Автоморфизм

В математике автоморфизм — это изоморфизм математического объекта на себя. Это, в некотором смысле, симметрия объекта и способ отображения объекта на себя с сохранением всей его структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу , называемую группой автоморфизмов . Это, грубо говоря, группа симметрии объекта.

Определение

В алгебраической структуре, такой как группа , кольцо или векторное пространство , автоморфизм — это просто биективный гомоморфизм объекта в себя. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры; см., например, гомоморфизм группы , гомоморфизм кольца и линейный оператор .)

В более общем смысле, для объекта в некоторой категории автоморфизм — это морфизм объекта в себя, который имеет обратный морфизм; то есть морфизм является автоморфизмом, если существует морфизм такой, что где — тождественный морфизм X. Для алгебраических структур эти два определения эквивалентны; в этом случае тождественный морфизм — это просто тождественная функция , и его часто называют тривиальным автоморфизмом $.$ $f:X\to X$ $g:X\to X$ $g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},$ $\operatorname {id} _{X}$

Группа автоморфизмов

Автоморфизмы объекта $X$ образуют группу относительно композиции морфизмов , которая называется группой автоморфизмов объекта $X.$ Это непосредственно следует из определения категории.

Группа автоморфизмов объекта $X$ в категории $C$ часто обозначается как $Aut C (X)$ или просто Aut( X ), если категория ясна из контекста.

Примеры

В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группа автоморфизмов множества X также называется симметрической группой на X.
В элементарной арифметике множество целых чисел Z , рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматриваемое как кольцо, оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание является автоморфизмом любой абелевой группы , но не кольца или поля.
Групповой автоморфизм — это групповой изоморфизм группы на себя. Неформально, это перестановка элементов группы, при которой структура остается неизменной. Для каждой группы G существует естественный групповой гомоморфизм G → Aut( G ), образом которого является группа Inn( G ) внутренних автоморфизмов , а ядром — центр G . Таким образом, если G имеет тривиальный центр, то его можно вложить в его собственную группу автоморфизмов. ^[1]
В линейной алгебре эндоморфизм векторного пространства V — это линейный оператор V → V . Автоморфизм — это обратимый линейный оператор на V . Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой GL( V ). (Алгебраическая структура всех эндоморфизмов V сама по себе является алгеброй над тем же базовым полем, что и V , обратимые элементы которой в точности состоят из GL( V ).)
Автоморфизм поля — это биективный кольцевой гомоморфизм поля на себя.
- Поле рациональных чисел не имеет других автоморфизмов, кроме тождества, поскольку автоморфизм должен фиксировать аддитивное тождество $0$ и мультипликативное тождество $1$ ; сумма конечного числа $1$ должна быть фиксирована, как и аддитивные обратные числа этих сумм (то есть автоморфизм фиксирует все целые числа ); наконец, поскольку каждое рациональное число является частным двух целых чисел, все рациональные числа должны быть фиксированы любым автоморфизмом. $\mathbb {Q}$
- Поле действительных чисел не имеет автоморфизмов, кроме тождественного. Действительно, рациональные числа должны быть фиксированы каждым автоморфизмом, согласно вышеизложенному; автоморфизм должен сохранять неравенства, поскольку эквивалентен и последнее свойство сохраняется каждым автоморфизмом; наконец, каждое действительное число должно быть фиксировано, поскольку оно является наименьшей верхней границей последовательности рациональных чисел. $\mathbb {R}$ $x<y$ $\exists z\mid y-x=z^{2},$
- Поле комплексных чисел имеет уникальный нетривиальный автоморфизм, который фиксирует действительные числа. Это комплексное сопряжение , которое отображается в Аксиома выбора подразумевает существование несчетного числа автоморфизмов, которые не фиксируют действительные числа. ^[2]^[3] $\mathbb {C}$ $i$ $-i.$
- Изучение автоморфизмов расширений алгебраических полей является отправной точкой и основным объектом теории Галуа .
Группа автоморфизмов кватернионов ( H ) как кольца — это внутренние автоморфизмы, согласно теореме Скулема–Нётер : отображения вида a ↦ bab ⁻¹ . ^[4] Эта группа изоморфна SO (3) , группе вращений в 3-мерном пространстве.
Группа автоморфизмов октонионов ( O ) является исключительной группой Ли G2 .
В теории графов автоморфизм графа — это перестановка узлов, которая сохраняет ребра и не-ребра. В частности, если два узла соединены ребром, то же самое происходит и с их образами при перестановке.
В геометрии автоморфизм можно назвать движением пространства. Также используется специальная терминология:
- В метрической геометрии автоморфизм — это самоизометрия . Группа автоморфизмов также называется группой изометрий .
- В категории римановых поверхностей автоморфизм — это биголоморфное отображение (также называемое конформным отображением ) поверхности на себя. Например, автоморфизмы сферы Римана — это преобразования Мёбиуса .
- Автоморфизм дифференцируемого многообразия M — это диффеоморфизм из M в себя. Группа автоморфизмов иногда обозначается Diff( M ).
- В топологии морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывными отображениями , а автоморфизм топологического пространства — это гомеоморфизм пространства на себя или самомогомеоморфизм (см. Группа гомеоморфизмов ). В этом примере для морфизма недостаточно быть биективным, чтобы быть изоморфизмом.

История

Один из самых ранних групповых автоморфизмов (автоморфизм группы, а не просто группы автоморфизмов точек) был дан ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икосианском исчислении , где он открыл автоморфизм второго порядка, ^[5] написав:

так что это новый пятый корень из единицы, связанный с прежним пятым корнем отношениями совершенной взаимности. $\mu$ $\lambda$

Внутренние и внешние автоморфизмы

В некоторых категориях, в частности, в группах , кольцах и алгебрах Ли , можно разделить автоморфизмы на два типа, называемые «внутренними» и «внешними» автоморфизмами.

В случае групп внутренние автоморфизмы являются сопряжениями элементами самой группы. Для каждого элемента a группы G сопряжение посредством a является операцией φ _a : G → G, заданной как φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (или a ⁻¹ga ; использование варьируется). Можно легко проверить, что сопряжение посредством a является групповым автоморфизмом. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу Aut( G ), обозначаемую Inn( G ); это называется леммой Гурса .

Другие автоморфизмы называются внешними автоморфизмами . Фактор-группа Aut( G ) / Inn( G ) обычно обозначается как Out( G ); нетривиальные элементы — это смежные классы , содержащие внешние автоморфизмы.

Такое же определение справедливо в любом единичном кольце или алгебре , где a — любой обратимый элемент . Для алгебр Ли определение немного отличается.

Смотрите также

Ссылки

^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Автоморфизмы". Математические основы вычислительной техники (перевод Феликса Паля). Springer. стр. 376. ISBN 3-540-67995-2.
^ Йель, Пол Б. (май 1966). «Автоморфизмы комплексных чисел» (PDF) . Mathematics Magazine . 39 (3): 135–141. doi :10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 22–23, ISBN 0-521-00551-5
↑ Справочник по алгебре , т. 3, Elsevier , 2003, стр. 453
^ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856). «Меморандум относительно новой Системы Корней Единства» (PDF) . Philosophical Magazine . 12 : 446. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.

Внешние ссылки

Автоморфизм в Encyclopaedia of Mathematics
Вайсштейн, Эрик В. «Автоморфизм». Математический мир .