В математике парабола — это плоская кривая , зеркально-симметричная и имеющая приблизительно U-образную форму . Он соответствует нескольким внешне различным математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.
Одно описание параболы включает точку ( фокус ) и линию ( директрису ). Фокус не находится на директрисе. Парабола — это геометрическое место точек в этой плоскости, равноудаленных от директрисы и фокуса. Другое описание параболы — это коническое сечение , созданное пересечением прямой круговой конической поверхности и плоскости, параллельной другой плоскости, касательной к конической поверхности. [а]
График квадратичной функции является параболой, если и , наоборот, парабола является графиком квадратичной функции, если ее ось параллельна оси y .
Линия, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус (то есть линия, разделяющая параболу посередине), называется «осью симметрии». Точка, где парабола пересекает свою ось симметрии, называется « вершиной » и является точкой, где парабола наиболее резко изогнута. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное вдоль оси симметрии, является «фокусным расстоянием». « Широкая прямая кишка » — это хорда параболы, параллельная директрисе и проходящая через фокус. Параболы могут открываться вверх, вниз, влево, вправо или в каком-либо другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и масштабировать, чтобы она точно соответствовала любой другой параболе, то есть все параболы геометрически подобны .
Параболы обладают тем свойством, что, если они сделаны из материала, отражающего свет , то свет, идущий параллельно оси симметрии параболы и попадающий на ее вогнутую сторону, отражается в ее фокус, независимо от того, в каком месте параболы происходит отражение. И наоборот, свет, исходящий от точечного источника в фокусе, отражается в параллельный (« коллимированный ») луч, оставляя параболу параллельной оси симметрии. Те же самые эффекты происходят со звуком и другими волнами . Это отражающее свойство лежит в основе многих практических применений парабол.
Парабола имеет множество важных применений: от параболической антенны или параболического микрофона до отражателей автомобильных фар и конструкции баллистических ракет . Его часто используют в физике , технике и многих других областях.
Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была написана Менехмом в IV веке до нашей эры. Он нашел способ решить задачу удвоения куба с помощью парабол. (Решение, однако, не отвечает требованиям построения циркуля и линейки .) Площадь, ограниченная параболой и отрезком, так называемый «отрезок параболы», был вычислен Архимедом методом исчерпания в в III веке до нашей эры в своей «Квадратуре параболы» . Название «парабола» связано с Аполлонием , открывшим многие свойства конических сечений. Оно означает «приложение», имея в виду понятие «применение площадей», которое имеет связь с этой кривой, как доказал Аполлоний. [1] Свойство фокуса-директрисы параболы и других конических сечений принадлежит Паппусу .
Галилей показал, что траектория снаряда следует по параболе, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести.
Идея о том, что параболический рефлектор может создавать изображение, была хорошо известна еще до изобретения телескопа-рефлектора . [2] Проекты были предложены в начале и середине 17 века многими математиками , в том числе Рене Декартом , Марином Мерсенном , [3] и Джеймсом Грегори . [4] Когда Исаак Ньютон построил первый телескоп-рефлектор в 1668 году, он отказался от использования параболического зеркала из-за сложности изготовления, отдав предпочтение сферическому зеркалу . Параболические зеркала используются в большинстве современных телескопов-рефлекторов, а также в спутниковых антеннах и радиолокационных приемниках. [5]
Параболу можно определить геометрически как совокупность точек ( место точек ) на евклидовой плоскости:
Середина перпендикуляра из фокуса на директрису называется вершиной , а линия — осью симметрии параболы.
Если ввести декартовы координаты , такие, что и направляющая имеет уравнение , для точки получится уравнение . Решение проблемы доходности
Эта парабола имеет U-образную форму ( открывается вверх ).
Горизонтальная хорда, проходящая через фокус (см. рисунок во вступительной части), называется широкой прямой кишкой ; половина ее — полурасширенная прямая кишка . Широкая прямая кишка параллельна директрисе. Полурасширенная прямая кишка обозначается буквой . Из картинки получается
Аналогично определяется широкая прямая кишка и для двух других коник — эллипса и гиперболы. Широкая прямая кишка — это линия, проведенная через фокус конического сечения, параллельного директрисе, и заканчивающаяся в обе стороны кривой. В любом случае – радиус соприкасающейся окружности в вершине. Для параболы полурасширенная прямая кишка — это расстояние фокуса от директрисы. Используя параметр уравнение параболы можно переписать в виде
В более общем смысле, если вершина , фокус и директриса , получается уравнение
Примечания :
Если фокус равен , а директриса , то получается уравнение
(левая часть уравнения использует нормальную форму линии Гессе для расчета расстояния ).
О параметрическом уравнении параболы общего положения см. § Как аффинный образ единичной параболы.
Неявное уравнение параболы определяется неприводимым полиномом второй степени:
В предыдущем разделе показано, что любую параболу с началом координат в качестве вершины и осью y в качестве оси симметрии можно рассматривать как график функции.
Ибо параболы открываются вверх, а ибо открываются вниз (см. рисунок). Из приведенного выше раздела получается:
Для параболы – это единичная парабола с уравнением . Его фокус — полурасширенная прямая кишка , а директриса имеет уравнение .
Общая функция степени 2:
Два объекта в евклидовой плоскости подобны, если один можно преобразовать в другой посредством подобия , то есть произвольной композиции твердых движений ( перемещений и вращений ) и равномерных масштабирований .
Параболу с вершиной можно преобразовать путем перевода в параболу с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат может затем преобразовать параболу в ту, у которой ось y является осью симметрии. Следовательно, парабола может быть преобразована жестким движением в параболу с уравнением . Такая парабола затем может быть преобразована путем равномерного масштабирования в единичную параболу с помощью уравнения . Таким образом, любую параболу можно отобразить в единичную параболу по подобию. [6]
Для получения этого результата также можно использовать синтетический подход с использованием подобных треугольников . [7]
Общий результат состоит в том, что два конических сечения (обязательно одного типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет. [6] Следовательно, только круги (все имеют эксцентриситет 0) разделяют это свойство с параболами (все имеют эксцентриситет 1), а общие эллипсы и гиперболы - нет.
Существуют и другие простые аффинные преобразования, которые отображают параболу в единичную параболу, например . Но это отображение не является подобием, а лишь показывает, что все параболы аффинно эквивалентны (см. § Как аффинный образ единичной параболы).
Пучок конических сечений с осью x в качестве оси симметрии , одной вершиной в начале координат (0, 0) и той же полуширотной прямой кишкой можно представить уравнением
Если p > 0 , парабола с уравнением (открытие вправо) имеет полярное представление
Его вершина — , а фокус — .
Если сместить начало координат в фокус, т. е. , то получится уравнение
Замечание 1: Инвертирование этой полярной формы показывает, что парабола является обратной кардиоидой .
Замечание 2. Вторая полярная форма — это частный случай пучка коник с фокусом (см. рисунок):
Диаграмма представляет собой конус с осью AV . Точка А является ее вершиной . Наклонное поперечное сечение конуса, показанное розовым цветом, наклонено от оси на тот же угол θ , что и сторона конуса. Согласно определению параболы как конического сечения, граница этого розового сечения EPD является параболой.
Через вершину Р параболы проходит сечение, перпендикулярное оси конуса. Это поперечное сечение круглое, но при взгляде под углом кажется эллиптическим , как показано на схеме. Его центр — V, а PK — диаметр. Назовем его радиус r .
Другое перпендикулярное оси круглое сечение конуса находится дальше от вершины А, чем только что описанное. У него есть хорда DE , соединяющая точки пересечения параболы с окружностью. Другая хорда BC является биссектрисой DE и, следовательно , является диаметром окружности. Эти две хорды и ось симметрии параболы PM пересекаются в точке М.
Все отмеченные точки, кроме D и E, компланарны . Они находятся в плоскости симметрии всей фигуры. Сюда входит точка F, которая не упомянута выше. Это определено и обсуждается ниже, в § Положение фокуса.
Назовем длину DM и EM x , а длину PM y .
Длины BM и CM составляют:
Используя теорему о пересекающихся хордах для хорд BC и DE , получаем
Замена:
Перестановка:
Для любого заданного конуса и параболы r и θ являются константами, но x и y являются переменными, которые зависят от произвольной высоты, на которой выполнено горизонтальное сечение BECD. Последнее уравнение показывает взаимосвязь между этими переменными. Их можно интерпретировать как декартовы координаты точек D и E в системе на розовой плоскости с точкой начала координат P. Поскольку в уравнении x находится в квадрате, тот факт, что D и E находятся на противоположных сторонах оси y , неважен. Если горизонтальное сечение движется вверх или вниз, к вершине конуса или от нее, D и E движутся вдоль параболы, всегда сохраняя соотношение между x и y , показанное в уравнении. Таким образом, параболическая кривая является геометрическим местом точек, в которых уравнение удовлетворяется, что делает ее декартовым графиком квадратичной функции в уравнении.
В предыдущем разделе доказано, что если парабола имеет вершину в начале координат и если она открывается в положительном направлении y , то ее уравнение имеет вид y =х 2/4 ж, где f — его фокусное расстояние. [b] Сравнение этого значения с последним уравнением выше показывает, что фокусное расстояние параболы в конусе равно r sin θ .
На схеме выше точка V — это основание перпендикуляра из вершины параболы к оси конуса. Точка F является основанием перпендикуляра из точки V к плоскости параболы. [c] По симметрии F находится на оси симметрии параболы. Угол VPF дополнителен к θ , а угол PVF дополнителен к углу VPF, поэтому угол PVF равен θ . Поскольку длина PV равна r , расстояние F от вершины параболы равно r sin θ . Выше показано, что это расстояние равно фокусному расстоянию параболы, то есть расстоянию от вершины до фокуса. Таким образом, фокус и точка F находятся на одинаковом расстоянии от вершины по одной и той же линии, что означает, что это одна и та же точка. Следовательно, точка F, определенная выше, является фокусом параболы .
Эта дискуссия началась с определения параболы как конического сечения, но теперь привела к описанию ее как графика квадратичной функции. Это показывает, что эти два описания эквивалентны. Они оба определяют кривые одинаковой формы.
Альтернативное доказательство можно провести с помощью сфер Данделина . Он работает без вычислений и использует только элементарные геометрические соображения (см. вывод ниже).
Пересечение вертикального конуса плоскостью , наклон которой от вертикали такой же, как образующая (она же образующая линия, линия, содержащая вершину и точку на поверхности конуса) конуса, представляет собой параболу (красную кривую в диаграмма).
Эта образующая — единственная образующая конуса, параллельная плоскости . В противном случае, если есть две образующие, параллельные пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет гиперболой ( или вырожденной гиперболой , если две образующие находятся в пересекающейся плоскости). Если не существует образующей, параллельной пересекающей плоскости, то кривая пересечения будет эллипсом или кругом ( или точкой ).
Пусть plane — это плоскость, содержащая вертикальные оси конуса и линию . Наклон плоскости от вертикали такой же, как и линия, означает, что при взгляде сбоку (т. е. плоскость перпендикулярна плоскости ), .
Чтобы доказать свойство направляющей параболы (см. § Определение как геометрическое место точек выше), используется сфера Одуванчика , которая представляет собой сферу, которая касается конуса по окружности и плоскости в точке . Плоскость, содержащая окружность, пересекается с плоскостью по линии . В системе, состоящей из плоскости , сферы Одуванчика и конуса, имеется зеркальная симметрия ( плоскость симметрии ).
Поскольку плоскость, содержащая окружность , перпендикулярна плоскости и , линия их пересечения также должна быть перпендикулярна плоскости . Поскольку линия находится в плоскости , .
Получается, что это фокус параболы и есть директриса параболы.
Свойство отражения гласит, что если парабола может отражать свет, то свет, попадающий в нее и двигаясь параллельно оси симметрии, отражается к фокусу. Это выведено из геометрической оптики , основанной на предположении, что свет распространяется лучами.
Рассмотрим параболу y = x 2 . Поскольку все параболы подобны, этот простой случай представляет все остальные.
Точка E — произвольная точка параболы. Фокус — F, вершина — A (начало координат), а линия FA — ось симметрии. Линия EC параллельна оси симметрии, пересекает ось x в точке D и пересекает направляющую в точке C. Точка B является средней точкой отрезка FC .
Вершина A равноудалена от фокуса F и от директрисы. Поскольку C находится на направляющей, координаты y F и C равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. B – середина FC . Его координата x вдвое меньше координаты D, то есть x /2 . Наклон линии BE представляет собой частное отношение длин ED и BD , что составляетх 2/х /2= 2 х . Но 2 x — это еще и наклон (первая производная) параболы в точке E. Следовательно, линия BE является касательной к параболе в точке E.
Расстояния EF и EC равны, поскольку E находится на параболе, F — в фокусе, а C — на директрисе. Следовательно, поскольку B является серединой FC , треугольники △FEB и △CEB конгруэнтны (три стороны), а это означает, что углы, отмеченные α, равны. (Угол над E является вертикальным противоположным углом ∠BEC.) Это означает, что луч света, который входит в параболу и достигает точки E, двигаясь параллельно оси симметрии, будет отражен линией BE и пройдет вдоль линии EF , как показано красным на схеме (при условии, что линии каким-то образом отражают свет). Поскольку BE является касательной к параболе в точке E, то такое же отражение будет производить бесконечно малая дуга параболы в точке E. Следовательно, свет, который входит в параболу и достигает точки E, путешествуя параллельно оси симметрии параболы, отражается по параболе к ее фокусу.
Этот вывод об отраженном свете применим ко всем точкам параболы, как показано в левой части диаграммы. Это отражающее свойство.
Есть и другие теоремы, которые можно вывести просто из приведенных выше рассуждений.
Приведенное выше доказательство и прилагаемая диаграмма показывают, что касательная BE делит угол ∠FEC пополам. Другими словами, касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между линиями, соединяющими точку с фокусом и перпендикулярно директрисе.
Поскольку треугольники △FBE и △CBE конгруэнтны, FB перпендикулярен касательной BE . Поскольку B находится на оси x , которая является касательной к параболе в ее вершине, отсюда следует, что точка пересечения любой касательной к параболе и перпендикуляра, проведенного из фокуса к этой касательной, лежит на линии, касательной к параболе. парабола в ее вершине. См. анимированную диаграмму [8] и кривую педали .
Если свет распространяется вдоль линии CE , он движется параллельно оси симметрии и падает на выпуклую сторону параболы в точке E. Из приведенной выше диаграммы ясно, что этот свет будет отражаться прямо от фокуса по продолжению сегмент FE .
Приведенные выше доказательства свойств отражения и касательного деления пополам используют ряд математических вычислений. Здесь представлено геометрическое доказательство.
На этой диаграмме F — фокус параболы, а T и U лежат в ее директрисе. P — произвольная точка параболы. PT перпендикулярен директрисе, а прямая MP делит угол пополам ∠FPT. Q — еще одна точка параболы, причем QU перпендикулярна директрисе. Мы знаем, что FP = PT и FQ = QU . Очевидно, QT > QU , поэтому QT > FQ . Все точки на биссектрисе MP равноудалены от F и T, но Q находится ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится левее MP , то есть по ту же сторону от него, что и фокус. То же самое было бы верно, если бы Q располагался где-нибудь еще на параболе (кроме точки P), поэтому вся парабола, кроме точки P, находится на стороне фокуса MP . Следовательно, MP является касательной к параболе в точке P. Поскольку она делит угол ∠FPT пополам, это доказывает свойство касательной пополам.
Логику последнего абзаца можно применить для модификации приведенного выше доказательства отражательного свойства. Это эффективно доказывает, что линия BE является касательной к параболе в точке E, если углы α равны. Отражающее свойство следует, как показано ранее.
Определение параболы по ее фокусу и директрисе можно использовать для ее рисования с помощью булавок и веревочек: [9]
Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой на линии бесконечности , которая является касательной в . 5-, 4- и 3-точечные вырождения теоремы Паскаля являются свойствами коники, имеющей хотя бы одну касательную. Если рассматривать эту касательную как бесконечную линию, а ее точку контакта как бесконечную точку оси Y , можно получить три утверждения для параболы.
Следующие свойства параболы касаются только терминов соединять , пересекать , параллельно , которые являются инвариантами подобия . Итак, достаточно доказать любое свойство единичной параболы с уравнением .
Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением .
Доказательство: прямой расчет единичной параболы .
Применение: Свойство 4-х точек параболы можно использовать для построения точки , пока и заданы.
Замечание: свойство 4-точечности параболы является аффинной версией 5-точечного вырождения теоремы Паскаля.
Пусть это три точки параболы с уравнением и пересечение секущей с прямой и пересечение секущей с прямой (см. рисунок). Тогда касательная в точке параллельна прямой . (Линии и параллельны оси параболы.)
Доказательство: можно провести для единичной параболы . Краткий расчет показывает: линия имеет наклон , который представляет собой наклон касательной в точке .
Применение: Свойство параболы 3-точки-1-касательная может быть использовано для построения касательной в точке , пока дано.
Замечание: Свойство параболы «3 точки-1 касательная» является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля.
Пусть это две точки параболы с уравнением , а также пересечение касательной в точке с прямой и пересечение касательной в точке с прямой (см. рисунок). Тогда секущая параллельна прямой . (Линии и параллельны оси параболы.)
Доказательство: прямой расчет единичной параболы .
Применение: Свойство 2-х точек–2-касательных можно использовать для построения касательной параболы в точке , если и касательная в задана.
Замечание 1: Свойство параболы «2 точки–2 касания» является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля.
Замечание 2. Свойство 2 точек–2 касательных не следует путать со следующим свойством параболы, которое также имеет дело с 2 точками и 2 касательными, но не связано с теоремой Паскаля.
Приведенные выше утверждения предполагают знание направления оси параболы для построения точек . Следующее свойство определяет точки только по двум заданным точкам и их касательным, в результате чего линия параллельна оси параболы.
Позволять
Тогда линия параллельна оси параболы и имеет уравнение
Доказательство: можно провести (как и свойства выше) для единичной параболы .
Применение: это свойство можно использовать для определения направления оси параболы, если заданы две точки и их касательные. Альтернативный способ — определить середины двух параллельных хорд, см. раздел о параллельных хордах.
Примечание. Это свойство представляет собой аффинную версию теоремы о двух перспективных треугольниках невырожденной коники. [10]
Штейнер установил следующую процедуру построения невырожденной коники (см. Коника Штейнера ):
Эту процедуру можно использовать для простого построения точек на параболе :
Доказательство: прямой расчет.
Примечание. Поколение Штейнера доступно также для эллипсов и гипербол .
Двойственная парабола состоит из множества касательных к обычной параболе.
Порождение Штейнера коники можно применить к порождению двойственной коники, изменяя значения точек и линий:
Чтобы сгенерировать элементы двойной параболы, нужно начать с
Доказательство является следствием алгоритма де Кастельжо для кривой Безье степени 2.
Парабола с уравнением однозначно определяется тремя точками с разными координатами x . Обычная процедура определения коэффициентов заключается в подстановке координат точки в уравнение. В результате получается линейная система трех уравнений, которую можно решить, например, методом исключения Гаусса или правилом Крамера . Альтернативный способ использует теорему о вписанном угле для парабол.
В дальнейшем угол двух линий будет измеряться как разность наклонов линии относительно директрисы параболы. То есть для параболы уравнения угол между двумя линиями уравнений измеряется формулой
Аналогично теореме о вписанном угле для кругов, существует теорема о вписанном угле для парабол : [11] [12]
(Доказательство: простой расчет: если точки находятся на параболе, можно перевести координаты, чтобы получить уравнение , тогда это можно сделать , если точки находятся на параболе.)
Следствием этого является то, что уравнение (в ) параболы, определяемой тремя точками с разными координатами x , имеет вид (если две координаты x равны, не существует параболы с направляющей, параллельной оси x , которая проходит через точки)
В подходящей системе координат любую параболу можно описать уравнением . Уравнение касательной в точке имеет вид
Очевидно, эту функцию можно расширить на множество всех точек до биекции между точками и прямыми с уравнениями . Обратное отображение
Расчетным путем проверяются следующие свойства полюсно-полярного отношения параболы:
Примечание. Полюс-полярные отношения существуют также для эллипсов и гипербол.
Пусть линия симметрии пересекает параболу в точке Q и обозначает фокус как точку F, а его расстояние от точки Q как f . Пусть перпендикуляр к линии симметрии через фокус пересекает параболу в точке T. Тогда (1) расстояние от F до T равно 2 f и (2) касательная к параболе в точке T пересекает прямую симметрии под углом 45°. [13] : 26
Если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся по направляющей, перпендикулярны. Другими словами, в любой точке директрисы вся парабола образует прямой угол.
Пусть три касательные к параболе образуют треугольник. Тогда теорема Ламберта утверждает, что фокус параболы лежит на описанной окружности треугольника. [14] [8] : Следствие 20.
Обращение Цукермана к теореме Ламберта гласит, что для данных трех линий, ограничивающих треугольник, если две линии касаются параболы, фокус которой лежит на описанной окружности треугольника, то третья линия также касается параболы. [15]
Предположим, хорда пересекает параболу, перпендикулярную ее оси симметрии. Пусть длина хорды между точками пересечения параболы равна с , а расстояние от вершины параболы до хорды, измеренное вдоль оси симметрии, равно d . Фокусное расстояние f параболы определяется выражением
Предположим, используется система декартовых координат, в которой вершина параболы находится в начале координат, а ось симметрии — ось y . Парабола открывается вверх. В другом месте этой статьи показано, что уравнение параболы имеет вид 4 fy = x 2 , где f — фокусное расстояние. На положительном конце хорды x =с/2и у = d . Поскольку эта точка находится на параболе, эти координаты должны удовлетворять приведенному выше уравнению. Поэтому путем замены . Из этого, .
Площадь, заключенная между параболой и хордой (см. схему), составляет две трети площади окружающего ее параллелограмма. Одна сторона параллелограмма — хорда, а противоположная — касательная к параболе. [16] [17] Наклон других параллельных сторон не имеет отношения к площади. Часто, как здесь, их рисуют параллельно оси симметрии параболы, но это произвольно.
Теорема, эквивалентная этой, но отличающаяся в деталях, была выведена Архимедом в III веке до нашей эры. Он использовал площади треугольников, а не параллелограмма. [d] См. «Квадратура параболы» .
Если хорда имеет длину b и перпендикулярна оси симметрии параболы, а расстояние по перпендикуляру от вершины параболы до хорды равно h , параллелограмм представляет собой прямоугольник со сторонами b и h . Следовательно, площадь A параболического сегмента, окруженного параболой и хордой, равна
Эту формулу можно сравнить с площадью треугольника:1/2бх .
В целом площадь ограждения можно рассчитать следующим образом. Сначала найдите точку на параболе, где ее наклон равен наклону хорды. Это можно сделать с помощью математических вычислений или с помощью линии, параллельной оси симметрии параболы и проходящей через середину хорды. Искомая точка — это место пересечения этой линии с параболой. [e] Затем, используя формулу, приведенную в разделе «Расстояние от точки до прямой» , вычислите расстояние по перпендикуляру от этой точки до хорды. Умножьте это значение на длину хорды, чтобы получить площадь параллелограмма, затем на 2/3, чтобы получить требуемую замкнутую площадь.
Следствием из вышеизложенного является то, что если парабола имеет несколько параллельных хорд, все их средние точки лежат на линии, параллельной оси симметрии. Если касательные к параболе проведены через конечные точки любой из этих хорд, две касательные пересекаются на одной и той же линии, параллельной оси симметрии (см. Направление оси параболы). [ф]
Если точка X расположена на параболе с фокусным расстоянием f и если p — расстояние по перпендикуляру от X до оси симметрии параболы, то длины дуг параболы , оканчивающихся в X, можно вычислить по f и p следующим образом, предполагая, что все они выражены в одних и тех же единицах. [г]
Эта величина s представляет собой длину дуги между X и вершиной параболы.
Длина дуги между X и симметрично противоположной точкой на другой стороне параболы равна 2 с .
Перпендикулярному расстоянию p можно присвоить положительный или отрицательный знак, чтобы указать, на какой стороне оси симметрии X находится. Изменение знака p меняет местами знаки h и s , не меняя их абсолютных значений. Если эти величины подписаны, длина дуги между любыми двумя точками параболы всегда показывается разницей между их значениями s . Расчет можно упростить, если использовать свойства логарифмов:
Это может быть полезно, например, при расчете размера материала, необходимого для изготовления параболического отражателя или параболического желоба .
Этот расчет можно использовать для параболы любой ориентации. Это не ограничивается ситуацией, когда ось симметрии параллельна оси y .
S — фокус, а V — главная вершина параболы VG. Нарисуйте VX перпендикулярно SV.
Возьмите любую точку B на VG и опустите перпендикуляр BQ из B в VX. Нарисуйте перпендикуляр ST, пересекающий BQ, при необходимости продленный, в точке T. В точке B нарисуйте перпендикуляр BJ, пересекающий VX в точке J.
Для параболы отрезок VBV, площадь, ограниченная хордой VB и дугой VB, равен ∆VBQ/3, также .
Площадь параболического сектора .
Поскольку треугольники TSB и QBJ подобны,
Поэтому площадь параболического сектора и можно найти по длине VJ, как указано выше.
Окружность, проходящая через S, V и B, также проходит через J.
И наоборот, если необходимо найти точку B на параболе VG так, чтобы площадь сектора SVB была равна заданному значению, определите точку J на VX и постройте окружность через S, V и J. Поскольку SJ диаметра, центр круга находится в его середине и лежит на биссектрисе SV, на расстоянии половины VJ от SV. Искомая точка B — это место пересечения этой окружности с параболой.
Если тело следует по траектории параболы за счет обратной квадратичной силы, направленной к S, то площадь SVB увеличивается с постоянной скоростью по мере движения точки B вперед. Отсюда следует, что J движется с постоянной скоростью вдоль VX, тогда как B движется по параболе.
Если скорость тела в вершине, где оно движется перпендикулярно SV, равна v , то скорость J равна 3 v /4 .
Конструкцию можно просто расширить, включив в нее случай, когда ни один из радиусов не совпадает с осью SV, следующим образом. Пусть A — неподвижная точка на VG между V и B, а точка H — пересечение на VX с перпендикуляром к SA в точке A. Судя по вышесказанному, площадь параболического сектора .
И наоборот, если требуется найти точку B для определенной области SAB, найдите точку J из HJ и точку B, как и раньше. Согласно книге 1, предложению 16, следствию 6 «Начал» Ньютона , скорость тела, движущегося по параболе с силой, направленной к фокусу, обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса. Если скорость в точке A равна v , то в вершине V она равна , а точка J движется с постоянной скоростью .
Вышеупомянутая конструкция была разработана Исааком Ньютоном и может быть найдена в первой книге Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica как предложение 30.
Фокусное расстояние параболы равно половине ее радиуса кривизны в вершине.
Рассмотрим точку ( x , y ) на окружности радиуса R с центром в точке (0, R ) . Окружность проходит через начало координат. Если точка находится недалеко от начала координат, теорема Пифагора показывает, что
Но если ( x , y ) находится очень близко к началу координат, поскольку ось x является касательной к окружности, y очень мал по сравнению с x , поэтому y 2 пренебрежимо мал по сравнению с другими членами. Поэтому чрезвычайно близок к происхождению
Сравните это с параболой
вершина которого находится в начале координат, открывается вверх и имеет фокусное расстояние f (см. предыдущие разделы этой статьи).
Уравнения (1) и (2) эквивалентны, если R = 2 f . Следовательно, это условие совпадения окружности и параболы в начале координат и очень близко к ним. Радиус кривизны в начале координат, который является вершиной параболы, в два раза больше фокусного расстояния.
Вогнутое зеркало, представляющее собой небольшой сегмент сферы, ведет себя примерно как параболическое зеркало, фокусируя параллельный свет в точку на полпути между центром и поверхностью сферы.
Другое определение параболы использует аффинные преобразования :
Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где – регулярная матрица ( определитель не равен 0), а – произвольный вектор. Если – векторы-столбцы матрицы , единичная парабола отображается на параболу
В общем, два вектора не перпендикулярны и не являются вершинами, если только аффинное преобразование не является подобием .
Касательный вектор в этой точке равен . В вершине касательный вектор ортогонален . Следовательно, параметр вершины является решением уравнения
Фокусное расстояние можно определить путем подходящего преобразования параметров (которое не меняет геометрическую форму параболы). Фокусное расстояние
Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление
Определение параболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной параболы даже в пространстве, если разрешено быть векторами в пространстве.
Квадратичная кривая Безье — это кривая , определяемая тремя точками и называемыми ее контрольными точками :
Эта кривая представляет собой дугу параболы (см. § Как аффинный образ единичной параболы).
В одном методе численного интегрирования график функции заменяют дугами парабол и интегрируют дуги парабол. Парабола определяется тремя точками. Формула для одной дуги:
Этот метод называется правилом Симпсона .
Следующие квадрики содержат параболы как плоские сечения:
Параболу можно использовать как трисектрису , то есть она позволяет точно трисекционировать произвольный угол с помощью линейки и циркуля. Это не противоречит невозможности трисекции угла только с помощью конструкций циркуля и линейки , поскольку использование парабол не допускается в классических правилах для конструкций циркуля и линейки.
Чтобы разделить , поместите его ногу на ось X так, чтобы вершина находилась в начале системы координат. Система координат также содержит параболу . Единичная окружность с радиусом 1 вокруг начала координат пересекает другую катет угла , и из этой точки пересечения проводят перпендикуляр на ось y . Параллельность оси y , проходящая через середину этого перпендикуляра, и касательная к единичной окружности пересекаются в . Окружность радиуса пересекает параболу в точке . Перпендикуляр от на ось x пересекает единичный круг в точке и составляет ровно одну треть от .
В правильности этой конструкции можно убедиться, показав, что координата x равна . Решение системы уравнений, заданной окружностью и параболой, приводит к кубическому уравнению . Тогда формула тройного угла показывает, что это действительно решение этого кубического уравнения.
Это трисекция восходит к Рене Декарту , который описал его в своей книге «Геометрия» (1637). [18]
Если заменить действительные числа произвольным полем , многие геометрические свойства параболы сохранят свою силу:
Принципиально новые явления возникают, если поле имеет характеристику 2 (т. е. ): все касательные параллельны.
В алгебраической геометрии парабола обобщается рациональными нормальными кривыми , имеющими координаты ( х , х2 , х3 , ... , хп ) ; стандартная парабола — это случай n = 2 , а случай n = 3 известен как скрученная кубика . Дальнейшее обобщение даёт многообразие Веронезе , когда имеется более одной входной переменной.
В теории квадратичных форм парабола — это график квадратичной формы x 2 (или других масштабирований), тогда как эллиптический параболоид — это график положительно определенной квадратичной формы x 2 + y 2 (или масштабирований), а гиперболический параболоид — это график неопределенной квадратичной формы x 2 - y 2 . Обобщения на большее количество переменных приводят к появлению дополнительных таких объектов.
Кривые y = x p для других значений p традиционно называются высшими параболами и первоначально рассматривались неявно в форме x p = ky q для p и q (оба положительных целых числа), в этой форме они считаются алгебраическими. кривые. Они соответствуют явной формуле y = x p / q для положительной дробной степени x . Отрицательные дробные степени соответствуют неявному уравнению x p y q = k и традиционно называются высшими гиперболами . Аналитически x также можно возвести в иррациональную степень (для положительных значений x ); аналитические свойства аналогичны возведению x в рациональную степень, но полученная кривая больше не является алгебраической и не может быть проанализирована с помощью алгебраической геометрии.
В природе аппроксимации парабол и параболоидов встречаются во многих разнообразных ситуациях. Самый известный пример параболы в истории физики — траектория частицы или тела, движущегося под действием однородного гравитационного поля без сопротивления воздуха (например, мяча, летящего по воздуху без учета трения воздуха ).
Параболическая траектория снарядов была открыта экспериментально в начале 17 века Галилеем , проводившим опыты с шарами, катящимися по наклонным плоскостям. Позже он также доказал это математически в своей книге «Диалог о двух новых науках» . [19] [h] Для объектов, протяженных в пространстве, таких как ныряльщик, прыгающий с трамплина, сам объект совершает сложное движение при вращении, но центр массы объекта тем не менее движется по параболе. Как и во всех случаях в физическом мире, траектория всегда представляет собой приближение параболы. Наличие сопротивления воздуха, например, всегда искажает форму, хотя на малых скоростях форма является хорошим приближением параболы. На более высоких скоростях, например в баллистике, форма сильно искажается и не напоминает параболу.
Другая гипотетическая ситуация, в которой могли бы возникнуть параболы, согласно теориям физики, описанным в 17 и 18 веках сэром Исааком Ньютоном , — это орбиты двух тел , например, траектория небольшого планетоида или другого объекта под воздействием гравитация Солнца . Параболические орбиты не встречаются в природе; простые орбиты чаще всего напоминают гиперболы или эллипсы . Параболическая орбита представляет собой вырожденный промежуточный случай между этими двумя типами идеальной орбиты. Объект, следующий по параболической орбите, будет двигаться с точной скоростью убегания объекта, вокруг которого он вращается; объекты на эллиптических или гиперболических орбитах движутся со скоростью меньше или больше скорости убегания соответственно. Длиннопериодические кометы движутся со скоростью, близкой к скорости убегания Солнца, когда они движутся через внутреннюю Солнечную систему, поэтому их траектории почти параболичны.
Приближения парабол встречаются и в форме основных тросов на простом подвесном мосту . Кривая цепей подвесного моста всегда представляет собой промежуточную кривую между параболой и цепной линией , но на практике кривая обычно ближе к параболе, поскольку вес груза (то есть дороги) намного больше, чем вес тросов. сами по себе, а в расчетах используется полиномиальная формула параболы второй степени. [20] [21] Под воздействием равномерной нагрузки (например, горизонтального подвесного настила) кабель, имеющий в противном случае контактную форму, деформируется в сторону параболы (см. Цепная линия § Кривая подвесного моста ). В отличие от неупругой цепи свободно висящая пружина нулевой ненапряженной длины принимает форму параболы. Тросы подвесного моста в идеале находятся исключительно в натяжении, без необходимости нести на себе другие силы, например, изгиб. Точно так же конструкции параболических арок находятся исключительно на сжатии.
Параболоиды возникают также в нескольких физических ситуациях. Самый известный пример — параболический отражатель , который представляет собой зеркало или подобное отражающее устройство, которое концентрирует свет или другие формы электромагнитного излучения в общей фокусной точке или, наоборот, коллимирует свет от точечного источника в фокусе в параллельный луч. Принцип параболического отражателя, возможно, был открыт в III веке до нашей эры геометром Архимедом , который, согласно сомнительной легенде, [22] сконструировал параболические зеркала для защиты Сиракуз от римского флота, концентрируя солнечные лучи для поджога. на палубы римских кораблей. Этот принцип был применен к телескопам в 17 веке. Сегодня параболоидные отражатели можно часто наблюдать во многих странах мира в микроволновых и спутниковых приемных и передающих антеннах.
В параболических микрофонах параболический отражатель используется для фокусировки звука на микрофоне, что обеспечивает его направленность.
Параболоиды наблюдаются также на поверхности жидкости, заключенной в сосуд и вращающейся вокруг центральной оси. В этом случае центробежная сила заставляет жидкость подниматься по стенкам емкости, образуя параболическую поверхность. На этом принципе основан телескоп с жидкостным зеркалом .
Летательные аппараты , используемые для создания состояния невесомости в целях экспериментов, такие как « Рвотная комета » НАСА , следуют по вертикально-параболической траектории в течение коротких периодов времени, чтобы проследить курс объекта в свободном падении , что производит тот же эффект, что и ноль. гравитация для большинства целей.