Ромбический додекаэдр

Каталонское тело с 12 гранями

3D модель ромбододекаэдра

В геометрии ромбический додекаэдр — это выпуклый многогранник с 12 конгруэнтными ромбическими гранями . Он имеет 24 ребра и 14 вершин 2 типов. Как каталонское тело , это двойственный многогранник кубооктаэдра . Как параллелоэдр , ромбический додекаэдр может использоваться для мозаики своих копий в пространстве, создавая ромбические додекаэдрические соты . Существуют некоторые вариации ромбического додекаэдра, одной из которых является додекаэдр Билински . Существуют некоторые звёздчатые формы ромбического додекаэдра, одной из которых является тело Эшера . Ромбический додекаэдр может также появляться в кристалле граната , архитектурных философиях, практических применениях и игрушках.

Как каталонское твердое тело

Метрические свойства

Ромбический додекаэдр — это многогранник с двенадцатью ромбами , у каждого из которых длина длинной диагонали грани в точности равна длине короткой диагонали грани ^[1], а величина острого угла равна . Его двугранный угол между двумя ромбами равен 120°. ^[2] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle \arccos(1/3)\approx 70.53^{\circ }}$

Ромбический додекаэдр является каталонским телом , то есть двойственным многогранником архимедова тела , кубооктаэдра ; они имеют одну и ту же симметрию, октаэдрическую симметрию . ^[2] Он является гране-транзитивным , то есть группа симметрии тела действует транзитивно на его наборе граней. В элементарных терминах это означает, что для любых двух граней существует поворот или отражение тела, которое оставляет его занимающим ту же область пространства, перемещая грань в другую. ^[3] За исключением ромбического триаконтаэдра , это одно из двух каталонских тел, которые обладают свойством рёберной транзитивности ; другими классами выпуклых многогранников являются пять платоновых тел и два других архимедовых тела: его двойственный многогранник и икосододекаэдр .

Обозначим через a длину ребра ромбического додекаэдра,

• радиус его вписанной сферы ( касательной к каждой из граней ромбододекаэдра) равен: ( OEIS : A157697 ) $${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.817a,}$$
• радиус его средней сферы равен: OEIS : A179587 ) $${\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.943a,}$$
• радиус сферы, проходящей через шесть вершин четвертого порядка, но не через восемь вершин третьего порядка, равен: ( OEIS : A020832 ) $${\displaystyle r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}a\approx 1.155a,}$$
• радиус сферы, проходящей через вершины восьмого порядка, в точности равен длине сторон: ${\textstyle r_{\mathrm {t} }=a}$

Площадь поверхности A и объем V ромбододекаэдра с длиной ребра a равны: ^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=8{\sqrt {2}}a^{2}&\approx 11.314a^{2},\\V&={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}&\approx 3.079a^{3}.\end{aligned}}}$$

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как выпуклую оболочку объединения вершин куба и октаэдра, где ребра пересекаются перпендикулярно. Шесть вершин, где встречаются четыре ромба, соответствуют вершинам октаэдра , в то время как восемь вершин, где встречаются три ромба, соответствуют вершинам куба .

Граф ромбододекаэдра негамильтонов .

Строительство

Для длины ребра √ 3 восемь вершин, где три грани встречаются под тупыми углами, имеют декартовы координаты (±1, ±1, ±1). В случае координат шести вершин, где четыре грани встречаются под острыми углами, они равны (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) и (0, 0, ±2).

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный предельный случай пиритоэдра с перестановкой координат (±1, ±1, ±1) и (0, 1 + ^h , 1 − h2 ) с параметром h  = 1.

Эти координаты иллюстрируют, что ромбический додекаэдр можно рассматривать как куб с шестью квадратными пирамидами, прикрепленными к каждой грани, что позволяет им совмещаться в куб. Таким образом, ромбический додекаэдр имеет в два раза больший объем вписанного куба с ребрами, равными коротким диагоналям ромбов. ^[5] В качестве альтернативы, ромбический додекаэдр можно построить, перевернув шесть квадратных пирамид, пока их вершины не встретятся в центре куба. ^[6]

Как заполняющий пространство многогранник

Ромбический додекаэдр — это заполняющий пространство многогранник , то есть его можно применять для мозаичного трехмерного пространства: его можно складывать, чтобы заполнить пространство, подобно тому, как шестиугольники заполняют плоскость. Это параллелоэдр , потому что он может заполнять пространство сотами , в которых все его копии встречаются лицом к лицу. ^[7] В более общем смысле, каждый параллелоэдр является зоноэдром , центрально-симметричным многогранником с центрально-симметричными гранями . ^[8] Как параллелоэдр, ромбический додекаэдр может быть построен с четырьмя наборами из шести параллельных ребер. ^[7]

Ромбические додекаэдрические соты (или додекаэдриллы ) являются примером сот, построенных путем заполнения всех ромбических додекаэдров. Они являются дуальными к тетрооктаэдриллам или полукубическим сотам и описываются двумя диаграммами Коксетера :и. С симметрией D _3d его можно рассматривать как вытянутый тригональный трапецоэдр . Его можно рассматривать как мозаику Вороного гранецентрированной кубической решетки . Это зона Бриллюэна объемноцентрированных кубических (ОЦК) кристаллов. Некоторые минералы, такие как гранат, образуют ромбическую додекаэдрическую кристаллическую форму . Как заметил Иоганн Кеплер в своей книге 1611 года о снежинках ( Strena seu de Nive Sexangula ), медоносные пчелы используют геометрию ромбических додекаэдров для формирования сот из мозаики ячеек, каждая из которых представляет собой шестиугольную призму , увенчанную половиной ромбического додекаэдра. Ромбический додекаэдр также появляется в элементарных ячейках алмаза и диамондоидов . В этих случаях четыре вершины (чередующиеся трехкратные) отсутствуют, но химические связи лежат на оставшихся ребрах. ^[9]

Аналогично разбиению ромбододекаэдра, как в шестиугольнике

Ромбический додекаэдр можно разрезать на четыре тупоугольных трапецоэдра вокруг его центра. Эти ромбоэдры являются ячейками тригональных трапецоэдрических сот . Аналогично, правильный шестиугольник можно разрезать на 3 ромба вокруг его центра. Эти ромбы являются плитками ромбилла . [ ^{необходима цитата ]}

Появления

Архитектурное значение и культурный груз

Эксперт по архитектуре Джеймс Д. Венн определил, что философские и смысловые значения, закодированные в зданиях, связаны со значениями, которые связывались с ромбическим додекаэдром такими мыслителями, как Платон . ^[10]

Здания, определенные как соответствующие этому виду кодекса, включают: ^[11]

• Зал Соултон , ^[12]
• Колледж Гонвилля и Кая, Кембридж
• Дом Верулама , ныне утраченный дом Фрэнсиса Бэкона
• Зал Уоллатон

Практическое использование

В компоновке колес-реактивок космических аппаратов обычно используется тетраэдрическая конфигурация из четырех колес. Для колес, которые работают одинаково (с точки зрения пикового крутящего момента и максимального углового момента) в обоих направлениях вращения и по всем четырем колесам, максимальный крутящий момент и максимальный импульс для 3-осевой системы управления ориентацией (с учетом идеализированных приводов) задаются путем проецирования тессеракта, представляющего пределы крутящего момента или импульса каждого колеса, в трехмерное пространство через матрицу осей колес 3 × 4; полученный трехмерный многогранник является ромбическим додекаэдром. ^[13] Такое расположение реактивных колес не является единственной возможной конфигурацией (более простая компоновка состоит из трех колес, установленных для вращения вокруг ортогональных осей), но оно выгодно для обеспечения избыточности для смягчения отказа одного из четырех колес (с ухудшением общей производительности, доступной от оставшихся трех активных колес) и для обеспечения более выпуклой оболочки, чем куб, что приводит к меньшей зависимости маневренности от направления оси (с точки зрения привода/установки). Свойства массы космического корабля влияют на общий импульс и маневренность системы, поэтому уменьшение дисперсии в границах оболочки не обязательно приводит к повышению однородности в предпочтительных смещениях осей (то есть, даже при идеально распределенном пределе производительности в подсистеме привода предпочтительные оси вращения не обязательно являются произвольными на уровне системы).

Многогранник также является основой сетки HEALPix , используемой в космологии для хранения и обработки карт реликтового излучения , а также в компьютерной графике для хранения карт окружающей среды .

Разнообразный

В коллекции Лувра хранится игральная кость в форме ромбического додекаэдра, датируемая Птолемеевским Египтом . На гранях выгравированы греческие буквы, представляющие числа от 1 до 12: Α Β Γ Δ Ε Ϛ Z Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Функция игральной кости неизвестна. ^[14]

Другие связанные цифры

Топологически эквивалентные формы

Другие симметрийные конструкции ромбического додекаэдра также являются заполняющими пространство, и как параллелотопы они похожи на вариации заполняющих пространство усеченных октаэдров . ^[15] Например, с 4 квадратными гранями и 60-градусными ромбическими гранями и диэдральной симметрией D _4h , порядок 16. Его можно рассматривать как кубооктаэдр с квадратными пирамидами, прикрепленными сверху и снизу.

В 1960 году Станко Билински открыл второй ромбический додекаэдр с 12 конгруэнтными ромбовидными гранями, додекаэдр Билински . Он имеет ту же топологию, но другую геометрию. Ромбические грани в этой форме имеют золотое сечение . ^{[16] [17]}

Чертеж и кристаллическая модель дельтовидного додекаэдра

Дельтовидный додекаэдр — это еще одна топологическая эквивалентность формы ромбического додекаэдра. ^[18] Он является изоэдральным с тетраэдрической симметрией порядка 24, искажая ромбические грани в воздушные змеи (дельтоиды). Он имеет 8 вершин, скорректированных внутрь или наружу в чередующихся наборах по 4, с предельным случаем тетраэдрической оболочки. Вариации могут быть параметризованы с помощью ( a , b ), где b и a зависят друг от друга таким образом, что тетраэдр, определяемый четырьмя вершинами грани, имеет нулевой объем, т. е. является плоской гранью. (1,1) — ромбическое решение. Поскольку a приближается к ⁠1/2⁠ , b стремится к бесконечности. Всегда выполняется, что ⁠1/а⁠ + ⁠1/б⁠ = 2, где a , b > ⁠1/2⁠ .

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

( а , а , а ), (− а , − а , а ), (− а , а , − а ), ( а , − а , − а )

(− б , − б , − б ), (− б , б , б ), ( б , − б , б ), ( б , б , − б )

Звездчатые формы

Некоторые звездчатые ромбододекаэдры

Как и многие выпуклые многогранники, ромбический додекаэдр может быть образован звездчатой ​​формой путем расширения граней или ребер до тех пор, пока они не встретятся, образуя новый многогранник. Несколько таких звездчатых форм были описаны Дорманом Люком. ^[19] Первую звездчатую форму, часто называемую звездчатым ромбическим додекаэдром , можно рассматривать как ромбический додекаэдр, каждая грань которого увеличена путем присоединения к ней пирамиды с ромбическим основанием, с высотой пирамиды такой, что стороны лежат в плоскостях граней соседних граней. Люк описывает еще четыре звездчатые формы: вторую и третью звездчатые формы (расширяющиеся наружу), одну из которых образуют удаление второй из третьей, а другую — добавление исходного ромбического додекаэдра обратно к предыдущей.

Связанный многогранник

В идеальной проекции с приоритетом вершины две вершины тессеракта (отмечены бледно-зеленым цветом) проецируются точно в центр ромбического додекаэдра.

Ромбический додекаэдр образует оболочку вершинной проекции тессеракта на три измерения. Существует ровно два способа разложения ромбического додекаэдра на четыре конгруэнтных ромбоэдра , что дает восемь возможных ромбоэдров как проекций 8 кубических ячеек тессеракта. Один набор проективных векторов: u = (1,1,−1,−1), v = (−1,1,−1,1), w = (1,−1,−1,1).

Ромбический додекаэдр образует максимальное поперечное сечение 24-ячейки , а также образует оболочку ее вершинно-первой параллельной проекции в трех измерениях. Ромбический додекаэдр можно разложить на шесть конгруэнтных (но не правильных) квадратных дипирамид, встречающихся в одной вершине в центре; они образуют изображения шести пар октаэдрических ячеек 24-ячейки. Оставшиеся 12 октаэдрических ячеек проецируются на грани ромбического додекаэдра. Неправильность этих изображений обусловлена ​​проективным искажением; грани 24-ячейки являются правильными октаэдрами в 4-пространстве.

Это разложение дает интересный метод построения ромбического додекаэдра: разрезать куб на шесть конгруэнтных квадратных пирамид и прикрепить их к граням второго куба. Треугольные грани каждой пары соседних пирамид лежат в одной плоскости и, таким образом, сливаются в ромбы. 24-ячейка также может быть построена аналогичным образом с использованием двух тессерактов . ^[20]

Смотрите также

• Усеченный ромбододекаэдр
• Строительные системы Архимеда

Ссылки

1. Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники, Cambridge University Press, стр. 151–152, ISBN 978-0-521-55432-9
2. Уильямс, Роберт (1979), Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна, Dover Publications, Inc., стр. 74–75, ISBN 978-0-486-23729-9
3. Диудеа, М. В. (2018), Многослойные полиэдральные кластеры, Углеродные материалы: химия и физика, т. 10, Springer , doi : 10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2
4. Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245
5. Кардил, Роберто, «Ромбический додекаэдр как куб с пирамидами — некоторые основные измерения», Математическая ассоциация Америки
6. Канди, Х. Мартин (1956), «2642. Унитарное построение некоторых многогранников», The Mathematical Gazette , 40 (234): 280–282, doi :10.2307/3609622, JSTOR  3609622
7. Александров, АД (2005), "8.1 Параллелоэдры", Выпуклые многогранники , Springer, стр. 349–359
8. Эппштейн, Дэвид (1996), «Зоноэдры и зонотопы», Mathematica в образовании и исследованиях , 5 (4): 15–21
9. Додекаэдрическая кристаллическая габитус Архивировано 2009-04-12 на Wayback Machine . khulsey.com
10. Гранат как эмблема добродетели | Философская архитектура от Генриха III до Георга III, 19 августа 2023 г. , получено 2024-02-20
11. "Категория: англосаксонский", Thegns of Mercia , получено 2024-02-20
12. Инкубация — это рецепт | Renaissance Medicine in Text and Architecture, 14 февраля 2024 г. , получено 2024-02-20
13. Маркли, Ф. Лэндис (сентябрь 2010 г.), «Максимальные крутящие моменты и импульсные огибающие для реактивных колесных массивов», ntrs.nasa.gov , получено 20 августа 2020 г.
14. Пердризе, Поль (1930), «Александрийская игра икосаэдра», Bulletin de l'Institut français d'archéologie orientale , 30 : 1–16, doi : 10.3406/bifao.1931.1865
15. Порядок в пространстве: Справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр. 56–57
16. Грюнбаум, Бранко (2010), «Додекаэдр Билински и различные параллелоэдры, зоноэдры, моноэдры, изозоноэдры и другие эдры», The Mathematical Intelligencer , 32 (4): 5–15, doi :10.1007/s00283-010-9138-7, hdl : 1773/15593 , MR  2747698
17. Коксетер, Гарольд (1973), Правильные многогранники , Dover Publications
18. Экономическая минералогия: практическое руководство по изучению полезных ископаемых, стр. 8
19. Люк, Дорман (1957), «Звездчатые формы ромбического додекаэдра», The Mathematical Gazette , 41 (337): 189–194, doi :10.2307/3609190, JSTOR  3609190, S2CID  126103579
20. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: «Есть ШЕСТЬ Платоновых тел», YouTube , 30 ноября 2015 г.

Дальнейшее чтение

• Уильямс, Роберт (1979), Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна , Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-23729-X(Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, МР  0730208(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойственные, Страница 19, Ромбический додекаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургиль, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, Ромбический додекаэдр) 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Ромбический додекаэдр», MathWorld
• Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников

Компьютерные модели

• Связь ромбического триаконтаэдра и ромбического додекаэдра, ромбического додекаэдра с 5 соединениями и ромбического додекаэдра с 5 соединениями, Шандор Кабаи, Демонстрационный проект Вольфрама .

Бумажные проекты

• Календарь из ромбических додекаэдров – делаем календарь из ромбических додекаэдров без клея
• Еще один календарь в виде ромбододекаэдра, сделанный путем плетения полосок бумаги.

Практические применения

• Институт Архимеда Примеры реальных проектов жилищного строительства с использованием этой геометрии