В геометрии построение с помощью циркуля и линейки (также известное как построение с помощью циркуля и линейки , евклидово построение или классическое построение ) — это построение длин, углов и других геометрических фигур с использованием только идеализированной линейки и циркуля .
Идеализированная линейка, известная как линейка , предполагается бесконечной длины, имеющей только одно ребро и не имеющей отметок на ней. Предполагается, что циркуль не имеет максимального или минимального радиуса и «схлопывается» при подъеме со страницы, поэтому его нельзя напрямую использовать для передачи расстояний. (Это несущественное ограничение, поскольку с помощью многошаговой процедуры расстояние можно передать даже с помощью схлопывающегося циркуля; см. теорему об эквивалентности циркуля . Однако следует отметить, что хотя не схлопывающийся циркуль, приложенный к линейке, может показаться эквивалентным ее отметке, конструкция neusis все еще недопустима, и именно это на самом деле означает «неотмеченный»: см. ниже «Отмечаемые линейки».) Более формально, единственными допустимыми конструкциями являются те, которые допускаются первыми тремя постулатами «Начал » Евклида .
Оказывается, каждая точка, которую можно построить с помощью циркуля и линейки, может быть также построена с помощью одного циркуля или только линейки, если дана одна окружность и ее центр.
Древнегреческие математики первыми задумали построения с помощью циркуля и линейки, и ряд древних задач в плоской геометрии налагают это ограничение. Древние греки разработали много построений, но в некоторых случаях не смогли этого сделать. Гаусс показал, что некоторые многоугольники можно построить, но большинство — нет. Некоторые из самых известных задач с помощью циркуля и линейки были доказаны Пьером Ванцелем в 1837 году с помощью теории поля , а именно трисекция произвольного угла и удвоение объема куба (см. § невозможные построения). Многие из этих задач легко решаются при условии, что разрешены другие геометрические преобразования; например, построение невзиса можно использовать для решения первых двух задач.
В терминах алгебры длина конструируема тогда и только тогда, когда она представляет конструируемое число , а угол конструируем тогда и только тогда, когда его косинус является конструируемым числом. Число конструируемо тогда и только тогда, когда его можно записать с использованием четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней , но не корней более высокого порядка.
«Линейка» и «циркуль» в конструкциях с циркулем и линейкой являются идеализированными версиями реальных линеек и циркулей .
Настоящие компасы не разрушаются, и современные геометрические конструкции часто используют эту особенность. «Разрушающийся циркуль» может показаться менее мощным инструментом. Однако, согласно теореме об эквивалентности циркуля в предложении 2 книги 1 « Начал» Евклида , при использовании разрушающегося циркуля мощность не теряется. Хотя предложение верно, его доказательства имеют долгую и изменчивую историю. [1] В любом случае, именно эквивалентность является причиной того, что эта особенность не оговорена в определении идеального компаса.
Каждое построение должно быть математически точным . «На глазок» расстояний (взгляд на построение и предположение о его точности) или использование отметок на линейке не допускаются. Каждое построение также должно заканчиваться . То есть оно должно иметь конечное число шагов и не быть пределом все более близких приближений. (Если разрешено неограниченное число шагов, некоторые в противном случае невозможные построения становятся возможными посредством бесконечных последовательностей, сходящихся к пределу .)
При таком подходе построения с помощью циркуля и линейки кажутся скорее салонной игрой , чем серьезной практической проблемой; однако цель ограничения — гарантировать, что построения могут быть абсолютно правильными .
Древнегреческие математики первыми попытались построить линейку и циркуль, и они открыли, как строить суммы , разности , произведения , отношения и квадратные корни заданной длины. [2] : стр. 1 Они также могли построить половину заданного угла , квадрат, площадь которого вдвое больше площади другого квадрата, квадрат, имеющий ту же площадь, что и заданный многоугольник, и правильные многоугольники с 3, 4 или 5 сторонами [2] : стр. xi (или один с удвоенным числом сторон заданного многоугольника [2] : стр. 49–50 ). Но они не могли построить одну треть заданного угла , за исключением особых случаев, или квадрат с той же площадью, что и заданный круг , или правильные многоугольники с другим числом сторон. [2] : стр. xi Они также не могли построить сторону куба, объем которого вдвое больше объема куба с заданной стороной. [2] : стр. 29
Гиппократ и Менехм показали, что объем куба можно удвоить, найдя пересечения гипербол и парабол , но их нельзя построить с помощью линейки и циркуля. [2] : стр. 30 В пятом веке до нашей эры Гиппий использовал кривую, которую он назвал квадратрисой, как для трисекции общего угла, так и для квадратуры круга, а Никомед во втором веке до нашей эры показал, как использовать конхоиду для трисекции произвольного угла; [2] : стр. 37 Но эти методы также нельзя использовать, используя только линейку и циркуль.
Никакого прогресса в решении нерешенных проблем не наблюдалось в течение двух тысячелетий, пока в 1796 году Гаусс не показал, что можно построить правильный многоугольник с 17 сторонами; пять лет спустя он доказал достаточный критерий того, что правильный многоугольник с n сторонами может быть построен. [2] : стр. 51 и далее.
В 1837 году Пьер Ванцель опубликовал доказательство невозможности трисекции произвольного угла или удвоения объема куба, [3] основанное на невозможности построения кубических корней длин. Он также показал, что достаточное условие конструктивности Гаусса для правильных многоугольников также является необходимым. [4]
Затем в 1882 году Линдеманн показал, что является трансцендентным числом , и, таким образом, невозможно с помощью линейки и циркуля построить квадрат с той же площадью, что и заданный круг. [2] : стр. 47
Все построения с помощью циркуля и линейки состоят из повторного применения пяти основных построений с использованием уже построенных точек, линий и окружностей. Это:
Например, начав всего с двух отдельных точек, мы можем создать линию или одну из двух окружностей (по очереди, используя каждую точку как центр и проходя через другую точку). Если мы нарисуем обе окружности, на их пересечениях будут созданы две новые точки. Рисование линий между двумя исходными точками и одной из этих новых точек завершает построение равностороннего треугольника.
Таким образом, в любой геометрической задаче мы имеем начальный набор символов (точек и линий), алгоритм и некоторые результаты. С этой точки зрения геометрия эквивалентна аксиоматической алгебре , заменяющей ее элементы символами. Вероятно, Гаусс первым понял это и использовал это для доказательства невозможности некоторых построений; только гораздо позже Гильберт нашел полный набор аксиом для геометрии .
Наиболее часто используемые конструкции с использованием циркуля и линейки включают в себя:
Можно связать алгебру с нашей геометрией, используя декартову систему координат, состоящую из двух линий, и представить точки нашей плоскости векторами . Наконец, мы можем записать эти векторы как комплексные числа.
Используя уравнения для прямых и окружностей, можно показать, что точки их пересечения лежат в квадратичном расширении наименьшего поля F, содержащего две точки на прямой, центр окружности и радиус окружности. То есть, они имеют вид , где x , y , и k находятся в F .
Так как поле конструктивных точек замкнуто относительно квадратных корней , оно содержит все точки, которые могут быть получены конечной последовательностью квадратичных расширений поля комплексных чисел с рациональными коэффициентами. Согласно предыдущему абзацу, можно показать, что любая конструктивная точка может быть получена такой последовательностью расширений. Как следствие этого, можно обнаружить, что степень минимального многочлена для конструктивной точки (и, следовательно, любой конструктивной длины) является степенью 2. В частности, любая конструктивная точка (или длина) является алгебраическим числом , хотя не каждое алгебраическое число конструктивно; например, 3 √ 2 является алгебраическим, но не конструктивным. [3]
Существует биекция между углами, которые можно построить, и точками, которые можно построить на любой конструктивной окружности. Углы, которые можно построить, образуют абелеву группу относительно сложения по модулю 2π (что соответствует умножению точек на единичной окружности, рассматриваемых как комплексные числа). Углы, которые можно построить, — это в точности те, тангенс (или, что эквивалентно, синус или косинус) которых можно построить как число. Например, правильный гептадекагон (семнадцатисторонний правильный многоугольник ) можно построить, потому что
как открыл Гаусс . [5]
Группа конструктивных углов замкнута относительно операции, которая делит углы пополам (что соответствует извлечению квадратных корней из комплексных чисел). Единственные углы конечного порядка, которые могут быть построены, начиная с двух точек, — это те, порядок которых является либо степенью двойки, либо произведением степени двойки и набора различных простых чисел Ферма . Кроме того, существует плотное множество конструктивных углов бесконечного порядка.
Если задать набор точек на евклидовой плоскости , то, обозначив одну из них как 0 , а другую как 1 , вместе с произвольным выбором ориентации можно рассматривать точки как набор комплексных чисел .
При любой такой интерпретации набора точек как комплексных чисел, точки, которые можно построить с помощью допустимых построений с помощью циркуля и линейки, являются в точности элементами наименьшего поля, содержащего исходный набор точек и замкнутого относительно операций комплексного сопряжения и квадратного корня (чтобы избежать двусмысленности, мы можем указать квадратный корень с комплексным аргументом, меньшим π). Элементы этого поля — это в точности те, которые могут быть выражены в виде формулы в исходных точках с использованием только операций сложения , вычитания , умножения , деления , комплексного сопряжения и квадратного корня , что, как легко видеть, является счетным плотным подмножеством плоскости. Каждая из этих шести операций соответствует простому построению с помощью циркуля и линейки. Из такой формулы легко получить построение соответствующей точки, комбинируя построения для каждой из арифметических операций. Более эффективные построения конкретного набора точек соответствуют сокращениям в таких вычислениях.
Эквивалентно (и без необходимости произвольного выбора двух точек) мы можем сказать, что при произвольном выборе ориентации набор точек определяет набор комплексных отношений, заданных отношениями разностей между любыми двумя парами точек. Набор отношений, которые можно построить с помощью линейки и циркуля из такого набора отношений, — это в точности наименьшее поле, содержащее исходные отношения и замкнутое относительно взятия комплексно-сопряженных чисел и квадратных корней.
Например, действительная часть, мнимая часть и модуль точки или отношения z (принимая одну из двух точек зрения, указанных выше) являются конструируемыми, поскольку их можно выразить как
Удвоение куба и трисекция угла (за исключением особых углов, таких как любой φ, такой, что φ /(2 π )) является рациональным числом со знаменателем, не делящимся на 3) требуют соотношений, которые являются решением кубических уравнений , в то время как квадратура круга требует трансцендентного отношения. Ни одно из них не входит в описанные области, поэтому для них не существует построения с помощью циркуля и линейки.
Древние греки считали, что проблемы построения, которые они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми. [6] Однако с помощью современных методов было показано, что эти построения с помощью циркуля и линейки логически невозможны. (Однако сами проблемы разрешимы, и греки знали, как их решать, не ограничиваясь работой только с помощью циркуля и линейки.)
Самая известная из этих задач — квадратура круга , также известная как квадратура круга — заключается в построении квадрата с той же площадью, что и заданный круг, используя только линейку и циркуль.
Доказано, что квадратура круга невозможна, поскольку она включает в себя создание трансцендентного числа , то есть √ π . Только некоторые алгебраические числа могут быть построены с помощью одной только линейки и циркуля, а именно те, которые построены из целых чисел с конечной последовательностью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. Фраза «квадратура круга» часто используется в значении «сделать невозможное» по этой причине.
Если не ограничиваться необходимостью решения только с помощью линейки и циркуля, то задача легко решается с помощью самых разных геометрических и алгебраических средств и была решена много раз в древности. [7]
Метод, который очень близок к приближению «квадратуры круга», может быть реализован с использованием треугольника Кеплера .
Удвоение куба — это построение с помощью только линейки и циркуля ребра куба, имеющего в два раза больший объем, чем куб с данным ребром. Это невозможно, потому что кубический корень из 2, хотя и алгебраический, не может быть вычислен из целых чисел сложением, вычитанием, умножением, делением и извлечением квадратных корней. Это следует из того, что его минимальный многочлен над рациональными числами имеет степень 3. Это построение возможно с помощью линейки с двумя отметками на ней и циркуля.
Трисекция угла — это построение с помощью только линейки и циркуля угла, который составляет одну треть заданного произвольного угла. В общем случае это невозможно. Например, угол 2π / 5 радиан (72° = 360°/5) может быть трисектирован, но угол π /3 радиан (60 ° ) трисектирован быть не может. [8] Общая задача трисекции также легко решается, когда допускается линейка с двумя отметками на ней ( построение neusis ).
Отрезок прямой от любой точки на плоскости до ближайшей точки на окружности может быть построен, но отрезок от любой точки на плоскости до ближайшей точки на эллипсе с положительным эксцентриситетом в общем случае не может быть построен. См. [9] Обратите внимание, что доказанные здесь результаты в основном являются следствием неконструктивности коник. Если исходная коника рассматривается как данность, то доказательство должно быть пересмотрено, чтобы проверить, нужно ли генерировать другие различные коники. Например, известны построения для нормалей параболы, но они должны использовать пересечение между окружностью и самой параболой. Поэтому они не конструктивны в том смысле, что парабола не конструктивна.
В 1997 году математик из Оксфорда Питер М. Нойманн доказал теорему о том, что не существует построения с помощью линейки и циркуля для общего решения античной задачи Альхазена (задача о бильярде или отражении от сферического зеркала). [10] [11]
Некоторые правильные многоугольники (например, пятиугольник ) легко построить с помощью линейки и циркуля; другие — нет. Это привело к вопросу: возможно ли построить все правильные многоугольники с помощью линейки и циркуля?
Карл Фридрих Гаусс в 1796 году показал, что можно построить правильный 17-сторонний многоугольник, а пять лет спустя показал, что можно построить правильный n -сторонний многоугольник с помощью линейки и циркуля, если нечетные простые множители n являются различными простыми числами Ферма . Гаусс предположил , что это условие также необходимо ; гипотеза была доказана Пьером Ванцелем в 1837 году. [4]
Первые несколько возможных для построения правильных многоугольников имеют следующее количество сторон:
Известно, что существует бесконечное множество конструктивных правильных многоугольников с четным числом сторон (потому что если конструктивен правильный n -угольник, то конструктивен и правильный 2 n -угольник, а значит, и правильный 4 n -угольник, 8 n -угольник и т. д.). Однако известно всего 5 простых чисел Ферма, что дает всего 31 конструктивный правильный n -угольник с нечетным числом сторон.
Шестнадцатью ключевыми точками треугольника являются его вершины , середины его сторон , основания его высот , основания его внутренних биссектрис и его описанный центр , центроид , ортоцентр и инцентр . Их можно брать по три за раз, чтобы получить 139 различных нетривиальных задач построения треугольника из трех точек. [12] Из этих задач три включают точку, которая может быть однозначно построена из двух других точек; 23 могут быть построены неоднозначно (фактически для бесконечного числа решений), но только если местоположения точек подчиняются определенным ограничениям; в 74 задача конструируема в общем случае; а в 39 требуемый треугольник существует, но не конструируем.
Двенадцать ключевых длин треугольника — это три длины сторон, три высоты , три медианы и три биссектрисы углов . Вместе с тремя углами они дают 95 различных комбинаций, 63 из которых приводят к конструктивному треугольнику, 30 — нет, а две из них недоопределены. [13] : стр. 201–203
Были предприняты различные попытки ограничить допустимые инструменты для строительства в соответствии с различными правилами, чтобы определить, что все еще можно построить и как это можно построить, а также определить минимальные критерии, необходимые для того, чтобы все еще иметь возможность построить все, что можно построить с помощью циркуля и линейки.
Согласно теореме Мора–Маскерони , можно построить что угодно, используя только циркуль, если это можно построить с помощью линейки и циркуля, при условии, что заданные данные и данные, которые нужно найти, состоят из дискретных точек (а не линий или окружностей). Истинность этой теоремы зависит от истинности аксиомы Архимеда [14] , которая по своей природе не является аксиомой первого порядка. Примерами конструкций, использующих только циркуль, являются задача Наполеона .
Невозможно извлечь квадратный корень, используя только линейку, поэтому некоторые объекты, которые невозможно построить с помощью линейки, можно построить с помощью циркуля; но (по теореме Понселе–Штайнера ) если задан один круг и его центр, их можно построить.
Древние греки классифицировали конструкции на три основные категории в зависимости от сложности инструментов, необходимых для их решения. Если конструкция использовала только линейку и циркуль, она называлась плоской; если она также требовала одного или нескольких конических сечений (кроме круга), то она называлась сплошной; третья категория включала все конструкции, которые не попадали ни в одну из двух других категорий. [15] Эта категоризация хорошо сочетается с современной алгебраической точкой зрения. Комплексное число, которое может быть выражено с использованием только полевых операций и квадратных корней (как описано выше), имеет плоскую конструкцию. Комплексное число, которое включает также извлечение кубических корней, имеет сплошную конструкцию.
На языке полей комплексное число, являющееся плоским, имеет степень степени двойки и лежит в расширении поля , которое можно разбить на башню полей, где каждое расширение имеет степень два. Комплексное число, имеющее прочную конструкцию, имеет степень с простыми множителями только два и три и лежит в расширении поля, которое находится на вершине башни полей, где каждое расширение имеет степень 2 или 3.
Точка имеет прочную конструкцию, если ее можно построить с помощью линейки, циркуля и (возможно, гипотетического) конического инструмента для рисования, который может нарисовать любую конику с уже построенным фокусом, директрисой и эксцентриситетом. Тот же набор точек часто можно построить с помощью меньшего набора инструментов. Например, используя циркуль, линейку и лист бумаги, на котором у нас есть парабола y=x 2 вместе с точками (0,0) и (1,0), можно построить любое комплексное число, которое имеет прочную конструкцию. Аналогично, инструмент, который может нарисовать любой эллипс с уже построенными фокусами и большой осью (представьте себе две булавки и кусок веревки), является столь же мощным. [16]
Древние греки знали, что удвоение куба и трисекция произвольного угла имеют прочные конструкции. Архимед дал конструкцию neusis правильного семиугольника , которая была интерпретирована средневековыми арабскими комментаторами, Бартелем Леендертом ван дер Варденом и другими как основанная на прочной конструкции, но это было оспорено, поскольку возможны и другие интерпретации. [17] Квадратура круга не имеет прочной конструкции.
Правильный n -угольник имеет сплошную конструкцию тогда и только тогда, когда n =2 a 3 b m, где a и b — некоторые неотрицательные целые числа, а m — произведение нуля или более различных простых чисел Пьерпонта (простых чисел вида 2 r 3 s +1). Поэтому правильный n -угольник допускает сплошную, но не плоскую конструкцию тогда и только тогда, когда n входит в последовательность
Множество n, для которых правильный n -угольник не имеет прочной конструкции, представляет собой последовательность
Как и вопрос с простыми числами Ферма, открытым остается вопрос о том, существует ли бесконечное число простых чисел Пьерпонта.
Что, если бы вместе с линейкой и циркулем у нас был инструмент, который мог бы (только) трисекать произвольный угол? Такие построения являются сплошными построениями, но существуют числа с сплошными построениями, которые нельзя построить с помощью такого инструмента. Например, мы не можем удвоить куб с помощью такого инструмента. [18] С другой стороны, каждый правильный n-угольник, имеющий сплошную конструкцию, можно построить с помощью такого инструмента.
Математическая теория оригами более мощна, чем построение с помощью циркуля и линейки. Складки, удовлетворяющие аксиомам Хузиты–Хатори, могут построить точно такой же набор точек, как и расширенные построения с использованием циркуля и конического инструмента для рисования. Поэтому оригами также можно использовать для решения кубических уравнений (и, следовательно, уравнений четвертой степени), и таким образом решить две классические задачи. [19]
Архимед , Никомед и Аполлоний дали конструкции, включающие использование разметочной линейки. Это позволило бы им, например, взять отрезок прямой, две прямые (или окружности) и точку; а затем нарисовать линию, которая проходит через заданную точку и пересекает две заданные прямые, так что расстояние между точками пересечения равняется заданному отрезку. Это греки называли невсисом («наклон», «тенденция» или «схождение»), потому что новая линия стремится к точке. В этой расширенной схеме мы можем трисекцию произвольного угла (см. трисекцию Архимеда) или извлечь произвольный кубический корень (благодаря Никомеду). Следовательно, любое расстояние, отношение которого к существующему расстоянию является решением кубического или четвертого уравнения , является конструируемым. Используя разметочную линейку, правильные многоугольники с объемными конструкциями, такие как семиугольник , являются конструируемыми; и Джон Х. Конвей и Ричард К. Гай дают конструкции для нескольких из них. [20]
Конструкция neusis более мощна, чем инструмент конического рисования, так как с ее помощью можно строить комплексные числа, не имеющие твердых конструкций. Фактически, с помощью этого инструмента можно решить некоторые квинтики , которые неразрешимы с помощью радикалов . [21] Известно, что с помощью конструкции neusis нельзя решить неприводимый многочлен простой степени, большей или равной 7, поэтому с помощью этого инструмента невозможно построить правильный 23-угольник или 29-угольник. Бенджамин и Снайдер доказали, что можно построить правильный 11-угольник, но не дали конструкцию. [22] До сих пор остается открытым вопрос о том, можно ли с помощью этого инструмента построить правильный 25-угольник или 31-угольник.
Дан отрезок прямой линии, называемый AB, можно ли разделить его на три новых равных отрезка и на множество частей, требуемых теоремой о перехвате ?
В 1998 году Саймон Плуфф предложил алгоритм с линейкой и циркулем , который можно использовать для вычисления двоичных цифр некоторых чисел. [23] Алгоритм включает в себя многократное удвоение угла и становится физически непрактичным после примерно 20 двоичных цифр.
![{\displaystyle {\begin{align}\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}&=\,-{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\\[5mu]&\qquad +\,{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874eae7af8042c041f9ee204b0ecfb567e7a9582)
