зависящем от времени): решения в виде стоячей волны уравнения, не зависящего от времени, являются состояниями с определенной энергией, а не распределением вероятностей различных энергий. В физике эти стоячие волны называются « стационарными состояниями » или « собственными энергетическими состояниями »; в химии они называются « атомными орбиталями » или « молекулярными орбиталями ». Суперпозиции собственных энергетических состояний изменяют свои свойства в соответствии с относительными фазами между уровнями энергии. Собственные энергетические состояния образуют базис: любая волновая функция может быть записана как сумма по дискретным энергетическим состояниям или интеграл по непрерывным энергетическим состояниям, или, в более общем смысле, как интеграл по мере. Это спектральная теорема в математике, и в конечномерном пространстве состояний это просто утверждение о полноте собственных векторов эрмитовой матрицы .

Разделение переменных также может быть полезным методом для независимого от времени уравнения Шредингера. Например, в зависимости от симметрии задачи могут быть разделены декартовы оси или радиальные и угловые координаты : $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$$

Примеры

Частица в коробке

1-мерный ящик потенциальной энергии (или бесконечная потенциальная яма)

Частица в одномерном потенциальном энергетическом ящике является наиболее математически простым примером, где ограничения приводят к квантованию энергетических уровней. Ящик определяется как имеющий нулевую потенциальную энергию внутри определенной области и бесконечную потенциальную энергию снаружи . ^{[11] : 77–78} Для одномерного случая в направлении независимое от времени уравнение Шредингера может быть записано ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

При этом дифференциальный оператор, определенный предыдущим уравнением, напоминает классический аналог кинетической энергии , причем в этом случае состояние имеет энергию, совпадающую с кинетической энергией частицы. $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике имеют вид или, по формуле Эйлера , $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).}$$

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения и при и где должны быть равны нулю. Таким образом, при и . При , в котором не может быть равным нулю, так как это противоречило бы постулату, что норма 1. Следовательно, поскольку , должно быть целым кратным , ${\displaystyle C,D,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$ ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle x=L}$ $${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sin(kL)=0}$ ${\displaystyle kL}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

Это ограничение подразумевает ограничение на уровни энергии, что приводит к ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

Конечная потенциальная яма является обобщением проблемы бесконечной потенциальной ямы на потенциальные ямы, имеющие конечную глубину. Проблема конечной потенциальной ямы математически сложнее, чем проблема бесконечной частицы в ящике, поскольку волновая функция не закреплена на нуль на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях за пределами ямы. Другая связанная проблема — это проблема прямоугольного потенциального барьера , который предоставляет модель для эффекта квантового туннелирования , который играет важную роль в производительности современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия .

Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор в классической механике (A–B) и квантовой механике (C–H). В (A–B) шар, прикрепленный к пружине , колеблется вперед и назад. (C–H) — шесть решений уравнения Шредингера для этой ситуации. Горизонтальная ось — положение, вертикальная ось — действительная часть (синяя) или мнимая часть (красная) волновой функции . Стационарные состояния или собственные энергетические состояния, которые являются решениями уравнения Шредингера, не зависящего от времени, показаны в C, D, E, F, но не в G или H.

Уравнение Шредингера для этой ситуации имеет вид , где — смещение, а угловая частота. Кроме того, его можно использовать для приблизительного описания широкого спектра других систем, включая вибрирующие атомы, молекулы ^[20] и атомы или ионы в решетках ^[21] , а также для аппроксимации других потенциалов вблизи точек равновесия. Оно также является основой методов возмущений в квантовой механике. $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$

Решения в пространстве положений имеют вид , а функции — это полиномы Эрмита порядка . Множество решений может быть сгенерировано $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$$ ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$$

Собственные значения: $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Этот случай называется основным состоянием , его энергия называется энергией нулевой точки , а волновая функция является гауссовой . [ ^22] ${\displaystyle n=0}$

Гармонический осциллятор, подобно частице в ящике, иллюстрирует общую особенность уравнения Шредингера, заключающуюся в том, что энергии связанных собственных состояний дискретизируются. ^{[11] : 352}

Атом водорода

Волновые функции электрона в атоме водорода на разных уровнях энергии . Они построены согласно решениям уравнения Шредингера.

Уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода (или водородоподобном атоме) имеет вид где - заряд электрона, - положение электрона относительно ядра, - величина относительного положения, потенциальный член обусловлен кулоновским взаимодействием , где - диэлектрическая проницаемость свободного пространства и - двухтельная приведенная масса ядра водорода (просто протона ) массы и электрона массы . Отрицательный знак возникает в потенциальном члене, поскольку протон и электрон заряжены противоположно. Приведенная масса вместо массы электрона используется, поскольку электрон и протон вместе вращаются вокруг общего центра масс и составляют задачу двух тел для решения. Движение электрона представляет здесь основной интерес, поэтому эквивалентная задача одного тела - это движение электрона с использованием приведенной массы. $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$ ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{q}}$

Уравнение Шредингера для атома водорода может быть решено методом разделения переменных. ^[23] В этом случае наиболее удобными являются сферические полярные координаты . Таким образом, где R — радиальные функции, а — сферические гармоники степени и порядка . Это единственный атом, для которого уравнение Шредингера было решено точно. Многоэлектронные атомы требуют приближенных методов. Семейство решений: ^[24] где $${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi ),}$$ ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$- радиус Бора ,
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$являются обобщенными полиномами Лагерра степени , ${\displaystyle n-\ell -1}$
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$являются главными , азимутальными и магнитными квантовыми числами соответственно, которые принимают значения ${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$ ${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

Приблизительные решения

Обычно невозможно точно решить уравнение Шредингера для ситуаций, представляющих физический интерес. Соответственно, приближенные решения получаются с использованием таких методов, как вариационные методы и приближение ВКБ . Также распространено рассматривать интересующую проблему как небольшую модификацию проблемы, которая может быть решена точно, метод, известный как теория возмущений .

Квазиклассический предел

Один простой способ сравнить классическую и квантовую механику — рассмотреть эволюцию во времени ожидаемого положения и ожидаемого импульса, которую затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. ^{[25] : 302} Квантовые ожидаемые значения удовлетворяют теореме Эренфеста . Для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале , теорема Эренфеста гласит Хотя первое из этих уравнений согласуется с классическим поведением, второе — нет: Если бы пара удовлетворяла второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть , что обычно не совпадает с . Для общего , следовательно, квантовая механика может привести к предсказаниям, где ожидаемые значения не имитируют классическое поведение. В случае квантового гармонического осциллятора, однако, является линейным, и это различие исчезает, так что в этом весьма частном случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям. ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$$ ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ $${\displaystyle -V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$$ ${\displaystyle -\left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'}$

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, это то, что ожидаемое положение и импульс будут приблизительно следовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки , то и будут почти одинаковыми, поскольку оба будут приблизительно равны . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут оставаться очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной в положении. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

Уравнение Шредингера в его общем виде тесно связано с уравнением Гамильтона–Якоби (УГЯ), где – классическое действие , а – гамильтонова функция (не оператор). ^{[25] : 308} Здесь обобщенные координаты для (используемые в контексте УГЯ) могут быть установлены в положение в декартовых координатах как . $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

Подставляя, где — плотность вероятности, в уравнение Шредингера, а затем переходя к пределу в полученном уравнении, получаем уравнение Гамильтона–Якоби . $${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Матрицы плотности

Волновые функции не всегда являются наиболее удобным способом описания квантовых систем и их поведения. Когда подготовка системы известна не полностью или когда исследуемая система является частью большего целого, вместо этого можно использовать матрицы плотности . ^{[25] : 74} Матрица плотности — это положительно полуопределенный оператор , след которого равен 1. (Термин «оператор плотности» также используется, особенно когда лежащее в основе гильбертово пространство бесконечномерно.) Множество всех матриц плотности является выпуклым , а крайние точки — это операторы, которые проецируются на векторы в гильбертовом пространстве. Это представления волновых функций в виде матрицы плотности; в нотации Дирака они записываются $${\displaystyle {\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |.}$$

Аналогом матрицы плотности уравнения Шредингера для волновых функций является ^{[26] [27]} , где скобки обозначают коммутатор . Это уравнение также известно как уравнение фон Неймана, уравнение Лиувилля–фон Неймана или просто уравнение Шредингера для матриц плотности. ^{[25] : 312} Если гамильтониан не зависит от времени, это уравнение можно легко решить, получив $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}$$ $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\rho }}(0)e^{i{\hat {H}}t/\hbar }.}$$

В более общем случае, если унитарный оператор описывает эволюцию волновой функции за некоторый интервал времени, то временная эволюция матрицы плотности за тот же интервал определяется выражением ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)^{\dagger }.}$$

Унитарная эволюция матрицы плотности сохраняет ее энтропию фон Неймана . ^{[25] : 267}

Релятивистская квантовая физика и квантовая теория поля

Одночастичное уравнение Шредингера, описанное выше, по существу справедливо в нерелятивистской области. По одной из причин оно по существу инвариантно относительно преобразований Галилея , которые образуют группу симметрии ньютоновской динамики . ^{[примечание 2]} Более того, процессы, которые изменяют число частиц, являются естественными в теории относительности, и поэтому уравнение для одной частицы (или любого фиксированного их числа) может иметь лишь ограниченное применение. ^[29] Более общая форма уравнения Шредингера, которая также применима в релятивистских ситуациях, может быть сформулирована в рамках квантовой теории поля (КТП), структуры, которая допускает сочетание квантовой механики со специальной теорией относительности. Область, в которой обе одновременно применяются, может быть описана релятивистской квантовой механикой . Такие описания могут использовать временную эволюцию, генерируемую гамильтоновым оператором, как в функциональном методе Шредингера . ^{[30] [31] [32] [33]}

Уравнения Клейна–Гордона и Дирака

Попытки объединить квантовую физику со специальной теорией относительности начались с построения релятивистских волновых уравнений из релятивистского соотношения энергии-импульса вместо нерелятивистских энергетических уравнений. Уравнение Клейна–Гордона и уравнение Дирака являются двумя такими уравнениями. Уравнение Клейна–Гордона было первым таким уравнением, полученным еще до нерелятивистского одночастичного уравнения Шредингера, и применяется к массивным бесспиновым частицам. Исторически Дирак получил уравнение Дирака, ища дифференциальное уравнение, которое было бы первого порядка как по времени, так и по пространству, что является желательным свойством для релятивистской теории. Взятие «квадратного корня» из левой части уравнения Клейна–Гордона таким образом потребовало разложения его на произведение двух операторов, которое Дирак записал с использованием матриц 4 × 4. Следовательно, волновая функция также стала четырехкомпонентной функцией, управляемой уравнением Дирака, которое в свободном пространстве имеет вид $${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta }$ $${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

Это снова имеет форму уравнения Шредингера, причем производная по времени волновой функции задается оператором Гамильтона, действующим на волновую функцию. Включение влияний на частицу требует модификации оператора Гамильтона. Например, гамильтониан Дирака для частицы с массой m и электрическим зарядом q в электромагнитном поле (описываемом электромагнитными потенциалами φ и A ) имеет вид: в котором γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ ) и γ ⁰ являются гамма-матрицами Дирака , связанными со спином частицы. Уравнение Дирака справедливо для всех частиц со спином 1 ⁄ 2 , и решениями уравнения являются 4-компонентные спинорные поля с двумя компонентами, соответствующими частице, и двумя другими для античастицы . $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],}$$

Для уравнения Клейна–Гордона общая форма уравнения Шредингера неудобна для использования, и на практике гамильтониан не выражается аналогичным образом гамильтониану Дирака. Уравнения для релятивистских квантовых полей, двумя примерами которых являются уравнения Клейна–Гордона и Дирака, могут быть получены другими способами, например, исходя из плотности Лагранжа и используя уравнения Эйлера–Лагранжа для полей, или используя теорию представлений группы Лоренца , в которой определенные представления могут быть использованы для фиксации уравнения для свободной частицы заданного спина (и массы).

В общем случае гамильтониан, который следует подставить в общее уравнение Шредингера, является не только функцией операторов положения и импульса (и, возможно, времени), но также и спиновых матриц. Кроме того, решения релятивистского волнового уравнения для массивной частицы со спином s являются комплекснозначными 2(2 s + 1) -компонентными спинорными полями .

Фок-пространство

В первоначальной формулировке уравнение Дирака является уравнением для одной квантовой частицы, как и уравнение Шредингера для одной частицы с волновой функцией . Это имеет ограниченное применение в релятивистской квантовой механике, где число частиц не фиксировано. Эвристически это усложнение может быть мотивировано замечанием, что эквивалентность массы и энергии подразумевает, что материальные частицы могут быть созданы из энергии. Обычный способ решения этой проблемы в КТП — ввести гильбертово пространство, где базисные состояния помечены числом частиц, так называемое пространство Фока . Затем уравнение Шредингера можно сформулировать для квантовых состояний в этом гильбертовом пространстве. ^[29] Однако, поскольку уравнение Шредингера выбирает предпочтительную ось времени, лоренц-инвариантность теории больше не проявляется, и, соответственно, теория часто формулируется другими способами. ^[34] ${\displaystyle \Psi (x,t)}$

История

Эрвин Шредингер

После квантования света Максом Планком (см. излучение черного тела ) Альберт Эйнштейн интерпретировал кванты Планка как фотоны , частицы света , и предположил, что энергия фотона пропорциональна его частоте , что является одним из первых признаков корпускулярно-волнового дуализма . Поскольку энергия и импульс связаны таким же образом, как частота и волновое число в специальной теории относительности , отсюда следует, что импульс фотона обратно пропорционален его длине волны или пропорционален его волновому числу : где — постоянная Планка , а — приведенная постоянная Планка. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что это верно для всех частиц, даже для частиц, имеющих массу, таких как электроны. Он показал, что, предполагая, что волны материи распространяются вместе со своими коллегами-частицами, электроны образуют стоячие волны , что означает, что разрешены только определенные дискретные частоты вращения вокруг ядра атома. ^[35] Эти квантованные орбиты соответствуют дискретным уровням энергии , и де Бройль воспроизвел формулу модели Бора для уровней энергии. Модель Бора была основана на предполагаемом квантовании углового момента согласно Согласно де Бройлю, электрон описывается волной, и целое число длин волн должно укладываться вдоль окружности орбиты электрона: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar .}$$ $${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$$

Такой подход по существу ограничивал электронную волну в одном измерении, вдоль круговой орбиты радиусом . ${\displaystyle r}$

В 1921 году, до де Бройля, Артур С. Ланн из Чикагского университета использовал тот же аргумент, основанный на дополнении релятивистского 4-вектора энергии-импульса , чтобы вывести то, что мы сейчас называем соотношением де Бройля. ^{[36] [37]} В отличие от де Бройля, Ланн продолжил формулировать дифференциальное уравнение, теперь известное как уравнение Шредингера, и решил его для собственных значений энергии для атома водорода; статья была отклонена Physical Review , согласно Камену. ^[38]

Продолжая идеи де Бройля, физик Питер Дебай сделал небрежное замечание, что если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять некоторому волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался аналогией Уильяма Роуэна Гамильтона между механикой и оптикой , закодированной в наблюдении, что предел нулевой длины волны оптики напоминает механическую систему — траектории световых лучей становятся острыми следами, которые подчиняются принципу Ферма , аналогу принципа наименьшего действия . ^[39]

Уравнение Шредингера, начертанное на надгробии Аннемари и Эрвина Шредингеров. ( Использована точечная запись Ньютона для производной по времени.)

Уравнение, которое он нашел, выглядит так ^[40] $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

К тому времени Арнольд Зоммерфельд усовершенствовал модель Бора с помощью релятивистских поправок . ^{[41] [42]} Шредингер использовал релятивистское соотношение энергии-импульса, чтобы найти то, что сейчас известно как уравнение Клейна-Гордона в кулоновском потенциале (в натуральных единицах ): $${\displaystyle \left(E+{\frac {e^{2}}{r}}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).}$$

Он нашел стоячие волны этого релятивистского уравнения, но релятивистские поправки не согласовывались с формулой Зоммерфельда. Обескураженный, он отложил свои вычисления и уединился с любовницей в горной хижине в декабре 1925 года. ^[43]

Находясь в каюте, Шредингер решил, что его ранние нерелятивистские вычисления были достаточно новыми, чтобы опубликовать их, и решил оставить проблему релятивистских поправок на будущее. Несмотря на трудности в решении дифференциального уравнения для водорода (он обратился за помощью к своему другу математику Герману Вейлю ^{[44] : 3} ), Шредингер показал, что его нерелятивистская версия волнового уравнения дала правильные спектральные энергии водорода в статье, опубликованной в 1926 году. ^{[44] : 1  [45]} Шредингер вычислил спектральную серию водорода , рассматривая электрон атома водорода как волну , движущуюся в потенциальной яме , созданной протоном . Это вычисление точно воспроизвело энергетические уровни модели Бора . ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle V}$

Уравнение Шредингера описывает поведение , но ничего не говорит о его природе . Шредингер пытался интерпретировать действительную часть как плотность заряда, а затем пересмотрел это предложение, заявив в своей следующей статье, что квадрат модуля является плотностью заряда. Этот подход, однако, оказался неудачным. ^{[примечание 3]} В 1926 году, всего через несколько дней после публикации этой статьи, Макс Борн успешно интерпретировал как амплитуду вероятности , квадрат модуля которой равен плотности вероятности . ^{[46] : 220} Позже сам Шредингер объяснил эту интерпретацию следующим образом: ^[49] ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Уже упомянутая пси-функция... теперь является средством прогнозирования вероятности результатов измерений. В ней воплощена мгновенно достигнутая сумма теоретически обоснованных будущих ожиданий, как бы изложенная в каталоге.

—  Эрвин Шредингер

Интерпретация

Уравнение Шредингера позволяет вычислить волновую функцию системы и то, как она динамически изменяется во времени. Однако уравнение Шредингера не говорит напрямую , что именно представляет собой волновая функция. Значение уравнения Шредингера и то, как математические сущности в нем соотносятся с физической реальностью, зависит от принятой интерпретации квантовой механики .

В представлениях, часто объединяемых в копенгагенскую интерпретацию , волновая функция системы представляет собой набор статистической информации о системе. Уравнение Шредингера связывает информацию о системе в один момент времени с информацией о ней в другой момент времени. В то время как процесс эволюции во времени, представленный уравнением Шредингера, является непрерывным и детерминированным, в том смысле, что знание волновой функции в один момент времени в принципе достаточно для ее вычисления для всех будущих моментов времени, волновые функции также могут изменяться прерывисто и стохастически во время измерения . Согласно этой школе мысли, волновая функция изменяется из-за доступности новой информации. Волновая функция после измерения, как правило, не может быть известна до измерения, но вероятности для различных возможностей могут быть вычислены с использованием правила Борна . ^{[25] [50] [примечание 4]} Другие, более поздние интерпретации квантовой механики, такие как реляционная квантовая механика и QBism, также придают уравнению Шредингера статус такого рода. ^{[53] [54]}

Сам Шредингер предположил в 1952 году, что различные члены суперпозиции, развивающейся в соответствии с уравнением Шредингера, «не являются альтернативами, но все действительно происходят одновременно». Это было интерпретировано как ранняя версия многомировой интерпретации Эверетта . ^{[55] [56] [примечание 5]} Эта интерпретация, сформулированная независимо в 1956 году, утверждает, что все возможности, описанные квантовой теорией, одновременно происходят в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. ^[58] Эта интерпретация устраняет аксиому коллапса волновой функции, оставляя только непрерывную эволюцию в соответствии с уравнением Шредингера, и поэтому все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции . В то время как мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминированное поведение, управляемое вероятностями, потому что мы не наблюдаем мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную за раз. То, как именно это должно работать, было предметом многочисленных споров. Почему мы вообще должны назначать вероятности результатам, которые наверняка произойдут в некоторых мирах, и почему вероятности должны определяться правилом Борна? ^[59] Было предложено несколько способов ответить на эти вопросы в рамках многомировой модели, но нет единого мнения относительно того, являются ли они успешными. ^{[60] [61] [62]}

Бомианская механика переформулирует квантовую механику, чтобы сделать ее детерминированной, ценой добавления силы из-за «квантового потенциала». Она приписывает каждой физической системе не только волновую функцию, но и реальное положение, которое развивается детерминированно под нелокальным направляющим уравнением. Эволюция физической системы всегда задается уравнением Шредингера вместе с направляющим уравнением. ^[63]

Смотрите также

• Уравнение Экхауза
• Уравнение Фоккера–Планка
• Интерпретации квантовой механики
• Список вещей, названных в честь Эрвина Шредингера
• Логарифмическое уравнение Шредингера
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Уравнение Паули
• Квантовый канал
• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по траекториям квантовой механики
• Картина Шредингера
• Распределение квазивероятности Вигнера

Примечания

1. Это правило получения вероятностей из вектора состояния подразумевает, что векторы, которые отличаются только общей фазой, физически эквивалентны; и представляют те же самые квантовые состояния. Другими словами, возможные состояния являются точками в проективном пространстве гильбертова пространства, обычно называемом проективным гильбертовым пространством . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$
2. Точнее, влияние преобразования Галилея на уравнение Шредингера можно отменить с помощью фазового преобразования волновой функции, которое оставляет вероятности, вычисленные с помощью правила Борна, неизменными. ^[28]
3. Подробности см. у Мура, ^{[46] : 219} , Джаммера, ^{[47] : 24–25} и Карама. ^[48]
4. Одна из трудностей в обсуждении философской позиции «копенгагенской интерпретации» заключается в том, что нет единого авторитетного источника, который устанавливает, что такое интерпретация. Другая сложность заключается в том, что философский фон, знакомый Эйнштейну, Бору, Гейзенбергу и современникам, гораздо менее знаком физикам и даже философам физики более поздних времен. ^{[51] [52]}
5. Более поздние работы Шрёдингера также содержат элементы, напоминающие модальную интерпретацию, созданную Басом ван Фраассеном . Поскольку Шредингер придерживался своего рода постмахистского нейтрального монизма , в котором «материя» и «разум» являются лишь различными аспектами или расположениями одних и тех же общих элементов, рассмотрение волновой функции как физической и рассмотрение ее как информации стали взаимозаменяемыми. ^[57]

Ссылки

1. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8.
2. "Google-дудл физика Эрвина Шредингера отмечает работу квантовой механики". The Guardian . 13 августа 2013 г. Получено 25 августа 2013 г.
3. Шредингер, Э. (1926). "Волновая теория механики атомов и молекул" (PDF) . Physical Review . 28 (6): 1049–70. Bibcode :1926PhRv...28.1049S. doi :10.1103/PhysRev.28.1049. Архивировано из оригинала (PDF) 17 декабря 2008 г.
4. Уиттекер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 2: Современные теории, 1900 – 1926 (переиздание). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
5. Zwiebach, Бартон (2022). Освоение квантовой механики: основы, теория и приложения . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-04613-8. OCLC  1347739457.
6. Дирак, Поль Адриен Морис (1930). Принципы квантовой механики . Оксфорд: Clarendon Press.
7. Гильберт, Дэвид (2009). Зауэр, Тилман; Майер, Ульрих (ред.). Лекции по основам физики 1915–1927: теория относительности, квантовая теория и эпистемология . Springer. doi :10.1007/b12915. ISBN 978-3-540-20606-4. OCLC  463777694.
8. фон Нейман, Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Берлин: Шпрингер.Перевод на английский язык: Математические основы квантовой механики . Перевод Бейера, Роберта Т. Издательство Принстонского университета. 1955.
9. Weyl, Hermann (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика . Перевод Robertson, HP Dover. ISBN 978-0-486-60269-1.Перевод с немецкого Gruppentheorie und Quantenmechanik (2-е изд.). С. Хирзель Верлаг  [ де ] . 1931 год.
10. Холл, BC (2013). "Глава 6: Перспективы спектральной теоремы". Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том 267. Springer. Bibcode : 2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158.
11. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2005). Квантовая механика . Перевод Хемли, Сьюзен Рид; Островский, Николь; Островский, Дэн. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-16433-X.
12. Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Kluwer Academic/Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.
13. Риффель, Элеанор Г.; Полак, Вольфганг Х. (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: легкое введение . MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
14. Яффе, Лоуренс Г. (2015). "Глава 6: Симметрии" (PDF) . Физика 226: Частицы и симметрии . Получено 1 января 2021 г.
15. Сакурай, Дж. Дж .; Наполитано, Дж. (2017). Современная квантовая механика (второе изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 68. ISBN 978-1-108-49999-6. OCLC  1105708539.
16. Sakurai, Jun John; Napolitano, Jim (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.
17. Mostafazadeh, Ali (7 января 2003 г.). «Структуры гильбертова пространства в пространстве решений уравнений эволюции типа Клейна-Гордона». Classical and Quantum Gravity . 20 (1): 155–171. arXiv : math-ph/0209014 . doi : 10.1088/0264-9381/20/1/312. ISSN  0264-9381.
18. Сингх, Чандралекха (март 2008 г.). «Понимание квантовой механики студентами в начале обучения в аспирантуре». American Journal of Physics . 76 (3): 277–287. arXiv : 1602.06660 . Bibcode : 2008AmJPh..76..277S. doi : 10.1119/1.2825387. ISSN  0002-9505. S2CID  118493003.
19. Адамс, CS; Сигел, M; Млинек, J (1994). «Атомная оптика». Physics Reports . 240 (3). Elsevier BV: 143–210. Bibcode : 1994PhR...240..143A. doi : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 . ISSN  0370-1573.
20. Аткинс, П. У. (1978). Физическая химия . Oxford University Press. ISBN 0-19-855148-7.
21. Хук, Дж. Р.; Холл, Х. Э. (2010). Физика твердого тела . Серия физики Манчестера (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92804-1.
22. Таунсенд, Джон С. (2012). «Глава 7: Одномерный гармонический осциллятор». Современный подход к квантовой механике . University Science Books. стр. 247–250, 254–5, 257, 272. ISBN 978-1-891389-78-8.
23. Типлер, П.А.; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров – с современной физикой (6-е изд.). Freeman. ISBN 978-0-7167-8964-2.
24. Гриффитс, Дэвид Дж. (2008). Введение в элементарные частицы. Wiley-VCH. С. 162–. ISBN 978-3-527-40601-2. Получено 27 июня 2011 г.
25. Перес, Эшер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer . ISBN 0-7923-2549-4. OCLC  28854083.
26. Брейер, Хайнц; Петруччионе, Франческо (2002). Теория открытых квантовых систем. Oxford University Press. стр. 110. ISBN 978-0-19-852063-4.
27. Швабль, Франц (2002). Статистическая механика. Springer. стр. 16. ISBN 978-3-540-43163-3.
28. Дом, Дипанкар (2013). Концептуальные основы квантовой физики . Springer US. стр. 4–5. ISBN 9781475798081. OCLC  1157340444.
29. Coleman, Sidney (8 ноября 2018 г.). Derbes, David; Ting, Yuan-sen; Chen, Bryan Gin-ge; Sohn, Richard; Griffiths, David; Hill, Brian (ред.). Lectures Of Sidney Coleman On Quantum Field Theory . World Scientific Publishing. ISBN 978-9-814-63253-9. OCLC  1057736838.
30. Symanzik, K. (6 июля 1981 г.). "Представление Шредингера и эффект Казимира в перенормируемой квантовой теории поля" . Nuclear Physics B. 190 ( 1): 1–44. Bibcode :1981NuPhB.190....1S. doi :10.1016/0550-3213(81)90482-X. ISSN  0550-3213.
31. Кифер, Клаус (15 марта 1992 г.). "Функциональное уравнение Шредингера для скалярной КЭД" . Physical Review D. 45 ( 6): 2044–2056. Bibcode :1992PhRvD..45.2044K. doi :10.1103/PhysRevD.45.2044. ISSN  0556-2821. PMID  10014577.
32. Хэтфилд, Брайан (1992). Квантовая теория поля точечных частиц и струн. Кембридж, Массачусетс: Perseus Books. ISBN 978-1-4294-8516-6. OCLC  170230278.
33. Ислам, Джамал Назрул (май 1994). "Уравнение Шредингера в квантовой теории поля" . Основы физики . 24 (5): 593–630. Bibcode : 1994FoPh...24..593I. doi : 10.1007/BF02054667. ISSN  0015-9018. S2CID  120883802.
34. Средницки, Марк Аллен (2012). Квантовая теория поля. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86449-7. OCLC  71808151.
35. де Бройль, Л. (1925). «Recherches sur la theorie des quanta» [К теории квантов] (PDF) . Annales de Physique (на французском языке). 10 (3): 22–128. Бибкод : 1925АнФ...10...22Д. дои : 10.1051/anphys/192510030022. Архивировано из оригинала (PDF) 9 мая 2009 года.
36. Вайсман, МБ; ВВ Илиев; И. Гутман (2008). «Помним пионера: биографические заметки об Артуре Константе Ланне» (PDF) . Сообщения по математической и компьютерной химии . 59 (3): 687–708.
37. Сэмюэл И. Вайсман; Майкл Вайсман (1997). «Мистификация Алана Сокала и теория квантовой механики А. Ланна». Physics Today . 50 (6): 15. Bibcode : 1997PhT....50f..15W. doi : 10.1063/1.881789.
38. Камен, Мартин Д. (1985). Radiant Science, Dark Politics. Беркли и Лос-Анджелес, Калифорния: University of California Press. С. 29–32. ISBN 978-0-520-04929-1.
39. Шредингер, Э. (1984). Собраны бумаги . Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-7001-0573-2.См. введение к первой статье 1926 года.
40. Лернер, РГ ; Тригг, ГЛ (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC. ISBN 0-89573-752-3.
41. Зоммерфельд, А. (1919). Atombau und Spektrallinien (на немецком языке). Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-87144-484-5.
42. Для источника на английском языке см. Haar, T. (1967). The Old Quantum Theory . Оксфорд, Нью-Йорк: Pergamon Press.
43. Терези, Дик (7 января 1990 г.). «Одинокий рейнджер квантовой механики». The New York Times . ISSN  0362-4331 . Получено 13 октября 2020 г.
44. Шредингер, Эрвин (1982). Сборник статей по волновой механике (3-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3524-1.
45. Шредингер, Э. (1926). «Quantisierung als Eigenwertproblem; фон Эрвин Шрёдингер» . Аннален дер Физик (на немецком языке). 384 (4): 361–377. Бибкод : 1926АнП...384..361С. дои : 10.1002/andp.19263840404.
46. Moore, WJ (1992). Шредингер: Жизнь и мысли . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-43767-7.
47. Джаммер, Макс (1974). Философия квантовой механики: интерпретации квантовой механики в исторической перспективе . Wiley-Interscience. ISBN 9780471439585.
48. Карам, Рикардо (июнь 2020 г.). «Оригинальные проблемы Шрёдингера с комплексной волновой функцией» . American Journal of Physics . 88 (6): 433–438. Bibcode : 2020AmJPh..88..433K. doi : 10.1119/10.0000852. ISSN  0002-9505. S2CID  219513834.
49. Эрвин Шредингер, «Современная ситуация в квантовой механике», стр. 9 из 22. Английская версия была переведена Джоном Д. Триммером. Перевод впервые появился в Proceedings of the American Philosophical Society , 124, 323–338. Позднее он появился как раздел I.11 части I книги Quantum Theory and Measurement под редакцией JA Wheeler и WH Zurek, Princeton University Press, New Jersey 1983, ISBN 0691083169 . 
50. Омнес, Р. (1994). Интерпретация квантовой механики . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03669-4. OCLC  439453957.
51. Фэй, Ян (2019). «Копенгагенская интерпретация квантовой механики». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
52. Шевалли, Кэтрин (1999). «Почему мы находим Бора неясным?». В Гринбергер, Даниэль; Рейтер, Вольфганг Л.; Цайлингер, Антон (ред.). Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики . Springer Science+Business Media. стр. 59–74. doi :10.1007/978-94-017-1454-9. ISBN 978-9-04815-354-1.
53. van Fraassen, Bas C. (апрель 2010 г.). "Rovelli's World" . Foundations of Physics . 40 (4): 390–417. Bibcode :2010FoPh...40..390V. doi :10.1007/s10701-009-9326-5. ISSN  0015-9018. S2CID  17217776.
54. Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовские и прагматические взгляды на квантовую теорию». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
55. Deutsch, David (2010). «Apart from Universes». В S. Saunders; J. Barrett; A. Kent; D. Wallace (ред.). Many Worlds? Everett, Quantum Theory and Reality . Oxford University Press.
56. Шредингер, Эрвин (1996). Битбол, Мишель (ред.). Интерпретация квантовой механики: Дублинские семинары (1949–1955) и другие неопубликованные эссе . OxBow Press.
57. Битбол, Мишель (1996). Философия квантовой механики Шредингера. Дордрехт: Springer Netherlands. ISBN 978-94-009-1772-9. OCLC  851376153.
58. Барретт, Джеффри (2018). «Формулировка квантовой механики относительного состояния Эверетта». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
59. Уоллес, Дэвид (2003). «Эвереттовская рациональность: защита подхода Дойча к вероятности в интерпретации Эверетта». Stud. Hist. Phil. Mod. Phys . 34 (3): 415–438. arXiv : quant-ph/0303050 . Bibcode :2003SHPMP..34..415W. doi :10.1016/S1355-2198(03)00036-4. S2CID  1921913.
60. Ballentine, LE (1973). «Можно ли вывести статистический постулат квантовой теории? — Критика интерпретации многих вселенных». Foundations of Physics . 3 (2): 229–240. Bibcode : 1973FoPh....3..229B. doi : 10.1007/BF00708440. S2CID  121747282.
61. Ландсман, Н. П. (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (ред.). Compendium of Quantum Physics . Springer. ISBN 978-3-540-70622-9. Вывод, по-видимому, состоит в том, что на сегодняшний день не было дано общепринятого вывода правила Борна, но это не означает, что такой вывод в принципе невозможен.
62. Кент, Адриан (2010). «Один мир против многих: неадекватность эвереттовских описаний эволюции, вероятности и научного подтверждения». В S. Saunders; J. Barrett; A. Kent; D. Wallace (ред.). Многие миры? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Oxford University Press. arXiv : 0905.0624 . Bibcode :2009arXiv0905.0624K.
63. Голдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.

Внешние ссылки

• «Уравнение Шредингера». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Книга квантовых рецептов (PDF) и PHYS 201: Основы физики II Рамамурти Шанкара , Yale OpenCourseware
• Современная революция в физике – онлайн-учебник.
• Квантовая физика I в Массачусетском технологическом институте OpenCourseWare