Окружность

Окружность, проходящая через вершины треугольника

В геометрии описанная окружность треугольника — это окружность , проходящая через все три вершины . Центр этой окружности называется центром описанной окружности треугольника, а ее радиус — радиусом описанной окружности . Центр описанной окружности — это точка пересечения трех перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника, и является центром треугольника .

В более общем смысле, n -сторонний многоугольник со всеми вершинами на одной окружности, также называемой описанной окружностью, называется вписанным многоугольником или, в частном случае n = 4 , вписанным четырехугольником . Все прямоугольники , равнобедренные трапеции , прямоугольные воздушные змеи и правильные многоугольники являются вписанными, но не каждый многоугольник является таковым.

Строительство с помощью циркуля и линейки

Построение описанной окружности треугольника △ ABC и центра описанной окружности Q

Центр описанной окружности треугольника можно построить, проведя любые две из трех перпендикулярных серединных окружностей . Для трех неколлинеарных точек эти две прямые не могут быть параллельны, а центром описанной окружности является точка их пересечения. Любая точка на биссектрисе равноудалена от двух точек, которые она делит пополам, из чего следует, что эта точка на обеих биссектрисах равноудалена от всех трех вершин треугольника. Радиус описанной окружности — это расстояние от нее до любой из трех вершин.

Альтернативное строительство

Альтернативное построение описанного центра (пересечение ломаных линий)

Альтернативный метод определения центра описанной окружности заключается в том, чтобы нарисовать любые две линии, каждая из которых выходит из одной из вершин под углом к ​​общей стороне, причем общий угол выхода составляет 90° минус угол противолежащей вершины. (В случае, если противолежащий угол тупой, построение линии под отрицательным углом означает выход за пределы треугольника.)

В прибрежной навигации описанная окружность треугольника иногда используется как способ получения линии положения с помощью секстанта , когда нет компаса . Горизонтальный угол между двумя ориентирами определяет описанную окружность, на которой находится наблюдатель.

Уравнения описанной окружности

Декартовы координаты

В евклидовой плоскости можно явно задать уравнение описанной окружности в терминах декартовых координат вершин вписанного треугольника. Предположим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$

— координаты точек A, B, C. Описанная окружность — это геометрическое место точек на декартовой плоскости, удовлетворяющих уравнениям ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

гарантируя, что точки A , B , C , v находятся на одинаковом расстоянии r от общего центра окружности. Используя тождество поляризации , эти уравнения сводятся к условию, что матрица ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

имеет ненулевое ядро . Таким образом, описанная окружность может быть альтернативно описана как геометрическое место нулей определителя этой матрицы:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

Используя разложение кофакторов , пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

тогда мы имеем где и – предполагая, что три точки не находятся на одной прямой (в противном случае описанная окружность – это та прямая, которую также можно рассматривать как обобщенную окружность с S на бесконечности) – дающие центр описанной окружности и радиус описанной окружности . Подобный подход позволяет вывести уравнение описанной сферы тетраэдра . ${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Параметрическое уравнение

Единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей окружность, задается формулой

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

Следовательно, при заданном радиусе r , центре P _c , точке на окружности P ₀ и единичной нормали к плоскости, содержащей окружность, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {n}},}$ одно параметрическое уравнение окружности, начинающееся в точке P ₀ и продолжающееся в положительно ориентированном (т.е. правостороннем ) смысле относительно ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\widehat {n}}}$ имеет следующий вид:

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

Трилинейные и барицентрические координаты

Уравнение описанной окружности в трилинейных координатах x  : y  : z имеет вид ^[1] Уравнение описанной окружности в барицентрических координатах x  : y  : z имеет вид ${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

Изогональное сопряжение описанной окружности — это бесконечно удаленная прямая, заданная в трилинейных координатах как и в барицентрических координатах как ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ ${\displaystyle x+y+z=0.}$

Более высокие измерения

Кроме того, описанная окружность треугольника, вложенного в три измерения, может быть найдена с помощью обобщенного метода. Пусть A , B , C — трехмерные точки, которые образуют вершины треугольника. Начнем с транспонирования системы, чтобы поместить C в начало координат:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Тогда радиус описанной окружности r равен

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

где θ — внутренний угол между a и b . Центр описанной окружности, p ₀ , определяется как

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

Эта формула работает только в трех измерениях, поскольку перекрестное произведение не определено в других измерениях, но ее можно обобщить на другие измерения, заменив перекрестные произведения следующими тождествами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$

Это дает нам следующее уравнение для радиуса описанной окружности r :

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}$

и следующее уравнение для описанного центра p ₀ :

${\displaystyle p_{0}={\frac {((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

что можно упростить до:

${\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )}{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

Координаты окружности центра

Декартовы координаты

Декартовы координаты центра описанной окружности : ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

Без потери общности это можно выразить в упрощенном виде после переноса вершины A в начало декартовых систем координат, т.е. когда В этом случае координаты вершин и представляют векторы из вершины A' в эти вершины. Заметим, что этот тривиальный перенос возможен для всех треугольников, а центр описанной окружности треугольника △ A'B'C' следует как ${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$ ${\displaystyle B'=B-A}$ ${\displaystyle C'=C-A}$ ${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

В связи с переносом вершины A в начало координат радиус описанной окружности r можно вычислить как

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

и фактический центр описанной окружности △ ABC следует как

${\displaystyle U=U'+A}$

Трилинейные координаты

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты ^[2]

${\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma }$

где α, β, γ — углы треугольника.

В терминах длин сторон a, b, c трилинейки имеют вид ^[3]

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

Барицентрические координаты

Центр окружности имеет барицентрические координаты ^[4]

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$

где a, b, c — длины сторон (BC , CA , AB соответственно) треугольника.

В терминах углов треугольника α, β, γ барицентрические координаты центра описанной окружности равны ^[3]

${\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}$

Вектор окружности центра

Поскольку декартовы координаты любой точки являются средневзвешенным значением координат вершин, а веса представляют собой барицентрические координаты точки, нормализованные так, чтобы сумма равнялась единице, вектор описанного центра можно записать как

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

Здесь U — вектор центра описанной окружности, а A, B, C — векторы вершин. Делитель здесь равен 16 S ² , где S — площадь треугольника. Как было сказано ранее

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Декартовы координаты из перекрестных и скалярных произведений

В евклидовом пространстве существует единственная окружность, проходящая через любые три заданные неколлинеарные точки P ₁ , P ₂ , P ₃ . Используя декартовы координаты для представления этих точек как пространственных векторов , можно использовать скалярное произведение и векторное произведение для вычисления радиуса и центра окружности. Пусть

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

Тогда радиус окружности определяется как

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

Центр круга задается линейной комбинацией

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$

Расположение относительно треугольника

Положение центра описанной окружности зависит от типа треугольника:

• Для остроугольного треугольника (все углы которого меньше прямого) центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
• Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности всегда лежит в середине гипотенузы . Это одна из форм теоремы Фалеса .
• Для тупоугольного треугольника (треугольника, у которого один угол больше прямого) центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника.

Эти особенности расположения можно увидеть, рассмотрев трилинейные или барицентрические координаты, приведенные выше для центра описанной окружности: все три координаты положительны для любой внутренней точки, по крайней мере одна координата отрицательна для любой внешней точки и одна координата равна нулю и две положительны для точки, не являющейся вершиной на стороне треугольника.

Углы

Углы, которые описанная окружность образует со сторонами треугольника, совпадают с углами, под которыми стороны встречаются. Сторона, противолежащая углу α, встречается с окружностью дважды: по одному разу с каждого конца; в каждом случае под углом α (аналогично для двух других углов). Это происходит из-за теоремы о поочередном отрезке , которая гласит, что угол между касательной и хордой равен углу в поочередном отрезке.

Центр треугольника находится на описанной окружности

В этом разделе углы при вершинах обозначены буквами A, B, C , а все координаты являются трилинейными координатами :

• Точка Штейнера : не являющаяся вершиной точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера.

${\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}$

( Эллипс Штейнера с центром = центроидом ( ABC ) — это эллипс наименьшей площади, проходящий через точки A, B, C. Уравнение этого эллипса имеет вид .) ${\displaystyle {\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0}$

• Точка Тарри : антипод точки Штейнера

${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )}$

• Фокус параболы Киперта :

${\displaystyle \csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).}$

Другие свойства

Диаметр описанной окружности, называемый диаметром описанной окружности и равный удвоенному радиусу описанной окружности , можно вычислить как длину любой стороны треугольника, деленную на синус противолежащего угла :

${\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

Вследствие закона синусов не имеет значения, какая сторона и противолежащий ей угол взяты: результат будет одним и тем же.

Диаметр описанной окружности можно также выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$

где a, b, c — длины сторон треугольника, а — полупериметр. Выражение выше — площадь треугольника по формуле Герона . ^[5] Тригонометрические выражения для диаметра описанной окружности включают ^[6] ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

${\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

Окружность девяти точек треугольника имеет половину диаметра описанной окружности.

В любом треугольнике описанный центр всегда коллинеарен с центроидом и ортоцентром . Прямая, проходящая через них все, называется прямой Эйлера .

Изогональным сопряжением центра описанной окружности является ортоцентр .

Полезная минимальная ограничивающая окружность из трех точек определяется либо описанной окружностью (где три точки находятся на минимальной ограничивающей окружности), либо двумя точками самой длинной стороны треугольника (где две точки определяют диаметр окружности). Обычно минимальную ограничивающую окружность путают с описанной окружностью.

Описанная окружность трех коллинеарных точек — это линия, на которой лежат три точки, часто называемая окружностью бесконечного радиуса . Почти коллинеарные точки часто приводят к численной нестабильности при вычислении описанной окружности.

Окружности, описанные около треугольников , тесно связаны с триангуляцией Делоне набора точек.

По теореме Эйлера в геометрии расстояние между центром описанной окружности O и центром вписанной окружности I равно

${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},}$

где r — радиус вписанной окружности, а R — радиус описанной окружности; следовательно, радиус описанной окружности по крайней мере вдвое больше радиуса вписанной окружности ( неравенство треугольника Эйлера ), с равенством только в случае равностороннего треугольника . ^{[7] [8]}

Расстояние между O и ортоцентром H равно ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

Для центроида G и девятиточечного центра N имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}$

Произведение радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности треугольника со сторонами a, b, c равно ^[11]

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

С радиусом описанной окружности R , сторонами a, b, c и медианами m _a , m _b , m _c имеем ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}$

Если медиана m , высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника с радиусом описанной окружности R , то ^[13]

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиусов описанной окружности и вписанной окружности . ^[14] Здесь длина отрезка считается отрицательной тогда и только тогда, когда отрезок полностью лежит вне треугольника.

Если треугольник имеет две определенные окружности в качестве описанной и вписанной , то существует бесконечное число других треугольников с той же описанной и вписанной окружностями, с любой точкой на описанной окружности в качестве вершины. (Это случай n = 3 поризма Понселе ). Необходимым и достаточным условием для существования таких треугольников является приведенное выше равенство ^[15] ${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Циклические многоугольники

Вписанные четырехугольники

Набор точек, лежащих на одной окружности, называется конциклическим , а многоугольник, вершины которого концикличны, называется циклическим многоугольником . Каждый треугольник является конциклическим, но многоугольники с более чем тремя сторонами, как правило, не являются таковыми.

Циклические многоугольники, особенно четырехсторонние циклические четырехугольники , имеют различные специальные свойства. В частности, противолежащие углы циклического четырехугольника являются дополнительными углами (в сумме дающими 180° или π радиан).

Смотрите также

• Окружностьцентр масс
• Описанная сфера
• Округлый треугольник
• Вписанный круг
• теорема Кошниты
• Теорема Лестера
• Проблема Аполлония

Ссылки

1. Уитворт, Уильям Аллен (1866). Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений. Deighton, Bell, and Co. стр. 199.
2. Уитворт (1866), стр. 19.
3. Кимберлинг, Кларк. "Часть I: Введение и центры X(1) – X(1000)". Энциклопедия центров треугольников .Центр описанной окружности указан под X(3).
4. Вайсштейн, Эрик В. «Барицентрические координаты». MathWorld .
5. Coxeter, HSM (1969). "Глава 1". Введение в геометрию . Wiley. стр. 12–13. ISBN 0-471-50458-0.
6. Дёрри, Генрих (1965). 100 великих проблем элементарной математики . Довер. стр. 379.
7. Нельсон, Роджер, «Неравенство треугольника Эйлера с помощью доказательства без слов», Mathematics Magazine 81(1), февраль 2008 г., 58-61.
8. Свртан, Драгутин; Велян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника». Forum Geometricorum . 12 : 197–209.См. в частности стр. 198.
9. Гра, Мари-Николь (2014). «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами». Forum Geometricorum . 14 : 51–61.
10. Смит, GC; Леверша, Джерри (ноябрь 2007 г.). «Эйлер и геометрия треугольника». The Mathematical Gazette . 91 (522): 436–452. doi :10.1017/S0025557200182087. JSTOR  40378417. S2CID  125341434.См. в частности стр. 449.
11. Джонсон, Роджер А. (1929). Современная геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и окружности . Houghton Mifflin Co. стр. 189, № 298(d). hdl :2027/wu.89043163211.Переиздано издательством Dover Publications под названием Advanced Euclidean Geometry , 1960 и 2007.
12. Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2012). Секреты треугольников . Prometheus Books. стр. 289–290.
13. Альтшиллер Корт, Натан (1952). Колледжская геометрия: введение в современную геометрию треугольника и окружности (2-е изд.). Barnes & Noble. стр. 122, № 96.Перепечатано издательством Dover Publications, 2007.
14. Альтшиллер Корт (1952), стр. 83.
15. Джонсон (1929), стр. 188.

Внешние ссылки

• Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника на Mathalino.com
• Полуправильные угловые и боковые угольники: соответствующие обобщения прямоугольников и ромбов в Dynamic Geometry Sketches, интерактивный динамический геометрический эскиз.
• Вайсштейн, Эрик В. «Описанная окружность», «Вписанный многоугольник». MathWorld .
• Треугольная описанная окружность и центр описанной окружности с интерактивной анимацией
• Интерактивный Java-апплет для circumcenter