Уравнение в частных производных

Тип дифференциального уравнения

Визуализация решения двумерного уравнения теплопроводности , где температура представлена ​​вертикальным направлением и цветом.

В математике уравнение в частных производных ( УЧП ) — это уравнение, которое вычисляет функцию между различными частными производными функции многих переменных .

Функцию часто считают «неизвестной», которую нужно решить, аналогично тому, как x считается неизвестным числом, которое нужно решить в алгебраическом уравнении, таком как x ² − 3 x + 2 = 0 . Однако записать явные формулы для решений уравнений в частных производных обычно невозможно. Соответственно, существует огромное количество современных математических и научных исследований методов численной аппроксимации решений некоторых уравнений в частных производных с использованием компьютеров. Уравнения в частных производных занимают также большой сектор чисто математических исследований , в которых обычные вопросы заключаются, вообще говоря, в выявлении общих качественных особенностей решений различных уравнений в частных производных, таких как существование, единственность, регулярность и устойчивость. ^[1] Среди многих открытых вопросов - существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса , названных одной из проблем Премии тысячелетия в 2000 году.

Уравнения с частными производными повсеместно распространены в математически ориентированных научных областях, таких как физика и техника . Например, они лежат в основе современного научного понимания звука , тепла , диффузии , электростатики , электродинамики , термодинамики , гидродинамики , упругости , общей теории относительности и квантовой механики ( уравнение Шредингера , уравнение Паули и т. д.). Они также возникают из многих чисто математических соображений, таких как дифференциальная геометрия и вариационное исчисление ; среди других заметных применений они являются основным инструментом доказательства гипотезы Пуанкаре на основе геометрической топологии .

Частично из-за такого разнообразия источников существует широкий спектр различных типов уравнений в частных производных, и были разработаны методы работы со многими из возникающих отдельных уравнений. По сути, обычно признается, что не существует «общей теории» уравнений в частных производных, а специальные знания в некоторой степени разделены между несколькими существенно различными подобластями. ^[2]

Обыкновенные дифференциальные уравнения образуют подкласс уравнений в частных производных, соответствующих функциям одной переменной. Стохастические уравнения в частных производных и нелокальные уравнения по состоянию на 2020 год являются особенно широко изученными расширениями понятия «PDE». Более классические темы, по которым все еще ведется много активных исследований, включают эллиптические и параболические уравнения в частных производных, механику жидкости , уравнения Больцмана и дисперсионные уравнения в частных производных. ^[3]

Введение

Функция u ( x , y , z ) трех переменных является « гармонической » или «решением уравнения Лапласа », если она удовлетворяет условию

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

классической механики

$${\displaystyle u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}}$$

$${\displaystyle u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$

$${\displaystyle u(x,y,z)=\sin(xy)+z}$$

необыкновенных дифференциальных уравненийпримерно аналогичных

Природу этой неудачи можно увидеть более конкретно в случае следующего УЧП: для функции v ( x , y ) двух переменных рассмотрим уравнение

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.}$$

vv ( x , y ) = f ( x ) + g ( y )fg

Характер этого выбора варьируется от PDE к PDE. Чтобы понять это для любого данного уравнения, важными организационными принципами обычно являются теоремы существования и единственности . Во многих вводных учебниках роль теорем существования и единственности ОДУ может быть несколько неясной; половина существования обычно не нужна, поскольку можно напрямую проверить любую предлагаемую формулу решения, в то время как половина уникальности часто присутствует только в фоновом режиме, чтобы гарантировать, что предлагаемая формула решения является максимально общей. Напротив, для PDE теоремы существования и единственности часто являются единственным средством, с помощью которого можно ориентироваться в множестве различных решений. По этой причине они также имеют основополагающее значение при проведении чисто численного моделирования, поскольку необходимо понимать, какие данные должен задать пользователь, а какие оставить для расчета компьютеру.

Чтобы обсудить такие теоремы существования и единственности, необходимо точно определить область определения «неизвестной функции». В противном случае, говоря только в терминах типа «функция двух переменных», невозможно осмысленно сформулировать результаты. То есть область определения неизвестной функции следует рассматривать как часть структуры самого УЧП.

Ниже приведены два классических примера таких теорем существования и единственности. Несмотря на то, что два рассматриваемых УЧП очень похожи, существует разительная разница в поведении: для первого УЧП имеется свободное предписание одной функции, тогда как для второго УЧП имеется свободное предписание двух функций.

• Пусть B обозначает диск единичного радиуса вокруг начала координат на плоскости. Для любой непрерывной функции U на единичной окружности существует ровно одна функция u на B такая, что
  $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$
  и ограничение которого на единичную окружность задается U .
• Для любых функций f и g на вещественной прямой R существует ровно одна функция u на R × (−1, 1) такая, что
  $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$
  и с u ( x , 0) = f ( x ) и∂ ты/∂ у( x , 0) = g ( x ) для всех значений x .

Возможны и другие явления. Например, следующее УЧП , естественным образом возникающее в области дифференциальной геометрии , иллюстрирует пример, где существует простая и вполне явная формула решения, но со свободным выбором только трёх чисел и даже не одной функции.

• Если u — функция на R ² с
  $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,}$$
  тогда есть числа a , b и c , где u ( x , y ) = ax + by + c .

В отличие от предыдущих примеров, это УЧП является нелинейным из-за квадратных корней и квадратов. Линейное УЧП — это такое уравнение, что, если оно однородно, сумма любых двух решений также является решением, и любое постоянное кратное любому решению также является решением .

Грамотность

Правильность относится к общему схематическому пакету информации о PDE. Чтобы сказать, что PDE корректен, необходимо иметь:

• теорема существования и единственности, утверждающая, что путем назначения некоторых свободно выбранных функций можно выделить одно конкретное решение УЧП
• постоянно меняя свободный выбор, человек постоянно меняет соответствующее решение

Из-за необходимости применимости к нескольким различным PDE это несколько расплывчато. Требование «непрерывности», в частности, неоднозначно, поскольку обычно существует множество неэквивалентных средств, с помощью которых его можно строго определить. Однако несколько необычно изучать УЧП без указания того, каким образом оно корректно.

Энергетический метод

Энергетический метод представляет собой математическую процедуру, которую можно использовать для проверки корректности начально-краевых задач (ИБВП). ^[4] В следующем примере энергетический метод используется для решения, где и какие граничные условия следует наложить, чтобы полученный IBVP был корректным. Рассмотрим одномерное гиперболическое УЧП, заданное формулой

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,}$$

где – константа, – неизвестная функция с начальным условием . Умножение и интегрирование по области дает ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.}$$

Используя это

$${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},}$$

интегрирование по частям , получаем

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.}$$

Здесь обозначает стандартную норму . Для корректности мы требуем, чтобы энергия решения не возрастала, т. е. была равна , что достигается заданием if и at if . Это соответствует лишь наложению граничных условий на притоке. Корректность допускает рост данных (начальных и граничных), и, таким образом, достаточно показать, что это справедливо, когда все данные установлены на ноль. ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle \alpha <0}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$

Наличие локальных решений

Теорема Коши–Ковалевского для задач Коши с начальными значениями по существу утверждает, что если все члены уравнения в частных производных состоят из аналитических функций и выполняется определенное условие трансверсальности (гиперплоскость или, в более общем смысле, гиперповерхность, на которой задаются начальные данные, должна быть нехарактеристичны относительно оператора в частных производных), то на некоторых областях обязательно существуют решения, которые также являются аналитическими функциями. Это фундаментальный результат в изучении аналитических уравнений в частных производных. Удивительно, но теорема не справедлива в случае гладких функций; пример , открытый Гансом Леви в 1957 году, состоит из линейного уравнения в частных производных, коэффициенты которого гладкие (т. е. имеют производные всех порядков), но не аналитические, для которого не существует решения. Таким образом, теорема Коши-Ковалевского обязательно ограничивается областью применения аналитическими функциями.

Классификация

Обозначения

При написании УЧП принято обозначать частные производные с помощью индексов. Например:

$${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).}$$

un _{переменных}uiiu _ijij

Греческая буква Δ обозначает оператор Лапласа ; если u — функция n переменных, то

$${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$$

∇ ²∇ ² uматрицу Гессеu

Уравнения первого порядка

Линейные и нелинейные уравнения

Линейные уравнения

УЧП называется линейным, если оно линейно относительно неизвестного и его производных. Например, для функции u от x и y линейное УЧП второго порядка имеет вид

$${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$

a _ifxyu _xyu _yxi _{являются}xyлинейным с постоянными коэффициентами.fоднороднонеоднородноасимптотической гомогенизации

Нелинейные уравнения

Тремя основными типами нелинейных УЧП являются полулинейные УЧП, квазилинейные УЧП и полностью нелинейные УЧП.

Ближайшими к линейным УЧП являются полулинейные УЧП, в которых только производные высшего порядка выступают в виде линейных членов с коэффициентами, которые являются функциями независимых переменных. Младшие производные и неизвестная функция могут появляться произвольно. Например, общее полулинейное УЧП второго порядка с двумя переменными имеет вид

$${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

В квазилинейном УЧП производные высшего порядка также появляются только как линейные члены, но с коэффициентами, возможно, функциями неизвестных и производных низшего порядка:

$${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

уравнения Эйнштейнатеории относительностиуравнения Навье-Стокса,

УЧП без каких-либо свойств линейности называется полностью нелинейным и обладает нелинейностью в одной или нескольких производных высшего порядка. Примером может служить уравнение Монжа–Ампера , возникающее в дифференциальной геометрии . ^[5]

Линейные уравнения второго порядка

Эллиптические , параболические и гиперболические уравнения в частных производных второго порядка широко изучаются с начала двадцатого века. Однако существует много других важных типов УЧП, таких как нелинейное уравнение Кортевега – де Фриза третьего порядка . Существуют также гибриды, такие как уравнение Эйлера-Трикоми , которые варьируются от эллиптического до гиперболического для разных областей области. Существуют также важные расширения этих базовых типов для PDE более высокого порядка, но такие знания более специализированы.

Эллиптическая/параболическая/гиперболическая классификация дает представление о соответствующих начальных и граничных условиях , а также о гладкости решений. Полагая u _xy = u _yx , общее линейное УЧП второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

$${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$$

ABCxyA ² + B ² + C ² > 0xy

$${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

Точнее, замена ∂x на X , и аналогично для других переменных (формально это делается преобразованием Фурье ), преобразует УЧП с постоянным коэффициентом в многочлен той же _{степени} , с членами высшей степени (однородный многочлен , здесь квадратичная форма ), являющаяся наиболее значимой для классификации.

Точно так же, как конические сечения и квадратичные формы классифицируются на параболические, гиперболические и эллиптические на основе дискриминанта B ² − 4 AC , то же самое можно сделать и для УЧП второго порядка в данной точке. Однако дискриминант в УЧП определяется как B ² − AC , поскольку принято считать, что член xy равен 2 B , а не B ; формально дискриминант (соответствующей квадратичной формы) равен (2 B ) ² − 4 AC = 4( B ² − AC ) с коэффициентом 4, опущенным для простоты.

1. B ² − AC <0 ( эллиптическое уравнение в частных производных ): решения эллиптических уравнений в частных производных настолько гладкие, насколько позволяют коэффициенты, внутри области, где определены уравнение и решения. Например, решения уравнения Лапласа являются аналитическими в пределах области, в которой они определены, но решения могут принимать граничные значения, которые не являются гладкими. Движение жидкости на дозвуковых скоростях можно аппроксимировать эллиптическими УЧП, а уравнение Эйлера – Трикоми является эллиптическим, где x < 0 . Путем замены переменных уравнение всегда можно выразить в виде:
   $${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0.}$$
   Где x и y соответствуют измененным переменным. Тем самым обосновывается уравнение Лапласа как пример такого типа. ^[6]
2. B ² − AC = 0 ( параболическое уравнение в частных производных ): Уравнения, которые являются параболическими в каждой точке, могут быть преобразованы в форму, аналогичную уравнению теплопроводности , путем замены независимых переменных. Решения сглаживаются по мере увеличения преобразованной переменной времени. Уравнение Эйлера–Трикоми имеет параболический тип на прямой, где x = 0 . Путем замены переменных уравнение всегда можно выразить в виде:
   $${\displaystyle u_{xx}+\cdots =0.}$$
   Где x соответствуют измененным переменным. Тем самым оправдывается уравнение теплопроводности , имеющее вид , как пример такого типа. ^[6] ${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$
3. B ² − AC > 0 ( гиперболическое уравнение в частных производных ): гиперболические уравнения сохраняют любые разрывы функций или производных в исходных данных. Примером является волновое уравнение . Движение жидкости на сверхзвуковых скоростях можно аппроксимировать гиперболическими УЧП, а уравнение Эйлера – Трикоми является гиперболическим, где x > 0 . Путем замены переменных уравнение всегда можно выразить в виде:
   $${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0.}$$
   Где x и y соответствуют измененным переменным. Тем самым оправдывается волновое уравнение как пример такого типа. ^[6]

Если имеется n независимых переменных x ₁ , x ₂ , …, x _n , общее линейное уравнение в частных производных второго порядка имеет вид

$${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.}$$

Классификация зависит от подписи собственных значений матрицы коэффициентов a _{i , j} .

1. Эллиптический: все собственные значения либо положительные, либо все отрицательные.
2. Параболический: все собственные значения либо положительные, либо все отрицательные, кроме одного, равного нулю.
3. Гиперболический: существует только одно отрицательное собственное значение, а все остальные положительны, или существует только одно положительное собственное значение, а все остальные отрицательны.
4. Ультрагиперболический: существует более одного положительного собственного значения и более одного отрицательного собственного значения, а нулевых собственных значений нет. ^[7]

Теория эллиптических, параболических и гиперболических уравнений изучалась на протяжении веков, в основном сосредоточенная вокруг или основанная на стандартных примерах уравнения Лапласа , уравнения теплопроводности и волнового уравнения .

Системы уравнений первого порядка и характеристические поверхности

Классификацию уравнений в частных производных можно распространить на системы уравнений первого порядка, где неизвестное u теперь является вектором с m компонентами, а матрицы коэффициентов A _ν представляют собой матрицы размером m на m для ν = 1, 2, …, n. . Уравнение в частных производных принимает вид

$${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$

A _νBxuгиперповерхность S

$${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$

φSхарактеристической поверхностьюL

$${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

Геометрическая интерпретация этого условия следующая: если данные для u заданы на поверхности S , то можно определить нормальную производную u на S из дифференциального уравнения. Если данные о S и дифференциальное уравнение определяют нормальную производную от u на S , то S нехарактеристична. Если данные о S и дифференциальное уравнение не определяют нормальную производную от u на S , то поверхность является характеристической , а дифференциальное уравнение ограничивает данные о S : дифференциальное уравнение является внутренним для S.

1. Система первого порядка Lu = 0 является эллиптической , если для L не характерна поверхность : значения u на S и дифференциальное уравнение всегда определяют нормальную производную u на S .
2. Система первого порядка является гиперболической в ​​точке, если в этой точке существует пространственноподобная поверхность S с нормалью ξ . Это означает, что для любого нетривиального вектора η, ортогонального ξ , и скалярного множителя λ уравнение Q ( λξ + η ) = 0 имеет m вещественных корней λ ₁ , λ ₂ , …, λ _m . Система является строго гиперболической, если эти корни всегда различны. Геометрическая интерпретация этого условия такова: характеристическая форма Q ( ζ ) = 0 определяет конус (нормальный конус) с однородными координатами ζ. В гиперболическом случае этот конус имеет m листов, и ось ζ = λξ проходит внутри этих листов: она не пересекает ни один из них. Но будучи смещенной из начала координат на η, эта ось пересекает каждый лист. В эллиптическом случае нормальный конус не имеет реальных листов.

Аналитические решения

Разделение переменных

Линейные УЧП можно свести к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью важного метода разделения переменных. Этот метод основан на особенности решений дифференциальных уравнений: если можно найти какое-либо решение, которое решает уравнение и удовлетворяет граничным условиям, то это решение (это также относится и к ОДУ). В качестве анзаца мы предполагаем , что зависимость решения от параметров пространства и времени можно записать как произведение членов, каждый из которых зависит от одного параметра, а затем посмотрим, можно ли это сделать для решения проблемы. ^[8]

В методе разделения переменных УЧП сводится к УЧП с меньшим количеством переменных, которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, если с одной переменной - их, в свою очередь, легче решить.

Это возможно для простых УЧП, которые называются разделимыми уравнениями в частных производных , а область определения обычно представляет собой прямоугольник (произведение интервалов). Разделимые УЧП соответствуют диагональным матрицам : если рассматривать «значение фиксированного x » как координату, каждую координату можно понимать отдельно.

Это обобщает метод характеристик , а также используется в интегральных преобразованиях .

Метод характеристик

В особых случаях можно найти характеристические кривые, на которых уравнение сводится к ОДУ — изменение координат в области для выпрямления этих кривых позволяет разделить переменные и называется методом характеристик .

В более общем плане можно найти характерные поверхности. Для решения уравнения в частных производных второго порядка см. метод Шарпита .

Интегральное преобразование

Интегральное преобразование может преобразовать УЧП в более простое, в частности, в разделимое УЧП. Это соответствует диагонализации оператора.

Важным примером этого является анализ Фурье , который диагонализует уравнение теплопроводности, используя собственный базис синусоидальных волн.

Если область конечная или периодическая, подходит бесконечная сумма решений, таких как ряд Фурье , но для бесконечных областей обычно требуется интеграл решений, такой как интеграл Фурье . Решение для точечного источника приведенного выше уравнения теплопроводности является примером использования интеграла Фурье.

Изменение переменных

Часто УЧП можно привести к более простой форме с известным решением путем подходящей замены переменных . Например, уравнение Блэка – Шоулза

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$$

уравнению теплопроводности

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$$

Фундаментальное решение

Неоднородные уравнения ^{[ необходимы пояснения ]} часто можно решить (для УЧП с постоянными коэффициентами всегда решаются), найдя фундаментальное решение (решение для точечного источника), а затем выполнив свертку с граничными условиями, чтобы получить решение.

В обработке сигналов это аналогично пониманию фильтра по его импульсной характеристике .

Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции применим к любой линейной системе, включая линейные системы УЧП. Распространенной визуализацией этой концепции является взаимодействие двух волн в фазе, которые объединяются, что приводит к большей амплитуде, например sin x + sin x = 2 sin x . Тот же принцип можно наблюдать в PDE, где решения могут быть действительными или сложными и аддитивными. Если u ₁ и u ₂ являются решениями линейного УЧП в некотором функциональном пространстве R , то u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ с любыми константами c ₁ и c ₂ также являются решением этого УЧП в том же функциональном пространстве.

Методы решения нелинейных уравнений

Общеприменимых методов решения нелинейных уравнений в уравнениях не существует. Тем не менее, результаты о существовании и единственности (такие как теорема Коши-Ковалевского ) часто возможны, как и доказательства важных качественных и количественных свойств решений (получение этих результатов является основной частью анализа ). Вычислительное решение нелинейных УЧП, метод разделенных шагов , существует для конкретных уравнений, таких как нелинейное уравнение Шредингера .

Тем не менее, некоторые методы можно использовать для нескольких типов уравнений. H - принцип является наиболее мощным методом решения недоопределенных уравнений. Теория Рикье-Жане является эффективным методом получения информации о многих аналитических переопределенных системах.

Метод характеристик может быть использован в некоторых весьма частных случаях для решения нелинейных уравнений в частных производных. ^[10]

В некоторых случаях УЧП можно решить с помощью анализа возмущений , при котором решением считается поправка к уравнению с известным решением. Альтернативой являются методы численного анализа , от простых схем конечных разностей до более зрелых многосеточных методов и методов конечных элементов . Многие интересные задачи в науке и технике решаются таким образом с помощью компьютеров , иногда высокопроизводительных суперкомпьютеров .

Метод группы лжи

Начиная с 1870 года работы Софуса Ли поставили теорию дифференциальных уравнений на более удовлетворительную основу. Он показал, что теории интеграции старых математиков могут быть отнесены к общему источнику путем введения того, что сейчас называется группами Ли ; и что обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие одни и те же бесконечно малые преобразования, представляют сравнимые трудности при интегрировании. Он также остановился на теме трансформаций контакта .

Общий подход к решению УЧП использует свойство симметрии дифференциальных уравнений — непрерывные бесконечно малые преобразования решений в решения ( теория Ли ). Непрерывная теория групп , алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных уравнений в частных производных, для создания интегрируемых уравнений, для нахождения их пар Лакса , операторов рекурсии, преобразования Беклунда и, наконец, для поиска точных аналитических решений УЧП.

Методы симметрии получили признание при изучении дифференциальных уравнений, возникающих в математике, физике, технике и многих других дисциплинах.

Полуаналитические методы

Метод разложения Адомиана , ^[11] искусственный метод малого параметра Ляпунова и его метод гомотопического возмущения — все это частные случаи более общего метода гомотопического анализа . ^[12] Это методы разложения в ряд, и, за исключением метода Ляпунова, они не зависят от малых физических параметров по сравнению с хорошо известной теорией возмущений , что придает этим методам большую гибкость и общность решения.

Численные решения

Тремя наиболее широко используемыми численными методами для решения PDE являются метод конечных элементов (FEM), методы конечных объемов (FVM) и методы конечных разностей (FDM), а также другие методы, называемые бессеточными методами , которые были созданы для решения задач, в которых вышеупомянутые методы ограничены. МКЭ занимает видное место среди этих методов, особенно его исключительно эффективная версия высшего порядка hp-FEM . Другие гибридные версии FEM и бессеточных методов включают обобщенный метод конечных элементов (GFEM), расширенный метод конечных элементов (XFEM), спектральный метод конечных элементов (SFEM), бессеточный метод конечных элементов , разрывный метод конечных элементов Галеркина (DGFEM), элементный метод. свободный метод Галеркина (EFGM), интерполяционный безэлементный метод Галёркина (IEFGM) и др.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) (его практическое применение, часто известное как анализ конечных элементов (FEA)) представляет собой численный метод поиска приближенных решений уравнений в частных производных (PDE), а также интегральных уравнений. ^{[13] [14]} Подход к решению основан либо на полном исключении дифференциального уравнения (стационарные задачи), либо на преобразовании УЧП в аппроксимирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем численно интегрируются с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера, Рунге-Кутта и др.

Метод конечных разностей

Методы конечных разностей — это численные методы аппроксимации решений дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных уравнений для аппроксимации производных.

Метод конечного объема

Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов, значения вычисляются в дискретных местах сетчатой ​​геометрии. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. В методе конечного объема поверхностные интегралы в уравнении в частных производных, содержащие член дивергенции, преобразуются в объемные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Эти члены затем оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы по своей конструкции сохраняют массу.

Метод нечетких дифференциальных уравнений

Нечеткое дифференциальное уравнение основано на нечеткой логике.

Метод нечеткого дифференциального включения

Метод нечеткого дифференциального включения использует нечеткую логику с преобразованием Лапласа для решения УЧП.

Приложения

Уравнения в частных производных используются во многих областях: Астрономия , Космология , Квантовая механика , Теплопередача , Электромагнетизм , Гидродинамика , Упругость (физика) , Тензор упругости , Тензорный оператор Аналитическая геометрия , Искусственный интеллект , Глубокое обучение , Языковая модель

Примеры

• Уравнение теплопроводности
• Волновое уравнение
• Уравнение непрерывности
• Уравнение Клейна – Гордона
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Пуассона
• Уравнения Максвелла
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лагранжа
• уравнение Якоби
• Уравнение Шрёдингера
• Система реакции-диффузии, используемая в искусственном интеллекте и глубоком обучении.
• Масштабируемое кодирование без потерь для преобразования формата аудио- и видеофайлов в MPEG4.

Смотрите также

Некоторые распространенные PDE

• Уравнение теплопроводности
• Волновое уравнение
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Клейна – Гордона
• Уравнение Пуассона
• Уравнение Навье-Стокса
• Уравнение Бюргерса

Типы граничных условий

• Граничное условие Дирихле
• Граничные условия Неймана
• Граничные условия Робина
• Задача Коши

Различные темы

• Реактивный комплект
• Преобразование Лапласа, примененное к дифференциальным уравнениям
• Список тем динамических систем и дифференциальных уравнений
• Матричное дифференциальное уравнение
• Численные уравнения в частных производных
• Алгебраическое уравнение в частных производных
• Рекуррентное отношение
• Случайные процессы и краевые задачи

Рекомендации

1. «Регулярность и особенности в эллиптических УЧП: за пределами формул монотонности | Проект EllipticPDE | Информационный бюллетень | H2020» . КОРДИС | Европейская комиссия . Проверено 5 февраля 2024 г.
2. Клайнерман, Сергей (2010). «ПДЭ как единый предмет». В Алоне, Н.; Бургейн, Дж.; Конн, А.; Громов, М.; Мильман, В. (ред.). Видения в математике . Современная классика Биркхойзера. Базель: Биркхойзер. стр. 279–315. дои : 10.1007/978-3-0346-0422-2_10. ISBN 978-3-0346-0421-5.
3. Эрдоган, М. Бурак; Циракис, Николаос (2016). Дисперсионные уравнения в частных производных: корректность и приложения. Тексты студентов Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-14904-5.
4. Густавссон, Бертиль (2008). Методы разностей высокого порядка для зависящих от времени УЧП . Ряд Спрингера по вычислительной математике. Том. 38. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-540-74993-6. ISBN 978-3-540-74992-9.
5. Клайнерман, Серджиу (2008), «Уравнения в частных производных», в Гауэрсе, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 455–483.
6. Левандоски, Джули. «Классификация уравнений второго порядка» (PDF) .
7. Курант и Гильберт (1962), стр.182.
8. Гершенфельд, Нил (2000). Природа математического моделирования (Печатается (с корр.) под ред.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 27. ISBN 0521570956.
9. Уилмотт, Пол; Хауисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995). Математика финансовых производных. Издательство Кембриджского университета. стр. 76–81. ISBN 0-521-49789-2.
10. Логан, Дж. Дэвид (1994). «Уравнения и характеристики первого порядка». Введение в нелинейные уравнения в частных производных . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 51–79. ISBN 0-471-59916-6.
11. Адомян, Г. (1994). Решение пограничных задач физики: метод декомпозиции. Академическое издательство Клювер. ISBN 9789401582896.
12. Ляо, SJ (2003). За пределами возмущения: введение в метод гомотопического анализа . Бока-Ратон: Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN 1-58488-407-Х.
13. Солин, П. (2005). Уравнения в частных производных и метод конечных элементов . Хобокен, Нью-Джерси: J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-72070-4.
14. Солин, П.; Сегет К. и Долезель И. (2003). Методы конечных элементов высшего порядка . Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-438-Х.

Библиография

• Курант Р. и Гильберт Д. (1962), Методы математической физики, том. II, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 9783527617241.
• Драбек, Павел; Голубова, Габриэла (2007). Элементы уравнений в частных производных (Онлайн-изд.). Берлин: де Грюйтер. ISBN 9783110191240.
• Эванс, LC (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2.
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993), Справочник CRC по групповому анализу дифференциальных уравнений Vol. 1-3 , Провиденс: CRC-Press, ISBN 0-8493-4488-3.
• Джон, Ф. (1982), Уравнения в частных производных (4-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
• Йост, Дж. (2002), Уравнения в частных производных , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95428-7.
• Олвер, П.Дж. (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия , Cambridge Press.
• Петровский, И.Г. (1967), Уравнения в частных производных , Филадельфия: WB Saunders Co..
• Пинчовер Ю. и Рубинштейн Дж. (2005), Введение в уравнения с частными производными , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-84886-5.
• Полянин, А.Д. (2002), Справочник по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9.
• Полянин А.Д. и Зайцев В.Ф. (2004), Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3.
• Полянин, А.Д. ; Зайцев В.Ф. и Муссио А. (2002), Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка , Лондон: Тейлор и Фрэнсис, ISBN 0-415-27267-Х.
• Рубичек, Т. (2013), Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с приложениями (PDF) , Международная серия по числовой математике, том. 153 (2-е изд.), Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN 978-3-0348-0512-4, МР  3014456
• Стефани, Х. (1989), МакКаллум, М. (редактор), Дифференциальные уравнения: их решение с использованием симметрии , Издательство Кембриджского университета.
• Вазваз, Абдул-Маджид (2009). Уравнения в частных производных и теория уединенных волн . Пресса о высшем образовании. ISBN 978-3-642-00251-9.
• Вазваз, Абдул-Маджид (2002). Методы и приложения уравнений в частных производных . АА Балкема. ISBN 90-5809-369-7.
• Цвиллингер, Д. (1997), Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.), Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-784395-7.
• Гершенфельд, Н. (1999), Природа математического моделирования (1-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, ISBN 0-521-57095-6.
• Красильщик И.С. , Виноградов А.М. (ред.). (1999), Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN 0-8218-0958-Х{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
• Красильщик И.С.; Лычагин В.В. и Виноградов А.М. (1986), Геометрия пространств струй и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, издательства Gordon and Breach Science, Нью-Йорк, Лондон, Париж, Монтрё, Токио, ISBN 2-88124-051-8.
• Виноградов, AM (2001), Когомологический анализ уравнений в частных производных и вторичного исчисления , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN 0-8218-2922-Х.
• Густафссон, Бертиль (2008). Методы разностей высокого порядка для зависящих от времени УЧП . Ряд Спрингера по вычислительной математике. Том. 38. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-540-74993-6. ISBN 978-3-540-74992-9.

дальнейшее чтение

• Каджори, Флориан (1928). «Ранняя история уравнений с частными производными, а также частичного дифференцирования и интегрирования» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 35 (9): 459–467. дои : 10.2307/2298771. JSTOR  2298771. Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2018 г. Проверено 15 мая 2016 г.
• Ниренберг, Луи (1994). «Уравнения в частных производных в первой половине века». Развитие математики 1900–1950 (Люксембург, 1992), 479–515, Биркхойзер, Базель.
• Брезис, Хаим ; Браудер, Феликс (1998). «Уравнения в частных производных в 20 веке». Достижения в математике . 135 (1): 76–144. дои : 10.1006/aima.1997.1713 .

Внешние ссылки

• «Дифференциальное уравнение в частных производных», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнения с частными производными: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнения с частными производными: индекс EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнения с частными производными: методы в EqWorld: мир математических уравнений.
• Примеры проблем с решениями на сайте exampleproblems.com
• Уравнения в частных производных на mathworld.wolfram.com
• Уравнения в частных производных с помощью Mathematica
• Уравнения в частных производных в Клив Молере: численные вычисления с MATLAB
• Уравнения в частных производных на nag.com
• Сандерсон, Грант (21 апреля 2019 г.). «Но что такое уравнение в частных производных?». 3Синий1Коричневый . Архивировано из оригинала 2 ноября 2021 г. – на YouTube .