Уравнения Максвелла

Уравнения, описывающие классический электромагнетизм

Уравнения Максвелла на мемориальной доске на его статуе в Эдинбурге

Уравнения Максвелла , или уравнения Максвелла–Хевисайда , представляют собой набор связанных уравнений в частных производных , которые вместе с законом силы Лоренца образуют основу классического электромагнетизма , классической оптики , электрических и магнитных цепей. Уравнения предоставляют математическую модель для электрических, оптических и радиотехнологий, таких как генерация электроэнергии, электродвигатели, беспроводная связь, линзы, радары и т. д. Они описывают, как электрические и магнитные поля генерируются зарядами , токами и изменениями полей. ^{[примечание 1]} Уравнения названы в честь физика и математика Джеймса Клерка Максвелла , который в 1861 и 1862 годах опубликовал раннюю форму уравнений, которая включала закон силы Лоренца. Максвелл впервые использовал уравнения, чтобы предположить, что свет является электромагнитным явлением. Современная форма уравнений в их наиболее распространенной формулировке приписывается Оливеру Хевисайду . ^[1]

Уравнения Максвелла можно объединить, чтобы продемонстрировать, как колебания электромагнитных полей (волн) распространяются с постоянной скоростью в вакууме, c (299 792 458  м/с ^[2] ). Эти волны, известные как электромагнитное излучение , возникают на различных длинах волн, создавая спектр излучения от радиоволн до гамма-лучей .

В форме уравнения в частных производных и согласованной системе единиц микроскопические уравнения Максвелла можно записать как С электрическим полем, магнитным полем, плотностью электрического заряда и плотностью тока . — диэлектрическая проницаемость вакуума и проницаемость вакуума . $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Уравнения имеют два основных варианта:

• Микроскопические уравнения имеют универсальную применимость, но громоздки для обычных расчетов. Они связывают электрические и магнитные поля с общим зарядом и общим током, включая сложные заряды и токи в материалах на атомном уровне .
• Макроскопические уравнения определяют два новых вспомогательных поля, которые описывают крупномасштабное поведение материи без необходимости учитывать атомные заряды и квантовые явления, такие как спины. Однако их использование требует экспериментально определенных параметров для феноменологического описания электромагнитного отклика материалов .

Термин «уравнения Максвелла» часто также используется для эквивалентных альтернативных формулировок. Версии уравнений Максвелла, основанные на электрических и магнитных скалярных потенциалах, предпочтительны для явного решения уравнений как краевой задачи , аналитической механики или для использования в квантовой механике . Ковариантная формулировка (на пространстве-времени, а не на пространстве и времени по отдельности) делает совместимость уравнений Максвелла со специальной теорией относительности очевидной . Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени , обычно используемые в физике высоких энергий и гравитации , совместимы с общей теорией относительности . ^{[примечание 2]} Фактически, Альберт Эйнштейн разработал специальную и общую теорию относительности, чтобы приспособить инвариантную скорость света, следствие уравнений Максвелла, к принципу, что только относительное движение имеет физические последствия.

Публикация уравнений ознаменовала объединение теории для ранее отдельно описанных явлений: магнетизма, электричества, света и связанного с ними излучения. С середины 20-го века стало понятно, что уравнения Максвелла не дают точного описания электромагнитных явлений, а вместо этого являются классическим пределом более точной теории квантовой электродинамики .

История уравнений

Концептуальные описания

Закон Гаусса

Электрическое поле от положительных зарядов к отрицательным

Закон Гаусса описывает связь между электрическим полем и электрическими зарядами : электрическое поле направлено от положительных зарядов к отрицательным, а чистый отток электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален замкнутому заряду, включая связанный заряд из-за поляризации материала. Коэффициент пропорции — это диэлектрическая проницаемость свободного пространства .

Закон Гаусса для магнетизма

Закон Гаусса для магнетизма : линии магнитного поля никогда не начинаются и не заканчиваются, а образуют петли или простираются до бесконечности, как показано здесь на примере магнитного поля, образованного кольцом тока.

Закон Гаусса для магнетизма гласит, что электрические заряды не имеют магнитных аналогов, называемых магнитными монополями ; ни северный, ни южный магнитные полюса не существуют изолированно. ^[3] Вместо этого магнитное поле материала приписывается диполю , а чистый отток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные диполи могут быть представлены как петли тока или неразделимые пары равных и противоположных «магнитных зарядов». Точнее, полный магнитный поток через гауссову поверхность равен нулю, а магнитное поле является соленоидальным векторным полем . ^{[примечание 3]}

Закон Фарадея

Во время геомагнитной бури плазма солнечного ветра воздействует на магнитное поле Земли , вызывая зависящие от времени изменения поля, тем самым индуцируя электрические поля в атмосфере Земли и проводящей литосфере , которые могут дестабилизировать электросети . (Не в масштабе.)

Версия закона индукции Фарадея Максвелла -Фарадея описывает, как изменяющееся во времени магнитное поле соответствует ротору электрического поля . ^[3] В интегральной форме он утверждает, что работа на единицу заряда, необходимая для перемещения заряда по замкнутому контуру, равна скорости изменения магнитного потока через замкнутую поверхность.

Электромагнитная индукция является принципом работы многих электрических генераторов : например, вращающийся стержневой магнит создает изменяющееся магнитное поле и генерирует электрическое поле в расположенном поблизости проводе.

Закон Ампера–Максвелла

Магнитная память (1954) — это применение закона Ампера . Каждый сердечник хранит один бит данных.

Исходный закон Ампера гласит, что магнитные поля связаны с электрическим током . Дополнение Максвелла гласит, что магнитные поля также связаны с изменяющимися электрическими полями, которые Максвелл назвал током смещения . Интегральная форма гласит, что электрические и токи смещения связаны с пропорциональным магнитным полем вдоль любой охватывающей кривой.

Модификация Максвелла закона Ампера важна, поскольку в противном случае законы Ампера и Гаусса должны быть скорректированы для статических полей. ^{[4] [ необходимо разъяснение ]} Как следствие, она предсказывает, что вращающееся магнитное поле возникает при изменяющемся электрическом поле. ^{[3] [5]} Еще одним следствием является существование самоподдерживающихся электромагнитных волн , которые распространяются в пустом пространстве .

Скорость, рассчитанная для электромагнитных волн, которую можно было предсказать из экспериментов с зарядами и токами, ^{[примечание 4]} соответствует скорости света ; действительно, свет является одной из форм электромагнитного излучения (как и рентгеновские лучи , радиоволны и другие). Максвелл понял связь между электромагнитными волнами и светом в 1861 году, тем самым объединив теории электромагнетизма и оптики .

Формулировка в терминах электрических и магнитных полей (микроскопическая или в вакуумном варианте)

В формулировке электрического и магнитного поля есть четыре уравнения, которые определяют поля для заданного распределения заряда и тока. Отдельный закон природы , закон силы Лоренца , описывает, как электрические и магнитные поля действуют на заряженные частицы и токи. По соглашению версия этого закона в исходных уравнениях Максвелла больше не включена. Формализм векторного исчисления ниже, работа Оливера Хевисайда , ^{[6] [7]} стал стандартным. Он инвариантен относительно вращения и, следовательно, математически более прозрачен, чем исходные 20 уравнений Максвелла в компонентах x , y и z . Релятивистские формулировки более симметричны и инвариантны Лоренца. Для тех же уравнений, выраженных с использованием тензорного исчисления или дифференциальных форм (см. § Альтернативные формулировки ).

Дифференциальная и интегральная формулировки математически эквивалентны; обе полезны. Интегральная формулировка связывает поля внутри области пространства с полями на границе и часто может использоваться для упрощения и прямого вычисления полей из симметричных распределений зарядов и токов. С другой стороны, дифференциальные уравнения являются чисто локальными и являются более естественной отправной точкой для вычисления полей в более сложных (менее симметричных) ситуациях, например, с использованием конечно-элементного анализа . ^[8]

Ключ к обозначениям

Символы, выделенные жирным шрифтом, представляют векторные величины, а символы, выделенные курсивом, представляют скалярные величины, если не указано иное. Уравнения вводят электрическое поле , E , векторное поле , и магнитное поле , B , псевдовекторное поле, каждое из которых, как правило, имеет зависимость от времени и местоположения. Источники:

• полная плотность электрического заряда (полный заряд на единицу объема), ρ и
• полная плотность электрического тока (полный ток на единицу площади), Дж .

Универсальные константы , появляющиеся в уравнениях (первые две явно присутствуют только в формулировке СИ), следующие:

• диэлектрическая проницаемость свободного пространства , ε ₀ , и
• проницаемость свободного пространства , μ ₀ , и
• скорость света , ${\displaystyle c=({\varepsilon _{0}\mu _{0}})^{-1/2}}$

Дифференциальные уравнения

В дифференциальных уравнениях

• символ набла , ∇ , обозначает оператор трехмерного градиента , del ,
• символ ∇⋅ (произносится как «дель дот») обозначает оператор дивергенции ,
• Символ ∇× (произносится как «дель кросс») обозначает оператор скручивания .

Интегральные уравнения

В интегральных уравнениях

• Ω — любой объем с замкнутой граничной поверхностью ∂Ω , и
• Σ — любая поверхность с замкнутой граничной кривой ∂Σ ,

Уравнения немного легче интерпретировать с не зависящими от времени поверхностями и объемами. Не зависящие от времени поверхности и объемы «фиксированы» и не изменяются в течение заданного интервала времени. Например, поскольку поверхность не зависит от времени, мы можем подвести дифференциацию под знак интеграла в законе Фарадея: уравнения Максвелла можно сформулировать с возможно зависящими от времени поверхностями и объемами, используя дифференциальную версию и соответствующим образом используя формулу Гаусса и Стокса. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$$

• ${\displaystyle {\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }}$представляет собой поверхностный интеграл по граничной поверхности ∂Ω , причем петля указывает на замкнутость поверхности
• ${\displaystyle \iiint _{\Omega }}$является объемным интегралом по объему Ω ,
• ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }}$представляет собой линейный интеграл вокруг граничной кривой ∂Σ , при этом петля указывает на замкнутость кривой.
• ${\displaystyle \iint _{\Sigma }}$является поверхностным интегралом по поверхности Σ ,
• Полный электрический заряд Q, заключенный в Ω, представляет собой объемный интеграл по Ω от плотности заряда ρ (см. раздел «макроскопическая формулировка» ниже): где d V — элемент объема . $${\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,}$$
• Чистый магнитный поток Φ B представляет собой поверхностный интеграл магнитного поля _B , проходящего через фиксированную поверхность Σ : $${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• Чистый электрический поток Φ E представляет собой поверхностный интеграл электрического поля _E , проходящего через Σ : $${\displaystyle \Phi _{E}=\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• Чистый электрический ток I представляет собой поверхностный интеграл плотности электрического тока J, проходящего через Σ : где d S обозначает дифференциальный векторный элемент площади поверхности S , нормальный к поверхности Σ . (Векторную площадь иногда обозначают как A , а не S , но это противоречит обозначению магнитного векторного потенциала ). $${\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$

Формулировка с величинами СИ

Формулировка с гауссовыми величинами

Определения заряда, электрического поля и магнитного поля могут быть изменены для упрощения теоретических вычислений путем поглощения размерных факторов ε ₀ и μ ₀ в единицы (и, таким образом, переопределения их). С соответствующим изменением значений величин для закона силы Лоренца это дает ту же физику, т. е. траектории заряженных частиц или работу, выполняемую электродвигателем. Эти определения часто предпочитаются в теоретической и физике высоких энергий, где естественно брать электрическое и магнитное поле с теми же единицами, чтобы упростить появление электромагнитного тензора : ковариантный объект Лоренца, объединяющий электрическое и магнитное поле, тогда будет содержать компоненты с единой единицей и размерностью. ^{[9] : vii} Такие измененные определения традиционно используются с гауссовыми ( CGS ) единицами. Используя эти определения, в разговорной речи «в гауссовых единицах», ^[10] уравнения Максвелла становятся: ^[11]

Уравнения немного упрощаются, когда для безразмерности выбирается система величин, равная скорости света, c , так что, например, секунды и световые секунды являются взаимозаменяемыми, а c = 1.

Дальнейшие изменения возможны путем поглощения факторов 4 π . Этот процесс, называемый рационализацией, влияет на то, включает ли закон Кулона или закон Гаусса такой фактор (см. единицы Хевисайда–Лоренца , используемые в основном в физике элементарных частиц ).

Связь между дифференциальными и интегральными формулировками

Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок является следствием теоремы Гаусса о дивергенции и теоремы Кельвина–Стокса .

Поток и расхождение

Объем Ω и его замкнутая граница ∂Ω , содержащие (соответственно заключающие) источник (+) и сток (−) векторного поля F . Здесь F может быть полем E с электрическими зарядами источника, но не полем B , которое не имеет магнитных зарядов, как показано. Внешняя единичная нормаль равна n .

Согласно (чисто математической) теореме Гаусса о дивергенции , электрический поток через граничную поверхность ∂Ω можно переписать как

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

Интегральная версия уравнения Гаусса может быть, таким образом, переписана как Поскольку Ω является произвольной (например, произвольный маленький шар с произвольным центром), это выполняется тогда и только тогда, когда подынтегральное выражение равно нулю всюду. Это формулировка дифференциальных уравнений уравнения Гаусса с точностью до тривиальной перестановки. $${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0}$$

Аналогично, переписывая магнитный поток в законе Гаусса для магнетизма в интегральной форме, получаем

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}$

которое выполняется для всех Ω тогда и только тогда, когда всюду. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

Циркуляция и завиток

Поверхность Σ с замкнутой границей ∂Σ . F может быть полями E или B. Опять же, n — единичная нормаль . (Вихрь векторного поля не выглядит буквально как «циркуляции», это эвристическое изображение.)

По теореме Кельвина–Стокса мы можем переписать линейные интегралы полей вокруг замкнутой граничной кривой ∂Σ в интеграл «циркуляции полей» (т. е. их вихрей ) по поверхности, которую она ограничивает, т. е. Следовательно, закон Ампера–Максвелла , модифицированная версия закона Ампера о кругообороте, в интегральной форме может быть переписан как Поскольку Σ может быть выбрана произвольно, например, как произвольно малый, произвольно ориентированный и произвольно центрированный диск, мы заключаем, что подынтегральное выражение равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется закон Ампера–Максвелла в форме дифференциальных уравнений. Эквивалентность закона Фарадея в дифференциальной и интегральной форме следует аналогичным образом. $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$$

Линейные интегралы и вихри аналогичны величинам в классической гидродинамике : циркуляция жидкости представляет собой линейный интеграл поля скорости потока жидкости по замкнутому контуру, а завихренность жидкости представляет собой вихрь поля скорости.

Сохранение заряда

Инвариантность заряда может быть выведена как следствие уравнений Максвелла. Левая часть закона Ампера–Максвелла имеет нулевую дивергенцию по тождеству div–rot . Расширяя дивергенцию правой части, меняя местами производные и применяя закон Гаусса, получаем: т.е. По теореме Гаусса о дивергенции это означает, что скорость изменения заряда в фиксированном объеме равна чистому току, протекающему через границу: $${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

В частности, в изолированной системе полный заряд сохраняется.

Уравнения вакуума, электромагнитные волны и скорость света

Эта 3D-диаграмма показывает плоскую линейно поляризованную волну, распространяющуюся слева направо, определяемую как E = E ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ) и B = B ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ) . Осциллирующие поля обнаруживаются в точке вспышки. Горизонтальная длина волны равна λ . E ₀ ⋅ B ₀ = 0 = E ₀ ⋅ k = B ₀ ⋅ k

В области без зарядов ( ρ = 0 ) и токов ( J = 0 ), например в вакууме, уравнения Максвелла сводятся к следующему: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}}$$

Беря ротор (∇×) уравнений ротора и используя ротор тождества ротора, получаем $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

Величина имеет размерность (T/L) ^2. Определяя , уравнения выше имеют вид стандартных волновых уравнений ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

Еще при жизни Максвелла было обнаружено, что известные значения для и дают , тогда уже известное как скорость света в свободном пространстве. Это привело его к предположению, что свет и радиоволны распространяют электромагнитные волны, поскольку это было полностью подтверждено. В старой системе единиц СИ значения и являются определенными константами (что означает, что по определению ), которые определяют ампер и метр. В новой системе СИ только c сохраняет свое определенное значение, а заряд электрона получает определенное значение. ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}$ ${\displaystyle c=299\,792\,458~{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}}$

В материалах с относительной диэлектрической проницаемостью ε r _и относительной магнитной проницаемостью μ r _{фазовая} скорость света становится , что обычно ^{[примечание 5]} меньше, чем c . $${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},}$$

Кроме того, E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны и находятся в фазе друг с другом. Синусоидальная плоская волна является одним из частных решений этих уравнений. Уравнения Максвелла объясняют, как эти волны могут физически распространяться в пространстве. Изменяющееся магнитное поле создает изменяющееся электрическое поле посредством закона Фарадея . В свою очередь, это электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле посредством модификации Максвеллом закона Ампера о круговой поляризации . Этот вечный цикл позволяет этим волнам, теперь известным как электромагнитное излучение , перемещаться в пространстве со скоростью c .

Макроскопическая формулировка

Уравнения выше являются микроскопической версией уравнений Максвелла, выражающей электрические и магнитные поля в терминах имеющихся зарядов и токов (возможно, атомного уровня). Иногда это называют «общей» формой, но макроскопическая версия ниже является столь же общей, разница лишь в бухгалтерском учете.

Микроскопическую версию иногда называют «уравнениями Максвелла в вакууме»: это относится к тому факту, что материальная среда не встроена в структуру уравнений, а появляется только в терминах заряда и тока. Микроскопическая версия была введена Лоренцем, который пытался использовать ее для выведения макроскопических свойств объемного вещества из его микроскопических составляющих. ^{[12] : 5}

«Макроскопические уравнения Максвелла», также известные как уравнения Максвелла в материи , больше похожи на те, которые ввел сам Максвелл.

В макроскопических уравнениях влияние связанного заряда Q _b и связанного тока I _b включено в поле смещения D и поле намагничивания H , тогда как уравнения зависят только от свободных зарядов Q _f и свободных токов I _f . Это отражает расщепление полного электрического заряда Q и тока I (и их плотностей ρ и J ) на свободную и связанную части: $${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}}$$

Цена этого разделения заключается в том, что дополнительные поля D и H необходимо определять с помощью феноменологических составляющих уравнений, связывающих эти поля с электрическим полем E и магнитным полем B , а также связанным зарядом и током.

Ниже приведено подробное описание различий между микроскопическими уравнениями, описывающими полный заряд и ток, включая материальные вклады, полезными в воздухе/вакууме; ^{[примечание 6]} и макроскопическими уравнениями, описывающими свободный заряд и ток, которые практично использовать в материалах.

Связанный заряд и ток

Слева: Схематическое изображение того, как сборка микроскопических диполей производит противоположные поверхностные заряды, как показано вверху и внизу. Справа: Как сборка микроскопических токовых петель объединяется, чтобы создать макроскопически циркулирующую токовую петлю. Внутри границ индивидуальные вклады имеют тенденцию к отмене, но на границах отмена не происходит.

Когда электрическое поле прикладывается к диэлектрическому материалу, его молекулы реагируют, образуя микроскопические электрические диполи — их атомные ядра перемещаются на крошечное расстояние в направлении поля, в то время как их электроны перемещаются на крошечное расстояние в противоположном направлении. Это создает макроскопический связанный заряд в материале, хотя все вовлеченные заряды связаны с отдельными молекулами. Например, если каждая молекула реагирует одинаково, подобно тому, как показано на рисунке, эти крошечные движения заряда объединяются, чтобы создать слой положительного связанного заряда на одной стороне материала и слой отрицательного заряда на другой стороне. Связанный заряд наиболее удобно описывать в терминах поляризации P материала , его дипольного момента на единицу объема. Если P однороден, макроскопическое разделение заряда производится только на поверхностях, где P входит и выходит из материала. Для неоднородного P заряд также производится в объеме. ^[13]

Несколько похоже, во всех материалах составляющие атомы демонстрируют магнитные моменты , которые внутренне связаны с угловым моментом компонентов атомов, в первую очередь их электронов . Связь с угловым моментом предполагает картину сборки микроскопических токовых петель. За пределами материала сборка таких микроскопических токовых петель не отличается от макроскопического тока, циркулирующего вокруг поверхности материала, несмотря на тот факт, что ни один отдельный заряд не перемещается на большое расстояние. Эти связанные токи можно описать с помощью намагниченности M. ^[14]

Поэтому очень сложные и гранулированные связанные заряды и связанные токи могут быть представлены в макроскопическом масштабе в терминах P и M , которые усредняют эти заряды и токи в достаточно большом масштабе, чтобы не видеть гранулярность отдельных атомов, но также достаточно мало, чтобы они менялись в зависимости от местоположения в материале. Таким образом, макроскопические уравнения Максвелла игнорируют многие детали в мелком масштабе, которые могут быть неважны для понимания вопросов в крупном масштабе путем вычисления полей, которые усредняются по некоторому подходящему объему.

Вспомогательные поля, поляризация и намагничивание

Определения вспомогательных полей следующие: где P — поле поляризации , а M — поле намагничивания , которые определяются в терминах микроскопических связанных зарядов и связанных токов соответственно. Макроскопическая плотность связанных зарядов ρ _b и плотность связанного тока J b в терминах поляризации P и намагниченности _M тогда определяются как $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

Если мы определим полный, связанный и свободный заряд и плотность тока с помощью и используем приведенные выше определяющие соотношения для исключения D и H , то «макроскопические» уравнения Максвелла воспроизводят «микроскопические» уравнения. $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}}$$

Учредительные отношения

Для того чтобы применить «макроскопические уравнения Максвелла», необходимо указать соотношения между полем смещения D и электрическим полем E , а также между полем намагничивания H и магнитным полем B. Эквивалентно, мы должны указать зависимость поляризации P (следовательно, связанного заряда) и намагниченности M (следовательно, связанного тока) от приложенного электрического и магнитного поля. Уравнения, определяющие этот отклик, называются определяющими соотношениями . Для реальных материалов определяющие соотношения редко бывают простыми, за исключением приближенных, и обычно определяются экспериментально. См. основную статью о определяющих соотношениях для более полного описания. ^{[15] : 44–45}

Для материалов без поляризации и намагничивания определяющие соотношения (по определению) ^{[9] : 2} , где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства, а μ ₀ — магнитная проницаемость свободного пространства. Поскольку связанный заряд отсутствует, полный и свободный заряды и ток равны. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,}$$

Альтернативная точка зрения на микроскопические уравнения заключается в том, что они являются макроскопическими уравнениями вместе с утверждением, что вакуум ведет себя как идеальный линейный «материал» без дополнительной поляризации и намагничивания. В более общем смысле, для линейных материалов определяющие соотношения таковы ^{[15] : 44–45} , где ε — диэлектрическая проницаемость , а μ — проницаемость материала . Для поля смещения D линейное приближение обычно превосходно, поскольку для всех, кроме самых экстремальных электрических полей или температур, достижимых в лаборатории (мощные импульсные лазеры), межатомные электрические поля материалов порядка 10 ¹¹ В/м намного выше внешнего поля. Однако для намагничивающего поля линейное приближение может нарушаться в обычных материалах, таких как железо, что приводит к таким явлениям, как гистерезис . Однако даже линейный случай может иметь различные осложнения. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

• Для однородных материалов ε и μ постоянны по всему материалу, тогда как для неоднородных материалов они зависят от местоположения внутри материала (и, возможно, времени). ^{[16] : 463}
• Для изотропных материалов ε и μ являются скалярами, тогда как для анизотропных материалов (например, из-за кристаллической структуры) они являются тензорами . ^{[15] : 421  [16] : 463}
• Материалы, как правило, дисперсионные , поэтому ε и μ зависят от частоты любых падающих электромагнитных волн. ^{[15] : 625  [16] : 397}

Еще более обобщенно, в случае нелинейных материалов (см., например, нелинейную оптику ), D и P не обязательно пропорциональны E , аналогично H или M не обязательно пропорциональны B. В общем случае D и H зависят как от E , так и от B , от местоположения и времени, а также, возможно, от других физических величин.

В приложениях также необходимо описать, как ведут себя свободные токи и плотность заряда в терминах E и B, возможно, связанных с другими физическими величинами, такими как давление, масса, плотность числа и скорость частиц, несущих заряд. Например, исходные уравнения, данные Максвеллом (см. История уравнений Максвелла ), включали закон Ома в форме $${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .}$$

Альтернативные формулировки

Ниже приведены некоторые из нескольких других математических формализмов уравнений Максвелла, со столбцами, разделяющими два однородных уравнения Максвелла от двух неоднородных. Каждая формулировка имеет версии непосредственно в терминах электрических и магнитных полей и косвенно в терминах электрического потенциала φ и векторного потенциала A. Потенциалы были введены как удобный способ решения однородных уравнений, но считалось, что вся наблюдаемая физика содержится в электрических и магнитных полях (или релятивистски, тензор Фарадея). Однако потенциалы играют центральную роль в квантовой механике и действуют квантово-механически с наблюдаемыми последствиями, даже когда электрические и магнитные поля исчезают ( эффект Ааронова–Бома ).

Каждая таблица описывает один формализм. Подробности каждой формулировки см. в основной статье .

Прямые пространственно-временные формулировки показывают, что уравнения Максвелла являются релятивистски инвариантными , где пространство и время рассматриваются на равных основаниях. Из-за этой симметрии электрические и магнитные поля рассматриваются на равных основаниях и признаются компонентами тензора Фарадея . Это сокращает четыре уравнения Максвелла до двух, что упрощает уравнения, хотя мы больше не можем использовать знакомую векторную формулировку. Уравнения Максвелла в формулировке, которая не рассматривает пространство и время явно на одинаковых основаниях, имеют лоренц-инвариантность как скрытую симметрию. Это было основным источником вдохновения для развития теории относительности. Действительно, даже формулировка, которая рассматривает пространство и время отдельно, не является нерелятивистским приближением и описывает ту же физику простым переименованием переменных. По этой причине релятивистски инвариантные уравнения обычно также называют уравнениями Максвелла.

Каждая таблица ниже описывает один формализм.

• В формулировке тензорного исчисления электромагнитный тензор F _αβ является антисимметричным ковариантным тензором 2-го порядка; 4-потенциал , A _α , является ковариантным вектором; ток, J ^α , является вектором; квадратные скобки, [ ] , обозначают антисимметризацию индексов ; ∂ _α является частной производной по координате, x ^α . В пространстве Минковского координаты выбираются относительно инерциальной системы отсчета ; ( x ^α ) = ( ct ,  x ,  y ,  z ) , так что метрический тензор, используемый для повышения и понижения индексов, равен η _αβ = diag(1, −1, −1, −1) . Оператор Даламбера в пространстве Минковского равен ◻ = ∂ _α ∂ ^{α ,} как и в векторной формулировке. В общем пространстве-времени система координат x ^α произвольна, ковариантная производная ∇ _α , тензор Риччи , R _αβ и повышение и понижение индексов определяются лоренцевской метрикой g _αβ , а оператор Даламбера определяется как ◻ = ∇ _α ∇ ^α . Топологическое ограничение состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий пространства обращается в нуль (см. формулировку дифференциальной формы для объяснения). Это нарушается для пространства Минковского с удаленной линией, которое может моделировать (плоское) пространство-время с точечным монополем на дополнении линии.
• В дифференциальной формулировке на произвольном пространстве-времени F = ⁠1/2⁠ F _αβ ‍ d x ^α ∧ d x ^β — электромагнитный тензор, рассматриваемый как 2-форма, A = A _α d x ^α — потенциальная 1-форма,— токовая 3-форма, d — внешняя производная , а— звезда Ходжа на формах, определяемых (с точностью до ее ориентации, т. е. ее знака) лоренцевой метрикой пространства-времени. В частном случае 2-форм, таких как F , звезда Ходжазависит от метрического тензора только для ее локального масштаба. Это означает, что, как сформулировано, дифференциальные уравнения поля формы конформно инвариантны , но калибровочное условие Лоренца нарушает конформную инвариантность. Оператор— оператор Даламбера–Лапласа–Бельтрами на 1-формах на произвольном лоренцевом пространстве-времени . Топологическое условие снова состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий является «тривиальной» (что означает, что ее форма следует из определения). Благодаря изоморфизму со второй группой когомологий де Рама это условие означает, что каждая замкнутая 2-форма является точной. ${\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$

Другие формализмы включают в себя формулировку геометрической алгебры и матричное представление уравнений Максвелла . Исторически использовалась кватернионная формулировка ^{[17] [18] .}

Решения

Уравнения Максвелла — это уравнения в частных производных , которые связывают электрические и магнитные поля друг с другом и с электрическими зарядами и токами. Часто заряды и токи сами зависят от электрических и магнитных полей через уравнение силы Лоренца и определяющие соотношения. Все они образуют набор связанных уравнений в частных производных, которые часто очень трудно решить: решения охватывают все разнообразные явления классического электромагнетизма . Далее следуют некоторые общие замечания.

Как и для любого дифференциального уравнения, граничные условия ^{[19] [20] [21]} и начальные условия ^[22] необходимы для единственного решения . Например, даже при отсутствии зарядов и токов где-либо в пространстве-времени существуют очевидные решения, для которых E и B равны нулю или постоянны, но существуют также нетривиальные решения, соответствующие электромагнитным волнам. В некоторых случаях уравнения Максвелла решаются по всему пространству, а граничные условия задаются как асимптотические пределы на бесконечности. ^[23] В других случаях уравнения Максвелла решаются в конечной области пространства с соответствующими условиями на границе этой области, например, искусственной поглощающей границей, представляющей остальную часть вселенной, ^{[24] [25]} или периодическими граничными условиями , или стенками, которые изолируют небольшую область от внешнего мира (как в случае волновода или резонатора ). ^[26]

Уравнения Ефименко (или тесно связанные с ними потенциалы Льенара–Вихерта ) являются явным решением уравнений Максвелла для электрических и магнитных полей, создаваемых любым заданным распределением зарядов и токов. Оно предполагает определенные начальные условия для получения так называемого «запаздывающего решения», где присутствуют только поля, создаваемые зарядами. Однако уравнения Ефименко бесполезны в ситуациях, когда заряды и токи сами подвержены влиянию полей, которые они создают.

Численные методы для дифференциальных уравнений могут быть использованы для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла, когда точные решения невозможны. К ним относятся метод конечных элементов и метод конечных разностей во временной области . ^{[19] [21] [27] [28] [29]} Для получения более подробной информации см. Computational electromagnetics .

Переопределенность уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла кажутся переопределенными , поскольку они включают шесть неизвестных (три компонента E и B ), но восемь уравнений (по одному для каждого из двух законов Гаусса, по три векторных компонента для законов Фарадея и Ампера). (Токи и заряды не являются неизвестными, будучи свободно определяемыми при условии сохранения заряда .) Это связано с определенным ограниченным видом избыточности в уравнениях Максвелла: можно доказать, что любая система, удовлетворяющая закону Фарадея и закону Ампера , автоматически удовлетворяет и двум законам Гаусса, если только начальное состояние системы удовлетворяет, и если предположить сохранение заряда и несуществование магнитных монополей. ^{[30] [31]} Это объяснение было впервые введено Джулиусом Адамсом Страттоном в 1941 году. ^[32]

Хотя можно просто игнорировать два закона Гаусса в численном алгоритме (кроме начальных условий), несовершенная точность вычислений может привести к все возрастающим нарушениям этих законов. Вводя фиктивные переменные, характеризующие эти нарушения, четыре уравнения в конце концов становятся не переопределенными. Полученная формулировка может привести к более точным алгоритмам, которые учитывают все четыре закона. ^[33]

Оба тождества , которые сводят восемь уравнений к шести независимым, являются истинной причиной сверхопределенности. ^{[34] [35]} ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}$

Эквивалентно, переопределение можно рассматривать как подразумевающее сохранение электрического и магнитного заряда, поскольку они требуются в описанном выше выводе, но подразумеваются двумя законами Гаусса.

Для линейных алгебраических уравнений можно сделать «хорошие» правила для переписывания уравнений и неизвестных. Уравнения могут быть линейно зависимыми. Но в дифференциальных уравнениях, и особенно в частных дифференциальных уравнениях (PDE), нужны соответствующие граничные условия, которые зависят от уравнений не столь очевидным образом. Более того, если переписать их в терминах векторного и скалярного потенциала, то уравнения будут недоопределены из-за фиксации калибровки .

Уравнения Максвелла как классический предел КЭД

Уравнения Максвелла и закон силы Лоренца (вместе с остальной частью классического электромагнетизма) чрезвычайно успешны в объяснении и предсказании множества явлений. Однако они не учитывают квантовые эффекты, и поэтому область их применимости ограничена. Уравнения Максвелла считаются классическим пределом квантовой электродинамики (КЭД).

Некоторые наблюдаемые электромагнитные явления несовместимы с уравнениями Максвелла. К ним относятся рассеяние фотонов на фотонах и многие другие явления, связанные с фотонами или виртуальными фотонами , « неклассический свет » и квантовая запутанность электромагнитных полей (см. Квантовая оптика ). Например, квантовая криптография не может быть описана теорией Максвелла, даже приблизительно. Приближенная природа уравнений Максвелла становится все более очевидной при переходе в режим чрезвычайно сильного поля (см. Лагранжиан Эйлера–Гейзенберга ) или на чрезвычайно малые расстояния.

Наконец, уравнения Максвелла не могут объяснить ни одного явления, включающего взаимодействие отдельных фотонов с квантовой материей, например, фотоэлектрический эффект , закон Планка , закон Дуэйна-Ханта и однофотонные детекторы света . Однако многие такие явления можно аппроксимировать с помощью половинчатой ​​теории квантовой материи, связанной с классическим электромагнитным полем, либо как внешним полем, либо с ожидаемым значением тока заряда и плотности в правой части уравнений Максвелла.

Вариации

Популярные вариации уравнений Максвелла как классической теории электромагнитных полей сравнительно немногочисленны, поскольку стандартные уравнения на удивление хорошо выдержали испытание временем.

Магнитные монополи

Уравнения Максвелла постулируют, что во Вселенной есть электрический заряд , но нет магнитного заряда (также называемого магнитными монополями ). Действительно, магнитный заряд никогда не наблюдался, несмотря на обширные поиски, ^{[примечание 7]} и, возможно, не существует. Если бы они существовали, то и закон Гаусса для магнетизма, и закон Фарадея должны были бы быть изменены, и полученные четыре уравнения были бы полностью симметричны при замене электрических и магнитных полей. ^{[9] : 273–275}

Смотрите также

• Портал электроники
• Физический портал

• Алгебра физического пространства
• Уравнения Френеля
• Гравитоэлектромагнетизм
• Условия интерфейса для электромагнитных полей
• Проблема движущегося магнита и проводника
• Вектор Римана–Зильберштейна
• Алгебра пространства-времени
• Теория поглотителя Уилера–Фейнмана

Пояснительные записки

1. Электрические и магнитные поля, согласно теории относительности , являются составляющими единого электромагнитного поля.
2. Однако в общей теории относительности они должны входить через тензор энергии-импульса в уравнения поля Эйнштейна , которые включают кривизну пространства-времени.
3. Отсутствие стоков/источников поля не означает, что линии поля должны быть замкнутыми или уходить в бесконечность. Они также могут заворачиваться бесконечно, без самопересечений. Более того, вокруг точек, где поле равно нулю (которые не могут пересекаться линиями поля, поскольку их направление не будет определено), может быть одновременное начало некоторых линий и конец других линий. Это происходит, например, посередине между двумя идентичными цилиндрическими магнитами, северные полюса которых обращены друг к другу. Посередине между этими магнитами поле равно нулю, а аксиальные линии поля, исходящие от магнитов, заканчиваются. В то же время из этой точки радиально исходит бесконечное число расходящихся линий. Одновременное наличие линий, которые заканчиваются и начинаются вокруг точки, сохраняет безрасходный характер поля. Подробное обсуждение незамкнутых линий поля см. в L. Zilberti "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines", IEEE Magnetics Letters, т. 8, ст. 1306005, 2017.
4. Величина, которую мы сейчас называем ( ε ₀ μ ₀ ) ^−1/2 , с единицами скорости, была непосредственно измерена до уравнений Максвелла в эксперименте 1855 года Вильгельма Эдуарда Вебера и Рудольфа Кольрауша . Они зарядили лейденскую банку (своего рода конденсатор ) и измерили электростатическую силу , связанную с потенциалом; затем они разрядили ее, измеряя магнитную силу от тока в разрядном проводе. Их результат был3.107 × 10 ⁸  м/с , что очень близко к скорости света. См. Джозеф Ф. Кейтли, История электрических и магнитных измерений: от 500 г. до н. э. до 1940-х гг., стр. 115.
5. Существуют случаи ( аномальная дисперсия ), когда фазовая скорость может превышать c , но «скорость сигнала» все равно будет ≤ c
6. В некоторых книгах, например, в книге У. Крея и А. Оуэна «Основы теоретической физики» (Springer 2007), вместо термина «полный заряд» используется термин «эффективный заряд» , тогда как свободный заряд называется просто «зарядом» .
7. См . раздел магнитный монополь для обсуждения поиска монополей. Недавно ученые обнаружили, что некоторые типы конденсированного вещества, включая спиновый лед и топологические изоляторы , демонстрируют эмерджентное поведение, напоминающее магнитные монополи. (См. sciencemag.org и nature.com.) Хотя в популярной прессе они были описаны как долгожданное открытие магнитных монополей, они связаны только поверхностно. «Истинный» магнитный монополь — это то, где ∇ ⋅ B ≠ 0 , тогда как в этих системах конденсированного вещества ∇ ⋅ B = 0 , в то время как только ∇ ⋅ H ≠ 0 .

Ссылки

1. Хэмпшир, Дамиан П. (29 октября 2018 г.). «Вывод уравнений Максвелла с использованием нотации Хевисайда». Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 376 (2134). arXiv : 1510.04309 . Bibcode : 2018RSPTA.37670447H. doi : 10.1098/rsta.2017.0447. ISSN  1364-503X. PMC 6232579.  PMID 30373937  .
2. "Значение CODATA 2022: скорость света в вакууме". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024 г. Получено 18.05.2024 .
3. Джексон, Джон. "Уравнения Максвелла". Глоссарий научных видеоматериалов . Berkeley Lab. Архивировано из оригинала 29-01-2019 . Получено 04-06-2016 .
4. Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика , раздел 6.3
5. Принципы физики: текст, основанный на исчислении, Р. А. Сервэй, Дж. У. Джуэтт, стр. 809.
6. Брюс Дж. Хант (1991) Максвеллианцы , глава 5 и приложение, Cornell University Press
7. "Уравнения Максвелла". История инженерии и технологий Wiki. 29 октября 2019 г. Получено 04.12.2021 г.
8. Шолин, Павел (2006). Уравнения с частными производными и метод конечных элементов. John Wiley and Sons. стр. 273. ISBN 978-0-471-72070-6.
9. JD Jackson (1975-10-17). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-43132-9.
10. Литтлджон, Роберт (осень 2007 г.). "Гауссова, СИ и другие системы единиц в электромагнитной теории" (PDF) . Физика 221A, Калифорнийский университет, Беркли, лекции . Получено 2008-05-06 .
11. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (Третье изд.). Prentice Hall. С. 559–562. ISBN 978-0-13-805326-0.
12. Кимбалл Милтон; Дж. Швингер (18 июня 2006 г.). Электромагнитное излучение: вариационные методы, волноводы и ускорители . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29306-4.
13. См. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). "4.2.2". Введение в электродинамику (третье изд.). Prentice Hall . ISBN 9780138053260.для хорошего описания того, как P соотносится со связанным зарядом .
14. См. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). "6.2.2". Введение в электродинамику (третье изд.). Prentice Hall . ISBN 9780138053260.для хорошего описания того, как M соотносится со связанным током .
15. Эндрю Зангвилл (2013). Современная электродинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89697-9.
16. Киттель, Чарльз (2005), Введение в физику твердого тела (8-е изд.), США: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8
17. Джек, П. М. (2003). «Физическое пространство как кватернионная структура I: уравнения Максвелла. Краткое примечание». arXiv : math-ph/0307038 .
18. А. Васер (2000). «О записи уравнений поля Максвелла» (PDF) . AW-Verlag.
19. Питер Монк (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла. Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. стр. 1 и далее. ISBN 978-0-19-850888-5.
20. Томас Б. А. Сеньор и Джон Леонидас Волакис (1995-03-01). Приближенные граничные условия в электромагнетизме. Лондон, Великобритания: Институт инженеров-электриков. стр. 261 и далее. ISBN 978-0-85296-849-9.
21. T Hagstrom (Бьёрн Энгквист и Грегори А. Кригсманн, ред.) (1997). Вычислительное распространение волн. Берлин: Шпрингер. п. 1 и далее. ISBN 978-0-387-94874-4.
22. Хеннинг Ф. Хармут и Малек ГМ Хуссейн (1994). Распространение электромагнитных сигналов. Сингапур: World Scientific. стр. 17. ISBN 978-981-02-1689-4.
23. Дэвид М. Кук (2002). Теория электромагнитного поля. Mineola NY: Courier Dover Publications. стр. 335 и далее. ISBN 978-0-486-42567-2.
24. Жан-Мишель Луртиоз (2005-05-23). ​​Фотонные кристаллы: на пути к наномасштабным фотонным устройствам. Берлин: Springer. стр. 84. ISBN 978-3-540-24431-8.
25. SG Johnson, Notes on Perfectly Matched Layers, заметки к онлайн-курсу Массачусетского технологического института (август 2007 г.).
26. SF Mahmoud (1991). Электромагнитные волноводы: теория и применение. Лондон, Великобритания: Институт инженеров-электриков. Глава 2. ISBN 978-0-86341-232-5.
27. Джон Леонидас Волакис, Ариндам Чаттерджи и Лео К. Кемпель (1998). Метод конечных элементов для электромагнетизма: антенны, микроволновые цепи и приложения рассеяния. Нью-Йорк: Wiley IEEE. стр. 79 и далее. ISBN 978-0-7803-3425-0.
28. Бернард Фридман (1990). Принципы и методы прикладной математики . Mineola NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66444-6.
29. Taflove A & Hagness SC (2005). Вычислительная электродинамика: Метод конечных разностей во временной области . Boston MA: Artech House . Главы 6 и 7. ISBN 978-1-58053-832-9.
30. Х. Фрейстюлер и Г. Варнеке (2001). Гиперболические задачи: теория, численные вычисления, приложения. Спрингер. п. 605. ИСБН 9783764367107.
31. J Rosen (1980). «Избыточность и сверхплотность для электромагнитных полей и потенциалов». American Journal of Physics . 48 (12): 1071. Bibcode : 1980AmJPh..48.1071R. doi : 10.1119/1.12289.
32. JA Stratton (1941). Электромагнитная теория. McGraw-Hill Book Company. стр. 1–6. ISBN 9780470131534.
33. B Jiang & J Wu & LA Povinelli (1996). "Происхождение ложных решений в вычислительной электродинамике". Журнал вычислительной физики . 125 (1): 104. Bibcode :1996JCoPh.125..104J. doi :10.1006/jcph.1996.0082. hdl : 2060/19950021305 .
34. Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология. John Wiley. С. 161–162. ISBN 978-0-471-92567-5.
35. Курант, Р. и Гильберт, Д. (1962), Методы математической физики: уравнения с частными производными, т. II, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, стр. 15–18, ISBN 9783527617241

Дальнейшее чтение

• Имаеда, К. (1995), «Бикватернионная формулировка уравнений Максвелла и их решений», в Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (ред.), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer, стр. 265–280, doi :10.1007/978-94-015-8422-7_16, ISBN 978-90-481-4525-6

Исторические публикации

• О силовых линиях Фарадея – 1855/56. Первая статья Максвелла (Часть 1 и 2) – Составлено Blaze Labs Research (PDF).
• О физических силовых линиях – 1861. Статья Максвелла 1861 года, описывающая магнитные силовые линии – предшественник «Трактата» 1873 года.
• Джеймс Клерк Максвелл , « Динамическая теория электромагнитного поля », Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 , 459–512 (1865). (Эта статья сопровождала выступление Максвелла перед Королевским обществом 8 декабря 1864 года.)
  • Динамическая теория электромагнитного поля – 1865. Статья Максвелла 1865 года, описывающая его 20 уравнений, ссылка из Google Books .
• Дж. Клерк Максвелл (1873), « Трактат об электричестве и магнетизме »:
  • Максвелл, Дж. К., «Трактат об электричестве и магнетизме» – Том 1 – 1873 – Мемориальная коллекция Познера – Университет Карнеги-Меллона.
  • Максвелл, Дж. К., «Трактат об электричестве и магнетизме» – Том 2 – 1873 – Мемориальная коллекция Познера – Университет Карнеги-Меллона.

Разработки до теории относительности

• Лармор Джозеф (1897). «О динамической теории электрической и светоносной среды. Часть 3, Отношения с материальными средами»  . Phil. Trans. R. Soc . 190 : 205–300.
• Лоренц Хендрик (1899). «Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах»  . Proc. Acad. Science Amsterdam . I : 427–443.
• Лоренц Хендрик (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света»  . Proc. Acad. Science Amsterdam . IV : 669–678.
• Анри Пуанкаре (1900) «Теория Лоренца и принцип реакции» (на французском языке) , Archives Néerlandaises , V , 253–278.
• Анри Пуанкаре (1902) « Наука и гипотеза » (на французском языке) .
• Анри Пуанкаре (1905) «Sur la Dynamique de l'Electron» (на французском языке) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 140 , 1504–1508.
• Кэтт, Уолтон и Дэвидсон. «История тока смещения». Архивировано 06.05.2008 в Wayback Machine . Wireless World , март 1979 г.

Внешние ссылки

• «Уравнения Максвелла», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• maxwells-equations.com — Интуитивно понятный учебник по уравнениям Максвелла.
• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 18: Уравнения Максвелла
• Страница Викиверситета об уравнениях Максвелла

Современные методы лечения

• Электромагнетизм (гл. 11), Б. Кроуэлл, Фуллертонский колледж
• Цикл лекций: Теория относительности и электромагнетизм, Р. Фицпатрик, Техасский университет в Остине
• Электромагнитные волны из уравнений Максвелла в проекте PHYSNET.
• Серия видеолекций Массачусетского технологического института (36 лекций по 50 минут) (в формате .mp4) – Электричество и магнетизм. Преподает профессор Уолтер Левин .

Другой

• Силагадзе, ЗК (2002). «Вывод Фейнманом уравнений Максвелла и дополнительных измерений». Анналы Фонда Луи де Бройля . 27 : 241–256. arXiv : hep-ph/0106235 .
• Вехи в истории природы: Фотоны – Веха 2 (1861) Уравнения Максвелла