Общая топология

В математике общая топология (или топология точечных множеств ) — это раздел топологии , который занимается основными теоретико-множественными определениями и конструкциями , используемыми в топологии. Это основа большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию , геометрическую топологию и алгебраическую топологию .

Основными понятиями топологии точечной топологии являются непрерывность , компактность и связность :

Непрерывные функции интуитивно переносят соседние точки в соседние точки.
Компактные множества — это такие множества, которые можно покрыть конечным числом множеств произвольно малого размера.
Связные множества — это множества, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга.

Термины «рядом», «произвольно мало» и «далеко друг от друга» можно уточнить, используя концепцию открытых множеств . Если мы изменим определение «открытого множества», мы изменим то, что такое непрерывные функции, компактные множества и связные множества. Каждый выбор определения для «открытого множества» называется топологией . Множество с топологией называется топологическим пространством .

Метрические пространства — важный класс топологических пространств, где действительное неотрицательное расстояние, также называемое метрикой , может быть определено на парах точек в наборе. Наличие метрики упрощает многие доказательства, и многие из наиболее распространенных топологических пространств являются метрическими пространствами.

История

Общая топология возникла из ряда областей, наиболее важными из которых являются следующие:

детальное изучение подмножеств действительной прямой (ранее известное как топология точечных множеств ; в настоящее время это название устарело)
введение концепции многообразия
изучение метрических пространств , особенно линейных нормированных пространств , на заре функционального анализа .

Общая топология приняла свою нынешнюю форму около 1940 года. Она охватывает, можно сказать, почти все в интуиции непрерывности в технически адекватной форме, которую можно применять в любой области математики.

Топология на множестве

Пусть X — множество, а τ — семейство подмножеств X. Тогда τ называется топологией на X , если : ^[1]^[2]

И пустое множество , и X являются элементами τ
Любое объединение элементов τ является элементом τ
Любое пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ

Если τ — топология на X , то пара ( X , τ ) называется топологическим пространством . Обозначение X _τ может быть использовано для обозначения множества X, наделенного конкретной топологией τ .

Члены τ называются открытыми множествами в X. Подмножество X называется замкнутым , если его дополнение содержится в τ (т. е. его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, замкнутым, обоими ( clopen set ) или ни тем, ни другим. Пустое множество и само X всегда являются как замкнутыми, так и открытыми.

Основа топологии

База (или базис ) B для топологического пространства X с топологией T — это набор открытых множеств в T, такой что каждое открытое множество в T может быть записано как объединение элементов B. ^[3]^[4] Мы говорим, что база порождает топологию T. Базисы полезны, потому что многие свойства топологий можно свести к утверждениям о базе, которая порождает эту топологию, и потому что многие топологии проще всего определить в терминах базы, которая их порождает.

Подпространство и частное

Каждому подмножеству топологического пространства можно задать топологию подпространства , в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств произведению можно задать топологию произведения , которая генерируется обратными образами открытых множеств факторов при проекционных отображениях. Например, в конечных произведениях базис для топологии произведения состоит из всех произведений открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, чтобы в базовом открытом множестве все, кроме конечного числа его проекций, были всем пространством.

Фактор -пространство определяется следующим образом: если X — топологическое пространство, а Y — множество, и если f : X → Y — сюръективная функция , то фактор-топология на Y — это совокупность подмножеств Y , которые имеют открытые прообразы относительно f . Другими словами, фактор-топология — это наилучшая топология на Y , для которой f непрерывна. Типичным примером фактор-топологии является ситуация, когда на топологическом пространстве X определено отношение эквивалентности . Тогда отображение f является естественной проекцией на множество классов эквивалентности .

Примеры топологических пространств

У данного множества может быть много разных топологий. Если множеству дана другая топология, оно рассматривается как другое топологическое пространство.

Дискретные и тривиальные топологии

Любому множеству можно задать дискретную топологию , в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном счете постоянны. Кроме того, любому множеству можно задать тривиальную топологию (также называемую недискретной топологией), в которой открыты только пустое множество и все пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходятся к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть хаусдорфовыми пространствами, где предельные точки уникальны.

Коконечные и косчетные топологии

Любому множеству можно задать кофинитную топологию, в которой открытые множества являются пустым множеством и множествами, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T 1 на любом бесконечном множестве.

Любому множеству можно задать косчетную топологию , в которой множество определяется как открытое, если оно либо пусто, либо его дополнение счетно. Когда множество несчетно, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.

Топологии на действительных и комплексных числах

Существует много способов определить топологию на R , множестве действительных чисел . Стандартная топология на R генерируется открытыми интервалами . Множество всех открытых интервалов образует базу или основу для топологии, что означает, что каждое открытое множество является объединением некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество является открытым, если существует открытый интервал ненулевого радиуса вокруг каждой точки множества. В более общем смысле, евклидовым пространствам R ⁿ можно задать топологию. В обычной топологии на R ⁿ основные открытые множества являются открытыми шарами . Аналогично, C , множество комплексных чисел , и C ⁿ имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества являются открытыми шарами.

Действительная прямая также может быть задана топологией нижнего предела . Здесь основные открытые множества являются полуоткрытыми интервалами [ a , b ). Эта топология на R строго тоньше, чем евклидова топология, определенная выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что множество может иметь много различных топологий, определенных на нем.

Метрическая топология

Каждому метрическому пространству можно задать метрическую топологию, в которой базовые открытые множества являются открытыми шарами, определяемыми метрикой. Это стандартная топология на любом нормированном векторном пространстве . На конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Дополнительные примеры

Существует множество топологий на любом заданном конечном множестве . Такие пространства называются конечными топологическими пространствами . Конечные пространства иногда используются для предоставления примеров или контрпримеров к предположениям о топологических пространствах в целом.
Каждое многообразие имеет естественную топологию , поскольку оно локально евклидово. Аналогично, каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследуют естественную топологию от R ⁿ .
Топология Зарисского определяется алгебраически на спектре кольца или алгебраического многообразия . На R ⁿ или C ⁿ замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений.
Линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами .
Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем указания того, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.
Любое локальное поле имеет свойственную ему топологию, и ее можно распространить на векторные пространства над этим полем.
Пространство Серпинского — простейшее недискретное топологическое пространство. Оно имеет важные связи с теорией вычислений и семантикой.
Если Γ — порядковое число , то множество Γ = [0, Γ) можно наделить топологией порядка , порожденной интервалами ( a , b ), [0, b ) и ( a , Γ), где a и b — элементы Γ.

Непрерывные функции

Непрерывность выражается в терминах окрестностей : $f$ непрерывно в некоторой точке $x \in X$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ множества $f (x)$ существует окрестность $U$ множества $x$ такая, что $f (U) \subseteq V$ . Интуитивно непрерывность означает, что независимо от того, насколько «малым» становится $V$ , всегда существует $U$ , содержащее $x$ , которое отображается внутрь $V$ и образ которого при $f$ содержит $f (x)$ . Это эквивалентно условию, что прообразы открытых (замкнутых) множеств в $Y$ открыты (замкнуты) в $X$ . В метрических пространствах это определение эквивалентно ε–δ-определению , которое часто используется в анализе.

Крайний пример: если множеству $X$ задана дискретная топология , все функции

f\двоеточие X\rightarrow T

к любому топологическому пространству $T$ непрерывны. С другой стороны, если $X$ снабжено недискретной топологией и множество пространства $T$ не меньше T 0 , то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, область значений которой недискретна, непрерывна.

Альтернативные определения

Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры , и, следовательно, существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Определение района

Определения, основанные на прообразах, часто трудно использовать напрямую. Следующий критерий выражает непрерывность в терминах окрестностей : f непрерывна в некоторой точке x ∈ X тогда и только тогда, когда для любой окрестности V для f ( x ) существует окрестность U для x такая, что f ( U ) ⊆ V . Интуитивно непрерывность означает, что независимо от того, насколько «малым» становится V , всегда существует U , содержащее x , которое отображается внутрь V .

Если X и Y — метрические пространства, то эквивалентно рассматривать систему окрестностей открытых шаров с центрами в x и f ( x ) вместо всех окрестностей. Это возвращает вышеприведенное δ-ε определение непрерывности в контексте метрических пространств. Однако в общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния.

Однако следует отметить, что если целевое пространство является Хаусдорфовым , то по-прежнему верно, что f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда предел f при приближении x к точке a равен f ( a ). В изолированной точке каждая функция непрерывна.

Последовательности и сети

В нескольких контекстах топология пространства удобно задается в терминах предельных точек . Во многих случаях это достигается указанием того, когда точка является пределом последовательности , но для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, также указывается, когда точка является пределом более общих наборов точек, индексированных направленным набором , известных как сети . ^[5] Функция непрерывна, только если она переводит пределы последовательностей в пределы последовательностей. В первом случае сохранение пределов также достаточно; во втором случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но все еще не быть непрерывной, и сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

В частности, функция f : X → Y является последовательно непрерывной , если всякий раз, когда последовательность ( x _n ) в X сходится к пределу x , последовательность ( f ( x _n )) сходится к f ( x ). ^[6] Таким образом, последовательно непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Каждая непрерывная функция является последовательно непрерывной. Если X является пространством с первой аксиомой счетности и счетный выбор выполняется, то обратное также выполняется: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, является непрерывной. В частности, если X является метрическим пространством, последовательная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не являющихся пространствами с первой аксиомой счетности, последовательная непрерывность может быть строго слабее непрерывности. (Пространства, для которых эти два свойства эквивалентны, называются последовательными пространствами .) Это мотивирует рассмотрение сетей вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и на самом деле это свойство характеризует непрерывные функции.

Определение оператора замыкания

Вместо указания открытых подмножеств топологического пространства топология может быть также определена оператором замыкания (обозначаемым cl), который назначает любому подмножеству A ⊆ X его замыкание , или внутренним оператором (обозначаемым int), который назначает любому подмножеству A из X его внутренность . В этих терминах функция

f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,

между топологическими пространствами непрерывно в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда для всех подмножеств A из X

{\ displaystyle f (\ mathrm {cl} (A)) \ subseteq \ mathrm {cl} '(f (A)).}

То есть, если задан любой элемент x из X , который находится в замыкании любого подмножества A , f ( x ) принадлежит замыканию f ( A ). Это эквивалентно требованию, что для всех подмножеств A ' из X '

f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).

Более того,

f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,

непрерывен тогда и только тогда, когда

f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))

для любого подмножества A из X.

Характеристики

Если f : X → Y и g : Y → Z непрерывны, то таковой является и композиция g ∘ f : X → Z. Если f : X → Y непрерывна и

X компактно , тогда f ( X ) компактно.
X связен , тогда f ( X ) связен.
X линейно связен , тогда f ( X ) линейно связен.
X — Линделеф , тогда f ( X ) — Линделеф.
X сепарабельно , тогда f ( X ) сепарабельно.

Возможные топологии на фиксированном множестве X частично упорядочены : топология τ ₁ называется более грубой , чем другая топология τ ₂ (обозначение: τ ₁ ⊆ τ ₂ ), если каждое открытое подмножество относительно τ ₁ также открыто относительно τ ₂ . Тогда тождественное отображение

идентификатор _Икс : ( Икс , τ ₂ ) → ( Икс , τ ₁ )

непрерывна тогда и только тогда, когда τ ₁ ⊆ τ ₂ (см. также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция

(X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})

остается непрерывным, если топология τ _Y заменяется более грубой топологией и/или τ _X заменяется более тонкой топологией .

Гомеоморфизмы

Симметричным понятию непрерывного отображения является открытое отображение , для которого образы открытых множеств открыты. Фактически, если открытое отображение f имеет обратную функцию , то эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию , то эта обратная функция открыта. Если задана биективная функция f между двумя топологическими пространствами, то обратная функция f ⁻¹ не обязана быть непрерывной. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом .

Если непрерывная биекция имеет своей областью определения компактное пространство и ее область определения хаусдорфова , то она является гомеоморфизмом.

Определение топологий с помощью непрерывных функций

Дана функция

f\colon X\rightarrow S,\,

где X — топологическое пространство, а S — множество (без указанной топологии), окончательная топология на S определяется путем разрешения открытым множествам S быть теми подмножествами A из S, для которых f ⁻¹ ( A ) открыто в X . Если S имеет существующую топологию, f непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология грубее финальной топологии на S . Таким образом, финальную топологию можно охарактеризовать как наилучшую топологию на S , которая делает f непрерывным. Если f сюръективно , эта топология канонически отождествляется с фактор-топологией по отношению эквивалентности , определяемому f .

Двойственно, для функции f из множества S в топологическое пространство X исходная топология на S имеет базис открытых множеств, заданный теми множествами вида f^(-1) ( U ), где U открыто в X . Если S имеет существующую топологию, f непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология тоньше исходной топологии на S . Таким образом, исходную топологию можно охарактеризовать как самую грубую топологию на S , которая делает f непрерывной. Если f инъективна, эта топология канонически отождествляется с топологией подпространства S , рассматриваемой как подмножество X .

Топология на множестве S однозначно определяется классом всех непрерывных функций во все топологические пространства X. Двойственно , подобная идея может быть применена к отображениям $S\rightarrow X$ $X\rightarrow S.$

Компактные наборы

Формально топологическое пространство X называется компактным , если каждое из его открытых покрытий имеет конечное подпокрытие . В противном случае оно называется некомпактным . Явно это означает, что для любого произвольного набора

\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

открытых подмножеств $X$ таких, что

X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },

существует конечное подмножество $J$ множества $A$ такое, что

X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия , как правило, находящаяся под влиянием французской школы Бурбаки , используют термин квазикомпактный для общего понятия и резервируют термин компактный для топологических пространств, которые являются как хаусдорфовыми , так и квазикомпактными . Компактное множество иногда называют компактом , множественное число — compacta .

Каждый замкнутый интервал в R конечной длины компактен . Более того, верно: в R ⁿ множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. (См. теорему Гейне–Бореля ).

Всякое непрерывное изображение компактного пространства компактно.

Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Всякая непрерывная биекция из компактного пространства в хаусдорфово пространство обязательно является гомеоморфизмом .

Каждая последовательность точек в компактном метрическом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность.

Каждое компактное конечномерное многообразие может быть вложено в некоторое евклидово пространство R ⁿ .

Связанные множества

Топологическое пространство X называется несвязным, если оно является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств . В противном случае X называется связным . Подмножество топологического пространства называется связным, если оно связно относительно топологии своего подпространства . Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) из числа связных пространств, но эта статья не следует этой практике.

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

X подключен.
X нельзя разделить на два непересекающихся непустых замкнутых множества .
Единственными подмножествами X , которые являются одновременно открытыми и замкнутыми ( открыто-замкнутые множества ), являются X и пустое множество.
Единственными подмножествами X с пустой границей являются X и пустое множество.
X не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств .
Единственные непрерывные функции от X до {0,1}, двухточечного пространства, наделенного дискретной топологией, являются постоянными.

Каждый интервал в R связен .

Непрерывный образ связанного пространства связан.

Подключенные компоненты

Максимальные связные подмножества (упорядоченные по включению ) непустого топологического пространства называются связными компонентами пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение X : они не пересекаются , непусты, и их объединение — всё пространство. Каждый компонент является замкнутым подмножеством исходного пространства. Из этого следует, что в случае, когда их число конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, связные компоненты множества рациональных чисел являются одноточечными множествами, которые не являются открытыми.

Пусть — связная компонента x в топологическом пространстве X , а — пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих x (называемое квазикомпонентой x ). Тогда равенство выполняется, если X компактно хаусдорфово или локально связно. $\Gamma _{x}$ $\Gamma _{x}'$ $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$

Разъединенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью несвязным . В связи с этим свойством пространство X называется полностью разделенным , если для любых двух различных элементов x и y из X существуют непересекающиеся открытые окрестности U для x и V для y такие, что X является объединением U и V. Очевидно, что любое полностью разделенное пространство является полностью несвязным, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и отождествите их в каждой точке, кроме нуля. Полученное пространство с топологией фактора является полностью несвязным. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полностью разделенное. Фактически, оно даже не является хаусдорфовым , и условие полной разделенности строго сильнее условия хаусдорфовости.

Множества, связанные путем

Путь из точки x в точку y в топологическом пространстве X — это непрерывная функция f из единичного интервала [0,1] до X с f (0) = x и f (1) = y . Компонента пути X — это класс эквивалентности X при отношении эквивалентности , которое делает x эквивалентным y , если существует путь из x в y . Пространство X называется путево - связным ( или путево - связным или 0 -связным ), если существует не более одной компоненты пути; то есть если существует путь, соединяющий любые две точки в X . Опять же, многие авторы исключают пустое пространство.

Каждое линейно связное пространство связно. Обратное не всегда верно: примерами связных пространств, которые не являются линейно связными, являются расширенная длинная линия L * и синусоидальная кривая тополога .

Однако подмножества действительной прямой R связаны тогда и только тогда, когда они линейно связны; эти подмножества являются интервалами R . Кроме того, открытые подмножества R ⁿ или C ⁿ связаны тогда и только тогда, когда они линейно связны. Кроме того, связность и линейно связность одинаковы для конечных топологических пространств .

Продукты пространств

Дан X такой, что

X:=\prod _{i\in I}X_{i},

является декартовым произведением топологических пространств X _i , индексированных , и канонических проекций p i _: X → X i _, топология произведения на X определяется как грубейшая топология (т.е. топология с наименьшим числом открытых множеств), для которой все проекции p _i непрерывны . Топологию произведения иногда называют топологией Тихонова . $i\in I$

Открытые множества в топологии произведения являются объединениями (конечными или бесконечными) множеств вида , где каждое U _i открыто в X _i и U _i ≠ X _i только конечное число раз. В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) произведение базисных элементов X i _дает базис для произведения . $\prod _{i\in I}U_{i}$ $\prod _{i\in I}X_{i}$

Топология произведения на X — это топология, порожденная множествами вида p _i⁻¹ ( U ), где i принадлежит I , а U — открытое подмножество X _i . Другими словами, множества { p _i⁻¹ ( U )} образуют предбазу для топологии на X . Подмножество X открыто тогда и только тогда , когда оно является (возможно, бесконечным) объединением пересечений конечного числа множеств вида p _i⁻¹ ( U ). Иногда p _i⁻¹ ( U ) называют открытыми цилиндрами , а их пересечения — цилиндрическими множествами .

В общем случае произведение топологий каждого X _i образует основу для так называемой топологии ящика на X. В общем случае топология ящика тоньше топологии произведения, но для конечных произведений они совпадают.

С компактностью связана теорема Тихонова : (произвольное) произведение компактных пространств компактно.

Аксиомы разделения

Многие из этих названий имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе, как объясняется в Истории аксиом разделения ; например, значения «нормальный» и «T ₄ » иногда меняются местами, аналогично «регулярный» и «T ₃ » и т. д. Многие из концепций также имеют несколько названий; однако то, которое указано первым, всегда менее всего склонно быть двусмысленным.

Большинство этих аксиом имеют альтернативные определения с тем же значением; определения, данные здесь, попадают в последовательную модель, которая связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.

Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством .

X есть T0 , или Колмогоров , если любые две различные точки в X топологически различимы . (Среди аксиом разделения распространена идея иметь одну версию аксиомы, которая требует T0 ,_и одну версию, которая этого не требует.)
X есть T 1 , или достижимо или пространство Фреше , если любые две различные точки в X разделены. Таким образом, X есть T ₁ тогда и только тогда, когда оно есть и T ₀ , и R ₀ . (Хотя вы можете говорить о таких вещах, как пространство T ₁ , топология Фреше и Предположим, что топологическое пространство X есть пространство Фреше , избегайте говорить пространство Фреше в этом контексте, поскольку в функциональном анализе есть совершенно иное понятие пространства Фреше .)
X является хаусдорфовым , или T ₂ или разделенным , если любые две различные точки в X разделены окрестностями. Таким образом, X является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является одновременно T ₀ и R ₁ . Хаусдорфово пространство также должно быть T ₁ .
X есть T 2½ , или пространство Урысона , если любые две различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. Пространство AT _2½ также должно быть хаусдорфовым.
X является регулярным , или T ₃ , если оно является T ₀ и если заданы любая точка x и замкнутое множество F в X, такие, что x не принадлежит F , то они разделены окрестностями. (На самом деле, в регулярном пространстве любые такие x и F также разделены замкнутыми окрестностями.)
X является тихоновским , или T _3½ , полностью T ₃ или полностью регулярным , если он является T ₀ и если f, для любой точки x и замкнутого множества F в X, таких что x не принадлежит F , они разделены непрерывной функцией.
X является нормальным , или T ₄ , если оно хаусдорфово и если любые два непересекающихся замкнутых подмножества X разделены окрестностями. (На самом деле, пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией; это лемма Урысона .)
X полностью нормально , или T ₅ или полностью T ₄ , если это T ₁ и если любые два разделенных множества разделены соседями. Полностью нормальное пространство также должно быть нормальным.
X является совершенно нормальным , или T ₆ или совершенно T ₄ , если оно является T ₁ и если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены непрерывной функцией. Совершенно нормальное хаусдорфово пространство должно быть также совершенно нормальным хаусдорфовым.

Теорема о расширении Титце : В нормальном пространстве каждая непрерывная действительная функция, определенная на замкнутом подпространстве, может быть расширена до непрерывного отображения, определенного на всем пространстве.

Аксиомы счетности

Аксиома счетности — свойство некоторых математических объектов (обычно в категории ), требующее существования счетного множества с определенными свойствами, в то время как без него такие множества могли бы не существовать.

Важные аксиомы счетности для топологических пространств :

последовательное пространство : множество открыто, если каждая последовательность, сходящаяся к точке в множестве, в конечном итоге оказывается в множестве
пространство с первой счетностью : каждая точка имеет счетную соседнюю базу (локальную базу)
второе счетное пространство : топология имеет счетную базу
сепарабельное пространство : существует счетное плотное подпространство
Пространство Линделёфа : каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие
σ-компактное пространство : существует счетное покрытие компактными пространствами

Отношения:

Каждое первое счетное пространство является последовательным.
Каждое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет первой аксиоме счетности, является сепарабельным и линделефовым.
Каждое σ-компактное пространство является линделёфовым.
Метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Для метрических пространств свойства вторичной счетности, отделимости и свойства Линделёфа эквивалентны.

Метрические пространства

Метрическое пространство ^[7] — это упорядоченная пара , где — множество, а — метрика на , т. е. функция $(M,d)$ $M$ $d$ $M$

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

такой, что для любого выполняется следующее: $x,y,z\in M$

$d(x,y)\geq 0$ ( неотрицательный ),
$d(x,y)=0\,$ если и только если ( тождественность неразличимых ), $x=y\,$
$d(x,y)=d(y,x)\,$ ( симметрия ) и
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ( неравенство треугольника ).

Функцию также называют функцией расстояния или просто расстоянием . Часто опускается и просто пишут для метрического пространства, если из контекста ясно, какая метрика используется. $d$ $d$ $M$

Каждое метрическое пространство паракомпактно и хаусдорфово , а значит , нормально .

Теоремы метризации предоставляют необходимые и достаточные условия для того, чтобы топология возникла из метрики.

Теорема Бэра о категории

Теорема Бэра о категории гласит: если X — полное метрическое пространство или локально компактное хаусдорфово пространство, то внутренность любого объединения счетного числа нигде не плотных множеств пуста. ^[8]

Любое открытое подпространство пространства Бэра само является пространством Бэра.

Основные направления исследований

Три итерации построения кривой Пеано, пределом которой является заполняющая пространство кривая. Кривая Пеано изучается в теории континуума , разделе **общей топологии** .

Теория континуума

Континуум (pl continua ) — непустое компактное связное метрическое пространство , или, реже, компактное связное хаусдорфово пространство . Теория континуума — раздел топологии, посвященный изучению континуумов. Эти объекты часто возникают почти во всех областях топологии и анализа , и их свойства достаточно сильны, чтобы давать множество «геометрических» особенностей.

Динамические системы

Топологическая динамика касается поведения пространства и его подпространств с течением времени, когда они подвергаются непрерывным изменениям. Многие примеры с приложениями к физике и другим областям математики включают динамику жидкости , бильярды и потоки на многообразиях. Топологические характеристики фракталов во фрактальной геометрии, множеств Жюлиа и множества Мандельброта, возникающих в сложной динамике , и аттракторов в дифференциальных уравнениях часто имеют решающее значение для понимания этих систем. ^{[ необходима цитата ]}

Бессмысленная топология

Бесточечная топология (также называемая топологией без точек или топологией без точек ) — это подход к топологии , который избегает упоминания точек. Название «топология без точек» дано Джоном фон Нейманом . ^[9] Идеи топологии без точек тесно связаны с мереотопологиями , в которых регионы (множества) рассматриваются как фундаментальные без явной ссылки на базовые точечные множества.

Теория размерности

Теория размерности — раздел общей топологии, изучающий размерные инварианты топологических пространств .

Топологические алгебры

Топологическая алгебра A над топологическим полем K — это топологическое векторное пространство вместе с непрерывным умножением

\cdot :A\times A\longrightarrow A

(a,b)\longmapsto a\cdot b

что делает ее алгеброй над K. Унитальная ассоциативная топологическая алгебра является топологическим кольцом .

Термин был придуман Давидом ван Данцигом и появился в названии его докторской диссертации (1931).

Теория метризуемости

В топологии и смежных областях математики метризуемое пространство — это топологическое пространство , гомеоморфное метрическому пространству . То есть топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика $(X,\tau )$

d\colon X\times X\to [0,\infty )

такой, что топология, индуцированная d, равна . Теоремы метризации — это теоремы , которые дают достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было метризуемым. $\tau$

Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология — это предмет, который объединяет теорию множеств и общую топологию. Он фокусируется на топологических вопросах, которые не зависят от теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC). Знаменитая проблема — вопрос о нормальном пространстве Мура , вопрос в общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на вопрос о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC.

Смотрите также

Список примеров по общей топологии
Глоссарий общей топологии для подробных определений
Список тем общей топологии для связанных статей
Категория топологических пространств

Ссылки

^ Манкрес, Джеймс Р. Топология. Том 2. Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall, 2000.
^ Адамс, Колин Конрад и Роберт Дэвид Франзоса. Введение в топологию: чистую и прикладную. Pearson Prentice Hall, 2008.
^ Меррифилд, Ричард Э.; Симмонс, Говард Э. (1989). Топологические методы в химии . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. С. 16. ISBN 0-471-83817-9. Получено 27 июля 2012 г. . Определение. Набор B подмножеств топологического пространства (X,T) называется базисом для T, если каждое открытое множество может быть выражено как объединение членов B .
^ Армстронг, MA (1983). Базовая топология. Springer. стр. 30. ISBN 0-387-90839-0. Получено 13 июня 2013 г. . Предположим, что у нас есть топология на множестве X и набор открытых множеств, такой, что каждое открытое множество является объединением элементов . Тогда называется базой топологии... $\beta$ $\beta$ $\beta$
^ Мур, Э. Х.; Смит , Х. Л. (1922). «Общая теория пределов». Американский журнал математики . 44 (2): 102–121. doi :10.2307/2370388. JSTOR 2370388.
^ Гейне, Э. (1872). «Элементы функционирования». Журнал для королевы и математики . 74 : 172–188.
^ Морис Фреше представил метрические пространства в своей работе Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel , Rendic. Цирк. Мат. Палермо 22 (1906) 1–74.
^ Р. Бэр. Доступны функции переменных. Энн. ди Мат., 3:1–123, 1899.
^ Гаррет Биркгоф, ФОН НЕЙМАН И ТЕОРИЯ РЕШЕТОК , Джон фон Нейман 1903-1957 , Дж. К. Окстоли, Б. Дж. Петтис, Американское математическое общество, 1958, стр. 50-5

Дальнейшее чтение

Некоторые стандартные книги по общей топологии включают в себя:

Бурбаки , Topologie Générale ( Общая топология ), ISBN 0-387-19374-X .
Джон Л. Келли (1955) Общая топология, ссылка из интернет-архива , первоначально опубликовано компанией David Van Nostrand Company.
Стивен Уиллард , Общая топология , ISBN 0-486-43479-6 .
Джеймс Манкрес , Топология , ISBN 0-13-181629-2 .
Джордж Ф. Симмонс , Введение в топологию и современный анализ , ISBN 1-575-24238-9 .
Пол Л. Шик, Топология: точечно-множественная и геометрическая , ISBN 0-470-09605-5 .
Рышард Энгелькинг , Общая топология , ISBN 3-88538-006-4 .
Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР 0507446
О.Я. Виро, О.А. Иванов, В.М. Харламов и Н.Ю. Нецветаев, Элементарная топология: Учебник задач, ISBN 978-0-8218-4506-6 .

Код темы arXiv — math.GN.

Внешние ссылки

Медиафайлы по теме Общая топология на Wikimedia Commons