Реакционно-диффузионная система

Тип математической модели

Моделирование двух виртуальных химических веществ, реагирующих и диффундирующих на Торе, с использованием модели Грея – Скотта.

Реакционно-диффузионные системы представляют собой математические модели, соответствующие нескольким физическим явлениям. Наиболее распространенным является изменение в пространстве и времени концентрации одного или нескольких химических веществ: локальные химические реакции , при которых вещества превращаются друг в друга, и диффузия , вызывающая распространение веществ по поверхности в пространстве.

Реакционно-диффузионные системы естественным образом применяются в химии . Однако система может описывать и динамические процессы нехимической природы. Примеры можно найти в биологии , геологии и физике (теория диффузии нейтронов) и экологии . Математически системы реакция-диффузия принимают форму полулинейных параболических уравнений в частных производных . Их можно представить в общем виде

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\underline {\boldsymbol {D}}}}\,\nabla ^{2}{\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),}$

где q ( x , t ) представляет собой неизвестную векторную функцию, D - диагональная матрица коэффициентов диффузии , а R учитывает все локальные реакции. Решения уравнений реакции-диффузии демонстрируют широкий спектр поведения, включая образование бегущих волн и волнообразных явлений, а также других самоорганизующихся структур, таких как полосы, шестиугольники или более сложные структуры, такие как диссипативные солитоны . Такие закономерности получили название « паттерны Тьюринга ». ^[1] Каждая функция, для которой выполняется дифференциальное уравнение реакции-диффузии, фактически представляет собой переменную концентрации .

Уравнения однокомпонентной реакции-диффузии.

Простейшее уравнение реакции-диффузии находится в одном пространственном измерении в плоской геометрии:

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

также называется уравнением Колмогорова–Петровского–Пискунова . ^[2] Если член реакции обращается в нуль, то уравнение представляет собой чистый диффузионный процесс. Соответствующее уравнение представляет собой второй закон Фика . Выбор R ( u ) = u (1 − u ) дает уравнение Фишера , которое первоначально использовалось для описания распространения биологических популяций , ^[3] уравнение Ньюэлла-Уайтхеда-Сигеля с R ( u ) = u (1 − u ² ) для описания конвекции Рэлея–Бенара , ^{[4] [5]} более общее уравнение Зельдовича–Франка-Каменецкого с R ( u ) = u (1 − u )e ^{- β (1- u )} и 0 < β < ∞ ( число Зельдовича ), возникающее в теории горения , ^[6] и его частный вырожденный случай с R ( u ) = u ² − u ³ , который иногда также называют уравнением Зельдовича. ^[7]

Динамика однокомпонентных систем подвержена определенным ограничениям, поскольку уравнение эволюции можно записать и в вариационной форме

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

и, следовательно, описывает постоянное уменьшение «свободной энергии», определяемой функционалом ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

с потенциалом V ( u ) таким, что R ( u ) =d V ( ты )/ты _.

Решение фронта бегущей волны для уравнения Фишера.

В системах с более чем одним стационарным однородным решением типичным решением являются бегущие фронты, соединяющие однородные состояния. Эти решения движутся с постоянной скоростью, не меняя своей формы, и имеют вид u ( x , t ) = û ( ξ ) с ξ = x − ct , где c — скорость бегущей волны. Обратите внимание, что хотя бегущие волны в целом являются устойчивыми структурами, все немонотонные стационарные решения (например, локализованные области, состоящие из пары фронт-антифронт) неустойчивы. Для c = 0 существует простое доказательство этого утверждения: ^[8] если u ₀ ( x ) является стационарным решением и u = u ₀ ( x ) + ũ ( x , t ) является бесконечно мало возмущенным решением, то линейная устойчивость анализ дает уравнение

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

Используя анзац ũ = ψ ( x )exp(− λt ), мы приходим к проблеме собственных значений

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

типа Шредингера , где отрицательные собственные значения приводят к неустойчивости решения. Благодаря трансляционной инвариантности ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) является нейтральной собственной функцией с собственным значением λ = 0 , а все остальные собственные функции могут быть отсортированы по возрастающему числу узлов, при этом величина соответствующего действительного собственного значения монотонно увеличивается с ростом числа узлов. количество нулей. Собственная функция ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) должна иметь хотя бы один нуль, а для немонотонного стационарного решения соответствующее собственное значение λ = 0 не может быть наименьшим, что означает неустойчивость.

Чтобы определить скорость c движущегося фронта, можно перейти к движущейся системе координат и посмотреть на стационарные решения:

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

Это уравнение имеет хороший механический аналог — движение массы D с положением û в течение «времени» ξ под действием силы R с коэффициентом затухания с, что позволяет весьма наглядно получить доступ к построению различных типов решений. и определение c .

При переходе от одного к нескольким измерениям пространства по-прежнему можно применять ряд утверждений одномерных систем. Плоские или изогнутые волновые фронты являются типичными структурами, и новый эффект возникает, когда локальная скорость искривленного фронта становится зависимой от локального радиуса кривизны (это можно увидеть, перейдя к полярным координатам ). Это явление приводит к так называемой неустойчивости, вызванной кривизной. ^[9]

Двухкомпонентные уравнения реакции-диффузии.

Двухкомпонентные системы допускают гораздо больший диапазон возможных явлений, чем их однокомпонентные аналоги. Важная идея, впервые предложенная Аланом Тьюрингом, заключается в том, что состояние, устойчивое в локальной системе, может стать нестабильным в присутствии диффузии . ^[10]

Однако анализ линейной устойчивости показывает, что при линеаризации общей двухкомпонентной системы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

плосковолновое возмущение _

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}$

стационарного однородного раствора будет удовлетворять

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}.}$

Идея Тьюринга может быть реализована только в четырех классах эквивалентности систем, характеризующихся знаками якобиана R ' функции реакции. В частности, если конечный волновой вектор k предполагается наиболее неустойчивым, то якобиан должен иметь знаки

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

Этот класс систем назван системой активатор-ингибитор по имени своего первого представителя: вблизи основного состояния один компонент стимулирует продукцию обоих компонентов, а другой тормозит их рост. Его наиболее ярким представителем является уравнение ФитцХью – Нагумо.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

с f  ( u ) = λu − u ³ − κ , который описывает, как потенциал действия проходит через нерв. ^{[11] [12]} Здесь d _u , d _v , τ , σ и λ — положительные константы. 

При изменении параметров системы активатор-ингибитор можно перейти от условий, при которых однородное основное состояние устойчиво, к условиям, при которых оно линейно неустойчиво. Соответствующая бифуркация может быть либо бифуркацией Хопфа к глобально осциллирующему однородному состоянию с доминирующим волновым числом k = 0 , либо бифуркацией Тьюринга к состоянию с глобальным шаблоном и доминирующим конечным волновым числом. Последнее в двух пространственных измерениях обычно приводит к полосам или шестиугольным узорам.

• Докритическая бифуркация Тьюринга: образование гексагональной структуры из зашумленных начальных условий в описанной выше двухкомпонентной реакционно-диффузионной системе типа Фитцхью – Нагумо.
• Шумные начальные условия при t  = 0.
• Состояние системы в момент t  = 10.
• Почти сходящееся состояние при t  = 100.

Для примера Фицхью – Нагумо нейтральные кривые устойчивости, обозначающие границу линейно устойчивой области для бифуркации Тьюринга и Хопфа, имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

Если бифуркация докритическая, то часто локализованные структуры ( диссипативные солитоны ) можно наблюдать в гистерезисной области, где паттерн сосуществует с основным состоянием. Другие часто встречающиеся структуры включают последовательности импульсов (также известные как периодические бегущие волны ), спиральные волны и целевые структуры. Эти три типа решений также являются общими чертами двух- (или более) компонентных уравнений реакции-диффузии, в которых локальная динамика имеет устойчивый предельный цикл ^[13]

• Другие закономерности обнаружены в описанной выше двухкомпонентной реакционно-диффузионной системе типа Фитцхью – Нагумо.
• Вращающаяся спираль.
• Целевой шаблон.
• Стационарный локализованный импульс (диссипативный солитон).

Трех- и более компонентные уравнения реакции-диффузии.

Для различных систем были предложены уравнения реакции-диффузии с более чем двумя компонентами, например, реакция Белоусова-Жаботинского , ^[14] для свертывания крови , ^[15] волны деления ^[16] или плоские газоразрядные системы. ^[17]

Известно, что системы с большим количеством компонентов допускают множество явлений, невозможных в системах с одним или двумя компонентами (например, стабильные текущие импульсы в более чем одном пространственном измерении без глобальной обратной связи). ^[18] Введение и систематический обзор возможных явлений в зависимости от свойств базовой системы даны в ^{[19] .}

Приложения и универсальность

В последнее время системы реакции-диффузии вызвали большой интерес как прототип модели формирования структур . ^[20] Вышеупомянутые структуры (фронты, спирали, мишени, шестиугольники, полосы и диссипативные солитоны) можно обнаружить в различных типах реакционно-диффузионных систем, несмотря на большие различия, например, в терминах локальной реакции. Также утверждалось, что реакционно-диффузионные процессы являются важной основой процессов, связанных с морфогенезом в биологии ^{[21] [22]} и могут даже быть связаны с шерстью животных и пигментацией кожи. ^{[23] [24]} Другие применения уравнений реакции-диффузии включают экологические инвазии, ^[25] распространение эпидемий, ^[26] рост опухолей, ^{[27] [28] [ 29]} динамику волн деления, ^[30] заживление ран ^{[ 31]} и зрительные галлюцинации. ^[32] Другая причина интереса к системам реакция-диффузия заключается в том, что, хотя они представляют собой нелинейные уравнения в частных производных, часто существуют возможности для аналитического рассмотрения. ^{[8] [9] [33] [34] [35] [20]}

Эксперименты

Хорошо управляемые эксперименты в системах химической реакции-диффузии до сих пор реализовывались тремя способами. Во-первых, можно использовать гелевые реакторы ^[36] или заполненные капилляры ^{[37] .} Во-вторых, были исследованы температурные импульсы на каталитических поверхностях . ^{[38] [39]} В-третьих, распространение бегущих нервных импульсов моделируется с использованием реакционно-диффузионных систем. ^{[11] [40]}

Помимо этих общих примеров, оказалось, что при соответствующих обстоятельствах электротранспортные системы, такие как плазма ^[41] или полупроводники ^[42], могут быть описаны в рамках реакционно-диффузионного подхода. Для этих систем были проведены различные эксперименты по формированию паттернов.

Численные методы лечения

Решить систему реакция-диффузия можно методами численной математики . В исследовательской литературе существует несколько численных методов лечения. ^{[43] [20] [44]} Также для сложных геометрий предлагаются методы численного решения. ^{[45] [46]} С высочайшей степенью детализации реакционно-диффузионные системы описываются с помощью инструментов моделирования на основе частиц, таких как SRSim или ReaDDy ^[47] , которые используют, например, обратимую динамику реакций взаимодействующих частиц. ^[48]

Смотрите также

• Автозавивка
• Реакция, контролируемая диффузией
• Химическая кинетика
• Метод фазового пространства
• Автокаталитические реакции и создание порядка
• Формирование узора
• Узоры в природе
• Периодическая бегущая волна
• Стохастическая геометрия
• Маклон
• Химические основы морфогенеза
• Шаблон Тьюринга
• Многосостояние моделирования биомолекул

Примеры

• Уравнение Фишера
• Уравнение Зельдовича–Франка-Каменецкого
• Модель ФитцХью – Нагумо
• Краска от морщин

Рекомендации

1. Вули, Т.Э., Бейкер, Р.Э. , Майни, П.К. , Глава 34, Теория морфогенеза Тьюринга . В Коупленде, Б. Джек ; Боуэн, Джонатан П .; Уилсон, Робин ; Спревак, Марк (2017). Руководство Тьюринга . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0198747826.
2. Колмогоров А., Петровский И. и Пискунов Н. (1937) Исследование уравнения диффузии, связанного с ростом качества материи, и его применение к биологической проблеме. Вестник Московского математического университета, 1, 1-26.
3. Р. А. Фишер, Энн. Евг. 7 (1937): 355
4. Ньюэлл, Алан С.; Уайтхед, Дж. А. (3 сентября 1969 г.). «Конечная полоса пропускания, конвекция с конечной амплитудой». Журнал механики жидкости . Издательство Кембриджского университета (CUP). 38 (2): 279–303. Бибкод : 1969JFM....38..279N. дои : 10.1017/s0022112069000176. ISSN  0022-1120. S2CID  73620481.
5. Сигел, Ли А. (14 августа 1969 г.). «Дальние боковые стенки вызывают медленную амплитудную модуляцию клеточной конвекции». Журнал механики жидкости . Издательство Кембриджского университета (CUP). 38 (1): 203–224. Бибкод : 1969JFM....38..203S. дои : 10.1017/s0022112069000127. ISSN  0022-1120. S2CID  122764449.
6. Ю. Б. Зельдович и Д. А. Франк-Каменецкий, Acta Physicochim. 9 (1938): 341
7. Б. Х. Гилдинг и Р. Керснер, Бегущие волны в нелинейной диффузионно-конвекционной реакции, Биркхойзер (2004).
8. PC Файф, Математические аспекты реагирующих и диффузионных систем, Springer (1979)
9. А. С. Михайлов, Основы синергетики I. Распределенные активные системы, Springer (1990).
10. Тьюринг, AM (14 августа 1952 г.). «Химические основы морфогенеза». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия Б, Биологические науки . Королевское общество. 237 (641): 37–72. Бибкод : 1952RSPTB.237...37T. дои : 10.1098/rstb.1952.0012 . ISSN  2054-0280.
11. ФитцХью, Ричард (1961). «Импульсы и физиологические состояния в теоретических моделях нервной мембраны». Биофизический журнал . Эльзевир Б.В. 1 (6): 445–466. Бибкод : 1961BpJ.....1..445F. дои : 10.1016/s0006-3495(61)86902-6 . ISSN  0006-3495. ПМЦ 1366333 . ПМИД  19431309. 
12. Дж. Нагумо и др., Proc. Инст. Радио Энгин. Электр. 50 (1962): 2061
13. Копелл, Н.; Ховард, Л.Н. (1973). «Решения плоских волн для уравнений реакции-диффузии». Исследования по прикладной математике . Уайли. 52 (4): 291–328. дои : 10.1002/sapm1973524291. ISSN  0022-2526.
14. Ванаг, Владимир К.; Эпштейн, Ирвинг Р. (24 марта 2004 г.). «Стационарные и колебательные локализованные закономерности и докритические бифуркации». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 92 (12): 128301. Бибкод : 2004PhRvL..92l8301V. doi : 10.1103/physrevlett.92.128301. ISSN  0031-9007. ПМИД  15089714.
15. Лобанова, Е.С.; Атауллаханов Ф.И. (26 августа 2004 г.). «Бегущие импульсы сложной формы в модели реакции-диффузии». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 93 (9): 098303. Бибкод : 2004PhRvL..93i8303L. doi : 10.1103/physrevlett.93.098303. ISSN  0031-9007. ПМИД  15447151.
16. Осборн, AG; Ректенвальд, Германия; Дейнерт, MR (июнь 2012 г.). «Распространение уединенной волны деления». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): 023148. Бибкод : 2012Хаос..22b3148O. дои : 10.1063/1.4729927. hdl : 2152/43281 . ISSN  1054-1500. ПМИД  22757555.
17. Х.-Г. Пурвинс и др. в: Диссипативные солитоны, Конспект лекций по физике, Под ред. Н. Ахмедиев и А. Анкевич, Springer (2005)
18. Шенк, КП; Ор-Гиль, М.; Боде, М.; Пурвинс, Х.-Г. (12 мая 1997 г.). «Взаимодействующие импульсы в трехкомпонентных реакционно-диффузионных системах в двумерных областях». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 78 (19): 3781–3784. Бибкод : 1997PhRvL..78.3781S. doi : 10.1103/physrevlett.78.3781. ISSN  0031-9007.
19. AW Liehr: Диссипативные солитоны в реакционно-диффузионных системах. Механизм, динамика, взаимодействие. Том 70 серии Springer по синергетике, Springer, Берлин, Гейдельберг, 2013, ISBN 978-3-642-31250-2 
20. Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Анализ линейной устойчивости моделей высокой и низкой размерности для описания формирования структуры, ограниченной смешиванием, в гомогенных автокаталитических реакторах». Химико-технологический журнал . 145 (3): 399–411. doi :10.1016/j.cej.2008.08.025. ISSN  1385-8947.
21. Л.Г. Харрисон, Кинетическая теория образа жизни, издательство Кембриджского университета (1993)
22. Дюран-Небреда, Сальва; Пла, Джорди; Видиелла, Блай; Пиньеро, Хорди; Конде-Пуэйо, Нурия; Соле, Рикар (15 января 2021 г.). «Синтетическое латеральное ингибирование периодического паттерна формирования микробных колоний». ACS Синтетическая биология . 10 (2): 277–285. doi : 10.1021/acsynbio.0c00318. ISSN  2161-5063. ПМЦ 8486170 . ПМИД  33449631. 
23. Х. Мейнхардт, Модели формирования биологических закономерностей, Academic Press (1982)
24. Мюррей, Джеймс Д. (9 марта 2013 г.). Математическая биология. Springer Science & Business Media. стр. 436–450. ISBN 978-3-662-08539-4.
25. Холмс, Э.Э.; Льюис, Массачусетс; Бэнкс, Дж. Э.; Вейт, Р.Р. (1994). «Уравнения с частными производными в экологии: пространственные взаимодействия и динамика численности населения». Экология . Уайли. 75 (1): 17–29. дои : 10.2307/1939378. ISSN  0012-9658. JSTOR  1939378. S2CID  85421773.
26. Мюррей, Джеймс Д.; Стэнли, Э.А.; Браун, Д.Л. (22 ноября 1986 г.). «О пространственном распространении бешенства среди лисиц». Труды Лондонского королевского общества. Серия Б. Биологические науки . Королевское общество. 229 (1255): 111–150. Бибкод : 1986РСПСБ.229..111М. дои :10.1098/rspb.1986.0078. ISSN  2053-9193. PMID  2880348. S2CID  129301761.
27. Капеллан, MAJ (1995). «Реакционно-диффузионный препаттерн и его потенциальная роль в инвазии опухоли». Журнал биологических систем . World Scientific Pub Co Pte Lt. 03 (4): 929–936. дои : 10.1142/s0218339095000824. ISSN  0218-3390.
28. Шерратт, Дж.А.; Новак, Массачусетс (22 июня 1992 г.). «Онкогены, антионкогены и иммунный ответ на рак: математическая модель». Труды Королевского общества B: Биологические науки . Королевское общество. 248 (1323): 261–271. дои :10.1098/rspb.1992.0071. ISSN  0962-8452. PMID  1354364. S2CID  11967813.
29. Р. А. Гатенби и Э. Т. Гавлински, Cancer Res. 56 (1996): 5745
30. Осборн, Эндрю Г.; Дейнерт, Марк Р. (октябрь 2021 г.). «Неустойчивость стабильности и бифуркация Хопфа в волнах деления». Отчеты о клетках Физические науки . 2 (10): 100588. Бибкод : 2021CRPS....200588O. дои : 10.1016/j.xcrp.2021.100588 . S2CID  240589650.
31. Шерратт, Дж.А.; Мюррей, доктор юридических наук (23 июля 1990 г.). «Модели заживления эпидермальных ран». Труды Королевского общества B: Биологические науки . Королевское общество. 241 (1300): 29–36. дои :10.1098/rspb.1990.0061. ISSN  0962-8452. PMID  1978332. S2CID  20717487.
32. https://www.quantamagazine.org/a-math-theory-for-why-people-hallucinate-20180730/
33. П. Гриндрод, Паттерны и волны: теория и применение уравнений реакции-диффузии, Clarendon Press (1991)
34. Дж. Смоллер, Ударные волны и уравнения реакции-диффузии, Springer (1994)
35. Б. С. Кернер, В. В. Осипов, Автосолитоны. Новый подход к проблемам самоорганизации и турбулентности, Kluwer Academic Publishers (1994).
36. Ли, Кён Джин; Маккормик, Уильям Д.; Пирсон, Джон Э.; Суинни, Гарри Л. (1994). «Экспериментальное наблюдение самовоспроизводящихся пятен в системе реакция-диффузия». Природа . Спрингер Природа. 369 (6477): 215–218. Бибкод : 1994Natur.369..215L. дои : 10.1038/369215a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4257570.
37. Хэмик, Чад Т; Стейнбок, Оливер (6 июня 2003 г.). «Волны возбуждения в реакционно-диффузионных средах с немонотонными дисперсионными соотношениями». Новый журнал физики . Издательство ИОП. 5 (1): 58. Бибкод : 2003NJPh....5...58H. дои : 10.1088/1367-2630/5/1/358 . ISSN  1367-2630.
38. Ротермунд, ХХ; Якубит, С.; фон Эрцен, А.; Эртль, Г. (10 июня 1991 г.). «Солитоны в поверхностной реакции». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 66 (23): 3083–3086. Бибкод : 1991PhRvL..66.3083R. doi : 10.1103/physrevlett.66.3083. ISSN  0031-9007. ПМИД  10043694.
39. Грэм, Майкл Д.; Лейн, Сэмюэл Л.; Лусс, Дэн (1993). «Динамика температурных импульсов на каталитическом кольце». Журнал физической химии . Американское химическое общество (ACS). 97 (29): 7564–7571. дои : 10.1021/j100131a028. ISSN  0022-3654.
40. Ходжкин, Алабама; Хаксли, AF (28 августа 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению нерва». Журнал физиологии . Уайли. 117 (4): 500–544. doi : 10.1113/jphysicalol.1952.sp004764 . ISSN  0022-3751. ПМК 1392413 . ПМИД  12991237. 
41. Боде, М.; Пурвинс, Х.-Г. (1995). «Формирование узоров в реакционно-диффузионных системах - диссипативные солитоны в физических системах». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 86 (1–2): 53–63. Бибкод : 1995PhyD...86...53B. дои : 10.1016/0167-2789(95)00087-к. ISSN  0167-2789.
42. Э. Шёлль, Нелинейная пространственно-временная динамика и хаос в полупроводниках, Cambridge University Press (2001)
43. S.Tang et al., J.Austral.Math.Soc. Сер.Б 35 (1993): 223–243.
44. Тим Хаттон, Роберт Мунафо, Эндрю Треворроу, Том Рокики, Дэн Уиллс. «Готово, кроссплатформенная реализация различных систем реакции-диффузии». https://github.com/GollyGang/ready
45. Исааксон, Сэмюэл А.; Пескин, Чарльз С. (2006). «Включение диффузии в сложной геометрии в моделирование стохастической химической кинетики». СИАМ J. Sci. Вычислить . 28 (1): 47–74. Бибкод : 2006ГАК...28...47И. CiteSeerX 10.1.1.105.2369 . дои : 10.1137/040605060. 
46. Линкер, Патрик (2016). «Численные методы решения уравнения реактивной диффузии в сложной геометрии». Веялка .
47. Инструменты моделирования динамики реакции-диффузии на основе частиц в непрерывном пространстве https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5
48. Фрёнер, Кристоф и Фрэнк Ноэ. «Динамика реакции обратимых взаимодействующих частиц». Журнал физической химии B 122.49 (2018): 11240-11250.

Внешние ссылки

• Реакция-диффузия по модели Грея-Скотта: параметризация Пирсона - визуальная карта пространства параметров реакционной диффузии Грея-Скотта.
• Диссертация по закономерностям реакции-диффузии с обзором области.
• RD Tool: интерактивное веб-приложение для моделирования реакции-диффузии.