Специальная теория относительности

Theory of interwoven space and time by Albert Einstein

Альберт Эйнштейн примерно в 1905 году, когда были опубликованы его « Записки Annus Mirabilis ». В их число входила «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» , статья, положившая начало специальной теории относительности.

В физике специальная теория относительности , или сокращенно специальная теория относительности , является научной теорией взаимосвязи пространства и времени . В статье Альберта Эйнштейна 1905 года « Об электродинамике движущихся тел » теория представлена ​​как основанная всего на двух постулатах : ^{[стр. 1] [1] [2]}

1. Законы физики инвариантны ( одинаковы ) во всех инерциальных системах отсчета (то есть системах отсчета без ускорения ). Это известно как принцип относительности .
2. Скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей, независимо от движения источника света или наблюдателя. Это известно как принцип постоянства света или принцип инвариантности скорости света.

Первый постулат впервые сформулировал Галилео Галилей (см. Галилеевская инвариантность ).

Происхождение и значение

Специальная теория относительности была описана Альбертом Эйнштейном в статье, опубликованной 26 сентября 1905 года под названием «Об электродинамике движущихся тел». ^{[стр. 1]} Уравнения электромагнетизма Максвелла оказались несовместимыми с механикой Ньютона , и эксперимент Майкельсона-Морли не смог обнаружить движение Земли относительно гипотетического светоносного эфира . Это привело к разработке преобразований Лоренца Хендриком Лоренцом , которые корректируют расстояния и время для движущихся объектов. Специальная теория относительности исправляет существующие до сих пор законы механики, чтобы обрабатывать ситуации, включающие все движения, и особенно те, которые происходят со скоростью, близкой к скорости света (известной какрелятивистские скорости ). Сегодня доказано, что специальная теория относительности является наиболее точной моделью движения при любой скорости, когда гравитационные и квантовые эффекты пренебрежимо малы.^[3][4]Тем не менее, ньютоновская модель по-прежнему верна как простое и точное приближение при низких скоростях (относительно скорости света), например, при повседневных движениях на Земле.

Специальная теория относительности имеет широкий спектр следствий, которые были экспериментально подтверждены. ^[5] Они включают в себя относительность одновременности , сокращение длины , замедление времени , релятивистскую формулу сложения скоростей, релятивистский эффект Доплера , релятивистскую массу , универсальный предел скорости , эквивалентность массы и энергии , скорость причинности и прецессию Томаса . ^{[1] [2]} Например, она заменила традиционное понятие абсолютного универсального времени на понятие времени, которое зависит от системы отсчета и пространственного положения. Вместо инвариантного временного интервала между двумя событиями существует инвариантный пространственно-временной интервал . В сочетании с другими законами физики два постулата специальной теории относительности предсказывают эквивалентность массы и энергии , как выражено в формуле эквивалентности массы и энергии , где - скорость света в вакууме. ^{[6] [7]} Она также объясняет, как связаны явления электричества и магнетизма. ^{[1] [2]} ${\displaystyle E=mc^{2}}$ ${\displaystyle c}$

Определяющей чертой специальной теории относительности является замена преобразований Галилея механики Ньютона на преобразования Лоренца . Время и пространство не могут быть определены отдельно друг от друга (как считалось ранее). Скорее, пространство и время переплетены в единый континуум, известный как «пространство-время» . События, которые происходят в одно и то же время для одного наблюдателя, могут происходить в разное время для другого.

До тех пор, пока несколько лет спустя Эйнштейн не разработал общую теорию относительности , которая ввела искривленное пространство-время для включения гравитации, фраза «специальная теория относительности» не использовалась. Иногда используется перевод «ограниченная относительность»; «специальная» на самом деле означает «особый случай». ^{[стр. 2] [стр. 3] [стр. 4] [примечание 1]} Некоторые работы Альберта Эйнштейна в области специальной теории относительности основаны на более ранних работах Хендрика Лоренца и Анри Пуанкаре . Теория стала по существу завершенной в 1907 году с работами Германа Минковского о пространстве-времени. ^[4]

Теория является «специальной» в том смысле, что она применима только в особом случае , когда пространство-время является «плоским», то есть, когда кривизна пространства-времени (следствие тензора энергии-импульса и представляющая гравитацию ) пренебрежимо мала. ^{[8] [примечание 2]} Чтобы правильно учесть гравитацию, Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности в 1915 году. Специальная теория относительности, вопреки некоторым историческим описаниям, учитывает ускорения , а также ускоряющиеся системы отсчета . ^{[9] [10]}

Так же, как теория относительности Галилея теперь считается приближением специальной теории относительности, справедливым для низких скоростей, специальная теория относительности считается приближением общей теории относительности, справедливым для слабых гравитационных полей , то есть в достаточно малых масштабах (например, когда приливные силы пренебрежимо малы) и в условиях свободного падения . Но общая теория относительности включает неевклидову геометрию для представления гравитационных эффектов как геометрической кривизны пространства-времени. Специальная теория относительности ограничена плоским пространством-временем, известным как пространство Минковского . Пока Вселенную можно моделировать как псевдориманово многообразие , лоренц-инвариантная система отсчета, которая подчиняется специальной теории относительности, может быть определена для достаточно малой окрестности каждой точки в этом искривленном пространстве-времени .

Галилео Галилей уже постулировал, что не существует абсолютного и четко определенного состояния покоя (никаких привилегированных систем отсчета ), принцип, который теперь называется принципом относительности Галилея . Эйнштейн расширил этот принцип так, чтобы он учитывал постоянную скорость света, ^[11] явление, которое наблюдалось в эксперименте Майкельсона-Морли. Он также постулировал, что он справедлив для всех законов физики , включая как законы механики, так и электродинамики . ^[12]

Традиционный подход к специальной теории относительности с использованием «двух постулатов»

«Размышления такого рода дали мне ясно понять еще вскоре после 1900 года, т. е. вскоре после новаторской работы Планка, что ни механика, ни электродинамика не могут (за исключением предельных случаев) претендовать на точную обоснованность. Постепенно я отчаялся в возможности открытия истинных законов посредством конструктивных усилий, основанных на известных фактах. Чем дольше и отчаяннее я пытался, тем больше приходил к убеждению, что только открытие универсального формального принципа может привести нас к гарантированным результатам... Как же тогда можно найти такой универсальный принцип?»

Альберт Эйнштейн: Автобиографические заметки ^{[стр. 5]}

Эйнштейн выделил два фундаментальных положения, которые казались наиболее достоверными, независимо от точной справедливости (тогда) известных законов механики или электродинамики. Эти положения заключались в постоянстве скорости света в вакууме и независимости физических законов (особенно постоянства скорости света) от выбора инерциальной системы. В своем первоначальном изложении специальной теории относительности в 1905 году он выразил эти постулаты следующим образом: ^{[стр. 1]}

• Принцип относительности – законы, по которым состояния физических систем претерпевают изменения, не зависят от того, относятся ли эти изменения состояний к одной или другой из двух систем, находящихся в равномерном поступательном движении относительно друг друга. ^{[стр. 1]}
• Принцип инвариантной скорости света – «... свет всегда распространяется в пустом пространстве с определенной скоростью [скоростью] c , которая не зависит от состояния движения излучающего тела» (из предисловия). ^{[стр. 1]} То есть свет в вакууме распространяется со скоростью c (фиксированная константа, не зависящая от направления) по крайней мере в одной системе инерциальных координат («неподвижная система»), независимо от состояния движения источника света.

Постоянство скорости света было мотивировано теорией электромагнетизма Максвелла ^[13] и отсутствием доказательств существования светоносного эфира . ^[14] Существуют противоречивые данные о степени влияния на Эйнштейна нулевого результата эксперимента Майкельсона-Морли. ^{[15] [16]} В любом случае, нулевой результат эксперимента Майкельсона-Морли помог представлению о постоянстве скорости света получить широкое и быстрое признание.

Вывод специальной теории относительности зависит не только от этих двух явных постулатов, но и от нескольких неявных предположений ( принимаемых почти во всех теориях физики ), включая изотропность и однородность пространства и независимость измерительных стержней и часов от их прошлой истории. ^{[стр. 6]}

После первоначального представления Эйнштейном специальной теории относительности в 1905 году было предложено много различных наборов постулатов в различных альтернативных выводах. ^[17] Но наиболее распространенным набором постулатов остаются те, которые использовались Эйнштейном в его оригинальной статье. Более математическое изложение принципа относительности, сделанное позже Эйнштейном, которое вводит концепцию простоты, не упомянутую выше, выглядит следующим образом:

Специальный принцип относительности : Если система координат K выбрана так, что по отношению к ней физические законы справедливы в их простейшей форме, то те же законы справедливы по отношению к любой другой системе координат K ′ , движущейся равномерно и поступательно относительно K. ^[18]

Анри Пуанкаре предоставил математическую основу для теории относительности, доказав, что преобразования Лоренца являются подмножеством его группы преобразований симметрии Пуанкаре . Позднее Эйнштейн вывел эти преобразования из своих аксиом.

Во многих работах Эйнштейна представлены выводы преобразования Лоренца, основанные на этих двух принципах. ^{[стр. 7]}

Принцип относительности

Системы отсчета и относительное движение

Рисунок 2–1. Штрихованная система движется относительно нештрихованной системы с постоянной скоростью v только вдоль оси x с точки зрения наблюдателя, неподвижного в нештрихованной системе. По принципу относительности наблюдатель, неподвижный в штрихованной системе, будет видеть аналогичную конструкцию, за исключением того, что скорость, которую он зафиксирует, будет − v . Изменение скорости распространения взаимодействия с бесконечной в нерелятивистской механике на конечную величину потребует модификации уравнений преобразования, отображающих события в одной системе отсчета в другую.

Системы отсчета играют решающую роль в теории относительности. Термин «система отсчета», используемый здесь, представляет собой перспективу наблюдения в пространстве, которое не претерпевает никаких изменений в движении (ускорении), из которой можно измерить положение по 3 пространственным осям (то есть в состоянии покоя или постоянной скорости). Кроме того, система отсчета имеет возможность определять измерения времени событий с помощью «часов» (любого устройства отсчета с равномерной периодичностью).

Событие — это явление, которому можно приписать единственный уникальный момент и местоположение в пространстве относительно системы отсчета: это «точка» в пространстве-времени . Поскольку скорость света постоянна в теории относительности независимо от системы отсчета, импульсы света можно использовать для однозначного измерения расстояний и отсылки к времени, когда события произошли, по часам, даже несмотря на то, что свету требуется время, чтобы достичь часов после того, как событие произошло.

Например, взрыв петарды можно считать «событием». Мы можем полностью определить событие по его четырем пространственно-временным координатам: время возникновения и его трехмерное пространственное положение определяют точку отсчета. Назовем эту систему отсчета S.

В теории относительности мы часто хотим вычислить координаты события из разных систем отсчета. Уравнения, связывающие измерения, сделанные в разных системах отсчета, называются уравнениями преобразования .

Стандартная конфигурация

Чтобы получить представление о том, как пространственно-временные координаты, измеренные наблюдателями в разных системах отсчета, сравниваются друг с другом, полезно работать с упрощенной установкой с системами в стандартной конфигурации . ^{[19] : 107} При осторожности это позволяет упростить математику без потери общности в полученных выводах. На рис. 2-1 две галилеевы системы отсчета (т. е. обычные трехмерные системы отсчета) показаны в относительном движении. Система S принадлежит первому наблюдателю O , а система S ′ (произносится как «S штрих» или «S тире») принадлежит второму наблюдателю O ′ .

• Оси x , y , z кадра S ориентированы параллельно соответствующим штрихованным осям кадра S ′ .
• Для простоты система координат S ′ движется в одном направлении: направлении x системы координат S с постоянной скоростью v , измеренной в системе координат S.
• Начало координат кадров S и S ′ совпадает, когда время t = 0 для кадра S и t ′ = 0 для кадра S ′ .

Поскольку в теории относительности нет абсолютной системы отсчета, понятие «движение» строго не существует, поскольку все может двигаться относительно какой-то другой системы отсчета. Вместо этого любые две системы, которые движутся с одинаковой скоростью в одном направлении, называются сопутствующими . Следовательно, S и S ′ не сопутствуют .

Отсутствие абсолютной системы отсчета

Принцип относительности , который гласит, что физические законы имеют одинаковую форму в каждой инерциальной системе отсчета , восходит к Галилею и был включен в ньютоновскую физику. Но в конце 19 века существование электромагнитных волн привело некоторых физиков к предположению, что вселенная заполнена веществом, которое они назвали « эфиром », которое, как они постулировали, будет действовать как среда, через которую распространяются эти волны или вибрации (во многих отношениях аналогично тому, как звук распространяется по воздуху). Считалось, что эфир является абсолютной системой отсчета , относительно которой можно измерить все скорости, и его можно считать фиксированным и неподвижным относительно Земли или какой-либо другой фиксированной точки отсчета. Предполагалось, что эфир достаточно упруг, чтобы поддерживать электромагнитные волны, в то время как эти волны могут взаимодействовать с материей, не оказывая при этом никакого сопротивления проходящим через него телам (его единственным свойством было то, что он позволял электромагнитным волнам распространяться). Результаты различных экспериментов, включая эксперимент Майкельсона-Морли в 1887 году (впоследствии подтвержденный более точными и новаторскими экспериментами), привели к появлению специальной теории относительности, показав, что эфира не существует. ^[20] Решение Эйнштейна состояло в том, чтобы отказаться от понятия эфира и абсолютного состояния покоя. В теории относительности любая система отсчета, движущаяся равномерно, будет соблюдать одни и те же законы физики. В частности, скорость света в вакууме всегда измеряется как c , даже если она измеряется несколькими системами, движущимися с разными (но постоянными) скоростями.

Относительность без второго постулата

Из принципа относительности, без предположения о постоянстве скорости света (т. е. используя изотропию пространства и симметрию, подразумеваемую принципом специальной теории относительности), можно показать , что преобразования пространства-времени между инерциальными системами являются либо евклидовыми, либо галилеевыми, либо лоренцевскими. В лоренцевом случае можно получить релятивистское сохранение интервала и определенную конечную предельную скорость. Эксперименты показывают, что эта скорость является скоростью света в вакууме. ^{[стр. 8] [21]}

Лоренц-инвариантность как сущностное ядро ​​специальной теории относительности

Альтернативные подходы к специальной теории относительности

Эйнштейн последовательно основывал вывод инвариантности Лоренца (сущностного ядра специальной теории относительности) всего на двух основных принципах относительности и инвариантности скорости света. Он писал:

Фундаментальное понимание специальной теории относительности заключается в следующем: Допущения относительности и инвариантности скорости света совместимы, если постулируются соотношения нового типа («преобразования Лоренца») для преобразования координат и времени событий... Универсальный принцип специальной теории относительности содержится в постулате: Законы физики инвариантны относительно преобразований Лоренца (для перехода от одной инерциальной системы к любой другой произвольно выбранной инерциальной системе). Это ограничивающий принцип для законов природы... ^{[стр. 5]}

Таким образом, многие современные трактовки специальной теории относительности основывают ее на единственном постулате универсальной лоренц-ковариантности или, что эквивалентно, на единственном постулате пространства-времени Минковского . ^{[стр. 9] [стр. 10]}

Вместо того чтобы считать универсальную лоренц-ковариантность производным принципом, в этой статье она рассматривается как фундаментальный постулат специальной теории относительности. Традиционный двухпостулатный подход к специальной теории относительности представлен в бесчисленных учебниках для колледжей и популярных презентациях. ^[22] Учебники, начинающиеся с единственного постулата пространства-времени Минковского, включают учебники Тейлора и Уиллера ^[11] и Каллахана. ^[23] Этот подход также используется в статьях Википедии Пространство-время и Диаграмма Минковского .

Преобразование Лоренца и его обратные

Определим событие , имеющее пространственно-временные координаты ( t , x , y , z ) в системе S и ( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) в системе отсчета, движущейся со скоростью v по оси x относительно этой системы S ′ . Тогда преобразование Лоренца указывает, что эти координаты связаны следующим образом: где — фактор Лоренца , а c — скорость света в вакууме, а скорость v системы S ′ относительно S параллельна оси x . Для простоты координаты y и z не затрагиваются; преобразуются только координаты x и t . Эти преобразования Лоренца образуют однопараметрическую группу линейных отображений , причем этот параметр называется быстротой . $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$

Решение четырех уравнений преобразования, приведенных выше, для нештрихованных координат дает обратное преобразование Лоренца: $${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}$$

Это показывает, что нештрихованная система отсчета движется со скоростью − v , измеренной в штрихованной системе отсчета. ^[24]

Ничего особенного в оси x нет . Преобразование может применяться к оси y или z , или в любом направлении, параллельном движению (которое искривляется фактором γ ) и перпендикулярном; подробности см. в статье Преобразование Лоренца .

Величина, инвариантная относительно преобразований Лоренца, называется скаляром Лоренца .

Записывая преобразование Лоренца и его обратное в терминах разностей координат, где одно событие имеет координаты ( x ₁ , t ₁ ) и ( x ′ ₁ , t ′ ₁ ) , другое событие имеет координаты ( x ₂ , t ₂ ) и ( x ′ ₂ , t ′ ₂ ) , а разности определяются как

• Уравнение 1:    ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$
• Уравнение 2:    ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

мы получаем

• Ур. 3:    ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$
• Ур. 4:    ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$ ${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

Если вместо разностей взять дифференциалы, то получим

• Уравнение 5:    ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$
• Ур. 6:    ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$ ${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

Графическое представление преобразования Лоренца

Рисунок 3-1. Рисование пространственно-временной диаграммы Минковского для иллюстрации преобразования Лоренца.

Пространственно-временные диаграммы ( диаграммы Минковского ) являются чрезвычайно полезным средством визуализации того, как координаты преобразуются между различными системами отсчета. Хотя с их помощью не так просто выполнять точные вычисления, как напрямую используя преобразования Лоренца, их главная сила заключается в их способности обеспечивать интуитивное понимание результатов релятивистского сценария. ^[21]

Чтобы нарисовать пространственно-временную диаграмму, начнем с рассмотрения двух галилеевых систем отсчета, S и S', в стандартной конфигурации, как показано на рис. 2-1. ^{[21] [25] : 155–199}

Рис. 3-1a . Нарисуйте оси и кадра S. Ось горизонтальна, а (фактически ) ось вертикальна, что противоположно обычному соглашению в кинематике. Ось масштабируется с коэффициентом , так что обе оси имеют общие единицы длины. На показанной схеме линии сетки отстоят друг от друга на одну единицу расстояния. Диагональные линии под углом 45° представляют мировые линии двух фотонов, проходящих через начало координат в момент времени Наклон этих мировых линий равен 1, поскольку фотоны продвигаются на одну единицу в пространстве за единицу времени. Два события и были нанесены на этот график, так что их координаты можно сравнить в кадрах S и S'. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t=0.}$ ${\displaystyle {\text{A}}}$ ${\displaystyle {\text{B}},}$

Рис. 3-1b . Нарисуйте оси и кадра S'. Ось представляет собой мировую линию начала системы координат S', измеренную в кадре S. На этом рисунке обе оси и наклонены относительно нештрихованных осей на угол , где Штрихованная и нештрихованная оси имеют общее начало, поскольку кадры S и S' были настроены в стандартной конфигурации, так что когда ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle v=c/2.}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$ ${\displaystyle \beta =v/c.}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t'=0.}$

Рис. 3-1c . Единицы в штрихованных осях имеют другой масштаб, чем единицы в нештрихованных осях. Из преобразований Лоренца мы видим, что координаты в штрихованной системе координат преобразуются в в нештрихованной системе координат. Аналогично, координаты в штрихованной системе координат преобразуются в в нештрихованной системе. Проведите линии сетки параллельно оси через точки , измеренные в нештрихованной системе отсчета, где — целое число. Аналогично, проведите линии сетки параллельно оси через , измеренные в нештрихованной системе отсчета. Используя теорему Пифагора, мы видим, что расстояние между единицами равно расстоянию между единицами, умноженному на расстояние между единицами, измеренное в системе отсчета S. Это отношение всегда больше 1 и в конечном итоге стремится к бесконечности, поскольку ${\displaystyle (x',ct')}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$ ${\displaystyle (x',ct')}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \beta \to 1.}$

Рис. 3-1d . Поскольку скорость света является инвариантом, мировые линии двух фотонов, проходящих через начало координат в момент времени, по-прежнему отображаются в виде диагональных линий под углом 45°. Штрихованные координаты и связаны с нештрихованными координатами посредством преобразований Лоренца и могут быть приблизительно измерены по графику (предполагая, что он был построен достаточно точно), но настоящее достоинство диаграммы Минковского заключается в том, что она предоставляет нам геометрическое представление сценария. Например, на этом рисунке мы видим, что два времениподобно разделенных события, которые имели разные x-координаты в нештрихованной системе отсчета, теперь находятся в одном и том же положении в пространстве. ${\displaystyle t'=0}$ ${\displaystyle {\text{A}}}$ ${\displaystyle {\text{B}}}$

В то время как нештрихованная рамка нарисована с пространственными и временными осями, которые встречаются под прямым углом, заштрихованная рамка нарисована с осями, которые встречаются под острым или тупым углом. Эта асимметрия вызвана неизбежными искажениями в том, как пространственно-временные координаты отображаются на декартовой плоскости , но рамки на самом деле эквивалентны.

Следствия, вытекающие из преобразования Лоренца

Следствия специальной теории относительности можно вывести из уравнений преобразования Лоренца . ^[26] Эти преобразования, а следовательно, и специальная теория относительности, приводят к иным физическим предсказаниям, чем предсказания ньютоновской механики при всех относительных скоростях, и наиболее выражены, когда относительные скорости становятся сравнимыми со скоростью света. Скорость света настолько больше всего, с чем сталкивается большинство людей, что некоторые эффекты, предсказываемые теорией относительности, изначально противоречат здравому смыслу .

Инвариантный интервал

В теории относительности Галилея длина объекта ( ) ^{[примечание 3]} и временное разделение между двумя событиями ( ) являются независимыми инвариантами, значения которых не меняются при наблюдении из разных систем отсчета. ^{[примечание 4] [примечание 5]} ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle \Delta t}$

Однако в специальной теории относительности переплетение пространственных и временных координат порождает концепцию инвариантного интервала , обозначаемого как : ^{[примечание 6]} ${\displaystyle \Delta s^{2}}$ $${\displaystyle \Delta s^{2}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})}$$

Переплетение пространства и времени отменяет неявно предполагаемые концепции абсолютной одновременности и синхронизации в несопутствующих системах отсчета.

Форма, представляющая собой разницу квадрата промежутка времени и квадрата пространственного расстояния, демонстрирует фундаментальное расхождение между евклидовыми и пространственно-временными расстояниями. ^{[примечание 7]} Инвариантность этого интервала является свойством общего преобразования Лоренца (также называемого преобразованием Пуанкаре ), что делает его изометрией пространства-времени. Общее преобразование Лоренца расширяет стандартное преобразование Лоренца (которое имеет дело с переносами без вращения, то есть с прибавками Лоренца в направлении x) на все другие переносы , отражения и вращения между любой декартовой инерциальной системой отсчета. ^{[30] : 33–34} ${\displaystyle \Delta s^{2},}$

При анализе упрощенных сценариев, таких как пространственно-временные диаграммы, часто используется форма инвариантного интервала с уменьшенной размерностью: $${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$$

Демонстрация того, что интервал является инвариантным, проста для случая пониженной размерности и с рамками в стандартной конфигурации: ^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}&=c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}\\&=\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}\end{aligned}}}$$

Следовательно, значение не зависит от системы отсчета, в которой оно измеряется. ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

При рассмотрении физического значения следует отметить три случая: ^{[21] [31] : 25–39} ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

• Δs ² > 0: В этом случае два события разделены большим временем, чем пространством, и поэтому говорят, что они разделены подобно времени . Это подразумевает, что и учитывая преобразование Лоренца , очевидно, что существует меньшее, чем для которого (в частности, ). Другими словами, учитывая два события, разделенные подобно времени, можно найти систему отсчета, в которой два события происходят в одном и том же месте. В этой системе отсчета разделение во времени называется собственным временем . ${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|<c,}$ ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t),}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta x'=0}$ ${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta s/c,}$
• Δs ² < 0: В этом случае два события разделены большим пространством, чем временем, и поэтому говорят, что они разделены подобно пространству . Это подразумевает, что и учитывая преобразование Лоренца существует меньше, чем для которого (в частности, ). Другими словами, учитывая два события, разделенных подобно пространству, можно найти систему отсчета, в которой два события происходят одновременно. В этой системе отсчета разделение в пространстве называется собственным расстоянием или собственной длиной . Для значений больше и меньше знака изменяется, что означает, что временной порядок разделенных подобно пространству событий изменяется в зависимости от системы отсчета, в которой рассматриваются события. Но временной порядок разделенных подобно времени событий является абсолютным, поскольку единственный способ, которым может быть больше, чем было бы, если бы ${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|>c,}$ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta t'=0}$ ${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$ ${\textstyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}},}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x,}$ ${\displaystyle \Delta t'}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$ ${\displaystyle v>c.}$
• Δs ² = 0: В этом случае говорят, что два события разделены подобно свету . Это подразумевает, что и это отношение не зависит от системы отсчета из-за инвариантности Отсюда мы видим, что скорость света есть в каждой инерциальной системе отсчета. Другими словами, исходя из предположения об универсальной лоренц-ковариантности, постоянная скорость света является производным результатом, а не постулатом, как в двухпостулатной формулировке специальной теории. ${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|=c,}$ ${\displaystyle s^{2}.}$ ${\displaystyle c}$

Относительность одновременности

Рисунок 4–1. Три события (A, B, C) происходят одновременно в системе отсчета некоторого наблюдателя O. В системе отсчета, движущейся со скоростью v = 0,3 c , измеряемой O , события происходят в порядке C, B, A. В системе отсчета, движущейся со скоростью v = −0,5 c относительно O , события происходят в порядке A, B, C. Белые линии, линии одновременности , движутся из прошлого в будущее в соответствующих системах (зеленые оси координат), выделяя события, находящиеся на них. Они являются локусом всех событий, происходящих одновременно в соответствующей системе. Серая область является световым конусом относительно начала всех рассматриваемых систем.

Рассмотрим два события, происходящие в двух разных местах, которые происходят одновременно в системе отсчета одного инерциального наблюдателя. Они могут происходить неодновременно в системе отсчета другого инерциального наблюдателя (отсутствие абсолютной одновременности ).

Из уравнения 3 (прямое преобразование Лоренца в терминах разностей координат) $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)}$$

Ясно, что два события, которые являются одновременными в системе S (удовлетворяющей Δ t = 0 ), не обязательно являются одновременными в другой инерциальной системе S ′ (удовлетворяющей Δ t ′ = 0 ). Только если эти события дополнительно колокальны в системе S (удовлетворяющей Δ x = 0 ), они будут одновременными в другой системе S ′ .

Эффект Саньяка можно считать проявлением относительности одновременности. ^[32] Поскольку относительность одновременности является эффектом первого порядка в , ^[21] приборы, работающие на основе эффекта Саньяка, такие как кольцевые лазерные гироскопы и волоконно-оптические гироскопы , способны достигать экстремальных уровней чувствительности. ^{[стр. 14]} ${\displaystyle v}$

Замедление времени

Промежуток времени между двумя событиями не является постоянным для разных наблюдателей, а зависит от относительных скоростей систем отсчета наблюдателей.

Предположим, что часы находятся в состоянии покоя в нештрихованной системе S. Положение часов в двух разных тиках тогда характеризуется Δ x = 0. Чтобы найти соотношение между временами между этими тиками, измеренными в обеих системах, можно использовать уравнение 3 для нахождения:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$ для событий, удовлетворяющих  ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

Это показывает, что время (Δ t ′ ) между двумя тиками, как видно в кадре, в котором движутся часы ( S ′ ), больше , чем время (Δ t ) между этими тиками, измеренное в неподвижной системе часов ( S ). Замедление времени объясняет ряд физических явлений; например, время жизни высокоскоростных мюонов, созданных столкновением космических лучей с частицами во внешней атмосфере Земли и движущихся к поверхности, больше, чем время жизни медленно движущихся мюонов, созданных и распадающихся в лаборатории. ^[33]

Рисунок 4–2. Гипотетический бесконечный массив синхронизированных часов, связанных с системой отсчета наблюдателя.

Всякий раз, когда слышишь утверждение о том, что «движущиеся часы идут медленно», следует представить себе инерциальную систему отсчета, густо заполненную идентичными, синхронизированными часами. Когда движущиеся часы проходят через этот массив, их показания в любой конкретной точке сравниваются с показаниями неподвижных часов в той же точке. ^{[34] : 149–152}

Измерения, которые мы получили бы, если бы мы действительно смотрели на движущиеся часы, в общем случае были бы совсем не тем же самым, потому что время, которое мы увидели бы, было бы задержано из-за конечной скорости света, т. е. время, которое мы видим, было бы искажено эффектом Доплера . Измерения релятивистских эффектов всегда следует понимать как сделанные после того, как эффекты конечной скорости света были вынесены за скобки. ^{[34] : 149–152}

Световые часы Ланжевена

Рисунок 4–3. Мысленный эксперимент с использованием световых часов для объяснения замедления времени.

Поль Ланжевен , один из первых сторонников теории относительности, сделал многое для популяризации теории, несмотря на сопротивление многих физиков революционным концепциям Эйнштейна. Среди его многочисленных вкладов в основы специальной теории относительности были независимые работы по соотношению массы и энергии, тщательное изучение парадокса близнецов и исследования вращающихся систем координат. Его имя часто связывают с гипотетической конструкцией, называемой «световыми часами» (первоначально разработанной Льюисом и Толменом в 1909 году ^[35] ), которую он использовал для выполнения нового вывода преобразования Лоренца. ^[36]

Световые часы представляются как ящик с идеально отражающими стенками, в котором световой сигнал отражается вперед и назад от противоположных сторон. Концепция замедления времени часто преподается с использованием световых часов, которые движутся равномерно инерционно перпендикулярно линии, соединяющей два зеркала. ^{[37] [38] [39] [40]} (Сам Ланжевен использовал световые часы, ориентированные параллельно своей линии движения. ^[36] )

Рассмотрим сценарий, показанный на рис. 4-3A. Наблюдатель A держит световые часы длины , а также электронный таймер, с помощью которого он измеряет, сколько времени требуется импульсу, чтобы совершить круговое путешествие вверх и вниз по световым часам. Хотя наблюдатель A быстро движется по поезду, с его точки зрения излучение и получение импульса происходят в одном и том же месте, и он измеряет интервал, используя одни часы, расположенные в точном месте этих двух событий. Для интервала между этими двумя событиями наблюдатель A находит Интервал времени, измеренный с помощью одних часов, которые неподвижны в определенной системе отсчета, называется собственным интервалом времени . ^[41] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{\text{A}}=2L/c.}$

Рис. 4-3B иллюстрирует эти же два события с точки зрения наблюдателя B, который стоит у путей, пока поезд проезжает со скоростью Вместо того, чтобы совершать прямые движения вверх-вниз, наблюдатель B видит, что импульсы движутся по зигзагообразной линии. Однако из-за постулата постоянства скорости света скорость импульсов вдоль этих диагональных линий та же самая, которую наблюдатель A видел для своих импульсов вверх-вниз. B измеряет скорость вертикальной составляющей этих импульсов как так что общее время прохождения импульсов туда и обратно составляет Обратите внимание, что для наблюдателя B излучение и получение светового импульса происходили в разных местах, и он измерял интервал, используя два неподвижных и синхронизированных часа, расположенных в двух разных положениях в его системе отсчета. Интервал, который измерял B, поэтому не был надлежащим временным интервалом, потому что он измерял его не с помощью одних покоящихся часов. ^[41] ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle c}$ ${\textstyle \pm {\sqrt {c^{2}-v^{2}}},}$ ${\textstyle t_{B}=2L{\big /}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}={}}$ ${\textstyle t_{A}{\big /}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Взаимное замедление времени

В приведенном выше описании световых часов Ланжевена обозначение одного наблюдателя как неподвижного, а другого как движущегося было совершенно произвольным. Можно было бы с тем же успехом иметь наблюдателя B, несущего световые часы и движущегося со скоростью влево, в этом случае наблюдатель A воспринимал бы часы B как идущие медленнее, чем его локальные часы. ${\displaystyle v}$

Здесь нет парадокса, потому что нет независимого наблюдателя C, который согласится и с A, и с B. Наблюдатель C обязательно производит свои измерения из своей собственной системы отсчета. Если эта система отсчета совпадает с системой отсчета A, то C согласится с измерением времени A. Если система отсчета C совпадает с системой отсчета B, то C согласится с измерением времени B. Если система отсчета C не совпадает ни с системой отсчета A, ни с системой отсчета B, то измерение времени C будет противоречить как измерению времени A , так и измерению времени B. ^[42]

Парадокс близнецов

Взаимность замедления времени между двумя наблюдателями в отдельных инерциальных системах отсчета приводит к так называемому парадоксу близнецов , сформулированному в его нынешней форме Ланжевеном в 1911 году. ^[43] Ланжевен представил себе авантюриста, желающего исследовать будущее Земли. Этот путешественник садится в снаряд, способный двигаться со скоростью 99,995% скорости света. Совершив путешествие туда и обратно к ближайшей звезде, длящееся всего два года его собственной жизни, он возвращается на Землю, которая на двести лет старше.

Этот результат кажется загадочным, поскольку и путешественник, и земной наблюдатель будут видеть друг друга движущимися, и поэтому, из-за взаимности замедления времени, можно было бы изначально ожидать, что каждый должен был бы обнаружить, что другой постарел меньше. На самом деле, нет никакого парадокса вообще, потому что для того, чтобы два наблюдателя могли сравнить свое собственное время, симметрия ситуации должна быть нарушена: по крайней мере один из двух наблюдателей должен изменить свое состояние движения, чтобы соответствовать состоянию другого. ^[44]

Рисунок 4-4. Допплеровский анализ парадокса близнецов.

Однако знание общего решения парадокса не дает немедленной возможности вычислять правильные количественные результаты. Многие решения этой головоломки были предоставлены в литературе и рассмотрены в статье о парадоксе близнецов . Далее мы рассмотрим одно такое решение парадокса.

Наша основная цель — продемонстрировать, что после путешествия оба близнеца находятся в полном согласии относительно того, кто и на сколько постарел, независимо от их разного опыта. Рис. 4-4 иллюстрирует сценарий, в котором путешествующий близнец летит со скоростью 0,6 с к звезде, удаленной на 3 световых года , и обратно. Во время путешествия каждый близнец посылает друг другу ежегодные сигналы времени (измеренные в их собственном времени). После путешествия сравниваются накопленные подсчеты. На внешней фазе путешествия каждый близнец получает сигналы другого с пониженной частотой Первоначально ситуация совершенно симметрична: обратите внимание, что каждый близнец получает годовой сигнал другого через два года, измеренных по его собственным часам. Симметрия нарушается, когда путешествующий близнец оборачивается на четырехлетней отметке, измеренной по его часам. В течение оставшихся четырех лет своего путешествия она получает сигналы с повышенной частотой Ситуация совершенно иная с неподвижным близнецом. Из-за задержки, связанной со скоростью света, он не видит, как его сестра оборачивается, пока не пройдет восемь лет по его собственным часам. Таким образом, он получает сигналы повышенной частоты от своей сестры только в течение относительно короткого периода. Хотя близнецы расходятся в своих соответствующих измерениях общего времени, мы видим в следующей таблице, а также путем простого наблюдения за диаграммой Минковского, что каждый близнец находится в полном согласии с другим относительно общего числа сигналов, отправленных от одного к другому. Следовательно, нет никакого парадокса. ^{[34] : 152–159} ${\textstyle f'=f{\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}.}$ ${\textstyle f''=f{\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}.}$

Сокращение длины

Размеры (например, длина) объекта, измеренные одним наблюдателем, могут быть меньше результатов измерений того же объекта, сделанных другим наблюдателем (например, парадокс лестницы подразумевает, что длинная лестница движется со скоростью, близкой к скорости света, и находится в меньшем гараже).

Аналогично, предположим, что измерительный стержень находится в состоянии покоя и выровнен вдоль оси x в нештрихованной системе S. В этой системе длина этого стержня записывается как Δ x . Чтобы измерить длину этого стержня в системе S ′ , в которой стержень движется, расстояния x ′ до конечных точек стержня должны быть измерены одновременно в этой системе S ′ . Другими словами, измерение характеризуется Δ t ′ = 0 , что можно объединить с уравнением 4, чтобы найти соотношение между длинами Δ x и Δ x ′ :

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$  для событий, удовлетворяющих  ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

Это показывает, что длина (Δ x ′ ) стержня, измеренная в системе, в которой он движется ( S ′ ), короче его длины (Δ x ) в его собственной системе покоя ( S ).

Замедление времени и сокращение длины — это не просто видимости. Замедление времени явно связано с нашим способом измерения временных интервалов между событиями, которые происходят в одном и том же месте в данной системе координат (называемые «колокальными» событиями). Эти временные интервалы (которые могут быть и фактически измеряются экспериментально соответствующими наблюдателями) отличаются в другой системе координат, движущейся относительно первой, если только события, в дополнение к тому, что они колокальны, также не являются одновременными. Аналогично, сокращение длины связано с нашими измеренными расстояниями между разделенными, но одновременными событиями в данной выбранной системе координат. Если эти события не колокальны, а разделены расстоянием (пространством), они не будут происходить на одном и том же пространственном расстоянии друг от друга, если смотреть из другой движущейся системы координат.

Преобразование Лоренца скоростей

Рассмотрим две системы отсчета S и S ′ в стандартной конфигурации. Частица в системе отсчета S движется в направлении x со скоростью вектора. Какова ее скорость в системе отсчета S ′ ? ${\displaystyle \mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u'} }$

Мы можем написать

Подстановка выражений для и из уравнения 5 в уравнение 8 , а затем простые математические преобразования и обратная подстановка из уравнения 7 дают преобразование Лоренца скорости : ${\displaystyle dx'}$ ${\displaystyle dt'}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u'}$

Обратное отношение получается путем перестановки штрихованных и нештрихованных символов и замены на ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -v\ .}$

Для невыровненных по оси x точек запишем: ^{[12] : 47–49} ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Прямые и обратные преобразования для этого случая следующие:

Уравнение 10 и уравнение 14 можно интерпретировать как дающие результирующую двух скоростей и и они заменяют формулу , которая действительна в теории относительности Галилея. Интерпретируемые таким образом, они обычно называются формулами сложения (или композиции) релятивистских скоростей , действительными для трех осей S и S ′, выровненных друг с другом (хотя не обязательно в стандартной конфигурации). ^{[12] : 47–49} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u'} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$

Отметим следующие моменты:

• Если бы объект (например, фотон ) двигался со скоростью света в одной системе отсчета (т. е. u = ± c или u ′ = ± c ) , то он также двигался бы со скоростью света в любой другой системе отсчета, двигаясь со скоростью | v | < c .
• Результирующая скорость двух скоростей с величиной, меньшей c, всегда представляет собой скорость с величиной, меньшей c .
• Если и | u |, и | v | (а также | u ′ | и | v ′ |) малы по сравнению со скоростью света (то есть, например, | ⁠ты/с⁠ | ≪ 1 ), то интуитивные преобразования Галилея восстанавливаются из уравнений преобразования для специальной теории относительности
• Присоединение рамки к фотону ( перемещение по световому лучу, как полагает Эйнштейн) требует особого подхода к преобразованиям.

В стандартной конфигурации нет ничего особенного в направлении x . Вышеуказанный формализм применим к любому направлению; и три ортогональных направления позволяют иметь дело со всеми направлениями в пространстве, разлагая векторы скорости на их компоненты в этих направлениях. Подробности см. в формуле сложения скоростей .

вращение Томаса

Рисунок 4-5. Вращение Томаса-Вигнера.

Композиция двух неколлинеарных усилений Лоренца (т. е. двух неколлинеарных преобразований Лоренца, ни одно из которых не включает вращение) приводит к преобразованию Лоренца, которое не является чистым усилением, а представляет собой композицию усиления и вращения.

Вращение Томаса является результатом относительности одновременности. На рис. 4-5а стержень длиной в своей системе покоя (т.е. имеющий собственную длину ) поднимается вертикально вдоль оси y в наземной системе отсчета. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

На рис. 4-5b тот же стержень наблюдается из рамы ракеты, движущейся со скоростью вправо. Если мы представим себе двое часов, расположенных на левом и правом концах стержня, которые синхронизированы в раме стержня , относительность одновременности заставляет наблюдателя в раме ракеты наблюдать (не видеть) часы на правом конце стержня как опережающие во времени на , а стержень соответственно наблюдается наклонным. ^{[31] : 98–99} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Lv/c^{2},}$

В отличие от релятивистских эффектов второго порядка, таких как сокращение длины или замедление времени, этот эффект становится весьма существенным даже при довольно низких скоростях. Например, это можно увидеть в спине движущихся частиц , где прецессия Томаса является релятивистской поправкой, которая применяется к спину элементарной частицы или вращению макроскопического гироскопа , связывая угловую скорость спина частицы, следующей по криволинейной орбите, с угловой скоростью орбитального движения. ^{[31] : 169–174}

Вращение Томаса дает решение известного «парадокса линейки и отверстия». ^{[стр. 15] [31] : 98–99}

Причинность и запрет движения со скоростью, превышающей скорость света

Рисунок 4–6. Световой конус .

На рис. 4-6 временной интервал между событиями A («причина») и B («следствие») является «временеподобным»; то есть существует система отсчета, в которой события A и B происходят в одном и том же месте пространства , разделенные только тем, что происходят в разное время. Если A предшествует B в этой системе, то A предшествует B во всех системах, доступных преобразованию Лоренца. Материя (или информация) может перемещаться (со скоростью ниже скорости света) из местоположения A, начиная с момента A, в местоположение B, прибывая во время B, поэтому может существовать причинно-следственная связь (где A является причиной, а B — следствием).

Интервал AC на диаграмме является «пространственно-подобным»; то есть, есть система отсчета, в которой события A и C происходят одновременно, разделенные только пространством. Есть также системы, в которых A предшествует C (как показано) и системы, в которых C предшествует A. Но ни одна система не доступна преобразованию Лоренца, в которой события A и C происходят в одном и том же месте. Если бы между событиями A и C могла существовать причинно-следственная связь, возникли бы парадоксы причинности.

Например, если бы сигналы можно было посылать быстрее света, то сигналы можно было бы посылать в прошлое отправителя (наблюдатель B на диаграммах). ^{[45] [стр. 16]} Тогда можно было бы сконструировать множество причинных парадоксов.

Рисунок 4-7. Нарушение причинности при использовании фиктивных
«мгновенных коммуникаторов»

Рассмотрим пространственно-временные диаграммы на рис. 4-7. A и B стоят вдоль железнодорожных путей, когда мимо проезжает скоростной поезд, причем C едет в последнем вагоне поезда, а D едет в головном вагоне. Мировые линии A и B вертикальны ( ct ), что указывает на неподвижное положение этих наблюдателей на земле, в то время как мировые линии C и D наклонены вперед ( ct ′ ), отражая быстрое движение наблюдателей C и D, неподвижных в своем поезде, как это наблюдается с земли.

1. Рис. 4-7а. Событие "B передает сообщение D", когда головной вагон проезжает мимо, находится в начале кадра D. D отправляет сообщение по поезду C в заднем вагоне, используя фиктивный "мгновенный коммуникатор". Мировая линия этого сообщения - жирная красная стрелка вдоль оси , которая является линией одновременности в штрихованных кадрах C и D. В (нештрихованном) основном кадре сигнал приходит раньше, чем был отправлен. ${\displaystyle -x'}$
2. Рис. 4-7b. Событие "С передает сообщение А", который стоит у железнодорожных путей, находится в начале их кадров. Теперь А отправляет сообщение по путям В через "мгновенный коммуникатор". Мировая линия этого сообщения - синяя жирная стрелка вдоль оси , которая является линией одновременности для кадров А и В. Как видно из диаграммы пространства-времени, В получит сообщение до того, как отправит его, что является нарушением причинности. ^[46] ${\displaystyle +x}$

Сигналам не обязательно быть мгновенными, чтобы нарушить причинность. Даже если бы сигнал от D до C был немного мельче оси (а сигнал от A до B немного круче оси ), B все равно мог бы получить свое сообщение до того, как он его отправил. Увеличивая скорость поезда до скоростей, близких к световым, оси и можно сжать очень близко к пунктирной линии, представляющей скорость света. С помощью этой измененной установки можно продемонстрировать, что даже сигналы, лишь немного превышающие скорость света, приведут к нарушению причинности. ^[47] ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle x'}$

Таким образом, если необходимо сохранить причинность , одним из следствий специальной теории относительности является то, что никакой информационный сигнал или материальный объект не может перемещаться быстрее света в вакууме.

Это не означает, что все скорости, превышающие скорость света, невозможны. Можно описать различные тривиальные ситуации, в которых некоторые «вещи» (не материя и не энергия) движутся быстрее света. ^[48] Например, место, где луч прожектора попадает на дно облака, может двигаться быстрее света, если прожектор быстро поворачивается (хотя это не нарушает причинность или любое другое релятивистское явление). ^{[49] [50]}

Оптические эффекты

Эффекты перетаскивания

Рисунок 5–1. Сильно упрощенная схема эксперимента Физо 1851 года.

В 1850 году Ипполит Физо и Леон Фуко независимо друг от друга установили, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе, тем самым подтвердив предсказание волновой теории света Френеля и опровергнув соответствующее предсказание корпускулярной теории Ньютона . ^[51] Скорость света была измерена в стоячей воде. Какова будет скорость света в текущей воде?

В 1851 году Физо провел эксперимент, чтобы ответить на этот вопрос, упрощенное представление которого показано на рис. 5-1. Луч света разделяется расщепителем луча, и разделенные лучи пропускаются в противоположных направлениях через трубку с текущей водой. Они рекомбинируются, образуя интерференционные полосы, указывающие на разницу в оптической длине пути, которую может видеть наблюдатель. Эксперимент продемонстрировал, что увлечение света текущей водой вызывает смещение полос, показывая, что движение воды повлияло на скорость света.

Согласно теориям, господствовавшим в то время, свет, проходящий через движущуюся среду, будет простой суммой его скорости через среду плюс скорость среды . Вопреки ожиданиям, Физо обнаружил, что хотя свет, казалось бы, увлекается водой, величина увлечения была намного ниже ожидаемой. Если — скорость света в стоячей воде, — скорость воды, — скорость света в воде в лабораторной системе отсчета, при этом поток воды добавляется или вычитается из скорости света, то ${\displaystyle u'=c/n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u_{\pm }}$ $${\displaystyle u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .}$$

Результаты Физо, хотя и согласуются с более ранней гипотезой Френеля о частичном увлечении эфира , были крайне обескураживающими для физиков того времени. Среди прочего, наличие члена показателя преломления означало, что, поскольку зависит от длины волны, эфир должен быть способен поддерживать различные движения одновременно . ^{[примечание 8]} Было предложено множество теоретических объяснений для объяснения коэффициента увлечения Френеля , которые полностью противоречили друг другу. Еще до эксперимента Майкельсона-Морли экспериментальные результаты Физо были среди ряда наблюдений, которые создали критическую ситуацию в объяснении оптики движущихся тел. ^[52] ${\displaystyle n}$

С точки зрения специальной теории относительности результат Физо есть не что иное, как приближение к уравнению 10 , релятивистской формуле для сложения скоростей. ^[30]

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$ ${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx }$ ${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

Релятивистская аберрация света

Рисунок 5–2. Иллюстрация звездной аберрации.

Из-за конечной скорости света, если относительные движения источника и приемника включают поперечную составляющую, то направление, из которого свет достигает приемника, будет смещено от геометрического положения в пространстве источника относительно приемника. Классический расчет смещения имеет две формы и делает разные предсказания в зависимости от того, приемник, источник или оба находятся в движении относительно среды. (1) Если приемник находится в движении, смещение будет следствием аберрации света . Угол падения луча относительно приемника можно вычислить из векторной суммы движений приемника и скорости падающего света. ^[53] (2) Если источник находится в движении, смещение будет следствием коррекции светового времени . Смещение видимого положения источника от его геометрического положения будет результатом движения источника в течение времени, которое требуется его свету, чтобы достичь приемника. ^[54]

Классическое объяснение не прошло экспериментальную проверку. Поскольку угол аберрации зависит от соотношения между скоростью приемника и скоростью падающего света, прохождение падающего света через преломляющую среду должно изменить угол аберрации. В 1810 году Араго использовал это ожидаемое явление в неудачной попытке измерить скорость света, ^[55] а в 1870 году Джордж Эйри проверил гипотезу, используя заполненный водой телескоп, обнаружив, что, вопреки ожиданиям, измеренная аберрация была идентична аберрации, измеренной с помощью заполненного воздухом телескопа. ^[56] «Громоздкая» попытка объяснить эти результаты использовала гипотезу частичного увлечения эфиром, ^[57], но была несовместима с результатами эксперимента Майкельсона–Морли, который, по-видимому, требовал полного увлечения эфиром. ^[58]

Предполагая инерциальные системы отсчета, релятивистское выражение для аберрации света применимо как к случаям перемещения приемника, так и к случаям перемещения источника. Было опубликовано множество тригонометрически эквивалентных формул. Выраженные через переменные на рис. 5-2, они включают ^{[30] : 57–60}

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$   ИЛИ    ИЛИ ${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$      ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

Релятивистский эффект Доплера

Релятивистский продольный эффект Доплера

Классический эффект Доплера зависит от того, движутся ли источник, приемник или оба относительно среды. Релятивистский эффект Доплера не зависит от какой-либо среды. Тем не менее, релятивистский доплеровский сдвиг для продольного случая, когда источник и приемник движутся прямо друг к другу или друг от друга, может быть получен так, как если бы это было классическое явление, но модифицированное добавлением члена замедления времени , и это описанная здесь обработка. ^{[59] [60]}

Предположим, что приемник и источник удаляются друг от друга с относительной скоростью , измеренной наблюдателем на приемнике или источнике (принятое здесь соглашение о знаках является отрицательным , если приемник и источник движутся навстречу друг другу). Предположим, что источник неподвижен в среде. Тогда где скорость звука. ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle f_{r}=\left(1-{\frac {v}{c_{s}}}\right)f_{s}}$$ ${\displaystyle c_{s}}$

Для света, и с приемником, движущимся с релятивистской скоростью, часы на приемнике растянуты по времени относительно часов на источнике. Приемник будет измерять полученную частоту, чтобы быть там, где $${\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \right)f_{s}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.}$$

• ${\displaystyle \beta =v/c}$  и
• ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$это фактор Лоренца .

Идентичное выражение для релятивистского доплеровского сдвига получается при выполнении анализа в системе отсчета приемника с движущимся источником. ^{[61] [21]}

Поперечный эффект Доплера

Рисунок 5–3. Поперечный эффект Доплера для двух сценариев: (а) приемник движется по окружности вокруг источника; (б) источник движется по окружности вокруг приемника.

Поперечный эффект Доплера — одно из главных новых предсказаний специальной теории относительности.

Классически можно было бы ожидать, что если источник и приемник движутся поперечно друг другу без продольной составляющей в их относительном движении, то не должно быть доплеровского сдвига в свете, достигающем приемника.

Специальная теория относительности предсказывает иное. Рис. 5-3 иллюстрирует два распространенных варианта этого сценария. Оба варианта можно проанализировать с использованием простых аргументов замедления времени. ^[21] На рис. 5-3a приемник наблюдает свет от источника как смещенный в синюю сторону на коэффициент . На рис. 5-3b свет смещен в красную сторону на тот же коэффициент. ${\displaystyle \gamma }$

Измерение против визуального восприятия

Рисунок 5–4. Сравнение измеренного сокращения длины куба с его визуальным видом.

Замедление времени и сокращение длины — это не оптические иллюзии, а реальные эффекты. Измерения этих эффектов не являются артефактом доплеровского сдвига и не являются результатом пренебрежения временем, которое требуется свету для прохождения от события до наблюдателя.

Ученые проводят фундаментальное различие между измерением или наблюдением , с одной стороны, и визуальным видом , или тем, что человек видит . Измеренная форма объекта — это гипотетический снимок всех точек объекта, которые существуют в один момент времени. Но визуальный вид объекта зависит от разной продолжительности времени, которое требуется свету, чтобы пройти от разных точек объекта до глаза.

Рисунок 5–5. Сравнение измеренного сокращения длины земного шара с его визуальным видом, наблюдаемым с расстояния трех диаметров земного шара от глаза до красного креста.

В течение многих лет различие между ними не было общепризнанным, и обычно считалось, что объект с сокращенной длиной, проходящий мимо наблюдателя, на самом деле будет фактически виден как сокращенный по длине. В 1959 году Джеймс Террелл и Роджер Пенроуз независимо друг от друга указали, что дифференциальные эффекты задержки во времени в сигналах, достигающих наблюдателя от разных частей движущегося объекта, приводят к тому, что визуальный вид быстро движущегося объекта сильно отличается от его измеренной формы. Например, удаляющийся объект будет казаться сокращенным, приближающийся объект будет казаться удлиненным, а проходящий объект будет иметь перекошенный вид, который можно сравнить с вращением. ^{[стр. 19] [стр. 20] [62] [63]} Движущаяся сфера сохраняет круговой контур для всех скоростей, для любого расстояния и для всех углов обзора, хотя поверхность сферы и изображения на ней будут казаться искаженными. ^{[64] [65]}

Рисунок 5–6. Галактика M87 испускает струю электронов и других субатомных частиц, движущихся почти со скоростью света, которую обеспечивает черная дыра.

На обоих рисунках, рис. 5-4 и рис. 5-5, изображены объекты, движущиеся поперек линии зрения. На рис. 5-4 куб рассматривается с расстояния, в четыре раза превышающего длину его сторон. На высоких скоростях стороны куба, перпендикулярные направлению движения, кажутся гиперболическими по форме. Куб на самом деле не вращается. Скорее, свету с задней стороны куба требуется больше времени, чтобы достичь глаз, по сравнению со светом с передней стороны, за это время куб перемещается вправо. На высоких скоростях сфера на рис. 5-5 приобретает вид сплющенного диска, наклоненного до 45° от линии зрения. Если движения объектов не строго поперечные, а вместо этого включают продольную составляющую, могут быть видны преувеличенные искажения в перспективе. ^[66] Эта иллюзия стала известна как вращение Террелла или эффект Террелла-Пенроуза . ^{[примечание 9]}

Другой пример, когда визуальный вид не соответствует измерению, получен из наблюдения кажущегося сверхсветового движения в различных радиогалактиках , объектах BL Lac , квазарах и других астрономических объектах, которые выбрасывают струи материи с релятивистской скоростью под узкими углами по отношению к наблюдателю. Возникает кажущаяся оптическая иллюзия, создающая видимость движения со скоростью, превышающей скорость света. ^{[67] [68] [69]} На рис. 5-6 галактика M87 выбрасывает высокоскоростную струю субатомных частиц почти прямо к нам, но вращение Пенроуза-Террелла заставляет струю казаться движущейся вбок таким же образом, как был вытянут вид куба на рис. 5-4. ^[70]

Динамика

Раздел Следствия, полученные из преобразования Лоренца, посвящен исключительно кинематике , изучению движения точек, тел и систем тел без учета сил, вызвавших движение. В этом разделе обсуждаются массы, силы, энергия и т. д., и, как таковой, требуется рассмотрение физических эффектов, выходящих за рамки тех, которые охватываются самим преобразованием Лоренца.

Эквивалентность массы и энергии

По мере того, как скорость объекта приближается к скорости света с точки зрения наблюдателя, его релятивистская масса увеличивается, тем самым затрудняя его ускорение из системы отсчета наблюдателя.

Содержание энергии в покоящемся объекте с массой m равно mc ² . Сохранение энергии подразумевает, что в любой реакции уменьшение суммы масс частиц должно сопровождаться увеличением кинетической энергии частиц после реакции. Аналогично, масса объекта может быть увеличена за счет поглощения кинетической энергии.

В дополнение к статьям, упомянутым выше, в которых приводятся выводы преобразований Лоренца и описываются основы специальной теории относительности, Эйнштейн также написал по крайней мере четыре статьи, в которых приводятся ^{эвристические} аргументы в пользу эквивалентности (и превращаемости) массы и энергии, поскольку E = mc2 .

Эквивалентность массы и энергии является следствием специальной теории относительности. Энергия и импульс, которые разделены в ньютоновской механике, образуют четырехвектор в теории относительности, и это связывает временную компоненту (энергию) с пространственными компонентами (импульсом) нетривиальным образом. Для покоящегося объекта четырехвектор энергии-импульса равен ( E / c , 0, 0, 0) : он имеет временную компоненту, которая является энергией, и три пространственных компонента, которые равны нулю. При смене систем отсчета с помощью преобразования Лоренца в направлении x с малым значением скорости v четырехвектор энергии-импульса становится равным ( E / c , Ev / c2 , 0, 0) . Импульс равен энергии, умноженной на скорость, деленную на c2 . Таким образом, ^{ньютоновская масса объекта, которая является отношением импульса к скорости для медленных скоростей} , равна E / c2 ^.

Энергия и импульс являются свойствами материи и излучения, и невозможно вывести, что они образуют четырехвектор, только из двух основных постулатов специальной теории относительности, потому что они не говорят о материи или излучении, они говорят только о пространстве и времени. Поэтому вывод требует некоторых дополнительных физических рассуждений. В своей статье 1905 года Эйнштейн использовал дополнительные принципы, которые ньютоновская механика должна соблюдать для медленных скоростей, так что существует один скаляр энергии и один трехвекторный импульс на медленных скоростях, и что закон сохранения энергии и импульса в точности верен в теории относительности. Более того, он предположил, что энергия света преобразуется тем же фактором доплеровского сдвига, что и его частота, что он ранее показал на основе уравнений Максвелла. ^{[стр. 1]} Первой из статей Эйнштейна на эту тему была «Зависит ли инерция тела от его энергетического содержания?» в 1905 году. ^{[стр. 21]} Хотя аргумент Эйнштейна в этой статье почти повсеместно принят физиками как правильный, даже самоочевидный, многие авторы на протяжении многих лет предполагали, что он неверен. ^[71] Другие авторы предполагают, что аргумент был просто неубедительным, поскольку он опирался на некоторые неявные предположения. ^[72]

Эйнштейн признал противоречия по поводу своего вывода в своей обзорной статье 1907 года по специальной теории относительности. Там он отмечает, что проблематично полагаться на уравнения Максвелла для эвристического аргумента массы-энергии. Аргумент в его статье 1905 года может быть реализован с излучением любых безмассовых частиц, но уравнения Максвелла неявно используются, чтобы сделать очевидным, что излучение света в частности может быть достигнуто только путем совершения работы. Чтобы испустить электромагнитные волны, все, что вам нужно сделать, это встряхнуть заряженную частицу, и это, очевидно, является выполнением работы, так что излучение является энергией. ^{[стр. 22] [примечание 10]}

Демонстрация Эйнштейна в 1905 годуЭ=мс2

В четвертой из своих статей Annus mirabilis 1905 года [ стр ^{. 21]} Эйнштейн представил эвристический аргумент в пользу эквивалентности массы и энергии. Хотя, как обсуждалось выше, последующая наука установила, что его аргументы не дотягивают до общеопределенного доказательства, выводы, к которым он пришел в этой статье, выдержали испытание временем.

В качестве исходных предположений Эйнштейн взял недавно открытую им формулу для релятивистского доплеровского сдвига , законы сохранения энергии и сохранения импульса , а также соотношение между частотой света и его энергией, вытекающее из уравнений Максвелла .

Рис. 6-1 (вверху). Рассмотрим систему плоских волн света, имеющих частоту , распространяющуюся в направлении относительно оси x системы отсчета S. Частота (и, следовательно, энергия) волн, измеренная в системе S ′ , движущейся вдоль оси x со скоростью, определяется релятивистской формулой доплеровского сдвига, которую Эйнштейн вывел в своей статье 1905 года по специальной теории относительности: ^{[стр. 1]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Рис. 6-1 (внизу). Рассмотрим произвольное тело, неподвижное в системе отсчета S. Пусть это тело испускает пару световых импульсов равной энергии в противоположных направлениях под углом к ​​оси x. Каждый импульс имеет энергию . Из-за сохранения импульса тело остается неподвижным в S после испускания двух импульсов. Пусть будет энергией тела до испускания двух импульсов и после их испускания. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L/2}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

Далее рассмотрим ту же систему, наблюдаемую из системы S ′ , которая движется вдоль оси x со скоростью относительно системы S . В этой системе свет от прямого и обратного импульсов будет релятивистски смещен Доплером. Пусть будет энергией тела, измеренной в системе отсчета S ′ до испускания двух импульсов и после их испускания. Получаем следующие соотношения: ^{[стр. 21]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=E_{1}+{\tfrac {1}{2}}L+{\tfrac {1}{2}}L=E_{1}+L\\[5mu]H_{0}&=H_{1}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1+(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}}$

Из приведенных выше уравнений получаем следующее:

Два различия формы, которые можно увидеть в приведенном выше уравнении, имеют простую физическую интерпретацию. Поскольку и являются энергиями произвольного тела в движущейся и неподвижной системах отсчета, а представляет собой кинетическую энергию тел до и после испускания света (за исключением аддитивной константы, которая фиксирует нулевую точку энергии и традиционно принимается равной нулю). Следовательно, ${\displaystyle H-E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H_{0}-E_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}-E_{1}}$

Используя разложение в ряд Тейлора и пренебрегая членами более высокого порядка, он получил

Сравнивая приведенное выше выражение с классическим выражением для кинетической энергии, KE  =  ⁠1/2⁠ mv ² , Эйнштейн затем заметил: «Если тело выделяет энергию L в виде излучения, его масса уменьшается на L / c ² ».

Риндлер заметил, что эвристический аргумент Эйнштейна предполагал лишь то, что энергия вносит вклад в массу. В 1905 году осторожное выражение Эйнштейном соотношения массы и энергии допускало возможность существования «спящей» массы, которая останется после того, как вся энергия тела будет удалена. Однако к 1907 году Эйнштейн был готов утверждать, что вся инертная масса представляет собой запас энергии. «Чтобы приравнять всю массу к энергии, требовался акт эстетической веры, очень характерный для Эйнштейна». ^{[12] : 81–84} Смелая гипотеза Эйнштейна была полностью подтверждена в годы, последовавшие за его первоначальным предложением.

По разным причинам оригинальный вывод Эйнштейна в настоящее время редко преподается. Помимо бурных дебатов, которые продолжаются и по сей день относительно формальной правильности его оригинального вывода, признание специальной теории относительности тем, что Эйнштейн называл «принципиальной теорией», привело к переходу от опоры на электромагнитные явления к чисто динамическим методам доказательства. ^[73]

Как далеко от Земли можно удалиться?

Поскольку ничто не может двигаться быстрее света, можно сделать вывод, что человек никогда не сможет путешествовать дальше от Земли, чем на ~100 световых лет. Вы могли бы легко подумать, что путешественник никогда не сможет достичь более нескольких солнечных систем, которые существуют в пределах 100 световых лет от Земли. Однако из-за замедления времени гипотетический космический корабль может пролететь тысячи световых лет за время жизни пассажира. Если бы можно было построить космический корабль, который ускоряется с постоянным ускорением 1 g , через год он будет двигаться почти со скоростью света, наблюдаемой с Земли. Это описывается следующим образом: где v ( t ) — скорость в момент времени t , a — ускорение космического корабля, а t — координатное время, измеренное людьми на Земле. ^{[стр. 23]} Таким образом, после одного года ускорения со скоростью 9,81 м/с ² космический корабль будет двигаться со скоростью v = 0,712 c и 0,946 c через три года относительно Земли. После трех лет этого ускорения, когда космический корабль достигнет скорости 94,6% от скорости света относительно Земли, замедление времени приведет к тому, что каждая секунда, испытываемая на космическом корабле, будет соответствовать 3,1 секунде на Земле. Во время своего путешествия люди на Земле будут ощущать больше времени, чем они испытывают, поскольку их часы (все физические явления) будут действительно идти в 3,1 раза быстрее, чем часы космического корабля. 5-летнее путешествие туда и обратно для путешественника займет 6,5 земных лет и покроет расстояние более 6 световых лет. 20-летнее путешествие туда и обратно для них (5 лет ускорения, 5 замедления, дважды каждое) вернет их на Землю, проделав путь в 335 земных лет и пройдя расстояние в 331 световой год. ^[74] Полное 40-летнее путешествие при 1 g покажется на Земле продолжительностью 58 000 лет и покроет расстояние в 55 000 световых лет. 40-летнее путешествие при 1,1 g займет 148 000 земных лет и охватит около 140 000 световых лет. Одностороннее 28-летнее (14 лет ускорения, 14 лет замедления, как измеряется по часам астронавта) путешествие при ускорении 1 g может достичь 2 000 000 световых лет до галактики Андромеды. ^[74] Это же самое замедление времени является причиной того, что мюон, движущийся близко к c , как наблюдается, движется намного дальше, чем c, умноженное на его период полураспада (в состоянии покоя). ^[75] $${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}}}$$

Упругие столкновения

Изучение продуктов столкновений, полученных с помощью ускорителей частиц по всему миру, дает ученым доказательства структуры субатомного мира и законов природы, управляющих им. Анализ продуктов столкновений, сумма масс которых может значительно превышать массы падающих частиц, требует специальной теории относительности. ^[76]

В ньютоновской механике анализ столкновений включает использование законов сохранения массы , импульса и энергии . В релятивистской механике масса не сохраняется независимо, поскольку она включена в общую релятивистскую энергию. Мы иллюстрируем различия, возникающие между ньютоновской и релятивистской трактовками столкновений частиц, рассматривая простой случай двух абсолютно упругих сталкивающихся частиц одинаковой массы. ( Неупругие столкновения обсуждаются в разделе Пространство-время#Законы сохранения . Радиоактивный распад можно рассматривать как своего рода неупругое столкновение, обращенное во времени. ^[76] )

Упругое рассеяние заряженных элементарных частиц отклоняется от идеальности из-за возникновения тормозного излучения. ^{[77] [78]}

Ньютоновский анализ

Рисунок 6–2. Ньютоновский анализ упругого столкновения движущейся частицы с равной по массе неподвижной частицей.

Рис. 6-2 демонстрирует результат, знакомый игрокам в бильярд, что если неподвижный шар упруго ударяется другим шаром той же массы (предполагая отсутствие бокового вращения, или «английского»), то после столкновения расходящиеся траектории двух шаров будут стягивать прямой угол. (a) В неподвижной системе отсчета падающая сфера, движущаяся со скоростью 2 v, ударяется о неподвижную сферу. (b) В системе отсчета центра импульса две сферы сближаются симметрично со скоростью ± v . После упругого столкновения две сферы отскакивают друг от друга с равными и противоположными скоростями ± u . Закон сохранения энергии требует, чтобы | u | = | v |. (c) Возвращаясь к неподвижной системе отсчета, скорости отскока равны v ± u . Скалярное произведение ( v + u ) ⋅ ( v − u ) = v ² − u ² = 0 , что указывает на то, что векторы ортогональны. ^{[12] : 26–27}

Релятивистский анализ

Рисунок 6–3. Релятивистское упругое столкновение движущейся частицы с неподвижной частицей равной массы.

Рассмотрим сценарий упругого столкновения на рис. 6-3 между движущейся частицей, сталкивающейся с неподвижной частицей равной массы. В отличие от ньютоновского случая, угол между двумя частицами после столкновения меньше 90°, зависит от угла рассеяния и становится все меньше и меньше по мере того, как скорость падающей частицы приближается к скорости света:

Релятивистский импульс и полная релятивистская энергия частицы определяются как

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов входящей частицы и неподвижной частицы (которая изначально имеет импульс = 0) равна сумме импульсов вылетевших частиц:

Аналогично, сумма полных релятивистских энергий входящей частицы и неподвижной частицы (которая изначально имеет полную энергию mc2 ⁾ равна сумме полных энергий вылетевших частиц:

Разложение ( 6-5 ) на составляющие, замена на безразмерные и вынесение за скобки общих членов из ( 6-5 ) и ( 6-6 ) дает следующее: ^{[стр. 24]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \beta }$

Из них мы получаем следующие соотношения: ^{[стр. 24]}

Для симметричного случая, в котором и ( 6-12 ) принимает более простую форму: ^{[стр. 24]} ${\displaystyle \phi =\theta }$ ${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{3},}$

Помимо основ

Быстрота

Рисунок 7–2. График трех основных гиперболических функций : гиперболического синуса ( sinh ), гиперболического косинуса ( cosh ) и гиперболического тангенса ( tanh ). Sinh — красный, cosh — синий, а tanh — зеленый.

Преобразования Лоренца связывают координаты событий в одной системе отсчета с координатами событий в другой системе отсчета. Релятивистское сложение скоростей используется для сложения двух скоростей. Формулы для выполнения последних вычислений нелинейны, что делает их более сложными, чем соответствующие формулы Галилея.

Эта нелинейность является артефактом нашего выбора параметров. ^{[11] : 47–59} Ранее мы отмечали, что в пространственно-временной диаграмме x–ct точки на некотором постоянном пространственно-временном интервале от начала координат образуют инвариантную гиперболу. Мы также отмечали, что системы координат двух пространственно-временных систем отсчета в стандартной конфигурации гиперболически повернуты относительно друг друга.

Естественными функциями для выражения этих отношений являются гиперболические аналоги тригонометрических функций . На рис. 7-1a показана единичная окружность с sin( a ) и cos( a ), единственное отличие этой диаграммы от знакомой единичной окружности элементарной тригонометрии заключается в том, что a интерпретируется не как угол между лучом и осью x , а как удвоенная площадь сектора, выметаемого лучом из оси x . Численно угол и 2 × меры площади для единичной окружности идентичны. На рис. 7-1b показана единичная гипербола с sinh( a ) и cosh( a ), где a также интерпретируется как удвоенная окрашенная площадь. ^[79] На рис. 7-2 представлены графики функций sinh, cosh и tanh.

Для единичной окружности наклон луча определяется выражением

${\displaystyle {\text{slope}}=\tan a={\frac {\sin a}{\cos a}}.}$

В декартовой плоскости поворот точки ( x , y ) в точку ( x ' , y ' ) на угол θ задается формулой

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.}$

В пространственно-временной диаграмме параметр скорости является аналогом наклона. Быстрота , φ , определяется как ^{[21] : 96–99} ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta \equiv \tanh \phi \equiv {\frac {v}{c}},}$

где

${\displaystyle \tanh \phi ={\frac {\sinh \phi }{\cosh \phi }}={\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{e^{\phi }+e^{-\phi }}}.}$

Быстрота, определенная выше, очень полезна в специальной теории относительности, поскольку многие выражения принимают значительно более простую форму, когда выражаются через нее. Например, быстрота просто аддитивна в формуле коллинеарного сложения скоростей; ^{[11] : 47–59}

${\displaystyle \beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\tanh \phi _{1}+\tanh \phi _{2}}{1+\tanh \phi _{1}\tanh \phi _{2}}}=}$ ${\displaystyle \tanh(\phi _{1}+\phi _{2}),}$

или другими словами, ${\displaystyle \phi =\phi _{1}+\phi _{2}.}$

Преобразования Лоренца принимают простую форму, если их выразить через быстроту. Фактор γ можно записать как

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\cosh \phi ,}$

${\displaystyle \gamma \beta ={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\tanh \phi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\sinh \phi .}$

Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной скоростью и без поворота осей пространственных координат, называются бустингами .

Подставляя γ и γβ в преобразования, представленные ранее, и переписывая в матричной форме, усиление Лоренца в направлении x можно записать как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},}$

и обратный Лоренц-буст в направлении x может быть записан как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &\sinh \phi \\\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.}$

Другими словами, лоренцевские усиления представляют собой гиперболические вращения в пространстве-времени Минковского. ^{[21] : 96–99}

Преимущества использования гиперболических функций таковы, что некоторые учебники, такие как классические учебники Тейлора и Уиллера, вводят их использование на очень раннем этапе. ^{[11] [примечание 11]}

4‑вектора

Четырехвекторы были упомянуты выше в контексте 4-вектора энергии-импульса , но без особого акцента. Действительно, ни один из элементарных выводов специальной теории относительности не требует их. Но как только они поняты, 4-векторы и, в более общем смысле , тензоры значительно упрощают математику и концептуальное понимание специальной теории относительности. Работа исключительно с такими объектами приводит к формулам, которые явно релятивистски инвариантны, что является значительным преимуществом в нетривиальных контекстах. Например, демонстрация релятивистской инвариантности уравнений Максвелла в их обычной форме не является тривиальной, в то время как это всего лишь рутинное вычисление, на самом деле не более чем наблюдение, использующее формулировку тензора напряженности поля . ^[80]

С другой стороны, общая теория относительности с самого начала в значительной степени опирается на 4-векторы и, в более общем смысле, тензоры, представляющие физически значимые сущности. Связывание их посредством уравнений, которые не опираются на конкретные координаты, требует тензоров, способных связывать такие 4-векторы даже в искривленном пространстве-времени, а не только в плоском , как в специальной теории относительности. Изучение тензоров выходит за рамки этой статьи, которая дает только базовое обсуждение пространства-времени.

Определение 4-векторов

Четверка, ⁠ ⁠ ${\displaystyle A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)}$ является «4-вектором», если ее компонент A _i преобразуется между кадрами в соответствии с преобразованием Лоренца.

При использовании координат ${\displaystyle (ct,x,y,z)}$ A является 4-вектором , если он преобразуется (в направлении x ) согласно

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}'&=\gamma \left(A_{0}-(v/c)A_{1}\right)\\A_{1}'&=\gamma \left(A_{1}-(v/c)A_{0}\right)\\A_{2}'&=A_{2}\\A_{3}'&=A_{3}\end{aligned}}}$

что получается простой заменой ct на A ₀ и x на A ₁ в более раннем представлении преобразования Лоренца.

Как обычно, когда мы пишем x , t и т. д., мы обычно подразумеваем Δx , Δt и т. д.

Последние три компонента 4-вектора должны быть стандартным вектором в трехмерном пространстве. Поэтому 4-вектор должен преобразовываться как ⁠ ⁠ ${\displaystyle (c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}$ при преобразованиях Лоренца, а также при вращениях. ^{[81] : 36–59}

Свойства 4-векторов

• Замыкание относительно линейной комбинации: если A и B являются 4-векторами , то ⁠ ⁠ ${\displaystyle C=aA+aB}$ также является 4-вектором .
• Инвариантность внутреннего произведения: Если A и B являются 4-векторами , то их внутреннее произведение (скалярное произведение) инвариантно, т.е. их внутреннее произведение не зависит от системы отсчета, в которой оно вычисляется. Обратите внимание, как вычисление внутреннего произведения отличается от вычисления внутреннего произведения 3-вектора . В следующем и являются 3-векторами : ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

  ${\displaystyle A\cdot B\equiv }$ ${\displaystyle A_{0}B_{0}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}\equiv }$ ${\displaystyle A_{0}B_{0}-{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}}$

Помимо того, что указанное выше скалярное произведение инвариантно относительно преобразований Лоренца, оно также инвариантно относительно вращения в трехмерном пространстве .

Говорят, что два вектора ортогональны, если В отличие от случая с 3-векторами, ортогональные 4-векторы не обязательно находятся под прямым углом друг к другу. Правило заключается в том, что два 4-вектора ортогональны, если они смещены на равные и противоположные углы относительно линии 45°, которая является мировой линией светового луча. Это подразумевает, что светоподобный 4-вектор ортогонален сам с собой . ${\displaystyle A\cdot B=0.}$

• Инвариантность величины вектора: величина вектора является внутренним произведением 4-вектора на самого себя и является свойством, независимым от системы отсчета. Как и в случае с интервалами, величина может быть положительной, отрицательной или нулевой, поэтому векторы называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми (светоподобными). Обратите внимание, что нулевой вектор не то же самое, что нулевой вектор. Нулевой вектор — это вектор, для которого в то время как нулевой вектор — это вектор, все компоненты которого равны нулю. Особые случаи, иллюстрирующие инвариантность нормы, включают инвариантный интервал и инвариантную длину релятивистского вектора импульса ^{[21] : 178–181  [81] : 36–59} ${\displaystyle A\cdot A=0,}$ ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$ ${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}.}$

Примеры 4-векторов

• Смещение 4-вектора: Также известное как пространственно-временное разделение , это ( Δt, Δx, Δy, Δz ) или для бесконечно малых разделений ( dt, dx, dy, dz ) .

  ${\displaystyle dS\equiv (dt,dx,dy,dz)}$

• 4-вектор скорости: это результат деления 4-вектора смещения на , где — собственное время между двумя событиями, которые дают dt, dx, dy и dz . ${\displaystyle d\tau }$ ${\displaystyle d\tau }$

  ${\displaystyle V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left(1,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle (\gamma ,\gamma {\vec {v}})}$

4-скорость касается мировой линии частицы и имеет длину, равную одной единице времени в системе отсчета частицы.

Ускоренная частица не имеет инерциальной системы отсчета, в которой она всегда находится в состоянии покоя. Однако всегда можно найти инерциальную систему отсчета, которая на мгновение сопутствует частице. Эта система отсчета, мгновенно сопутствующая система отсчета (MCRF), позволяет применять специальную теорию относительности к анализу ускоренных частиц.

Поскольку фотоны движутся по нулевым линиям, для фотона и 4-скорость не может быть определена. Не существует системы отсчета, в которой фотон находится в состоянии покоя, и нельзя установить МКРФ вдоль пути фотона. ${\displaystyle d\tau =0}$

• Энергия-импульс 4-вектор:

  ${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$

Как указывалось ранее, существуют различные трактовки для 4-вектора энергии-импульса , так что его можно также увидеть выраженным как или Первый компонент — это полная энергия (включая массу) частицы (или системы частиц) в данной системе отсчета, в то время как остальные компоненты — это ее пространственный импульс. 4-вектор энергии-импульса является сохраняющейся величиной. ${\displaystyle (E,{\vec {p}})}$ ${\displaystyle (E,{\vec {p}}c).}$

• Ускорение 4-вектора: Это результат взятия производной от скорости 4-вектора по отношению к ${\displaystyle \tau .}$

  ${\displaystyle A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\gamma ,\gamma {\vec {v}})=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {d\gamma }{dt}},{\frac {d(\gamma {\vec {v}})}{dt}}\right)}$

• 4-вектор силы: Это производная 4-вектора импульса по отношению к ${\displaystyle \tau .}$

  ${\displaystyle F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\vec {f}}\right)}$

Как и ожидалось, конечные компоненты вышеуказанных 4-векторов являются стандартными 3-векторами, соответствующими пространственному 3-импульсу , 3-силе и т. д. ^{[21] : 178–181  [81] : 36–59}

4-векторы и физический закон

Первый постулат специальной теории относительности провозглашает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Физический закон, действующий в одной системе отсчета, должен применяться во всех системах отсчета, поскольку в противном случае можно было бы различать системы отсчета. Ньютоновские импульсы не ведут себя должным образом при преобразованиях Лоренца, и Эйнштейн предпочел изменить определение импульса на определение, включающее 4-векторы , чем отказаться от сохранения импульса.

Физические законы должны быть основаны на конструкциях, которые не зависят от системы отсчета. Это означает, что физические законы могут принимать форму уравнений, связывающих скаляры, которые всегда независимы от системы отсчета. Однако уравнения, включающие 4-векторы, требуют использования тензоров с соответствующим рангом, которые сами по себе могут рассматриваться как построенные из 4-векторов . ^{[21] : 186}

Ускорение

Распространено заблуждение, что специальная теория относительности применима только к инерциальным системам и что она не может справиться с ускоряющимися объектами или ускоряющимися системами отсчета. На самом деле, ускоряющиеся объекты можно анализировать, не имея дела с ускоряющимися системами отсчета вообще. Общая теория относительности требуется только тогда, когда гравитация существенна. ^[82]

Однако правильная работа с ускоряющимися системами отсчета требует некоторой осторожности. Разница между специальной и общей теорией относительности заключается в том, что (1) в специальной теории относительности все скорости относительны, но ускорение абсолютно. (2) в общей теории относительности все движения относительны, будь то инерционные, ускоряющиеся или вращательные. Чтобы учесть это различие, общая теория относительности использует искривленное пространство-время. ^[82]

В этом разделе мы анализируем несколько сценариев с участием ускоренных систем отсчета.

Парадокс космического корабля Девана – Берана – Белла

Парадокс космического корабля Дьюана–Берана–Белла ( парадокс космического корабля Белла ) является хорошим примером проблемы, в которой интуитивные рассуждения без помощи геометрического понимания пространственно-временного подхода могут привести к проблемам.

Рисунок 7–4. Парадокс космического корабля Девана – Берана – Белла

На рис. 7-4 два одинаковых космических корабля плавают в пространстве и находятся в состоянии покоя относительно друг друга. Они соединены струной, которая способна растягиваться лишь на ограниченное количество единиц, прежде чем разорваться. В заданный момент в нашей системе отсчета, системе отсчета наблюдателя, оба космических корабля ускоряются в одном и том же направлении вдоль линии между ними с одинаковым постоянным собственным ускорением. ^{[примечание 12]} Оборвется ли струна?

Когда парадокс был новым и относительно неизвестным, даже профессиональные физики испытывали трудности с решением. Две линии рассуждений приводят к противоположным выводам. Оба аргумента, представленные ниже, ошибочны, хотя один из них дает правильный ответ. ^{[21] : 106, 120–122}

1. Для наблюдателей в системе покоя космические корабли начинают движение на расстоянии L друг от друга и остаются на том же расстоянии друг от друга во время ускорения. Во время ускорения L — это сокращенное расстояние длины от расстояния L ' = γL в системе ускоряющихся космических кораблей. Через достаточно большое время γ увеличится до достаточно большого коэффициента, что струна должна разорваться.
2. Пусть A и B будут задним и передним космическими кораблями. В кадре космических кораблей каждый космический корабль видит, что другой космический корабль делает то же самое, что и он. A говорит, что у B такое же ускорение, как у него, и B видит, что A соответствует каждому ее движению. Таким образом, космические корабли остаются на одинаковом расстоянии друг от друга, и струна не рвется. ^{[21] : 106, 120–122}

Проблема с первым аргументом в том, что не существует «системы отсчета космических кораблей». Не может быть, потому что два космических корабля измеряют растущее расстояние между собой. Поскольку нет общей системы отсчета космических кораблей, длина струны определена неточно. Тем не менее, вывод правильный, и аргумент в основном правильный. Однако второй аргумент полностью игнорирует относительность одновременности. ^{[21] : 106, 120–122}

Рисунок 7–5. Кривые линии представляют мировые линии двух наблюдателей A и B, которые ускоряются в одном направлении с одинаковым постоянным ускорением. В точках A' и B' наблюдатели прекращают ускоряться. Пунктирные линии представляют собой линии одновременности для каждого наблюдателя до начала ускорения и после его прекращения.

Пространственно-временная диаграмма (рис. 7-5) делает правильное решение этого парадокса почти сразу очевидным. Два наблюдателя в пространстве-времени Минковского ускоряются с постоянной величиной ускорения в течение собственного времени (ускорение и прошедшее время измеряются самими наблюдателями, а не каким-то инерциальным наблюдателем). Они сопутствующие и инерциальные до и после этой фазы. В геометрии Минковского длина вдоль линии одновременности оказывается больше длины вдоль линии одновременности . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A'B''}$ ${\displaystyle AB}$

Увеличение длины можно рассчитать с помощью преобразования Лоренца. Если, как показано на рис. 7-5, ускорение закончится, то корабли останутся на постоянном смещении в некоторой системе отсчета Если и — положения кораблей в позициях в системе отсчета : ^[83] ${\displaystyle S'.}$ ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}}$

«Парадокс», так сказать, исходит из способа, которым Белл построил свой пример. В обычном обсуждении сокращения Лоренца длина покоя фиксирована, а движущаяся длина сокращается, измеряемая в системе отсчета . Как показано на рис. 7-5, пример Белла утверждает, что движущиеся длины и измеряемые в системе отсчета фиксированы, тем самым заставляя длину покоящейся системы отсчета увеличиваться. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A'B'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A'B''}$ ${\displaystyle S'}$

Ускоренный наблюдатель с горизонтом

Определенные постановки задач специальной теории относительности могут привести к пониманию явлений, обычно связанных с общей теорией относительности, таких как горизонты событий . В тексте, сопровождающем раздел «Инвариантная гипербола» статьи Пространство-время , пурпурные гиперболы представляли реальные пути, которые отслеживает постоянно ускоряющийся путешественник в пространстве-времени. В периоды положительного ускорения скорость путешественника лишь приближается к скорости света, в то время как, измеренное в нашей системе отсчета, ускорение путешественника постоянно уменьшается.

Рисунок 7–6. Ускоренный релятивистский наблюдатель с горизонтом. Еще одну хорошо нарисованную иллюстрацию на ту же тему можно посмотреть здесь .

Рис. 7-6 более подробно описывает различные особенности движения путешественника. В любой момент времени ее пространственная ось образована линией, проходящей через начало координат и ее текущее положение на гиперболе, тогда как ее ось времени является касательной к гиперболе в ее положении. Параметр скорости приближается к пределу единицы по мере увеличения. Аналогично, приближается к бесконечности. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \gamma }$

Форма инвариантной гиперболы соответствует траектории постоянного собственного ускорения. Это можно продемонстрировать следующим образом:

1. Мы помним, что ${\displaystyle \beta =ct/x.}$
2. Поскольку мы приходим к выводу, что ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2},}$ ${\displaystyle \beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}.}$
3. ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}/s}$
4. Из закона относительной силы, ${\displaystyle F=dp/dt=}$ ${\displaystyle dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct).}$
5. Подстановка из шага 2 и выражения для из шага 3 дает что является постоянным выражением. ^{[84] : 110–113} ${\displaystyle \beta (ct)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F=mc^{2}/s,}$

Рис. 7-6 иллюстрирует конкретный расчетный сценарий. Теренс (A) и Стелла (B) изначально находятся вместе в 100 световых часах от начала координат. Стелла стартует в момент времени 0, ее космический корабль ускоряется со скоростью 0,01 с в час. Каждые двадцать часов Теренс передает Стелле радиосообщения о ситуации дома (сплошные зеленые линии). Стелла получает эти регулярные передачи, но увеличивающееся расстояние (отчасти компенсированное замедлением времени) заставляет ее получать сообщения Теренса все позже и позже, как измерено по ее часам, и она никогда не получает никаких сообщений от Теренса после 100 часов по его часам (пунктирные зеленые линии). ^{[84] : 110–113}

Через 100 часов по часам Теренса Стелла попадает в темную область. Она вышла за пределы временного будущего Теренса. С другой стороны, Теренс может продолжать получать сообщения Стеллы к себе бесконечно. Ему просто нужно подождать достаточно долго. Пространство-время разделено на отдельные области, разделенные видимым горизонтом событий. Пока Стелла продолжает ускоряться, она никогда не узнает, что происходит за этим горизонтом. ^{[84] : 110–113}

Относительность и объединяющий электромагнетизм

Теоретическое исследование классического электромагнетизма привело к открытию распространения волн. Уравнения, обобщающие электромагнитные эффекты, обнаружили, что конечная скорость распространения полей E и B требует определенного поведения заряженных частиц. Общее изучение движущихся зарядов формирует потенциал Льенара–Вихерта , который является шагом к специальной теории относительности.

Преобразование Лоренца электрического поля движущегося заряда в систему отсчета неподвижного наблюдателя приводит к появлению математического термина, обычно называемого магнитным полем . Наоборот, магнитное поле, создаваемое движущимся зарядом, исчезает и становится чисто электростатическим полем в сопутствующей системе отсчета. Уравнения Максвелла, таким образом, являются просто эмпирической подгонкой к специальным релятивистским эффектам в классической модели Вселенной. Поскольку электрические и магнитные поля зависят от системы отсчета и, таким образом, переплетены, говорят об электромагнитных полях. Специальная теория относительности предоставляет правила преобразования для того, как электромагнитное поле в одной инерциальной системе появляется в другой инерциальной системе.

Уравнения Максвелла в трехмерной форме уже согласуются с физическим содержанием специальной теории относительности, хотя ими легче манипулировать в явно ковариантной форме, то есть на языке тензорного исчисления. ^[80]

Теории относительности и квантовая механика

Специальная теория относительности может быть объединена с квантовой механикой для формирования релятивистской квантовой механики и квантовой электродинамики . То, как общая теория относительности и квантовая механика могут быть объединены, является одной из нерешенных проблем в физике ; квантовая гравитация и « теория всего », которые требуют объединения, включающего также общую теорию относительности, являются активными и продолжающимися областями теоретических исследований.

Ранняя атомная модель Бора-Зоммерфельда объясняла тонкую структуру атомов щелочных металлов, используя как специальную теорию относительности, так и предварительные знания квантовой механики того времени. ^[85]

В 1928 году Поль Дирак построил влиятельное релятивистское волновое уравнение , теперь известное как уравнение Дирака в его честь, ^{[стр. 25],} которое полностью совместимо как со специальной теорией относительности, так и с окончательной версией квантовой теории, существовавшей после 1926 года. Это уравнение не только описывало собственный угловой момент электронов, называемый спином , но и привело к предсказанию античастицы электрона ( позитрона ), ^{[стр. 25] [стр. 26]} и тонкая структура могла быть полностью объяснена только с помощью специальной теории относительности. Это было первым основанием релятивистской квантовой механики .

С другой стороны, существование античастиц приводит к выводу, что релятивистской квантовой механики недостаточно для более точной и полной теории взаимодействия частиц. Вместо этого становится необходимой теория частиц, интерпретируемых как квантованные поля, называемая квантовой теорией поля ; в которой частицы могут создаваться и уничтожаться в пространстве и времени.

Статус

Специальная теория относительности в ее пространстве-времени Минковского точна только тогда, когда абсолютное значение гравитационного потенциала намного меньше c ² в интересующей области. ^[86] В сильном гравитационном поле необходимо использовать общую теорию относительности . Общая теория относительности становится специальной теорией относительности на пределе слабого поля. В очень малых масштабах, таких как длина Планка и ниже, необходимо учитывать квантовые эффекты, приводящие к квантовой гравитации . Но в макроскопических масштабах и при отсутствии сильных гравитационных полей специальная теория относительности экспериментально проверена с чрезвычайно высокой степенью точности (10 ⁻²⁰ ) ^[87] и, таким образом, принята физическим сообществом. Экспериментальные результаты, которые кажутся противоречащими ей, не воспроизводимы и, таким образом, широко считаются вызванными экспериментальными ошибками. ^[88]

Специальная теория относительности математически самосогласована и является органической частью всех современных физических теорий, в первую очередь квантовой теории поля , теории струн и общей теории относительности (в предельном случае пренебрежимо малых гравитационных полей).

Ньютоновская механика математически следует из специальной теории относительности при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) – таким образом, ньютоновскую механику можно рассматривать как специальную теорию относительности медленно движущихся тел. Более подробное обсуждение см. в классической механике .

Несколько экспериментов, предшествовавших статье Эйнштейна 1905 года, теперь интерпретируются как доказательства относительности. Из них известно, что Эйнштейн знал об эксперименте Физо до 1905 года, ^[89] и историки пришли к выводу, что Эйнштейн, по крайней мере, знал об эксперименте Майкельсона-Морли еще в 1899 году, несмотря на заявления, которые он делал в последние годы, что эксперимент не играл никакой роли в развитии его теории. ^[16]

• Эксперимент Физо (1851 г., повторен Майкельсоном и Морли в 1886 г.) позволил измерить скорость света в движущихся средах, и его результаты согласуются с релятивистским сложением коллинеарных скоростей.
• Знаменитый эксперимент Майкельсона–Морли (1881, 1887) дал дальнейшее подтверждение постулату о том, что обнаружение абсолютной опорной скорости недостижимо. Здесь следует отметить, что, вопреки многим альтернативным утверждениям, он мало что сказал об инвариантности скорости света относительно скорости источника и наблюдателя, поскольку и источник, и наблюдатель все время двигались вместе с одной и той же скоростью.
• Эксперимент Траутона –Нобла (1903) показал, что крутящий момент конденсатора не зависит от положения и инерциальной системы отсчета.
• Эксперименты Рэлея и Брейса (1902, 1904) показали, что сокращение длины не приводит к двойному лучепреломлению для сопутствующего наблюдателя, в соответствии с принципом относительности.

Ускорители частиц ускоряют и измеряют свойства частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, где их поведение согласуется с теорией относительности и не согласуется с более ранней ньютоновской механикой . Эти машины просто не работали бы, если бы они не были спроектированы в соответствии с релятивистскими принципами. Кроме того, было проведено значительное количество современных экспериментов для проверки специальной теории относительности. Вот несколько примеров:

• Тесты релятивистской энергии и импульса – проверка предельной скорости частиц
• Эксперимент Айвса–Стилвелла – проверка релятивистского эффекта Доплера и замедления времени
• Экспериментальная проверка замедления времени – релятивистские эффекты на период полураспада быстро движущейся частицы
• Эксперимент Кеннеди–Торндайка – замедление времени в соответствии с преобразованиями Лоренца
• Эксперимент Хьюза-Древера – проверка изотропии пространства и массы
• Современные поиски нарушения Лоренца – различные современные тесты
• Эксперименты по проверке теории излучения показали, что скорость света не зависит от скорости излучателя.
• Эксперименты по проверке гипотезы об увлечения эфиром – отсутствие «препятствия потоку эфира».

Техническое обсуждение пространства-времени

Геометрия пространства-времени

Сравнение плоского евклидова пространства и пространства Минковского

Рисунок 10–1. Сравнение ортогональности и вращения систем координат слева: в евклидовом пространстве через круговой угол φ , справа: в пространстве-времени Минковского через гиперболический угол φ (красные линии, помеченные как c, обозначают мировые линии светового сигнала, вектор ортогонален самому себе, если он лежит на этой линии). ^[90]

Специальная теория относительности использует «плоское» 4-мерное пространство Минковского – пример пространства- времени . Пространство-время Минковского, по-видимому, очень похоже на стандартное 3-мерное евклидово пространство , но есть принципиальное различие в отношении времени.

В трехмерном пространстве дифференциал расстояния (линейный элемент) ds определяется как где d x = ( dx ₁ , dx ₂ , dx ₃ ) — дифференциалы трех пространственных измерений. В геометрии Минковского существует дополнительное измерение с координатой X ^{0 ,} полученное из времени, так что дифференциал расстояния удовлетворяет где d X = ( dX ₀ , dX ₁ , dX ₂ , dX ₃ ) — дифференциалы четырех измерений пространства-времени. Это предполагает глубокое теоретическое понимание: специальная теория относительности — это просто вращательная симметрия нашего пространства-времени, аналогичная вращательной симметрии евклидова пространства (см. рис. 10-1). ^[91] Так же, как евклидово пространство использует евклидову метрику , так и пространство-время использует метрику Минковского . $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},}$$ $${\displaystyle ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},}$$По сути, специальная теория относительности может быть сформулирована как инвариантность любого интервала пространства-времени (то есть 4-мерного расстояния между любыми двумя событиями) при наблюдении из любой инерциальной системы отсчета . Все уравнения и эффекты специальной теории относительности могут быть выведены из этой вращательной симметрии ( группы Пуанкаре ) пространства-времени Минковского.

Фактическая форма ds выше зависит от метрики и от выбора координаты X ⁰ . Чтобы временная координата выглядела как пространственные координаты, ее можно рассматривать как мнимую : X ₀ = ict (это называется вращением Вика ). Согласно Мизнеру, Торну и Уилеру (1971, §2.3), в конечном счете более глубокое понимание как специальной, так и общей теории относительности придет из изучения метрики Минковского (описанной ниже) и взятия X ⁰ = ct , а не «замаскированной» евклидовой метрики, использующей ict в качестве временной координаты.

Некоторые авторы используют X ⁰ = t , с множителями c в других местах для компенсации; например, пространственные координаты делятся на c или множители c ^±2 включаются в метрический тензор. ^[92] Эти многочисленные соглашения могут быть заменены использованием естественных единиц , где c = 1 . Тогда пространство и время имеют эквивалентные единицы, и множители c нигде не появляются.

3D пространство-время

Рисунок 10–2. Трехмерный двойной конус.

Если мы уменьшим пространственные измерения до 2, так чтобы мы могли представить физику в трехмерном пространстве, мы увидим, что нулевые геодезические лежат вдоль двойного конуса (см. рис. 10-2), определяемого уравнением; или, проще говоря , которое является уравнением окружности радиуса  c dt . $${\displaystyle ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},}$$ $${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}$$ $${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},}$$

4D пространство-время

Если мы расширим это до трех пространственных измерений, то нулевые геодезические будут четырехмерным конусом: так что $${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}$$ $${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.}$$

Рисунок 10–3. Концентрические сферы, иллюстрирующие в трехмерном пространстве нулевые геодезические четырехмерного конуса в пространстве-времени.

Как показано на рис. 10-3, нулевые геодезические можно визуализировать как набор непрерывных концентрических сфер с радиусами =  c dt .

Этот нулевой двойной конус представляет собой «линию видимости» точки в пространстве. То есть, когда мы смотрим на звезды и говорим «Свет от этой звезды, который я получаю, имеет возраст X лет», мы смотрим вдоль этой линии видимости: нулевой геодезической. Мы смотрим на событие, находящееся на расстоянии и во времени d/c в прошлом. По этой причине нулевой двойной конус также известен как «световой конус». (Точка в левом нижнем углу рис. 10-2 представляет собой звезду, начало координат представляет собой наблюдателя, а линия представляет собой нулевую геодезическую «линию видимости».) ${\textstyle d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}$

Конус в области −t — это информация, которую точка «принимает», тогда как конус в области + t — это информация, которую точка «отправляет».

Геометрию пространства Минковского можно изобразить с помощью диаграмм Минковского , которые также полезны для понимания многих мысленных экспериментов в специальной теории относительности.

Физика в пространстве-времени

Преобразования физических величин между системами отсчета

Выше, преобразование Лоренца для временной координаты и трех пространственных координат иллюстрирует, что они переплетены. Это верно в более общем смысле: определенные пары «временеподобных» и «пространственноподобных» величин естественным образом объединяются на равных основаниях под одним и тем же преобразованием Лоренца.

Преобразование Лоренца в стандартной конфигурации, представленное выше, то есть для усиления в направлении x , можно преобразовать в матричную форму следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct-\gamma \beta x\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$

В ньютоновской механике величины, имеющие величину и направление, математически описываются как 3d-векторы в евклидовом пространстве, и в общем случае они параметризуются временем. В специальной теории относительности это понятие расширяется путем добавления соответствующей времениподобной величины к пространственноподобной векторной величине, и мы имеем 4d-векторы или « четырехмерные векторы » в пространстве-времени Минковского. Компоненты векторов записываются с использованием индексной нотации тензора , поскольку это имеет многочисленные преимущества. Эта нотация ясно показывает, что уравнения явно ковариантны относительно группы Пуанкаре , тем самым обходя утомительные вычисления для проверки этого факта. При построении таких уравнений мы часто обнаруживаем, что уравнения, которые ранее считались не связанными, на самом деле тесно связаны, являясь частью одного и того же тензорного уравнения. Распознавание других физических величин как тензоров упрощает их законы преобразования. Везде верхние индексы (надстрочные индексы) являются контравариантными индексами, а не показателями степени, за исключением случаев, когда они указывают на квадрат (это должно быть ясно из контекста), а нижние индексы (подстрочные индексы) являются ковариантными индексами. Для простоты и согласованности с предыдущими уравнениями будут использоваться декартовы координаты.

Простейшим примером 4-вектора является положение события в пространстве-времени, которое составляет времениподобную компоненту ct и пространственноподобную компоненту x = ( x , y , z ) , в контравариантном позиционном 4-векторе с компонентами: где мы определяем X ⁰ = ct так, чтобы временная координата имела ту же размерность расстояния, что и другие пространственные измерения; так что пространство и время рассматриваются одинаково. ^{[93] [94] [95]} Теперь преобразование контравариантных компонент позиционного 4-вектора можно компактно записать как: где подразумевается суммирование от 0 до 3, а является матрицей . $${\displaystyle X^{\nu }=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})=(ct,x,y,z)=(ct,\mathbf {x} ).}$$ $${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }X^{\nu }}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

В более общем случае все контравариантные компоненты четырехвектора преобразуются из одной системы отсчета в другую с помощью преобразования Лоренца : ${\displaystyle T^{\nu }}$ $${\displaystyle T^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }T^{\nu }}$$

Примерами других 4-векторов являются 4-скорость, определяемая как производная 4-вектора положения по собственному времени : где фактор Лоренца равен: ${\displaystyle U^{\mu },}$ $${\displaystyle U^{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}=\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\gamma (v)(c,\mathbf {v} ).}$$ $${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\qquad v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}.}$$

Релятивистская энергия и релятивистский импульс объекта являются соответственно времениподобной и пространственноподобной компонентами контравариантного вектора четырехимпульса : где m — инвариантная масса . ${\displaystyle E=\gamma (v)mc^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m\mathbf {v} }$ $${\displaystyle P^{\mu }=mU^{\mu }=m\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right).}$$

Четырехкратное ускорение является собственной производной по времени от четырехкратной скорости: $${\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}.}$$

Правила преобразования для трехмерных скоростей и ускорений очень неуклюжи; даже выше в стандартной конфигурации уравнения скорости довольно сложны из-за их нелинейности. С другой стороны, преобразование четырех -скорости и четырех -ускорения проще с помощью матрицы преобразования Лоренца.

Четырехградиентное скалярное поле φ преобразуется ковариантно, а не контравариантно: что является транспонированием: только в декартовых координатах. Это ковариантная производная , которая преобразуется в явной ковариантности, в декартовых координатах это происходит , сводясь к частным производным, но не в других координатах. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z'}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &+\beta \gamma &0&0\\+\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle (\partial _{\mu '}\phi )=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }(\partial _{\nu }\phi )\qquad \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$$

В более общем случае ковариантные компоненты 4-векторного преобразования в соответствии с обратным преобразованием Лоренца: где — обратная матрица . $${\displaystyle T_{\mu '}=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }T_{\nu },}$$ ${\displaystyle \Lambda _{\mu '}{}^{\nu }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

Постулаты специальной теории относительности ограничивают точную форму матриц преобразования Лоренца.

В более общем смысле большинство физических величин лучше всего описывать как (компоненты) тензоров . Поэтому для преобразования из одной системы отсчета в другую мы используем известный закон преобразования тензора ^[96] , где — обратная матрица . Все тензоры преобразуются по этому правилу. $${\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\phi }T_{\sigma \upsilon \cdots \phi }^{\mu \nu \cdots \rho }}$$ ${\displaystyle \Lambda _{\chi '}{}^{\psi }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\chi '}{}_{\psi }}$

Примером четырехмерного антисимметричного тензора второго порядка является релятивистский момент импульса , который имеет шесть компонент: три из них являются классическим моментом импульса , а остальные три связаны с усилением центра масс системы. Производная релятивистского момента импульса по собственному времени — релятивистский момент силы, также антисимметричный тензор второго порядка .

Тензор электромагнитного поля — это еще одно антисимметричное тензорное поле второго порядка с шестью компонентами: три для электрического поля и еще три для магнитного поля . Существует также тензор энергии-импульса для электромагнитного поля, а именно тензор энергии-импульса электромагнитного поля .

Метрическая

Метрический тензор позволяет определить внутреннее произведение двух векторов, что в свою очередь позволяет присвоить вектору величину. Учитывая четырехмерную природу пространства-времени, метрика Минковского η имеет компоненты (действительные с соответствующим образом выбранными координатами), которые можно расположить в матрице 4 × 4 : которая равна своей обратной величине, , в этих системах отсчета. Везде мы используем знаки, как указано выше, разные авторы используют разные соглашения – см. альтернативные знаки метрики Минковского . $${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }}$

Группа Пуанкаре — это наиболее общая группа преобразований, которая сохраняет метрику Минковского: это физическая симметрия, лежащая в основе специальной теории относительности. $${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }}$$

Метрика может быть использована для повышения и понижения индексов векторов и тензоров. Инварианты могут быть построены с использованием метрики, скалярное произведение 4-вектора T с другим 4-вектором S равно: $${\displaystyle T^{\alpha }S_{\alpha }=T^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }S^{\beta }=T_{\alpha }\eta ^{\alpha \beta }S_{\beta }={\text{invariant scalar}}}$$

Инвариант означает, что он принимает одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета, поскольку является скаляром (тензором ранга 0), и поэтому в его тривиальном преобразовании не появляется Λ . Величина 4-вектора T является положительным квадратным корнем внутреннего произведения с самим собой: $${\displaystyle |\mathbf {T} |={\sqrt {T^{\alpha }T_{\alpha }}}}$$

Эту идею можно распространить на тензоры более высокого порядка, для тензора второго порядка мы можем сформировать инварианты: аналогично для тензоров более высокого порядка. Инвариантные выражения, в частности, внутренние произведения 4-векторов с самими собой, дают уравнения, которые полезны для вычислений, поскольку для определения инвариантов не требуется выполнять преобразования Лоренца. $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\gamma }T^{\gamma }{}_{\alpha }={\text{invariant scalars}},}$$

Релятивистская кинематика и инвариантность

Координатные дифференциалы преобразуются также контравариантно: так что квадрат длины дифференциала позиционного четырехвектора dX ^μ, построенного с использованием, является инвариантом. Обратите внимание, что когда элемент линии d X ² отрицателен, то √ − d X ² является дифференциалом собственного времени , тогда как когда d X ² положителен, то √ d X ² является дифференциалом собственного расстояния . $${\displaystyle dX^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }dX^{\nu }}$$ $${\displaystyle d\mathbf {X} ^{2}=dX^{\mu }\,dX_{\mu }=\eta _{\mu \nu }\,dX^{\mu }\,dX^{\nu }=-(c\,dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$$

4-скорость U ^μ имеет инвариантную форму: что означает, что все 4-векторы скорости имеют величину c . Это выражение того факта, что в теории относительности не существует такого понятия, как нахождение в координатном покое: по крайней мере, вы всегда движетесь вперед во времени. Дифференцирование приведенного выше уравнения по τ дает: Таким образом, в специальной теории относительности 4-вектор ускорения и 4-вектор скорости ортогональны. $${\displaystyle \mathbf {U} ^{2}=\eta _{\nu \mu }U^{\nu }U^{\mu }=-c^{2}\,,}$$ $${\displaystyle 2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.}$$

Релятивистская динамика и инвариантность

Инвариантная величина 4-вектора импульса порождает соотношение энергия-импульс : $${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }P_{\mu }P_{\nu }=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}.}$$

Мы можем выяснить, что представляет собой этот инвариант, сначала предположив, что, поскольку он является скаляром, не имеет значения, в какой системе отсчета мы его вычисляем, а затем выполнив преобразование в систему, в которой полный импульс равен нулю. $${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=-\left({\frac {E_{\text{rest}}}{c}}\right)^{2}=-(mc)^{2}.}$$

Мы видим, что энергия покоя является независимым инвариантом. Энергию покоя можно вычислить даже для частиц и систем в движении, переведя ее в систему отсчета, в которой импульс равен нулю.

Энергия покоя связана с массой согласно знаменитому уравнению, рассмотренному выше: $${\displaystyle E_{\text{rest}}=mc^{2}.}$$

Масса систем, измеренная в их системе отсчета центра импульса (где полный импульс равен нулю), определяется полной энергией системы в этой системе отсчета. Она может не быть равна сумме масс отдельных систем, измеренных в других системах отсчета.

Чтобы использовать третий закон движения Ньютона , обе силы должны быть определены как скорость изменения импульса относительно одной и той же временной координаты. То есть, требуется 3D-сила, определенная выше. К сожалению, в 4D нет тензора, который содержал бы компоненты 3D-вектора силы среди своих компонентов.

Если частица не движется со скоростью c , можно преобразовать 3D-силу из сопутствующей системе отсчета частицы в систему отсчета наблюдателя. Это дает 4-вектор, называемый 4-силой . Это скорость изменения вышеуказанного 4-вектора энергии-импульса относительно собственного времени. Ковариантная версия 4-силы: $${\displaystyle F_{\nu }={\frac {dP_{\nu }}{d\tau }}=mA_{\nu }}$$

В системе покоя объекта временная составляющая 4-силы равна нулю, если только не изменяется « инвариантная масса » объекта (для этого требуется незамкнутая система, в которой энергия/масса напрямую добавляется или удаляется из объекта), в этом случае она равна отрицательной скорости изменения массы, умноженной на c . Однако в общем случае компоненты 4-силы не равны компонентам 3-силы, поскольку 3-сила определяется скоростью изменения импульса относительно координатного времени, то есть dp / dt , в то время как 4-сила определяется скоростью изменения импульса относительно собственного времени, то есть dp / dτ .

В непрерывной среде 3D- плотность силы объединяется с плотностью мощности , образуя ковариантный 4-вектор. Пространственная часть является результатом деления силы на небольшой ячейке (в 3-пространстве) на объем этой ячейки. Временная составляющая равна −1/ c , умноженной на мощность, переданную этой ячейке, деленную на объем ячейки. Это будет использовано ниже в разделе об электромагнетизме.

Смотрите также

Люди

• Макс Планк
• Герман Минковский
• Макс фон Лауэ
• Арнольд Зоммерфельд
• Макс Борн
• Милева Марич

Относительность

• История специальной теории относительности
• Двойная специальная теория относительности
• Бонди k-исчисление
• Синхронизация Эйнштейна
• Аргумент Ритдейка–Путнэма
• Специальная теория относительности (альтернативные формулировки)
• Спор о приоритете теории относительности

Физика

• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• физическая космология
• Релятивистские уравнения Эйлера
• Теория эфира Лоренца
• Проблема движущегося магнита и проводника
• Формы волн
• Релятивистская теплопроводность
• Релятивистский диск
• Врожденная жесткость
• Координаты Борна

Математика

• группа Лоренца
• Относительность в формализме APS

Философия

• актуализм
• конвенционализм

Парадоксы

• Парадокс Эренфеста
• Парадокс космического корабля Белла
• Парадокс состава скорости
• Парадокс маяка

Примечания

1. Сам Эйнштейн в «Основах общей теории относительности», Ann. Phys. 49 (1916), пишет: «Слово «специальный» подразумевает, что принцип ограничен случаем ...». См. стр. 111 «Принципа относительности», А. Эйнштейн, Х. А. Лоренц, Х. Вейль, Х. Минковский, переиздание Дувра 1923 года перевода Метуэна и компании.]
2. Вальд, Общая теория относительности, стр. 60: «... специальная теория относительности утверждает, что пространство-время — это многообразие с определенной на нем плоской метрикой сигнатуры Лоренца. Наоборот, все содержание специальной теории относительности... содержится в этом утверждении...» ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$
3. В пространственно-временной установке длина движущегося твердого объекта — это пространственное расстояние между концами объекта, измеренное в одно и то же время. В системе покоя объекта одновременность не требуется.
4. Результаты эксперимента Майкельсона-Морли привели Джорджа Фрэнсиса Фицджеральда и Хендрика Лоренца независимо друг от друга к предложению явления сокращения длины . Лоренц считал, что сокращение длины представляет собой физическое сокращение атомов, составляющих объект. Он не предполагал никаких фундаментальных изменений в природе пространства и времени. ^{[27] : 62–68}
     Лоренц ожидал, что сокращение длины приведет к сжимающим деформациям в объекте, которые должны привести к измеримым эффектам. Такие эффекты включают оптические эффекты в прозрачных средах, такие как оптическое вращение ^{[стр. 11]} и индукция двойного преломления, ^{[стр. 12]} и индукция крутящих моментов на заряженных конденсаторах, движущихся под углом по отношению к эфиру. ^{[стр. 12]} Лоренц был озадачен экспериментами, такими как эксперимент Троутона-Нобла и эксперименты Рэлея и Брейса , которые не смогли подтвердить его теоретические ожидания. ^[27]
5. Для математической согласованности Лоренц предложил новую временную переменную, «местное время», названное так, потому что оно зависело от положения движущегося тела, следуя соотношению t ′ = t − vx / c ² . ^{[стр. 13]} Лоренц считал, что локальное время не является «реальным»; скорее, оно представляло собой специальное изменение переменной. ^{[28] : 51, 80}
     Впечатленный «самой гениальной идеей» Лоренца, Пуанкаре увидел в локальном времени больше, чем просто математический трюк. Оно представляло собой фактическое время, которое будет показано на часах движущегося наблюдателя. С другой стороны, Пуанкаре не считал это измеренное время «истинным временем», которое будет показано часами, покоящимися в эфире. Пуанкаре не пытался переопределить концепции пространства и времени. Для Пуанкаре преобразование Лоренца описывало видимые состояния поля для движущегося наблюдателя. Истинные состояния оставались теми, которые были определены относительно эфира. ^[29]
6. Эта концепция контринтуитивна по крайней мере из-за того, что, в отличие от обычных концепций расстояния , она может принимать отрицательные значения (не является положительно определенной для несовпадающих событий), и что обозначение квадрата вводит в заблуждение. Этот отрицательный квадрат приводит к, теперь не широко используемым, концепциям мнимого времени . Сразу видно, что отрицательное значение Δ s ² также является инвариантом, порожденным вариантом метрической сигнатуры пространства-времени.
7. Инвариантность Δ s ² относительно стандартного преобразования Лоренца аналогична инвариантности квадратов расстояний Δ r ² относительно вращений в евклидовом пространстве. Хотя пространство и время имеют равноправную основу в теории относительности, знак минус перед пространственными терминами отмечает пространство и время как имеющие существенно разный характер. Они не одинаковы. Поскольку оно обрабатывает время иначе, чем 3 пространственных измерения, пространство Минковского отличается от четырехмерного евклидова пространства .
8. Зависимость показателя преломления предполагаемого частичного сопротивления эфира была в конечном итоге подтверждена Питером Зееманом в 1914–1915 годах, намного позже того, как специальная теория относительности была принята мейнстримом. Используя увеличенную версию аппарата Майкельсона, подключенного непосредственно к главному водопроводу Амстердама , Зееман смог выполнить расширенные измерения, используя монохроматический свет в диапазоне от фиолетового (4358 Å) до красного (6870 Å). ^{[стр. 17] [стр. 18]}
9. Хотя прошло много десятилетий с тех пор, как Террелл и Пенроуз опубликовали свои наблюдения, популярные труды продолжают смешивать измерение с внешним видом. Например, Мичио Каку написал в «Космосе Эйнштейна» (WW Norton & Company, 2004. стр. 65): «... представьте, что скорость света составляет всего 20 миль в час. Если бы по улице ехала машина, она могла бы выглядеть сжатой в направлении движения, сжатой, как гармошка, до, возможно, 1 дюйма в длину».
10. В письме Карлу Зелигу в 1955 году Эйнштейн писал: «Я уже ранее обнаружил, что теория Максвелла не учитывает микроструктуру излучения и, следовательно, не может иметь общей справедливости». Письмо Эйнштейна Карлу Зелигу, 1955 год.
11. Быстрота возникает естественным образом как координаты на генераторах чистого усиления внутри алгебры Ли группы Лоренца. Аналогично, углы поворота возникают естественным образом как координаты (по модулю 2 π ) на генераторах чистого вращения в алгебре Ли. (Вместе они координируют всю алгебру Ли.) Заметное отличие состоит в том, что результирующие вращения являются периодическими по углу вращения, в то время как результирующие усиления не являются периодическими по быстроте (а скорее взаимно-однозначными). Сходство между усилениями и вращениями является формальным сходством.
12. В теории относительности собственное ускорение — это физическое ускорение (т. е. измеряемое ускорение, например, акселерометром), испытываемое объектом. Таким образом, это ускорение относительно свободно падающего или инерциального наблюдателя, который на мгновение находится в покое относительно измеряемого объекта.

Первичные источники

1. Альберт Эйнштейн (1905) «Zur Elektrodynamik bewegter Körper», Annalen der Physik 17: 891; Английский перевод Джорджа Баркера Джеффри и Уилфрида Перретта «Об электродинамике движущихся тел» (1923); Еще один английский перевод Мег Над Саха «Об электродинамике движущихся тел» (1920).
2. «Наука и здравый смысл», П. У. Бриджмен, The Scientific Monthly , т. 79, № 1 (июль 1954 г.), стр. 32–39.
3. Электромагнитная масса и импульс вращающегося электрона, Г. Брейт, Труды Национальной академии наук, т. 12, стр. 451, 1926 г.
4. Кинематика электрона с осью. Phil. Mag. 3:1-22. LH Thomas.]
5. Эйнштейн, Автобиографические заметки, 1949.
6. Эйнштейн, «Основные идеи и методы теории относительности», 1920 г.
7. Эйнштейн, О принципе относительности и выводах, вытекающих из него, 1907; «Принцип относительности и его следствия в современной физике», 1910; «Теория относительности», 1911; Рукопись по специальной теории относительности, 1912; Теория относительности, 1913; Эйнштейн, Относительность, специальная и общая теория, 1916; Основные идеи теории относительности, 1916; Что такое теория относительности?, 1919; Принцип относительности (Принстонские лекции), 1921; Физика и реальность, 1936; Теория относительности, 1949.
8. Яаков Фридман (2004). Физические применения однородных шаров . Прогресс в математической физике. Т. 40. С. 1–21. ISBN 978-0-8176-3339-4.
9. Дас, А. (1993) Специальная теория относительности, математическое изложение , Springer, ISBN 0-387-94042-1 . 
10. Шутц, Дж. (1997) Независимые аксиомы для пространства-времени Минковского, Addison Wesley Longman Limited, ISBN 0-582-31760-6 . 
11. Лоренц, HA (1902). «Вращение плоскости поляризации в движущихся средах» (PDF) . Институт Гюйгенса — Королевская Нидерландская академия искусств и наук (KNAW) . 4 : 669–678. Bibcode :1901KNAB....4..669L . Получено 15 ноября 2018 г. .
12. Lorentz, HA (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света» (PDF) . Институт Гюйгенса — Королевская Нидерландская академия искусств и наук (KNAW) . 6 : 809–831. Bibcode :1903KNAB....6..809L . Получено 15 ноября 2018 г. .
13. Лоренц, Хендрик (1895). «Исследование колебаний, возбуждаемых колеблющимися ионами». Попытка теории электрических и оптических явлений в движущихся телах (Versuch einer Theorie der electricschen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern). Лейден: Э. Дж. Брилл. (подраздел § 31).
14. Лин, Ши-Чун; Джиаллоренци, Томас Г. (1979). «Анализ чувствительности оптоволоконного кольцевого интерферометра на эффекте Саньяка». Прикладная оптика . 18 (6): 915–931. Bibcode : 1979ApOpt..18..915L. doi : 10.1364/AO.18.000915. PMID  20208844. S2CID  5343180.
15. Шоу, Р. (1962). «Парадокс сокращения длины». Американский журнал физики . 30 (1): 72. Bibcode : 1962AmJPh..30...72S. doi : 10.1119/1.1941907. S2CID  119855914.
16. GA Benford; DL Book & WA Newcomb (1970). «Тахионный антителефон». Physical Review D. 2 ( 2): 263–265. Bibcode : 1970PhRvD...2..263B. doi : 10.1103/PhysRevD.2.263. S2CID  121124132.
17. Зееман, Питер (1914). «Коэффициент Френеля для света разных цветов. (Первая часть)». Учеб. Кон. акад. Ван Ветен . 17 : 445–451. Бибкод : 1914KNAB...17..445Z.
18. Зееман, Питер (1915). «Коэффициент Френеля для света разных цветов. (Вторая часть)». Учеб. Кон. акад. Ван Ветен . 18 : 398–408. Бибкод : 1915KNAB...18..398Z.
19. Террелл, Джеймс (15 ноября 1959 г.). «Невидимость сокращения Лоренца». Physical Review . 116 (4): 1041–1045. Bibcode : 1959PhRv..116.1041T. doi : 10.1103/PhysRev.116.1041.
20. Пенроуз, Роджер (24 октября 2008 г.). «Видимая форма релятивистски движущейся сферы». Математические труды Кембриджского философского общества . 55 (1): 137–139. Bibcode : 1959PCPS...55..137P. doi : 10.1017/S0305004100033776. S2CID  123023118.
21. Зависит ли инерция тела от его энергии? А. Эйнштейн, Annalen der Physik . 18 :639, 1905 (перевод на английский язык В. Перретта и Дж. Б. Джеффери)
22. Об инерции энергии, требуемой принципом относительности, А. Эйнштейн, Annalen der Physik 23 (1907): 371–384
23. Баглио, Жюльен (26 мая 2007 г.). «Ускорение в специальной теории относительности: что означает «равномерно ускоренное движение»?» (PDF) . Физический факультет, ENS Cachan . Получено 22 января 2016 г.
24. Champion, Frank Clive (1932). «О некоторых близких столкновениях быстрых β-частиц с электронами, сфотографированных методом расширения». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 136 (830). Издательство Королевского общества: 630–637. Bibcode : 1932RSPSA.136..630C. doi : 10.1098/rspa.1932.0108 . S2CID  123018629.
25. PAM Dirac (1930). "Теория электронов и протонов". Труды Королевского общества . A126 (801): 360–365. Bibcode :1930RSPSA.126..360D. doi : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR  95359.
26. CD Anderson (1933). "Положительный электрон". Phys. Rev. 43 ( 6): 491–494. Bibcode :1933PhRv...43..491A. doi : 10.1103/PhysRev.43.491 .

Ссылки

1. Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). "Электродинамика и теория относительности". Введение в электродинамику (4-е изд.). Пирсон. Глава 12. ISBN 978-0-321-85656-2.
2. Джексон, Джон Д. (1999). "Специальная теория относительности". Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons. Глава 11. ISBN 0-471-30932-X.
3. Голдстейн, Герберт (1980). "Глава 7: Специальная теория относительности в классической механике". Классическая механика (2-е изд.). Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-02918-9.
4. Lanczos, Cornelius (1970). "Глава IX: Релятивистская механика". Вариационные принципы механики (4-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-65067-8.
5. Том Робертс и Зигмар Шлейф (октябрь 2007 г.). «Какова экспериментальная основа специальной теории относительности?». Usenet Physics FAQ . Получено 17 сентября 2008 г.
6. Альберт Эйнштейн (2001). Относительность: специальная и общая теория (переиздание перевода 1920 года под редакцией Роберта У. Лоусона). Routledge. стр. 48. ISBN 978-0-415-25384-0.
7. Фейнмановские лекции по физике, том I, гл. 15–9: Эквивалентность массы и энергии
8. Шон Кэрролл, Конспект лекций по общей теории относительности, гл. 1, «Специальная теория относительности и плоское пространство-время», http://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll1.html
9. Кокс, Дон (2006). Исследования в области математической физики: концепции, лежащие в основе элегантного языка (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 234. ISBN 978-0-387-32793-8.Выдержка из страницы 234
10. Стин, Эндрю М. (2012). Относительность, сделанная относительно простой (иллюстрированное издание). OUP Oxford. стр. 226. ISBN 978-0-19-966286-9.Выдержка из страницы 226
11. Тейлор, Эдвин Ф.; Уилер, Джон Арчибальд (1992). Физика пространства-времени (2-е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-2327-1.
12. Риндлер, Вольфганг (1977). Essential Relativity: Special, General, and Cosmological (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. §1,11 стр. 7. ISBN 978-3-540-07970-5.
13. "Джеймс Клерк Максвелл: сила для физики". Physics World . 2006-12-01 . Получено 2024-03-22 .
14. "Ноябрь 1887 г.: Майкельсон и Морли сообщают о своей неудаче в обнаружении светоносного эфира". www.aps.org . Получено 22.03.2024 .
15. Майкл Полани (1974) Личное знание: к посткритической философии , ISBN 0-226-67288-3 , сноска на стр. 10–11: Эйнштейн сообщает через доктора Н. Бальзаса в ответ на запрос Полани, что «эксперимент Майкельсона–Морли не сыграл никакой роли в обосновании теории». и «... теория относительности вообще не была основана для объяснения ее результатов». [1] 
16. Jeroen van Dongen (2009). «О роли эксперимента Майкельсона–Морли: Эйнштейн в Чикаго». Архив истории точных наук . 63 (6): 655–663. arXiv : 0908.1545 . Bibcode :2009arXiv0908.1545V. doi :10.1007/s00407-009-0050-5. S2CID  119220040.
17. Обзор таких выводов см. в книге Лукаса и Ходжсона «Пространство-время и электромагнетизм», 1990 г.
18. Эйнштейн, А., Лоренц, Х. А., Минковский, Х. и Вейль, Х. (1952). Принцип относительности: сборник оригинальных мемуаров по специальной и общей теории относительности. Courier Dover Publications. стр. 111. ISBN 978-0-486-60081-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
19. Коллиер, Питер (2017). Самое непостижимое: заметки к очень деликатному введению в математику относительности (3-е изд.). Непостижимые книги. ISBN 9780957389465.
20. Стейли, Ричард (2009), "Альберт Майкельсон, скорость света и эфирный дрейф", поколение Эйнштейна. Истоки революции в теории относительности , Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-77057-5 
21. Дэвид Морин (2007) Введение в классическую механику , Cambridge University Press, Кембридж, глава 11, Приложение I, ISBN 1-139-46837-5 . 
22. Миллер, DJ (2010). «Конструктивный подход к специальной теории относительности». American Journal of Physics . 78 (6): 633–638. arXiv : 0907.0902 . Bibcode : 2010AmJPh..78..633M. doi : 10.1119/1.3298908. S2CID  20444859.
23. Каллахан, Джеймс Дж. (2011). Геометрия пространства-времени: Введение в специальную и общую теорию относительности . Нью-Йорк: Springer. ISBN 9781441931429.
24. PG Bergmann (1976) Введение в теорию относительности , издание Dover, глава IV, стр. 36 ISBN 0-486-63282-2 . 
25. Мермин, Н. Дэвид (1968). Пространство и время в специальной теории относительности . McGraw-Hill. ISBN 978-0881334203.
26. Роберт Резник (1968). Введение в специальную теорию относительности. Wiley. С. 62–63. ISBN 9780471717249.
27. Miller, Arthur I. (1998). Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна: возникновение (1905) и ранняя интерпретация (1905–1911) . Mew York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94870-6.
28. Бернстайн, Джереми (2006). Секреты Древнего: Эйнштейн, 1905. Copernicus Books (отпечаток Springer Science + Business Media). ISBN 978-0387-26005-1.
29. Darrigol, Olivier (2005). «Генезис теории относительности» (PDF) . Séminaire Poincaré . 1 : 1–22. Bibcode :2006eins.book....1D . Получено 15 ноября 2018 г. .
30. Риндлер, Вольфганг (1977). Essential Relativity (2nd ed.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-10090-6.
31. Тейлор, Эдвин Ф.; Уилер, Джон Арчибальд (1966). Физика пространства-времени (1-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman and Company.
32. Эшби, Нил (2003). «Относительность в системе глобального позиционирования». Living Reviews in Relativity . 6 (1): 1. Bibcode : 2003LRR .....6....1A. doi : 10.12942/lrr-2003-1 . PMC 5253894. PMID  28163638. 
33. Дэниел Клеппнер и Дэвид Коленков (1973). Введение в механику. McGraw-Hill. С. 468–70. ISBN 978-0-07-035048-9.
34. French, AP (1968). Специальная теория относительности . Нью-Йорк: WW Norton & Company. ISBN 0-393-09793-5.
35. Льюис, Гилберт Ньютон; Толмен, Ричард Чейз (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика». Труды Американской академии искусств и наук . 44 (25): 709–726. doi :10.2307/20022495. JSTOR  20022495. Получено 22 августа 2023 г.
36. Cuvaj, Camillo (1971). «Поль Лангеин и теория относительности» (PDF) . Японские исследования в истории науки . 10 : 113–142 . Получено 12 июня 2023 г.
37. Cassidy, David C.; Holton, Gerald James; Rutherford, Floyd James (2002). Understanding Physics. Springer-Verlag. p. 422. ISBN 978-0-387-98756-9.
38. Cutner, Mark Leslie (2003). Astronomy, A Physical Perspective. Cambridge University Press. p. 128. ISBN 978-0-521-82196-4.
39. Ellis, George F. R.; Williams, Ruth M. (2000). Flat and Curved Space-times (2n ed.). Oxford University Press. pp. 28–29. ISBN 978-0-19-850657-7.
40. Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2011). The feynman lectures on physics; vol I: The new millennium edition. Basic Books. p. 15-5. ISBN 978-0-465-02414-8. Retrieved 12 June 2023.
41. Halliday, David; Resnick, Robert (1988). Fundamental Physics: Extended Third Edition. New York: John Wiley & sons. pp. 958–959. ISBN 0-471-81995-6.
42. Adams, Steve (1997). Relativity: An introduction to space-time physics. CRC Press. p. 54. ISBN 978-0-7484-0621-0.
43. Langevin, Paul (1911). "L'Évolution de l'espace et du temps". Scientia. 10: 31–54. Retrieved 20 June 2023.
44. Debs, Talal A.; Redhead, Michael L.G. (1996). "The twin "paradox" and the conventionality of simultaneity". American Journal of Physics. 64 (4): 384–392. Bibcode:1996AmJPh..64..384D. doi:10.1119/1.18252.
45. Tolman, Richard C. (1917). The Theory of the Relativity of Motion. Berkeley: University of California Press. p. 54.
46. Takeuchi, Tatsu. "Special Relativity Lecture Notes – Section 10". Virginia Tech. Retrieved 31 October 2018.
47. Morin, David (2017). Special Relativity for the Enthusiastic Beginner. CreateSpace Independent Publishing Platform. pp. 90–92. ISBN 9781542323512.
48. Gibbs, Philip. "Is Faster-Than-Light Travel or Communication Possible?". Physics FAQ. Department of Mathematics, University of California, Riverside. Retrieved 31 October 2018.
49. Ginsburg, David (1989). Applications of Electrodynamics in Theoretical Physics and Astrophysics (illustrated ed.). CRC Press. p. 206. Bibcode:1989aetp.book.....G. ISBN 978-2-88124-719-4. Extract of page 206
50. Wesley C. Salmon (2006). Four Decades of Scientific Explanation. University of Pittsburgh. p. 107. ISBN 978-0-8229-5926-7., Section 3.7 page 107
51. Lauginie, P. (2004). "Measuring Speed of Light: Why? Speed of what?" (PDF). Proceedings of the Fifth International Conference for History of Science in Science Education. Archived from the original (PDF) on 4 July 2015. Retrieved 3 July 2015.
52. Stachel, J. (2005). "Fresnel's (dragging) coefficient as a challenge to 19th century optics of moving bodies". In Kox, A.J.; Eisenstaedt, J (eds.). The universe of general relativity. Boston: Birkhäuser. pp. 1–13. ISBN 978-0-8176-4380-5. Retrieved 17 April 2012.
53. Richard A. Mould (2001). Basic Relativity (2nd ed.). Springer. p. 8. ISBN 978-0-387-95210-9.
54. Seidelmann, P. Kenneth, ed. (1992). Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. ill Valley, Calif.: University Science Books. p. 393. ISBN 978-0-935702-68-2.
55. Ferraro, Rafael; Sforza, Daniel M. (2005). "European Physical Society logo Arago (1810): the first experimental result against the ether". European Journal of Physics. 26 (1): 195–204. arXiv:physics/0412055. Bibcode:2005EJPh...26..195F. doi:10.1088/0143-0807/26/1/020. S2CID 119528074.
56. Dolan, Graham. "Airy's Water Telescope (1870)". The Royal Observatory Greenwich. Retrieved 20 November 2018.
57. Hollis, H. P. (1937). "Airy's water telescope". The Observatory. 60: 103–107. Bibcode:1937Obs....60..103H. Retrieved 20 November 2018.
58. Janssen, Michel; Stachel, John (2004). "The Optics and Electrodynamics of Moving Bodies" (PDF). In Stachel, John (ed.). Going Critical. Springer. ISBN 978-1-4020-1308-9.
59. Sher, D. (1968). "The Relativistic Doppler Effect". Journal of the Royal Astronomical Society of Canada. 62: 105–111. Bibcode:1968JRASC..62..105S. Retrieved 11 October 2018.
60. Gill, T. P. (1965). The Doppler Effect. London: Logos Press Limited. pp. 6–9. OL 5947329M.
61. Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (February 1977). "Relativistic Effects in Radiation". The Feynman Lectures on Physics: Volume 1. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. pp. 34–7 f. ISBN 9780201021165. LCCN 2010938208.
62. Cook, Helen. "Relativistic Distortion". Mathematics Department, University of British Columbia. Retrieved 12 April 2017.
63. Signell, Peter. "Appearances at Relativistic Speeds" (PDF). Project PHYSNET. Michigan State University, East Lansing, MI. Archived from the original (PDF) on 13 April 2017. Retrieved 12 April 2017.
64. Kraus, Ute. "The Ball is Round". Space Time Travel: Relativity visualized. Institut für Physik Universität Hildesheim. Archived from the original on 12 May 2017. Retrieved 16 April 2017.
65. Boas, Mary L. (1961). "Apparent Shape of Large Objects at Relativistic Speeds". American Journal of Physics. 29 (5): 283. Bibcode:1961AmJPh..29..283B. doi:10.1119/1.1937751.
66. Müller, Thomas; Boblest, Sebastian (2014). "Visual appearance of wireframe objects in special relativity". European Journal of Physics. 35 (6): 065025. arXiv:1410.4583. Bibcode:2014EJPh...35f5025M. doi:10.1088/0143-0807/35/6/065025. S2CID 118498333.
67. Zensus, J. Anton; Pearson, Timothy J. (1987). Superluminal Radio Sources (1st ed.). Cambridge, New York: Cambridge University Press. p. 3. ISBN 9780521345606.
68. Chase, Scott I. "Apparent Superluminal Velocity of Galaxies". The Original Usenet Physics FAQ. Department of Mathematics, University of California, Riverside. Retrieved 12 April 2017.
69. Richmond, Michael. ""Superluminal" motions in astronomical sources". Physics 200 Lecture Notes. School of Physics and Astronomy, Rochester Institute of Technology. Archived from the original on 16 February 2017. Retrieved 20 April 2017.
70. Keel, Bill. "Jets, Superluminal Motion, and Gamma-Ray Bursts". Galaxies and the Universe - WWW Course Notes. Department of Physics and Astronomy, University of Alabama. Archived from the original on 1 March 2017. Retrieved 29 April 2017.
71. Max Jammer (1997). Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. Courier Dover Publications. pp. 177–178. ISBN 978-0-486-29998-3.
72. John J. Stachel (2002). Einstein from B to Z. Springer. p. 221. ISBN 978-0-8176-4143-6.
73. Fernflores, Francisco (2018). Einstein's Mass-Energy Equation, Volume I: Early History and Philosophical Foundations. New York: Momentum Pres. ISBN 978-1-60650-857-2.
74. Philip Gibbs & Don Koks. "The Relativistic Rocket". Retrieved 30 August 2012.
75. The special theory of relativity shows that time and space are affected by motion Archived 2012-10-21 at the Wayback Machine. Library.thinkquest.org. Retrieved on 2013-04-24.
76. Idema, Timon (17 April 2019). "Mechanics and Relativity. Chapter 14: Relativistic Collisions". LibreTexts Physics. California State University Affordable Learning Solutions Program. Retrieved 2 January 2023.
77. Nakel, Werner (1994). "The elementary process of bremsstrahlung". Physics Reports. 243 (6): 317–353. Bibcode:1994PhR...243..317N. doi:10.1016/0370-1573(94)00068-9.
78. Halbert, M.L. (1972). "Review of Experiments on Nucleon-Nucleon Bremsstrahlung". In Austin, S.M.; Crawley, G.M. (eds.). The Two-Body Force in Nuclei. Boston, MA.: Springer.
79. Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel; Giordano, Frank R. (2008). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (Eleventh ed.). Boston: Pearson Education, Inc. p. 533. ISBN 978-0-321-49575-4.
80. E. J. Post (1962). Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-65427-0.
81. Schutz, Bernard F. (1985). A first course in general relativity. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 26. ISBN 0521277035.
82. Gibbs, Philip. "Can Special Relativity Handle Acceleration?". The Physics and Relativity FAQ. math.ucr.edu. Archived from the original on 7 June 2017. Retrieved 28 May 2017.
83. Franklin, Jerrold (2010). "Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity". European Journal of Physics. 31 (2): 291–298. arXiv:0906.1919. Bibcode:2010EJPh...31..291F. doi:10.1088/0143-0807/31/2/006. S2CID 18059490.
84. Bais, Sander (2007). Very Special Relativity: An Illustrated Guide. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-02611-7.
85. R. Resnick; R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 114–116. ISBN 978-0-471-87373-0.
86. Øyvind Grøn & Sigbjørn Hervik (2007). Einstein's general theory of relativity: with modern applications in cosmology. Springer. p. 195. ISBN 978-0-387-69199-2. Extract of page 195 (with units where c = 1)
87. The number of works is vast, see as example:
    Sidney Coleman; Sheldon L. Glashow (1997). "Cosmic Ray and Neutrino Tests of Special Relativity". Physics Letters B. 405 (3–4): 249–252. arXiv:hep-ph/9703240. Bibcode:1997PhLB..405..249C. doi:10.1016/S0370-2693(97)00638-2. S2CID 17286330.
    An overview can be found on this page
88. Roberts, Tom; Schleif, Siegmar. "Experiments that Apparently are NOT Consistent with SR/GR". What is the experimental basis of Special Relativity?. University of California at Riverside. Retrieved 10 July 2024.
89. John D. Norton, John D. (2004). "Einstein's Investigations of Galilean Covariant Electrodynamics prior to 1905". Archive for History of Exact Sciences. 59 (1): 45–105. Bibcode:2004AHES...59...45N. doi:10.1007/s00407-004-0085-6. S2CID 17459755.
90. J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 978-0-7167-0344-0.
91. J.R. Forshaw; A.G. Smith (2009). Dynamics and Relativity. Wiley. p. 247. ISBN 978-0-470-01460-8.
92. R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
93. Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, Quantum Field Theory, pg 5, ISBN 0-07-032071-3
94. Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler, Gravitation, pg 51, ISBN 0-7167-0344-0
95. George Sterman, An Introduction to Quantum Field Theory, pg 4, ISBN 0-521-31132-2
96. Sean M. Carroll (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley. p. 22. ISBN 978-0-8053-8732-2.

Further reading

Texts by Einstein and text about history of special relativity

• Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory.
• Einstein, Albert (1996). The Meaning of Relativity. Fine Communications. ISBN 1-56731-136-9
• Logunov, Anatoly A. (2005). Henri Poincaré and the Relativity Theory (transl. from Russian by G. Pontocorvo and V. O. Soloviev, edited by V. A. Petrov). Nauka, Moscow.

Textbooks

• Charles Misner, Kip Thorne, and John Archibald Wheeler (1971) Gravitation. W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0334-3
• Post, E.J., 1997 (1962) Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications.
• Wolfgang Rindler (1991). Introduction to Special Relativity (2nd ed.), Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0; ISBN 0-19-853952-5
• Harvey R. Brown (2005). Physical relativity: space–time structure from a dynamical perspective, Oxford University Press, ISBN 0-19-927583-1; ISBN 978-0-19-927583-0
• Qadir, Asghar (1989). Relativity: An Introduction to the Special Theory. Singapore: World Scientific Publications. p. 128. Bibcode:1989rist.book.....Q. ISBN 978-9971-5-0612-4.
• French, A. P. (1968). Special Relativity (M.I.T. Introductory Physics) (1st ed.). W. W. Norton & Company. ISBN 978-0393097931.
• Silberstein, Ludwik (1914). The Theory of Relativity.
• Lawrence Sklar (1977). Space, Time and Spacetime. University of California Press. ISBN 978-0-520-03174-6.
• Lawrence Sklar (1992). Philosophy of Physics. Westview Press. ISBN 978-0-8133-0625-4.
• Sergey Stepanov (2018). Relativistic World. De Gruyter. ISBN 9783110515879.
• Taylor, Edwin, and John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics (2nd ed.). W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-2327-1.
• Tipler, Paul, and Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-4345-0.

Journal articles

• Alvager, T.; Farley, F. J. M.; Kjellman, J.; Wallin, L.; et al. (1964). "Test of the Second Postulate of Special Relativity in the GeV region". Physics Letters. 12 (3): 260–262. Bibcode:1964PhL....12..260A. doi:10.1016/0031-9163(64)91095-9.
• Darrigol, Olivier (2004). "The Mystery of the Poincaré–Einstein Connection". Isis. 95 (4): 614–26. doi:10.1086/430652. PMID 16011297. S2CID 26997100.
• Wolf, Peter; Petit, Gerard (1997). "Satellite test of Special Relativity using the Global Positioning System". Physical Review A. 56 (6): 4405–09. Bibcode:1997PhRvA..56.4405W. doi:10.1103/PhysRevA.56.4405.
• Special Relativity Scholarpedia
• Rindler, Wolfgang (2011). "Special relativity: Kinematics". Scholarpedia. 6 (2): 8520. Bibcode:2011SchpJ...6.8520R. doi:10.4249/scholarpedia.8520.

External links

Original works

• Zur Elektrodynamik bewegter Körper Einstein's original work in German, Annalen der Physik, Bern 1905
• On the Electrodynamics of Moving Bodies English Translation as published in the 1923 book The Principle of Relativity.

Special relativity for a general audience (no mathematical knowledge required)

• Einstein Light An award-winning, non-technical introduction (film clips and demonstrations) supported by dozens of pages of further explanations and animations, at levels with or without mathematics.
• Einstein Online Archived 2010-02-01 at the Wayback Machine Introduction to relativity theory, from the Max Planck Institute for Gravitational Physics.
• Audio: Cain/Gay (2006) – Astronomy Cast. Einstein's Theory of Special Relativity

Special relativity explained (using simple or more advanced mathematics)

• Bondi K-Calculus – A simple introduction to the special theory of relativity.
• Greg Egan's Foundations Archived 2013-04-25 at the Wayback Machine.
• The Hogg Notes on Special Relativity A good introduction to special relativity at the undergraduate level, using calculus.
• Relativity Calculator: Special Relativity Archived 2013-03-21 at the Wayback Machine – An algebraic and integral calculus derivation for E = mc².
• MathPages – Reflections on Relativity A complete online book on relativity with an extensive bibliography.
• Special Relativity An introduction to special relativity at the undergraduate level.
• Relativity: the Special and General Theory at Project Gutenberg, by Albert Einstein
• Special Relativity Lecture Notes is a standard introduction to special relativity containing illustrative explanations based on drawings and spacetime diagrams from Virginia Polytechnic Institute and State University.
• Understanding Special Relativity The theory of special relativity in an easily understandable way.
• An Introduction to the Special Theory of Relativity (1964) by Robert Katz, "an introduction ... that is accessible to any student who has had an introduction to general physics and some slight acquaintance with the calculus" (130 pp; pdf format).
• Lecture Notes on Special Relativity by J D Cresser Department of Physics Macquarie University.
• SpecialRelativity.net – An overview with visualizations and minimal mathematics.
• Relativity 4-ever? The problem of superluminal motion is discussed in an entertaining manner.

Visualization

• Raytracing Special Relativity Software visualizing several scenarios under the influence of special relativity.
• Real Time Relativity Archived 2013-05-08 at the Wayback Machine The Australian National University. Relativistic visual effects experienced through an interactive program.
• Spacetime travel A variety of visualizations of relativistic effects, from relativistic motion to black holes.
• Through Einstein's Eyes Archived 2013-05-14 at the Wayback Machine The Australian National University. Relativistic visual effects explained with movies and images.
• Warp Special Relativity Simulator A computer program to show the effects of traveling close to the speed of light.
• Animation clip on YouTube visualizing the Lorentz transformation.
• Original interactive FLASH Animations from John de Pillis illustrating Lorentz and Galilean frames, Train and Tunnel Paradox, the Twin Paradox, Wave Propagation, Clock Synchronization, etc.
• lightspeed An OpenGL-based program developed to illustrate the effects of special relativity on the appearance of moving objects.
• Animation showing the stars near Earth, as seen from a spacecraft accelerating rapidly to light speed.