Парабола

В математике парабола — это плоская кривая , зеркально-симметричная и имеющая приблизительно U-образную форму . Он соответствует нескольким внешне различным математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

Одно описание параболы включает точку ( фокус ) и линию ( директрису ). Фокус не находится на директрисе. Парабола — это геометрическое место точек в этой плоскости, равноудаленных от директрисы и фокуса. Другое описание параболы — это коническое сечение , созданное пересечением прямой круговой конической поверхности и плоскости, параллельной другой плоскости, касательной к конической поверхности. ^[а]

График квадратичной функции является параболой, если и , наоборот, парабола является графиком квадратичной функции, если ее ось параллельна оси $y$ . $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle a \ neq 0,}$

Линия, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус (то есть линия, разделяющая параболу посередине), называется «осью симметрии». Точка, где парабола пересекает свою ось симметрии, называется « вершиной » и является точкой, где парабола наиболее резко изогнута. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное вдоль оси симметрии, является «фокусным расстоянием». « Широкая прямая кишка » — это хорда параболы, параллельная директрисе и проходящая через фокус. Параболы могут открываться вверх, вниз, влево, вправо или в каком-либо другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и масштабировать, чтобы она точно соответствовала любой другой параболе, то есть все параболы геометрически подобны .

Параболы обладают тем свойством, что, если они сделаны из материала, отражающего свет , то свет, идущий параллельно оси симметрии параболы и попадающий на ее вогнутую сторону, отражается в ее фокус, независимо от того, в каком месте параболы происходит отражение. И наоборот, свет, исходящий от точечного источника в фокусе, отражается в параллельный (« коллимированный ») луч, оставляя параболу параллельной оси симметрии. Те же самые эффекты происходят со звуком и другими волнами . Это отражающее свойство лежит в основе многих практических применений парабол.

Парабола имеет множество важных применений: от параболической антенны или параболического микрофона до отражателей автомобильных фар и конструкции баллистических ракет . Его часто используют в физике , технике и многих других областях.

История

Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была написана Менехмом в IV веке до нашей эры. Он нашел способ решить задачу удвоения куба с помощью парабол. (Решение, однако, не отвечает требованиям построения циркуля и линейки .) Площадь, ограниченная параболой и отрезком, так называемый «отрезок параболы», был вычислен Архимедом методом исчерпания в в III веке до нашей эры в своей «Квадратуре параболы» . Название «парабола» связано с Аполлонием , открывшим многие свойства конических сечений. Оно означает «приложение», имея в виду понятие «применение площадей», которое имеет связь с этой кривой, как доказал Аполлоний. ^[1] Свойство фокуса-директрисы параболы и других конических сечений принадлежит Паппусу .

Галилей показал, что траектория снаряда следует по параболе, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести.

Идея о том, что параболический рефлектор может создавать изображение, была хорошо известна еще до изобретения телескопа-рефлектора . ^[2] Проекты были предложены в начале и середине 17 века многими математиками , в том числе Рене Декартом , Марином Мерсенном , ^[3] и Джеймсом Грегори . ^[4] Когда Исаак Ньютон построил первый телескоп-рефлектор в 1668 году, он отказался от использования параболического зеркала из-за сложности изготовления, отдав предпочтение сферическому зеркалу . Параболические зеркала используются в большинстве современных телескопов-рефлекторов, а также в спутниковых антеннах и радиолокационных приемниках. ^[5]

Определение как геометрическое место точек

Параболу можно определить геометрически как совокупность точек ( место точек ) на евклидовой плоскости:

Парабола — это набор точек, такой, что для любой точки множества расстояние до фиксированной точки — фокуса — равно расстоянию до фиксированной линии — директрисы :

P

|PF|

F

|Pl|

л

\{P:|PF|=|Pl|\}.

Середина перпендикуляра из фокуса на директрису называется вершиной , а линия — осью симметрии параболы. $V$ $F$ $л$ $FV$

В декартовой системе координат

Ось симметрии параллельна оси y

Парабола с осью, параллельной оси $y$ ; $p$ - *полурасширенная прямая кишка*

Если ввести декартовы координаты , такие, что и направляющая имеет уравнение , для точки получится уравнение . Решение проблемы доходности $F=(0,f),\ f>0,$ $y=-f$ ${\ displaystyle P = (x, y)}$ $|PF|^{2}=|Pl|^{2}$ $x^{2}+(yf)^{2} = (y+f)^{2}$ $y$

y={\frac {1}{4f}}x^{2}.

Эта парабола имеет U-образную форму ( открывается вверх ).

Горизонтальная хорда, проходящая через фокус (см. рисунок во вступительной части), называется широкой прямой кишкой ; половина ее — полурасширенная прямая кишка . Широкая прямая кишка параллельна директрисе. Полурасширенная прямая кишка обозначается буквой . Из картинки получается $p$

p=2f.

Аналогично определяется широкая прямая кишка и для двух других коник — эллипса и гиперболы. Широкая прямая кишка — это линия, проведенная через фокус конического сечения, параллельного директрисе, и заканчивающаяся в обе стороны кривой. В любом случае – радиус соприкасающейся окружности в вершине. Для параболы полурасширенная прямая кишка — это расстояние фокуса от директрисы. Используя параметр уравнение параболы можно переписать в виде $p$ $p$ $p$

x^{2}=2py.

В более общем смысле, если вершина , фокус и директриса , получается уравнение $V=(v_{1},v_{2})$ $F=(v_{1},v_{2}+f)$ $y=v_{2}-f$

y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.

Примечания :

В случае с параболой имеется отверстие вниз. $f<0$
Предположение о параллельности оси y позволяет рассматривать параболу как график многочлена степени 2, и наоборот: график произвольного многочлена степени 2 является параболой (см. следующий раздел).
Если поменять местами и , получим уравнения вида . Эти параболы открываются влево (если ) или вправо (если ). $x$ $y$ $y^{2}=2px$ $p<0$ $p>0$

Общее положение

Если фокус равен , а директриса , то получается уравнение $F=(f_{1},f_{2})$ $ax+by+c=0$

{\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}

(левая часть уравнения использует нормальную форму линии Гессе для расчета расстояния ). $|Pl|$

О параметрическом уравнении параболы общего положения см. § Как аффинный образ единичной параболы.

Неявное уравнение параболы определяется неприводимым полиномом второй степени:

ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,

линейного многочлена

b^{2}-4ac=0,

ax^{2}+bxy+cy^{2}

Как график функции

В предыдущем разделе показано, что любую параболу с началом координат в качестве вершины и осью y в качестве оси симметрии можно рассматривать как график функции.

f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.

Ибо параболы открываются вверх, а ибо открываются вниз (см. рисунок). Из приведенного выше раздела получается: $a>0$ $a<0$

Фокус заключается в том , $\left(0,{\frac {1}{4a}}\right)$
фокусное расстояние , полурасширенная прямая кишка , ${\frac {1}{4a}}$ $p={\frac {1}{2a}}$
вершина есть , _ $(0,0)$
директриса имеет уравнение , $y=-{\frac {1}{4a}}$
касательная в точке имеет уравнение . $(x_{0},ax_{0}^{2})$ $y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}$

Для параболы – это единичная парабола с уравнением . Его фокус — полурасширенная прямая кишка , а директриса имеет уравнение . $a=1$ $y=x^{2}$ $\left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)$ $p={\tfrac {1}{2}}$ $y=-{\tfrac {1}{4}}$

Общая функция степени 2:

f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.

квадрата дает

f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},

ось (параллельная оси y ), $x=-{\frac {b}{2a}}$
фокусное расстояние , полурасширенная прямая кишка , ${\frac {1}{4a}}$ $p={\frac {1}{2a}}$
вершина , _ $V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$
фокус , _ $F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)$
директриса , _ $y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}$
точка параболы, пересекающая ось y , имеет координаты , $(0,c)$
касательная в точке оси y имеет уравнение . $y=bx+c$

Сходство с единичной параболой

Когда парабола равномерно масштабируется с коэффициентом 2, результатом является парабола $\color {blue}{y=2x^{2}}$ $\color {red}{y=x^{2}}$

Два объекта в евклидовой плоскости подобны, если один можно преобразовать в другой посредством подобия , то есть произвольной композиции твердых движений ( перемещений и вращений ) и равномерных масштабирований .

Параболу с вершиной можно преобразовать путем перевода в параболу с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат может затем преобразовать параболу в ту, у которой ось $y$ является осью симметрии. Следовательно, парабола может быть преобразована жестким движением в параболу с уравнением . Такая парабола затем может быть преобразована путем равномерного масштабирования в единичную параболу с помощью уравнения . Таким образом, любую параболу можно отобразить в единичную параболу по подобию. ^[6] ${\mathcal {P}}$ $V=(v_{1},v_{2})$ $(x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})$ ${\mathcal {P}}$ $y=ax^{2},\ a\neq 0$ $(x,y)\to (ax,ay)$ $y=x^{2}$

Для получения этого результата также можно использовать синтетический подход с использованием подобных треугольников . ^[7]

Общий результат состоит в том, что два конических сечения (обязательно одного типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет. ^[6] Следовательно, только круги (все имеют эксцентриситет 0) разделяют это свойство с параболами (все имеют эксцентриситет 1), а общие эллипсы и гиперболы - нет.

Существуют и другие простые аффинные преобразования, которые отображают параболу в единичную параболу, например . Но это отображение не является подобием, а лишь показывает, что все параболы аффинно эквивалентны (см. § Как аффинный образ единичной параболы). $y=ax^{2}$ $(x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)$

В качестве специального конического сечения

Пучок конических сечений с осью x в качестве оси симметрии , одной вершиной в начале координат (0, 0) и той же полуширотной прямой кишкой можно представить уравнением $p$

y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,

e

Ибо коника есть круг (соприкасающийся круг карандаша), $e=0$
для эллипса , _ $0<e<1$
для параболы с уравнением $e=1$ $y^{2}=2px,$
для гиперболы (см. рисунок). $e>1$

В полярных координатах

Если $p > 0$ , парабола с уравнением (открытие вправо) имеет полярное представление $y^{2}=2px$

r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}

r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi

Его вершина — , а фокус — . $V=(0,0)$ $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$

Если сместить начало координат в фокус, т. е. , то получится уравнение $F=(0,0)$

r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.

Замечание 1: Инвертирование этой полярной формы показывает, что парабола является обратной кардиоидой .

Замечание 2. Вторая полярная форма — это частный случай пучка коник с фокусом (см. рисунок): $F=(0,0)$

r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}

e

Коническое сечение и квадратичная форма

Схема, описание и определения

Диаграмма представляет собой конус с осью AV . Точка А является ее вершиной . Наклонное поперечное сечение конуса, показанное розовым цветом, наклонено от оси на тот же угол $θ$ , что и сторона конуса. Согласно определению параболы как конического сечения, граница этого розового сечения EPD является параболой.

Через вершину Р параболы проходит сечение, перпендикулярное оси конуса. Это поперечное сечение круглое, но при взгляде под углом кажется эллиптическим , как показано на схеме. Его центр — V, а PK — диаметр. Назовем его радиус $r$ .

Другое перпендикулярное оси круглое сечение конуса находится дальше от вершины А, чем только что описанное. У него есть хорда DE , соединяющая точки пересечения параболы с окружностью. Другая хорда BC является биссектрисой DE и, следовательно , является диаметром окружности. Эти две хорды и ось симметрии параболы PM пересекаются в точке М.

Все отмеченные точки, кроме D и E, компланарны . Они находятся в плоскости симметрии всей фигуры. Сюда входит точка F, которая не упомянута выше. Это определено и обсуждается ниже, в § Положение фокуса.

Назовем длину DM и EM $x$ , а длину PM $y$ .

Вывод квадратного уравнения

Длины BM и CM составляют:

${\overline {\mathrm {BM} }}=2y\sin \theta$ (треугольник БПМ равнобедренный , потому что ), ${\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC$
${\overline {\mathrm {CM} }}=2r$ (PMCK — параллелограмм ) .

Используя теорему о пересекающихся хордах для хорд BC и DE , получаем

{\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.

Замена:

4ry\sin \theta =x^{2}.

Перестановка:

y={\frac {x^{2}}{4r\sin \theta }}.

Для любого заданного конуса и параболы $r$ и $θ$ являются константами, но $x$ и $y$ являются переменными, которые зависят от произвольной высоты, на которой выполнено горизонтальное сечение BECD. Последнее уравнение показывает взаимосвязь между этими переменными. Их можно интерпретировать как декартовы координаты точек D и E в системе на розовой плоскости с точкой начала координат P. Поскольку в уравнении $x находится в квадрате, тот факт, что D и E находятся на противоположных сторонах оси$ $y$ , неважен. Если горизонтальное сечение движется вверх или вниз, к вершине конуса или от нее, D и E движутся вдоль параболы, всегда сохраняя соотношение между $x$ и $y$ , показанное в уравнении. Таким образом, параболическая кривая является геометрическим местом точек, в которых уравнение удовлетворяется, что делает ее декартовым графиком квадратичной функции в уравнении.

Фокусное расстояние

В предыдущем разделе доказано, что если парабола имеет вершину в начале координат и если она открывается в положительном направлении $y$ , то ее уравнение имеет вид $y =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}х 2/4 ж$ , где $f$ — его фокусное расстояние. ^[b] Сравнение этого значения с последним уравнением выше показывает, что фокусное расстояние параболы в конусе равно $r sin θ$ .

Положение фокуса

На схеме выше точка V — это основание перпендикуляра из вершины параболы к оси конуса. Точка F является основанием перпендикуляра из точки V к плоскости параболы. ^[c] По симметрии F находится на оси симметрии параболы. Угол VPF дополнителен к $θ$ , а угол PVF дополнителен к углу VPF, поэтому угол PVF равен $θ$ . Поскольку длина PV равна $r$ , расстояние F от вершины параболы равно $r sin θ$ . Выше показано, что это расстояние равно фокусному расстоянию параболы, то есть расстоянию от вершины до фокуса. Таким образом, фокус и точка F находятся на одинаковом расстоянии от вершины по одной и той же линии, что означает, что это одна и та же точка. Следовательно, точка F, определенная выше, является фокусом параболы .

Эта дискуссия началась с определения параболы как конического сечения, но теперь привела к описанию ее как графика квадратичной функции. Это показывает, что эти два описания эквивалентны. Они оба определяют кривые одинаковой формы.

Альтернативное доказательство со сферами Одуванчика.

Парабола (красный): вид сбоку и вид сверху на конус со сферой Одуванчика.

Альтернативное доказательство можно провести с помощью сфер Данделина . Он работает без вычислений и использует только элементарные геометрические соображения (см. вывод ниже).

Пересечение вертикального конуса плоскостью , наклон которой от вертикали такой же, как образующая (она же образующая линия, линия, содержащая вершину и точку на поверхности конуса) конуса, представляет собой параболу (красную кривую в диаграмма). $\pi$ $m_{0}$

Эта образующая — единственная образующая конуса, параллельная плоскости . В противном случае, если есть две образующие, параллельные пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет гиперболой ( или вырожденной гиперболой , если две образующие находятся в пересекающейся плоскости). Если не существует образующей, параллельной пересекающей плоскости, то кривая пересечения будет эллипсом или кругом ( или точкой ). $m_{0}$ $\pi$

Пусть plane — это плоскость, содержащая вертикальные оси конуса и линию . Наклон плоскости от вертикали такой же, как и линия, означает, что при взгляде сбоку (т. е. плоскость перпендикулярна плоскости ), . $\sigma$ $m_{0}$ $\pi$ $m_{0}$ $\pi$ $\sigma$ $m_{0}\parallel \pi$

Чтобы доказать свойство направляющей параболы (см. § Определение как геометрическое место точек выше), используется сфера Одуванчика , которая представляет собой сферу, которая касается конуса по окружности и плоскости в точке . Плоскость, содержащая окружность, пересекается с плоскостью по линии . В системе, состоящей из плоскости , сферы Одуванчика и конуса, имеется зеркальная симметрия ( плоскость симметрии ). $d$ $c$ $\pi$ $F$ $c$ $\pi$ $l$ $\pi$ $d$ $\sigma$

Поскольку плоскость, содержащая окружность , перпендикулярна плоскости и , линия их пересечения также должна быть перпендикулярна плоскости . Поскольку линия находится в плоскости , . $c$ $\sigma$ $\pi \perp \sigma$ $l$ $\sigma$ $m_{0}$ $\sigma$ $l\perp m_{0}$

Получается, что это фокус параболы и есть директриса параболы. $F$ $l$

Пусть – произвольная точка кривой пересечения. $P$
Образующая конуса , содержащего окружность, пересекает ее в точке . $P$ $c$ $A$
Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину. ${\overline {PF}}$ ${\overline {PA}}$ $d$
Образующая пересекает окружность в точке . Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину. $m_{0}$ $c$ $D$ ${\overline {ZD}}$ ${\overline {ZA}}$ $d$
Пусть линия будет линией, параллельной и проходящей через точку . Поскольку и точка лежит в плоскости , линия должна лежать в плоскости . Поскольку , мы это тоже знаем. $q$ $m_{0}$ $P$ $m_{0}\parallel \pi$ $P$ $\pi$ $q$ $\pi$ $m_{0}\perp l$ $q\perp l$
Пусть точка является основанием перпендикуляра из точки на прямую , то есть является отрезком прямой и, следовательно , . $B$ $P$ $l$ ${\overline {PB}}$ $q$ ${\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}$
Из теоремы о перехвате мы знаем это . Поскольку мы это знаем , а это значит, что расстояние от до фокуса равно расстоянию от до директрисы . ${\overline {ZD}}={\overline {ZA}}$ ${\overline {PA}}={\overline {PB}}$ ${\overline {PA}}={\overline {PF}}$ ${\overline {PF}}={\overline {PB}}$ $P$ $F$ $P$ $l$

Доказательство отражающих свойств

Свойство отражения гласит, что если парабола может отражать свет, то свет, попадающий в нее и двигаясь параллельно оси симметрии, отражается к фокусу. Это выведено из геометрической оптики , основанной на предположении, что свет распространяется лучами.

Рассмотрим параболу $y = x 2$ . Поскольку все параболы подобны, этот простой случай представляет все остальные.

Конструкция и определения

Точка E — произвольная точка параболы. Фокус — F, вершина — A (начало координат), а линия FA — ось симметрии. Линия EC параллельна оси симметрии, пересекает ось $x$ в точке D и пересекает направляющую в точке C. Точка B является средней точкой отрезка FC .

Вычеты

Вершина A равноудалена от фокуса F и от директрисы. Поскольку C находится на направляющей, координаты $y$ F и C равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. B – середина FC . Его координата $x$ вдвое меньше координаты D, то есть $x /2$ . Наклон линии BE представляет собой частное отношение длин ED и BD , что составляет $х 2 / х /2 = 2 х$ . Но $2 x$ — это еще и наклон (первая производная) параболы в точке E. Следовательно, линия BE является касательной к параболе в точке E.

Расстояния EF и EC равны, поскольку E находится на параболе, F — в фокусе, а C — на директрисе. Следовательно, поскольку B является серединой FC , треугольники △FEB и △CEB конгруэнтны (три стороны), а это означает, что углы, отмеченные $α,$ равны. (Угол над E является вертикальным противоположным углом ∠BEC.) Это означает, что луч света, который входит в параболу и достигает точки E, двигаясь параллельно оси симметрии, будет отражен линией BE и пройдет вдоль линии EF , как показано красным на схеме (при условии, что линии каким-то образом отражают свет). Поскольку BE является касательной к параболе в точке E, то такое же отражение будет производить бесконечно малая дуга параболы в точке E. Следовательно, свет, который входит в параболу и достигает точки E, путешествуя параллельно оси симметрии параболы, отражается по параболе к ее фокусу.

Этот вывод об отраженном свете применим ко всем точкам параболы, как показано в левой части диаграммы. Это отражающее свойство.

Другие последствия

Есть и другие теоремы, которые можно вывести просто из приведенных выше рассуждений.

Свойство касательной пополам

Приведенное выше доказательство и прилагаемая диаграмма показывают, что касательная BE делит угол ∠FEC пополам. Другими словами, касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между линиями, соединяющими точку с фокусом и перпендикулярно директрисе.

Пересечение касательной и перпендикуляра из фокуса

Поскольку треугольники △FBE и △CBE конгруэнтны, FB перпендикулярен касательной BE . Поскольку B находится на оси $x$ , которая является касательной к параболе в ее вершине, отсюда следует, что точка пересечения любой касательной к параболе и перпендикуляра, проведенного из фокуса к этой касательной, лежит на линии, касательной к параболе. парабола в ее вершине. См. анимированную диаграмму ^[8] и кривую педали .

Отражение света, падающего на выпуклую сторону

Если свет распространяется вдоль линии CE , он движется параллельно оси симметрии и падает на выпуклую сторону параболы в точке E. Из приведенной выше диаграммы ясно, что этот свет будет отражаться прямо от фокуса по продолжению сегмент FE .

Альтернативные доказательства

Приведенные выше доказательства свойств отражения и касательного деления пополам используют ряд математических вычислений. Здесь представлено геометрическое доказательство.

На этой диаграмме F — фокус параболы, а T и U лежат в ее директрисе. P — произвольная точка параболы. PT перпендикулярен директрисе, а прямая MP делит угол пополам ∠FPT. Q — еще одна точка параболы, причем QU перпендикулярна директрисе. Мы знаем, что FP = PT и FQ = QU . Очевидно, QT > QU , поэтому QT > FQ . Все точки на биссектрисе MP равноудалены от F и T, но Q находится ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится левее MP , то есть по ту же сторону от него, что и фокус. То же самое было бы верно, если бы Q располагался где-нибудь еще на параболе (кроме точки P), поэтому вся парабола, кроме точки P, находится на стороне фокуса MP . Следовательно, MP является касательной к параболе в точке P. Поскольку она делит угол ∠FPT пополам, это доказывает свойство касательной пополам.

Логику последнего абзаца можно применить для модификации приведенного выше доказательства отражательного свойства. Это эффективно доказывает, что линия BE является касательной к параболе в точке E, если углы $α$ равны. Отражающее свойство следует, как показано ранее.

Конструкция штифта и струны

Определение параболы по ее фокусу и директрисе можно использовать для ее рисования с помощью булавок и веревочек: ^[9]

Выберите фокус и директрису параболы. $F$ $l$
Возьмите треугольник из набора квадратов и приготовьте веревку нужной длины (см. схему). $|AB|$
Прикрепите один конец веревки к точке треугольника, а другой — к фокусу . $A$ $F$
Расположите треугольник так, чтобы второй край прямого угла мог свободно скользить по направляющей.
Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к треугольнику.
Перемещая треугольник по директрисе, перо рисует дугу параболы, поскольку (см. определение параболы). $|PF|=|PB|$

Свойства, связанные с теоремой Паскаля

Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой на линии бесконечности , которая является касательной в . 5-, 4- и 3-точечные вырождения теоремы Паскаля являются свойствами коники, имеющей хотя бы одну касательную. Если рассматривать эту касательную как бесконечную линию, а ее точку контакта как бесконечную точку оси Y , можно получить три утверждения для параболы. $Y_{\infty }$ $g_{\infty }$ $Y_{\infty }$

Следующие свойства параболы касаются только терминов соединять , пересекать , параллельно , которые являются инвариантами подобия . Итак, достаточно доказать любое свойство единичной параболы с уравнением . $y=x^{2}$

4-балльная собственность

Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением . $y=ax^{2}$

Пусть это четыре точки параболы , и пересечение секущей с прямой и пусть это пересечение секущей с прямой (см. рисунок). Тогда секущая линия параллельна прямой . (Линии и параллельны оси параболы.)

P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})

y=ax^{2}

Q_{2}

P_{1}P_{4}

x=x_{2},

Q_{1}

P_{2}P_{3}

x=x_{1}

P_{3}P_{4}

Q_{1}Q_{2}

x=x_{1}

x=x_{2}

Доказательство: прямой расчет единичной параболы . $y=x^{2}$

Применение: Свойство 4-х точек параболы можно использовать для построения точки , пока и заданы. $P_{4}$ $P_{1},P_{2},P_{3}$ $Q_{2}$

Замечание: свойство 4-точечности параболы является аффинной версией 5-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Свойство 3 точки – 1 касательная

Пусть это три точки параболы с уравнением и пересечение секущей с прямой и пересечение секущей с прямой (см. рисунок). Тогда касательная в точке параллельна прямой . (Линии и параллельны оси параболы.) $P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})$ $y=ax^{2}$ $Q_{2}$ $P_{0}P_{1}$ $x=x_{2}$ $Q_{1}$ $P_{0}P_{2}$ $x=x_{1}$ $P_{0}$ $Q_{1}Q_{2}$ $x=x_{1}$ $x=x_{2}$

Доказательство: можно провести для единичной параболы . Краткий расчет показывает: линия имеет наклон , который представляет собой наклон касательной в точке . $y=x^{2}$ $Q_{1}Q_{2}$ $2x_{0}$ $P_{0}$

Применение: Свойство параболы 3-точки-1-касательная может быть использовано для построения касательной в точке , пока дано. $P_{0}$ $P_{1},P_{2},P_{0}$

Замечание: Свойство параболы «3 точки-1 касательная» является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Свойство 2 точки – 2 касательных

Пусть это две точки параболы с уравнением , а также пересечение касательной в точке с прямой и пересечение касательной в точке с прямой (см. рисунок). Тогда секущая параллельна прямой . (Линии и параллельны оси параболы.) $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ $y=ax^{2}$ $Q_{2}$ $P_{1}$ $x=x_{2}$ $Q_{1}$ $P_{2}$ $x=x_{1}$ $P_{1}P_{2}$ $Q_{1}Q_{2}$ $x=x_{1}$ $x=x_{2}$

Доказательство: прямой расчет единичной параболы . $y=x^{2}$

Применение: Свойство 2-х точек–2-касательных можно использовать для построения касательной параболы в точке , если и касательная в задана. $P_{2}$ $P_{1},P_{2}$ $P_{1}$

Замечание 1: Свойство параболы «2 точки–2 касания» является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Замечание 2. Свойство 2 точек–2 касательных не следует путать со следующим свойством параболы, которое также имеет дело с 2 точками и 2 касательными, но не связано с теоремой Паскаля.

Направление оси

Приведенные выше утверждения предполагают знание направления оси параболы для построения точек . Следующее свойство определяет точки только по двум заданным точкам и их касательным, в результате чего линия параллельна оси параболы. $Q_{1},Q_{2}$ $Q_{1},Q_{2}$ $Q_{1}Q_{2}$

Позволять

$P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ — две точки параболы , а — их касательные; $y=ax^{2}$ $t_{1},t_{2}$
$Q_{1}$ быть пересечением касательных , $t_{1},t_{2}$
$Q_{2}$ быть пересечением параллельной прямой с сквозной параллельной линией (см. рисунок). $t_{1}$ $P_{2}$ $t_{2}$ $P_{1}$

Тогда линия параллельна оси параболы и имеет уравнение $Q_{1}Q_{2}$ $x=(x_{1}+x_{2})/2.$

Доказательство: можно провести (как и свойства выше) для единичной параболы . $y=x^{2}$

Применение: это свойство можно использовать для определения направления оси параболы, если заданы две точки и их касательные. Альтернативный способ — определить середины двух параллельных хорд, см. раздел о параллельных хордах.

Примечание. Это свойство представляет собой аффинную версию теоремы о двух перспективных треугольниках невырожденной коники. ^[10]

поколение Штейнера

Парабола

Штейнер установил следующую процедуру построения невырожденной коники (см. Коника Штейнера ):

Учитывая два пучка прямых в двух точках (все строки содержат и соответственно) и проективное, но не перспективное отображение на , точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.

B(U),B(V)

U,V

U

V

\pi

B(U)

B(V)

Эту процедуру можно использовать для простого построения точек на параболе : $y=ax^{2}$

Рассмотрим карандаш в вершине и набор линий , параллельных оси Y. $S(0,0)$ $\Pi _{y}$
1. Пусть – точка параболы и , . $P=(x_{0},y_{0})$ $A=(0,y_{0})$ $B=(x_{0},0)$
2. Отрезок разбивается на n равноотстоящих друг от друга отрезков, и это деление проецируется (в направлении ) на отрезок (см. рисунок). Эта проекция порождает проективное отображение карандаша на карандаш . ${\overline {BP}}$ $BA$ ${\overline {AP}}$ $\pi$ $S$ $\Pi _{y}$
3. Пересечение прямой и i -й параллели оси y является точкой на параболе. $SB_{i}$

Доказательство: прямой расчет.

Примечание. Поколение Штейнера доступно также для эллипсов и гипербол .

Двойная парабола

Двойственная парабола состоит из множества касательных к обычной параболе.

Порождение Штейнера коники можно применить к порождению двойственной коники, изменяя значения точек и линий:

Пусть даны два множества точек на двух прямых и проективное, но не перспективное отображение между этими множествами точек, тогда соединительные линии соответствующих точек образуют невырожденную двойственную конику.

u,v

\pi

Чтобы сгенерировать элементы двойной параболы, нужно начать с

три точки не на одной линии, $P_{0},P_{1},P_{2}$
делит секции линии и каждую на равные интервалы между собой и складывает числа, как показано на рисунке. ${\overline {P_{0}P_{1}}}$ ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ $n$
Тогда прямые являются касательными параболы, следовательно, элементами двойственной параболы. $P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc$
Парабола представляет собой кривую Безье степени 2 с контрольными точками . $P_{0},P_{1},P_{2}$

Доказательство является следствием алгоритма де Кастельжо для кривой Безье степени 2.

Вписанные углы и трехточечная форма

Парабола с уравнением однозначно определяется тремя точками с разными координатами x . Обычная процедура определения коэффициентов заключается в подстановке координат точки в уравнение. В результате получается линейная система трех уравнений, которую можно решить, например, методом исключения Гаусса или правилом Крамера . Альтернативный способ использует теорему о вписанном угле для парабол. $y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ $a,b,c$

В дальнейшем угол двух линий будет измеряться как разность наклонов линии относительно директрисы параболы. То есть для параболы уравнения угол между двумя линиями уравнений измеряется формулой $y=ax^{2}+bx+c,$ $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}$ $m_{1}-m_{2}.$

Аналогично теореме о вписанном угле для кругов, существует теорема о вписанном угле для парабол : ^[11]^[12]

Четыре точки с разными координатами

x

(см. рисунок) находятся на параболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы при и имеют одинаковую меру, как определено выше. То есть,

P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,

y=ax^{2}+bx+c

P_{3}

P_{4}

{\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.

(Доказательство: простой расчет: если точки находятся на параболе, можно перевести координаты, чтобы получить уравнение , тогда это можно сделать , если точки находятся на параболе.) $y=ax^{2}$ ${\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}$

Следствием этого является то, что уравнение (в ) параболы, определяемой тремя точками с разными координатами $x$ , имеет вид (если две координаты $x$ равны, не существует параболы с направляющей, параллельной оси $x$ , которая проходит через точки) ${\color {green}x},{\color {red}y}$ $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,$

{\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.

{\color {green}x},

(x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.

Полюс-полярное отношение

Парабола: соотношение полюсов и полярностей

В подходящей системе координат любую параболу можно описать уравнением . Уравнение касательной в точке имеет вид $y=ax^{2}$ $P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}$

y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.

(x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}

Очевидно, эту функцию можно расширить на множество всех точек до биекции между точками и прямыми с уравнениями . Обратное отображение $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R}$

{\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).

полюсно-полярным отношением параболы,полярой

Расчетным путем проверяются следующие свойства полюсно-полярного отношения параболы:

Для точки (полюса) параболы полярой является касательная в этой точке (см. рисунок: ). $P_{1},\ p_{1}$
Для полюса вне параболы точки пересечения его поляры с параболой являются точками касания двух проходящих касательных (см. рисунок: ). $P$ $P$ $P_{2},\ p_{2}$
Для точки внутри параболы поляра не имеет общей точки с параболой (см. рисунок: и ). $P_{3},\ p_{3}$ $P_{4},\ p_{4}$
Точкой пересечения двух полярных линий (например, ) является полюс линии, соединяющей их полюса (например: ). $p_{3},p_{4}$ $P_{3},P_{4}$
Фокус и директриса параболы представляют собой полюс-полярную пару.

Примечание. Полюс-полярные отношения существуют также для эллипсов и гипербол.

Касательные свойства

Два касательных свойства, связанных с широкой прямой кишкой

Пусть линия симметрии пересекает параболу в точке Q и обозначает фокус как точку F, а его расстояние от точки Q как $f$ . Пусть перпендикуляр к линии симметрии через фокус пересекает параболу в точке T. Тогда (1) расстояние от F до T равно $2 f$ и (2) касательная к параболе в точке T пересекает прямую симметрии под углом 45°. ^[13]^{: 26}

Перпендикулярные касательные пересекаются по директрисе.

Ортоптическое свойство

Если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся по направляющей, перпендикулярны. Другими словами, в любой точке директрисы вся парабола образует прямой угол.

Теорема Ламберта

Пусть три касательные к параболе образуют треугольник. Тогда теорема Ламберта утверждает, что фокус параболы лежит на описанной окружности треугольника. ^[14]^[8]^{: Следствие 20.}

Обращение Цукермана к теореме Ламберта гласит, что для данных трех линий, ограничивающих треугольник, если две линии касаются параболы, фокус которой лежит на описанной окружности треугольника, то третья линия также касается параболы. ^[15]

Факты, связанные с хордами и дугами

Фокусное расстояние, рассчитанное по параметрам хорды

Предположим, хорда пересекает параболу, перпендикулярную ее оси симметрии. Пусть длина хорды между точками пересечения параболы равна $с$ , а расстояние от вершины параболы до хорды, измеренное вдоль оси симметрии, равно $d$ . Фокусное расстояние $f$ параболы определяется выражением

f={\frac {c^{2}}{16d}}.

Доказательство

Предположим, используется система декартовых координат, в которой вершина параболы находится в начале координат, а ось симметрии — ось $y$ . Парабола открывается вверх. В другом месте этой статьи показано, что уравнение параболы имеет вид $4 fy = x 2$ , где $f$ — фокусное расстояние. На положительном $конце$ хорды $x = с / 2$ и $у = d$ . Поскольку эта точка находится на параболе, эти координаты должны удовлетворять приведенному выше уравнению. Поэтому путем замены . Из этого, . $4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}$ $f={\tfrac {c^{2}}{16d}}$

Площадь, заключенная между параболой и хордой

Площадь, заключенная между параболой и хордой (см. схему), составляет две трети площади окружающего ее параллелограмма. Одна сторона параллелограмма — хорда, а противоположная — касательная к параболе. ^[16]^[17] Наклон других параллельных сторон не имеет отношения к площади. Часто, как здесь, их рисуют параллельно оси симметрии параболы, но это произвольно.

Теорема, эквивалентная этой, но отличающаяся в деталях, была выведена Архимедом в III веке до нашей эры. Он использовал площади треугольников, а не параллелограмма. ^[d] См. «Квадратура параболы» .

Если хорда имеет длину $b$ и перпендикулярна оси симметрии параболы, а расстояние по перпендикуляру от вершины параболы до хорды равно $h$ , параллелограмм представляет собой прямоугольник со сторонами $b$ и $h$ . Следовательно, площадь $A$ параболического сегмента, окруженного параболой и хордой, равна

A={\frac {2}{3}}bh.

Эту формулу можно сравнить с площадью треугольника: $1 / 2 бх$ .

В целом площадь ограждения можно рассчитать следующим образом. Сначала найдите точку на параболе, где ее наклон равен наклону хорды. Это можно сделать с помощью математических вычислений или с помощью линии, параллельной оси симметрии параболы и проходящей через середину хорды. Искомая точка — это место пересечения этой линии с параболой. ^[e] Затем, используя формулу, приведенную в разделе «Расстояние от точки до прямой» , вычислите расстояние по перпендикуляру от этой точки до хорды. Умножьте это значение на длину хорды, чтобы получить площадь параллелограмма, затем на 2/3, чтобы получить требуемую замкнутую площадь.

Следствие относительно средних и конечных точек аккордов.

Следствием из вышеизложенного является то, что если парабола имеет несколько параллельных хорд, все их средние точки лежат на линии, параллельной оси симметрии. Если касательные к параболе проведены через конечные точки любой из этих хорд, две касательные пересекаются на одной и той же линии, параллельной оси симметрии (см. Направление оси параболы). ^[ф]

Длина дуги

Если точка X расположена на параболе с фокусным расстоянием $f$ и если $p$ — расстояние по перпендикуляру от X до оси симметрии параболы, то длины дуг параболы , оканчивающихся в X, можно вычислить по $f$ и $p$ следующим образом, предполагая, что все они выражены в одних и тех же единицах. ^[г]

{\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}

Эта величина $s$ представляет собой длину дуги между X и вершиной параболы.

Длина дуги между X и симметрично противоположной точкой на другой стороне параболы равна $2 с$ .

Перпендикулярному расстоянию $p$ можно присвоить положительный или отрицательный знак, чтобы указать, на какой стороне оси симметрии X находится. Изменение знака $p$ меняет местами знаки $h$ и $s$ , не меняя их абсолютных значений. Если эти величины подписаны, длина дуги между любыми двумя точками параболы всегда показывается разницей между их значениями $s$ . Расчет можно упростить, если использовать свойства логарифмов:

s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.

Это может быть полезно, например, при расчете размера материала, необходимого для изготовления параболического отражателя или параболического желоба .

Этот расчет можно использовать для параболы любой ориентации. Это не ограничивается ситуацией, когда ось симметрии параллельна оси y .

Геометрическая конструкция для нахождения площади сектора.

S — фокус, а V — главная вершина параболы VG. Нарисуйте VX перпендикулярно SV.

Возьмите любую точку B на VG и опустите перпендикуляр BQ из B в VX. Нарисуйте перпендикуляр ST, пересекающий BQ, при необходимости продленный, в точке T. В точке B нарисуйте перпендикуляр BJ, пересекающий VX в точке J.

Для параболы отрезок VBV, площадь, ограниченная хордой VB и дугой VB, равен ∆VBQ/3, также . $BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}$

Площадь параболического сектора . $SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}$

Поскольку треугольники TSB и QBJ подобны,

VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.

Поэтому площадь параболического сектора и можно найти по длине VJ, как указано выше. $SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}$

Окружность, проходящая через S, V и B, также проходит через J.

И наоборот, если необходимо найти точку B на параболе VG так, чтобы площадь сектора SVB была равна заданному значению, определите точку J на VX и постройте окружность через S, V и J. Поскольку SJ диаметра, центр круга находится в его середине и лежит на биссектрисе SV, на расстоянии половины VJ от SV. Искомая точка B — это место пересечения этой окружности с параболой.

Если тело следует по траектории параболы за счет обратной квадратичной силы, направленной к S, то площадь SVB увеличивается с постоянной скоростью по мере движения точки B вперед. Отсюда следует, что J движется с постоянной скоростью вдоль VX, тогда как B движется по параболе.

Если скорость тела в вершине, где оно движется перпендикулярно SV, равна v , то скорость J равна $3 v /4$ .

Конструкцию можно просто расширить, включив в нее случай, когда ни один из радиусов не совпадает с осью SV, следующим образом. Пусть A — неподвижная точка на VG между V и B, а точка H — пересечение на VX с перпендикуляром к SA в точке A. Судя по вышесказанному, площадь параболического сектора . $SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}$

И наоборот, если требуется найти точку B для определенной области SAB, найдите точку J из HJ и точку B, как и раньше. Согласно книге 1, предложению 16, следствию 6 «Начал» Ньютона , скорость тела, движущегося по параболе с силой, направленной к фокусу, обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса. Если скорость в точке A равна v , то в вершине V она равна , а точка J движется с постоянной скоростью . ${\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v$ ${\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}$

Вышеупомянутая конструкция была разработана Исааком Ньютоном и может быть найдена в первой книге Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica как предложение 30.

Фокусное расстояние и радиус кривизны в вершине

Фокусное расстояние параболы равно половине ее радиуса кривизны в вершине.

Доказательство

Изображение перевернуто. АВ — ось $х$ . С – происхождение. О – центр. А есть $(х, у)$ . ОА = ОС = $Р$ . ПА = $х$ . КП = $y$ . ОП знак равно $(р - y)$ . Другие точки и линии для этой цели не имеют значения.
Радиус кривизны в вершине в два раза больше фокусного расстояния. Измерения, показанные на диаграмме выше, выражены в единицах широкой прямой кишки, что в четыре раза превышает фокусное расстояние.

Рассмотрим точку $(x, y)$ на окружности радиуса $R$ с центром в точке $(0, R)$ . Окружность проходит через начало координат. Если точка находится недалеко от начала координат, теорема Пифагора показывает, что

{\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}

Но если $(x, y)$ находится очень близко к началу координат, поскольку ось $x$ является касательной к окружности, $y$ очень мал по сравнению с $x$ , поэтому $y 2$ пренебрежимо мал по сравнению с другими членами. Поэтому чрезвычайно близок к происхождению

Сравните это с параболой

вершина которого находится в начале координат, открывается вверх и имеет фокусное расстояние $f$ (см. предыдущие разделы этой статьи).

Уравнения (1) и (2) эквивалентны, если $R = 2 f$ . Следовательно, это условие совпадения окружности и параболы в начале координат и очень близко к ним. Радиус кривизны в начале координат, который является вершиной параболы, в два раза больше фокусного расстояния.

Следствие

Вогнутое зеркало, представляющее собой небольшой сегмент сферы, ведет себя примерно как параболическое зеркало, фокусируя параллельный свет в точку на полпути между центром и поверхностью сферы.

Как аффинный образ единичной параболы

Другое определение параболы использует аффинные преобразования :

Любая парабола является аффинным образом единичной параболы с уравнением .

y=x^{2}

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где – регулярная матрица ( определитель не равен 0), а – произвольный вектор. Если – векторы-столбцы матрицы , единичная парабола отображается на параболу ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$ $A$ ${\vec {f}}_{0}$ ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ $A$ $(t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R}$

{\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},

${\vec {f}}_{0}$ является точкой параболы,
${\vec {f}}_{1}$ — касательный вектор в точке , ${\vec {f}}_{0}$
${\vec {f}}_{2}$ параллельна оси параболы (оси симметрии, проходящей через вершину).

Вертекс

В общем, два вектора не перпендикулярны и не являются вершинами, если только аффинное преобразование не является подобием . ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ ${\vec {f}}_{0}$

Касательный вектор в этой точке равен . В вершине касательный вектор ортогонален . Следовательно, параметр вершины является решением уравнения ${\vec {p}}(t)$ ${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}$ ${\vec {f}}_{2}$ $t_{0}$

{\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,

t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},

вершина

{\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.

Фокусное расстояние и фокус

Фокусное расстояние можно определить путем подходящего преобразования параметров (которое не меняет геометрическую форму параболы). Фокусное расстояние

f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.

фокус

F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.

Неявное представление

Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление $\;t,t^{2}\;$ $\;t\cdot t-t^{2}=0\;$

\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.

Парабола в космосе

Определение параболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной параболы даже в пространстве, если разрешено быть векторами в пространстве. ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$

Как квадратичная кривая Безье

Квадратичная кривая Безье и ее контрольные точки

Квадратичная кривая Безье — это кривая , определяемая тремя точками и называемыми ее контрольными точками : ${\vec {c}}(t)$ $P_{0}:{\vec {p}}_{0}$ $P_{1}:{\vec {p}}_{1}$ $P_{2}:{\vec {p}}_{2}$

{\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}

Эта кривая представляет собой дугу параболы (см. § Как аффинный образ единичной параболы).

Численное интегрирование

В одном методе численного интегрирования график функции заменяют дугами парабол и интегрируют дуги парабол. Парабола определяется тремя точками. Формула для одной дуги:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).

Этот метод называется правилом Симпсона .

Как плоское сечение квадрики

Следующие квадрики содержат параболы как плоские сечения:

эллиптический конус ,
параболический цилиндр ,
эллиптический параболоид ,
гиперболический параболоид,
однолистный гиперболоид ,
гиперболоид из двух листов.

Эллиптический конус
Параболический цилиндр
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Гиперболоид одного листа
Гиперболоид из двух листов

Как трисектриса

Параболу можно использовать как трисектрису , то есть она позволяет точно трисекционировать произвольный угол с помощью линейки и циркуля. Это не противоречит невозможности трисекции угла только с помощью конструкций циркуля и линейки , поскольку использование парабол не допускается в классических правилах для конструкций циркуля и линейки.

Чтобы разделить , поместите его ногу на ось X так, чтобы вершина находилась в начале системы координат. Система координат также содержит параболу . Единичная окружность с радиусом 1 вокруг начала координат пересекает другую катет угла , и из этой точки пересечения проводят перпендикуляр на ось y . Параллельность оси y , проходящая через середину этого перпендикуляра, и касательная к единичной окружности пересекаются в . Окружность радиуса пересекает параболу в точке . Перпендикуляр от на ось x пересекает единичный круг в точке и составляет ровно одну треть от . $\angle AOB$ $OB$ $O$ $y=2x^{2}$ $OA$ $(0,1)$ $C$ $C$ $OC$ $P_{1}$ $P_{1}$ $P_{2}$ $\angle P_{2}OB$ $\angle AOB$

В правильности этой конструкции можно убедиться, показав, что координата x равна . Решение системы уравнений, заданной окружностью и параболой, приводит к кубическому уравнению . Тогда формула тройного угла показывает, что это действительно решение этого кубического уравнения. $P_{1}$ $\cos(\alpha )$ $C$ $4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0$ $\cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )$ $\cos(\alpha )$

Это трисекция восходит к Рене Декарту , который описал его в своей книге «Геометрия» (1637). ^[18]

Обобщения

Если заменить действительные числа произвольным полем , многие геометрические свойства параболы сохранят свою силу: $y=x^{2}$

Линия пересекается не более чем в двух точках.
В любой точке линия является касательной. $(x_{0},x_{0}^{2})$ $y=2x_{0}x-x_{0}^{2}$

Принципиально новые явления возникают, если поле имеет характеристику 2 (т. е. ): все касательные параллельны. $1+1=0$

В алгебраической геометрии парабола обобщается рациональными $нормальными$ кривыми , имеющими координаты $(х, х2, х3, ...$ , $хп$ $)$ $;$ стандартная парабола — это случай $n = 2$ , а случай $n = 3$ известен как скрученная кубика . Дальнейшее обобщение даёт многообразие Веронезе , когда имеется более одной входной переменной.

В теории квадратичных форм парабола — это график квадратичной формы $x 2$ (или других масштабирований), тогда как эллиптический параболоид — это график положительно определенной квадратичной формы $x 2 + y 2$ (или масштабирований), а гиперболический параболоид — это график неопределенной квадратичной формы $x 2 - y 2$ . Обобщения на большее количество переменных приводят к появлению дополнительных таких объектов.

Кривые $y = x p$ для других значений $p$ традиционно называются высшими параболами и первоначально рассматривались неявно в форме $x p = ky q$ для $p$ и $q$ (оба положительных целых числа), в этой форме они считаются алгебраическими. кривые. Они соответствуют явной формуле $y = x p / q$ для положительной дробной степени $x$ . Отрицательные дробные степени соответствуют неявному уравнению $x p y q = k$ и традиционно называются высшими гиперболами . Аналитически $x$ также можно возвести в иррациональную степень (для положительных значений $x$ ); аналитические свойства аналогичны возведению $x$ в рациональную степень, но полученная кривая больше не является алгебраической и не может быть проанализирована с помощью алгебраической геометрии.

В физическом мире

В природе аппроксимации парабол и параболоидов встречаются во многих разнообразных ситуациях. Самый известный пример параболы в истории физики — траектория частицы или тела, движущегося под действием однородного гравитационного поля без сопротивления воздуха (например, мяча, летящего по воздуху без учета трения воздуха ).

Параболическая траектория снарядов была открыта экспериментально в начале 17 века Галилеем , проводившим опыты с шарами, катящимися по наклонным плоскостям. Позже он также доказал это математически в своей книге «Диалог о двух новых науках» . ^[19]^[h] Для объектов, протяженных в пространстве, таких как ныряльщик, прыгающий с трамплина, сам объект совершает сложное движение при вращении, но центр массы объекта тем не менее движется по параболе. Как и во всех случаях в физическом мире, траектория всегда представляет собой приближение параболы. Наличие сопротивления воздуха, например, всегда искажает форму, хотя на малых скоростях форма является хорошим приближением параболы. На более высоких скоростях, например в баллистике, форма сильно искажается и не напоминает параболу.

Другая гипотетическая ситуация, в которой могли бы возникнуть параболы, согласно теориям физики, описанным в 17 и 18 веках сэром Исааком Ньютоном , — это орбиты двух тел , например, траектория небольшого планетоида или другого объекта под воздействием гравитация Солнца . Параболические орбиты не встречаются в природе; простые орбиты чаще всего напоминают гиперболы или эллипсы . Параболическая орбита представляет собой вырожденный промежуточный случай между этими двумя типами идеальной орбиты. Объект, следующий по параболической орбите, будет двигаться с точной скоростью убегания объекта, вокруг которого он вращается; объекты на эллиптических или гиперболических орбитах движутся со скоростью меньше или больше скорости убегания соответственно. Длиннопериодические кометы движутся со скоростью, близкой к скорости убегания Солнца, когда они движутся через внутреннюю Солнечную систему, поэтому их траектории почти параболичны.

Приближения парабол встречаются и в форме основных тросов на простом подвесном мосту . Кривая цепей подвесного моста всегда представляет собой промежуточную кривую между параболой и цепной линией , но на практике кривая обычно ближе к параболе, поскольку вес груза (то есть дороги) намного больше, чем вес тросов. сами по себе, а в расчетах используется полиномиальная формула параболы второй степени. ^[20]^[21] Под воздействием равномерной нагрузки (например, горизонтального подвесного настила) кабель, имеющий в противном случае контактную форму, деформируется в сторону параболы (см. Цепная линия § Кривая подвесного моста ). В отличие от неупругой цепи свободно висящая пружина нулевой ненапряженной длины принимает форму параболы. Тросы подвесного моста в идеале находятся исключительно в натяжении, без необходимости нести на себе другие силы, например, изгиб. Точно так же конструкции параболических арок находятся исключительно на сжатии.

Параболоиды возникают также в нескольких физических ситуациях. Самый известный пример — параболический отражатель , который представляет собой зеркало или подобное отражающее устройство, которое концентрирует свет или другие формы электромагнитного излучения в общей фокусной точке или, наоборот, коллимирует свет от точечного источника в фокусе в параллельный луч. Принцип параболического отражателя, возможно, был открыт в III веке до нашей эры геометром Архимедом , который, согласно сомнительной легенде, ^[22] сконструировал параболические зеркала для защиты Сиракуз от римского флота, концентрируя солнечные лучи для поджога. на палубы римских кораблей. Этот принцип был применен к телескопам в 17 веке. Сегодня параболоидные отражатели можно часто наблюдать во многих странах мира в микроволновых и спутниковых приемных и передающих антеннах.

В параболических микрофонах параболический отражатель используется для фокусировки звука на микрофоне, что обеспечивает его направленность.

Параболоиды наблюдаются также на поверхности жидкости, заключенной в сосуд и вращающейся вокруг центральной оси. В этом случае центробежная сила заставляет жидкость подниматься по стенкам емкости, образуя параболическую поверхность. На этом принципе основан телескоп с жидкостным зеркалом .

Летательные аппараты , используемые для создания состояния невесомости в целях экспериментов, такие как « Рвотная комета » НАСА , следуют по вертикально-параболической траектории в течение коротких периодов времени, чтобы проследить курс объекта в свободном падении , что производит тот же эффект, что и ноль. гравитация для большинства целей.

Галерея

Прыгающий мяч , снятый стробоскопической вспышкой со скоростью 25 изображений в секунду. Мяч становится существенно несферичным после каждого отскока, особенно после первого. Это, наряду с вращением и сопротивлением воздуха , приводит к небольшому отклонению вытянутой кривой от ожидаемой идеальной параболы.
Параболические траектории воды в фонтане.
Путь (красный) кометы Когоутека , проходящей через внутреннюю часть Солнечной системы, демонстрирует ее почти параболическую форму. Синяя орбита — это орбита Земли.
Несущие тросы подвесных мостов следуют по кривой, промежуточной между параболой и цепной линией .
Радужный мост через реку Ниагара , соединяющий Канаду (слева) и США (справа). Параболическая арка сжимается и выдерживает вес дороги.
Параболические арки, используемые в архитектуре
Параболическая форма, образованная вращающейся поверхностью жидкости. Две жидкости разной плотности полностью заполняют узкое пространство между двумя листами прозрачного пластика. Зазор между листами закрывается снизу, по бокам и сверху. Вся сборка вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр. (См. Вращающаяся печь )
Солнечная плита с параболическим отражателем
Параболическая антенна
Параболический микрофон с оптически прозрачным пластиковым отражателем, использовавшийся на матче американского футбола.
Массив параболических желобов для сбора солнечной энергии
Прожектор Эдисона , установленный на тележке. Свет имел параболический отражатель.
Физик Стивен Хокинг в самолете, летящем по параболической траектории для имитации невесомости.

Смотрите также

Сноски

^ Касательная плоскость лишь касается конической поверхности по линии, проходящей через вершину конуса.
^ Как говорилось выше, фокусное расстояние параболы — это расстояние между ее вершиной и фокусом.
^ Точка V является центром меньшего круглого сечения конуса. Точка F находится в (розовой) плоскости параболы, а линия VF перпендикулярна плоскости параболы.
↑ Архимед доказал, что площадь замкнутого сегмента параболы в 4/3 больше площади треугольника, который он вписал внутрь этого сегмента. Легко показать, что площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, поэтому доказательство Архимеда также доказывает теорему с параллелограммом.
^ Правильность этого метода можно легко доказать с помощью расчетов. Его также знал и использовал Архимед, хотя он жил почти за 2000 лет до изобретения исчисления.
^ Доказательство этого предложения можно вывести из доказательства ортоптического свойства, приведенного выше. Там показано, что касательные к параболе $y = x 2$ в точках $(p, p 2)$ и $(q, q 2)$ пересекаются в точке, координата $x$ которой является средним значением $p$ и $q$ . Таким образом, если между этими двумя точками есть хорда, точка пересечения касательных имеет ту же координату $x$ , что и середина хорды.
^ В этом расчете квадратный корень $q$ должен быть положительным. Величина $ln a$ является $натуральным$ логарифмом a .
^ Однако эта параболическая форма, как признал Ньютон, является лишь приближением фактической эллиптической формы траектории и получена в предположении, что гравитационная сила постоянна (не направлена к центру Земли) в интересующей области. Часто эта разница незначительна и приводит к более простой формуле отслеживания движения.

дальнейшее чтение

Локвуд, Э.Х. (1961). Книга кривых . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

Найдите параболу в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме Параболы .

В Wikisource есть текст статьи « Парабола » из Британской энциклопедии 1911 года .

«Парабола», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Парабола». Математический мир .
Интерактивный фокус параболы, просмотр оси симметрии, директрисы, стандартных и вершинных форм.
Треугольник Архимеда и квадратура параболы при разрезании узла
Две касательные к параболе при разрезании узла
Парабола как огибающая прямых линий при разрезании узла
Параболическое зеркало в кратчайшие сроки
Три касательные параболы при разрезании узла
Фокальные свойства параболы в момент разрезания узла
Парабола как конверт II в готовом виде
Сходство параболы с эскизами динамической геометрии, интерактивным эскизом динамической геометрии.
Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen, 1659 г.

Парабола

История

Определение как геометрическое место точек

В декартовой системе координат

Ось симметрии параллельна оси y

Общее положение

Как график функции

Сходство с единичной параболой

В качестве специального конического сечения

В полярных координатах

Коническое сечение и квадратичная форма

Схема, описание и определения

Вывод квадратного уравнения

Фокусное расстояние

Положение фокуса

Альтернативное доказательство со сферами Одуванчика.

Доказательство отражающих свойств

Конструкция и определения

Вычеты

Другие последствия

Свойство касательной пополам

Пересечение касательной и перпендикуляра из фокуса

Отражение света, падающего на выпуклую сторону

Альтернативные доказательства

Конструкция штифта и струны

Свойства, связанные с теоремой Паскаля

4-балльная собственность

Свойство 3 точки – 1 касательная

Свойство 2 точки – 2 касательных

Направление оси

поколение Штейнера

Парабола

Двойная парабола

Вписанные углы и трехточечная форма

Полюс-полярное отношение

Касательные свойства

Два касательных свойства, связанных с широкой прямой кишкой

Ортоптическое свойство

Теорема Ламберта

Факты, связанные с хордами и дугами

Фокусное расстояние, рассчитанное по параметрам хорды

Площадь, заключенная между параболой и хордой

Следствие относительно средних и конечных точек аккордов.

Длина дуги

Геометрическая конструкция для нахождения площади сектора.

Фокусное расстояние и радиус кривизны в вершине

Как аффинный образ единичной параболы

Параметрическое представление

Вертекс

Фокусное расстояние и фокус

Неявное представление

Парабола в космосе

Как квадратичная кривая Безье

Численное интегрирование

Как плоское сечение квадрики

Как трисектриса

Обобщения

В физическом мире

Галерея

Смотрите также

Сноски

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки